Aplikasi Deret Fourier

Aplikasi Deret Fourier (FS) 1. Deret Fourier

Menurut Fourier setiap fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai jumlah fungsi sinus dan cosinus yang tak berhingga jumlahnya dan dihubungkan secara harmonis.

Maka, karena respons paksaan terhadap setiap bentuk sinusoida/cosinusoida dapat ditentukan dengan mudah dengan konsep fasor, maka respons dari rangkaian linier terhadap fungsi pemaksa periodik yang umum bisa didapat dengan mensuperposisikan respons-respons parsial.

Pernyataan sebuah fungsi periodik dapat diwakili dengan fungsi sinus dan fungsi cosinus yang banyaknya tak berhingga dapat diperoleh dengan meninjau sebuah contoh sederhana. Mula-mula kita anggap ada sebuah fungsi cosinus yang mempunyai frekuensi radian 0 ,

v1(t) = 2 cos 0t dengan 0 = 2 f0

dan perioda

0 0

1 2



 

 f T

Meskipun T biasanya tidak diberi indeks nol, tapi yang dimaksud adalah perioda dari frekuensi dasar. Harmonik dari bentuk sinus ini mempunyai frekuensi n0, dengan 0

adalah frekuensi dasar dan n = 1,2,3, … . Frekuensi harmonik pertama adalah frekuensi dasar atau fundamental. Selanjutnya kita pilih tegangan harmonik ke tiga :

v3a(t) = cos 30t

v1(t) yang fundamental, harmonik ke tiga v3a(t) dan jumlah kedua gelombang ini diperlihatkan sebagai fungsi waktu dalam gambar 1a. Perlu diperhatikan jumlahan kedua gelombang tersebut adalah periodik dengan perioda T = 2/0, atau sama dengan perioda gelombang fundamentalnya.

2. Aplikasi Deret Fourier

Salah satu aplikasi dari deret fourier adalah pada pemisahan perpaduan gelombang. Suatu gelombang yang bergerak pada satu medium bukan hanya gelombang yang berupa gelombang tunggal namun merupakan perpaduan dari banyak gelombang. Dengan menggunakan deret fourier maka perpaduan dari banyak panjang gelombang ini dapat dipisahkan kembali menjadi gelombang-gelombang penyusunnya.

Misalkan saja pada gelombang radio. Gelombang radio FM mempunyai frekuensi 88 Mhz sampai dengan 108 Mhz. Tapi yang menimbulkan pertanyaan adalah kenapa kita dapat mendengarkan suara penyiar radionya padahal batas

pendengaran manusia hanya 20 Hz sampai dengan 20.000 Hz saja?. Ini dapat dijawab karena gelombang radio tersebut hanya sebagai pembawa. Yang nantinya pada radio penerima gelombang datang tersebut akan dipecah kembali yang salah satunya berupa gelombang suara yang dapat kita dengarkan.

Pada gambar diatas disajikan dua bentuk gelombang yang mempunyai bentuk yang sangat berbeda. Namun pada gambar kiri itu merupakan gelombang perpaduan dari banyak sekali gelombang. Sedangkan pada gambar kanan merupakan bentuk- bentuk gelombang yang menyusun gambar kiri tadi. Gambar kiri dapat di pecah menjadi gambar kanan dengan bantuan deret fourier. Hal ini pula yang berlaku pada frekuensi radio yang telah disinggung sebelumnya.

Untuk fungsi f(t) periodic dengan interval (-t,t) bukan (-π,π). Perubahan sederhana pada variable dapat digunakan untuk mentransformasikan interval integrasi dari (-π,π) ke (-t,t) dengan

t = 1 Tπ

dt = 1 dTπ

selesaikan t’, maka di peroleh t’= T π

Maka di perolehlah f(x) = 1

2 a0 +

∑

n=1

∞

ancos

(

^{nπ t}_T ^'

)

⁺

^∑

_n=1^{∞ bnsin(nπ t}_T ^')

Maka di dapatlah bentuk gelombang menjadi seperti berikut

Secara umum deret Fourier dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini

Dengan masing-masing koefisien adalah

Contoh soal

Kita langsung saja ke contohnya. Kita ingin menjabarkan sebuah fungsi periodik dalam bentuk sinus dan cosinus. Untuk memudahkan perhitungan kita mulai dengan fungsi yang memiliki periode 2π seperti di bawah ini

Pertama kita cari nilai dari a0 terlebih dahulu

5

Setelah a0 diketahui kita cari nilai dari an

Untuk sembarang n bilangan bulat

Nilai bn dapat kita cari dengan perhitungan seperti dibawah ini

Nilai dari cosn0=1

Untuk n bilangan genap n= 2, 4, 6, … kita dapatkan

tetapi jika n bilangan ganjil n=1, 3, 5, … kita akan mendapatkan

Sehingga

Atau kita juga dapat menuliskan dengan bentuk seperti ini

Untuk n= 1, 2, 3, 4, 5, …

7

Jadi jelas bahwa bn hanya memiliki nilai tidak nol ketika n sama dengan bilangan ganjil. Dari perhitungan di atas kita dapat menuliskan

Dengan n= 1, 3, 5, …..

Lalu apa artinya deretan fungsi di atas? Kita simulasikan fungsi di atas. Tak perlu dengan program yang susah, cukup dengan excel saja sudah dapat dilakukan.

Kita lihat gambar berikut ini

9

Jadi fungsi periodik yang ada pada awal pembahasan tadi dapat diuraikan kedalam bentuk sinus dan cosinus. Terlihat bahwa semakin besar n maka tampak gerigi pada puncak gelombang semakin banyak. Jika nilai n semakin kecil maka gerigi tersebut akan tampak sangat halus sehingga gambar akan membentuk gelombang periodik seperti pada awal pembahasan sebelumnya.