REGRESI NONPARAMETRIK DERET FOURIER BIRESPON

(1)

JURUSAN STATISTIKA

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi 10 November Surabaya

REGRESI NONPARAMETRIK

Surabaya 2010

SEMINAR TESIS

REGRESI NONPARAMETRIK

DERET FOURIER BIRESPON

Oleh :

Ri i S

i ti

Rini Semiati

1308 201 009

Pembimbing :

Prof. Dr.Drs. I Nyoman Budiantara,M.Si.

(2)

PENDAHULUAN

Regresi nonparametrik

merupakan pendekatan

PENDAHULUAN

regresi yg sesuai untuk pola data yang tidak

diketahui bentuk kurva regresinya.

Model regresi nonparametrik

- Deret Fourier (Tripena dan Budiantara,2007,

Antoniadis, et al, 1994, dan Bilodeau,1992)

- Kernel (Speckman, 1998 dan Hardle, 1990)

- Spline (Green dan Silverman 1994; Wahba

- Spline (Green dan Silverman, 1994; Wahba,

1990; Craven dan Wahba, 1979; Budiantara,

2002; dan Budiantara, et al, 1997)

(3)

Bentuk estimator nonparametrik

diperoleh dari

Optimasi Penalized, yang menggabungkan

goodness of fit dan penalty

{

R

(

f

)

J

(

f

)

}

Min

+

λ

(Wahba, 1990;Wang, 1998;Budiantara, 2002)

{

R

(

f

)

J

(

f

)

}

Min

H

f∈

+

λ

(4)

Yang sering menggunakan Penalized

Spline

D

t F

i

Deret Fourier

Bilodeau (1992; Tripena dan Budiantara, 2006

Estimator Deret Fourier dalam regresi

nonparametrik satu respon

(5)

generalisasi

regresi nonparametrik

generalisasi regresi nonparametrik

Deret Fourier Birespon

Aplikasi data kadar gula darah

penderita Diabetes

Mellitus

(6)

• PERMASALAHAN

1. Bagaimana bentuk estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon

2. Bagaimana sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon

nonparametrik birespon

3. Bagaimana menerapkan model yang diperoleh pada data kadar gula darah penderita Diabetes Mellitus

• TUJUANTUJUAN

1. Mendapatkan bentuk estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon

2. Mengkaji sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam regresi g j g nonparametrik birespon

3. Mengaplikasikan model regresi nonparametrik birespon Deret Fourier pada data kadar gula darah penderita Diabetes Mellitus

(7)

• MANFAAT PENELITIAN

1. Memberikan wawasan baru mengenai pemodelan,

khususnya model regresi nonparametrik birespon

2. Mengetahui penggunaan model regresi

g

p

gg

g

nonparametrik birespon Deret Fourier pada kadar

gula darah penderita Diabetes Mellitus

• BATASAN MASALAH

1. Mengkaji estimator kurva regresi nonparametrik

birespon dengan estimator Deret Fourier

2 M

k ji if t if t

ti

t

D

t F

i

d l

2. Mengkaji sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam

regresi nonparametrk birespon

3. Data yang digunakan adalah data yang diambil dari

y

g

y

g

penderita DM yang melakukan cek kesehatan di

(8)

• REGRESI NONPARAMETRIK

TINJAUAN PUSTAKA

merupakan regresi yang pola hubungan antara variabel

respon dan variabel prediktor tidak diketahui

• REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPON

i i i

g

(

x

)

y

=

+

ε

)

(

f

kurva regresi dihampiri oleh fungsi kontinu dan

j 1 j 1 1 j 1

f

(

t

)

y

=

+

ε

j 2 j 2 2 j 2

f

(

t

)

y

=

+

ε

kurva regresi dihampiri oleh fungsi kontinu dan

diferensiabel

∑

α + α + γ = K 1 k j 1 k 1 01 j 1 1 j 1 1 coskt 2 1 t ) t ( d =1 k 2

∑

= α + α + γ = K 1 k j 2 k 2 02 j 2 2 j 2 2 coskt 2 1 t ) t ( d

(9)

• Pemilihan parameter penghalus dalam Deret Fourier

p

g

Bilodeau (1992) :

jika maka estimator deret Fourier sangat

k

jik

k

ti

t

d

t F

i

)

0 (

λ

→

)

(

λ

kasar, jika maka estimator deret Fourier

sangat mulus.

Craven dan Wahba :

CV

)

(

λ

→

∞

Craven dan Wahba :

CV

Wang (1998) :

UBR

Wahba (1990)

: GCV

Tripena dan Budiantara (2007) :

(10)

• DIABETES MELLITUS (DM)

(

)

DM merupakan suatu keadaan yang ditandai

oleh kadar gula darah yang melebihi nilai

normal akibat tubuh kekurangan insulin.

Seseorang dikatakan menderita DM jika hasil

ik

k d

l k

126 pemeriksaan kadar glukosa puasanya 126

mg/dl dan glukosa 2 jam pp 180 mg/dl

Penderita Dm yg berusia 35-55 thn memiliki

kemungkinan meninggal 3 kali lebih besar diban

(11)

• DATA : penderita DM dengan

METODELOGI PENELITIAN

= kadar gula darah puasa = kadar gula darah 2 jam setelah puasa j 1

y

j 2 y t = usia STRUKTUR DATA No t y1 y2 No t y1 y2 1 2 t1 t2 y11 y12 y21 y22 3 . . t3 . . y13 . . y23 . . n tn y1n y2n

(12)

• METODE PENELITIAN

1. estimator Deret Fourier diperoleh dgn

a. membangun model regresi birespon

2

1 j

)

t

(

f

C

n

,...,

2 ,

1 j

,

)

t

(

f

y

₁_j

=

₁ ₁_j

+

ε

₁_j

=

n

,...,

2 ,

1 j

,

)

t

(

f

y

₂_j

=

₂ ₂_j

+

ε

₂_j

=

b. menentukan matriks Variance-Coveriance dari error

random

c menghampiri kurva regresi dgn

)

,

(

W

−1

ρ

σ

₁2

σ

2₂

c. menghampiri kurva regresi dgn

∑

= α + α + γ = K 1 k j 1 k 1 01 j 1 1 j 1 coskt 2 1 t ) t ( d

∑

α + α + γ = t 1 K coskt ) t ( d

∑

= α + α + γ = 1 k j 2 k 2 02 j 2 2 j 2 coskt 2 t ) t ( d

(13)

d. mencari ukuran goodness of fit untuk PLST

e menentukan penalty untuk PLST

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ σ ρ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ~ ~ 2 2 2 1 ~ ~ f y , , ( W ' f y

e. menentukan penalty untuk PLST

∫

π +

∫

π 0 0 2 2 2 " 2 1 2 1 " 1(t )] dt [f (t )] dt f [ f. menyelesaikan optimasi PLST ⎬ ⎫ ⎨ ⎧ λ λ ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ ⎜ ⎛

∫

π " 2

∫

π " 2 2 2 d )] ( f [ d )] ( f [ f ( W ' f Mi ⎭ ⎬ ⎩ ⎨ +λ +λ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ σ ρ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

_∫

= π ∈ 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ~ ~ 2 2 2 1 ~ ~ 2 , 1 k ), , 0 ( C f_k Min y f 'W( , , y f [f (t )]dt [f (t )]dt

(14)

2 Menyelidiki sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam

i

t ik bi

d

l

k h

regresi nonparametrik birespon dengan

langkah-langkah sebagai berikut

–

Diperlihatkan sifat estimator linier dari estimator

D

t F

i

d l

i

t ik

Deret Fourier dalam regresi nonparametrik

birespon.

–

Diperlihatkan sifat bias dari estimator Deret Fourier

dalam regresi nonparametrik birespon

dalam regresi nonparametrik birespon.

–

Diperlihatkan distribusi dari estimator Deret Fourier

dalam regresi nonparametrik birespon.

(15)

3 Menerapkan estimator Deret Fourier dalam regresi

t ik bi

d

d it Di b t

nonparametrik birespon pada penderita Diabetes

Mellitus dengan variabel respon y1 adalah kadar gula

darah puasa, y2 adalah kadar gula darah 2 jam

setelah puasa dan t adalah usia dengan langkah

setelah puasa dan t adalah usia , dengan

langkah-langkah sebagai berikut :

– Membuat plot data (t,y1) dan (t,y2)

– Memodelkan data dengan menggunakan deret Fourier dalamMemodelkan data dengan menggunakan deret Fourier dalam regresi nonparametrik birespon

– Memilih optimal estimator deret Fourier dalam regresi

nonparametrik birespon

M d tk ti i t k ti t d t F i d l

– Mendapatkan estimasi untuk estimator deret Fourier dalam

regresi nonparametrik birespon

(16)

S S

1a. Data berpasangan dan diasumsikan

(

t

₁_j

,

y

₂_j

)

(

t

₂_j

,

y

₂_j

)

HASIL DAN PEMBAHASAN

p

g

mengikuti model regresi nonparametrik birespon

)

y

,

(

₁_j ₂_j

(

₂_j

,

y

₂_j

)

n

,

2 ,

1 j

,

)

t

(

f

y

₁_j

=

₁ ₁_j

+

ε

₁_j

=

L

(4.1.1)

b. Matriks variance-covariance

⎤ ⎡θr 0 L 0 θρ θρ L θρ

n

,

2 ,

1 j

,

)

t

(

f

y

₂_j

=

₂ ₂_j

+

ε

₂_j

=

L

=

⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ θ θ θ θ θρ θρ θρ θ θρ θρ θρ θ θρ θρ θρ θ 0 0 r 0 0 0 r 0 0 0 r L L M O M M M O M M L L

)

,

(

W

−1

ρ

σ

₁2

σ

2₂

₌

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ θ θ θ θ θ θρ θρ θρ θ θρ θρ θρ 0 0 0 r 0 0 0 r M O M M M O M M L L L L

)

,

(

ρ

₁ ₂ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ θ θρ θρ θρ r 0 0 L L

(17)

(4.1.1) dpt dibentuk menjadi (4 1 2) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ε ε ε ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ n 1 12 11 n 1 1 12 1 11 1 n 1 12 11 ) t ( f ) t ( f ) t ( f y y y M M M (4.1.2) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ε ε + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 22 21 n 1 22 2 21 2 n 1 1 22 21 n 1 ) t ( f ) t ( f y y L M L M L

c. (4.1.2) dapat ditulis menjadi

⎠ ⎜⎜ ⎝ ε ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎜⎜ ⎝ y2n f1(t2n) 2n ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ε ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ α + α + γ α + α + γ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ∑ ∑ = = 12 11 K 1 k 12 k 1 01 12 1 K 1 k 11 k 1 01 11 1 12 11 kt cos 2 1 t kt cos 2 1 t y y M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ε ε ε + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ α + α + γ α + α + γ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ∑ ∑ = = 21 n 1 K 1 k 11 k 1 01 21 2 K 1 k n 1 k 1 01 n 1 1 21 n 1 kt cos 2 1 t kt cos 2 1 t y y y L M L L L L L L L L L L L L L M L M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ε ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣γ + α + α α + α + γ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∑ ∑ = = n 2 22 K 1 k 11 k 1 01 n 2 2 K 1 k 11 k 1 01 22 2 1 k n 22 kt cos 2 1 t kt cos 2 1 t y y M M M

(18)

d. Goodness of fit : n 2 1 ) ( R β =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

_β

σ

ρ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

_β

2 1 2 2 2 1 2 1

,

t

)

'

W

(

,

)

y

B

(

t

,

t

)

t

(

B

y

e. Penalty J(f) = n 2 ~

⎝

_~ _~

⎠

⎝

_~ _~

⎠

~ 1

β

_{λ *}

_*

_D

_β

f. Dengan menyelesaikan optimasi PLST,

di l h ti t

{

R

(

f

)

J

(

f

)

}

Min

2 , 1 k ), , 0 ( C f_k∈ π =

+

diperoleh estimator (4.1.9) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ~ * D * ) t , t ( B ) , , ( W ) t , t ( ' B N 1 ˆ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _ρ_σ _σ ₊_λ = β N 1 2 2 2 1 2 1,t )W( , , )y t ( ' B ρ σ σ dan ~ ~ ⎝N ⎠ N _~ ~ 2 1 ~

H

(

,

)

y

fˆ

_λ

=

λ

(19)

2. Sifat-sifat :

a. Estimator (4.1.9) merupakan kelas estimator linier, karena dapat dinyatakan sebagai

⎞ ⎛ y

ˆ

=

b. merupakan estimator yang bias karena

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ λ ~ 2 ~ 1 2 1 _y y ) , ( H

)

t

,

t

(

fˆ

₁ ₂ ~ λ

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

λ

(

t

,

t

)

f

E

₁ ₂ ^ ~

≠

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ) t ( f ) t ( f 2 2 ~ 1 ~ 1

ˆ

c. distribusi dari adalah normal karena error random adalah

normal ~

ˆ

λ

(20)

4. APLIKASI Plot data

Plot Data Aktual Respon 1 Plot Data Aktual Respon 2

3 50 [, i ] 0 0 250 [, i] 300 3 yk [ 150 2 0 yk [ 2 00 250 tk[, i] 50 55 60 65 70 75 tk[, i] 50 55 60 65 70 75 2

(21)

Nilai fungsi ) untuk nilai-nilai 2 1

,

(

G

λ

1

,

λ

2 No ) 1 0,0002241661 0,00004429235 8727,855 1

λ

2

λ

G

(

λ

₁

,

λ

₂ 2 3 4 0,0002689993 0,0003138325 0,0003586657 0,00005315082 0,00006200928 0,00007086775 8720,917 8716,759 8714,407 4 5 6 7 0,0003586657 0,0004034990 0,0004483322 0 0004931654 0,00007086775 0,00007972622 0,00008858469 0 00009744316 8714,407 8713,264 8712,944 8713 195 7 8 9 0,0004931654 0,0005379986 0,0005828318 0,00009744316 0,00010630163 0,00011516010 8713,195 8713,841 8714,761 10 11 0,0006276651 0,0006724983 0,00012401857 0,00013287704 8715,869 8717,105

(22)

Terlihat dari tabel

)

9 0000885846

,

0 ,

0004483322

,

0 (

₁₍_opt₎ ₂₍_opt₎ opt ~

=

λ

=

λ

=

λ

Nilai ) = 872,944 yang sesuai dengan optimal

B d k ti l di l h 2 1

,

(

G

λ

~

λ

Berdasarkan optimal diperoleh

= (1,490375; 79,380917; 2,397902; ~

λ

)

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

(

ˆ

14 13 12 11 01 1 1

=

γ

α

β

- 0,28218385; 0,0003539463; 0,07487596) = (2,566980; 86,447412; 6,652173; - 0 2812492; 0 6188612; 0 4202362) ~

)

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

(

ˆ

24 23 22 21 02 2 2 ~

α

γ

=

β

0,2812492; 0,6188612; 0,4202362)

(23)

Plot fungsi taksiran untuk optimal

λ

~

Plot Fungsi Taksiran Lamda Optimal Respon 1

o Data aktual Fungsi taksiran

Plot Fungsi Taksiran Lamda Optimal Respon 2

3 50 o _{Data aktual} Fungsi taksiran ft[, i] 200 250 Fungsi taksiran ft[, i ] 300 3 f 150 200 250 t 50 55 60 65 70 75 t 50 55 60 65 70 75

(24)

Estimator Deret Fourier untuk respon 1 :

=

λ

(

t

)

fˆ

₍_opt₎

1

79,381 +1,490t +2,398cos t -0,282cos 2t + 0,004cos 3t+ 0 075 cos 4t

0,075 cos 4t

=

)

t

(

fˆ

86,447+ 2,567t +6,652cos t – 0,281cos 2t + 0,619cos 3t

Nilai MSE untuk estimator Deret Fourier respon 1 dan respon 2 :

=

λ

(

t

)

f

₍_opt₎

2

86,447 2,567t 6,652cos t 0,281cos 2t 0,619cos 3t + 0,420cos 4t

MSE ( 4,611184e+004

fˆ

_λ ₍_opt₎

(

t

))

=

1

ˆ

MSE( 1,206822e005

fˆ

_λ ₍_opt₎

(

t

))

=

(25)

KESIMPULAN

KESIMPULAN dan SARAN

1. Untuk model regresi diperoleh estimator dari

yaitu ~ ~ 2 1 ~

)

t

,

t

(

B

y

=

β

+

ε

~

β

1 2 2 1 ˆ − ⎞ ⎜ ⎛

1

2 2

y

)

(

W

)

t

(

'

B

ρ

σ

dan 2 Sif t if t ti t D t F i d l i t i ~ 2 1 2 2 2 1 2 1 ~ * D * ) t , t ( B ) , , ( W ) t , t ( ' B N 1 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _ρ_σ _σ ₊_λ = β

N

~ 2 1 2 1

,

t

)

W

(

,

)

y

t

(

'

B

ρ

σ

~ 2 1 ~

H

(

,

)

y

fˆ

_λ

=

λ

ˆ

2. Sifat-sifat estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametric birespon adalah

a. merupakan kelas estimator linear

~

λ ~

f

b. merupakan estimator yang bias untuk kurva

c. apabila error random berdistribusi normal, maka distribusi dari adalah normal

~

(26)

3. estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik

birespon, berkaitan dengan diberikan oleh_opt

(

₁₍_opt₎

,

₂₍_opt₎

)

~

=

λ

)

9 0000885846

,

0 ,

0004483322

,

0 (

₁₍_opt₎ ₂₍_opt₎ opt ~

=

λ

=

λ

=

λ

4. Estimator Deret Fourier untuk respon 1 :

~

ˆ

79,381 +1,490t + 2,398cos t - 0,282cos 2t + 0,004cos 3t + 0,075 cos 4t

=

λ

(

t

)

f

₍_opt₎

1

86,447 + 2,567t + 6,652cos t – 0,281cos 2t +

=

λ

(

t

)

fˆ

₍_opt₎ 2 0,619cos 3 + 0,420cos 4t

(27)

SARAN

• Dalam model Deret Fourier perlu dilakukan

penelitian lebih lanjut tentang pemilihan nilai K

p

j

g p

optimal secara bersama-sama dengan

pemilihan optimal

• Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk

estimator Deret Fourier dalam regresi

t ik

lti

(28)

DAFTAR PUSTAKA

Antoniadis, A., Bigot, J., dan Spatinas, T., (2001), Wavelets Estimator in Nonparemetric Regression : A Comparative Simulation Study, Journal of

DAFTAR PUSTAKA

Statistical Software, 6, 1-83.

Bilodeau, M., (1992), Fourier Smoother and Additive Models, The Canadian

Journal of Statistics, 3, 257 – 259.

Budiantara, I.N.,(1999), Estimator Spline Terbobot Dalam Regresi Semiparametrik,

Majalah Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (IPTEKS) 10 103-109 Majalah Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (IPTEKS), 10, 103-109.

Budiantara, I.N., (2000), Optimasi dan Proyeksi Dalam Regresi Nonpara metrik Spline, Majalah Berkala Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BMIPA), Universitas Gajah Mada, 10, 35-44.

Budiantara, I.N.,(2001), Regresi Nonparametrik dan Semipara metrik

S P k b M k l h P bi Ut d S i N i l

SertaPerkembangannya, Makalah Pembicara Utama pada Seminar Nasional

Alumni Pasca Sarjana Matematika Universitas Gajah Mada, Yogjakarta.

Budiantara, I.N., (2002), Estimator Tipe Penalized Likelihood, Jurnal Natural FMIPA Unibraw, Edisi Khusus, 231-235.

Budiantara I N (2005) Model Keluarga Spline Polinomial Truncated Dalam Budiantara, I.N.,(2005), Model Keluarga Spline Polinomial Truncated Dalam

Regresi Semiparametrik, Makalah Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika Universitas Diponegoro, Semarang.

Budiantara, I.N.,(2006), Model Spline Dengan Knots Optimal, Jurnal Ilmu Dasar, FMIPA Universitas Jember, 7, 77-85, ,

Dalimarta, S, (2004), Diabetes Mellitus, Edisi IX, Jakarta Penebar, Swadaya Diabetic Medicine, (2006), Umur Panjang dengan Diabetic yang Terkontrol, Diabetic Sweetner, Infotech.

(29)

Draper, N., dan Smith, H., (1996), Applied Regression Analysis, John Wiley &Sons New York

&Sons New York

Eubank, R.L., (1988), Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Marcel Dekker, New York

Lehman, R., (1983), Theory of Point Estimation, John Wiley & Sons, New York Perkeni, (1998), Konsesus Pengelolaan Diabetes Indonesia

S l S R (1982) Li M d l S d Editi J h Wil & S I Searle, S.R., (1982), Linear Models, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.,

New Jersey, Canada

Soegondo, S., (1999), Diagnosis dan Klasifikasi Diabetes MellitusTerkini, Dalam rangkuman, AB. Slamet Suyono, Sutrisno Waspadji(dkk), Jakarta, Pusat Diabetes, Dr. Tjiptomangunkusumo, FKUI.

Tj k i A (2007) Hid S h t d B b h i B Di b t M llit P bit PT Tjokroprawiro, A., (2007), Hidup Sehat dan Berbahagia Bersama DiabetesMellitus, Penerbit PT

Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Tantra, H., (2008), Segala Sesuatu yang Harus Anda Ketahui Tentang Diabetes, Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Tripena, A., Budiantara, I.N., (2006), Fourier Estimator in Nonparametric Regressio ,

I t ti l C f O N t l S i d A li d N t l S i

International Conference On Natural Sciences and Applied Natural Scienes, Ahmad Dahlan University, Yogjakarta.Vitahealth, (2004), Informasi Lengkap untuk

Penderita dan Keluarga Diabetes, Jakarta, Gramedia Pustaka Utama.

(30)

Wang, Y., (1998), Spline Smoothing Models with Correlated Errors, Journal of The A i St ti ti l A i ti 93 341 348

American Statistical Association, 93, 341-348.

Wu, H., dan Zhang, J.T., (2006), Nonparametric Regression Methods for Longitudinal

(31)