Baris Fourier

Institut Teknologi Sumatera

Matematika Teknik II

EL2207 Outline

• Deret Fourier

• Fungsi dengan periode p=2L

• fungsi ganjil genap

1. Deret Fourier

Tujuan

• Mampu menentukan perioda dari suatu fungsi periodic

• Mampu menyatakan fungsi perioda 2 pi dalam deret Fourier

• Mampu menyatakan fungsi perioda 2L dalam deret Fourier

• Mampu menentukan deret Fourier dari fungsi ganjil/genap

1. Deret Fourier

» Deret Fourier adalah deret tak hingga yang dirancang untuk merepresentasikan fungsi periodik umum dalam bentuk deret sederhana, yaitu cosinus dan sinus.

» Fungsi f(x) dikatakan

periodic

jika fungsi tsb didefinisikan untuk semua x nyata dan jika ada positif ρ sedemikian rupa sehingga

f (x +  ) = f (x )

» Grafik fungsi ini diperoleh melalui pengulangan periodic grafik.

Deret

a₀ =

2

 

^{f (x)dx}

a_n =

 

f (x)cos nxdx b_n =

 

f (x)sin nxdx

f (x) = a

₀

+  (a

ⁿ

cos nx + b

ⁿ

sin nx)

a

₀

+ a

₁

cos x + b

₁

sin x + a

₂

cos 2 x + b

₂

sin 2x + ...

1. Deret Fourier

» Masalah yang akan dikupas adalah mengucapkan fungsi yang berperiode

 = 2 

dalam fungsi sederhana yang mempunyai periode 2phi. Deret yang diperoleh akan berbentuk

»



n=1

Trigonometri

1 ^

−

1 ^

−

1 ^

−

1. Deret Fourier

» Contoh

1. Deret Fourier

» Contoh

Hitunglah koefisien fourier dari fungsi periodic f(x)

a

₀

= 0

1. Deret Fourier

» Saat cos pi=-1, cos 2pi= 1, cos 3pi=-1, dst

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

» Hitunglah koefisien fourier dari fungsi periodic f(x)

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

1. Deret Fourier

p=2L.

2. Fungsi dengan periode p=2L

» Didalam penerapannya, fungsi periodic jarang mempunyai periode 2pi, melainkan periode lain

 = 2 L

» Jika fungsi f(x) mempunyai deret fourier, deret itu akan berbentuk

2. Fungsi dengan periode p=2L

» Contoh

Hitunglah koefisien fourier dari fungsi periodic f(x)

2. Fungsi dengan periode p=2L

» Misal n=1,2,3,4…

2. Fungsi dengan periode p=2L

2. Fungsi dengan periode p=2L

2. Fungsi dengan periode p=2L

» Hitunglah koefisien fourier dari fungsi periodic f(x)

» Dengan Z adalah digit terakir NIM

» Jika digit terakhir adalah 0 -> 5

» Jika digit terakhir adalah 1 -> 7

-Z Z

Deret

» Pertama, suatu fungsi y=f(x) dikatakan genap jika

Deret Sinus

3. Fungsi genap dan ganjil

» Didalam menentukan koefisien fourier, waktu dapat dihemat dan sumber-sumber kesalahan dapat dihindari bila fungsinya ganjil atau genap

Kosinus

» Kedua, suatu fungsi y=f(x) dikatakan ganjil jika

» Jika f(x) fungsi genap maka

» Jika f(x) fungsi ganjil maka

» Jika f(x) merupakan fungsi genap maka adalah ganjil dan

» Begitu pula jika f(x) merupakan fungsi ganjil maka adalah genap dan

n

L L

L

b = f ( x) sin dx

−L



n

n=1

L

a n = 0

 f ( x) cos dx



n 

n=1

L

1 2 n  x

−L −L

b = 0

 f (x)sin n  x dx

3. Fungsi genap dan ganjil

L

−L

L n

L L

» Sehingga deret foureir menjadi

f ( x) = a

₀

+  a

ⁿ

cos x a

⁰

= L  f ( x)dx; a

ⁿ

= L  f ( x)cos L dx

L

n  x

−L

L

» Sehingga deret fourier menjadi

f ( x) =  b sin n  x 2  n  x