ALGORITMA SWEEP DAN LINEAR SWEEP SEBAGAI SOLUSI VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH SIMULTANEOUS PICKUP AND DELIVERY (VRPSPD) ANTARA DUA DEPOT SKRIPSI

(1)

SIMULTANEOUS PICKUP AND DELIVERY (VRPSPD) ANTARA DUA DEPOT

SKRIPSI

WULANDARI 140803087

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

(2)

ALGORITMA SWEEP DAN LINEAR SWEEP SEBAGAI SOLUSI VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH

SIMULTANEOUS PICKUP AND DELIVERY (VRPSPD) ANTARA DUA DEPOT

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

WULANDARI 140803087

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2018

(3)

PERSETUJUAN

Judul : Algoritma Sweep dan Linear Sweep sebagai Solusi Vehicle Routing Problem With Simultaneous Pickup And Delivery (VRPSPD) antara Dua Depot

Kategori : Skripsi

Nama : Wulandari

Nomor Induk Mahasiswa : 140803087

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Disetujui di Medan, Agustus 2018

Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing Ketua

Dr. Suyanto, M.Kom Dr. Syahriol Sitorus, S.Si., M.IT NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 197103101997031004

(4)

PERNYATAAN

ALGORITMA SWEEP DAN LINEAR SWEEP SEBAGAI SOLUSI VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH SIMULTANEOUS PICKUP AND DELIVERY

(VRPSPD) ANTARA DUA DEPOT

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Agustus 2018

WULANDARI 140803087

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul “Algoritma Sweep dan Linear Sweep sebagai Solusi Vehicle Routing Problem With Simultaneous Pickup And Delivery (VRPSPD) antara Dua Depot”.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut mendukung dalam penulisan skripsi ini:

1. Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS sebagai Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom sebagai ketua Departemen Matematika dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si sebagai Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

3. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, S.Si., M.IT selaku Dosen Pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk membimbing penulis serta memberikan nasihat dan pengarahan yang berharga kepada penulis selama proses pengerjaan skripsi ini.

4. Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku Dosen Pembanding 1 dan Bapak Dr. James Piter Marbun, M.Kom selaku Dosen Pembanding 2 yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA USU yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama masa studi

(6)

6. Orangtua penulis Bapak Buyung Agam dan Ibu Johari yang selama ini memberikan bantuan, doa, dan motivasi yang luar biasa kepada penulis selama menempuh pendidikan dan menjalani perkuliahan.

7. Dan kepada semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan yang disebabkan keterbatasan pengetahuan serta pengalaman penulis.

Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari semua pihak. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.

Medan, Agustus 2018 Penulis

Wulandari 140803087

(7)

ALGORITMA SWEEP DAN LINEAR SWEEP SEBAGAI SOLUSI VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH SIMULTANEOUS PICKUP AND DELIVERY

(VRPSPD) ANTARA DUA DEPOT

ABSTRAK

Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery (VRPSPD) merupakan salah satu jenis dari Vehicle Routing Problem (VRP) yang penyelesaian akhirnya bertujuan untuk mendapatkan rute perjalanan yang paling minimum.

VRPSPD adalah permasalahan dimana kendaraan melakukan pemberhentian tunggal untuk pengambilan dan pengiriman barang. Untuk menyelesaian dan menemukan solusi dari masalah tersebut salah satu algoritma yang digunakan adalah algoritma sweep dan algoritma linear sweep. Penelitian ini bertujuan membentuk model matematika VRPSPD antara dua depot dan menyelesaikan rute terpendek dengan menggunakan algoritma linear sweep dan gabungan algoritma sweep dan linear sweep, serta membandingkan hasil penyelesaian tersebut. Data merupakan data acak yang terdiri dari dua depot dengan 30 agen yang tersebar di sekitarnya, jarak antar depot dengan agen dan jarak antar agen, jumlah pengambilan dan pengiriman masing-masing agen, dan kapasitas kendaraan. Hasil penelitian menunjukan bahwa berdasarkan perbandingan total jarak tempuh, solusi yang dihasilkan oleh gabungan algoritma sweep dan linear sweep lebih baik daripada hanya menggunakan algoritma linear sweep.

Kata Kunci : VRP, VRPSPD, Algoritma Sweep, Algoritma Linear Sweep.

(8)

SWEEP AND LINEAR SWEEP ALGORITHMS AS A VEHICLE ROUTING SOLUTION PROBLEM WITH SIMULTANEOUS PICKUP AND

DELIVERY (VRPSPD) BETWEEN TWO DEPOTS

ABSTRACT

Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery (VRPSPD) is one type of Vehicle Routing Problem (VRP) which the solution ultimately aims to get the minimum travel route. VRPSPD is a problem where the vehicle does a single stop for pickup and delivery of goods. To solve and find the solution of the problem one of the algorithm used is sweep algorithm and linear sweep algorithm. This study aims to form a VRPSPD mathematical model between two depots and complete the shortest route by using a linear sweep algorithm and a combination of sweep and linear sweep algorithms, and compare the results of the settlement. The data are random data consisting of two depots with 30 agents scattered around them, the distance between the depots with the agents and the distance between agents, the number of shipping and delivery of each agent, and the capacity of the vehicle. The results showed that based on the comparison of total mileage, the solution produced by the combination of sweep and linear sweep algorithm is better than using only linear sweep algorithm.

Keywords: VRP, VRPSPD, Sweep Algorithm, Linear Sweep Algorithm.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

DAFTAR LAMPIRAN xii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 3

1.6 Tinjauan Pustaka 4

1.7 Metodologi Penelitian 6

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Teori Graf 8

2.1.1 Definisi Graf 8

2.1.2 Graf Lengkap (Graf Komplit) 8

2.1.3 Graf Berbobot (Weighted Graph) 9

2.1.4 Graf Berarah (Directed Graph) 9

2.1.5 Graf Tidak Berarah (Undirected Graph) 10

2.2 Vehicle Routing Problem 10

2.3 Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery 15 2.4 Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup

and Delivery

15

2.5 Algoritma 17

2.5.1 Algoritma Sweep 17

2.5.2 Algoritma Linear Sweep 19

2.6 Metode Nearest Neighbour 21

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Contoh Kasus 22

3.2 Pembahasan Menggunakan Algoritma Linear Sweep dengan Maksimal Dua Node Skipping

23

3.2.1 Perumusan Fungsi Tujuan 23

3.2.2 Fungsi Kendala 23

(10)

3.2.3 Penyelesaian Kasus 24 3.3 Pembahasan Menggunakan Gabungan Algoritma

Sweep dan Linear Sweep dengan Maksimal Dua Node Skipping

64

3.3.1 Perumusan Fungsi Tujuan 65

3.3.2 Fungsi Kendala 65

3.3.3 Penyelesaian Kasus 68

3.4 Perbandingan Hasil 110

BAB 4. KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan 113

4.2 Saran 113

DAFTAR PUSTAKA 114

LAMPIRAN 116

(11)

DAFTAR TABEL

Nomor Tabel

Judul Halaman

3.1 Data Pengambilan dan Pengiriman 22

3.2 Posisi 30 Agen dan Dua Depot dalam Koordinat Kartesius 25 3.3 Jarak dengan Agen 8, 17, 20, 26 dan Dua Depot (Km) 48 3.4 Jarak dengan Agen 5, 7, 10, 16 dan Dua Depot (Km) 50 3.5 Jarak dengan Agen 4, 22, 27 dan Dua Depot (Km) 52 3.6 Jarak dengan Agen 9, 15, 29 dan Dua Depot (Km) 54 3.7 Jarak dengan Agen 11, 21, 23, 24, 28 dan Dua Depot (Km) 56 3.8 Jarak dengan Agen 2, 3, 6, 13, 19, 30 dan Dua Depot (Km) 58 3.9 Jarak dengan Agen 1, 12, 14, 18, 25 dan Dua Depot (Km) 61 3.10 Perbandingan Jarak Rute dengan Dua Tahap Algoritma

Linear Sweep

64 3.11 Posisi 16 Agen dan Dua Depot dalam Koordinat Kartesius 68 3.12 Jarak dengan Agen 10, 17, 20 dan Dua Depot (Km) 81 3.13 Jarak dengan Agen 9, 11, 16, 21, 22 dan Dua Depot (Km) 83 3.14 Jarak dengan Agen 12, 13, 15, 23, 24 dan Dua Depot (Km) 86 3.15 Jarak dengan Agen 14, 18, 19 dan Dua Depot (Km) 88 3.16 Perbandingan Jarak Rute dengan Dua Tahap Algoritma

Linear Sweep

90 3.17 Posisi 8 Agen dan Depot A dalam Koordinat Kartesius 91 3.18 Jarak dengan Agen 1, 2, 3, 4, 6 dan Depot A (Km) 96

3.19 Jarak dengan Agen 5, 7, 8 dan Depot A (Km) 99

3.20 Perbandingan Jarak Rute dengan Dua Tahap Algoritma Sweep dengan Depot A

101 3.21 Posisi 6 Agen dan Depot B dalam Koordinat Kartesius 102 3.22 Jarak dengan Agen 26, 27, 29 dan Depot B (Km) 106 3.23 Jarak dengan Agen 25, 28, 30 dan Depot B (Km) 108 3.24 Perbandingan Jarak Rute dengan Dua Tahap Algoritma

Sweep dengan Depot B

109

3.25 Hasil Rute dengan Algoritma Linear Sweep 110

3.26 Hasil Rute dengan Algoritma Sweep dan Linear Sweep 110

(12)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Gambar

2.1 Graf G 8

2.2 Graf Lengkap 9

2.3 Graf Berbobot 9

2.4 Graf Berarah 10

2.5 Graf Tidak Berarah 10

2.6 Proses Cluster 18

2.7 Algoritma Linear Sweep 19

3.1 Posisi 30 Agen dan Dua Depot dalam Koordinat Kartesius 24

3.2 Rute Cluster 1 Algoritma Linear Sweep 48

3.3 Pembentukan Rute 1 Algoritma Linear Sweep 49

3.16 Pembagian Agen dan Depot dengan Algoritma Sweep dan Linear Sweep dengan Node Skipping

65 3.17 Posisi 16 Agen dengan Dua Depot dalam Koordinat

Kartesius

68

3.26 Posisi 8 Agen dengan Depot A dalam Koordinat Kartesius 91 3.27 Rute Cluster 1 Algoritma Sweep dengan Depot A 97 3.28 Pembentukan Rute 1 Algoritma Sweep dengan Depot A 98 3.29 Rute Cluster 2 Algoritma Sweep dengan Depot A 99 3.30 Pembentukan Rute 2 Algoritma Sweep dengan Depot A 100 3.31 Posisi 6 Agen dengan Depot B dalam Koordinat Kartesius 101

(13)

3.32 Rute Cluster 1 Algoritma Sweep dengan Depot B 106 3.33 Pembentukan Rute 1 Algoritma Sweep dengan Depot B 107 3.34 Rute Cluster 2 Algoritma Sweep dengan Depot B 108 3.35 Pembentukan Rute 2 Algoritma Sweep dengan Depot B 109

3.36 Hasil Rute dengan Algoritma Linear Sweep 111

3.37 Hasil Rute dengan Gabungan Algoritma Sweep dan Algoritma Linear Sweep

112

(14)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Lampiran

1. Flowchart Algoritma Sweep pada VRPSPD 116

2. Flowchart Algoritma Linear Sweep dengan Node Skipping pada VRPSPD

117

3. Flowchart Metode Nearest Neighbour 118

4. Data Acak 25 Agen dan Dua Depot Diujung Berlawanan 119 5. Data Acak Dua Depot dengan 30 Agen Disekitarnya 120 6. Data Jarak Dua Depot dengan 30 Agen Disekitarnya (Km) 121

(15)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Masalah distribusi merupakan bagian dari permasalahan penyediaan barang atau jasa dari depot untuk dikirim kepada customer. Salah satu permasalahan yang dapat diterapkan dalam penyelesaian masalah pendistribusian tersebut yaitu Vehicle Routing Problem (VRP). VRP merupakan suatu permasalahan yang berfokus pada pendistribusian barang dari depot (gudang) perusahaan kepada agennya. Pengantaran barang tersebut menyangkut pelayanan yang diberikan perusahaan kepada sejumlah pelanggan atau agen dengan menggunakan kendaraan tertentu dimana lokasi depot dapat berada pada satu atau lebih lokasi. Kendaraan dikemudikan oleh pengemudi melewati jalan yang memungkinkan untuk dilewati. Solusi dari VRP berupa rute-rute yang dapat ditempuh kendaraan untuk mengantarkan seluruh permintaan agen dimana setiap rute ditempuh oleh satu kendaraan yang berawal dan berakhir di depot (Toth dan Vigo, 2002).

VRP dibagi menjadi beberapa jenis berdasarkan batasan dan kondisi tertentu yang dimasukkan pada permasalahannya. Salah satu jenis dari VRP adalah Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery (VRPSPD). VRPSPD adalah permasalahan dimana kendaraan melakukan pemberhentian tunggal untuk pengambilan dan pengiriman barang. Namun, ungkapan ini juga digunakan untuk menunjukkan bahwa agen secara bersamaan memiliki permintaan pengambilan dan pengiriman barang (Wassan dan Nagy, 2014). Salah satu algoritma heuristik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan VRPSPD adalah algoritma sweep.

Algoritma sweep terdiri dari dua tahap, pertama yaitu tahap pengelompokan (clustering) yang mana pengelompokan awal dilakukan dengan menggabungkan titik-titik dalam satu cluster berdasarkan kapasitas maksimal kendaraan. Permintaan total dalam satu cluster mungkin akan melebihi kapasitas kendaraan, karenanya beberapa titik dimasukkan ke cluster berikutnya. Tahap kedua yaitu dengan

(16)

2

menentukan urutan rute dari setiap cluster menggunakan metode Nearest Neighbour (Gunadi et al., 2002).

Kumar dan Jayachitra (2016) memodifikasi algoritma sweep sebagai algoritma linear sweep untuk menyelesaikan VRPSPD. Dalam penelitiannya agen didistribusikan melalui depot pertama dan berakhir di depot kedua. Agen disusun dalam grafik dan diberi koordinat x dan y. Kemudian garis menyapu dari agen paling bawah dan menugaskan simpul kekendaraan pertama dengan mengusulkan node skipping dengan batas maksimal dua loncatan dalam pengerjaannya. Langkah terakhir yang tersisa sesuai dengan algoritma sweep.

Kumar dan Jayachitra (2016) menggunakan algoritma linear sweep dengan tidak menggunakan node skipping dan algoritma linear sweep dengan node skipping untuk menyelesaikan permasalahan VRPSPD dengan dua depot yang ujungnya berlawanan dengan agen berada diantara kedua depot. Penelitiannya membuktikan algoritma linear sweep dengan node skipping menghasilkan jarak minimum dan kapasitas yang maksimum dari algoritma linear sweep dengan tidak menggunakan node skipping.

Berdasarkan hal tersebut, maka penulis melakukan studi literatur mengenai gabungan algoritma sweep dan linear sweep dengan node skipping dalam Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery dengan dua depot yang memiliki agen di sekitarnya. Kemudian dibandingkan dengan hanya algoritma linear sweep dengan node skipping.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan ide yang diperoleh, dirumuskan masalah untuk menyelesaikan permasalahan rute terpendek VRPSPD antara dua depot menggunakan algoritma sweep dan linear sweep dengan node skipping.

(17)

1.3 Batasan Masalah

Agar pembahasan dapat diselesaikan dengan baik dan tidak menyimpang dari tujuan yang akan dicapai serta membuat pembahasan lebih terarah, maka penulis perlu membuat suatu batasan masalah, yaitu:

1. Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery (VRPSPD) diterapkan hanya untuk mencari rute terpendek.

2. Kedua depot berada disekitar agen.

3. Jumlah agen, pengambilan dan pengiriman telah ditetapkan sebelumnya.

4. Sebaran data dua depot dan seluruh agen digambarkan menggunakan software Graph.

5. Total permintaan agen yang ditetapkan kejalur tunggal tidak melebihi kapasitas daya maksimum kendaraan.

6. Setiap agen terhubung satu sama lain dan jarak antar agen simetris, artinya 𝑐_𝑖𝑗 = 𝑐_𝑗𝑖.

7. Barang diangkut hanya antara depot dan agen dan bukan diantara agen.

8. Satu agen hanya dilayani oleh satu kendaraan.

9. Pencarian rute terpendek dan kapasitas kendaraan tidak memperhatikan kepadatan lalu lintas, penutupan jalan sementara, jalan rusak, dan halangan sejenisnya.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah mencari rute terpendek menggunakan algoritma sweep dan linear sweep pada VRPSPD antara dua depot dengan node skipping.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah untuk menjadi tambahan referensi bagi peneliti dan menambah pengetahuan pembaca khususnya mengenai penyelesaian rute terpendek pada masalah VRPSPD antara dua depot dengan menggunakan algoritma sweep dan linear sweep dengan node skipping.

(18)

4

1.6 Tinjauan Pustaka

Karena penelitian ini merupakan studi literatur maka penulis mengambil beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian tulisan ini.

Vehicle Routing Problem (VRP) pertama kali dipelajari oleh Dantzig dan Ramser (1959) dalam bentuk rute dan penjadwalan truk. Clarke dan Wright (1964) kemudian melanjutkan penelitian ini dengan memperkenalkan istilah depot sebagai tempat keberangkatan dan kembalinya kendaraan.

Teknik pencarian heuristik merupakan suatu strategi untuk melakukan proses pencarian ruang keadaan (state space) suatu problema secara selektif, yang memandu proses pencarian yang dilakukan di sepanjang jalur yang memiliki kemungkinan sukses paling besar, dan mengesampingkan usaha yang besar dan memboroskan waktu (Berlianty dan Arifin, 2010).

Sebagian besar algoritma heuristik yang berbeda telah dikembangkan untuk rute kendaraan. Salah satunya adalah algoritma sweep yang diajukan oleh Gillet dan Miller (1974). Algoritma ini dibangun untuk menghasilkan rute untuk kendaraan pengantar barang dimana solusi untuk Travelling Salesman Problem terjadi pada tahap kedua dari dua tahap yang ada pada algoritma sweep. (Gunadi et al., 2002).

Dalam menyelesaikan model VRP dengan kapasitas menggunakan algoritma sweep diperlukan dua tahapan proses yaitu pengelompokan (clustering) dilanjutkan dengan pembentukan rute (Cahyaningsih et al., 2015).

1. Tahap pengelompokan (clustering)

Langkah-langkah pada tahapan pengelompokan (clustering) pada tahap pengelompokan sebagai berikut:

a. Menggambarkan masing-masing agen dalam koordinat kartesius dan menetapkan lokasi depot sebagai pusat koordinat.

b. Menentukan semua koordinat polar dari masing-masing agen yang berhubungan dengan depot.

c. Melakukan pengelompokan (clustering) dimulai dari agen yang memiliki sudut polar terkecil dan seterusnya berurutan sampai agen yang memiliki sudut polar terbesar dengan memperhatikan kapasitas kendaraan.

d. Memastikan semua agen “tersapu” dalam cluster saat ini.

(19)

e. Pengelompokan dihentikan ketika dalam satu cluster akan melebihi kapasitas maksimal kendaraan.

f. Membuat cluster baru dengan langkah yang sama seperti langkah 3 dimulai dari agen yang memiliki sudut polar terkecil yang belum termasuk dalam cluster sebelumnya (agen yang terakhir ditinggalkan).

g. Mengulangi langkah d-f, sampai semua agen telah dimasukkan dalam sebuah cluster.

2. Tahap pembentukan rute

Pada tahap pembentukan rute, masing-masing cluster yang telah diperoleh pada tahapan sebelumnya akan diselesaikan dengan menggunakan metode Nearest Neighbour sehingga dapat diperoleh urutan rute perjalanan dari masing-masing cluster. Langkah-langkah dalam menentukan pembentukan rute dengan metode Nearest Neighbour adalah sebagai berikut:

a. Langkah 0: Inisialisasi

1) Menentukan satu titik yang akan menjadi titik awal perjalanan

2) Menentukan C = {1,2,3,...,n} sebagai himpunan titik yang akan dikunjungi 3) Menentukan urutan rute perjalanan saat ini (sementara) (R).

b. Langkah 1: Memilih titik yang selanjutnya akan dikunjungi

Jika n1 adalah titik yang berada diurutan terakhir dari rute R maka akan ditemukan titik berikutnya n2 yang memiliki jarak paling minimum dengan n1, dimana n2 merupakan anggota dari C. Apabila terdapat banyak pilihan optimal artinya terdapat lebih dari satu titik yang memiliki jarak yang sama dari titik terakhir dalam rute R dan jarak tersebut merupakan jarak paling minimum maka pilih secara acak.

c. Langkah 2: menambahkan titik yang terpilih pada langkah 1 pada urutan rute berikutnya. Menambahkan titik n₂ diurutan akhir dari rute sementara dan mengeluarkan yang terpilih tersebut dari daftar titik yang belum dikunjungi.

d. Langkah 3: Jika semua titik yang harus dikunjungi telah dimasukkan dalam rute atau C = ∅ maka tidak ada lagi titik yang ada di C. Selanjutnya menutup rute dengan menambahkan titik inisialisasi atau titik awal perjalanan diakhir rute.

Dengan kata lain, rute ditutup dengan kembali lagi ke titik asal. Jika sebaliknya, kembali melakukan langkah 1.

(20)

6

Cahyaningsih (2015) dalam jurnalnya yang berjudul “Penyelesaian Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) Menggunakan Algoritma Sweep untuk Optimasi Rute Distribusi Surat Kabar Kedaulatan Rakyat”. Pada penelitiannya agen dikelompokkan terlebih dahulu berdasarkan sudut polar kemudian ditentukan masing-masing rute setiap cluster dengan metode Nearest Neighboar. Hasil penelitian menunjukkan persentase penghematan jarak tempuh kendaraan sebesar 18,29 %.

Sedangkan Kumar dan Jayachitra (2016) dalam jurnalnya yang berjudul

“Linear Sweep Algorithm for Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery between Two Depots with Several Nodes” memodifikasi algoritma sweep menjadi algoritma linear sweep dengan perbaikan maksimal dua node skipping. Agen didistribusikan tidak mengelilingi satu depot pusat, tetapi antara dua depot diujung yang berlawanan. Penelitiannya membuktikan algoritma linear sweep dengan maksimal dua node skipping menghasilkan jarak minimum dan kapasitas yang maksimum dari algoritma linear sweep dengan tidak menggunakan node skipping.

1.7 Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian studi literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Studi literatur

Tahap ini dilakukan dengan mengidentifikasi permasalahan, mengkaji VRPSPD, langkah-langkah penyelesaian VRPSPD antara dua depot dengan menggunakan algoritma sweep dan linear sweep. Penelusuran referensi penelitian ini dari berbagai sumber seperti, buku, internet, jurnal, maupun penelitian yang telah ada sebelumnya mengenai hal-hal yang berhubungan dengan VRPSPD, algoritma sweep dan linear sweep.

2. Pengumpulan data

Tahap ini menggunakan contoh permasalahan dengan jumlah agen, kapasitas kendaraan, pengambilan dan pengiriman agen dengan dua depot.

3. Pengolahan data

(21)

Berdasarkan data maka dilakukan langkah-langkah berikut ini:

a. Pembahasan masalah dengan algoritma linear sweep 1) Menentukan fungsi tujuan

2) Menentukan fungsi kendala 3) Penyelesaian kasus

b. Pembahasan masalah dengan gabungan algoritma sweep dan linear sweep 1) Menentukan fungsi tujuan

2) Menentukan fungsi kendala 3) Penyelesaian kasus

c. Perbandingan hasil menggunakan algoritma linear sweep dengan gabungan algoritma sweep dan linear sweep.

4. Membuat kesimpulan dan saran dari pembahasan yang telah dilakukan.

(22)

e1

e2

e3

e4

e5

e6

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Graf 2.1.1 Definisi Graf

Graf 𝐺 adalah pasangan (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dengan 𝑉(𝐺) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan 𝐸(𝐺) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di 𝑉(𝐺) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di 𝑉(𝐺) disebut order dari 𝐺 dan dilambangkan dengan 𝑝(𝐺), dan banyaknya unsur di 𝐸(𝐺) disebut ukuran dari 𝐺 dan dilambangkan dengan 𝑞(𝐺). Misakan graf 𝐺 yang memuat himpunan titik 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi E(G) sebagai berikut.

𝑉(𝐺) = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

𝐸(𝐺) = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑎, 𝑑), (𝑏, 𝑑), (𝑏, 𝑐), (𝑑, 𝑒)}

Graf 𝐺 tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.1 ( Abdussakir et al., 2009).

Gambar 2.1 Graf 𝐺

2.1.2 Graf Lengkap (Graf Komplit)

Graf 𝐺 disebut graf lengkap atau graf komplit jika untuk setiap 2 titik yang berbeda di 𝐺 terdapat rusuk yang menghubungkan 2 titik tersebut. Graf lengkap dengan

a

b

c

d

e

(23)

a

b

c

d

e 3

4

3

6

𝑛 titik dinotasikan dengan 𝐾_𝑛. Contoh graf lengkap dapat dilihat pada Gambar 2.2 (Ibrahim dan Noor Saif, 2013).

Gambar 2.2 Graf Lengkap

2.1.3 Graf Berbobot (Weighted Graph)

Suatu graf 𝐺 disebut graf berbobot jika setiap sisi 𝑒 dari 𝐺 diberi suatu bilangan tidak negatif 𝑤(𝑒) yang disebut bobot atau panjang dari 𝑣. Pada Gambar 2.3 menunjukkan suatu lintasan dalam suatu graf terbobot dimana bobot setiap sisinya diketahui dengan jelas. Bobot (panjang) suatu lintasan dalam suatu graf terbobot 𝐺 didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari bobot sisi-sisi dalam lintasan tersebut (Lipschutz dan Lars Lipson, 2007).

Gambar 2.3 Graf Berbobot

2.1.4 Graf Berarah (Directed Graph)

Graf berarah adalah graf yang sisi-sisinya bersifat satu arah. Suatu graf berarah 𝐺 atau digraf terdiri dari dua hal yaitu himpunan 𝑉 yang elemen-elemennya disebut verteks, nodes, atau titik dan himpunan pasangan berurut 𝐸(𝑢, 𝑣) dari verteks yang

2

(24)

10

disebut lengkung, sisi terarah atau sisi saja. Contoh graf berarah dapat dilihat pada Gambar 2.4 (Lipschutz dan Lars Lipson, 2007).

Gambar 2.4 Graf Berarah

2.1.5 Graf Tidak Berarah (Undirected Graph)

Graf tidak berarah adalah graf yang edge nya tidak mempunyai orientasi arah atau panah. Pada graf ini, urutan pasangan verteks yang dihubungkan oleh edge tidak diperhatikan. Jadi (𝑉_𝑖, 𝑉_𝑗) = (𝑉_𝑗, 𝑉_𝑘) . Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Graf Tidak Berarah

2.2 Vehicle Routing Problem

Vehicle Routing Problem (VRP) diperkenalkan pertama kali oleh Dantziq dan Ramser pada tahun 1959 dan semenjak itu dipelajari secara luas. VRP didefnisikan sebagai sebuah pencarian atau penggunaan yang efisien untuk sejumlah kendaraan (vehicle) dimana kendaraan tersebut harus mengunjungi sejumlah tempat untuk mengantar atau menjemput orang/barang. Istilah agen digunakan untuk menunjukkan tempat pemberhentian. Dan seorang agen hanya boleh dilayani oleh sebuah kendaraan (vehicle) saja. Hal ini dilakukan untuk meminimalkan biaya yang

(25)

diperlukan dengan mempertimbangkan kapasitas sebuah kendaraan dalam satu kali pengantaran.

VRP memiliki empat tujuan (Toth dan Vigo, 2002) yaitu:

1. Meminimalkan biaya transportasi global, terkait dengan jarak dan biaya tetap yang berhubungan dengan kendaraan.

2. Meminimalkan jumlah kendaraan yang dibutuhkan untuk melayani semua agen.

3. Menyeimbangkan rute, untuk waktu perjalanan dan muatan kendaraan.

4. Meminimalkan pinalti akibat service yang kurang memuaskan terhadap agen, seperti keterlambatan pengiriman dan lain sebagainya.

Terdapat beberapa variasi dalam permasalahan utama VRP (Toth dan Vigo, 2002) yaitu:

1. Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP)

CVRP merupakan jenis VRP yang setiap kendaraannya memiliki kapasitas terbatas.

2. Vehicle Routing Problem with Pick up and Delivery (VRPPD)

VRPPD merupakan jenis VRP dengan pelayanan jemput dan pelayanan antar dalam setiap permintaan agen.

3. Distance Constrained Vehicle Routing Problem (DCVRP)

DCVRP merupakan jenis VRP dengan kendala batasan panjang rute.

4. Vehicle Routing Problem with Multiple Depot (MDVRP)

MDVRP merupakan jenis VRP yang memiliki banyak depot dalam melakukan pelayanan terhadap agen.

5. Split Delivery Vehicle Routing Problem (SDVRP)

SDVRP merupakan jenis VRP dimana pelayanan terhadap agen dilakukan dengan menggunakan kendaraan yang berbeda-beda.

6. Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW)

VRPTW merupakan jenis VRP dengan kendala kapasitas kendaraan dan batasan waktu (time windows) pada setiap agen dan depot.

Beberapa komponen beserta karakteristiknya yang terdapat dalam masalah VRP (Toth dan Vigo, 2002) yaitu:

(26)

12

1. Jaringan jalan

Jaringan jalan biasanya direpresentasikan dalam sebuah graf. Jaringan jalan terdiri edge (rusuk) yang mempresentasikan bagian jalan yang digunakan, dan vertex (titik) yang mempresentasikan agen dan depot.

2. Agen

Agen atau konsumen direpresentasikan dengan vertex (titik). Setiap agen memiliki jumlah permintaan yang berbeda-beda yang dapat mempengaruhi lamanya waktu bongkar muat (loading unloading) barang. Pada beberapa agen, biasanya time windows atau rentang waktu kapan agen tersebut dapat dilayani.

3. Depot

Depot direpresentasikan oleh vertex (titik). Depot merupakan tempat awal dan akhir dari suatu rute kendaraan. Depot memiliki sejumlah kendaraan dengan jenis dan kapasitas tertentu yang dapat digunakan dalam mendistribusikan barang atau jasa pada jam operasional depot yang telah ditentukan (time windows depot).

4. Kendaraan

Kendaraan yang digunakan dalam proses distribusi memiliki kapasitas yang membatasi permintaan agen, yaitu dimana jumlah permintaan agen tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan tersebut. Selain itu, kendaraan juga memiliki biaya yang berhubungan dengan penggunaan kendaraan, baik yang meliputi biaya pengeluaran untuk bahan bakar maupun sewa kendaraan.

5. Pengemudi

Pengemudi memiliki kendala seperti jam kerja harian, tambahan waktu lembur apabila diperlukan, jumlah dan jam istirahat, serta durasi maksimum perjalanan.

Secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐴) dengan 𝑉 = {0,1, … , 𝑛} menyatakan himpunan titik yang menunjukkan lokasi agen dan 𝐴 = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 𝑉, 𝑖 ≠ 𝑗 yaitu himpunan sisi berarah yang menyatakan jalan

(27)

penghubung antar lokasi agen. Titik 0 menunjukkan depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan merupakan tempat dimulainya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang tersedia di depot adalah 𝐾 dengan kapasitas kendaraan ke-𝑘 adalah 𝑣_𝑘. Setiap agen 𝑖 memiliki permintaan sebanyak 𝑞_𝑖. Jarak/biaya perjalanan dari agen 𝑖 ke agen j adalah 𝐶_{𝑖𝑗 .}

Model VRP dapat dipresentasikan sebagai berikut.

min 𝑍 = 𝐶_𝑖𝑗𝑋_𝑖𝑗𝑘

𝑙

𝑘=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑗 =1

(2.1)

Dengan kendala-kendala

1. Agen

𝑋_𝑖𝑗𝑘 = 1; ∀𝑗 = 2,3, … , 𝑛 (2.2)

𝑙

𝑘=1 𝑛

𝑖=1

𝑋_𝑖𝑗𝑘 = 1; ∀𝑖 = 2,3, … , 𝑛 (2.3)

𝑙

𝑘=1 𝑛

𝑗 =1

2. Depot

𝑋_1𝑗𝑘 = 1; ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑙

𝑛

𝑗 =2

(2.4)

𝑋_𝑖1𝑘

𝑛

𝑖=2

= 1; ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑙 (2.5)

3. Kekontinuan Rute 𝑋_𝑖𝑢𝑘 =

𝑛

𝑖=2

𝑋_𝑢𝑗𝑘; ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑙

∀𝑢 = 1,2, … , 𝑛 2.6

𝑛

𝑖=2

4. Kapasitas

𝑞_𝑖𝑋_𝑖𝑗𝑘 ≤ 𝐶_𝑘; ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑙

𝑛

𝑗 =1 𝑛

𝑖=1

(2.7) 𝑋_𝑖𝑗𝑘 ∈ 0,1 ; ∀𝑖𝑗 = 1,2, … , 𝑙

∀𝑘 = 1,2, … , 𝑙 (2.8)

(28)

14

Fungsi objektif dari VRP (2.1) adalah meminumkan total biaya/jarak perjalanan, dengan 𝐶_𝑖𝑗adalah biaya/jarak perjalanan dari agen 𝑖 menuju agen 𝑗. Variabel keputusan 𝑋_𝑖𝑗𝑘 bernilai 1 jika rute dari agen 𝑖 menuju agen 𝑗 dilayani oleh kendaraan 𝑘 dan bernilai nol jika selainnya. Pada kendala (2.2) dan (2.3) dipastikan tepat satu kendaraan yang datang dan pergi dari agen 𝑖, sedangkan kendala (2.4) dan (2.5) memastikan bahwa tepat satu kendaraan yang pergi dan tiba di depot untuk satu rute. Kendala (2.6) memastikan kekontinuan rute dari setiap kendaraan yang beroperasi. Kendala (2.7) memastikan total permintaan (𝑞_𝑖) pada satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan (𝐶_𝑘) yang beroperasi pada rute tersebut (Kritikos dan Ioannou 2004).

Berdasarkan penelitian Asteria (2008) menyatakan, pada dasarnya, terdapat tiga macam penyelesaian VRP:

1. Solusi Eksak

Pada solusi eksak (metode optimasi) dilakukan pendekatan dengan menghitung setiap solusi yang mungkin hingga menghasilkan jawaban terbaik (optimal) dari persoalan branch and bound dan branch and cut merupakan contoh dari penyelesaian eksak.

2. Heuristik

Metode heuristik memberikan suatu cara untuk menyelesaikan permasalahan optimasi yang lebih sulit dan dengan kualitas dan waktu penyelesaian yang lebih cepat daripada solusi eksak. Contoh metode heuristik antara lain: saving based, matching based, multiroute improvement heuristic, dan lain sebagainya.

3. Metaheuristik.

Metaheuristik adalah suatu metode untuk melakukan eksplorasi yang lebih dalam pada daerah yang menjanjikan dari ruang solusi yang ada. Kualitas solusi yang dihasilkan dari metode ini jauh lebih baik daripada yang didapat heuristik klasik.

Contoh metaheuristik adalah genetic algorithm, simulated annealing, tabu search, ant colony system dan sebagainya (Perwitasari, 2012).

(29)

2.3 Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery

Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery (VRPPD) merupakan jenis VRP dengan barang yang diangkut dari depot keagen dan dari agen ke depot.

Sejak penelitian Casco, Golden dan Wasil (1988), awalnya sebagian besar penelitian VRPPD berfokus pada tiga kelas masalah penting yaitu:

1. VRP dengan Backhauling (VRPB), merupakan kasus khusus permintaan tunggal, dibangun atas premis bahwa semua pengiriman harus dilayani sebelum pickup dapat dimulai.

2. VRP dengan Mixed Deliveries and Pickups (VRPMDP), merupakan kasus yang memungkinkan pengiriman dan pengambilan terjadi dalam urutan apapun pada rute kendaraan.

3. VRP with Simultaneous pickup and delivery (VRPSPD), adalah kasus gabungan dimana kendaraan membuat satu pemberhentian untuk pengambilan dan pengiriman barang (Wassan dan Nagy, 2014).

2.4 Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pickup and Delivery

VRPSPD (Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pick-up and Delivery) yaitu suatu masalah penentuan rute beberapa angkutan barang (kendaraan) yang terdiri atas dua kegiatan yaitu mengirim barang dari depot ke lokasi agen (delivery) dan mengambil barang (pick-up) dari agen untuk dibawa ke depot dalam satu kali perjalanan dengan tujuan meminimumkan jarak tempuh kendaraan. Beberapa asumsi yang digunakan pada VRPSPD ialah:

1. Waktu bongkar muat barang dan waktu tempuh untuk pengiriman diabaikan, 2. Biaya pengiriman barang diabaikan,

3. Pengambilan (pick-up) dan pengiriman (delivery) dilakukan di tempat yang sama.

Model VRPSPD antara dua depot dapat dipresentasikan sebagai berikut Notasi:

𝑣 : himpunan kendaraan 𝑁 : himpunan agen 𝑛 : nomor dari agen

(30)

16

𝑖, 𝑗 : menghentikan indeks kendaraan 𝑄 : kapasitas kendaraan

𝑃 : permintaan pengambilan dari agen i 𝐷 : permintaan pengiriman agen i 𝑑_𝑖𝑗: jarak antara agen 𝑖 dan 𝑗

Variabel Keputusan:

𝑥_𝑖𝑗𝑘 = 1, jika kendaraan 𝑘 mengunjungi 𝑗 setelah 𝑖.

𝑞_𝑖𝑘: jumlah kumulatif setelah mengunjungi i

𝑀𝑖𝑛 𝑑_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗𝑘 (2.9)

𝑣

𝑘=1 𝑛 +1

𝑗 =1 𝑛

𝑖=0

kendala:

𝑥_𝑖𝑗𝑘 = 1 ∀𝑗 = 1,2, … 𝑛 + 1 (2.10)

𝑛

𝑖=0 𝑣

𝑘=1

𝑥_𝑖𝑗𝑘 = 1 ∀𝑖 = 1,2, … 𝑛 + 1 (2.11)

𝑛+1

𝑗 =1 𝑣

𝑘=1

𝑥_0𝑗𝑘 = 1 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

𝑛 +1

𝑗 =1

(2.12)

𝑥_{𝑖,𝑛 +1,𝑘} = 1 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣 (2.13)

𝑛

𝑖=1

𝑥_𝑖𝑚𝑘 = 𝑥_𝑚𝑗𝑘 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

∀𝑚 = 1,2, … , 𝑛 (2.14)

𝑛+1

𝑗 ≠𝑚 𝑛

𝑖≠𝑚

𝑞_𝑖𝑘 + 𝑃_𝑗 − 𝐷_𝑗 ≤ 𝑄 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

∀𝑚 = 1,2, … , 𝑛 (2.15) 𝑥_𝑖𝑗 ≥ 1 𝑆 ⊆ N

∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣 (2.16)

𝑗 ∈𝑆(:𝑖≠𝑗 ) 𝑖∈𝑆

(31)

𝑥_𝑖𝑗𝑘 ∈ 0,1

∀𝑖 = 0, … , 𝑛

∀𝑗 = 1, … , 𝑛 + 1

∀𝑘 = 1, … , 𝑣

(2.17)

Fungsi objektif dari VRPSPD (2.9 ) adalah meminumkan total jarak perjalanan, dengan 𝑑_𝑖𝑗 adalah jarak perjalanan dari agen i menuju agen j. Pada kendala (2.10) memastikan hanya satu kendaraan yang dapat mengunjungi agen dan hanya sekali. Kendala (2.11) dipastikan hanya satu kendaraan yang bisa meninggalkan agen dan hanya sekali. Kendala (2.12) memastikan setiap kendaraan meninggalkan depot awal satu kali. Kendala (2.13) memastikan setiap kendaraan memasuki depot akhir sekali. Kendala (2.14) dipastikan setiap kendaraan yang memasuki agen harus meninggalkan agen tersebut. Kendala (2.15) dipastikan total beban setelah meninggalkan agen 𝑗 tidak boleh melebihi kapasitas. Kendala (2.16) dipastikan subkendala eliminasi tur. Kendala (2.17) dipastikan semua 𝑥_𝑖𝑗𝑘 adalah biner. Nilai 1 berarti jika kendaraan 𝑘 mengunjungi 𝑗 setelah 𝑖 sedangkan nilai 0 berarti tidak ada kendaraan 𝑘 mengunjungi 𝑗 setelah 𝑖.

2.5 Algoritma

2.5.1 Algoritma Sweep

Algoritma sweep diterapkan pada koordinat polar dan depot dianggap sebagai pusat koordinat. Depot ini bergabung dengan titik yang dipilih disebut agen. Semua agen lainnya digabungkan ke depot dan kemudian diselaraskan dengan meningkatkan sudut yang dibentuk oleh segmen yang menghubungkan agen ke depot, segmen yang menghubungkan depot ke agen diasumsikan sebagai agen pertama.

Dalam menyelesaikan model VRP dengan kapasitas menggunakan algoritma sweep diperlukan dua tahapan proses yaitu pengelompokan (clustering) seperti pada Gambar 2.6 dan dilanjutkan dengan pembentukan rute.

(32)

18

Gambar 2.6 Proses Cluster

Langkah-langkah pada tahapan pengelompokan (clustering) pada tahap pengelompokan sebagai berikut:

h. Menggambarkan masing-masing agen dalam koordinat kartesius dan menetapkan lokasi depot sebagai pusat koordinat.

i. Menentukan semua koordinat polar dari masing-masing agen yang berhubungan dengan depot.

Langkah untuk mengubah koordinat kartesius (x,y) menjadi koordinat polar (r, 𝜃) adalah sebagai berikut:

𝑟 = 𝑥²+ 𝑦² (2.18)

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan^𝑦

𝑥 (2.19) j. Melakukan pengelompokan (clustering) dimulai dari agen yang memiliki sudut polar terkecil dan seterusnya berurutan sampai agen yang memiliki sudut polar terbesar dengan memperhatikan kapasitas kendaraan.

k. Memastikan semua agen “tersapu” dalam cluster saat ini.

l. Pengelompokan dihentikan ketika dalam satu cluster akan melebihi kapasitas maksimal kendaraan.

m. Membuat cluster baru dengan langkah yang sama seperti langkah c dimulai dari agen yang memiliki sudut polar terkecil yang belum termasuk dalam cluster sebelumnya (agen yang terakhir ditinggalkan).

n. Mengulangi langkah d-f, sampai semua agen telah dimasukkan dalam sebuah cluster.

(33)

Pada tahap pembentukan rute, masing-masing cluster yang telah diperoleh pada tahapan sebelumnya akan diselesaikan dengan menggunakan metode Nearest Neighbour sehingga dapat diperoleh urutan rute perjalanan dari masing-masing cluster (Cahyaningsih et al., 2015).

Dalam VRPSPD memperhatikan pengambilan dan pengiriman serta kapasitas kendaraan. Langkah-langkah algoritma sweep pada VRPSPD dapat digambarkan dalam flowchart, yang dapat dilihat pada Lampiran 1.

2.5.2 Algoritma Linear Sweep

Algoritma sweep dimodifikasi sebagai algoritma linear sweep dimana agen didistribusikan tidak mengelilingi satu depot pusat, tapi antara dua depot di ujung yang berlawanan. Oleh karena itu tidak mungkin menerapkan algoritma sweep dan memerlukan modifikasi. Agen disusun dalam grafik dan diberi koordinat x dan y.

Kemudian garis menyapu dari agen paling bawah dan menugaskan kendaraan ke agen pertama seperti pada Gambar 2.7. Prosedur yang tersisa sesuai dengan algoritma sweep asli.

Gambar 2.7. Algoritma Linear Sweep

Dalam algoritma linear sweep, agen ditugaskan sesuai urutan yang diurutkan dan sekali kendala dilanggar, alokasi agen untuk kendaraan dihentikan, walaupun memiliki kapasitas untuk memanfaatkannya. Maka perbaikan terhadap algoritma di atas dibuat dengan memasukkan variabel yang disebut skip. Di sini, jika ketika sebuah agen dialokasikan ke kendaraan dan sebuah kendala dilanggar, maka agen

(34)

20

tersebut dilewati dan agen selanjutnya diputuskan untuk alokasi, sehingga pemanfaatan kapasitas dimaksimalkan. Tapi agen yang dilewati tidak bisa dilakukan semua agen yang tersisa, karena dengan melewatkan lebih banyak agen dalam urutan yang diurutkan, jarak total yang ditempuh kendaraan akan meningkat secara drastis.

Oleh karena itu dalam pekerjaannya diusulkan untuk menetapkan variabel skip ke maksimal dua agen (node skipping) (Kumar dan Jayachitra, 2016).

Dalam menyelesaikan model VRPSPD menggunakan algoritma linear sweep diperlukan dua tahapan proses yaitu sebagai berikut.

a. Menggambarkan posisi agen dan dua depot dalam koordinat kartesius (x,y).

b. Garis menyapu dari bawah menuju agen dengan sumbu y terkecil dan menugaskan agen ke kendaraan pertama.

c. Setiap kendaraan memiliki kapasitas untuk memenuhi jumlah permintaan dan pengambilan setiap agen.

1) Jika jumlah kapasitas permintaan = kapasitas kendaraan maka sapuan berhenti.

2) Jika jumlah kapasitas permintaan > kapasitas kendaraan maka sapuan dapat meninggalkan agen dan melanjutkan sapuan ke agen berikutnya dengan maksimal 2 node skipping.

3) Jika jumlah kapasitas permintaan < kapasitas kendaraan maka sapuan dapat menyapu agen.

d. Dihasilkan rute baru dengan agen terdekat menyapu depot satu dan depot dua.

e. Selanjutnya ulangi langkah 3.

f. Jika semua agen telah tersapu maka pengelompokan berakhir.

Tahap ini merupakan tahap yang sama dengan tahap ke 2 algoritma sweep.

Langkah-langkah algoritma linear sweep pada VRPSPD dapat digambarkan dalam flowchart pada Lampiran 2.

(35)

2.6 Metode Nearest Neighbour

Metode Nearest Neighbour pertama kali diperkenalkan pada tahun 1983 dan merupakan metode yang sangat sederhana. Pada setiap iterasinya, dilakukan pencarian agen terdekat dengan agen yang terakhir untuk ditambahkan pada akhir rute tersebut. Rute baru dimulai dengan cara yang sama jika tidak terdapat posisi yang fisibel untuk menempatkan agen baru karena kendala kapasitas atau time windows (Braysy dan Gendreau, 2005).

Pada tahap pembentukan rute algoritma, masing-masing cluster yang telah diperoleh pada tahapan algoritma sweep akan diselesaikan dengan menggunakan metode Nearest Neighbour sehingga dapat diperoleh urutan rute perjalanan dari masing-masing cluster. Langkah-langkah dalam menentukan pembentukan rute dengan metode Nearest Neighbour adalah sebagai berikut:

1. Langkah 0: Inisialisasi

a. Menentukan satu titik yang akan menjadi titik awal perjalanan

b. Menentukan C = {1,2,3,...,n} sebagai himpunan titik yang akan dikunjungi c. Menentukan urutan rute perjalanan saat ini (sementara) (R).

2. Langkah 1: Memilih titik yang selanjutnya akan dikunjungi

Jika n₁ adalah titik yang berada diurutan terakhir dari rute R maka akan ditemukan titik berikutnya n₂ yang memiliki jarak paling minimum dengan n₁, dimana n₂ merupakan anggota dari C. Apabila terdapat banyak pilihan optimal artinya terdapat lebih dari satu titik yang memiliki jarak yang sama dari titik terakhir dalam rute R dan jarak tersebut merupakan jarak paling minimum maka pilih secara acak.

3. Langkah 2: menambahkan titik yang terpilih pada langkah 1 pada urutan rute berikutnya. Menambahkan titik n2 diurutan akhir dari rute sementara dan mengeluarkan yang terpilih tersebut dari daftar titik yang belum dikunjungi.

4. Langkah 3: Jika semua titik yang harus dikunjungi telah dimasukkan dalam rute atau C = ∅ maka tidak ada lagi titik yang ada di C. Selanjutnya menutup rute dengan menambahkan titik awal atau titik akhir perjalanan diakhir rute. Dengan kata lain, rute ditutup dengan kembali ke titik akhir. Jika sebaliknya, kembali melakukan langkah 1 (Cahyaningsih et al., 2015). Langkah-langkah metode Nearest Neighbour digambarkan dalam flowchart pada Lampiran 3

(36)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Contoh Kasus

Dari jurnal Kumar dan Jayachitra, data menggunakan data acak yang telah dibuat secara hipotesis dengan 25 agen dan dua depot diujung yang berlawanan. Salah satunya dapat dilihat pada Lampiran 4. Sedangkan dalam penelitian ini, data merupakan data acak yang terdiri dari dua depot dengan 30 agen yang tersebar di sekitarnya seperti pada Lampiran 5 dan matriks jarak pada Lampiran 6 . Kapasitas kendaraan sebanyak 90 satuan dengan pengambilan dan pengiriman seperti pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Data Pengambilan dan Pengiriman Agen Pengambilan Pengiriman

1 10 14

2 15 17

3 3 10

4 15 30

5 9 15

6 5 9

7 11 17

8 12 19

9 19 27

10 21 41

11 7 13

12 5 10

13 5 7

14 4 14

15 13 37

16 10 15

17 15 25

18 13 35

19 5 28

20 10 17

21 7 13

22 15 21

23 14 20

(37)

Tabel 3.1 Lanjutan

3.2 Pembahasan Menggunakan Algoritma Linear Sweep dengan Maksimal Dua Node Skipping

Kasus diselesaikan dengan menggunakan algoritma linear sweep dengan maksimal dua node skipping.

3.2.1 Perumusan Fungsi Tujuan

Tujuan pembuatan model ini adalah meminimumkan total jarak tempuh perjalanan kendaraan. Berdasarkan persamaan akan dibentuk fungsi tujuan sebagai berikut.

𝑀𝑖𝑛 𝑑_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗𝑘

𝑣

𝑘=1 31

𝑗 =1 30

𝑖=0

3.2.2 Fungsi Kendala Kendala:

1. Hanya satu kendaraan yang dapat mengunjungi agen dan hanya sekali 𝑥_𝑖𝑗𝑘 = 1 ∀𝑗 = 1,2, … ,31

30

𝑖=0 𝑣

𝑘=1

2. Hanya satu kendaraan yang bisa meninggalkan agen dan hanya sekali 𝑥_𝑖𝑗𝑘 = 1 ∀𝑖 = 1,2, … ,31

31

𝑗 =1 𝑣

𝑘=1

Agen Pengambilan Pengiriman

24 8 11

25 11 14

26 9 17

27 16 23

28 20 33

29 15 23

30 8 14

(38)

24

3. Setiap kendaraan meninggalkan depot awal satu kali 𝑥_0𝑗𝑘 = 1 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

31

𝑗 =1

4. Setiap kendaraan memasuki depot akhir sekali

𝑥_𝑖,31,𝑘 = 1 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

30

𝑖=1

5. Setiap kendaraan yang memasuki agen harus meninggalkan agen tersebut 𝑥_𝑖𝑚𝑘 = 𝑥_𝑚𝑗𝑘 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

∀𝑚 = 1,2, … ,30

31

𝑗 ≠𝑚 30

𝑖≠𝑚

6. Total beban setelah meninggalkan agen 𝑗 tidak boleh melebihi kapasitas 𝑞_𝑖𝑘 + 𝑃_𝑗 − 𝐷_𝑗 ≤ 𝑄 ∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

∀𝑚 = 1,2, … ,30 7. Subkendala eliminasi tur

𝑥_𝑖𝑗 ≥ 1 𝑆 ⊆ 𝑁

∀𝑘 = 1,2, … , 𝑣

𝑗 ∈𝑆(:𝑖≠𝑗 ) 𝑖∈𝑆

8. Semua 𝑥_𝑖𝑗𝑘 adalah biner

𝑥_𝑖𝑗𝑘 ∈ 0,1

∀𝑖 = 0, … ,30 ∀𝑗 = 1, … ,31 ∀𝑘 = 1, … , 𝑣

3.2.3 Penyelesaian Kasus

1. Tahap pengelompokan (clustering)

a. Menggambarkan posisi agen dan dua depot dalam koordinat kartesius (x,y) seperti pada Gambar 3.1 dan Tabel 3.2.

Gambar 3.1 Posisi 30 Agen dan Dua Depot dalam Koordinat Kartesius

(39)

Tabel 3.2 Posisi 30 Agen dan Dua Depot dalam Koordinat Kartesius

b. Dari sumbu y terkecil dengan sapuan dari bawah diperoleh agen-agen secara berurutan 8, 20, 26, 17, 10, 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14 .

Agen x y

A 7 6

B 20 6

1 2,1 9,3

2 4,6 9,1

3 0,5 8

4 1,4 4,6

5 5 4,5

6 6 7,7

7 2,7 2

8 3,8 0,4

9 9,6 5,1

10 8,7 1,8

11 8,4 6,3

12 8,9 9,6

13 11,7 8,3

14 12,9 11,7

15 11 6

16 12,4 3,5

17 11,9 1,6

18 15,2 10,6

19 15,4 9

20 14,7 1,1

21 14,5 6,3

22 17,7 4

23 16,7 6,7

24 19,1 7,5

25 21,3 9,5

26 23 1,6

27 23,2 4,3

28 23,5 6,6

29 25,8 5,4

30 25,9 9

(40)

26

c. Pengelompokan rute 1

Percobaan 1 Rute awal : 𝐴

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {8, 20, 26, 17, 10, 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₈ = 12 𝐷₈ = 19

𝐷 = 𝐷₈ ≤ 𝑄 𝐷 = 19 < 𝑄 𝑞_0𝑘+ 𝑃₈− 𝐷₈ ≤ 𝑄 90 + 12 − 19 ≤ 90 83 ≤ 90

Dari kendala (2.15) muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 83.

Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 8.

Percobaan 2 Rute awal : 𝐴 → 8

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {20, 26, 17, 10, 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₂₀ = 10 𝐷₂₀ = 17

𝐷 = 𝐷₈+ 𝐷₂₀ ≤ 𝑄 𝐷 = 19 + 17 = 36 < 𝑄 𝑞_8𝑘+ 𝑃₂₀− 𝐷₂₀ ≤ 𝑄 83 + 10 − 17 ≤ 90 76 ≤ 90

(41)

Dari kendala (2.15) dapat dihitung muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 76. Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 8 → 20.

Percobaan 3

Rute awal : 𝐴 → 8 → 20

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {26, 17, 10, 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₂₆ = 9 𝐷₂₆ = 17

𝐷 = 𝐷₈+ 𝐷₂₀ + 𝐷₂₆ ≤ 𝑄 𝐷 = 19 + 17 + 17 = 53 < 𝑄 𝑞_20𝑘 + 𝑃₂₆ − 𝐷₂₆ ≤ 𝑄

76 + 9 − 17 ≤ 𝑄 68 ≤ 90

Dari kendala (2.15) dapat dihitung muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 68. Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 8 → 20 → 26.

Percobaan 4

Rute awal : 𝐴 → 8 → 20 → 26

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {17, 10, 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₁₇ = 15 𝐷₁₇ = 25

𝐷 = 𝐷₈+ 𝐷₂₀ + 𝐷₂₆+ 𝐷₁₇ ≤ 𝑄 𝐷 = 19 + 17 + 17 + 25 = 78 < 𝑄 𝑞_26𝑘 + 𝑃₁₇− 𝐷₁₇ ≤ 𝑄

68 + 15 − 25 ≤ 90 58 ≤ 90

(42)

28

Dari kendala (2.15) dapat dihitung muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 58. Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 8 → 20 → 26 → 17.

Percobaan 5

Rute awal : 𝐴 → 8 → 20 → 26 → 17

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {10, 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₁₀ = 21 𝐷₁₀ = 41

𝐷 = 𝐷₈+ 𝐷₂₀ + 𝐷₂₆+ 𝐷₁₇+ 𝐷₁₀ ≤ 𝑄

𝐷 = 19 + 17 + 17 + 25 + 41 = 119 > 𝑄 𝑠𝑘𝑖𝑝 (1)

Kapasitas pengiriman lebih besar dari kapasitas kendaraan sehingga agen 10 dilewati.

Percobaan 6

Rute awal : 𝐴 → 8 → 20 → 26 → 17

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {10(skip), 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₇ = 11 𝐷₇ = 17

𝐷 = 𝐷₈+ 𝐷₂₀ + 𝐷₂₆+ 𝐷₁₇+ 𝐷₇ ≤ 𝑄

𝐷 = 19 + 17 + 17 + 25 + 17 = 95 > 𝑄 𝑠𝑘𝑖𝑝 2

Percobaan 7

Rute awal : 𝐴 → 8 → 20 → 26 → 17

(43)

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {10(skip), 7(skip), 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₁₆ = 10 𝐷₁₆ = 15

𝐷 = 19 + 17 + 17 + 25 + 15 = 93 > 𝑄 𝑠𝑡𝑜𝑝

Kendaraan kembali ke depot akhir dengan muatan 58 dan diperoleh rute 1:

𝐴 → 8 → 20 → 26 → 17 → 𝐵.

d. Pengelompokan rute 2

Percobaan 1 Rute awal : A

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {10, 7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₁₀ = 21 𝐷₁₀ = 41

𝐷 = 𝐷₁₀ ≤ 𝑄 𝐷 = 41 ≤ 𝑄 𝑞_0𝑘+ 𝑃₁₀− 𝐷₁₀ ≤ 𝑄 90 + 21 − 41 ≤ 90 70 ≤ 90

Dari kendala (2.15) dapat dihitung muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 70. Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 10.

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {7, 16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₇ = 11

(44)

30

𝐷₇ = 17

𝐷 = 𝐷₁₀+ 𝐷₇ ≤ 𝑄 𝐷 = 41 + 17 = 58 ≤ 𝑄 𝑞_10𝑘 + 𝑃₇− 𝐷₇ ≤ 𝑄

70 + 11 − 17 ≤ 90 64 ≤ 90

Percobaan 3

Rute awal : 𝐴 → 10 → 7

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {16, 22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₁₆ = 10 𝐷₁₆ = 15

𝐷 = 𝐷₁₀+ 𝐷₇+ 𝐷₁₆ ≤ 𝑄 𝐷 = 41 + 17 + 15 = 73 < 𝑄 𝑞_7𝑘+ 𝑃₁₆− 𝐷₁₆ ≤ 𝑄

64 + 10 − 15 ≤ 90 59 ≤ 90

Dari kendala (2.15) dapat dihitung muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 59. Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 10 → 7 → 16.

Percobaan 4

Rute awal : 𝐴 → 10 → 7 → 16

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {22, 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₂₂ = 15 𝐷₂₂ = 21

(45)

𝐷 = 𝐷₁₀+ 𝐷₇+ 𝐷₁₆+ 𝐷₂₂ ≤ 𝑄

𝐷 = 41 + 17 + 15 + 21 = 94 > 𝑄 𝑠𝑘𝑖𝑝(1)

Percobaan 5

Rute awal : 𝐴 → 10 → 7 → 16

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {22(skip), 27, 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₂₇ = 16 𝐷₂₇ = 23

𝐷 = 𝐷₁₀+ 𝐷₇+ 𝐷₁₆+ 𝐷₂₂ ≤ 𝑄

𝐷 = 41 + 17 + 15 + 23 = 96 > 𝑄 𝑠𝑘𝑖𝑝(2)

Percobaan 6

Rute awal : 𝐴 → 10 → 7 → 16

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {22(skip), 27(skip), 5, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₅ = 9 𝐷₅ = 15

𝐷 = 𝐷₁₀+ 𝐷₇+ 𝐷₁₆+ 𝐷₅ ≤ 𝑄

𝐷 = 41 + 17 + 15 + 15 = 88 < 𝑄 𝑞_16𝑘 + 𝑃₅− 𝐷₅ ≤ 𝑄

59 + 9 − 15 ≤ 90

(46)

32

53 ≤ 90

Dari kendala (2.15) dapat dihitung muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 53. Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 10 → 7 → 16 → 5.

Percobaan 7

Rute awal : 𝐴 → 10 → 7 → 16 → 5

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {22(skip), 27(skip), 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₄ = 15 𝐷₄ = 30

𝐷 = 𝐷₁₀+ 𝐷₇+ 𝐷₁₆+ 𝐷₅+ 𝐷₄ ≤ 𝑄

𝐷 = 41 + 17 + 15 + 15 + 30 = 118 > 𝑄 𝑠𝑡𝑜𝑝

Kendaraan kembali ke depot akhir dengan muatan 53 dan diperoleh rute 2:

𝐴 → 10 → 7 → 16 → 5 → 𝐵.

e. Pengelompokan rute 3

Percobaan 1 Rute awal : A

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {22, 27, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₂₂ = 15 𝐷₂₂ = 21

𝐷 = 𝐷₂₂ ≤ 𝑄 𝐷 = 21 < 𝑄 𝑞_0𝑘+ 𝑃₂₂− 𝐷₂₂ ≤ 𝑄 90 + 15 − 21 ≤ 90 84 ≤ 90

(47)

Dari kendala (2.15) dapat dihitung muatan ketika kendaraan meninggalkan agen adalah 84. Sehingga diperoleh rute sementara 𝐴 → 22.

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {27, 4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₂₇ = 16 𝐷₂₇ = 23

𝐷 = 𝐷₂₂ + 𝐷₂₇ ≤ 𝑄 𝐷 = 21 + 23 = 44 < 𝑄 𝑞_22𝑘 + 𝑃₂₇ − 𝐷₂₇ ≤ 𝑄

84 + 16 − 23 ≤ 90 77 ≤ 90

Percobaan 3

Rute awal : 𝐴 → 22 → 27

Himpunan agen yang akan dikunjungi secara berurutan C = {4, 9, 29, 15, 11, 21, 28, 23, 24, 6, 3, 13, 19, 30, 2, 1, 25, 12, 18, 14}.

𝑃₄ = 15 𝐷₄ = 30

𝐷 = 𝐷₂₂ + 𝐷₂₇+ 𝐷₄ ≤ 𝑄 𝐷 = 21 + 23 + 30 = 74 < 𝑄 𝑞_27𝑘 + 𝑃₄− 𝐷₄≤ 𝑄

77 + 15 − 30 ≤ 90 62 ≤ 90