TRANSFORMASI FOURIER FRAKSIONAL QUATERNION SISI KANAN
RIGHT SIDE of FRACTIONAL QUATERNION FOURIER TRANSFORM
Nani Sukartini Sangkala, Mawardi Bahri, Amir Kamal Amir Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin
Alamat korespondensi:
Nani Sukartini Sangkala Jurusan Matematika Fakultas MIPA
Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 HP : 085255570344
Email : arhabuhum06shadran@yahoo.co.id
Abstrak
Transformasi Fourier (TF) merupakan teori matematika yang dikembangkan untuk mengatasi kerumitan analisis sinyal non periodik, Transformasi Fourier Fraksional (TFF), Transformasi Fourier Quaternion(TFQ) dan Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ) adalah pengembangan dari TF. Penelitian ini bertujuan untuk membangun definisi dan merumuskan sifat-sifat transformasi khususnya TFFQ sisi kanan. Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ), merupakan pengembangan dari teori TFF dan aljabar quaternion.
Quaternion merupakan perluasan bilangan kompleks dalam bentuk empat dimensi dan perkaliannya bersifat nonkomutatif. Metode penelitian dilakukan dengan mengkaji materi-materi yang berkaitan dengan sifat-sifat TFFQ seperti sifat-sifat dasar Transformasi Fourier. Kemudian mengkaji karakteristik dari sifat-sifat transformasi. Sifat-sifat dasarnya yaitu linearitas, translasi, modulasi dan differensiasi. Setiap fungsi dari sifat- sifat tersebut dioperasikan dengan kernel yang telah diberikan. Perumusan sifat-sifat ini dilakukan dengan teknik manipulasi aljabar dan memperhatikan sifat-sifat integral. Sehingga diperoleh rumusan transformasi dari setiap sifat-sifat. Berdasarkan hasil penelitian, disimpulkan bahwa sifat-sifat TFFQ similar dengan sifat-sifat TFF. Hal ini disebabkan karena kernel dari kedua transformasi ini memiliki kesamaan, sehingga mempengaruhi karakterisik dari sifat-sifatnya.
Kata kunci:Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ), Transformasi Fourier Fraksional (TFF), Transformasi Fourier (TF), aljabar quaternion
Abstract
Fourier Transform (TF) is a mathematical theory that was developed to overcome the complexity of the analysis of non-periodic signals. Fractional Fourier transform (TFF), Quaternion Fourier Transformation (TFQ) and Fractional Fourier transform Quaternion (TFFQ) is the development of TF. This study aims to establish definitions and formulate transformation properties TFFQ especially the right side. Fractional Fourier transform Quaternion (TFFQ), is a development of the theory of TFF and quaternion algebra. Quaternion is an extension of complex numbers in the form of four-dimensional and its multiplication non komutatif. The method of research is done by reviewing materials related to properties such TFFQ basic properties of the Fourier Transform. Then examines the characteristics of the properties of the transformation. The properties are essentially linearity, translation, modulation and differentiation. Every function of the properties operated by the kernel that has been given. The formulation of these properties is done by algebraic manipulation techniques and rule of integration. In order to obtain the transformation formula of any nature. Based on the research results, it was concluded that TFFQ properties similar to the properties of the TFF. This is because the kernel of this transformation both have in common, so the influence of the characteristics of its properties.
Key word: Fractional Quaternion Fourier Transform (FQFT), Fractional Fourier Transform (FFT), Fourier
Transform (FT), quaternion algebra.
PENDAHULUAN
Transformasi Fourier (TF) merupakan teori matematika yang pertama kali ditemukan oleh seorang matematikawan Joseph Fourier. Kerumitan Analisis sinyal non periodik dan kemudahan analisis sinyal di domain frekwensi adalah beberapa faktor yang melatar belakangi teori transformasi ini dikembangkan ke bentuk-bentuk transformasi integral lainnya, antara lain Transformasi Fourier Fraksional (TFF), Transformasi Fourier Quaternion(TFQ) dan Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ).
Seiring berkembangnya teori dan aplikasi TF di bidang analisis signal, ternyata para analis di bidang ini menganggap TF belum dapat memenuhi kebutuhan analisis signal (Guanlei, 2008). Kemudian teori TF dikembangkan oleh Namias pada tahun 1980, yang dikenal dengan nama Transformasi Fourier Fraksional (TFF). TFF merupakan generalisasi dari TF. Sifat-sifat dasar pada TFF merujuk pada sifat-sifat dasar TF. Teori TFF telah dikembangkan dalam penelitian matematika oleh Guanlei, dkk., (2009) dan Sharma (2013). Teori TFF kemudian diaplikasikan untuk memenuhi kebutuhan di bidang analisis signal.
Setelah TF dikembangkan menjadi TFF, Ell (1993) membangun konsep baru dengan memadukan teori TF dengan aljabar Quaternion. . Quaternion merupakan perluasan bilangan kompleks dalam bentuk empat dimensi dan perkaliannya bersifat nonkomutatif (Morais, dkk., 2010). Perpaduan dua konsep ini dikenal dengan bentuk Transformasi Fourier Quaternion (TFQ). Konsep TFQ yang pertamakali diperkenalkan olehnya adalah TFQ dua sisi. Sifat non- komutatif pada operasi perkalian quaternion, menyebabkan TFQ terbagi menjadi tiga tipe yaitu TFQ tipe I (dua sisi), TFQ tipe II (sisi kiri) dan TFQ tipe III (sisi kanan). Sifat-sifat TFQ sisi kanan dan konvolusi juga telah dikembangkan oleh Hitzer (2007) dan Resnawati (2013) sedangkan prinsip ketidakpastian TFQ dikembangkan oleh Bahri, dkk., (2008). Adapun aplikasi TFQ dalam pengolahan citra telah dikembangkan oleh Assefa, dkk., (2009).
Teori TF dinilai masih bisa dikembangkan ke bentuk transformasi yang lain, selain bentuk
TFF dan TFQ. Berbeda dengan Ell yang memadukan antara TF dan aljabar quaternion,
Guanlei, dkk., (2008) menemukan ide baru dengan memadukan teori TFF dengan aljabar
quaternion. Mereka menjadi orang pertama yang mendefinisikan bentuk Transformasi
Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ) dua sisi. Kemudian Deyun dan Yuanmin (2013)
mendefinisikan bentuk TFFQ sisi kanan, berdasarkan bentuk TFQ tipe III. Peneltian ini
bertujuan untuk membangun definisi dan merumuskan sifat-sifat TFFQ sisi kanan.
METODE PENELITIAN
Lokasi dan Rancangan Penelitian
Penelitian ini bertempat di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin.
Rancangan penelitian ini berbentuk penelitian kualitatif dengan melakukan studi kepustakaan, dengan mengumpulkan dan mengkaji materi-materi yang berkaitan dengan sifat-sifat aljabar Quaternion, TF dan TFF.
Analisis Data
Penelitian dilakukan dengan melalui tahapan pertama yaitu membangun definisi TFFQ sisi kanan. Setelah definisi TFFQ dibangun, maka sifat-sifat TFFQ mulai dirumuskan dengan menggunakan definisi TFFQ. Sifat-sifat dasar TF seperti linearitas, translasi, modulasi dan skala (Asmar., 2000) menjadi dasar untuk merumuskan sifat-sifat TFFQ.
HASIL PENELITIAN
Bentuk TFFQ sisi kanan yang diperoleh adalah sebagai berikut.
Definisi 1 (TFFQ)
Untuk beberapa sinyal Quaternion
0 1 2 3 0 1 2 3
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , , ,
f x y f x y i f x y j f x y k f x y f f f f R
Transformasi Fourier Fraksional Quaternion satu sisi dari f x y ( , ) L R H
2(
2; ) adalah F
,( , ) u v :
,
, ,
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
F
u v f x y K
x u K
y v dxdy
(1.1)
dimana
2 2
2 2
(( )/ 2tan ( /sin )) ,
((y )/2 tan ( /sin )) ,
1 cot
( , )
2
1 cot
( , )
2
x u xu
v yv
K x u e
K y v e
Teorema 1. (Linearitas)
Jika f x y ( , ) f x y
1( , ) f x y
2( , ) untuk beberapa konstanta real dan , maka:
1 2
, , ,