DERET FOURIER FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN. Oleh :

DERET FOURIER

Oleh :

Nama : 1. Neti Okmayanti (2007.121.460) 2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465) 3. Feri Febriansyha (2007.121.458)

Kelas : 6. L

Mata Kuliah : Matematika Lanjutan Dosen Pengasuh : Fadli, S.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2010

DERET FOURIER

A. Fungsi Periodik

Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier:

f(x) =

∑

∞ = + + 1 0 ) sin cos ( 2 n n n L x n b L x n a a π π dimana an =

∫

− L L dx L x n x f L π sin ) ( 1 n = 0, 1, 2, . . . bn = dx L x n x f L L L

∫

− π sin ) ( 1

bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis

dalam bentuk : an = dx L x n x f L L c c

∫

+2 cos ) ( 1 π n = 0, 1, 2, . . . bn = dx L x n x f L L c c

∫

+2 sin ) ( 1 π B. Syarat Dirichlet

Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L) a. Bernilai tunggal

b. Terbatas (bounded)

c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu

Maka deret Fourier konvergen ke : 1. f(x) di x dimana f(x) continu 2.

{

( 0) ( 0)

}

2 1 _{+ + −} x f x

f untuk x dimana f(x) tidak kontinu.

C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier 1.

∫

u dv = u v -

∫

v du atau

∫

uv=u v1 – u’ v2 + u’’ v3 - . . . dimana u’ = turunan pertama v1 =

∫

v dx dan seterusnya Contoh : 1.

∫

x 3 sin 2x dx = x x x x x x sin2x 16 6 2 cos 8 6 2 sin 4 3 2 cos 2 2 3 −       +       − − − 3x2 cos2x 2 1 − 6x - sin2x 4 1 6 cos2x 8 1 0 sin2x 16 1

Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan, kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.

Perderetkan f(x) =    3 0 2 0 0 2 < < < < − x x

(periode 4, L = 2) Penyelesian : a0 =

∫

− 0 2 0 2 1 dx +

∫

2 0 3 2 1 dx = 3 0 2 1 2 0 = x a0 =

∫

+

∫

− 2 0 0 2 2 cos 3 2 1 2 cos 0 2 1 dx x n dx x nπ π = 0, 2 sin 2 . 3 2 1 2 0 =     n x n π π n = 1, 2, . . . (sin nπ =0) bn = dx r n dx r n 2 sin 3 2 1 2 sin 0 2 1 2 0 0 2 π π

∫

∫

+ − = 3 (1 cos ), 2 cos 2 . 3 2 1 2 0 π π π π n n x n n  = −    − n = 1, 2, . . . bn = 0 untuk n genap jadi: f (x) = ...) 2 7 sin 7 1 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 6 2 3₊ πx₊ πx₊ πx₊ πx₊ π 3 Y 2 X -2

f (x) dapat ditulis sebagai berikut: f (x) =

∑

∞ =      ₋ − + 1 2 ) 1 2 ( sin ) 1 2 ( 1 6 2 3 n x n n π π

Perderetan f(x) =    2 1 π π π 2 0 < < < < x x

menurut deret Fourier. (periode 2π, L = π) Penyelesaian: a0 =

{

]

]

}

π π π π π π π π π π π 2 0 2 0 2 0 2 1 2 1 1 1 ) ( 1 x x dx dx dx x f =

∫

+

∫

= +

∫

= 1

{

(π)+(4π −2π)

}

=1+2=3 π an =

∫

=

∫

+

∫

π π π π π π π π π π π 0 2 2 0 cos . 2 1 cos . 1 1 ) ( 1 dx x n dx x n dx x f = 1 cosnxdx 1 2cosnxdx 2 0

∫

∫

+ π π π π π = 1 sin 2 sin 0 2 2 0 =     +     π π π π nx n nx n bn =

∫

=

∫

+

∫

π π π π π π π π π π π 2 0 0 2 sin . 2 1 sin . 1 1 ) ( 1 dx x n dx x n dx x f =

∫

+

∫

π π 0 2π π dx nx 2.sin π 1 dx nx sin . 1 1 = π π π π π 2 0 cos 2 cos 1     − +     − nx n nx n 2 Y 1 π 2π X

= π π π π π π n n n n n n 2 cos 2 1 cos 1 _{+ + −} − ; (cos 0 = cos 2π) = 1 (cos π −1), π n n n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap bn = π ) 1 2 ( 2 − n

D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x) Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0

a0 =

∫

=

∫

− π π π π π 0 ). ( 2 ) ( 1 dx x f dx x f an = ( ).cosnx dx 2 dx nx cos ) ( 1 x f x f π π π π =

∫

−

Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x).

Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0

bn = ( ).sin nx dx 2 dx nx sin ) ( 1 0 x f x f

∫

∫

= − π π π π π Contoh Soal : 1. Perderetkan f(x) = x2, -π ≤ x ≤ π (periode 2π) Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0

a0 =

∫

∫

− = = π π π π π π π 0 0 3 2 3 2 . 2 ) ( 1 x dx x dx x f = ( ) 3 2 π3 π = 3 2π2

an =

∫

=

∫

− π π π π π π π π π 0 2 cos . 2 cos ) ( 1 dx x n x dx x n x f = 0 ) sin 2 cos 2 sin ( 2 3 2 2 π π n nx n nx x nx n x − + = 2(0+ 2 cos₂ +0) n nπ π π = n n ( 1) 4 2 − 2. Perderetkan f(x) = x, 0 < x < 2

Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus Penyelesaian: (disini yang dicari hanya bn)

bn =

∫

L dx L x n x f L ₀ ( )sin 2 π =

∫

= − − −

]

2 0 2 0 2 2 2 sin 4 2 cos 2 2 sin 2 2 n x n x n n x dx x n x π π π π π = π π n n cos 4 − x2 cos nx 2x -n 1 sin nx 2 2 1 n − cos nx 0 ₃1sin n − nx Jadi f(x) = x2=

∑

∞ = − + 1 2 2 cos ) 1 ( 4 3 n n nx n π Atau = .... 4 4 cos 3 3 cos 2 2 cos 1 cos ( 4 3 2 2 2 2 3 + − + − − x x x x π x2 sin 2 x nπ 1 2 cos 2 n x n π π − 0 2 sin 4 2 2 x n n π π − Jadi f(x) =

∑

∞ = − 1 2 sin cos 4 n x n n n π π π Atau = − + − − 2 4 sin 4 1 2 3 sin 3 1 2 2 sin 2 1 2 (sin 4 4 πx πx πx πx

E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan

Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus, fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L).

Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L)

Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya bn, demikian juga pada cosinus ½

jangkaun yang divari hanya a0 dan an.

Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus) bn =

∫

L dx L x n x f L₀ ( )sin , 2 π a0 dan an = 0

untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus) a0 =

∫

L dx x f L₀ ( ) 2 an =

∫

L dx L x n x f L₀ ( )cos , 2 π bn = 0 Contoh Soal

Perderetkan f(x) = ex untuk 0 < x < π, dalam deret sinus. Penyelesaian : bn =

∫

L dx L x n x f L₀ ( )sin 2 π = e sin nx dx) n 1 nx sin e n 1 nx cos e n 1 ( n 2 dx nx sin e 2 π 0 x 2 2 0 x 2 x x

∫

∫

= − + − π = π π ₀ 2 2 2 2 sin 1 cos 1 1 2       + − + ne nx n e nx n n x

= _ − _ + π π n eπ n n cos 1 ( 1 2 2 2. Perderetkan f(x) =    −1 1 a x a a x < < < < 2 2 0 dalam cosinus. ( periode 2a) Penyelesaian : a0 =

[ ]

[ ]

1 1 0 2 2 ). 1 ( 2 . 1 2 2 / 2 / 0 2 / 2 / 0 = − = − + = − +

_∫

∫

a a a a a a x a x a dx a dx a = 2 1. 2 ( 1). 2

[ ]

2

[ ]

1 1 0 2 / 2 / 2 / 0 2 / 0 = − = − + = − +

_∫

∫

a a a a a a x a x a dx a dx a an =

∫

+

∫

− a a a dx a x n a dx a x n a _/2 2 / 0 cos ) 1 ( 2 cos . 1 2 π π ex sin nx ex n nx cos − ex 2 sin n nx − f(x) = ex = sin3 ....) 1 3 1 3 2 sin 1 2 1 2 sin 1 1 1 ( 2 2 2 2 + − + + + + + + + x e x e x eπ π π π Y 1 -1 -a a/2 a X

= a a a a x n n a x n n /2 2 / 0 sin 2 sin 2     −     π π π π = , 2 sin 4 2 sin 2 2 sin 2 π π π π π π n n n n n n + = untk n genap a an = 0 F. Harmonic Analisis

Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan suatu formula yaitu :

a0 =

∫

∫

− = π π π π 2 0 2 0 . ) ( 0 2 1 2 ) ( 1 dx x f dx x f

a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π).

an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π).

b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).

Contoh:

Tentukan konstante a0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang

diberikan sebagai berikut:

x 0 1 2 3 4 5 f(x) 9 18 24 28 26 20 f(x) = m x m m n π π π ) 1 2 ( cos 1 ) 2 ( 2 ) 1 2 ( sin 4 2 1 − − −

∑

∞ = atau = cos5 ...) 5 1 3 cos 3 1 (cos 4 _{− + −} a x a x a x π π π π

Penyelesaian :

x x / 3 Sin x / 3 Cos x / 3 f(x) f(x) sin x / 3 f(cos) x / 3

0 0 0 1 9 0 9 1 / 3 0,687 0,5 18 15,606 9 2 2 / 3 0,687 -0,5 24 20,808 -12 3 3 / 3 0 -1 28 0 -28 4 4 / 3 -0,687 -0,5 26 -22,542 -13 5 5 / 3 -0,687 0,5 20 -17,340 10 125 -3,468 -25 a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66

a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33

b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156

Identitas Parsevel

Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L) maka:

{

}

∑

∑

= + + − ) ( 2 ) ( 1 2 2 2 0 2 n n L L b a a dx x f L Contoh: Buktikan: .... 4 1 3 1 2 1 1 1 90 4 4 4 4 4 + + + + = π Jadi f(x) = ... 3 sin ... 3 cos 2 1 1 0 + + + x+ b x a a π π = 20,83 – 8,33 cos .... 3 sin 156 , 1 3 +− + x x π π

Bila diberikan : x2 =

∑

∞ = − = − + 1 2 2 2 , ) ( ( cos ) 1 ( 4 3 n n x x f nx n π π ≤ _{x ≤ π)}

∫

− π π π f x dx 2 )) ( ( 1 = 5 0 5 0 4 5 2 5 1 2 2 _π π π π π ο =    =

∫

x dx x 2 0 a = 3 2 π atau 3 2 2 0 π a an = n n ( 1) 4 2 − 4 5 2_π =

∑

∞ + 1 4 2 2 1 16 ) 2 2 ( 2 1 n π 5 4 2π =

∑

∞ +       1 4 2 2 16 2 1 3 2 n π 4 45 ) 5 9 ( 2 − _π = 16

∑

∞ 1 4 1 n 90 4 π = ... 4 1 3 1 2 1 1 1 4 4 4 4 + + + + Diberikan deret : x2 =

∑

∞ = − + 1 2 2 , cos ) 1 ( 4 3 n n nx n π -π ≤ x ≤ π Hitung : ... 4 1 3 1 2 1 1 1 2 2 2 2 − + − + Untuk x = 0 didapat: 0 =

∑

∞ = − + 1 2 2 0 cos ) 1 ( 4 3 n n n π 0 = ...) 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 4 3 2 2 2 2 2 + − + − − π = 2 π 1 ₋ 1 ₊ 1 ₋ 1 ₊

LEMBAR KERJA 1. Perderetan f(x) =    x 2 2 6 0 2 ≤ ≤ ≤ ≤ − x x

menurut deret fourier

Dimana periode 4, L = 2

2. Perderetan f(x) = x3, −π <π <πperiode (2π) Dimana f(x) = x3, adalah fungsi ganjil!