Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier

A – 7

Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert

Pada Deret Fourier

Fitriana Yuli S. FMIPA UNY

Abstrak

Ruang hilbert akan dibahas pada papper ini. Aplikasi system orthonormal akan dikaji dan akan diaplikasikan pada ruanhg Hilbert. Dapat diketahui bahwa himpunan { ,u u u_{0 1}, ₂,...} deret klasik fourier adalah bentuk 66ystem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2 (-π,π.). Sebagai akibatnya

himpunan

τ

dari polynomial trygonometri adalah padat di L₂(−

π π

, ) Kata kunci: Sistem Orthonormal, Ruang Hilbert, Deret Fourier

A. Pendahuluan

Analisis Fourier klasik pada mulanya berkembang dalam upaya mempelajari deret dan integral Fourier. Deret trigonometri yang kita kenal sekarang sebagai deret Fourier pertama kali diperkenalkan oleh D. Bernoulli pada tahun 1750‐an, ketika ia

mengkaji persamaan diferensial parsial untuk sebuah dawai bergetar. Bernoulli

menemukan bahwa untuk sin / maka fungsi , sin /

cos / merupakan solusi untuk setiap bilangan positip k. Deret fourier klasik

u(x,t) akan diaplikasikan sebagai system orthonormal di ruang Hilbert.

B. Pembahasan

Inner Product Di Ruang Hilbert L2 (-π,π) didefinisikan bahwa untuk sembarang ( | )u v u x v x dx( ) ( ) , x [ , ] π π π π − =

∫

∀ ∈ −

Sistem Orthonormal di ruangHilbert L2 (-π,π) didefinisikan

Untuk sembarang X Ruang Hilbert atas R , dan {u0,u1,…} adalah system orthonormal yang dapat dihitung dalam X, yaitu

Barisan u(x) dalam deret fourier didefinisikan sebagai :

m k semua untuk u u_k / _m) _km , ( =δ

u x( ) : (2 )= π −1/ 2 . u_2m−1( ) :x =π−1/ 2cosnx

u_2m( ) :x =π−1/ 2sinnx , untuk m=1,2,3, …

Preposisi 1.

Himpunan { ,u u u_{0 1}, ₂,...} membentuk suatu sistem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2 (-π,π.).

Pembuktian Langkah 1

Akan ditunjukkan bahwa un merupakan sistem orthonormal yaitu memenuhi

. ) ( ) ( ) | (

∫

− = = i _{n k nk} k n u u xu x dx u π π

δ

Dalam deret fourier diketahui _: 1/ 2_sin

k

u =π− kx; _: 1/ 2_cos

n

u =π− nx

Beberapa kemungkinan nilai ( Un | Uk ) yaitu

A. Kemungkinan inner product ke-1 yaitu

kxdx Sin nx Cos U U i k n 2 / 1 2 / 1 _. ) | ( − − −

∫

= π

π

π

π

Ada dua kemungkinan untuk nilai n dan k yaitu 1. Nilai n = k nxdx Sin nx Cos U U i k n 2 / 1 2 / 1 . ) | ( − − −

∫

= π

π

π

π dx nx ] 2 sin 0 [sin 2 / 1 1 + =

_∫

− − π π

π

dx nx nx nx nx ) sin( )] ( [sin 2 / 1 1 − + + =

_∫

− − π π

π

dx nx ] 2 sin 0 [ 2 / 1 1 + =

_∫

− − π π

π

Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari −π ≤x≤0 dan 0≤x≤π karena nilai integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2

) ] ) 2 cos ( 2 / 1 [ 2 / 1 ( 2x

π

1 − nx ₀π = − ) ) 0 cos ( 2 cos ( 2 / 1 ( 2 / 1 ( 2 1 − − − = _{x π}− _nπ ) ) 1 ( 1 ( 2 / 1 ( 2 / 1 ( 2 1 − − − = _π− x = 2 x 0 = 0 =δ_nk 2. Nilai n≠ k kxdx Sin nx Cos U U i k n 2 / 1 2 / 1 . ) | ( − − −

∫

= π

π

π

π = 1

∫

1/2sin(n−k)xdx+ 1

∫

1/2sin(n+k)xdx − − − − π π π π

π

π

0 1 0 1 ] ) ( cos ) /( 1 [ . 2 / 1 . 2 ] ) ( cos ) /( 1 [ . 2 / 1 . 2xπ n−k − n−k xπ + x π n+k − n+k x π = − − )] 0 ) ( cos ( ) ( ) ( cos [ . 2 / 1 . 2 )] 0 ) ( cos ( ) ( ) ( cos [ . 2 / 1 . 2 1 1 k n k n k n k n x k n k n k n k n x + + − − + + − + − − − − − − − = _π− π _π− π ) ) 1 ( 1 ( 2 / 1 ( 2 / 1 ( 2 1 − − − = _π− x + 2 x(π−11/2(1/2 (−1−(−1)) ) ) 2 (sin 2 / 1 ( 2 0 1 dx nx x −

∫

=

π

π dx kx nx kx nx ) sin( )] ( [sin 2 / 1 1 − + + =

_∫

− − π π

π

dx x k n x k n ) sin( ) ] ( [sin 2 / 1 1 − + + =

∫

− − π π

π

= 2 x 0 + 2x 0 = 0 =δ_nk Nilai ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = = − − −

∫

Cos nx Sinkxdx _nn _kk U U i k n , 0 , 0 . ) | (

π

1/2

π

1/2 π π

B . Kemungkinan inner product ke-2 yaitu

kxdx nx U U i k n | ) cos . cos ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π kxdx nx U U i k n | ) cos . cos ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π

Kemungkinan nilai n dan k yaitu

1. Nilai n=k

Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari −π ≤x≤0 dan 0≤x≤π karena nilai integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2

= 1 + 0 =δ_nk 2. Nilai n≠ k kxdx nx U U i k n | ) cos . cos ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π dx nx nx nx nx ) cos( )] ( [cos 2 / 1 1 − + + =

_∫

− − π π

π

nxdx nx U U i k n| ) cos . cos ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π dx nx] 2 cos 0 [cos 2 / 1 1 ₊ =

∫

− − π π

π

dx nx dx cos2 0 cos 2 / 1 1 1

∫

∫

− − − − ₊ = π π π π

π

π

dx nx dx cos2 1 . 2 / 1 1 1

∫

∫

− − − − ₊ = π π π π

π

π

π π

_π

π

0 1 0 1 _] 2 2 sin [ 2 / 1 . 2 ] [ 2 / 1 . 2 n nx x x x − + − = ] 2 0 sin 2 2 sin [ 2 / 1 . 2 ] [ 2 / 1 . 2 1 1 n n n x x + − =

_π

−

_π

_π

−

π

Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari −π ≤x≤0 dan 0≤x≤π karena nilai integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2

= 2 x 0 + 2 x 0 = 0 =δ_nk Nilai ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = = − − −

∫

nx kxdx n_n k_k U U i k n , 0 , 1 cos . cos ) | (

π

1/2

π

1/2 π π

C. Kemungkinan inner product ke-3 yaitu U U nx kxdx

i k n | ) sin . sin ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π

Kemungkinan nilai n dan k 1. Nilai n=k dx kx nx kx nx ) cos( )] ( [cos 2 / 1 1 − + + =

_∫

− − π π

π

kxdx nx U U i k n | ) cos . cos ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π dx x k n x k n ) cos( ) ] ( [cos 2 / 1 1 _{− + +} =

∫

− − π π

π

dx x k n xdx k n ) 1/2cos( ) ( cos 2 / 1 1 1 − + + =

∫

∫

− − − − π π π π

π

π

π π

_π

π

0 1 0 1 ] ) ( sin [ 2 / 1 . 2 ] ) sin( [ 2 / 1 . 2 k n x k n x k n x k n x + + + − − = − − dx nx nx nx nx ) cos( )] ( [cos 2 / 1 1 _{− − +} =

∫

− − π π

π

nxdx nx U U i k n | ) sin . sin ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π dx nx] 2 cos 0 [cos 2 / 1 1 − =

_∫

− − π π

π

Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari

−

π

≤

x

≤

0

dan

0

≤

x

≤

π

karena nilai integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2

= 1 – 0 =1 =δ_nk 2. Nilai n≠ k

Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari −π ≤x≤0 dan 0≤x≤π karena nilai integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2

= 2 x 0 - 2 x 0 = 0 =δ_nk Nilai ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = = − − −

∫

nx kxdx n_n k_k U U i k n , 0 , 1 sin . sin ) | (

π

1/2

π

1/2 π π dx nx dx cos2 0 cos 2 / 1 1 1

∫

∫

− − − − ₋ = π π π π

π

π

dx nx dx cos2 1 . 2 / 1 1 1

∫

∫

− − − − ₋ = π π π π

π

π

π π

_π

π

0 1 0 1

]

2

2

sin

[

2

/

1

.

2

]

[

2

/

1

.

2

n

nx

x

x

x

−

−

−

=

] 2 0 sin 2 2 sin [ 2 / 1 . 2 ] [ 2 / 1 . 2 1 1 n n n x x − − =

_π

−

_π

_π

−

π

dx kx nx kx nx ) cos( )] ( [cos 2 / 1 1 − − + =

_∫

− − π π

π

kxdx nx U U i k n | ) sin . sin ( 1/2 −1/2 − −

∫

= π

π

π

π dx x k n x k n ) cos( ) ] ( [cos 2 / 1 1 _{− − +} =

∫

− − π π

π

dx x k n xdx k n ) 1/2cos( ) ( cos 2 / 1 1 1 − − + =

∫

∫

− − − − π π π π

π

π

π π

_π

π

0 1 0 1 ] ) ( sin [ 2 / 1 . 2 ] ) sin( [ 2 / 1 . 2 k n x k n x k n x k n x + + − − − = − −

Terbukti (U_n |U_k)=δ_nk yaitu

• Terbukti bahwa un merupakan Sistem Orthonormal

Langkah 2

Dengan menggunakan Corollary 4 yaitu bahwa r=span{u₀,u₁,...}, barisan polynomial trygonometri adalah padat di L2(-π,π).

Jelas bahwa deret fourier merupakan polynomial trygonometri maka un padat di

L2(-π,π).

Langkah 3

Dengan menggunakan Teorema 3.A yaitu barisan yang merupakan Sistem

Orthonormal di ruang Hilbert X atas K apabila padat di X maka Lengkap di X dan berlaku sebaliknya.

• Terbukti bahwa himpunan { ,u u u0 1, 2,...} deret klasik fourier adalah bentuk

sistem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2 (-π,π.).

Corollary 2.

2( , )

u L

π π

∀ ∈ − deret fourier klasik konvergen di L2 (-π,π) yaitu

1 2 0 1 ( ( ) 2 cos sin ) 0 m k k m k lim u x a a kx b kx dx π π − →∞ ₌ − − −

∑

+ =

∫

Bukti 1 2 0 1 ( ( ) 2 cos sin ) m k k m k lim u x a a kx b kx dx π π − →∞ ₌ − − −

∑

+ =

∫

u(x) disubstitusi oleh 1

0 1 ( ) 2 _kcos _ksin k u x a a kx b kx ∞ − = = − −

∑

+ diperoleh 1 1 2 0 0 1 1 ((2 ) 2 cos sin ) m k k k k m k k

lim a a cos kx b sin kx a a kx b kx dx π π ∞ − − →∞ _{= =} − −

∑

+ − −

∑

+

∫

1 1 2 0 0 1 1 ((2 _{k k} ) 2 _kcos _ksin ) k k a a cos kx b sin kx a a kx b kx dx π π ∞ ∞ − − = = − −

∑

+ − −

∑

+

∫

2 (0) dx π π −

∫

=0 Terbukti 1 2 0 1 ( ( ) 2 cos sin ) 0 m k k m k lim u x a a kx b kx dx π π − →∞ ₌ − − −

∑

+ =

∫

Lemma 3

Untuk setiap fungsi f ∈ −C[ π π, ] dengan

[ , ]

( ) ( ), 0, || ||c

f −π = f π ∀ ≥ ∃ε fungsi p∈τ sehingga f −p −π π < ε

BUKTI Langkah 1

Misal f fungsi genap yaitu (f − =x) f x( ). Fungsi ini dipenuhi oleh ( ) : cosφ x = x

yang merupakan fungsi yang menurun tajam pada interval [0,π], _y→ _f(φ−1_{( ))y}

kontinyu pada interval [-1,1], berdasar teorema Aproksimasi Weirstrass yaitu untuk fungsi kontinyu terdapat polynomial p y( )=c₀+c y₁ + +... c y_n n sehingga

1 1 1 max | ( ( ) ( )) | y f φ y p y ε − − ≤ ≤ − < ,

Oleh karena itu terdapat p y( )=c₀+c y₁ + +... c y_n n dan berlaku

1 1 1 max | ( ( ) ( )) | y f φ y p y ε − − ≤ ≤ − < , misal y =cos x, 1 1 1

max | ( (cos ) (cos )) |

y f φ x p x ε

−

− ≤ ≤ − < , q(x):=p(cosx) maka diperoleh

0

max | ( ) ( ) |

x π f x q x

ε

≤ ≤ − < ,

max | ( ) ( ) | x f x q x π π

ε

− < < − < Langkah 2

Misal f fungsi ganjil yaitu (f − = −x) f x( ) untuk setiap x∈ −[ π π, ], nilai

(0) ( ) 0

f = f π = . Dipilh

δ

>0 dan dibentuk

( ) ( ) 0 2 ( ) : 0 0 x f jika x g x jika x atau x π δ _{δ π δ} π δ δ π δ π − ⎧ _{< ≤ ≤ −} ⎪ ₋ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ≤ ≤ − ≤ ≤ ⎩

Diketahui g(x):=-g(-x) jika − ≤ ≤

π

x 0. Saat f kontinyu seragam di interval [−π π, ] berdasar teorema Waitress diperoleh max | ( ) ( ) | / 2

x f x g x

π π

ε

− ≤ ≤ − < untuk nilai

δ

>0 yang cukup kecil .

Saat ( ) [ , ]

sin( )

g x

x di

x π π

→ − kontinyu di [−π π, ] karena g(x) kontinyu sehingga ada

q∈ berlaku τ max | ( ) ( ) | / 2 sin( ) x g x q x x π π ε

− ≤ ≤ − < , misalkan ( ) :r x =q x( ) sinx diperoleh

( ) ( ) max | | / 2 sin( ) sin( ) x g x q x x x π π ε − ≤ ≤ − < 1 max | | . | ( ) ( ) | / 2 sin x _x g x q x π π ε − ≤ ≤ − <

max | ( ) ( ) | max | sin | / 2

x g x q x x x π π π π ε − ≤ ≤ − <− ≤ ≤ max | ( ) ( ) | 1 / 2 x g x r x x π π ε − ≤ ≤ − < max | ( ) ( ) | / 2 x g x r x π π ε − ≤ ≤ − < maka max | ( ) ( ) | max | ( ) ( ) ( ) ( ) | x f x r x f x g x g x r x π π π π π − ≤ ≤ − =− ≤ ≤ − + − max | f x( ) g x( ) | max | ( )g x r x( ) | π π π π − ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ − + −

≤

ε

/ 2+

ε

/ 2

≤ ε

Terbukti untuk f fungsi ganjil terdapat ( )r x sehingga berlaku

max | ( ) ( ) |

x f x r x

π π ε

− ≤ ≤ − <

Langkah 3

Dalam kasus yang umum, digunakan dekomposisi fungsi yaitu

1 1

( ) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( ))

f x = − f x + f −x + − f x − f −x kemudian diterapkan langkah 1

untuk fungsi genap dan langkah 2 untuk fungsi ganjil dengan menerapkan Teorema nilai rata-rata Waitress dan ketaksamaan segitiga sehingga diperoleh ( )f x − f(− =x) 0 untuk x=[0, ]π

Corollary 4

Himpunan

τ

dari polynomial trygonometri adalah padat di L₂(−

π π

, )

Bukti

Misal u∈L₂(−

π π

, ) dan misal diberikan

ε

>0. Dengan preposisi 7 yaitu ]

, [

: C a b

X = dengan −∞<a<b<∞, himpunan Polynomial

n nx a x a a x p( )= ₀ + ₁ +...+

1 dengan ai bilangan real adalah padat di X sehingga

untuk u elemen polynomial p(x) dapat diperoleh fungsi kontinyu [C −π π, ] yang padat di L₂(−

π π

, ) artinya terdapat fungsi kontinyu f : [= −π π, ]→ sehingga R

2 1/ 2 ||u f || ( ( ( )u x f x( )) dx ) π π ε − − ≡

∫

− <

Dengan mengganti fungsi kontinyu f didekat titik x=π dapat diasumsikan bahwa

f(-π)=fπi) dengan lemma 3 maka terdapat fungsi q∈ sehingga ||r f −q||≤ ε Sehingga dapat diperoleh

||u−q|| ||= u− + −f f q|| ||u−q|| ||≤ u− f ||+|| f −q|| ||u−q||≤ + ε ε ||u−q|| 2≤ ε Terbukti

τ

padat di L2(−

π π

, ) C. Penutup

Berdasarkan uraian di atas dapat diketahui bahwa himpunan { ,u u u_{0 1}, ₂,...} deret klasik fourier adalah bentuk sistem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2

(-π,π.). Sebagai akibatnya himpunan

τ

dari polynomial trygonometri adalah padat di

2( , )

L −

π π

DAFTAR PUSTAKA

Conway,John B.,1990,” A Course in Functional Analysis “,2 ed, Springer-Verlag,New York