2. DERET FOURIER - DERET FOURIER.pdf

2. DERET FOURIER

Fungsi Periodik 

Deret Fourier Trigonometri 

Identitas Parseval 

oleh : Marwan dan Joedono Terapan Deret Fourier 

2.1. Fungsi Periodik

Gambar 1 : Contoh grafik suatu fungsi periodik dengan perioda 2p

Bila 2p merupakan perioda fungsi f, maka :

f(t) = f(t+2p) = f[(t+2p)+2p] = f(t+4p).

Jadi 4p juga perioda fungsi f. Dengan cara serupa, akan diperoleh

perioda-perioda fungsi f, yaitu 4p, 6p, 8p,.... Secara umum dapat dikatakan bila 2p

adalah perioda fungsi f, maka 2np (n=1,2,3,...) juga merupakan perioda f.

Perioda terkecil suatu fungsi disebut Perioda Dasar (fundamental period).

Tidak semua fungsi periodik mempunyai perioda dasar (misalnya fungsi

konstan y=k).

Definisi 1

Suatu fungsi f disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan real positif

2p, sehingga untuk tiap t berlaku

f(t+2p) = f(t)

Bilangan positif 2p dinamakan perioda fungsi f.

0

y

t

2. g(t)=sin(ωt), dengan ω suatu bilangan real positif, maka perioda dasar

fungsi g adalah 2π/ω.

Contoh 1

1. f(t) = k , k konstan.

Setiap bilangan real positif 2p merupakan perioda fungsi f sebab :

f(t+2p) = k = f(t).

Mengingat tidak ada nilai 2p terkecil untuk f tersebut, maka fungsi f

tidak mempunyai perioda dasar.

3. h(t)=tan(t), adalah suatu fungsi periodik dengan perioda dasar π,

meskipun t an

(

π 2 +nπ

)

=tidak terdefinisi untuk n=1,2,3,...

4. y(x)=sin(3x)+cos(2x) adalah fungsi periodik dengan perioda dasar 2π,

sebab :

sin(3x), perioda dasar T1=2π/3

cos(2x), perioda dasar T2=π, maka

Perioda dasar sin(3x)+cos(2x), T=KPK{T1,T2}=2π

(KPK=Kelipatan Persekutuan terKecil)

Grafik fungsi y(x) dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 : Grafik y(x)=sin(3x)+cos(2x)

5.

∑

∞

= 

 



 π ₊ π

=

1

n p

x n sin p

x n cos )

x (

f , p konstan. Perioda dasar f adalah

2.2. Deret Fourier Trigonometri

∫

∫

π p π

p -p p -dx p x n cos f( x) dan dx p x n sin f( x) Definisi 2

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p) sedemikian hingga

integral-integral :

ada, untuk n=0,1,2,...

Deret Fourier (Trigonometri) fungsi f pada interval (-p,p) didefinisikan

oleh :

∑

∞ =      π ₊ π + = 1 n n n 0 2 1 p x n sin b p x n cos a a ) x ( f dengan

∫

π = p p -n dx p x n cos f( x) p 1

a , n=0,1,2,3,....

∫

π = p p -n dx p x n sin f( x) p 1

b , n=1,2,3,....

an dan bn disebut Koefisien Fourier fungsi f.

   π < ≤ < < π − = t 0 , t sin 0 t , 0 ) t ( f Contoh 2:

Diketahui f fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

Akan dicari deret fourier f

∫

π

∫

∫

π π π π + ⋅ π = π = -0 - 0

n sin t cosnt dt

1 dt nt cos 0 1 dt nt cos f( t ) 1

a

Penyelesaian

Perioda f adalah 2p=π-(-π)=2π, jadi p=π

= π             + + +

π 1 n ₀

t n) ( 1 cos n -1 t n) -( 1 cos 2 1 1 = _            + + + π + π + π π

π 1 n

-= ) n -( 1 n cos 1 2 π π +

, n≠1

untuk n=1 0 2 2t sin dt t cos t sin 1 a 0 0 1 = π = π = π π

∫

∫

∫

∫

π π π π π + ⋅ π = π = 0 -0

-n sint sin nt dt

1 dt nt sin 0 1 dt nt sin f( t ) 1

b

= 0

n 1 t n) ( 1 sin n -1 t n) -( 1 sin 2 1 1 0 =             + + π π

, n≠1

untuk n=1 2 1 4 2t sin -2 t 1 dt t sin 1 b 0 0 2

1  =

        π = π = π π

∫

Jadi diperoleh deret fourier fungsi f :

( )

      _{+ + + +} π + π = π + π + + π =

∑

∞ = ... 63 8t cos 35 6t cos 15 4t cos 3 2t cos 1 -2 t sin 1 nt cos ) n -( 1 n cos 1 1 2 t sin 1 t f 2 n 2

Gambar 3 : Grafik ekspansi fourier fungsi f pada Contoh 2, masing-masing untuk 2 dan 3 suku pertama.

( ) π + π = 3 2t cos -2 t sin 1 t f y= f( t )

a. Jika f suatu fungsi ganjil, yaitu f(-x)=-f(x), ∀x maka deret fourier fungsi

f hanya memuat suku-suku sinus saja (konstanta fourier an=0, ∀n) dan

disebut Deret Sinus.

Sifat 1

b. Jika f suatu fungsi genap, yaitu f(-x)=f(x), ∀x maka deret fourier fungsi

f hanya memuat suku-suku cosinus saja (konstanta fourier bn=0, ∀n)

dan disebut Deret Cosinus.

1. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(x)=x , -4<x<4.

Contoh 3

( )

, n 1,2,3,

n 8 1 4

x n cos n

x 4 4

x n sin n

16 2 1

) parsial egral

( int dx

4 x n sin x 4 1 dx 4

x n sin f( t ) 4

1 b

1 n 4

0 2

2 4

4

-4

4 -n

= π

− =    



 π

π − π π

=

π =

π =

+

∫

∫

Penyelesaian

Karena f(-x)=-x=f(x), ∀x berarti f fungsi ganjil, maka menurut sifat di

atas konstanta fourier an=0. Jadi hanya dicari bn saja

Diperoleh

∑

∞

=

+ _π

− π =

1 n

1 n

4 x n sin n

) 1 ( 8 ) x ( f

Berikut grafik y=f(x) untuk 7 suku pertama:

2. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(t)=4-t2 _{, -2<t<2}

(

)

( )

, n 0

n 16 1

) n ( cos n

16 dt

2 t n cos t -4 2 1 a

2 2 1 n 2

2 2

2

-2

n ≠

π −

= π π

− = π

=

∫

+

Penyelesaian

Karena f(-t)=4-(-t)2_=4-t2_=f(t), ∀_{t berarti f fungsi genap, maka menurut}

sifat di atas konstanta fourier bn=0. Jadi hanya dicari an saja.

untuk n=0

(

)

3 16 dt

t -4 2 1 a

2

2

-2

0 =

∫

=

Diperoleh

   



 π ₋ π ₊ π ₋ π ₊

π +

= 

2 t 4 cos 4

1 2

t 3 cos 3

1 2

t 2 cos 2

1 2

t cos 16 3 8 ) t (

f _{2 2 2 2}

Hasil lain yang diperoleh dari ekspansi fourier f tersebut adalah jika

diambil t=0, maka :

4= 

  



 _{− + − +}

π +

= _{2 2 2 2} 

4 1 3

1 2

1 1 16 3 8 ) 0 ( f

 + − + − = π

2 2 2 2

4 1 3

1 2

1 1 12

Berikut adalah teorema yang menyatakan syarat cukup kekonvergenan deret

fourier suatu fungsi.

f′ Teorema 1

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p).

Jika

(a). f periodik dengan perioda 2p

(b). f dan kontinu sepotong-sepotong (piecewise continue) pada

interval (-p,p)

maka deret fourier fungsi f akan konvergen ke :

1. f(x) , bila f kontinu di x.

(

x h

)

dan f(x ) lim f

(

x h

)

f lim ) x ( f

0 h 0

h + = −

=

→ − →

+

Keterangan

Untuk h>0, maka :

.

  

π < ≤ −

π

< < π − =

t 0 , t

0 t ,

0 ) t ( f Contoh 4

Diambil ekspansi fourier dari , yaitu

( )

∑

∞

= 

 

 

+ π

− − +

π =

1 n

2 n

nt sin n 1 nt cos n

) 1 ( 1 4

t

f .

Diperhatikan bahwa f kontinu pada interval (-π,π) kecuali di titik t=0.

Jadi f kontinu sepotong-sepotong pada interval tersebut. Berdasarkan

teorema disimpulkan bahwa deret :

∑

∞

= 

 

 

+ π

− − +

π

1

n 2

n

nt sin n 1 nt cos n

) 1 ( 1 4

konvergen ke f(t) untuk setiap t∈(-π,π)\{0} dan konvergen ke

(

+ + −

)

=

(

π+

)

= π

2 1 2

1 2

1 _{f(x ) f(x ) 0}

di titik x=0, meskipun f(0) = π≠ ½ π.

Hingga di sini fungsi yang diperderetkan ke deret fourier adalah

fungsi-fungsi yang terdefinisi pada suatu interval bentuk (-p,p).

Kenyataannya, ada fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval bentuk (0,p).

Untuk memperoleh ekspansi fourier fungsi semacam ini dapat dilakukan

dengan mendefinisikan fungsi f pada interval (-p,0), sehingga f terdefinisi

pada (-p,p). Ada tiga cara yang dapat dilakukan untuk tujuan ini :

1. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=f(t), jadi

diperoleh suatu fungsi genap pada interval (-p,p). Dengan demikian f

dapat diperderetkan ke Deret Cosinus

2. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=-f(t), jadi

diperoleh suatu fungsi ganjil pada interval (-p,p). Dengan demikian f

3. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(t)=f(t+p).

Dengan demikian f dapat diperderetkan ke deret fourier pada interval

(-p,p).

Deret cosinus atau deret sinus yang diperoleh dengan cara di atas dikenal

sebagai half-range expansions.

Contoh 5

Ekspansikan f(t)=t2 _{, 0<t<2 ke dalam}

(a). Deret cosinus

(b). Deret sinus, dan (c). Deret Fourier lengkap

(a). Diambil f(t)=t2 _{, -2<t<2 yaitu f fungsi genap,}

diperoleh deret Penyelesaian

( )

∑

∞

=

π −

π + =

1 n

2 n

2 ₂

t n cos n

) 1 ( 16 3 4 t f

(b). Diambil

  

< <

≤ < − −

=

2 t 0 , t

0 t 2 , t )

t ( f

2 2

yaitu f fungsi ganjil,

diperoleh deret :

( )

∑

(

)

∞

=

+ _π

   

 

− − π + −

π =

1 n

n 2

3 1 n

2 t n sin 1 ) 1 ( n

2 n

) 1 ( 8 t f

(c). Diambil

  

< <

≤ < − +

=

2 t 0 , t

0 t 2 , ) 2 t ( ) t ( f

2 2

,

diperoleh deret

( )

∑

∞

=

   



 _{π − π}

π π

+ =

1 n

2 _nsin n t

1 t n cos n

1 4

3 4 t f

2 - 2

2 - 2

2 - 2

2.3. Identitas Parseval

( )

∑

(

)

∫

∞₌ − + + = 1 n 2 n 2 n 2 0 2 1 p p 2 p

1 _{f(t) dt a a b}

Teorema 2:

Bila fungsi f dapat diekspansikan ke dalam deret fourier yang

konvergen seragam (uniformly convergence) ke f(t) pada interval (-p,p),

maka :

( )

( )

(

)

∑

∑

∫

∫

∫

∫

∑

∑

∞ = ∞ = _{− −} − − ∞ = ∞ = + + =         _π + π + =       π ₊ π + =       π ₊ π + = 1 n 2 n 2 n 2 0 2 1 1 n p p n p p n p p 0 2 1 p p 2 1 n n n 0 2 1 2 1 n n n 0 2 1 b a p pa dt p t n sin ) x ( f b dt p t n cos ) t ( f a dt ) t ( f a dt ) t ( f p t n sin ) x ( f b p t n cos ) t ( f a ) t ( f a ) t ( f p t n sin b p t n cos a a ) t ( f Bukti: terbukti. 1. Sifat 2:

∫

∫

π = π = = p p -p p -, 3 , 2 , 1 n , 0 dx p x n cos dx p x n sin 

2.

∫

∫

   = ≠ = π π = π π p p -p p

- p , m n

n m , 0 dx p x n cos p x m cos dx p x n sin p x m sin

3. dx 0

2.4. Terapan Deret Fourier

Ditinjau balok lurus seragam, panjang L, berbeban w(x) dan kedua

ujungnya ditumpu sederhana (perhatikan gambar 5) dengan model

matematis lendutan :

( )

x w dx

y d EI ₄

4

= ...(∗)

EI adalah angka kekakuan-lentur balok (flexural rigidity).

w(x)

L

x

y

Gambar 5 : Balok seragam dengan tumpuan sederhana dan beban w(x)

Mengingat kedua ujung ditumpu sederhana, maka berlaku :

1. Lendutan di titik-titik ujung balok nol, yaitu : y(0)=y(L)=0.

2. Momen (bending momen) di titik-titik ujung balok nol, yaitu :

0 dx

y d dx

y d

L x 2 2

0 x 2 2

= =

= =

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan (∗) dengan deret Fourier,

maka dapat diasumsikan y(x) suatu deret sinus, yaitu

( )

∑

∞

=

      π =

1 n

n

L x n sin b x

y ...(∗∗)

Dengan demikian beban w(x) menjadi

( )

∑

∞

=

      π =

1 n

n

L x n sin B x

w , dengan

∫

( )



     π

= L

0

dx L

x n sin x w L 2

Bn ... (∗∗∗)

Jika persamaan (∗∗) dan (∗∗∗) disubstitusikan ke (∗), diperoleh

B L b

x n sin B x

n sin b n

EI n

4 4

4

π = ⇔     π =

    π π

∑

SOAL-SOAL

1. Perderetkan fungsi-fungsi berikut ke dalam deret fourier

a. f(x)=x+π , -π<x<π

b.

( )

  

π < ≤ −

π

< < π − =

x 0 , x

0 x ,

0 x f

Jwb:

( )

∑

∞

( )

= + − + π =

1 n

1 n

nx sin n 1 2 x

f

a).

b).

( )

∑

∞

( )

= 

   

  

+ π

− − + π =

1 n 2

n

nx sin n 1 nx cos n

1 1 4

x f

2. Tinjau suatu balok panjang L dengan kedua ujung ditumpu sederhana.

Bila beban per satuan panjang diberikan oleh persamaan w(x)=w0x/L,

0<x<L maka diperoleh persamaan lendutan y(x), yaitu :

L x w dx

y d

EI 0

4 4

=

a. Ekspansikan w(x) ke dalam deret sinus

b. Tentukan persamaan lendutan y(x)

JWB:

( )

∑

∞

=

+ _π −

π =

1 n

1 n 0

L x n sin n

) 1 ( w 2 x w

a). b).

( )

∑

∞

=

+ _π −

π =

1 n

5 1 n 5

4 0

L x n sin n

) 1 ( EI

L w 2 x y

3. Tentukan perioda dasar fungsi periodik berikut

a. f(x)=sin(3πx/4)

b. g(x)=sin(2πx)+3cos(5πx)

4. Diketahui fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

f(x)=x2 _{, 0<x<2}

Perderetkan fungsi f ke dalam

- deret Fourier Sinus

- deret Fourier Cosinus

5. Diketahui fungsi periodik dengan definisi satu periode :

( )

  

π < <

< < π − =

x 0 , x

0 x ,

0 x

f

a). Sketsalah grafik f(x) tersebut

b). Hitung f(-6)+f(6)=....

c). Andai f(x) diperderetkan ke dalam Deret Fourier, apakah akan

menghasilkan Deret Sinus, Deret Cosinus atau bukan