Pendahuluan. Sesi XIV DERET 12/7/2015

Sesi XIV

DERET

e-Mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339

Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105

Pengampu : Achfas Zacoeb

Pendahuluan

Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) yang menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus &

cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :

Pendahuluan

⁽

lanjutan

⁾

Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematiknya) mengakibatkan tekanan molekul udara di suatu daerah menjadi tinggi & daerah lain rendah. Jika tekanan diukur sebagai fungsi dari t, maka akan diperoleh fungsi periodik f(t).

Catatan :

1. Jika suatu bentuk sinyal/fungsi tertentu akan berulang dengan bentuk yangg sama dalam setiap periode, maka sinyal tersebut dikatakan sebagai sinyal periodik.

2. Gelombang suara merupakan gelombang sinus murni dengan frekwensi tertentu.

Pendahuluan

⁽

lanjutan

⁾

3. Frekwensi resultan gelombang suara merupakan sejumlah nada dengan frekwensi 2, 3, 4, ... kali frekwensi dasar.

4. Frekwensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek.

5. Jika 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 dan 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 = ferkwensi dasar, maka 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 dan 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 = nada harmonik yang lebih tinggi.

6. Kombinasi antara frekwensi dasar & harmoniknya membentuk fungsi periodik dengan periode dasar.

7. Setiap sinyal periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari sinyal-sinyal harmonik.

8. Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik dari suatu sinyal periodik dinyatakan dalam Deret Fourier.

Fungsi/Sinyal Periodik

Fungsi f(x) dikatakan punya periodik T atau f(x) periodik dengan periode T, jika untuk setiap x berlaku :

𝒇 𝒙 + 𝐓 = 𝒇 𝒙

T = konstanta positif (T > 0), nilai terkecil T dinamakan periode terkecil atau disingkat f(x). Grafik suatu sinyal/fungsi dengan periode T didapat dengan menggambarkan grafik fungsi dasarnya secara berulang seperti gambar berikut :

Fungsi/Sinyal Periodik

(

lanjutan

⁾

1. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 adalah 2

2. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 adalah 2

3. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐭𝐠 𝒙 adalah 

Deret Fourier

⁽

lanjutan

⁾

Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x)

= f(x + T), maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut :

𝒇 𝒙 =𝒂_𝟎

𝟐 + 𝒂_𝒏𝐜𝐨𝐬𝒏𝝅𝒙

𝑳 + 𝒃_𝒏𝐬𝐢𝐧𝒏𝝅𝒙 𝑳

∞

𝒏=𝟏

Dengan koefisien-koefisien a₀, a_n, dan b_n yang disebut sebagai koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integral sebagai berikut :

Deret Fourier

⁽

lanjutan

⁾

𝒂_𝟎= 𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

𝒂_𝒏=𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏𝝅𝒙 𝑳 𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

𝒃_𝒏 =𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝒏𝝅𝒙 𝑳 𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

dengan T = periode dan L = ½ periode.

Contoh

Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut : 𝒇 𝒙 = 𝟏, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏

𝟎, 𝟏 < 𝒙 < 𝟐

Periodik dengan periode 2, sehingga 𝒇 𝒙 ± 𝟐 = 𝒇(𝒙), uraikan fungsi tersebut dalam deret Fourier!

Penyelesaian :

Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1, interval dasarnya 0  x  2, jadi a = 0. Ekspansi f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihat pada gambar berikut :

Contoh

⁽

lanjutan

⁾

Koefisien-koefisien Fourier dicari sebagai berikut : 𝒂_𝟎= ^𝟏

𝑳 _𝒂^𝒂+𝑻𝒇 𝒙 𝒅𝒙

=^𝟏_𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙_𝟎^𝟐

= 𝟏 (𝟏)𝒅𝒙_𝟎^𝟏 + (𝟎)𝒅𝒙_𝟏^𝟐

= 𝒅𝒙_𝟎^𝟏

= 𝒙 ^𝟏_𝟎

= 𝟏

Contoh

⁽

lanjutan

⁾

𝒂_𝒏=^𝟏

𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬^𝒏𝝅𝒙

𝑳 𝒅𝒙

𝒂+𝑻

𝒂

=^𝟏

𝟏 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬_𝟎^{𝟐 𝒏𝝅𝒙}_𝑳 𝒅𝒙

= 𝟏 𝟏_𝟎^𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎_𝟏^𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙

= 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙_𝟎^𝟏

= ^𝟏

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 ^𝟏_𝟎

=_𝒏𝝅^𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅 − 𝐬𝐢𝐧 𝟎

= 𝟎

Contoh

⁽

lanjutan

⁾

𝒃_𝒏 =^𝟏_{𝑳 𝒂}^𝒂+𝑻𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧^𝒏𝝅𝒙_𝑳 𝒅𝒙

=^𝟏

𝟏 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧_𝟎^{𝟐 𝒏𝝅𝒙}_𝟏 𝒅𝒙

= 𝟏 𝟏_𝟎^𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎_𝟏^𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙

= 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙_𝟎^𝟏

= −_𝒏𝝅^𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 ^𝟏_𝟎

= − ^𝟏

𝒏𝝅 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅 − 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = − ^𝟏

𝒏𝝅 −𝟏 ^𝒏− 𝟏

=

𝟐

𝒏𝝅, 𝒏 ganjil 𝟎, 𝒏 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

Contoh

⁽

lanjutan

⁾

Dengan demikian deret Fourier untuk fungsi f(x) adalah : 𝒇 𝒙 =𝒂_𝟎

𝟐 + 𝟐

𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙

∞

𝒌=𝟏

→ dalam hal ini 𝒏 = 𝟐𝒌 − 𝟏

= 𝟏 𝟐+ 𝟐

𝝅𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 + 𝟐

𝟑𝝅𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 + 𝟐

𝟓𝝅𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯

= 𝟏 𝟐+𝟐

𝝅 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 +𝟏

𝟑𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 +𝟏

𝟓𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯

Syarat Dirichlet

Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam deret Fourier ditentukan oleh syarat Dirichlet sebagai berikut : Jika (a) f(x) periodik dengan periode T

(b) bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam interval dasarnya : a  x  a + T, dan

(c) _𝒂^𝒂+𝒕 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 nilainya berhingga,

Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai :

Syarat Dirichlet

⁽

lanjutan

⁾

 f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan

 ½ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙_𝟎− + 𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙_𝟎+ di setiap titik ketakkontinuan x₀ (pada daerah lompatan).

Contoh :

Pada contoh sebelumnya (perhatikan gambar), tentukanlah konvergen ke nilai berapa deret fourier tersebut di titik-titik kekontinuan 𝑥 =¹

2,³

2,³

4, −⁵

2 dan di titik-titik ketakkontinuan x = 0, 1, 2, -3.

Syarat Dirichlet

⁽

lanjutan

⁾

Penyelesaian :

Menurut syarat Dirichlet, maka : - Di titik-titik kekontinuan :

𝒙 =^𝟏

𝟐 konvergen ke 1 𝒙 =^𝟑

𝟒 konvergen ke 1 𝒙 =^𝟑_𝟐 konvergen ke 0 𝒙 = −^𝟓_𝟐 konvergen ke 0 - Di titik-titik ketakkontinuan :

x = 0 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½ x = 1 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½ x = 2 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½ x = -3 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½

Latihan

Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut : 𝒇 𝒕 = 𝟑, −𝟐 < 𝒕 < 𝟎

−𝟓, 𝟎 < 𝒕 < 𝟐

Periodik sehingga 𝒇 𝒕 + 𝟒 = 𝒇(𝒕) , uraikan fungsi tersebut dalam deret Fourier dan gambarkan bentuk gelombangnya!

Lendutan Pelat Segiempat ( Rectangular Slabs Deflection )

x

y z

x

y z

M_x M_x

M_y

M_y Persamaan umum pelat klasik :

D q y x

w y

w x

w 





 









2 2

4

4 4

4 4

2

 Variabel terikat : w (lendutan)

 Variabel bebas : x dan y (jarak)

 Beban luar : q (data)

 Kekakuan lentur : D (data)

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Kirchhoff – Love )

 Persamaan umum pelat klasik :

 Dalam bentuk operator laplace 2D :

 Penyelesaian :

D q y x

w y

w x

w 





 









2 2

4

4 4

4 4

2 .

q w D²² 

) , ( ) , ( ) ,

(x y w x y w x y

w  _h  _p

dengan :

w_h(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0)

w_p(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Kirchhoff – Love ) – cont’d

Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok Euler- Bernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888 dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti berikut :

• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah deformasi.

• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada pertengahan permukaan setelah deformasi.

• Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.

Contoh :

Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal.

y b

a

x

R

R R

R a b

Persamaan beban :

dengan q₀ = intensitas beban di tengah pelat

b y a

q x

q  

sin

0sin



( Metode Kirchhoff – Love ) – cont’d

Persamaan umum pelat menjadi :

b y a

x D

q y

w y

x w x

w  

sin sin

2 ₄ ⁰

4

2 2

4

4 4

 

 





 





Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a :

 Lendutan,w = 0

 Momen ujung, M_x = 0

Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b :

 Lendutan,w = 0

 Momen ujung, M_y = 0

Lendutan Pelat Segiempat

( Metode Kirchhoff – Love ) – cont’d

Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :

b y a

c x

w  

sin

 sin

Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas, sehingga didapatkan :

2

2 2 4 0

1 1

1



 



 



b a D

c q



Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :

b y a

x

b a D

w q  

 _{1 1} ^{sin sin}

1

2

2 2 4 0



 



 



Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Kirchhoff – Love ) – cont’d

Penyelesaian dengan deret Fourier :

Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga)  harus diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier.

q₀

beban sinusoidal

beban merata

beban terpusat

beban segitiga

Lendutan Pelat Segiempat

( Deret Fourier Sinus )

Penyelesaian dengan deret Fourier ganda dikembangkan oleh Navier (Prancis) pada tahun 1820.

Persamaan beban :

( Metode Navier )

 

x y f q_z  ,

Persamaan beban dalam bentuk deret Fourier ganda (sinus) :

 

b

y n a

x A m

y x f

m n mn



 sin sin

,

1 1



^









dengan A_mn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan bentuk bebannya.

b dxdy x n a

x y m

x ab f A

a b mn



 sin sin

) , 4 (

0 0

 



Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Navier ) – cont’d

 

b

y n a

x m

b a

A y D

x w

m n

mn  

 _{1 1} ^{sin sin}

, 1

1 1

2

2 2

4



^





 



 



 



Untuk beban merata f(x,y) = P₀ :

beban merata q₀

z

x/y dxdy

b x n a

x m ab

q

b dxdy x n a

x q m

A ab

a b a b mn

0 0 0

0

sin 4 sin

sin 4 sin













 

 

Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan berupa sendi menjadi :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Navier ) – cont’d

 

b

y n a

x m

b mn a

A D

y q x w

m n

mn  

 _{1 1} ^{sin .sin}

, 16

1 1

2

2 2 6

0



^





 



 



 



Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :



^

 







 



 



 

 

1 1

2

2 2

2 1

6 0

max 1 1

16 1

m n

n m

b mn a

D w q



Penyelesaian dengan deret Fourier tunggal dikembangkan oleh Levy (Prancis) pada tahun 1899.

Bentuk persamaan lendutan :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy )

dengan Y_m = f(x,y)



^





1

sin )

, (

m

m a

x Y m

y x

w 

sendi sendi

a

b y

x Asumsi tumpuan pada x = 0 dan x = a adalah sendi yang sejajar sumbu, sehingga diperlukan adanya penyesuaian sistim koordinat.

Persamaan umum lendutan :

( Metode Levy ) – cont’d

D q y

w y

x w x

w 



 





 





2 4

2 2 4

2 4

2

) ( ) , ( ) , (

x w y x w

w w y x w

P H

P H









Catatan :

w_P adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan sisi y =  b/2 di  x, sehingga :

D q x

w_P 





2 4

Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy ) – cont’d

3 1 3

c D x

q x

w_P



 



2 1 2 2

2

2 x c x c

D q x

w_P





 



3 2 1 2

3

2

6 c x c x c

D x q x w_P







 



2 2 1 3

4 c x c x c

c x q x

w     

Dengan c₁, c₂, c₃, c₄ dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy ) – cont’d

) 2

24 ( )

( x⁴ ax³ a³x

D x q

w_P   

Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal :

sehingga :



^





1

sin )

(

m m

P a

x A m

x

w 

D m qa

a dx x x m

a w A

a P m

5 5

4 0

4

sin ) 2 (











Maka penyelesaian w_P(x) :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy ) – cont’d

a x m m D x qa w

m P



 ^sin

1 ) 4

(

1 5 5

4



^





Penyelesaian w_H(x,y) :

0

2 ₄

4

2 2 4

4

4 









 





y w y

x w x

w_{H H H}



^





1

sin )

, (

m m

H a

x Y m

y x

w 

0 sin

2

1

4 4 4 2 2 2

2 2 4

4  

 



 



 





^ 

 a

x m a

y m y

y a m y

y

m

m m

m   

 Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde 4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :

 dengan : dan

( Metode Levy ) – cont’d

0

2 ₄

4 4

2 2

2 2 2

4

4  



 





a y m y

y a m y

y_m  _m  _m



 

a y m a

y D m a

y

C_m m _m  

cosh sinh



  

 a

y m a

y B m a

y A m

D y qa

y_{m m}  _m  

sinh cosh

) (

4



e^y e ^y



y  ^ 2 sinh 1



e^y e ^y



y  ^ 2 cosh 1

Penyederhanaan persamaan tersebut atas dasar garis simetris sumbu z :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy ) – cont’d

w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan z

y w(x,y)

w(x,y) = w(x,-y)

 mungkin Untuk fungsi ganjil :

w b

y z

z

y

½ b ½ b

sendi sendi

y

*

w(x,y) = -w(x,-y)

 tidak mungkin y

z

Untuk fungsi genap :

Solusi persamaan homogen :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy ) – cont’d



 



   

 a

y m a

y D m a

y C m

a y m a

y B m a

y A m

D y qa

y_{m m}  _m   _m  _m  

cosh sinh

sinh cosh

) (

4

genap genap ganjil ganjil

Evaluasi:

x y

y = cos x  genap

x y

y = sin x  ganjil

x y

y = x  ganjil

x y

y = x²  ganjil

Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka persamaannya menjadi :

Koefisien A_m dan B_m dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2, tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :

dengan m = 1,3,5

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy ) – cont’d



 



 

 a

y m a

y B m a

y A m

D y qa

y_{m m}  _m  

sinh cosh

) (

4

a x m a

y m a

y B m a

y A m

m D

y qa x

w _{m m}

m









 ^{cosh sinh sinh}

) 4 ,

( _{5 5}

4



 



  





^

Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :

dan

( Metode Levy ) – cont’d

0 w

Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi batas dan ambil permisalan :

sehingga :

dan a m

b m _

2 4 cosh sinh 0

5

5   

 A_{m m m}B_{m m}

m   



0 sinh cosh

) 2

(   

 A_m B_m _m _mB_m _m

2 0

2

 

 y

w

 

m m m

m m

A  





cosh 2 tanh 2

5 5



 

m

m m

B  cosh 2

5

 5

Nilai A_m dan B_m disubstitusikan ke persamaan lendutan total :

Lendutan Pelat Segiempat ( Metode Levy ) – cont’d

  _



   





^

 b

y m

D y qa x

w ^m

m m m

m











cosh2 cosh

2

2 1 tanh

1 , 4

5 , 3 , 1

5 5

4

a x m b

y b

y _m

m

m  



 2 sin

2 sinh cosh

2 

 Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :



 



 

 





^





 



 

m m m

m

m

m D

w qa







 2cosh

2 1 tanh

) 1 ( 4

5 , 3 , 1

5 2

1

5 4

max

Thanks for

your kind attention!