variasi tekanan sinusoidal Asin 2πft, Intensitasnya sebanding dengan A
22..Dalam seri Fourier
Dalam seri Fourier untuk p (t), intensitas daruntuk p (t), intensitas dari berbagai harmonik kemudiani berbagai harmonik kemudian sebanding dengan kuadrat Fourier yang sesuai koefisien. (Intensitasnya sebanding dengan kuadrat Fourier yang sesuai koefisien. (Intensitasnya kira-kira sesuai dengan kenyaringan nada
kira-kira sesuai dengan kenyaringan nada
— —
notnot tepatnya karena telinga tepatnya karena telinga tidak seragam sensitif terhadap semua frekuensi.) Kerabat intensitas tidak seragam sensitif terhadap semua frekuensi.) Kerabat intensitas harmonik dalam contoh kita adalah:harmonik dalam contoh kita adalah:
Dari sini kita lihat lebih jelas bahwa kita mengetahui prinsip harmonik Dari sini kita lihat lebih jelas bahwa kita mengetahui prinsip harmonik kedua dengan frekuensi 524 (tinggi C).
kedua dengan frekuensi 524 (tinggi C). 11.
11. TEOREMA PARSEVALTEOREMA PARSEVAL
Sekarang kita akan menemukan hubungan antara rata-rata kuadrat Sekarang kita akan menemukan hubungan antara rata-rata kuadrat (atau persegi mutlak) dari f(x) dan koefisien dalam deret Fourier untuk f (atau persegi mutlak) dari f(x) dan koefisien dalam deret Fourier untuk f (x), dengan asumsi
(x), dengan asumsi
∫∫
terbatas. Hasilnya dikenal sebagai terbatas. Hasilnya dikenal sebagai Teorema Parseval atau hubungan kelengkapan. Anda harus memahami Teorema Parseval atau hubungan kelengkapan. Anda harus memahami bahwabahwa titik titik teorema teorema tidak tidak mendapatkan mendapatkan rata-rata-rata rata kuadrat kuadrat dari dari f f (x) (x) yangyang diberikan dengan menggunakan deret Fourier-nya. [Mengingat f (x), itu diberikan dengan menggunakan deret Fourier-nya. [Mengingat f (x), itu mudah didapat nilai kuadrat rata-rata hanya dengan melakukan integrasi di mudah didapat nilai kuadrat rata-rata hanya dengan melakukan integrasi di pers.
pers. (11.2) (11.2) di di bawah.] bawah.] Titik Titik dari dari Teorema Teorema adalah adalah untuk untuk menunjumenunjukkankkan hubungan antara rata-rata kuadrat f (x) dan Koefisien Fourier. Kita dapat hubungan antara rata-rata kuadrat f (x) dan Koefisien Fourier. Kita dapat memperoleh bentuk teorema Parseval dari salah satu berbagai ekspansi memperoleh bentuk teorema Parseval dari salah satu berbagai ekspansi Fourier yang telah dibuat ; mari kita gunakan pers. (5.1).
Fourier yang telah dibuat ; mari kita gunakan pers. (5.1). (11.1)
(11.1)
∑∑
∑∑
Kita mengkuadratkan f(x) dan mencari rata-rata kuadrat antara (
(11.2)
(11.2) Rata-rata Rata-rata daridari
adalah adalah
∫∫
Ketika kita mengkuadratkan deret Fourier pada (11.1) kita memperoleh Ketika kita mengkuadratkan deret Fourier pada (11.1) kita memperoleh beberapa pola.Untuk
beberapa pola.Untuk menhindmenhindari ari banyak bilangan banyak bilangan darinya, pertdarinya, pertimbangkanimbangkan menggati tipe pola dan rata-rata berbagai pola jenis yang berbeda.Pertama, menggati tipe pola dan rata-rata berbagai pola jenis yang berbeda.Pertama, terdapat kuadrat dari pola tunggal. Gunakan fakta bahwa rat-rata kuadrat terdapat kuadrat dari pola tunggal. Gunakan fakta bahwa rat-rata kuadrat sinus atau cosinus pada periode adalah ½, kita pero
sinus atau cosinus pada periode adalah ½, kita pero leh :leh : (11.3) Rata-rata dari
(11.3) Rata-rata dari
adalahadalah
Rata-rata dari
Rata-rata dari
adalahadalah
Rata-rata dari
Rata-rata dari
adalahadalah
Kemudian ada pola cross-product dari bentuk
Kemudian ada pola cross-product dari bentuk
dandan
dengan dengan
(kita menulis n pada factor
(kita menulis n pada factor cosinus dan m pada factor sinus sehingga setiapcosinus dan m pada factor sinus sehingga setiap pola
pola sinus sinus merupakan merupakan perkalian perkalian setiap setiap pola pola cosinus). cosinus). Dengan Dengan (5.2), (5.2), nilainilai rata-rata pola untuk semua tipe adalah nol. Kemudian kita
rata-rata pola untuk semua tipe adalah nol. Kemudian kita memilikimemiliki (11.4) Rata-rata dari
(11.4) Rata-rata dari
(seluruh periode) (seluruh periode)
∑∑
∑∑
..Ini adalah satu bentuk teorema Parseval. Kamu dapat dengan mudah Ini adalah satu bentuk teorema Parseval. Kamu dapat dengan mudah memeriksa (Permasalahan 1) bahwa teorema tidak berubah jika
memeriksa (Permasalahan 1) bahwa teorema tidak berubah jika
memiliki periode
memiliki periode
bukannya bukannya
dan kuadratnya adalah rata-rata dan kuadratnya adalah rata-rata keseluruhan setiap periode dengan panjangkeseluruhan setiap periode dengan panjang
. Kamu dapat juga. Kamu dapat juga memeriksa (Permasalahan 3) bahwa jikamemeriksa (Permasalahan 3) bahwa jika
ditulis sebagai eksponensial ditulis sebagai eksponensial kompleks deret Fourier, dan jika dalam penjumlahan kita memungkinkan kompleks deret Fourier, dan jika dalam penjumlahan kita memungkinkan bahwabahwa
sendiri dapat menjadi kompleks, kemudian kita dapatkan: sendiri dapat menjadi kompleks, kemudian kita dapatkan: (11.5)(11.5) Rata-rata Rata-rata daridari
(seluruh periode) (seluruh periode)∑∑
..Teorema Parseval juga disebut hubungan kesempurnaan. Pada Teorema Parseval juga disebut hubungan kesempurnaan. Pada permasalahan
permasalahan merepresentasikan merepresentasikan gelombang gelombang bunyi bunyi sebagai sebagai jumlahjumlah harmonik, andaikan kita meninggalkan satu harmonik deret. Ini mungkin harmonik, andaikan kita meninggalkan satu harmonik deret. Ini mungkin
benar
benar secara secara fisik, fisik, dan dan ini ini data data dibuktikan dibuktikan secara secara matematika, matematika, bahwabahwa dengan satu atau lebih harmonik dihilangkan, kita tidak dapat dengan satu atau lebih harmonik dihilangkan, kita tidak dapat merepresentasikan gelombang bunyi mengandung harmonik yang merepresentasikan gelombang bunyi mengandung harmonik yang dihilangkan. Kita katakana bahwa kumpulan fungsi
dihilangkan. Kita katakana bahwa kumpulan fungsi
adalah adalah sebuah aturan fungsi yang lengkap pada setiap interval dari panjang sebuah aturan fungsi yang lengkap pada setiap interval dari panjang
;; bahwa,bahwa, setiap setiap fungsi (fungsi ( memenuhi memenuhi kondisi kondisi Dirichlet) Dirichlet) dapat dapat diperluas diperluas dalamdalam sebuah seret Fourier yang polanya konstan waktu
sebuah seret Fourier yang polanya konstan waktu
dan dan
. Jika. Jika kita menghilangkan beberapa nilai dari n, kita tidak dapat melengkapi kita menghilangkan beberapa nilai dari n, kita tidak dapat melengkapi aturan fungsi dasar (lihat dasar, halaman 357) dan tidak dapat aturan fungsi dasar (lihat dasar, halaman 357) dan tidak dapat menggunakannya untuk memperluas beberapa fungsi yang diberikan. menggunakannya untuk memperluas beberapa fungsi yang diberikan. Sebagai contoh, misalnya kamu membuat kesalahan dalam menemukan Sebagai contoh, misalnya kamu membuat kesalahan dalam menemukan periode (yaitu,periode (yaitu, nilai l) nilai l) pada fupada fungsi yang kamu ngsi yang kamu berikan dan berikan dan mencoba untukmencoba untuk menggunakan aturan fungsi
menggunakan aturan fungsi
dalam memperluas fungsi dalam memperluas fungsi yang diberikan pada periodeyang diberikan pada periode
. Kamu mungkin akan mendapatkan. Kamu mungkin akan mendapatkan jawabanjawaban yang yang salah salah karena karena kamu kamu menggunakan menggunakan aturan aturan fungsi fungsi dasar dasar yangyang tak lengkap (dengan
tak lengkap (dengan
pola yang hilang). Jika pola yang hilang). Jika deret Fourier mu salah karena aturan fungsi dasar yang digunakan tak deret Fourier mu salah karena aturan fungsi dasar yang digunakan tak lengkap, kemudian hasil yang kamu peroleh dari teorema Parseval (11.4) lengkap, kemudian hasil yang kamu peroleh dari teorema Parseval (11.4) atau (11.5) akan salah juga. Pada kenyataannya, jika kita menggunakan atau (11.5) akan salah juga. Pada kenyataannya, jika kita menggunakan aturan dasar yang tak lengkap, misalnya (11.5), kamudian ada yang hilang aturan dasar yang tak lengkap, misalnya (11.5), kamudian ada yang hilang (tidak negatif) pola pada lain pihak, jadi persamaan menjadi tidak (tidak negatif) pola pada lain pihak, jadi persamaan menjadi tidak seimbang: rata-rata dariseimbang: rata-rata dari
∑∑
. Ini dikenal sebagai. Ini dikenal sebagai ketidakseimbangan Bessel. Sebaliknya, jika (11.4) dan (11.5) benar untuk ketidakseimbangan Bessel. Sebaliknya, jika (11.4) dan (11.5) benar untuk semuasemua
, kemudian aturan fungsi dasar yang digunakan aturan yang, kemudian aturan fungsi dasar yang digunakan aturan yang lengkap. Ini adalah alas an teorema Parseval sering disebut hubungan yang lengkap. Ini adalah alas an teorema Parseval sering disebut hubungan yang sempurna. (Lihat juga halaman 377 dan Bab 12, Bagian 6).sempurna. (Lihat juga halaman 377 dan Bab 12, Bagian 6).
Mari kita lihat beberapa contoh maksud secara fisik dan Mari kita lihat beberapa contoh maksud secara fisik dan penggun
penggunaan teorema Parseval.aan teorema Parseval. Contoh 1
Dalam Bagian 10 kita mengatakan bahwa intensitas (energi per Dalam Bagian 10 kita mengatakan bahwa intensitas (energi per sentimeter kuadrat per detik) gelombang suara sebanding dengan nilai rata sentimeter kuadrat per detik) gelombang suara sebanding dengan nilai rata --rata kuadrat dari tekanan berlebih. Jika untuk kesederhanaan kita menulis rata kuadrat dari tekanan berlebih. Jika untuk kesederhanaan kita menulis (10.3) dengan huruf bukan numeric nilai-nilai, k
(10.3) dengan huruf bukan numeric nilai-nilai, kita perolehita peroleh (11.6)
(11.6)
∑∑
Untuk kasus ini, Teorema Parseval (11.4) mengatakan bahwa: Untuk kasus ini, Teorema Parseval (11.4) mengatakan bahwa: (11.7)
(11.7)
∑∑
∑∑
Sekarang intensitas atau energi (per sentimeter kuadrat per detik) dari Sekarang intensitas atau energi (per sentimeter kuadrat per detik) dari gelombang bunyi sebanding dengan rata-rata [
gelombang bunyi sebanding dengan rata-rata [ p p (t)(t)]]22, dan energi yang, dan energi yang terkait dengan n harmonik sebanding dengan rata-rata
terkait dengan n harmonik sebanding dengan rata-rata
.. Dengan demikian, teorema Parseval mengatakan bahwa energi total Dengan demikian, teorema Parseval mengatakan bahwa energi total gelombang suara sama dengan jumlah energi terkait dengan berbagai gelombang suara sama dengan jumlah energi terkait dengan berbagai harmonik.harmonik. Contoh 2 Contoh 2
Mari kita gunakan Teorema Parseval untuk menemukan jumlah Mari kita gunakan Teorema Parseval untuk menemukan jumlah deret tak hingga. Dari Soal 8.15 (a) ditulis dalam bentuk eksponensial deret tak hingga. Dari Soal 8.15 (a) ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks yang kita dapatkan:
kompleks yang kita dapatkan:
Fungsi f (x) dari periode 2 yang sama dengan x pada (−1, 1)
Fungsi f (x) dari periode 2 yang sama dengan x pada (−1, 1)
Mari kita cari rata-rata dari
Mari kita cari rata-rata dari
pada (-1,1) pada (-1,1) Rata-rata dariRata-rata dari
∫∫
Dengan teorema (11.5), ini sebanding untuk
Dengan teorema (11.5), ini sebanding untuk
∑∑
, sehingga kita, sehingga kita perolehperoleh
Kemudian kita peroleh jumlah deretnya Kemudian kita peroleh jumlah deretnya
Kita telah melihat bahwa fungsi yang diberikan pada (0,
Kita telah melihat bahwa fungsi yang diberikan pada (0, l l ) dapat) dapat diperluas dalam seri sinus dengan mendefinisikannya (
diperluas dalam seri sinus dengan mendefinisikannya (−−l l , 0) untuk, 0) untuk membuatnya terpisah, atau dalam seri cosinus dengan mendefinisikannya membuatnya terpisah, atau dalam seri cosinus dengan mendefinisikannya ((−−l l , 0) untuk membuatnya seimbang. Berikut ini contoh lain yang berguna, 0) untuk membuatnya seimbang. Berikut ini contoh lain yang berguna untuk mendefinisikan fungsi yang sesuai dengan tujuan. (Kita akan untuk mendefinisikan fungsi yang sesuai dengan tujuan. (Kita akan membutuhkan ini di Bab 13.) Misalkan kita ingin memperluas fungsi membutuhkan ini di Bab 13.) Misalkan kita ingin memperluas fungsi didefinisikan pada (0, l) dalam pola fungsi dasar
didefinisikan pada (0, l) dalam pola fungsi dasar
. Bisa kita melakukannya, yaitu, apakah fungsi-fungsi ini. Bisa kita melakukannya, yaitu, apakah fungsi-fungsi ini membentuk satu set lengkap untuk masalah ini? Catatan bahwa fungsi membentuk satu set lengkap untuk masalah ini? Catatan bahwa fungsi dasar yang kami usulkan memiliki periode 4dasar yang kami usulkan memiliki periode 4l l
, , katakanlah katakanlah (−2(−2
l l , 2, 2l l ) (amati) (amati 22l l pada penyebut dimana kamu gunakan untuk pada penyebut dimana kamu gunakan untuk l l ). Jadi diberi f (x) pada (0,). Jadi diberi f (x) pada (0, l), kita dapat mendefinisikannya seperti pada
l), kita dapat mendefinisikannya seperti pada (l,(l, 2 2l l
) dan (−2) dan (−2
l l , 0). Kita tahu, 0). Kita tahu (oleh Teorema Dirichlet) bahwa berfungsi sin(oleh Teorema Dirichlet) bahwa berfungsi sin