Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier

DERET FOURIER

Oleh :

Nama : 1. Neti Okmayanti (2007.121.460) 2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465) 3. Feri Febriansyha (2007.121.458)

Kelas : 6. L

Mata Kuliah : Matematika Lanjutan Dosen Pengasuh : Fadli, S.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

DERET FOURIER

A. Fungsi Periodik

Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier:

f(x) =

∑

∞

=

+ +

1 0

) sin cos

( 2 n

n n

L x n b L

x n a

a π π

dimana an =

∫

−

L L

dx L

x n x f L

π

sin ) ( 1

n = 0, 1, 2, . . .

bn = dx

L x n x f L

L L

∫

−

π

sin ) ( 1

bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis dalam bentuk :

an = dx

L x n x f L

L c

c

∫

+2

cos ) (

1 π

n = 0, 1, 2, . . .

bn = dx

L x n x f L

L c

c

∫

+2

sin ) (

1 π

B. Syarat Dirichlet

Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L) a. Bernilai tunggal

b. Terbatas (bounded)

Maka deret Fourier konvergen ke : 1. f(x) di x dimana f(x) continu 2.

{

( 0) ( 0)

}

2 1

− + + f x x

f untuk x dimana f(x) tidak kontinu.

C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier

1.

∫

u dv = u v -

∫

v du atau

∫

uv=u v1 – u’ v2 + u’’ v3 - . . . dimana u’ = turunan pertama

v1 =

∫

v dx dan seterusnya Contoh :

1.

∫

x3 sin 2x dx = x x x x x x sin2x

16 6 2 cos 8 6 2

sin 4 3 2

cos 2

2 3

−    

  +    

  − − −

3x2 cos2x

2 1

−

6x - sin2x

4 1

6 cos2x

8 1

0 sin2x

16 1

Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan, kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.

Perderetkan f(x) =

  

3 0

2 0

0 2

< <

< < −

x x

(periode 4, L = 2) Penyelesian :

a0 =

∫

Perderetan f(x) =

menurut deret Fourier.

(periode 2π_{, L =} π₎

Penyelesaian:

=

π π π

π π

π n n n n n n

2 cos

2 1 cos

1 _{+ + −}

− ; (cos 0 = cos 2π₎

= 1 (cos π −1),

π n

n n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap

bn =

π

) 1 2 (

2

−

n

D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x) Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0

a0 =

∫

=

∫

−

π π

π π

π 0

). ( 2 ) ( 1

dx x f dx

x f

an = ( ).cosnx dx 2

dx nx cos ) ( 1

x f x

f

π π

π

π

=

∫

−

Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x).

Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0

bn = ( ).sin nx dx 2

dx nx sin ) ( 1

0

x f x

f

∫

∫

=

−

π π

π π

π

Contoh Soal :

1. Perderetkan f(x) = x2, -π≤ _x ≤π _{(periode 2}π₎

Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0

a0 =

∫

∫

−

= =

π

π

π

π

π π

π 0

0 3 2

3 2 . 2 ) ( 1

x dx

x dx

x f

= ( ) 3

2 π3

π

an =

∫

=

∫

Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus Penyelesaian: (disini yang dicari hanya bn)

E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan

Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus, fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L).

Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L)

Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya bn, demikian juga pada cosinus ½ jangkaun yang divari hanya a0 dan an.

Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus) bn =

∫

L

dx L

x n x f

L₀ ( )sin ,

2 π

a0 dan an = 0

untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus) a0 =

∫

L

dx x f

L₀ ( )

2

an =

∫

L

dx L

x n x f

L₀ ( )cos ,

2 π

bn = 0

Contoh Soal

Perderetkan f(x) = ex untuk 0 < x < π_{, dalam deret sinus.}

Penyelesaian : bn =

∫

L

dx L

x n x f L₀ ( )sin

2 π

= e sin nx dx)

n 1 nx sin e n

1 nx cos e n

1 ( n 2 dx nx sin e

2 π

0 x 2 2

0

x 2 x

x

∫

∫

= − + −

π

=

π

π ₀

2 2 2

2

sin 1 cos

1 1 2

   

 

+ −

+ ne nx n e nx n

= _ − _

dalam cosinus.

( periode 2a)

Penyelesaian :

=

a a a

a x n n a

x n

n /2

2 /

0

sin 2 sin

2

  

 −   

 π

π π

π

= ,

2 sin 4 2 sin 2 2 sin

2 π

π π π π π

n n n n n

n + = untk n genap a an = 0

F. Harmonic Analisis

Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan suatu formula yaitu :

a0 =

∫

∫

− =

π π

π π

2

0

2

0

. ) ( 0 2

1 2 ) ( 1

dx x f dx

x f

a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π). an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π). b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).

Contoh:

Tentukan konstante a0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang diberikan sebagai berikut:

x 0 1 2 3 4 5

f(x) 9 18 24 28 26 20

f(x) = m x

m m

n

π π

π

) 1 2 ( cos 1 ) 2 (

2 ) 1 2 ( sin 4

2 1

− −

−

∑

∞ =

atau = cos5 ...)

5 1 3 cos 3 1 (cos

4 _{− + −}

a x a

x a

x π π

Penyelesaian :

x x / 3 Sin x / 3 Cos x / 3 f(x) f(x) sin x / 3 f(cos) x / 3

0 0 0 1 9 0 9

1 / 3 0,687 0,5 18 15,606 9

2 2 / 3 0,687 -0,5 24 20,808 -12

3 3 / 3 0 -1 28 0 -28

4 4 / 3 -0,687 -0,5 26 -22,542 -13 5 5 / 3 -0,687 0,5 20 -17,340 10

125 -3,468 -25

a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66

a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33 b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156

Identitas Parsevel

Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L) maka:

{

}

∑

∑

= + +

−

) (

2 )

(

1 2 2

2 0 2

n n L

L

b a a

dx x f L

Contoh:

Buktikan: ....

4 1 3

1 2

1 1

1

90 4 4 4 4

4

+ + + + =

π

Jadi f(x) = ...

3 sin ...

3 cos

2 1 1

0 + + + x+

b x

a

a π π

= 20,83 – 8,33 cos .... 3 sin 156 , 1

3 +− +

x

x π

LEMBAR KERJA

1. Perderetan f(x) =

  

x

2

2 6

0 2

≤ ≤

≤ ≤ −

x x

menurut deret fourier

Dimana periode 4, L = 2

2. Perderetan f(x) = x3, −π <π <πperiode (2π) Dimana f(x) = x3, adalah fungsi ganjil!