DERET FOURIER
MATEMATIKA FISIKA II
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA
FPMIPA UPI
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dibahas uraian deret dari suatu fungsi
periodik. Jenis fungsi ini menarik karena sering muncul dalam
berbagai persoalan fisika, seperti getaran mekanik, arus listrik
bolak-balik (AC), gelombang bunyi, gelombang Elektromagnet, hantaran panas, dsb.
Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi
periodik yang rumit dapat dianalisis secara sederhana dengan
cara menguraikannya ke dalam suatu deret fungsi periodik
sederhana yang dibangun oleh fungsi sin x dan cos x atau fungsi
eksponensial eix. Uraian deret fungsi periodik ini disebut uraian deret Fourier.
Penamaan ini untuk menghargai jasa matematikawan Perancis
Joseph Fourier, yang pertama kali merumuskan deret ini dalam
sebuah makalah mengenai hantaran panas, yang dilaporkannya kepada akademi ilmu pengetahuan Perancis pada tahun 1807.
Fungsi Periodik
Definisi 1:
Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodik dengan periode T > 0, jika berlaku:
f(x + T) = f(x)
untuk samua x. catatan:
catatan:
Jika T adalah periode terkecil, maka T disebut periode dasar, dan selang a < x < a + T , dimana a sebuah konstanta, disebut selang
dasar fungsi periodik f(x). Untuk selanjutnya sebutan periode dimaksudkan bagi periode dasar ini.
Konstanta a pada selang dasar dapat dipilih sembarang, berharga nol atau negatif. Pilihan a = - T/2 sering digunakan untuk
memberikan selang dasar yang simetris terhadap x = 0, yakni
Contoh fungsi periodik yang paling sederhana adalah
fungsi sin x dan cos x, karena:
sin (x + 2π) = sin x dan cos (x + 2π) = cos x
Yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki periode
T = 2π. Dalam hal ini x adalah variabel sudut dengan
T = 2π. Dalam hal ini x adalah variabel sudut dengan
satuan radian atau derajad. Bila x bukan merupakan
variabel sudut, maka x harus dikalikan dengan suatu
faktor alih p, sehingga berdimensi sudut. Jadi satuan
p adalah:
]
[
]
[
]
[
x
Satuan
radian
p
satuan
=
Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan
meter (m), maka satuan p = rad/m. Dengan
demikian pernyataan fungsi Sin dan Cos yang
bersangkutan menjadi:
sin x
sin px
; cos x
cos px
Jadi translasi sudut sebesar satu periode
T = 2
π
dapat dialihkan ke translasi variabel x
sejauh + T, dengan syarat:
)
(
2
p
x
T
Hubungan ini mengaitkan p dengan T
melalui hubungan:
T
p
=
2
π
Dengan pernyataan faktor alih ini, sifat
periodik fungsi sin px dan cos px diberikan
oleh hubungan:
)
(
cos
cos
);
(
sin
sin
px
=
p
x
±
T
px
=
p
x
±
T
Yang memperlihatkan bahwa sin px dan cos
px adalah periodik dengan periode T.
Khusus dalam hal T = 2
π
, maka p = 1.
Salah satu contoh sederhana benda
bermassa m yang digantungkan pada ujung
sebuah pegas dengan tetapan pegas k.
sebuah pegas dengan tetapan pegas k.
titik kesetimbangan
k
Jika benda ditarik sejauh A dari kedudukan
setimbangnya, kemudian dilepaskan, benda
tersebut akan bergerak secara harmonik
sederhana akibat adanya gaya pemulih yang
arahnya selalu berlawanan dengan arah
arahnya selalu berlawanan dengan arah
simpangan benda.
Simpangan vertikal benda y(t) setiap saat t
berubah-ubah dari kedudukan setimbangnya,
menurut persamaan:
)
cos(
)
(
t
=
A
t
+
Φ
0
y
ω
Besaran A dan
ω
berturut-turut adalah
amplitudo dan frekuensi sudut getaran,
sedangkan adalah fase getaran,
dengan
ф
0sebagai fase awalnya, yang
berdimensi sudut.
)
(
+
Φ
0=
Φ
ω
t
Jika T adalah periode atau waktu getar (waktu
yang diperlukan benda untuk melakukan satu
kali getaran) yang diukur dalam satuan detik,
maka , bersatuan (rad/s). Dengan
demikian
ω
merupakan faktor alih (p) yang
membuat
ω
t berdimensi sudut.
T
/
2
π
Deret Fourier
Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi
periodik dengan periode T yang T
terdefinisikan dalam selang dasar a < x <
terdefinisikan dalam selang dasar a < x <
a + T, yakni f(x) = f (x + T), maka fungsi
f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier
sebagai berikut:
)
sin
cos
(
2
)
(
1 0L
x
n
b
L
x
n
a
a
x
f
n n nπ
π
∑
∞ =+
+
=
Dengan koefisien-koefisien a
0, a
n, dan b
nyang
disebut sebagai koefisien-koefisien Fourier,
ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan
integaral:
∫
+=
a T adx
x
f
L
a
01
(
)
∫
∫
+ +=
=
T a a n T a a n adx
L
x
n
x
f
L
b
dx
L
x
n
x
f
L
a
π
π
sin
)
(
1
cos
)
(
1
Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:
=
− < < < < 0 1 0 0)
(
x xx
f
π πContoh 1.
Periodik dengan periode 2π sehingga f(x + 2π) = f(x)
Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier.
Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f(x) di atas
adalah T = 2π, dengan demikian L = ½ T =
π, selang
dasarnya –π < x <
π, jadi a = -
π. Di luar selang ini, f(x)
didefinisikan sebagai perluasan selang dasar ke arah kiri
dan kanan sumbu x, seperti terlihat pada Gambar 1.
Pemecahan:
-5π -4π f(x) -3π -2π -π π 2π 3π 4π 5πx
Gambar 1
Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut:
∫
∫
∫
∫
∫
− − − − +=
=
=
=
+
=
=
=
0 0 0 0 0 01
)
(
1
1
)
0
(
)
1
(
1
)
(
1
)
(
1
π π π π π ππ
π
π
π
π
π
x
dx
a
dx
dx
dx
x
f
dx
x
f
L
a
T a a1
1
a+Tn
π
x
πn
π
x
(
sin
0
sin
)
0
1
sin
1
1
.
cos
1
cos
)
0
(
.
cos
).
1
(
1
cos
)
(
1
cos
)
(
1
0 0 0 0=
+
=
=
=
+
=
=
=
− − − − +∫
∫
∫
∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π π π π π πn
n
nx
n
a
dx
nx
nxdx
dx
nx
a
dx
L
x
n
x
f
dx
L
x
n
x
f
L
a
n n T a a n(
)
{
n n ganjil genap n n n n n T a a n b n n n nx n b dx nx nxdx dx nx b dx L x n x f dx L x n x f L b , / 2 . , 0 0 0 0 0 ) ) 1 ( 1 ( 1 ) cos( 0 cos 1 cos 1 1 sin 1 sin ) 0 ( . sin ) 1 ( 1 sin ) ( 1 sin ) ( 1 π π π π π π ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
− − − − − + = − − − = − − − = − = = + = = =∫
∫
∫
∫
∫
Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:
+ + + − = − − − − + = − + = = + + =
∑
∑
∞ = ∞ = L L x x x x f x x x x f x n n x f a L x n b L x n a a x f ganjil n n n n n 5 sin 5 1 3 sin 3 1 sin 2 2 1 ) ( 5 sin 5 1 3 sin 3 1 sin 2 2 1 ) ( sin 2 2 1 ) ( 0 , sin cos 2 ) ( 1 1 0 π π π π π π πContoh 2.
{
1
,
0
1
2
1
,
0
)
(
<
<
<
<
=
x
x
x
f
Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:
{
0
,
1
<
x
<
2
Periodik dengan periode 2 sehingga f (x + 2) = f(x)
Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier !
Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1. selang dasarnya 0 < x < 2, jadi a = 0.
f(x)
Perluasan f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihat dalam Gambar 2.
Pemecahan:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x Gambar 2 0 -6 6∫
∫
∫
∫
∫
=
=
=
+
=
=
=
+ 1 0 1 0 0 2 1 1 0 2 0 01
)
(
)
0
(
)
1
(
1
)
(
1
1
)
(
1
x
dx
a
dx
dx
dx
x
f
dx
x
f
L
a
T a aKoefisien-koefisien Fouriernya dapat dicari sebagai berikut:
(
sin
)
1
(
sin
sin
0
)
0
1
.
cos
cos
)
0
(
.
cos
).
1
(
1
cos
)
(
1
1
cos
)
(
1
1 0 1 0 2 1 1 0 2 0=
−
=
=
=
+
=
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
+π
π
π
π
π
π
π
π
π
n
n
x
n
n
a
dx
x
n
xdx
n
dx
x
n
a
dx
x
n
x
f
dx
L
x
n
x
f
L
a
n n T a a n(
)
(
)
= − − − = − − = − = = + = = =∫
∫
∫
∫
∫
+ ganjil n n genap n n n n n T a a n b n n n x n n b dx x n nxdx dx nx b dx x n x f dx L x n x f L b , 2 . , 0 1 0 1 0 2 1 1 0 2 0 ) 1 ) 1 (( 1 0 cos cos 1 cos 1 . sin sin ) 0 ( . sin ). 1 ( 1 sin ) ( 1 1 sin ) ( 1 π π π π π π π π π 0 ,n genap.Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:
+ + + + = + + + + = + =
∑
∞ = L L x x x x f x x x x f x n n a x f ganjil nπ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
5 sin 5 1 3 sin 3 1 sin 2 2 1 ) ( 5 sin 5 2 3 sin 3 2 sin 2 2 1 ) ( sin 2 2 ) ( 1 0SYARAT DIRICHLET
Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat diuraikan
dalam deret Fourier ditentukan oleh syarat Dirichlet
berikut:
Jika:
1. f(x) periodik dengan periode T
2. Bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam 2. Bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam
selang dasarnya; a < x < a + T, dan 3. nilainya berhingga.
Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke:
a. f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan
b. di setiap titik ketakkontinuan x0 (pada daerah lompatan).
∫
+T a a dx x f ( ) {lim ( ) lim ( )} 2 1 0 0− + f x + x fPada contoh 2 di atas (Perhatikan Gambar 2); Tentukanlah konvergen ke nilai berapa di titik-titik kekontinuan !
2
5
,
4
3
,
2
3
,
2
1
−
=
x
Latihan 1.FUNGSI GANJIL DAN FUNGSI
GENAP
Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering
kali dipermudah, jika fungsi f(x) yang diuraikan
memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap
atau ganjil terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)).
Keduanya didefinisikan sebagai berikut:
Keduanya didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.
Sebuah fungsi f(x) adalah:
a)
genap, jika berlaku f(-x) = f(x)
b)ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x)
Sebagai contoh:
Fungsi x
2
dan cos x adalah fungsi
genap, karena (-x)
2
= x
2
dan cos (-x) = cos
x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah
fungsi ganjil, karena x) = -(x) dan sin
(-x) = - sin ((-x). Pada umumnya fungsi
x) = - sin (x). Pada umumnya fungsi
pangkat genap dari x (x
2
, x
4
, x
6
, . . .)
merupakan fungsi genap dan fungsi
pangkat ganjil dari x (x, x
3
, x
5
, . . .)
merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi
di atas dapat dicari contoh-contoh lain dari
kedua fungsi ini.
∫
∫
= = = L n L n dx x f L a b dx L x n x f L agenap
x
f
Jika
0 0 0 ) ( 2 0 cos ) ( 2)
(
πUntuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dari fungsi periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusan berikut:
bn=0
∫
= = = 0 0 sin ) ( 2 0 0)
(
n L n a a dx L x n x f L bganjil
x
f
Jika
πDalam hal ini dikatakan f(x) teruraikan dalam deret kosinus (bn = 0).
Dalam hal ini, f(x) dikatakan teruraikan dalam deret sinus (an = 0).
Seperti semula
Contoh 3.
Diketahi fungsi:
2
1
2
1
,
)
(
x
=
x
2−
<
x
<
f
Periodik dengan periode 1, sehingga f(x + 1) = f(x).
Uraikan fungsi tersebut dalam deret Fourier.
Pemecahan:
Fungsi f(x) = x2 adalah suatu fungsi genap
T = 1, sehingga L = ½ T = ½ , akan teruraikan dalam deret kosinus. bn = 0, a0 dan an dapat ditentukan sebagai berikut:
= = = = = = =
∫
∫
∫
∫
0 2 / 1 0 2 0 2 / 1 0 2 / 1 0 3 2 0 cos 1 2 cos ) ( 2 6 1 8 1 3 4 3 1 4 2 1 2 ) ( 2 dx L x n x dx L x n x f L a x dx x dx x f L a L n L π π − = = − + = = ∫
2 2 2 2 / 1 0 3 2 2 2 / 1 0 2 0 0 ) 1 ( 1 cos ) 2 ( 1 4 2 sin ) 2 ( 2 2 cos ) 2 ( 1 2 2 sin 2 1 4 2 cos 4 2 n a n n a x n n x n n x x n n x a xdx n x a L L L n n n n n π π π π π π π π π πDengan demikian uraian deret Fourier untuk f(x) = x
2dengan selang dasar -½ < x < ½ adalah:
−
+
=
=
+
=
∑
∑
∞ ∞ =1 02
cos
)
1
(
1
1
)
(
0
,
2
1
cos
2
)
(
x
n
x
f
b
x
n
a
a
x
f
n n n nπ
π
−
+
−
−
=
+
−
+
−
+
=
−
+
=
∑
=L
L
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 23
6
cos
2
4
cos
1
2
cos
1
12
1
)
(
3
6
cos
2
4
cos
1
2
cos
1
12
1
)
(
2
cos
)
1
(
1
12
1
)
(
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
n
n
x
f
nπ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Latihan 2.
2
2
;
)
(
x
=
x
−
π
<
x
<
π
f
Diketahui fungsi:
Periodik dengan periode
π
, sehingga f (x +
π
) = f(x).
Untuk fungsi tersebut dalam deret Fourier.
COBA KERJAKAN DENGAN ANALOGI LANGKAH
PADA FUNGSI GENAP !
DERET FOURIER JANGKAUAN
SETENGAH
Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya
terdefinisikan dalam suatu selang positif; 0 < x < l. Oleh karena itu seringkali perlu untuk memperluasnya ke seluruh sumbu x, baik ke arah sumbu x positif maupun ke arah sumbu x negatif. Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan sebagai berikut:
1) Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil – tidak
genap (seperti pada contoh 1) dengan periode T = l; dan selang
dasarnya 0 < x < l, dengan l sembarang positif.
2) Selang dasar 0 < x < l diperluas ke selang negatif secara simetris
terhadap sumbu x = 0 menjadi – l < x < l, dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2l.
Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluas fungsi f(x)
=
<
<
<
<
1
0
2
1
1
)
(
x
x
x
x
f
x 1Contoh 4
Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah:
Sket:
0 1 2
Uraikan fungsi ini ke dalam:
a. deret Fourier fungsi kosinus (fungsi genap) b. deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil)
Pemecahan:
(a)Uraian deret Fourier kosinus (fungsi genap)
Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode
T = 4 (L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut: fc(x) fc(x) x 6 4 3 2 1 5 -1 -2 -4 -5 -6 -3 0
Untuk fungsi genap ini bn = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut: x n a x n n x n n x n n x a dx x n dx x n dx x n x dx L x n x f L a x x dx xdx dx x f L a n L n L n 1 cos 4 2 sin 2 2 cos ) ( 4 2 sin 2 2 cos ) 1 ( 2 cos ) 1 ( 2 cos 2 2 cos ) ( 2 2 3 2 1 ) 1 ( 2 2 ) ( 2 2 1 1 0 2 2 1 2 1 1 0 0 2 1 1 0 2 2 1 1 0 0 − = + + = + + = = = + = + = =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π π π π π π π π π π π dst a a a a x n n an , 0 , 9 4 , 2 , 4 1 2 cos ) ( 4 1 2 3 2 2 2 1 2 = − = − = − = − = π π π π πMaka diperoleh uraian deret Forier kosinus untuk f(x), sebagai berikut:
+ + + − = = + =
∑
∞ = L 2 3 cos 9 1 2 2 cos 2 1 2 cos 1 1 4 4 3 ) ( 0 , cos 2 ) ( 2 1 0 x x x x f b L x n a a x f n n nπ
π
π
π
π
(a) Uraian deret Fourier sinus (fungsi ganjil)
Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2)
di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} dengan
periode T = 4 ( L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut: f(x)
x 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
n n x n n b x n n x n n x n n x b dx x n dx x n x dx L x n x f L b n n L n 1 6 4 1 2 4 cos 2 2 sin ) ( 4 2 cos 2 2 cos ) ( 4 2 cos 2 2 sin ) 1 ( 2 sin 2 2 sin ) ( 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 0 π π π π π π π π π π π π π π π + + − = − + + − = + = =
∫
∫
∫
Untuk fungsi ganjil ini a0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut:
dst b b b b , 2 1 , 9 6 4 , 1 , 2 4 2 2 3 2 2 1 π π π π π π = − + − = − = + = + + − − + = = = =
∑
∞ − L 2 3 sin 9 6 4 2 2 sin 1 2 sin 2 4 ) ( 0 , 0 , sin ) ( 2 2 0 1 x x x x f a a L x n b x f n n n π π π π π π π π π1 2 fs(x)
3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
x
Untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri dan ke kanan sumbu x dengan periode T = 2 (L = 1) seperti
pada gambar berikut:
Koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dapat ditentukan sebagai berikut: Diperluas menjadi fungsi periodik ganjil
{
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
}
Diperluas menjadi fungsi periodik ganjil
( )
( )
1 6 4 1 2 4 cos 2 2 sin 4 2 cos 2 2 sin 4 2 cos 2 2 sin ) 1 ( 2 sin 2 2 sin ) ( 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 0 n n n n x n n x n n x n n x dx x n dx x n x dx L x n x f L b L n π π π π π π π π π π π π π π π + + − = − + + − = + = =∫
∫
∫
Untuk fungsi ganjil ini ao = 0, an = 0 dan bn ditentukan sebagai berikut :
. , 2 1 , 9 6 4 , 1 , 2 4 4 2 3 2 2 1 b b b dst b π π π π π π = − + − = − = + = + + − − + = = = =
∑
= ... 2 3 sin 9 6 4 2 2 sin 1 2 sin 2 4 0 , 0 , sin ) ( 2 2 10 1 x x x a a L x n b x f o n n n π π π π π π π π π(c) Uraian deret Fourier sinus-cosinus (fungsi tidak ganjil-tidak genap) untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri dan ke kanan sumbu x dengan periode T=2 (L=1)
Koefisien-koefisien Fourier ao, an, dan bn dapat ditentukan sebagai berikut :
xdx
n
dx
x
n
x
dx
L
x
n
x
f
L
a
x
x
dx
dx
x
dx
x
f
L
a
T n T ocos
)
1
(
cos
1
1
cos
)
(
1
2
3
2
1
)
1
(
1
1
)
(
1
2 1 1 0 0 2 1 1 0 2 2 1 1 0 0
+
=
=
=
+
=
+
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
π
( )
( ) (
)
( )
genap
n
ganjil
n
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
x
n
n
x
n,
0
,
2
1
1
1
1
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
2 2 2 2 2 2 1 1 0 2=
−
=
−
−
=
−
=
+
+
=
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
( )
π
π
π
π
π
π
π
π
π
x
n
n
x
n
n
x
n
n
x
xdx
n
dx
x
n
x
dx
x
n
x
f
L
b
T ncos
1
sin
1
cos
1
sin
)
1
(
sin
1
1
sin
)
(
1
2 1 1 0 2 2 1 1 0 0
−
+
+
−
=
+
=
=
∫
∫
∫
( )
π
π
π
π
π
π
n
n
n
n
n
n
1
2
cos
1
1 0−
=
−
=
DERET FOURIER EKSPONENSIAL
e
e
x
i
x
e
x
i
x
e
ix ix ix ixsin
cos
sin
cos
+
−
=
+
=
− −i
i
i
i
dengan
i
e
e
x
e
e
x
ix ix ix ix1
;
1
;
1
2
sin
2
cos
2=
−
=
−
−
=
−
=
+
=
− −Koefisien-koefisien Fourier eksponensial ditentukan sebagai berikut :
(
−)
= = = + = = = = = = + = = = − − − − − + − − − − − +∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
inx inx x in x in T a a L x in n T a a o n e dx e dx e dx e dx e x f T C x dx dx dx dx x f dx x f T C 0 0 0 0 0 0 0 0 cos 1 1 1 1 1 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 ) ( 1 2 1 2 2 1 2 1 ) 0 ( ) 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π(
)
= − = − = = − − − −∫
ganjil n n i genap n inx inx n n e in dx e , , 0 cos 1 2 1 1 2 1 2 1 π π π π π π πMaka diperoleh uraian deret Fourier eksponensial sebagai berikut :
+ + + + − − − + = = − − − − =
∑
... 5 1 3 1 3 1 5 1 ... 2 1 ) ( 5 3 3 5 10 10 ix ix ix ix ix ix n inx n e e e e e e i e C x f πUntuk membandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh pada Contoh 1, maka kita gunakan kembali hubungan Euler di atas :
(
) (
) (
)
(
)
+ + + − = + − + − + − − = + − + − + − + = − − − − − − ... 5 sin 2 3 sin 2 sin 2 1 1 ... 5 1 3 1 1 2 1 ... 5 1 3 1 2 1 ) ( 5 5 3 3 5 5 3 3 x x x i e e i e e i e e e e e e e e i x f ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix ixπ
π
+ + + − = + + + − = ... 5 5 sin 3 3 sin 1 sin 2 2 1 ... 5 3 1 2 x x xπ
π
10
10
n
x
n
x
a
π
π
IDENTITAS PARSEVAL
Sekarang akan diberi bagaimana hubungan antara harga rata-rata kuadrat fungsi f(x) dalam selang dasarnya dengan
koefisien-koefisien Fourier. Hasilnya dikenal sebagai identitas Parseval atau hubungan kelengkapan (Competeness Relation) yang bentuknya bergantung pada rumusan uraian Fourier yang digunakan.
Untuk deret Fourier yang diuraikan dalam bentuk :
∑
∑
= =+
+
=
10 1 10 1sin
cos
2
)
(
n n n n oL
x
n
b
L
x
n
a
a
x
f
π
π
+
+
=
∑
∫
= + 2 10 1 2 2 22
1
2
)
(
1
n n n o T a ab
a
a
dx
x
f
T
∑
∫
∑
+ − = = = = 10 2 2 10 10 ) ( 1 ) ( n T a n L x in n C dx x f T e C x f πRuas kiri adalah harga rata-rata kuadrat fungsi f(x) dalam selang dasarnya a < x < a + T , sementara ruas kanan adalah jumlah kuadrat semua koefisien Fourier.
Untuk uraian deret Fourier eksponensial, bentuk hubunganya :
∑
∫
− = = = 10 ) ( n n a C dx x f T∫
−=
2 2 2)
(
1
T Tdt
t
f
T
p
Secara fisis, jika f(x) merupakan fungsi periodik dari suatu besaran fisika, misalnya simpangan getaran mekanik (sistem pegas), maka
Menyatakan daya rata-rata (Joule/s) dari getaran tersebut dalam suatu periode T. Dengan demikian identitas Paseval, mengaitkan daya rata-rata dengan separuh jumlah kuadrat amplitude setiap harmonik penyusun periodik.
Secara matematik, ruas kiri dari identitas Paseval memberikan jumlah deret bilangan diruas kanannya, seperti pada contoh berikut :
Contoh 5
Gunakan identitas Paseval untuk mencari jumlah deret bilangan Gunakan identitas Paseval untuk mencari jumlah deret bilangan yang bersangkutan dengan uraian deret Fourier dari fungsi f(x) Diketahui fungsi:
2
1
2
1
,
)
(
x
=
x
2−
<
x
<
f
2 1 2 1 < < − x
( )
1
1
,
2
,
3
...,
0
1
,
6
1
2 2=
=
−
=
=
n n n on
b
n
a
a
π
PemecahanPada contoh.4. f(x) = x2 dengan periode 1 dan selang dasarnya adalah , memiliki uraian deret Fourier dengan koefisien-koefisien sebagai berikut :
Harga rata-rata kuadrat dari f(x) = x2 ditentukan sebagai berikut :
80 1 32 1 32 1 5 1 5 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5 4 2 1 2 1 2 2 = + = = = − − −
∫
∫
x dx x dx x
+
+
∑
=)
(
2
1
2
2 10 1 2 2 n n n ob
a
a
( )
1
1
2
1
12
1
80
1
10 2 2 4 2 2 2
−
+
=
∑
n
π
Menurut identitas Paseval, nilai rata-rata kuadrat ini sama dengan
sehingga :
180
1
144
1
80
1
1
2
1
,
1
1
2
1
144
1
80
1
2
12
80
10 1 4 4 10 1 4 4 1 2 2=
−
=
+
=
+
=
∑
∑
∑
= = = n n nn
atau
n
n
π
π
π
∑
==
=
r n 1n
4 4 490
180
2
1
π
π
1
1
1
1
4π
=
+
+
+
Sehingga : atau90
4
1
3
1
2
1
1
+
4+
4+
4=
π
Contoh 9
Gunakan identitas Parseval untuk mencari jumlah deret
bilangan yang bersangkutan dengan uraian Fourier dari
fungsi f (x) pada contoh 7.
Pemecahan
Pada contoh.7, f (x) diuraikan dalam deret Fourier eksonensial
π
π
<
<
−
x
π
2
=
T
Pada contoh.7, f (x) diuraikan dalam deret Fourier eksonensial
dengan periode
dan selang dasar
Koefisien Fourier dari uraian tersebut adalah :
2
1
=
oC
dan
π
n
i
C
n=
untuk n ganjil (1, 3, 5, ….)
)
(
−
π
<
x
<
π
Harga rata-rata kuadrat dari f (x) dalam selang
ditentukan sebagai berikut :
dx
dx
dx
dx
2 0 2 00
0
2
1
∫
∫
+
+
π ππ
Menurut identitas Paseval, harga rata-rata kuadrat ini
Menurut identitas Paseval, harga rata-rata kuadrat ini
sama dengan
∑
− = n n nC
10 2, sehingga :
∑
∑
− = − =+
=
+
=
10 10 2 2 10 10 2 2,
)
2
1
(
2
1
)
(
2
1
n n n oganjil
n
n
i
C
C
π
∑
∑
∑
= = − =+
=
+
=
+
=
10 1 2 2 10 1 2 2 10 10 2 2,
1
2
4
1
2
1
,
2
1
4
1
2
1
,
1
4
1
2
1
n n nganjil
n
n
ganjil
n
n
i
ganjil
n
n
i
π
π
π
atau :
8
...
7
1
5
1
3
1
1
8
1
4
1
4
1
2
1
1
2
2 2 2 2 2 10 1 2 10 1 2 2π
π
π
=
+
+
+
+
=
=
−
=
∑
∑
= = ganjil n ganjil nn
n
SPEKTRUM FOURIER
Uraian Fourier suatu fungsi periodik f(x), pada dasarnya
adalah uraian fungsi f(x) kedalam komponen-komponen
harmoniknya, yakni berbagai komponen frekuensinya. Jika
P merupakan frekuensi harmonik dasarnya, maka
P merupakan frekuensi harmonik dasarnya, maka
frekuensi harmonik ke-n, P
n, diberikan oleh hubungan :
P
n= n.P , n = 1, 3, 5,……
Dengan
, dimana T merupakan periode dasarnya.
Himpunan semua komponen frekuensi P
n= n.P yang
membentuk fungsi periodik f(x) ini disebut spectrum
frekuensi atau spectrum fungsi f(x)
T
P
=
2
π
AMPLITUDO HARMONIK
Spektrum frekuensi seringkali divisualkan secara grafis,
dengan menggambarkan Amplitudo masing-masing
harmoniknya. Untuk uraian deret Fourier cosinus, sinu,
amplitude harmonik ke-n ditentukan sebagai berikut :
amplitude harmonik ke-n ditentukan sebagai berikut :
Suku ke-n dari uraian deret Fourier cosinus-sinus dapat
dituliskan :
