Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery

LANDASAN TEORI

2.4 Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery

VRPSPD (Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pick-up and Delivery) yaitu suatu masalah penentuan rute beberapa angkutan barang (kendaraan) yang terdiri atas dua kegiatan yaitu mengirim barang dari depot ke lokasi agen (delivery) dan mengambil barang (pick-up) dari agen untuk dibawa ke depot dalam satu kali perjalanan dengan tujuan meminimumkan jarak tempuh kendaraan. Beberapa asumsi yang digunakan pada VRPSPD ialah:

1. Waktu bongkar muat barang dan waktu tempuh untuk pengiriman diabaikan, 2. Biaya pengiriman barang diabaikan,

3. Pengambilan (pick-up) dan pengiriman (delivery) dilakukan di tempat yang sama.

Model VRPSPD antara dua depot dapat dipresentasikan sebagai berikut Notasi:

𝑣 : himpunan kendaraan 𝑁 : himpunan agen 𝑛 : nomor dari agen

16

𝑖, 𝑗 : menghentikan indeks kendaraan 𝑄 : kapasitas kendaraan

𝑃 : permintaan pengambilan dari agen i 𝐷 : permintaan pengiriman agen i 𝑑_𝑖𝑗: jarak antara agen 𝑖 dan 𝑗

Variabel Keputusan:

𝑥_𝑖𝑗𝑘 = 1, jika kendaraan 𝑘 mengunjungi 𝑗 setelah 𝑖.

𝑞_𝑖𝑘: jumlah kumulatif setelah mengunjungi i

𝑀𝑖𝑛 𝑑_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗𝑘 (2.9)

𝑥_𝑖𝑗𝑘 ∈ 0,1

∀𝑖 = 0, … , 𝑛

∀𝑗 = 1, … , 𝑛 + 1

∀𝑘 = 1, … , 𝑣

(2.17)

Fungsi objektif dari VRPSPD (2.9 ) adalah meminumkan total jarak perjalanan, dengan 𝑑_𝑖𝑗 adalah jarak perjalanan dari agen i menuju agen j. Pada kendala (2.10) memastikan hanya satu kendaraan yang dapat mengunjungi agen dan hanya sekali. Kendala (2.11) dipastikan hanya satu kendaraan yang bisa meninggalkan agen dan hanya sekali. Kendala (2.12) memastikan setiap kendaraan meninggalkan depot awal satu kali. Kendala (2.13) memastikan setiap kendaraan memasuki depot akhir sekali. Kendala (2.14) dipastikan setiap kendaraan yang memasuki agen harus meninggalkan agen tersebut. Kendala (2.15) dipastikan total beban setelah meninggalkan agen 𝑗 tidak boleh melebihi kapasitas. Kendala (2.16) dipastikan subkendala eliminasi tur. Kendala (2.17) dipastikan semua 𝑥_𝑖𝑗𝑘 adalah biner. Nilai 1 berarti jika kendaraan 𝑘 mengunjungi 𝑗 setelah 𝑖 sedangkan nilai 0 berarti tidak ada kendaraan 𝑘 mengunjungi 𝑗 setelah 𝑖.

2.5 Algoritma

2.5.1 Algoritma Sweep

Algoritma sweep diterapkan pada koordinat polar dan depot dianggap sebagai pusat koordinat. Depot ini bergabung dengan titik yang dipilih disebut agen. Semua agen lainnya digabungkan ke depot dan kemudian diselaraskan dengan meningkatkan sudut yang dibentuk oleh segmen yang menghubungkan agen ke depot, segmen yang menghubungkan depot ke agen diasumsikan sebagai agen pertama.

Dalam menyelesaikan model VRP dengan kapasitas menggunakan algoritma sweep diperlukan dua tahapan proses yaitu pengelompokan (clustering) seperti pada Gambar 2.6 dan dilanjutkan dengan pembentukan rute.

18

Gambar 2.6 Proses Cluster

1. Tahap pengelompokan (clustering)

Langkah-langkah pada tahapan pengelompokan (clustering) pada tahap pengelompokan sebagai berikut:

h. Menggambarkan masing-masing agen dalam koordinat kartesius dan menetapkan lokasi depot sebagai pusat koordinat.

i. Menentukan semua koordinat polar dari masing-masing agen yang berhubungan dengan depot.

Langkah untuk mengubah koordinat kartesius (x,y) menjadi koordinat polar (r, 𝜃) adalah sebagai berikut:

𝑟 = 𝑥²+ 𝑦² (2.18)

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan^𝑦

𝑥 (2.19) j. Melakukan pengelompokan (clustering) dimulai dari agen yang memiliki sudut polar terkecil dan seterusnya berurutan sampai agen yang memiliki sudut polar terbesar dengan memperhatikan kapasitas kendaraan.

k. Memastikan semua agen “tersapu” dalam cluster saat ini.

l. Pengelompokan dihentikan ketika dalam satu cluster akan melebihi kapasitas maksimal kendaraan.

m. Membuat cluster baru dengan langkah yang sama seperti langkah c dimulai dari agen yang memiliki sudut polar terkecil yang belum termasuk dalam cluster sebelumnya (agen yang terakhir ditinggalkan).

n. Mengulangi langkah d-f, sampai semua agen telah dimasukkan dalam sebuah cluster.

2. Tahap pembentukan rute

Pada tahap pembentukan rute, masing-masing cluster yang telah diperoleh pada tahapan sebelumnya akan diselesaikan dengan menggunakan metode Nearest Neighbour sehingga dapat diperoleh urutan rute perjalanan dari masing-masing cluster (Cahyaningsih et al., 2015).

Dalam VRPSPD memperhatikan pengambilan dan pengiriman serta kapasitas kendaraan. Langkah-langkah algoritma sweep pada VRPSPD dapat digambarkan dalam flowchart, yang dapat dilihat pada Lampiran 1.

2.5.2 Algoritma Linear Sweep

Algoritma sweep dimodifikasi sebagai algoritma linear sweep dimana agen didistribusikan tidak mengelilingi satu depot pusat, tapi antara dua depot di ujung yang berlawanan. Oleh karena itu tidak mungkin menerapkan algoritma sweep dan memerlukan modifikasi. Agen disusun dalam grafik dan diberi koordinat x dan y.

Kemudian garis menyapu dari agen paling bawah dan menugaskan kendaraan ke agen pertama seperti pada Gambar 2.7. Prosedur yang tersisa sesuai dengan algoritma sweep asli.

Gambar 2.7. Algoritma Linear Sweep

Dalam algoritma linear sweep, agen ditugaskan sesuai urutan yang diurutkan dan sekali kendala dilanggar, alokasi agen untuk kendaraan dihentikan, walaupun memiliki kapasitas untuk memanfaatkannya. Maka perbaikan terhadap algoritma di atas dibuat dengan memasukkan variabel yang disebut skip. Di sini, jika ketika sebuah agen dialokasikan ke kendaraan dan sebuah kendala dilanggar, maka agen

20

tersebut dilewati dan agen selanjutnya diputuskan untuk alokasi, sehingga pemanfaatan kapasitas dimaksimalkan. Tapi agen yang dilewati tidak bisa dilakukan semua agen yang tersisa, karena dengan melewatkan lebih banyak agen dalam urutan yang diurutkan, jarak total yang ditempuh kendaraan akan meningkat secara drastis.

Oleh karena itu dalam pekerjaannya diusulkan untuk menetapkan variabel skip ke maksimal dua agen (node skipping) (Kumar dan Jayachitra, 2016).

Dalam menyelesaikan model VRPSPD menggunakan algoritma linear sweep diperlukan dua tahapan proses yaitu sebagai berikut.

1. Tahap pengelompokan (clustering)

a. Menggambarkan posisi agen dan dua depot dalam koordinat kartesius (x,y).

b. Garis menyapu dari bawah menuju agen dengan sumbu y terkecil dan menugaskan agen ke kendaraan pertama.

c. Setiap kendaraan memiliki kapasitas untuk memenuhi jumlah permintaan dan pengambilan setiap agen.

1) Jika jumlah kapasitas permintaan = kapasitas kendaraan maka sapuan berhenti.

2) Jika jumlah kapasitas permintaan > kapasitas kendaraan maka sapuan dapat meninggalkan agen dan melanjutkan sapuan ke agen berikutnya dengan maksimal 2 node skipping.

3) Jika jumlah kapasitas permintaan < kapasitas kendaraan maka sapuan dapat menyapu agen.

d. Dihasilkan rute baru dengan agen terdekat menyapu depot satu dan depot dua.

e. Selanjutnya ulangi langkah 3.

f. Jika semua agen telah tersapu maka pengelompokan berakhir.

2. Tahap pembentukan rute

Tahap ini merupakan tahap yang sama dengan tahap ke 2 algoritma sweep.

Langkah-langkah algoritma linear sweep pada VRPSPD dapat digambarkan dalam flowchart pada Lampiran 2.