স্বাগতম

মমো : মোহবুব খোন মুরোদ সহকোরী ঄ধ্যোপক

গণিত ণবভোগ

স্বোগতম

মকোন লতত © মরখোটি বৃতের স্পলশক হতব।

( ০ , ০ )

1 m

2

r mx

y   

মদওয়ো অতে ,

সমীকরি (1) ও (2) হতত অমরো পোআ,

মতন কণর , সর঱তরখোটি বৃেতক

^P(x1,y1

) ও Q(x

₂

,y

₂

) ণবন্দুতত মেদ কতর

যণদ মরখোটি বৃেতক স্পলশক কতর তোহত঱ P ও Q ণবন্দু দুআটি সমোপণতত হতব এবং x₁= x₂

঄তএব (3) নং সমীকরতির মূ঱ দুআটি সমোন হতব, সুতরোং b² - 4ac = 0

বো, 4m²c² - 4(1+ m²)(c²- r²) = 0 বো, m²c² -c²- m²c²+m²r²+ r²= 0 বো, c² = r² (1+m²)

 c =  r1+m

²

আহোআ ণনতি ©q kZ© ।

¯úk©‡Ki mgxKiY n‡e (1) নং n‡Z

c mx

y   _x

²

_{ y}

²

_{ r}

²

  ¹

...

c mx

y   ^x

²

^{ y}

²

^{ r}

²

^{... ..}   ²

 

^{2 2}

^,

2

mx c r

x    ^{ x}

²

^{ m}

²

^x

²

^{ 2 mxc  c}

²

^{ r}

²

^{ 0}

  ³

...

...

0 )

( 2

) 1

( 

^{2 2}

 

²



²



 m x mxc c r

T

Q(x₂,y₂) স্পলশক

P (x₁,y₁)

মতন কণর বৃতের পণরণধ্র উপর দুআটি ণবন্দু (x

₁

,y

₁

) এবং Q(x

₂

,y

₂

)

  ¹

. ...

0 2

2

_{1 1}

2 1 2

1

 y  gx  fy  c 

x x

₂²

 y

₂²

 ² gx

₂

 ² fy

₂

 c  ^{0 ... .}   ²

0 )

( 2 ) (

2 ) (

) (

) 2 ( ) 1

(   x

₁²

 x

₂²

 y

₁²

 y

₂²

 g x

₁

 x

₂

 f y

₁

 y

₂

 0 )

2 )(

( ) 2 )(

(

₁



_{2 1}



₂

 

₁



_{2 1}



₂

 

 x x x x g y y y y f )

3 ....(

...

2 2

2 1

2 1

2 1

2

1

m

f y

y

g x

x x

x

y

y 







 

 

 

যোহো (x

₁

,y

₁

) এবং Q(x

₂

,y

₂

) সংতযোগকোরী মরখোর ঢো঱

অবোর (x

₁

,y

₁

), Q(x

₂

,y

₂

) মেদতকর সমীকরি হতব , y - y

₁

= m(x - x

₁

) )

2 ( ) 2

3

(

₁

2 1

2 1

1

x x

f y

y

g x

y x

y 







 







) 4 ( ...

0 )

2 )(

( ) 2 )(

( 

_{1 1}



₂

  

_{1 1}



₂

 

 x x x x g y y y y f

বৃতে (X

₁

,Y

₁

) ণবন্দুতত স্পল © মকর সমীকরি ণনি © য় : 0

2

2

2

2

 y  gx  fy  c 

x

T

Q(x₂,y₂) স্পলশক

P (x₁,y₁)

এখন Q ণবন্দুটি যণদ বৃতের পণরণধ্র উপর ণদতয় ক্রমলঃ ঄গ্রসর হতয় P ণবন্দুর উপর সমোপণতত হয়

0 )

2 )(

( ) 2 )(

( 

_{1 1}



₁

  

_{1 1}



₁

 

 x x x x g y y y y f

ততব PQ মেদক P(x₁,y₂) ণবন্দুতত PT স্পলশক হতব এবং সীমোস্থ ঄বস্থোয় x₂ = x₁ এবং y₂ = y₁

এখন (4) সমীকরতি x

₂

= x

₁

এবং y

₂

= y

₁

বণসতয় অমরো পোআ 0

) 2 2

)(

( ) 2 2

)(

( 

_{1 1}

  

_{1 1}

 

 x x x g y y y f 0 )

)(

( ) )(

( 

_{1 1}

  

_{1 1}

 

 x x x g y y y f

1

0

2 1 1

1 2

1

1

       

 xx gx x gx yy y fy fy

1 1

2 1 2

1 1

1 1

1

yy g ( x x ) f ( y y ) x y 2 gx 2 fy

xx         



1 1

2 1 2

1 1

1 1

1

yy g ( x x ) f ( y y ) x y 2 gx 2 fy

xx         



c y

y f x

x g yy

xx

      

 _{1 1} ( ₁) ( ₁)

[ সমীকরি (1) হতত ]

0 )

( )

(

_{1 1}

1

1

      

 xx yy g x x f y y c

A

C B (0,0) (x₁,y₁)

A₁

e„‡Ëi ewn¯’ †Kvb we›`y †_‡K ¯úk©‡Ki mgxKiY wbY©q:

g‡b Kwi, x²+y²=a² GKwU e„‡Ëi mgxKiY hvi †K›`ª we›`y (0,0) Ges e¨vmva© = a

g‡b Kwi AB e„‡Ëi ¯úk©K, hv B(x₁,y₁) ewn¯’ we›`y w`‡q hvq|

AB ¯úk©K mgxKiY y-y₁ = m(x-x₁)…..(1) [hLb Xvj = m]

†h‡nZz e¨v‡mi ms‡M ¯úk©K me©`v j¤^fv‡e _v‡K †m‡nZz BAC = 90⁰

n‡Z a

m mx

y 



 

2 1 1

1

) 1

( )

( y₁  mx₁ ²  a²  m²



(1) ) 1

( )

(

2

1 2 1

2 1 1

1

1 



 







 

 

 

 x x

y a y

x x x

y y y

  

1 ²



2 1 2 2

1 1

1

1(

x x

)

x

(

y y

)

a

(

x x

) (

y y

)

y

      



  

1 1²



2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

1 1

1

x y x y x y

)

a x

2

xx x y

2

yy y

xy

        



BnvB (x₁,y₁) we›`y †_‡K x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=a<sup>2</sup> e„‡Ëi Dci AswKZ `yBwU ¯úk©‡Ki mgxKiY|

Abyiæcfv‡e †`Lv‡bv hvq †h, e„‡Ëi ewn¯’ †Kvb we›`y (x₁,y₁) †_‡K x²+y² +2gx+2fy +c=0 e„‡Ëi Dci AswKZ

¯úk©‡Ki `yBwU mgxKiY :

ms‡K‡Zi gva¨‡g cÖKvk Ki‡j ¯úk©K `yBwUi mgxKiY :

SS

₁

=T

²

  

1 1²



2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

1 1

1

x y x y x y

)

a x

2

xx x y

2

yy y

xy

        



 ^xy

₁ ^

^x

₁

^y

⁾



^{2 }

^a

²

^x

^{2 2}

^a

²

^xx

₁ ^

^a

²

^x

₁^{2 }

^a

²

^y

^{2 2}

^a

²

^yy

₁ ^

^a

²

^y

₁²



2 1 2 1

2 2

2 2

1 2 1

2 2

2 1

1 2

1 2 2

2

1 y x y 2xx yy a x 2a xx a x a y 2a yy a y

x        



1 2 1

2 1

1 4

2 1 2 2

1 2 4

2 1 2 2

1 2 2

2 2

1 2 2

2 1 2

2 2

1 2 2

1

2x x y a x x y y y a y a x a y a x x y y a 2xx yy 2a xx 2a yy

x              



2 2 1

1 2

2 1 2

1 2 2

2 1 2

1 2 2

2 1 2

1

2(x y a ) y (x y a ) a (x y a ) (xx yy a )

x           



2 2 1

1 2

2 1 2

1 2

2

2 )( ) ( )

(

x



y



a x



y



a



xx



yy



a





_{1 1 1 1}



²

1 1

2 1 2

1 2

2

2 2 )( 2 2 ) ( ) ( )

( x  y  gx  fy  c x  y  gx  fy  c  xx  yy  g x  x  f y  y  c

C

D B (x₁,y₁)

A

e„‡Ëi Dci¯’ (x

₁

,y

₁

) we›`y‡Z Awfj‡¤^i mgxKiY wbY©q:

g‡b Kwi e„‡Ëi mgxKiY , x²+y²=a² …………(i) AZGe B(x₁,y₁) we›`y‡Z e„‡Ëi BD ¯úk©‡Ki mgxKiY

xx₁+yy₁-a² =0…………(ii) (ii) bs †iLvi Xvj m₁ n‡j

Avevi Avgiv Rvwb B(x₁,y₁) we›`yMvgx AB †iLvi mgxKiY n‡e :

myZivs (iii) bs †iLvwU B(x₁,y₁) we›`y‡Z Awfj‡¤^i mgxKiY n‡e|

Avgiv Rvwb e„‡Ëi †K›`ªMvgx †h †Kvb †iLv ¯úk©‡Ki Dci j¤^|

myZivs AB. BD =-1

1 1

1 y

m   x

y-y₁ = m₂(x-x₁)…………..(iii) GLv‡b m₂ Xvj

1 1 2

2 1

1 2

1 1, . 1, m

x m y

y m x

m        



C

D B (x₁,y₁)

A

m₂ Gi gvb (iii) bs mgxKi‡Y emvB

BnvB e„‡Ëi Dci¯’ (x₁,y₁) we›`y‡Z Awfj‡¤^i mgxKiY|

Abyiæcfv‡e †`Lv‡bv hvq †h, e„‡Ëi ewn¯’ †Kvb we›`y (x₁,y₁) †_‡K x²+y² +2gx+2fy +c=0 e„‡Ëi Dci AswKZ Awfj‡¤^i mgxKiY :

1 1 2

2 1

1 2

1 1, . 1, m

x m y

y m x

m        



0

) (

) (

) (

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1































xy y

x

y x xy

y x y

x

x x

y y

y x

x x x

y y y

0 )

( )

( x

₁

 g y  y

₁

 f x  fx

₁

 gy

₁



A

C B (0,0) (x₁,y₁)

A₁

e„‡Ëi †Kvb ¯úk©‡Ki ¯úk© we›`yi ¯’vbvsK wbY©q:

g‡b Kwi, e„‡Ëi mgxKiY , x²+y²=a² …………(i) Ges ¯úk©‡Ki mgxKiY y = mx+c…………..(ii) awi ¯úk© we›`yi ¯’vbvsK B(x₁,y₁)

AZGe B(x₁,y₁) we›`y‡Z e„‡Ëi BD ¯úk©‡Ki mgxKiY xx₁+yy₁=a²…………(iii)

†h‡nZz y = mx+c A_©¨vr –mx+y = c ………(iv) †iLvwU (i) bs e„‡Ëi ¯úk©K, myZivs (iii) Ges (iv) †iLvwU Awfbœ|

AZGe (iii) Ges (iv) Gi mnM Zzjbv K‡i cvB

GLb (ii) bs †iLvwU (i) bs e„‡Ëi ¯úk©K nIqvi kZ©:

1 m2

a

c   

C

D B (x₁,y₁)

A

c a c

m a

c y a

m

x ²

1 2

1 2

1 , x ; y

1

1     

 

myZivs n‡j

Ges n‡j

AZGe ¯úk© we›`yi ¯’vbvsK A_ev

`ªóe¨: ¯úk©K Ges Awfj‡¤^i †Q` we›`yB ¯úk© we›`yi ¯’vbvsK n‡e|

1 m2

a

c   

2 2

2 2 1

2 2

1 1 1

y

; 1

1 x

m a m

a

a m

ma m

a

m a

 

 



 



 



1 m2

a

c   

2 2

2 2 1

2 2

1 1 1

y

; 1

1 x

m a m

a a m

ma m

a

m a



 



 

 





 





 











2

2 1

, 1

m a m

ma



 









 ² 1 ² ,

1

m a m

ma

mgm¨v-1 t x²+y² = 4 e„‡Ëi ¯úk©‡Ki mgxKiY wbY©q Ki|

(i) †h mKj ¯úk©K x- A‡¶i mv‡_ 45⁰ †Kv‡Y AvbZ|

(ii) †h mKj ¯úk©K 2x–y+4=0, mij‡iLvi m‡½ mgvšÍivj|

(iii) †h mKj ¯úk©K 3x+2y–5=0 †iLvi Dci j¤^|

mgvavb t g‡b Kwi y=mx+c †iLv, x²+y²=4 e„‡Ëi ¯úk©K,

myZivs ¯úk©‡Ki mgxKiY n‡e y=mx21+m² [¯úk©‡Ki kZ©g‡Z c=a1m²] (i) †h‡nZz ¯úk©KØq x- A‡¶i mv‡_ 45⁰ †Kv‡Y AvbZ

AZGe, m = tan45⁰ = 1

¯úk©K؇qi mgxKiY y=1.x2 1+1² ev, y = x22

ev, x – y 22 =0

BnvB wb‡Y©q ¯úk©‡Ki mgxKiY|

(ii) ¯úk©KØq cÖ`Ë 2x–y+4=0 †iLvi mv‡_ mgvšÍivj n‡e hw` ¯úk©K‡iLvi Xvj = cÖ`Ë †iLvi Xvj nq|

myZivs 2x–y+4=0 †K wb¤œiƒ‡c wjLv hvq;

y = 2x+4, AZGe cÖ`Ë †iLvi Xvj = 2

AZGe wb‡Y©q ¯úk©K, cÖ`Ë †iLvi mgvšÍivj n‡e hw` m=2 nq AZGe ¯úk©‡Ki mgxKiY y = 2x21+4

ev, y = 2x25

BnvB wb‡Y©q ¯úk©‡Ki mgxKiY|

(iii) 3x+2y–5=0 †iLvi Xvj m₁ =-3/2

†h‡nZz wb‡Y©q ¯úk©K cÖ`Ë †iLvi j¤^, myZivs g‡b Kwi wb‡Y©q ¯úk© †iLvi Xvj = m<sub>2</sub> n‡j m<sub>1</sub> . m<sub>2</sub> =-1 AZGe m<sub>2</sub> = 2/3 cÖ`Ë †iLv 3x+2y–5=0, ev, y = –3/2x +5/2

myZivs wb‡Y©q ¯úk©‡Ki mgxKiY y = 2/3x +c GLv‡b

AZGe

BnvB wb‡Y©q ¯úk©‡Ki mgxKiY|

3 13 2 9

2 13 9

1 4 2

1 ₂²       



 a m c

0 13

2 3

2

13 2

2 3

, 3 13

2 3

2



















y x

x y

x y

evwoi KvR:

1. (i) (3, 3) we›`y n‡Z x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=3 e„‡Ë AswKZ ¯úk©‡Ki •`N©¨ wbY©q Ki|

(ii) (–5,6) we›`y n‡Z 3x<sup>2</sup> +3y<sup>2</sup>–4x–5y=0 e„‡Ë AswKZ ¯úk©‡Ki •`N©¨ wbY©q Ki|

2. (i) x²+y²=2 e„‡Ëi (–1,1) we›`y‡Z ¯úk©‡Ki I Awfj‡¤^i mgxKiY wbY©q Ki|

(ii) x²+y²–3x+2y+3=0 e„‡Ëi (1,–1) we›`y‡Z ¯úk©‡Ki I Awfj‡¤^i mgxKiY wbY©q Ki|

m„Rbkxj cÖkœ

1. (i) x² + y² -8x-6y + 16 = 0, (ii) x² + y² = 4;

(K) (ii) bs e„‡Ëi GKwU R¨v-Gi ga¨we›`y (-1, 1) n‡j, H R¨v-Gi mgxKiY wbY©q Ki|

(L) †`Lvb †h, (i) I (ii) bs e„Ë `yBwU ci¯úi‡K ewn¯’fv‡e ¯úk© K‡i|

(M) e„Ë `yBwUi mvaviY ¯úk©‡Ki mgxKiY I ¯úk© we›`ywUi ¯’vbv¼ wbY©q Ki|

Y

Q(9,10)

R(a,4)

P(-3,2) O X

2. wZbwU we›`y P(-3, 2), Q(9, 10) Ges R(a, 4) GKwU e„‡Ëi Dci Aew¯’Z, †hLv‡b e„ËwUi GKwU e¨vm PR.

(K) lx + my = 1 †iLvwU x² + y²-2ax = 0 e„ˇK ¯úk© Ki‡j

†`LvI †h, a² m² + 2al= 1.

(L) R we›`ywUi x-¯’vbvsK a Gi gvb wbY©q Ki|

(M) DÏxc‡Ki e„ËwUi mgxKiY wbY©q Ki Ges e„ËwU Øviv Aÿ؇qi LwÛZvs‡ki cwigvY wbY©q Ki|

ধ্নযবোদ