Rangkaian Listrik II Deret Fourier Fun (1)

EKSPONENSIAL

Kelompok 6 :

Arief Rachman Rida A. (5115122623)

Cut Zarmayra Zahra (5115120353)

Fajar Muttaqin (5115122606)

Inggih Piany Syanita (5115122568)

Moh. Syamsul Nur (5115122604)

Reza Irhamsyah (5115122572)

Siti Mardiah (5115122581)

Yusup Fawzi Yahya (5115122591)

PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012 FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

JAKARTA 2013

1. Mahasiswa dapat memahami cara mencari koefisien deret fourier fungsi trigonometri

2. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret fourier fungsi trigonometri

3. Mahasiswa dapat memahami perhitungan deret Fourier fungsi eksponensial dengan deret Euler.

Pada pembahasan sebelumnya telah kita pelajari mengenai uraian pecahan parsial untuk memudahkan kita mengubah persamaan menjadi anti Laplace-nya. Pemecahannya adalah dengan memfaktorkan terlebih dahulu penyebutnya atau dengan mendeferensialkan persamaan awalnya.

Pada resume kali ini akan dibahas mengenai pecahan parsial yang persamaannya tidak dapat difaktorkan. serta perhitungan dengan deret Fourier.

II. DERET FOURIER FUNGSI TRIGONOMETRI

f(t)=1

2a0+a1cosωt+a2cos 2ωt+a2cos 3ωt+…+b1sinωt+b2sin 2ωt+b3sin 3ωt

Bila diringkas, bentuk fungsi deret Fourier adalah:

f(t)=1

2a0+

∑

n=1 ∞

(

a_ncos(nωt)+b_nsin(nωt)

₎

Dimana syarat Dirichlet adalah :

Perhatikan persamaan deret Fourier berikut:

f(t)=1

2a0+

∑

n=1 ∞

(

a_ncos(nωt)+b_nsin(nωt)

₎

Untuk mencari nilai fungsi pada persamaan tersebut, masih terdapat koefisien yang belum kita ketahui nilainya yaitu : a0 , an, dan bn. Untuk menemukan nilai koefisien tersebut dapat dilakukan dengan langkah-langkah seperti yang akan dijelaskan :

a. Mencari a0.

Untuk mendapatkan rumus mencari besar a0, maka langkah-langkahnya adalah : a. Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

f(t)=1

2a0+a1cosωt+a2cos 2ωt+a2cos 3ωt+…+b1sinωt+b2sin 2ωt+b3sin 3ωt

 Priodik, dan mempunyai perioda 2 π atau T  Bernilai tunggal

 Dalam periode mempunyai maksimal dan minimal

tertentu

 Jika fungsi itu tidak continue, maka dalam 1 periode harus

mempunyai discontiunitas yang tertentu jumlahnya

 Dalam 1 periode mempunyai harga rata-rata tak

b. Kemudian integralkan masing-masing ruas dengan batas 0 sampai T.

c. Maka dengan demikian, a0 dapat ditemukan :

b. Mencari an.

Untuk menemukan rumus mencari besar an, maka langkah-langkahnya adalah : a. Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

f(t)=1

2a0+a1cosωt+a2cos 2ωt+a2cos 3ωt+…+b1sinωt+b2sin 2ωt+b3sin 3ωt b. Kalikan dengan cosnωt kemudian integralkan kedua ruas dengan batas 0

sampai T. mempermudah kita dalam penyederhanaan persamaan.

Nilai dari fungsi sinusoida :

f(t)=

∫

Nilai dari fungsi sinusoida :

Sehingga,

c. Dengan demikian, an dapat ditemukan dengan rumus :

c. Untuk mencari bn.

Untuk menemukan rumus mencari besar an, maka langkah-langkahnya adalah : a. Kembalikan persamaan ke bentuk trigonometri awal

f(t)=1

2a0+a1cosωt+a2cos 2ωt+a2cos 3ωt+…+b1sinωt+b2sin 2ωt+b3sin 3ωt b. Kalikan dengan sinnωt kemudian integralkan kedua ruas dengan batas 0

sampai T.

Nilai dari fungsi sinusoida :

Sehingga ,

∫

0 T

f(t)sinnωt dt=1

2a0+a1x0+a2x0+…+anx0+b1x0+b2x0+…+bn

∫

0 T

sin2_(nωt )dt

f(t)sinnωt dt=¿b_n

_∫

0 T

sin2

(nωt)dt

∫

0 T

¿

f(t)sinnωt dt=¿b_n(π ω)

∫

0 T

¿

c. Dengan demikian, bn dapat ditemukan dengan rumus :

 Jadi, koefisien Fourier yang telah kita dapatkan memiliki persamaan :

Contoh soal :

b_n=2 T

∫

₀

T

f(t)sinnωt dt

a₀=2 T

∫

₀

T

f(t)dt .

a_n=2 T

∫

₀

T

f(t)cosnωt dt

b_n=2 T

∫

₀

T

Tulislah deret Fourier dari gelombang gigi gergaji seperti pada gambar di atas. Pola gelombang , kontinyu untuk 0 < t < T dan tidak kontinyu (diskontinyu) pada t = 0, T, 2T, 3T, ...

Jawab :

Langkah-langkahnya :

1. Tentukan terlebih dahulu fungsi f(t). Kita lihat satu gelombang, dimana y = 4 dan T = 0,2. Maka fungsinya :

f(t)=4 T .t=

4 0,2t

¿20t f (t)=20t

2. Hitung besar a0, yaitu dengan menggunakan rumus :

a₀=2 T

∫

₀

T

f(t)dt . Sehingga ,

a₀= 2 0,2

∫

₀

T

20t dt .

¿ 2 T ¿

3. Hitung besar an, yaitu dengan menggunakan rumus :

a_n=2 T

∫

₀

T

a_n=2

4. Hitung besar bn, yaitu dengan rumus :

b_n=2

5. Setelah mendapatkan ketiga koefisien, maka tentukan fungsi f(t):

Y

=

f

(

t

)=

a

0

III. DERET FOURIER FUNGSI EKSPONENSIAL

ejnωt=cos. nωt+jsin. nωt … …(1) ejnωt=cos. nωt−jsin.nωt … …(2)

- Jika persamaan 1 dan 2 dijumlahkan cos. nωt=ejnωt+e−jnωt

2

- Jika persamaan 1 dan dikurangkan sin. nωt=e

jnωt

−e−jnωt 2 ∈. nωt

Perubahan deret Fourier

f(t)=1 2a0+a1

ejnωt

+e−jnωt 2 +a2

ej2nωt_+e−j2nωt

2 +…

bejnωt+e−jnωt 2 +b2

ej2nωt_+e−j2nωt

2 +…

e a₁(¿ ¿jωt+e−jωt₎₊1

2a2

(

e

j2ωt_+e−j2ωt

₎

_+…

f(t)=1 2a0+

1 2¿

e (¿¿jnωt−e−jωt₎₊1

2bj2

(

e j2ωt

−e−j2ωt

₎

+…

−1 2 jb1¿ a

a (¿¿1−jb₁)e−jωt

+… (¿¿1−jb₁)ejωt+1

2¿ f(t)=1

2a0+ 1 2¿

a a (¿¿2−jb₂)e−j2ωt

+…

(¿¿2−jb2)ej2ωt+1 2¿ 1

Misal

1

2

(

an−jbn

)

=An 1

2

(

an+jbn

)

=A(−n) 1

2a0=A0

f(t)=A0+A1e jω t

+A2e j2ωt

+A3e j3ωt

+…+¿

A−1e

−jωt

+A−2e

−j2ωt

+A−3e

−j3ωt

+…

f(t)=…+A−2e−j2ωt+A−1e−jωt+A0e0+A1ejωt+A2ej2ωt+…

f(t)=∑ Anejωt..(n=… ,−2,−1,0,1,2)

Untuk menentukan koefisien fourier, diperlukan integral fungsi eksponensial dan perkalian fungsi eksponensial sebagai berikut:

1¿.

∫

0 T

ejnωtdt= 1 jnω[ejnωt

]

0

T

¿ 1 jnω

(

e

jn2π T T_−e0

)

¿ 1 jnω

(

e

jn2π

−1

)

ejn2π

=cosn2π+jsinn2π

¿1+0=1

∫

0 T

ejnωt= 1

jnω(1−1)=0

2¿.

∫

0 T

ejnωtejmωt=

∫

0 T

¿ 1  Jika deret fourier diintegralkan

∫

 Jika deret fourier dikalikan dengan ejnωt dan kemudian di integralkan

∫

 Hasil integral ruas kanan semua nol kecuali An

∫

 Jika koefisien deret bentuk eksponential dapat di hitung dari persamaan

A0=1 T

∫

₀

T

f(t)dt n=bilanganbulat negtif dan positif

An=1 T

∫

₀

T

f(t)e−jnωt

dt

 Hubungan antara koefisien fourier bentuk sinosoida dengan bentuk eksponential A0=1

An+A−n=1

2(an−jbn)− 1

2(an+jbn) an=An+A−n

An−A−n=1

2(an−j bn)− 1

2(an+jbn)=−jbn bn=j(An−A−n)

IV. SOAL DAN JAWABAN

DAFTAR PUSTAKA