cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
Bab 6
Deret Fourier dan Transformasi Fourier
6.1 Fungsi Periodik
Suatu fungsi dikatakan periodik jika nilai fungsi tersebut berulang untuk selang besaran tertentu. Secara definisi, dapat dikatakan bahwa suatu fungsi f (x) disebut periodik jika f (x + p) = f (x) untuk setiap x; bilangan p disebut sebagai perioda. Misalnya fungsi f (x) = sin x periodanya adalah 2π karena sin(x + 2π) = sin x. Secara umum diperoleh perioda dari fungsi sin 2πx
T
adalah T .
Gerak benda yang dinyatakan dalam gerak harmonik sederhana (sim- ple harmonic motion) dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus ataupun fungsi cosinus. Telah diuraikan disinggung sebelumnya bahwa bilangan kom- pleks (diagram Argand) dapat juga digunakan untuk menyatakan posisi ben- da. Hubungan antara penulisan bilangan kompleks dengan sinus dan cosinus juga telah dibahas pada BAB V, yaitu yang dapat dituiskan dalam bentuk
z = x + iy = A(cos ωt + sin ωt) = Ae iωt (6.1)
6.2 Nilai Rata-rata suatu Fungsi
Konsep nilai rata-rata suatu fungsi serupa dengan konsep rata-rata suatu kumpulan bilangan. Bila terdapat sekumpulan bilangan, maka nilai rata-rat bilangan tersebut adalah diperoleh dengan menjumlahkan bilangan-bilangan tersebut kemudian membaginya dengan banyaknya bilangan yang dijumlahk- an. Demikian halnya dengan rata-rata suatu fungsi f (x). Misalkan ingin
117
dicari rata-rata suatu fungsi f (x) dalam selang interval antara x = a sampai x = b. Rata-rata tersebut dapat diperoleh dengan menjumlahkan nilai fungsi f (x) di setiap nilai x kemudian membaginya dengan banyaknya x. Seperti halnya konsep integral sebagai penjumlahan strip-strip di bawah suatu fungsi sebagaimana yang telah di bahas pada BAB IV, maka penjumlahan fung- si dalam konsep rata-rata juga dinyatakan dalam bentuk integral. Dengan demikian rata-rata suatu fungsi f (x) pada interval [a, b] dapat dinyatakan sebagai
hf (x)i [a,b] = Z b
a
f (x)dx
b − a (6.2)
Tinjau dua buah fungsi yang dinyatakan dengan f (x) = sin 2 x dan g(x) = cos 2 x. Nilai rata-rata fungsi ini untuk interval [−π, π] (satu periode) adalah
sin 2 x
[−π,π] = 1 2π
Z π
− π
sin 2 x dx cos 2 x
[−π,π] = 1 2π
Z π
− π
cos 2 x dx
Kemudian bila keduanya dijumlah, maka akan dapat dinyatakan sin 2 x
[−π,π] + cos 2 x
[−π,π] = 1 2π
Z π
− π
(sin 2 x + cos 2 x) dx = 1
Karena luas daerah di bawah kurva sin 2 x dan cos 2 x untuk interval [−π, π]
adalah sama, berarti dapat diperoleh bahwa sin 2 x
[−π,π] = hcos 2 xi [−π,π] . Dengan demikian dapat dinyatakan
sin 2 x
[−π,π] = cos 2 x
[−π,π] = 1
2 (6.3)
Hal yang sama juga berlaku untuk sin 2 nx dan cos 2 nx sin 2 nx
[−π,π] = cos 2 nx
[−π,π] = 1
2 (6.4)
6.3 Koefisien Fourier
Tinjau suatu fungsi periodik yang merupakan superposisi dari fungsi-fungsi harmonik sinus dan cosinus dalam bentuk
f (x) = 1
2 a 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x + a 3 cos 3x + . . . + b 1 sin x + b 2 sin 2x + b 3 sin 3x + . . .
(6.5)
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
6.3 Koefisien Fourier 119
Karena sin nx dan cos nx mempunyai perioda sebesar 2π, maka berarti fung- si f (x) tersebut juga mempunyai perioda sebesar 2π. Kemudian dengan mengingat beberapa hubungan berikut ini
hsin mx cos nxi [−π,π] = 1 2π
Z π
− π
sin mx cos nx dx = 0 (6.6)
hsin mx sin nxi [−π,π] = 1 2π
Z π
− π
sin mx sin nx dx
=
0, m 6= n
1
2 , m = n 6= 0 0, m = n = 0
(6.7)
hcos mx cos nxi [−π,π] = 1 2π
Z π
− π
cos mx cos nx dx
=
0, m 6= n
1
2 , m = n 6= 0 1, m = n = 0
(6.8)
Bila f (x) pada persamaan 6.5 dikalikan dengan 1
2π kemudian diintegralkan pada interval [−π, π] maka akan diperoleh
1 2π
Z π
− π
f (x) dx = a 0
2 1 2π
Z π
− π
dx + a 1
1 2π
Z π
− π
cos x dx + a 2
1 2π
Z π
− π
cos 2x dx + . . . + b 1
1 2π
Z π
− π
sin x dx + . . . yang memberikan
1 2π
Z π
− π
f (x) dx = a 0
2 =⇒ a 0 = 1 π
Z π
− π
f (x) dx (6.9) Kemudian koefisien a 1 dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi f (x) de- ngan 1
2π cos x lalu mengintegralkannya dalam interval [−π, π]
1 2π
Z π
− π
f (x) cos x dx = a 0
2 1 2π
Z π
− π
cos x dx + a 1
1 2π
Z π
− π
cos 2 x dx + a 2
1 2π
Z π
− π
cos 2x cos x dx + . . . + b 1
1 2π
Z π
− π
sin x cos x dx + . . .
dan dengan menggunakan persamaan 6.6 - 6.8, maka akan diperoleh 1
2π Z π
− π
f (x) cos x dx = a 1
1 2π
Z π
− π
cos 2 x dx = a 1
2 atau
a 1 = 1 π
Z π
− π
f (x) cos x dx
Cara yang sama dapat dilakukan untuk memperoleh koefisien a n lainnya, yang secara umum memberikan
a n = 1 π
Z π
− π
f (x) cos nx dx (6.10)
Selanjutnya bila fungsi f (x) tersebut di atas dikalikan dengan 1
2π sin x dan kemudian mengintegralkannya pada interval [−π, π] maka akan diperoleh ko- efisien b n dengan cara yang sama yaitu yang dapat dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut
b n = 1 π
Z π
− π
f (x) sin nx dx (6.11)
Dengan cara seperti yang dijelaskan di atas, maka suatu fungsi periodik dapat diuraikan (dieskpansikan) ke dalam suatu deret sinus cosinus yang dikenal sebagai deret Fourier.
Contoh
Suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f (x) =
( 0, −π < x < 0, 1, 0 < x < π, uraikanlah fungsi f (x) tersebut dalam deret Fourier.
Untuk mengekspansikan fungsi tersebut berarti harus dicari koefisien a n dan
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
6.4 Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks 121
b n yang bersesuaian dengan menggunakan persamaan 6.10 dan 6.11.
a n = 1 π
Z π
− π
f (x) cos nx dx
= 1 π
Z 0
− π
0 · cos nxdx + Z π
0
1 · cos nxdx
= 1 π
Z π 0
cos nxdx
=
( 0, untuk n 6= 0, 1, untuk n = 0
b n = 1 π
Z π
− π
f (x) sin nx dx
= 1 π
Z 0
− π
0 · sin nxdx + Z π
0
1 · sin nxdx
= 1 π
Z π 0
sin nxdx
=
0, untuk n genap, 2
nπ , untuk n ganjil Dengan demikian diperoleh
f (x) = 1 2 + 2
π
sin x
1 + sin 3x
3 + sin 5x 5 + . . .
Uraian deret Fourier dari fungsi f (x) untuk n = 3, 9 dan 15 ditunjukkan dalam Gambar 6.1.
Terlihat bahwa semakin banyak n yang digunakan, uraian deret Fourier akan semakin mendekati fungsi yang dimaksud.
6.4 Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks
Dalam pembahasan tentang bilangan kompleks, telah diuraikan bahwa fungsi sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan kompleks yaitu
sin nx = e inx − e − inx
2i , cos nx = e inx + e − inx
2 (6.12)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-4 -2 0 2 4
n= 3 n = 9 n= 15
Gambar 6.1: Uraian deret Fourier dari fungsi f (x) untuk n = 3, 9 dan 15.
Dengan demikian berarti deret Fourier dapat pula dinyatakan dalam bentuk fungsi kompleks.
f (x) = c 0 + c 1 e ix + c − 1 e − ix + c 2 e 2ix + c − 2 e − 2ix + . . .
=
n=+∞
X
n=−∞
c n e inx (6.13)
Tinjau kembali persamaan 6.5 f (x) = 1
2 a 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x + a 3 cos 3x + . . . + b 1 sin x + b 2 sin 2x + b 3 sin 3x + . . .
= a 0
2 + a 1
e ix + e − ix 2
+ a 2
e 2ix + e − 2ix 2
+ . . . + b 1
e ix − e − ix 2i
+ b 2
e 2ix − e − 2ix 2i
+ . . . Sehingga dapat dituliskan dalam bentuk
f (x) = c 0 + c 1 e ix + c − 1 e − ix + c 2 e 2ix + c − 2 e − 2ix + c 3 e 3ix + c − 3 e − 3ix + . . .
=
n=+∞
X
n=−∞
c n e inx
(6.14)
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
6.4 Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks 123
Untuk memperoleh koefisien c n cara yang sama juga dilakukan sebagaimana ketika menentukan koefisien a n dan b n . Perhatikan integral berikut ini
Z π
− π
e ikx dx = e ikx ik
π
− π = e ikπ − e − ikπ
ik = 0 (6.15)
Dengan demikian bila fungsi f (x) dikalikan dengan 1
2π kemudian diintegralk- an dari x = −π hingga x = π, maka akan diperoleh
1 2π
Z π
− π
f (x)dx = c 0 =⇒ c 0 = 1 2π
Z π
− π
f (x)dx
Selanjutnya bila fungsi f (x) tersebut dikalikan dengan e − inx kemudian diin- tegralkan dari x = −π hingga x = π, maka akan diperoleh
1 2π
Z π
− π
f (x)e − inx dx = c 0
1 2π
Z π
− π
e − inx dx + c 1
1 2π
Z π
− π
e − inx e ix dx + c − 1
1 2π
Z π
− π
e − inx e − ix dx + . . . yang memberikan nilai untuk koefisien c n yaitu
c n = 1 2π
Z π
− π
f (x)e − inx dx (6.16)
Uraian deret Fourier di atas adalah untuk fungsi dengan periode sebesar 2π dengan interval [−π, π]. Fungsi dengan periode 2π namun dengan interval lainnya yaitu misalnya [0, 2π] juga mempunyai bentuk ungkapan koefisien a n , b n dan c n yang sama, hanya berbeda pada batas integralnya, yaitu
a n = 1 π
Z 2π 0
f (x) cos nx dx (6.17)
b n = 1 π
Z 2π 0
f (x) sin nx dx (6.18)
c n = 1 2π
Z 2π 0
f (x)e − inx dx (6.19)
Bagaimana halnya dengan uraian untuk fungsi yang periodanya tidak sama dengan 2π tapi misalkan 2l (baik dalam interval [−l, l] ataupun [0, 2l])?
Untuk mendapatkan ungkapan koefisien deret Fourier dalam bentuk yang lebih umum tersebut perhatikanlah bahwa fungsi sin nπx
l
mempunyai pe- rioda sebesar 2l, yang dapat ditunjukkan dengan
sin nπ
l (x + 2l)
= sin nπx
l + 2nπ
= sin nπx l
Demikian juga halnya dengan fungsi cos nπx l
dan e inπx/l yang mempunyai perioda sebesar 2l. Dengan demikian f (x) dalam persamaan 6.5 diuraikan menggunakan fungsi sinus dan cosinus yang mempunyai perioda 2l sehingga menjadi
f (x) = 1
2 a 0 + a 1 cos πx
l + a 2 cos 2πx
l + a 3 cos 3πx l + . . . + b 1 sin πx
l + b 2 sin 2πx
l + b 3 sin 3πx l + . . .
(6.20)
Demikian juga f (x) pada persamaan 6.13 dapat dituliskan dalam bentuk f (x) = c 0 + c 1 e iπx/l + c − 1 e − iπx/l + c 2 e 2iπx/l + c − 2 e − 2iπx/l + . . .
=
n=+∞
X
n=−∞
c n e inπx/l (6.21)
Kemudian dengan menggunakan beberapa persamaan sebagaimana persa- maan 6.6 − 6.8, namun dengan perioda dan interval yang berbeda
1 2l
Z l
− l
sin mπx
l cos nπx
l dx = 0 (6.22)
1 2l
Z l
− l
sin mπx
l sin nπx l dx =
0, m 6= n
1
2 , m = n 6= 0 0, m = n = 0
(6.23)
1 2l
Z l
− l
cos mπx
l cos nπx
l dx =
0, m 6= n
1
2 , m = n 6= 0 1, m = n = 0
(6.24)
Selanjutnya dengan proses yang sama sebagaimana ketika mendapatkan koefisien- koefisien Fourier di atas, maka akan diperoleh (untuk interval [−l, l])
a n = 1 l
Z l
− l
f (x) cos nπx l dx b n = 1
l Z l
− l
f (x) sin nπx l dx c n = 1
2l Z l
− l
f (x)e − inπx/l dx
(6.25)
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
6.4 Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks 125
sedangkan untuk interval [0, 2l] dapat dinyatakan a n = 1
l Z 2l
0
f (x) cos nπx l dx b n = 1
l Z 2l
0
f (x) sin nπx l dx c n = 1
2l Z 2l
0
f (x)e − inπx/l dx
(6.26)
Contoh
Ekspansikan fungsi berikut f (x) =
( 0, 0 < x < l, 1, l < x < 2l, dalam deret Fourier.
Fungsi tersebut didefinisikan dalam interval [0, 2l], bila digunakan koefisi- en c n maka dapat dinyatakan
c n = 1 2l
Z 2l 0
f (x)e − inπx/l dx
= 1 2l
Z l 0
0 · e − inπx/l dx + 1 2l
Z 2l l
1 · e − inπx/l dx
= 1 2l
Z 2l l
e − inπx/l dx = 1 2l
e − inπx/l
−inπ/l
2l
l = (e − 2inπ − e − inπ )
−2inπ
=
0, n genap 6= 0
− 1
inπ , n ganjil dan juga
c 0 = 1 2l
Z 2l l
f (x)dx = 1 2 Dengan demikian diperoleh
f (x) = 1 2 − 1
iπ
e iπx/l − e − iπx/l + 1
3 e 3iπx/l − 1
3 e − 3iπx/l + . . .
= 1 2 − 2
π
sin πx
l + 1
3 sin 3πx l + . . .
Plot uraian Fourier fungsi tersebut untuk l = 1 ditunjukkan dalam gambar
6.2.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
n = 3 n = 7 n = 17
Gambar 6.2: Uraian deret Fourier dari fungsi f (x) untuk n = 3, 7 dan 17 dengan l = 1.
6.5 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Suatu fungsi f (x) dikatakan sebagai fungsi genap jika f (−x) = f (x). Misal- nya adalah f (x) = x 2 , f (x) = cos x dan lain sebagainya. Sedangkan suatu fungsi f (x) dikatakan sebagai fungsi ganjil jika f (−x) = −f (x). Contoh fungsi ganjil adalah f (x) = x, f (x) = sin x, f (x) = x 3 dan lain sebagainya.
Secara grafis fungsi genap ditandai dengan kesimetrian terhadap sumbu verti- kal sedangkan fungsi ganjil ditandai dengan kesimetrian terhadap titik pusat koordinat. Dengan sifat kesimetrian fungsi genap dan fungsi ganjil tersebut, maka dapat dituliskan bahwa
Z l
− l
f (x) dx =
2
Z l 0
f (x) dx, jika f (x) fungsi genap 0, jika f (x) fungsi ganjil
(6.27)
Tinjau suatu fungsi f (x) yang merupakan fungsi ganjil dan fungsi lain g(x) yang merupakan fungsi genap. Misalkan perkalian kedua fungsi tersebut dinyatakan dengan h(x) = f (x)g(x). Dengan menggunakan sifat fungsi ganjil dan fungsi genap dapatlah dinyatakan bahwa
h(−x) = f (−x)g(−x) = −f (x)g(x) = −h(x)
Hal tersebut menunjukkan bahwa hasil perkalian dua fungsi yang berbeda
(yang satu fungsi ganjil dan yang lain fungsi genap) akan menghasilkan fungsi
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
6.5 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil 127
ganjil. Sedangkan jika keduanya merupakan fungsi ganjil atau keduanya merupakan fungsi genap maka akan diperoleh hasil kali keduanya berupa fungsi genap.
Telah diperoleh sebelumnya ungkapan koefisien deret Fourier a n dan b n
dalam bentuk yang umum sebagaimana dinyatakan dalam persamaan 6.25.
Dalam hal ini jika f (x) adalah fungsi ganjil, maka f (x) cos nπx
l menghasilkan fungsi ganjil (karena fungsi cosinus adalah fungsi genap) sehingga berdasark- an persamaan 6.27 dapat diperoleh
a n = 1 l
Z l
− l
f (x) cos nπx
l dx = 0 Sedangkan f (x) sin nπx
l menghasilkan fungsi genap, sehingga dengan persa- maan 6.27 diperoleh
b n = 1 l
Z l
− l
f (x) sin nπx
l dx = 2 l
Z l 0
f (x) sin nπx l dx Sebaliknya jika f (x) adalah fungsi genap, maka f (x) cos nπx
l menghasilk- an fungsi genap sehingga berdasarkan persamaan 6.27 dapat diperoleh
a n = 1 l
Z l
− l
f (x) cos nπx
l dx = 2 l
Z l 0
f (x) cos nπx l dx Sedangkan f (x) sin nπx
l menghasilkan fungsi ganjil, sehingga dengan persa- maan 6.27 diperoleh
b n = 1 l
Z l
− l
f (x) sin nπx
l dx = 0 Jadi dapat disimpulkan
Jika f (x) fungsi ganjil maka
a n = 0 b n = 2 l
Z l 0
f (x) sin nπx
l dx (6.28)
Jika f (x) fungsi genap maka
a n = 2
l Z l
0
f (x) cos nπx l dx b n = 0
(6.29)
6.6 Teorema Parseval
Tinjau persamaan 6.5, yang dapat dituliskan kembali dalam bentuk
f (x) = 1 2 a 0 +
∞
X
1
a n cos nx +
∞
X
1
b n sin nx (6.30)
Nilai rata-rata suatu fungsi dalam interval [−π, π] telah dijelaskan pada ba- gian awal BAB ini. Bila dicari nilai rata-rata dari fungsi [f (x)] 2 untuk selang [−π, π] maka dapat dituliskan
[f(x)] 2
[−π,π] = 1 2π
Z π
− π
[f (x)] 2 dx (6.31)
Dengan mengingat bahwa D
1 2 a 0 2 E
[−π,π] = 1 2 a 0 2
, (a n cos nx) 2
[−π,π] =
1
2 a 2 n dan (b n sin nx) 2
[−π,π] = 1 2 b 2 n , maka dapat dinyatakan
[f(x)] 2
[−π,π] = 1 2π
Z π
− π
[f (x)] 2 dx = 1 2 a 0
2
+ 1 2
∞
X
1
a 2 n + 1 2
∞
X
1
b 2 n (6.32)
Persamaan 6.32 merupakan salah satu bentuk teorema Parseval.
6.7 Transformasi Fourier
Deret Fourier sebagaimana yang diuraikan pada bagian terdahulu digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi periodik. Bagaimana halnya dengan fungsi nonperiodik? Fungsi nonperiodik dapat dipandang sebagai fungsi periodik dengan periode tak hingga.
Tinjau kembali persamaan 6.20 yang menunjukkan uraian deret fourier untuk fungsi yang periodik dengan interval [−l, l]. Jika digunakan variabel baru ω n = nπ
l , maka persamaan tersebut dapat dituliskan kembali sebagai
f (x) = a 0
2 +
∞
X
n=1
a n cos ω n x +
∞
X
n=1
b n sin ω n x (6.33)
cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011
6.7 Transformasi Fourier 129
dengan
a 0 = 1 l
l
Z
− l
f (τ ) dτ
a n = 1 l
l
Z
− l
f (τ ) cos ω n τ dτ
b n = 1 l
l
Z
− l
f (τ ) sin ω n τ dτ
(6.34)
sebagaimana persamaan 6.25. Dengan demikian persamaan 6.33 menjadi
f (x) = 1 2l
Z l
− l
f (τ ) dτ + 1 l
∞
X
n=1
cos ω n x Z l
− l
f (τ ) cos ω n τ dτ
+ 1 l
∞
X
n=1
sin ω n x
l
Z
− l
f (τ ) sin ω n τ dτ
(6.35)
Kemudian karena
∆ω = ω n+1 − ω n = (n + 1)π l − nπ
l = π
l =⇒ 1
l = ∆ω π maka dapat dituliskan kembali
f (x) = 1 2l
l
Z
− l
f (τ ) dτ
+ ∆ω π
∞
X
n=1
cos ω n x
l
Z
− l
f (τ ) cos ω n τ dτ + sin ω n x
l
Z
− l
f (τ ) sin ω n τ dτ
Untuk fungsi nonperiodik, sebagaimana telah disebutkan di atas, berarti l → ∞, dan ∆ω → dω. Maka dapat dituliskan
f (x) = 1 π
∞
Z
0
cos ωx
+∞
Z
−∞
f (τ ) cos ωτ dτ + sin ωx
+∞
Z
−∞
f (τ ) sin ωτ dτ
dω
Jika kemudian digunakan notasi
A(ω) = 1 π
+∞
Z
−∞
f (τ ) cos ωτ dτ
B(ω) = 1 π
+∞
Z
−∞
f (τ ) sin ωτ dτ
Maka dapat dinyatakan
f (x) =
∞
Z
0
A(ω) cos ωx dω +
∞
Z
0
B(ω) sin ωx dω (6.36)
Persamaan 6.36 tersebut di atas dikenal sebagai ungkapan integral Fourier (Fourier Integral ) atau juga sering dinyatakan sebagai transformasi Fourier.
Jika f (x) mempunyai sifat sebagai fungsi ganjil atau fungsi genap, maka ungkapan integral Fourier dapat menjadi lebih sederhana. Jika f (x) meru- pakan fungsi genap, maka f (−x) = f (x) dan
+∞
Z
−∞
f (x) dx = 2
+∞
Z
0
f (x) dx.
Selain itu f (τ ) sin ωτ menjadi bersifat fungsi ganjil sehingga B(ω) = 0. De- ngan demikian jika f (x) merupakan fungsi genap, maka diperoleh integral Fourier cosinus 1 :
f (x) =
∞
Z
0
A(ω) cos ωx dω
A(ω) = 2 π
∞
Z
0
f (x) cos ωx dx
(6.37)
Sedangkan jika f (x) merupakan fungsi ganjil maka f (−x) = −f (x) dan
+∞
Z
−∞
f (x) dx = 0, selanjutnya f (x) cos ωx bersifat fungsi ganjil sehingga dipe- roleh A(ω) = 0. Dengan demikian diperoleh ungkapan integral Fourier sinus:
1
Beberapa buku teks menggunakan ungkapan yang sedikit berbeda berkaitan de- ngan konstanta dalam integral Fourier. Misalnya dalam buku BOAS, ungkapan in- tegral Fourier cosinus dinyatakan sebagai f (x) =
q
2 π∞
R
0
A(ω) cos ωx dω dan A(ω) = q
2π
∞
R
0
