4a_k1_deret Fourier Dan Tranformasi-1

(1)

DERET FOURIER DAN TRANFORMASI DERET FOURIER DAN TRANFORMASI 1.

1. PENDAHULUANPENDAHULUAN

Masalah yang melibatkan getaran atau osilasi sering terjadi dalam Masalah yang melibatkan getaran atau osilasi sering terjadi dalam fisika dan teknik. Seperti yang telah diketahui contoh

fisika dan teknik. Seperti yang telah diketahui contoh

–

contoh getaran dan contoh getaran dan osilasi tersebut, diantaranya : Garpu tala yang bergetar, sebuah pendulum, osilasi tersebut, diantaranya : Garpu tala yang bergetar, sebuah pendulum, beban

beban yang yang digantungkan digantungkan pada pada pegas, pegas, gelombang gelombang air, air, gelombang gelombang suara,suara, arus listrik bolak balik (AC), dan lain sebagainya. Selain itu, ada banyak arus listrik bolak balik (AC), dan lain sebagainya. Selain itu, ada banyak lagi

lagi contoh ycontoh yang bang bisa isa kita kita temui temui ketika mketika mempelajari ilempelajari ilmu mu fisika,fisika, diantaranya : Konduksi panas, medan listrik dan medan magnet, cahaya. diantaranya : Konduksi panas, medan listrik dan medan magnet, cahaya. Namun

Namun contoh contoh diatas diatas getaran getaran dan dan osilasi osilasi bukanlah bukanlah konsep konsep dasar dasar yangyang mendasari mereka, tetapi dalam pengerjaannya melibatkan persamaan mendasari mereka, tetapi dalam pengerjaannya melibatkan persamaan sinus dan cosinus yang digunakan dalam menggambarkan gerak harmonik sinus dan cosinus yang digunakan dalam menggambarkan gerak harmonik sederhana dan gerakan gelombang.

sederhana dan gerakan gelombang.

Dalam Bab 1 telah membahas mengenai penggunaan deret untuk Dalam Bab 1 telah membahas mengenai penggunaan deret untuk memperkirakan fungsi

memperkirakan fungsi

–

fungsi yang rumit. Dalam beberapa masalah, fungsi yang rumit. Dalam beberapa masalah, deret disebut juga deret fourier, yang memiliki istilah sinus dan cosinus deret disebut juga deret fourier, yang memiliki istilah sinus dan cosinus yang lebih sering digunakan daripada deret pangkat. Dalam bab ini kita yang lebih sering digunakan daripada deret pangkat. Dalam bab ini kita akan melihat bagaimana menemukan dan menggunakan deret fourier. akan melihat bagaimana menemukan dan menggunakan deret fourier. Kemudian di bab 13 ( Bagian 2 dan 4), kita akan mempertimbangkan Kemudian di bab 13 ( Bagian 2 dan 4), kita akan mempertimbangkan beberapa

beberapa masalah masalah fisika fisika yang yang yang yang berusaha berusaha dipecahkan dipecahkan Fourier Fourier ketikaketika telah ditemukan deret Fourier.

telah ditemukan deret Fourier.

Dikarenakan sinus dan cosinus adalah fungsi periodik, deret fourier Dikarenakan sinus dan cosinus adalah fungsi periodik, deret fourier hanya dapat mewakili fungsi periodik. Kita akan melihat pada bagian 12 hanya dapat mewakili fungsi periodik. Kita akan melihat pada bagian 12 bagaimana

bagaimana merepresentasikan merepresentasikan fungsi fungsi non non periodik periodik oleh oleh integral integral fourierfourier (Transformasi Fourier).

(2)

2.

2. GERAK GERAK HARMONIK HARMONIK SEDERHANA SEDERHANA DAN DAN GELOMBANGGELOMBANG BERGERAK : FUNGSI PERIODIK

BERGERAK : FUNGSI PERIODIK

Dalam masalah ini akan dibutuhkan banyak notasi dan terminologi Dalam masalah ini akan dibutuhkan banyak notasi dan terminologi yang digunakan dalam membahas gerak harmonik sederhana dan gerakan yang digunakan dalam membahas gerak harmonik sederhana dan gerakan gelombang. Dal

gelombang. Dalam materi ini akan dibam materi ini akan dibahas 2 topik ahas 2 topik ini secara singkat.ini secara singkat.

Sebuah partikel P (Gambar 2.1) bergerak dengan kecepatan Sebuah partikel P (Gambar 2.1) bergerak dengan kecepatan konstan disekitar lingkaran yang berjari

konstan disekitar lingkaran yang berjari

–

jari A. Saat yang sama ada jari A. Saat yang sama ada partikel Q

partikel Q bergerak naik bergerak naik turun turun sepanjang garsepanjang garis is lurus RS lurus RS pada lintasannya,pada lintasannya, sehingga koordinat

sehingga koordinat



dari P

dari P dan Q

dan Q selalu sama. Jika

selalu sama. Jika ω adalah

ω adalah kecepat

kecepatan

an

sudut P

sudut P dalam

dalam radian

radian per

per sekon

sekon dan

dan (gambar

(gambar

2.1) θ

2.1) θ =

= 0

0 ketika

ketika t =

t = 0

0

sampai dengan t. sampai dengan t.

(2.1)

θ = ωt

Koordinat y pada Q (merupakan koordinat yang sama dengan koordinat y Koordinat y pada Q (merupakan koordinat yang sama dengan koordinat y pada P) dapat dituliskan :

pada P) dapat dituliskan : (2.2)

(2.2)



Gerakan bolak balik Q disebut sebagai Gerakan Harmonik Sederhana. Gerakan bolak balik Q disebut sebagai Gerakan Harmonik Sederhana. Dari definisi telah diketahui, sebuah objek dikatakan sebagai gerakan Dari definisi telah diketahui, sebuah objek dikatakan sebagai gerakan harmonik sederhana jika perpindahannya dari kesetimbangan dapat harmonik sederhana jika perpindahannya dari kesetimbangan dapat disebut sebagai

disebut sebagai

 

[atau [atau

 

atau atau

 

  

. Tetapi. Tetapi kedua fungsi ini berbeda dari

(3)

fungsi sinusoidal]. Banyak contoh fisik yang daeri jenis getaran sederhana fungsi sinusoidal]. Banyak contoh fisik yang daeri jenis getaran sederhana ini : Pendulum, Garpu Tala, Beban yang naik turun (berosilasi) pada ujung ini : Pendulum, Garpu Tala, Beban yang naik turun (berosilasi) pada ujung pegas.

pegas.

Koordinat x dan y dari partikel P pada (Gambar 2.1) adalah : Koordinat x dan y dari partikel P pada (Gambar 2.1) adalah : (2.3)

(2.3)

  

,,

  

Jika menganggap P sebagai titik



dalam bidang kompleks, kita dalam bidang kompleks, kita dapat mengganti persamaan (2.3) dengan persamaan tunggal untuk dapat mengganti persamaan (2.3) dengan persamaan tunggal untuk menggambarkan gerakan P :

menggambarkan gerakan P : (2.4)

(2.4)

    



))





Seringkali bernilai ketika menggunakan menggunakan notasi yang Seringkali bernilai ketika menggunakan menggunakan notasi yang kompleks ini bahkan untuk menggambarkan gerakan Q, tetapi posisi kompleks ini bahkan untuk menggambarkan gerakan Q, tetapi posisi aktual Q sama dengan bagian imajiner dari z (atau dengan kondisi awal aktual Q sama dengan bagian imajiner dari z (atau dengan kondisi awal yang berbeda bagian sebenarnya dari z). Misalnya kecepatan Q adalah yang berbeda bagian sebenarnya dari z). Misalnya kecepatan Q adalah bagian imajiner dari :

bagian imajiner dari : (2.5)

(2.5)







((  



))  





[Bagian imajiner dari persamaa

[Bagian imajiner dari persamaan (2.5) adalahn (2.5) adalah

 

yang mana adalah yang mana adalah dy / dt dari persamaan (2.1)]

dy / dt dari persamaan (2.1)]

Gambar 2.2 Gambar 2.2

Sumber : Mary, L. Boas Sumber : Mary, L. Boas

Hal ini berguna untuk menggambar grafik x dan y pada persamaan (2.2) Hal ini berguna untuk menggambar grafik x dan y pada persamaan (2.2) dan (2.3) sebagai fungsi t. Gambar 2.2 merepresentasikan fungsi beberapa dan (2.3) sebagai fungsi t. Gambar 2.2 merepresentasikan fungsi beberapa fungsi,

(4)

benar.

benar. Angka Angka A dA disebut isebut sebagai sebagai amplitudo amplitudo getaran getaran atai atai amplitudo amplitudo fungsi.fungsi. Secara fisik ini adalah perpindahan Q maksimum dari posisi Secara fisik ini adalah perpindahan Q maksimum dari posisi kesetimbangannya. Periode gerakan harmonik sederhana atau periode kesetimbangannya. Periode gerakan harmonik sederhana atau periode fungsi adalah waktu untuk satu osilasi lengkap yaitu

fungsi adalah waktu untuk satu osilasi lengkap yaitu



(Lihat gambar (Lihat gambar 2.2).

2.2).

Dapat dituliskan

Dapat dituliskan kecepatan pada kecepatan pada Q dari persamaan (2.5Q dari persamaan (2.5) ) sebagai :sebagai : (2.6)

(2.6)





Disini nilai B adalah nilai maksimum kecepatan dan disebut sebagai Disini nilai B adalah nilai maksimum kecepatan dan disebut sebagai kecepatan amplitudo. Perhatikan bahwa kecepatan memiliki periode yang kecepatan amplitudo. Perhatikan bahwa kecepatan memiliki periode yang sama dengan perpindahan. Jika massa partikel Q adalah m, maka energi sama dengan perpindahan. Jika massa partikel Q adalah m, maka energi kinetiknya adalah :

kinetiknya adalah : (2.7)

(2.7) Energi Energi Kinetik Kinetik ==



   











 









Jika dipertimbangkan dengan sebuah osilator harminis yang ideal yang Jika dipertimbangkan dengan sebuah osilator harminis yang ideal yang tidak kehilangan energi. Maka total energi (kinetik plus potensial (EK + tidak kehilangan energi. Maka total energi (kinetik plus potensial (EK + EP)) harus sama dengan nilai terbesar kinetik yaitu : ½ mB

EP)) harus sama dengan nilai terbesar kinetik yaitu : ½ mB22. Sehingga. Sehingga diperoleh :

diperoleh : (2.8)

(2.8) Total Total EnergiEnergi





 



Perhatikn bahwa energinya sebanding dengan kuadrat amplitudo Perhatikn bahwa energinya sebanding dengan kuadrat amplitudo (kecepatan) : hasil ini akan digunakan ketika membahas tentang suara. (kecepatan) : hasil ini akan digunakan ketika membahas tentang suara.

Gelombang adalah contoh penting lain dari fenomena osilator. Ide Gelombang adalah contoh penting lain dari fenomena osilator. Ide matematika dari gerak gelombang dapat digunakan dalam banyak bidang, matematika dari gerak gelombang dapat digunakan dalam banyak bidang, misalnya : ketika mendiskusikan tentang gelombang air, gelombang suara, misalnya : ketika mendiskusikan tentang gelombang air, gelombang suara, dan gelombang radio.

dan gelombang radio. Contoh 1.

(5)

Pertimbangkan gelombang air dimana bentuk permukaan air (tidak Pertimbangkan gelombang air dimana bentuk permukaan air (tidak ideal) dengan kurva sinus. Jika kita mengambil foto (pada saat t = 0) dari ideal) dengan kurva sinus. Jika kita mengambil foto (pada saat t = 0) dari permukaan

permukaan air, air, persamaan persamaan ini ini dapat dapat ditulis ditulis ulang ulang (relativ (relativ terhadap terhadap sumbusumbu yang tepat)

yang tepat) (2.9)

(2.9)





Dimana x mewakili jarak horizontal dan ƛ adalah jarak antara puncak

gelombang. Biasanya ƛ

disebut panjang gelombang, tetapi secara disebut panjang gelombang, tetapi secara matematis itu sama dengan periode fungsi x ini. Sekarang kita mengambil matematis itu sama dengan periode fungsi x ini. Sekarang kita mengambil foto lain ketika gelombang telah bergerak maju jarak vt (v adalah foto lain ketika gelombang telah bergerak maju jarak vt (v adalah kecepatan gelombang dan t adalah waktu antara foto). Gambar 2.3 kecepatan gelombang dan t adalah waktu antara foto). Gambar 2.3 menunjukkan dua foto yang dilapiskan. Amati bahwa nilai y pada titik x menunjukkan dua foto yang dilapiskan. Amati bahwa nilai y pada titik x pada grafik berlabel t

pada grafik berlabel t, adalah sama de, adalah sama dengan nilai y pada tngan nilai y pada t itik ( xitik ( x

–

vt ) pada vt ) pada grafik berlabel t = 0. Jika (2.9) adalah persamaan menghadirkan grafik berlabel t = 0. Jika (2.9) adalah persamaan menghadirkan gelombang

gelombang di t = di t = 0, kem0, kemudian :udian :

Gambar 2.3 Gambar 2.3

Sumber : Mary, L. Boas Sumber : Mary, L. Boas (2.10)

(2.10)





 

Mewakili gelombang pada waktu t . lalu menafsirkan (2.10) dengan cara Mewakili gelombang pada waktu t . lalu menafsirkan (2.10) dengan cara lain, misalkan anda berdiri di satu titik di air [tetap x di (2.10)] dan lain, misalkan anda berdiri di satu titik di air [tetap x di (2.10)] dan mengamati gerakan naik turun air, yaitu y di (2.10) sebagai fungsi t (untuk mengamati gerakan naik turun air, yaitu y di (2.10) sebagai fungsi t (untuk x tetap). Ini adalah gerakan harmonik sederhana dari amplitudo A dan x tetap). Ini adalah gerakan harmonik sederhana dari amplitudo A dan

periode

periode ƛ

ƛ /

/ v.

v. kemu

kemudian

dian kamu

kamu melakukan

melakukan sesuatu

sesuatu anal

analogi

ogi dengan

dengan ini

ini

ketika anda berdiri diam dan mendengarkan suara (gelombang suara ketika anda berdiri diam dan mendengarkan suara (gelombang suara melewati telinga anda dan anda mengamati frekuensi mereka) atau ketika melewati telinga anda dan anda mengamati frekuensi mereka) atau ketika

(6)

anda mendengarkan radio (gelombang radio melewati penerima dan anda mendengarkan radio (gelombang radio melewati penerima dan bereaksi

bereaksi terhadap terhadap frekuensinya). frekuensinya). Terlihat Terlihat bahwa bahwa y y di (2.10) di (2.10) adalah adalah fungsifungsi periodik

periodik dari dari x x dengan dengan (t (t tetap) tetap) : : interpratasi interpratasi tersebut tersebut cukup cukup berguna.berguna. Nemun

Nemun tidak tidak ada ada perbedaan perbedaan dalam dalam matematika matematika dasar, dasar, ketika ketika kamikami menggunakan variabel bebas. Untuk menyederhanakan notasi, biasanya menggunakan variabel bebas. Untuk menyederhanakan notasi, biasanya digunakan x sebagai variabel, tetapi jika masalah yang ada merupakan digunakan x sebagai variabel, tetapi jika masalah yang ada merupakan kasus fisis, dapat mengubah variabel x dengan t.

kasus fisis, dapat mengubah variabel x dengan t.

Gambar 2.4 Gambar 2.4 Sumber : Mary, L.Boas Sumber : Mary, L.Boas

Sinus dan cosinus adalah fungdi periodik, setelah membuat grafik Sinus dan cosinus adalah fungdi periodik, setelah membuat grafik sin x dari x = 0 ke x = 2

sin x dari x = 0 ke x = 2



kemudian kemudian grafik grafik dari dari x x ==

  

 

hanyalah pengulangan berulang dari grafik 0 sampai 2 hanyalah pengulangan berulang dari grafik 0 sampai 2



pada pada nilainilai 2

2



merupakan periode dari sin x. Fungsi periodik tidak perlu sinus ataumerupakan periode dari sin x. Fungsi periodik tidak perlu sinus atau cosinus sederhana, tetapi bisa juga berupa grafik rumit yang berulang cosinus sederhana, tetapi bisa juga berupa grafik rumit yang berulang (gambar 2.4). interval pengulangan yang digunakan adalah periodenya. (gambar 2.4). interval pengulangan yang digunakan adalah periodenya. Contoh 2.

Contoh 2.

Jika dideskripsikan getaran pada pendulum sekon, periode nya Jika dideskripsikan getaran pada pendulum sekon, periode nya adalah 2 sekon ( waktu untuk satu osilasi maju dan mundur ). Kebalikan adalah 2 sekon ( waktu untuk satu osilasi maju dan mundur ). Kebalikan dari periode adalah ferkuensi, jumlah osilasi per sekon : untuk sebuah dari periode adalah ferkuensi, jumlah osilasi per sekon : untuk sebuah pendulum

pendulum sekon, sekon, frekuensinya frekuensinya adalah adalah ½ ½ secsec-1-1 . ketika penyiar radio . ketika penyiar radio

mengatakan, ―Beroperasi pada frekuensi 780 KiloHertz‖art

inya 780.000inya 780.000

gelombang radio menjangkau anda dalam per sekonnya, atau periode satu gelombang radio menjangkau anda dalam per sekonnya, atau periode satu gelombang (1 / 780.000) sekon.

gelombang (1 / 780.000) sekon.

Menurut definisi, fungsi f(x) bersifat periodik jika f(x+p) = f(x) Menurut definisi, fungsi f(x) bersifat periodik jika f(x+p) = f(x) untuk setiap x , sedangkan p merupakan periode. Periode sin x adalah untuk setiap x , sedangkan p merupakan periode. Periode sin x adalah



sejak sin (x + 2

(7)

2



= sin (2 = sin (2



= sin 2 = sin 2



dan periode dari sin (dan periode dari sin (



  

sejak sin ( sejak sin (



(x + 2(x + 2

 

) = sin () = sin (



secara umum periode secara umum periode sin

sin



adalah T. adalah T. 3.

3. APLIKASI DARI DERET FOURIERAPLIKASI DARI DERET FOURIER

Kami telah mengatakan bahwa getaran garpu tala adalah contoh Kami telah mengatakan bahwa getaran garpu tala adalah contoh gerak harmonik sederhana. Ketika kita mendengar not musik yang gerak harmonik sederhana. Ketika kita mendengar not musik yang dihasilkan, kita mengatakan bahwa ada gelombang suara melewati udara dihasilkan, kita mengatakan bahwa ada gelombang suara melewati udara dari garpu tala ke telinga kita. Saat garpu tala itu bergetar mendorong dari garpu tala ke telinga kita. Saat garpu tala itu bergetar mendorong terhadap molekul udara, menciptakan wilayah bergantian tinggi dan terhadap molekul udara, menciptakan wilayah bergantian tinggi dan rendah

rendah

tekanan (Gambar 3.1). jika kita mengukur tekanan sebagai fungsi dari x tekanan (Gambar 3.1). jika kita mengukur tekanan sebagai fungsi dari x dan t dari garpu tala kepada kita, kita menemukan bahwa tekanan adalah dan t dari garpu tala kepada kita, kita menemukan bahwa tekanan adalah bentuk

bentuk (2.10); (2.10); jika jika kita kita mengukur mengukur di di mana mana kita kita sebagai sebagai t t sebagasebagaii gelombang berlalu, kita menemukan bahwa tekanan adalah fungsi t gelombang berlalu, kita menemukan bahwa tekanan adalah fungsi t periodik.

periodik. gelombang gelombang bunyi bunyi adalah adalah gelombang gelombang sinus sinus murni murni dari dari frekuensifrekuensi tertentu (dalam bahasa musik, nada murni). sekarang anggaplah bahwa tertentu (dalam bahasa musik, nada murni). sekarang anggaplah bahwa beberapa

beberapa nada nada murni murni terdengar terdengar bersamaan. bersamaan. dalam dalam gelombang gelombang bunyi bunyi yangyang dihasilkan, tekanan tidak akan menjadi fungsi sinus tunggal tetapi jumlah dihasilkan, tekanan tidak akan menjadi fungsi sinus tunggal tetapi jumlah dari beberapa fungsi sinus. jika Anda menekan tombol piano Anda tidak dari beberapa fungsi sinus. jika Anda menekan tombol piano Anda tidak mendapatkan gelombang suara hanya satu frekuensi. sebagai gantinya, mendapatkan gelombang suara hanya satu frekuensi. sebagai gantinya, Anda mendapatkan fundamental disertai dengan sejumlah nada (harmonis) Anda mendapatkan fundamental disertai dengan sejumlah nada (harmonis) dari frekuensi 2, 3, 4,. . ., kali frekuensi fundamental. frekuensi yang lebih dari frekuensi 2, 3, 4,. . ., kali frekuensi fundamental. frekuensi yang lebih tinggi berarti periode yang lebih singkat. Jika sin dan wt sesuai dengan tinggi berarti periode yang lebih singkat. Jika sin dan wt sesuai dengan frekuensi dasar, maka sin nwt dan cos nwt sesuai dengan harmonik yang frekuensi dasar, maka sin nwt dan cos nwt sesuai dengan harmonik yang

(8)

lebih tinggi. kombinasi fundamental dan harmonik adalah fungsi periodik lebih tinggi. kombinasi fundamental dan harmonik adalah fungsi periodik yang rumit dengan periode fundamental (masalah 5). memberikan fungsi yang rumit dengan periode fundamental (masalah 5). memberikan fungsi yang rumit, kita bisa bertanya bagaimana menulisnya sebagai jumlah dari yang rumit, kita bisa bertanya bagaimana menulisnya sebagai jumlah dari istilah yang sesuai dengan berbagai harmonik. secara umum mungkin istilah yang sesuai dengan berbagai harmonik. secara umum mungkin membutuhkan semua harmonik, yaitu serangkaian istilah tak terbatas. ini membutuhkan semua harmonik, yaitu serangkaian istilah tak terbatas. ini disebut deret Fourier. mengembangkan fungsi dalam deret empat deret disebut deret Fourier. mengembangkan fungsi dalam deret empat deret kemudian memecahnya menjadi berbagai harmoniknya. sebenarnya, kemudian memecahnya menjadi berbagai harmoniknya. sebenarnya, proses ini kadang-kadang disebut anali

proses ini kadang-kadang disebut analisis harmonik.sis harmonik.

Ada aplikasi ke bidang lain selain suara. Gelombang radio, cahaya Ada aplikasi ke bidang lain selain suara. Gelombang radio, cahaya tampak, dan x rays adalah contoh dari sejenis gerakan gelombang di mana tampak, dan x rays adalah contoh dari sejenis gerakan gelombang di mana "gelombang" bersesuaian ke berbagai medan listrik dan magnetik. Persis "gelombang" bersesuaian ke berbagai medan listrik dan magnetik. Persis persamaan

persamaan matematis matematis yang sama yang sama berlaku seperberlaku seperti uti untuk gentuk gelombang air lombang air dandan gelombang

gelombang suara. Ksuara. Kami kemuami kemudian bertanya dian bertanya apa frekuensi apa frekuensi cahaya cahaya (ini(ini sesuai dengan warna) berada dalam cahaya yang diberikan dan dalam sesuai dengan warna) berada dalam cahaya yang diberikan dan dalam proporsi

proporsi apa. apa. Untuk Untuk menemukan menemukan jawabannya, jawabannya, kami kami akan akan memperluasmemperluas fungsi yang diberikan menggambarkan gelombang dalam Deret Fourier. fungsi yang diberikan menggambarkan gelombang dalam Deret Fourier.

Anda mungkin telah melihat kurva sinus yang digunakan untuk Anda mungkin telah melihat kurva sinus yang digunakan untuk mewakili arus bolak-balik (a-c) atau tegangan listrik. Ini adalah fungsi mewakili arus bolak-balik (a-c) atau tegangan listrik. Ini adalah fungsi periodik,

periodik, tetapi tetapi begitu begitu juga juga fungsinya fungsinya ditunjukkan ditunjukkan pada pada Gambar Gambar 3.2.3.2. Semua ini dan banyak lainnya mungkin mewakili sinyal (voltase) atau Semua ini dan banyak lainnya mungkin mewakili sinyal (voltase) atau arus) yang akan diterapkan ke sirkuit listrik. Lalu kita bisa bert

(9)

apa a-c frekuensi (harmonik) membuat sinyal yang diberikan dan dalam apa a-c frekuensi (harmonik) membuat sinyal yang diberikan dan dalam proporsi

proporsi apa. apa. Ketika Ketika sinyal sinyal listrik listrik dilewatkan dilewatkan melalui melalui jaringan jaringan (misalnya(misalnya radio), beberapa dari harmonik mungkin hilang. Jika sebagian besar yang radio), beberapa dari harmonik mungkin hilang. Jika sebagian besar yang penting

penting berhasil berhasil melewati melewati mereka mereka intensitas intensitas relatif relatif dilestarikan, dilestarikan, kamikami mengatakan bahwa radio memiliki "kesetiaan yang tinggi". Untuk mencari mengatakan bahwa radio memiliki "kesetiaan yang tinggi". Untuk mencari tahu harmonik mana yang penting dalam sinyal yang diberikan, kita tahu harmonik mana yang penting dalam sinyal yang diberikan, kita perluasnya

perluasnya deret deret Fourier. Fourier. Istilah Istilah seri seri dengan dengan koefisien koefisien besar besar kemudiankemudian mewakili harmonik penting (frekuensi).

mewakili harmonik penting (frekuensi).

Karena sinus dan cosinus sendiri bersifat periodik, tampaknya Karena sinus dan cosinus sendiri bersifat periodik, tampaknya lebih alami untuk digunakan serangkaian dari mereka, daripada seri daya, lebih alami untuk digunakan serangkaian dari mereka, daripada seri daya, untuk mewakili fungsi periodik. Ada alasan penting lainnya. Koefisien untuk mewakili fungsi periodik. Ada alasan penting lainnya. Koefisien dari serangkaian daya diperoleh, Anda akan ingat (Bab 1, Bagian 12), dari serangkaian daya diperoleh, Anda akan ingat (Bab 1, Bagian 12), dengan menemukan turunan berturut-turut dari fungsi yang sedang dengan menemukan turunan berturut-turut dari fungsi yang sedang diperluas; akibatnya, hanya fungsi kontinyu dengan turunan dari semua diperluas; akibatnya, hanya fungsi kontinyu dengan turunan dari semua pesanan

pesanan bisa bisa diperluas diperluas dalam dalam seri seri daya. daya. Banyak Banyak fungsi fungsi periodik periodik dalamdalam praktik t

praktik tidak berlanjut idak berlanjut atau atau tidak tidak berbeda (Gambar berbeda (Gambar 3.2). Unt3.2). Untungnyungnya, dereta, deret Fourier (tidak seperti seri daya) dapat mewakili fungsi atau fungsi terputus Fourier (tidak seperti seri daya) dapat mewakili fungsi atau fungsi terputus yang grafiknya memiliki sudut. Di sisi lain, deret Fourier biasanya tidak yang grafiknya memiliki sudut. Di sisi lain, deret Fourier biasanya tidak menyatu secepat deret daya dan lebih banyak perhatian diperlukan dalam menyatu secepat deret daya dan lebih banyak perhatian diperlukan dalam memanipulasi mereka. Misalnya, seri daya dapat berbeda istilah demi memanipulasi mereka. Misalnya, seri daya dapat berbeda istilah demi istilah (Bab 1, Bagian 11), tetapi berbeda-beda Istilah deret Fourier dengan istilah (Bab 1, Bagian 11), tetapi berbeda-beda Istilah deret Fourier dengan istilah terkadang menghasilkan seri yang tidak menyatu. (Lihat akhir istilah terkadang menghasilkan seri yang tidak menyatu. (Lihat akhir Bagian 9.)

Bagian 9.)

Masalah kami kemudian adalah memperluas fungsi periodik yang Masalah kami kemudian adalah memperluas fungsi periodik yang diberikan dalam serangkaian sinus dan cosinus. Kami akan mengambil ini diberikan dalam serangkaian sinus dan cosinus. Kami akan mengambil ini di Bagian 5 setelah melakukan beberapa pekerjaan awal.

di Bagian 5 setelah melakukan beberapa pekerjaan awal. 4.

4. NILAI RATA-RATA FUNGSINILAI RATA-RATA FUNGSI

Konsep nilai rata-rata dari suatu fungsi sering berguna. Anda tahu Konsep nilai rata-rata dari suatu fungsi sering berguna. Anda tahu cara menemukannya rata-rata satu set angka: Anda menambahkannya dan cara menemukannya rata-rata satu set angka: Anda menambahkannya dan membagi dengan jumlah angka.

(10)

Proses ini menunjukkan bahwa kita harus mendapatkan perkiraan Proses ini menunjukkan bahwa kita harus mendapatkan perkiraan untuk nilai rata-rata dari fungsi f (x) pada interval (a, b) dengan rata-rata untuk nilai rata-rata dari fungsi f (x) pada interval (a, b) dengan rata-rata sejumlah nilai f (x) (Gambar 4.1):

sejumlah nilai f (x) (Gambar 4.1): (4.1 ) Rata-rata f (x) pada (a,

(4.1 ) Rata-rata f (x) pada (a, b) kira-kira sama denganb) kira-kira sama dengan

 







_

 

 





Ini harus menjadi pendekatan yang lebih baik karena n meningkat. Ini harus menjadi pendekatan yang lebih baik karena n meningkat. Biarkan poin

Biarkan poin











menjadi terpisah. Kalikan pembilang dan penyebutmenjadi terpisah. Kalikan pembilang dan penyebut perkiraan

rata- perkiraan rata-

rata oleh ∆x.Lalu (4.1) me

njadi:njadi: (4.2) Rata-rata f (x) pada (

(4.2) Rata-rata f (x) pada (a, b) kira-kira sama dengana, b) kira-kira sama dengan

  



 

 

_{ }



  

Sekarang



, panjang interval yang kita gunakan rata-, panjang interval yang kita gunakan rata-rata, tidak masalah apa n dan

rata, tidak masalah apa n dan



. Jika kita membiarkan. Jika kita membiarkan

    

dan dan

 

, pembilang mendekati sebuah, pembilang mendekati sebuah

∫∫    



dan kami punya dan kami punya (4.3)

(4.3)

     



∫∫ 





Dalam aplikasi, dapat terjadi bahwa nilai rata-rata dari fungsi yang Dalam aplikasi, dapat terjadi bahwa nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan adalah nol.

diberikan adalah nol. Contoh 1

(11)

Rata-rata sinx selama beberapa periode adalah nol. Nilai rata-rata Rata-rata sinx selama beberapa periode adalah nol. Nilai rata-rata dari kecepatan osilator harmonik sederhana atas sejumlah getaran adalah dari kecepatan osilator harmonik sederhana atas sejumlah getaran adalah nol. Dalam kasus seperti itu, rata

nol. Dalam kasus seperti itu, rata-rata kuadrat fungsi mungkin menarik.-rata kuadrat fungsi mungkin menarik. Contoh 2

Contoh 2

Jika arus listrik bolak-balik mengalir melalui kawat digambarkan Jika arus listrik bolak-balik mengalir melalui kawat digambarkan oleh fungsi sinus, akar kuadrat dari rata-rata sinus kuadrat dikenal sebagai oleh fungsi sinus, akar kuadrat dari rata-rata sinus kuadrat dikenal sebagai root-mean-square atau nilai efektif dari arus, dan apa yang akan Anda ukur root-mean-square atau nilai efektif dari arus, dan apa yang akan Anda ukur dengan ammeter a-c. Dalam contoh osilator harmonik sederhana, rata-rata dengan ammeter a-c. Dalam contoh osilator harmonik sederhana, rata-rata energi kinetik (rata-rata dari

energi kinetik (rata-rata dari



   





adalah adalah



 

kali rata-rata dari kali rata-rata dari







Sekarang Anda dapat, tentu saja, menemukan nilai rata-rata







selama suatu periode (misalnya



sampaisampai



) dengan mengevaluasi) dengan mengevaluasi integral dalam (4.3). Ada cara yang lebih mudah. Lihatlah grafik

integral dalam (4.3). Ada cara yang lebih mudah. Lihatlah grafik







dan







(Gambar 4.2). Anda mungkin bisa meyakinkan diri sendiri (Gambar 4.2). Anda mungkin bisa meyakinkan diri sendiri bahwa daerah tersebut.

bahwa daerah tersebut.

Dibawah itu adalah sama untuk beberapa titik bagian dari 0 ke Dibawah itu adalah sama untuk beberapa titik bagian dari 0 ke



..



ke ke



dll. (lihat masalah 2 dan 13). Lalu dll. (lihat masalah 2 dan 13). Lalu (4.4)

(4.4)

∫∫ 





   ∫∫ 





 

Dengan cara yang sama (untuk integral n



(4.5)

∫∫ 





   ∫∫ 





 

Tapi, karena

(12)

(4.6)

∫∫ 









   ∫∫ 





Dari (4.5), kita dapatkan;

Dari (4.5), kita dapatkan; (4.7)

(4.7)

∫∫ 





   ∫∫ 





 



Dengan menggun

Dengan menggunakan (4.3) kita lihat akan (4.3) kita lihat dari;dari; Nilai rata-r

Nilai rata-rata (lebih dari perata (lebih dari per iode) dariiode) dari







= nilai rata-rata (lebih dari = nilai rata-rata (lebih dari periode) dari

periode) dari







==



∫∫ 





  



∫∫ 





 









Kita dapat katakan semua lebih mudah. Dari (4.5), nilai rata-rata Kita dapat katakan semua lebih mudah. Dari (4.5), nilai rata-rata dari

dari







sama dengan nilai rata-rata dari sama dengan nilai rata-rata dari







. Nilai rata-rata dari. Nilai rata-rata dari











adalah 1. Oleh karena itu, nilai rata-rata dari adalah 1. Oleh karena itu, nilai rata-rata dari







atau dari atau dari







adalah adalah



. (di setiap keadaan nilai rata-rata. (di setiap keadaan nilai rata-rata akibatnya satu yang lebih atau lebih banyak lagi periode)

akibatnya satu yang lebih atau lebih banyak lagi periode) 5.

5. KOEFISIEN FOURIER KOEFISIEN FOURIER

Kita ingin mengekspansi sebuah fungsi perodik di sebuah deret Kita ingin mengekspansi sebuah fungsi perodik di sebuah deret dari sinus dan kosinus. lebih sederhananya, kita mulai dengan fungsi dari dari sinus dan kosinus. lebih sederhananya, kita mulai dengan fungsi dari periode

periode 22



; dari ini, kita akan mengekspansi fungsi dari periode 2; dari ini, kita akan mengekspansi fungsi dari periode 2



didi hubungkan pada fungsi

hubungkan pada fungsi

  



. (selanjutnya kita akan lihat. (selanjutnya kita akan lihat bagaimana

bagaimana kita kita dapat dapat mengubmengubah ah rumus rumus ke ke periode periode yang yang berbeda- berbeda- lihatlihat subbab 8). Fungsi

subbab 8). Fungsi



 

mempunyai periode 2 mempunyai periode 2



; lalu; lalu

  



untuk integral untuk integral nn karenakarena

 



(itu benar dari sin nx dan cos nx juga mempunyai periode (itu benar dari sin nx dan cos nx juga mempunyai periode lebih pendek, dinamakan

lebih pendek, dinamakan



, tapi fakta mereka berulang-ulang tiap, tapi fakta mereka berulang-ulang tiap



adalah

adalah apa yapa yang ang kami kami Tarik Tarik disini, disini, untuk untuk membuat membuat ini, ini, fungsifungsi menggunakan expansi pada fungsi dari periode

menggunakan expansi pada fungsi dari periode



) lalu, fungsi) lalu, fungsi f(x) f(x) dari dari periode

periode



, kita tulis;, kita tulis; (5.1)

(5.1)

 











  













(13)

Dan mendapat rumus untuk koefisien





 





(karena untuk (karena untuk penulisan

penulisan







sebagai konstan maka akan jelas selanjutnya sebagai konstan maka akan jelas selanjutnya

–

itu membuat itu membuat rumus untuk koefisien mudah diingat ---- tapi kamu tidak boleh lupa rumus untuk koefisien mudah diingat ---- tapi kamu tidak boleh lupa



didi deret!)

deret!)

Di temukan rumus untuk





 



di (5.1) kita harus mengkitu di (5.1) kita harus mengkitu integral berikut;

integral berikut; (5.2a)

(5.2a) Nilai Nilai rata-ratrata-rata a daridari



(lebih dari periode) (lebih dari periode)

     







(5.2b)

(5.2b) Nilai Nilai rata-ratrata-rata a daridari



(lebih dari periode) (lebih dari periode) =

=



∫∫     



 



 

 



(5.2c)

(5.2c) Nilai Nilai rata-ratrata-rata a daridari



(lebih dari periode) (lebih dari periode) =

=



∫∫  



   

 



 

 



Persamaan diatas memberi makna bahwa nilai rata-rata dalam 1 Persamaan diatas memberi makna bahwa nilai rata-rata dalam 1 periode

periode dari dari fungsifungsi





 





adalah adalah





Persamaan 5.2b dapatPersamaan 5.2b dapat dibuktikan dengan mengubah fungsi sinus atau kosinus menjadi dibuktikan dengan mengubah fungsi sinus atau kosinus menjadi eksponensial kompleks. Perhatikan langkah berikut:

eksponensial kompleks. Perhatikan langkah berikut: (5.3)

(5.3)

∫∫     



∫∫



























Bilangan eksponensial kompleks itu dapat disederhanakan menjadi Bilangan eksponensial kompleks itu dapat disederhanakan menjadi





, dimana k bilangan bulat, dimana k bilangan bulat



, sehingga bentuk integral itu dapat, sehingga bentuk integral itu dapat diubah menjadi;

diubah menjadi; (5.4)

(5.4)

∫∫ 











(14)

Karena











(karena (karena



Di integral Di integral lain di (5.2) mungkin akan dievaluasi dengan cara yang sama (masalah lain di (5.2) mungkin akan dievaluasi dengan cara yang sama (masalah 12). 12). (5.5) (5.5)



∫∫  





_{ }



∫∫ 





_{ }

∫∫  



 





 

∫∫ 



 



 

∫∫   



Dari (5.2), semua integral pada suku sebelah kanan dari (5.5) Dari (5.2), semua integral pada suku sebelah kanan dari (5.5) adalah nol, kecuali suku pertamanya, karena integral dari

adalah nol, kecuali suku pertamanya, karena integral dari



atau dari



dari n = 0 dan m dari n = 0 dan m



(m(m



. Kita akan. Kita akan mendapatkan; mendapatkan;

  







  













(5.6) (5.6)









∫∫  



Mengingat

 

akan diperjelas dalam deret Fourier, dapat mengevaluasiakan diperjelas dalam deret Fourier, dapat mengevaluasi dengan m

dengan menghitung inenghitung integral dalam persamaan tegral dalam persamaan (5.6).(5.6). Untuk menemukan

Untuk menemukan





, gandakan kedua sisi dari persamaan (5.1), gandakan kedua sisi dari persamaan (5.1) dengan

dengan



dan untuk menemukan nilai rata-rata setiap persamaan : dan untuk menemukan nilai rata-rata setiap persamaan : (5.7)

(5.7)



∫∫    





_{ }



∫∫   



  

 

 

∫∫    



   





∫∫  



 

  

_{ }

∫∫   





Pada Persamaan ini (5.2), untuk semua persamaan bagian kanan adalah 0 Pada Persamaan ini (5.2), untuk semua persamaan bagian kanan adalah 0 kecuali pada

kecuali pada







∫∫ 



 

 



 

∫∫ 





  







Menyelesaikan untuk

(15)





    

_



metode ini dapat diperjelas , jadi kita selanjutnya akan menemukan rumus metode ini dapat diperjelas , jadi kita selanjutnya akan menemukan rumus umum untuk

umum untuk





..

Gandakan kedua sisi pada persamaan (5.1) dengan



dan untukdan untuk menemukan

menemukan nilai nilai rata-rrata-rata setiata setiap persamaan ap persamaan :: (5.8)

(5.8)



∫∫    





_{ }



∫∫ 



 

 

 

∫∫   



  



 

∫∫   



  

 

∫∫     



    



dengan persamaan (5.2) pada semua persamaan dengan bagian kanan dengan persamaan (5.2) pada semua persamaan dengan bagian kanan adalah 0 kecuali

adalah 0 kecuali





, dan , dan



∫∫      



 

∫∫ 





   







Untuk menyelesaikan





, kita memiliki , kita memiliki (5.9)

(5.9)









∫∫   



 

Perhatikan bahwa rumus n = 0, tetapi karena







konstant. konstant. untuk mendapatkan

untuk mendapatkan





untuk, kita mengalikan kedua sisi pada untuk, kita mengalikan kedua sisi pada persamaan (

persamaan (5.1) 5.1) dengandengan



dan mengambil nilai rata-rata seperti yangdan mengambil nilai rata-rata seperti yang kita lakukan dalam menurunkan persamaan (5.9)

kita lakukan dalam menurunkan persamaan (5.9) (5.10)

(5.10)









∫∫   



 

Pada persamaan (5.9) dan (5.10) akan digunakan berulang kali dalam Pada persamaan (5.9) dan (5.10) akan digunakan berulang kali dalam masalah dan harus diingat.

(16)

Contoh 1 Contoh 1

Mengembangkan

Mengembangkan dalam dalam deret emderet empat dengan pat dengan fungsi fungsi deretderet

 

sketsa pada gambar 5.1. Fungsi ini dapat mewakili, misalnya, pulsa sketsa pada gambar 5.1. Fungsi ini dapat mewakili, misalnya, pulsa tegangan periodik. Istilah deret Fourier kami akan sesuai dengan frekuensi tegangan periodik. Istilah deret Fourier kami akan sesuai dengan frekuensi a-c yang berbeda yang digabungkan dalam tegangan "gelombang persegi" a-c yang berbeda yang digabungkan dalam tegangan "gelombang persegi" ini, dan besarnya koefisien Fourier akan menunjukkan kepentingan relatif ini, dan besarnya koefisien Fourier akan menunjukkan kepentingan relatif dari kepentingan relatif dari berbagai frekuensi.

dari kepentingan relatif dari berbagai frekuensi.

Perhatikan bahwa

 

adalah fungsi dari periode adalah fungsi dari periode



. Sering. Sering dalam masalah akan diberikan hanya untuk satu periode; anda harus selalu dalam masalah akan diberikan hanya untuk satu periode; anda harus selalu membuat sketsa beberapa periode agar anda melihat dengan jelas fungsi membuat sketsa beberapa periode agar anda melihat dengan jelas fungsi periodik

periodik yang yang sedang sedang anda anda kembangkan. kembangkan. Misalnya Misalnya dalam dalam masalah masalah iniini sketsa y

sketsa yang ang telah telah diberikandiberikan (5.11)

(5.11)

  ,,





    

Kemudian dipahami bahwa

 

hal itu harus berlanjut secara periodikhal itu harus berlanjut secara periodik dengan periode di luar interval (

dengan periode di luar interval (



..

Kita menggunakan persamaan (5.9) dan (5.10) untuk menemukan Kita menggunakan persamaan (5.9) dan (5.10) untuk menemukan





dandan





::





            

_



_



_





= =



∫∫   

   









||



   



 

  



(17)

Demikian







, dan, dan







..





            

_



_



_





= =



∫∫   





**





++



  











= =



   



  

 



Menempatkan nilai ini untuk koefisien (5.1) Menempatkan nilai ini untuk koefisien (5.1) (5.12)

(5.12)

 





















  



Contoh 2

Kita sekarang dapat menemukan deret Fourier untuk beberapa Kita sekarang dapat menemukan deret Fourier untuk beberapa fungsi lain tanpa evaluasi koefisien yang lebih banyak. Misalnya, fungsi lain tanpa evaluasi koefisien yang lebih banyak. Misalnya, pertimbangkan

pertimbangkan (5.13)

(5.13)

 ,,



  

 

Sketsa ini dan verifikasi bahwa

    

dimanadimana

 

merupakan fungsi dari persamaan 1. Kemudian dari (5.12), Deret series merupakan fungsi dari persamaan 1. Kemudian dari (5.12), Deret series untuk

untuk



adalah adalah (5.14)

(5.14)



















  





Demikian pula, verifikasi

 

 





pada gambar 5.1 Mengubah pada gambar 5.1 Mengubah



ke kiri (Gambar ini), dan deret fourier merupakan (menggantikan ke kiri (Gambar ini), dan deret fourier merupakan (menggantikan



pada persamaan (5.12) dengan( pada persamaan (5.12) dengan(





) )

   

  



(18)

6.

6. SYARAT DIRICHLETSYARAT DIRICHLET

Jika kita mempunyai sebuah deret, tetapi masih ada beberapa Jika kita mempunyai sebuah deret, tetapi masih ada beberapa pertanyaan

pertanyaan yang yang kita kita harus harus dapatkan dapatkan jawabannya. jawabannya. Apakah Apakah deret deret ituitu konvergen ?dan jika iya apakah deret itu konvergen dengan nilai f(x)? Jika konvergen ?dan jika iya apakah deret itu konvergen dengan nilai f(x)? Jika kita cob

kita coba, baha, bahwa untuk wa untuk nilai x nilai x paling banypaling banyak ak dari deret 5.12 dari deret 5.12 tidaktidak memberikan jawaban dari beberapa tes untuk kekonvergenan (yang telah memberikan jawaban dari beberapa tes untuk kekonvergenan (yang telah di diskusikan di

di diskusikan di bab 1). Abab 1). Apakah pakah jumlah deret di xjumlah deret di x=0 dimana f(x) l=0 dimana f(x) lompatompat dari 0 ke 1? Hal ini dapat dilihat dari deret 5.12 bahwa jumlah pada x=0 dari 0 ke 1? Hal ini dapat dilihat dari deret 5.12 bahwa jumlah pada x=0 adalah

adalah

 ⁄⁄

, tetapi apa yang harus dilakukan dengan f(x)?, tetapi apa yang harus dilakukan dengan f(x)? Pertanyaan itu bisa dijawab dengan teorema dirichlet,

Pertanyaan itu bisa dijawab dengan teorema dirichlet, yaiyaitu :tu :

Untuk lebih memahaminya, kita mempertimbangkan beberapa Untuk lebih memahaminya, kita mempertimbangkan beberapa fungsi

fungsi tertentu. Kita stertentu. Kita sudah berdiskusi udah berdiskusi apa yangdimaksapa yangdimaksud dengan fud dengan fungsiungsi periodic. Sebuah

periodic. Sebuah fungsi f(x) fungsi f(x) adalah adalah nilai tunggal nilai tunggal jika jika hanya ada hanya ada satu satu nilainilai dari f(x) untuk setiap x.

dari f(x) untuk setiap x. Contoh :

Contoh : Jika

Jika











, y bukan fungsi nilai tunggal dari x, kecuali jika kita , y bukan fungsi nilai tunggal dari x, kecuali jika kita memilih hanya

memilih hanya

√ √ 



atau hanya atau hanya

√ √ 



..

Contoh lain untuk sebuah fungsi dengan bilangan tak hingga dari Contoh lain untuk sebuah fungsi dengan bilangan tak hingga dari maksimum dan minimum adalah

maksimum dan minimum adalah

 ⁄⁄

, dimana osilasi secara tak, dimana osilasi secara tak hingga berkali-kali ketika

hingga berkali-kali ketika



. Jika kita bayangkan sebuah fungsi. Jika kita bayangkan sebuah fungsi dibentuk dari sin(1/x) dengan membuat

dibentuk dari sin(1/x) dengan membuat

 

untuk setiap x dimana untuk setiap x dimana Jika f(x) adalah periodic dari

Jika f(x) adalah periodic dari



 periode, dan jika diatara periode, dan jika diatara



 dan dan  adalah nilai tunggal, mempunyai nilai terbatas dari nilai minimum adalah nilai tunggal, mempunyai nilai terbatas dari nilai minimum dan maksimum, dan nilai batas dari diskontinuitas dan jika dan maksimum, dan nilai batas dari diskontinuitas dan jika

∫∫ 



__  







 terhingga, kemudian deret fourier pada 5.1 dengan terhingga, kemudian deret fourier pada 5.1 dengan koefisien yang diberikan oleh 5.9 dan 5.10 konvergen de

koefisien yang diberikan oleh 5.9 dan 5.10 konvergen de ngan f(x) dingan f(x) di semua titik dimana f(x) kontinu; pada kenaikan deret fourier semua titik dimana f(x) kontinu; pada kenaikan deret fourier konvergen menuju titik tengah kenaikannya itu. (ini termasuk konvergen menuju titik tengah kenaikannya itu. (ini termasuk kenaikan yang terjadi pada

(19)

(( ))

, dan f(x), dan f(x)

  

= -1 untuk setiap x dimana= -1 untuk setiap x dimana

(( ))

, fungsi ini akan mempunyai bilangan takhingga dari, fungsi ini akan mempunyai bilangan takhingga dari kontinuitas. Saat ini banyak fungsi dalam pekerjaan terapan tidak berlaku kontinuitas. Saat ini banyak fungsi dalam pekerjaan terapan tidak berlaku seperti ini, tetapi akan memenuhi syarat dirichelet.

seperti ini, tetapi akan memenuhi syarat dirichelet. Maka, jika y=1/x :

Maka, jika y=1/x :

  





 











Jadi, fungsi 1/x dikesampingkan oleh syarat dirichelet. Disisilain jika Jadi, fungsi 1/x dikesampingkan oleh syarat dirichelet. Disisilain jika

 

 

maka : maka :

   





 √ √ √ √ √ √ 





Jadi, fungsi periodic dimana



 

Antara Antara

––

dandan



bisa diperluas dalan bisa diperluas dalan sebuah deret fourier. Dalam banyak kasus tidak perlu untuk menemukan sebuah deret fourier. Dalam banyak kasus tidak perlu untuk menemukan nilai dari

nilai dari

∫∫   



. Jika. Jika

 

dibatasi (semua nilainya terletak antara dibatasi (semua nilainya terletak antara

±±

untuk beberapa konstanta M positif) maka: untuk beberapa konstanta M positif) maka:

(20)

dan begitu juga untuk yang terbatas. Dengan demikian Anda dapat dengan dan begitu juga untuk yang terbatas. Dengan demikian Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa fungsi yang Anda pertimbangkan dibatasi mudah memverifikasi bahwa fungsi yang Anda pertimbangkan dibatasi (jika ada) daripada mengevaluasi integralnya. Gambar 6.1 adalah contoh (jika ada) daripada mengevaluasi integralnya. Gambar 6.1 adalah contoh

(berlebihan!) Dari fungsi yang memenuhi kondisi Dirichlet pada (−π, π).

Kami melihat, kemudian, daripada menguji deret Fourier untuk Kami melihat, kemudian, daripada menguji deret Fourier untuk konvergensi seperti yang kami lakukan seri daya, kami malah memeriksa konvergensi seperti yang kami lakukan seri daya, kami malah memeriksa fungsi yang diberikan; jika memenuhi kondisi Dirichlet kami kemudian fungsi yang diberikan; jika memenuhi kondisi Dirichlet kami kemudian yakin bahwa deret Fourier, ketika kami mendapatkannya, akan menyatu yakin bahwa deret Fourier, ketika kami mendapatkannya, akan menyatu fungsi pada titik kontinuitas dan ke titik tengah lompatan. Sebagai contoh, fungsi pada titik kontinuitas dan ke titik tengah lompatan. Sebagai contoh,

pertimbangk

pertimbangkan

an fungsi

fungsi f

f (x)

(x) pada

pada Gambar

Gambar 5.1.

5.1. Antara

Antara −π

−π dan

dan π

π yang

yang

diberikan f (x) bernilai tunggal (satu nilai untuk setiap x), dibatasi (antara diberikan f (x) bernilai tunggal (satu nilai untuk setiap x), dibatasi (antara +1 dan 0), memiliki nilai yang terbatas jumlah nilai maksimum dan +1 dan 0), memiliki nilai yang terbatas jumlah nilai maksimum dan minimum (satu dari masing-masing), dan sejumlah terbatas diskontinuitas minimum (satu dari masing-masing), dan sejumlah terbatas diskontinuitas

(pada −π, 0, dan π), dan karena itu memenuhi

kondisi Dirichlet. Teoremakondisi Dirichlet. Teorema Dirichlet kemudian meyakinkan kita bahwa seri (5.12) sebenarnya Dirichlet kemudian meyakinkan kita bahwa seri (5.12) sebenarnya menyatu dengan fungsi f (x) pada Gambar 5.1 pada semua titik kecuali x = menyatu dengan fungsi f (x) pada Gambar 5.1 pada semua titik kecuali x =

nπ di mana ia menyatu menjadi 1/2.

Di Bab 3, Bagian 10 dan 14, kami mendefinisikan dasar untuk 3 Di Bab 3, Bagian 10 dan 14, kami mendefinisikan dasar untuk 3 dimensi biasa ruang sebagai seperangkat vektor independen linear (seperti dimensi biasa ruang sebagai seperangkat vektor independen linear (seperti i, j, k) dalam hal yang kita bisa tulis setiap vektor di angkasa. Kami i, j, k) dalam hal yang kita bisa tulis setiap vektor di angkasa. Kami kemudian memperluas ide ini menjadi n-dimensi ruang dan ruang di mana kemudian memperluas ide ini menjadi n-dimensi ruang dan ruang di mana vektor basis berfungsi. Dengan analogi, kami katakan di sini bahwa fungsi vektor basis berfungsi. Dengan analogi, kami katakan di sini bahwa fungsi sin nx, cosnx adalah seperangkat fungsi dasar untuk (dimensi tak terbatas) sin nx, cosnx adalah seperangkat fungsi dasar untuk (dimensi tak terbatas) ruang dari semua fungsi (kondisi Dirichlet memuaskan) didefinisikan pada ruang dari semua fungsi (kondisi Dirichlet memuaskan) didefinisikan pada

(−π, π) atau interval 2π. (Juga lihat "kelengkapan hubungan" di Bagian

11. 11.

Dan untuk lebih lanjut contoh seperangkat fungsi dasar semacam itu, lihat Dan untuk lebih lanjut contoh seperangkat fungsi dasar semacam itu, lihat Bab 12 dan 13.)

(21)

Sangat menarik untuk melihat grafik dari jumlah sejumlah besar Sangat menarik untuk melihat grafik dari jumlah sejumlah besar istilah Fourier seri. Gambar 6.2 menunjukkan beberapa jumlah parsial istilah Fourier seri. Gambar 6.2 menunjukkan beberapa jumlah parsial yang berbeda dari seri di (5.12) untuk berfungsi pada Gambar 5.1. Kita yang berbeda dari seri di (5.12) untuk berfungsi pada Gambar 5.1. Kita dapat melihat bahwa jumlah dari banyak istilah dari seri ini erat mendekati dapat melihat bahwa jumlah dari banyak istilah dari seri ini erat mendekati fungsi menjauh dari lompatan dan melewati titik tengah dari lompatan. fungsi menjauh dari lompatan dan melewati titik tengah dari lompatan. The "overshoot" di kedua sisi komentar melompat. Itu benar tidak hilang The "overshoot" di kedua sisi komentar melompat. Itu benar tidak hilang karena kami menambahkan lebih banyak dan lebih banyak hal dari seri. Itu karena kami menambahkan lebih banyak dan lebih banyak hal dari seri. Itu hanya menjadi lonjakan sempit dan sempit tinggi sama dengan sekitar 9% hanya menjadi lonjakan sempit dan sempit tinggi sama dengan sekitar 9% dari lompatan. Fakta ini disebut fenomena Gibbs.

dari lompatan. Fakta ini disebut fenomena Gibbs.

Kita harus mengatakan di sini bahwa kebalikan dari teorema Kita harus mengatakan di sini bahwa kebalikan dari teorema Dirichlet tidak

Dirichlet tidak benar benar jika jika suatu fungsi suatu fungsi gagal untuk mgagal untuk memenuhi konemenuhi kondisidisi Dirichlet, itu masih dapat diperluas dalam Deret Fourier. Fungsi periodik Dirichlet, itu masih dapat diperluas dalam Deret Fourier. Fungsi periodik

yang merupakan dosa (1 / x) pada (−π, π) adalah contoh dari fungsi seperti

itu. Namun, fungsi-fungsi seperti itu jarang dipenuhi dalam praktiknya. itu. Namun, fungsi-fungsi seperti itu jarang dipenuhi dalam praktiknya. Contoh:

Contoh:

Deret Fourier dapat berguna dalam menjumlahkan seri numerik. Deret Fourier dapat berguna dalam menjumlahkan seri numerik. Lihatlah Soal 5.2 (buat sketsa). Dari teorema Dirichlet, kita melihat bahwa Lihatlah Soal 5.2 (buat sketsa). Dari teorema Dirichlet, kita melihat bahwa deret Fourier menyatu 1/2 pada x = 0. Biarkan x = 0 dalam deret Fourier deret Fourier menyatu 1/2 pada x = 0. Biarkan x = 0 dalam deret Fourier

  

Mulai dari sin 0 = 0 dan cos 0

(22)



7.

7. BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIERBENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER

Ingat bahwa sinus dan cosinus dapat diekspresikan dalam bentuk Ingat bahwa sinus dan cosinus dapat diekspresikan dalam bentuk eksponensial kompleks [Bab 2, (11.3)]

eksponensial kompleks [Bab 2, (11.3)] (7.1)

(7.1)













,,













Jika kita mengganti persamaan (7.1) ke dalam deret Fourier seperti Jika kita mengganti persamaan (7.1) ke dalam deret Fourier seperti

(5.12), kita mendapatkan serangkaian istilah bentuk einx dan e − inx. Ini

adalah bentuk kompleks dari deret Fourier. Kita juga dapat menemukan adalah bentuk kompleks dari deret Fourier. Kita juga dapat menemukan bentuk

bentuk kompleks kompleks secara secara langsung; langsung; ini ini seringkali seringkali lebih lebih mudah mudah daripadadaripada menemukan sinecosine bentuk. Kami kemudian dapat, jika kami suka, menemukan sinecosine bentuk. Kami kemudian dapat, jika kami suka, kembali bekerja dengan cara lain dan [menggunakan Euler rumus, Bab 2, kembali bekerja dengan cara lain dan [menggunakan Euler rumus, Bab 2, (9.3)] mendapatkan bentuk sinus-kosinus dari bentuk eksponensial. Kami (9.3)] mendapatkan bentuk sinus-kosinus dari bentuk eksponensial. Kami ingin melihat bagaimana menemukan koefisien dalam bentuk kompleks ingin melihat bagaimana menemukan koefisien dalam bentuk kompleks secara langsung. Kita asumsikan seri

secara langsung. Kita asumsikan seri (7.2)

(7.2)

 





































    



_







dan coba temukan cn. Dari (5.4) kita tahu bahwa nilai rata-rata eikx pada dan coba temukan cn. Dari (5.4) kita tahu bahwa nilai rata-rata eikx pada

(−π, π) adalah nol saat k adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan

nol. Untuk menemukan c0, kita menemukan nilai rata-rata istilah dalam nol. Untuk menemukan c0, kita menemukan nilai rata-rata istilah dalam (7.2): (7.2): (7.3) (7.3)