PDF Ľমো মো঵বėবখোনমėরোদ ঴঵কোরĖ঄ধ্যোপক গণিতণবভোগ

মমো : মো঵বুব খোন মুরোদ

঴঵কোরী ঄ধ্যোপক

গণিত ণবভোগ

স্বোগতম

A

C B (0,0) (x₁,y₁)

A₁

e„‡Ëi †Kv‡bv R¨v Gi ga¨we›`yi ¯’vbvsK †`Iqv _vK‡j, D³ R¨v Gi mgxKiY wbY©q:

g‡b Kwi, e„‡Ëi mgxKiY , x²+y²+2gx+2fy+c=0…………(i) e„ËwUi †K›`ª O(-g,-f) Ges AB R¨v Gi ga¨we›`yi ¯’vbvsK C(x₁,y₁) GLv‡b OC  AB

OC †iLvi Xvj

AB †iLvi Xvj m₂ n‡j m₁.m₂=-1 myZivs

AB R¨v Gi mgxKiY; m₂ Xvj wewkó Ges C(x₁,y₁) we›`yMvgx †iLvi mgxKiY: y-y₁ = m₂(x-x₁)

O(-g,-f)

A C (x₁,y₁) B

g x

f m y



 

1 1 1

f y

g x

m m



 

 



1 1 1

2

1



₁



^{; (y-y}₁⁾



₁

 

₁



⁽ ₁ ⁾

1 1

1 x x y f x x x g

f y

g y x

y       



 





A

C B (0,0) (x₁,y₁)

A₁

e„‡Ëi †Kv‡bv R¨v Gi ga¨we›`yi ¯’vbvsK †`Iqv _vK‡j, D³ R¨v Gi mgxKiY wbY©q:

AZGe x

²

+y

²

+2gx+2fy+c=0 e„‡Ëi †Kv‡bv R¨v Gi ga¨we›`yi ¯’vbvsK (x

₁

,y

₁

) n‡j, D³ R¨v Gi mgxKiY:

ms‡K‡Zi gva¨‡g cÖKvk Ki‡j T=S₁

O(-g,-f)

A C (x₁,y₁) B

   

f f

g x g x x

f yf

g x xg y

xx

g x x

xg xx

f yf

y

g x

x x f

y

1 1

1 1

2 1 2

1 1

1 1

1

1 2

1 1

1 2

1 1

1 1 1

1

y y

y y

y

y y

y

) (

) y - (y























































f g

x x

f y

g x x y

xx₁  y₁ (  ₁) (  y₁)  ₁²  y₁² 2 ₁  2y₁



c f

gx x

c y

f x

x g y

xx           

 ₁ y₁ ( ₁) ( y₁) ₁² y₁² 2 ₁ 2 y₁

c f

gx x

c y

f x

x g y

xx           

 ₁ y₁ ( ₁) ( y₁) ₁² y₁² 2 ₁ 2 y₁

A (x₂,y₂)

C P (0,0) (x₁,y₁)

B(x₃,y₃)

¯úk© R¨v :

GKwU e„‡Ëi ewn:¯’ †Kv‡bv we›`y n‡Z e„ËwU‡Z `yBwU ¯úk©K AswKZ n‡j

¯úk© we›`y؇qi ms‡hvRK mij‡iLvwU‡K H ¯úk©K؇qi ¯úk© R¨v e‡j|

¯úk© R¨v Gi mgxKiY wbY©q :

g‡b Kwi, e„‡Ëi mgxKiY , x²+y²+2gx+2fy+c=0…………(i) Ges P(x₁,y₁) e„‡Ëi ewn:¯’ GKwU we›`y| P we›`y n‡Z e„‡Ëi Dci

AswKZ `yBwU ¯úk©K PA Ges PB |

g‡b Kwi, ¯úk© we›`y A Ges B Gi ¯’vbvsK h_vµ‡g;

A (x₂,y₂) I B(x₃,y₃)

GLb A (x₂,y₂) I B(x₃,y₃) we›`y‡Z e„‡Ëi ¯úk©K؇qi mgxKiY:

xx₂+yy₂+g(x+x₂)+f(y+y₂)+c=0…………(ii) Ges xx₃+yy₃+g(x+x₃)+f(y+y₃)+c=0 …………(iii)

†h‡nZz ¯úk©KØq P(x₁,y₁) we›`yMvgx

myZivs x₁x₂+y₁y₂+g(x₁+x₂)+f(y₁+y₂)+c=0……(iv) Ges x₁x₃+y₁y₃+g(x₁+x₃)+f(y₁+y₃)+c=0 ……(v)

A (x₂,y₂)

C P (0,0) (x₁,y₁)

B(x₃,y₃)

¯úk© R¨v Gi mgxKiY wbY©q :

(iv) Ges (v) mgxKiY `ywU Øviv cÖgvwYZ nq †h, A (x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>) I B(x<sub>3</sub>,y<sub>3</sub>) we›`y؇qi ¯’vbvsK Øviv wb¤œwjwLZ mgxKiYwU wm× nq:

xx₁+yy₁+g(x+x₁)+f(y+y₁)+c=0……(vi) (vi) mgxKiYwU GKwU mij‡iLv m~wPZ K‡i|

myZivs BnvB n‡e wb‡Y©q ¯úk© R¨v Gi mgxKiY|

AZGe (x₁,y₁) we›`y n‡Z x²+y²+2gx+2fy+c=0 e„‡Ë AswKZ

¯úk©K؇qi ¯úk© R¨v Gi mgxKiY n‡e:

xx₁+yy₁+g(x+x₁)+f(y+y₁)+c=0

Abyiæcfv‡e (x₁,y₁) we›`y n‡Z x²+y²=a² e„‡Ë AswKZ ¯úk©K؇qi

¯úk© R¨v Gi mgxKiY n‡e:

xx₁+yy₁=a²

`ªóe¨: (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>) we›`yi Rb¨ †h ¯úk© R¨v cvIqv hvq Zvi mgxKiY Ges e„‡Ëi Dc‡i (x₁,y₁)-†K GKwU we›`y we‡ePbv K‡i we›`ywU‡Z †h ¯úk©‡Ki mgxKiY cvIqv hvq Zv Awfbœ|

Y

p

S₁=0 S₂=0

C1 . . C₂

Q

O X

`yBwU e„‡Ëi mvaviY R¨v Gi mgxKiY wbY©q :

g‡b Kwi, `yBwU e„‡Ëi mgxKiY

S₁  x²+y²+2g₁x+2f₁y+c₁= 0 - - - (i) S₂  x²+y²+2g₂x+2f₂y+c₂ = 0 - - - (ii)

S₁–S₂  2(g₁–g₂)x + y(f₁–f₂)y+c₁–c₂ = 0 - - - (iii) 2(g₁–g₂)x + y(f₁–f₂)y+c₁–c₂=0 GwU (x, y) m¤^wjZ GKNvZ wewkó mvaviY mgxKiY| Kv‡RB GUv GKwU mij‡iLvi mgxKiY| e„Ë `ywU ci¯úi P I Q we›`y‡Z †Q` K‡i, Zvn‡j P, Q we›`y `ywUi ¯’vbvsK

(i) I (ii) †K wm× Ki‡e, myZivs S₁ = 0, S₂=0 Ges S₁–S₂ = 0 A_©vr G‡`i ¯’vbvsK (iii) bs mgxKiY‡KI wm× K‡i| Avevi (iii) bs mgxKiYwU GKwU x I y Gi GKNvZ wewkó mij‡iLv wb‡`©k K‡i|

myZivs (iii) bs mgxKiYwU S₁ I S₂ e„Ë `yBwUi mvaviY R¨v PQ-†K wb‡`©k K‡i|

AZGe S₁ = 0, S₂=0 e„Ë `yBwUi mvaviY R¨v Gi mgxKiY S₁–S₂=0

Y

p

S₁=0 S₂=0

C1 . . C₂

Q

O X

`yBwU e„‡Ëi mvaviY R¨v Gi mgxKiY wbY©q :

Abywm×všÍ:

hw` mvaviY R¨v L S₁–S₂ = 0 nq Z‡e S₁ = 0 Ges S₂=0 e„Ë؇qi

†Q`we›`yMvgx †h †Kvb e„‡Ëi mgxKiY, S₁ + k L = 0,

ev S₂ + k L = 0 †hLv‡b k GKwU B”Qvg~jK aªæeK (k  0).

঄থবো

hw` mvaviY R¨v S₁–S₂ = 0 nq Z‡e S₁ = 0 Ges S₂=0 e„Ë؇qi

†Q`we›`yMvgx †h †Kvb e„‡Ëi mgxKiY, S₁ + k S₂ = 0, †hLv‡b k GKwU B”Qvg~jK aªæeK (k  0).

mgm¨v-1t cÖgvY Ki †h, 8x+5y–34=0 †iLvwU x²+y²+10x+6y–55=0 e„‡Ëi GKwU ¯úk©K|

mgvavb t cÖ`Ë †iLvi mgxKiY t 8x+5y–34=0…………..(1) Ges e„‡Ëi mgxKiY x²+y²+10x+6y–55=0………(2)

AZGe cÖ`Ë e„‡Ëi mgxKiY n‡Z x²+10x+25+y²+6y+9=55+25+9 ev, (x+5)²+(y+3)² = 89=(89)²

e„‡Ëi †K›`ª = (–5, –3) Ges e¨vmva© = 89

GLb e„‡Ëi †K›`ª (–5, –3) n‡Z 8x+5y–34=0 †iLvi j¤^ `~iZ¡ =

myZivs e„‡Ëi †K›`ª n‡Z †iLvi j¤^ `~iZ¡ = e„‡Ëi e¨vmva©|

AZGe 8x+5y–34=0 †iLvwU x²+y²+10x+6y–55=0 e„‡Ëi GKwU ¯úk©K| cÖgvwYZ

89 89 89

25 64

34 15

40 5

8

34 )

3 .(

5 ) 5 .(

8

2 2

 









 











঴ম঴যো ২ . x

²

+y

²

-4x+6y-36=0 এবং x

²

+y

²

-5x+8y-43=0 বৃত্ত দুআটির ঴োধ্োরি

জ্যো এর ঴মীকরি ণনিণয় কর।

঴মোধ্োনঃ মনন কণর, S

₁

= x

²

+y

²

-4x+6y-36=0 ………( ১ )

এবং S

₂

= x

²

+y

²

-5x+8y-43=0 ……….( ২ ) ণননিণয় ঴মীকরি , S

₁

- S

₂

= ০

বো , x

²

+y

²

-4x+6y-36-(x

²

+y

²

-5x+8y-43)=0 বো , x

²

+y

²

-4x+6y-36-x

²

-y

²

+5x-8y+43=0 বো , x-2y+7=0

আ঵োআ ণননিণয় ঴োধ্োরি জ্যো এর ঴মীকরি ।

evwoi KvR:

1. GKwU e„‡Ëi mgxKiY wbY©q Ki hvi †K›`ª (–4,2) we›`y‡Z Ges hvi ¯úk©K 3x+4y–16=0 mij‡iLv|

2. x²+y²–6x–8y+C=0 e„ËwU y–A¶‡K ¯úk© K‡i| C Gi gvb I ¯úk© we›`yi ¯’vbvsK wbY©q Ki|

3. 2x+y–3=0 †iLvwU x²+y²–5x–y+4=0 e„ËwU‡K A I B we›`y‡Z †Q` K‡i| AB †K e¨vm a‡i AswKZ e„‡Ëi mgxKiY wbY©q Ki|

m„Rbkxj cÖkœ

1. (i) (1, -3) †K›`ªwewkó e„‡Ëi GKwU ¯úk©K 2x-y = 4. (ii) wZbwU †iLvi mgxKiY x = 0, y = 4, y =10.

(K) DÏxc‡Ki e„ËwUi mgxKiY wbY©q Ki|

(L) e„ËwUi `yBwU ¯úk©‡Ki mgxKiY wbY©q Ki hv cÖ`Ë ¯úk©‡Ki Dci j¤^|

(M) DÏxcK (ii) G ewY©Z wZbwU †iLv‡K ¯úk© K‡i Giƒc e„‡Ëi mgxKiY wbY©q Ki|

2. GKwU e„‡Ëi mgxKiY (x-2)²+(y-6)² = 100, GKwU mij‡iLvi mgxKiY 4x-3y-40 = 0 Ges P(10, 0) GKwU we›`y|

(K) †`Lvb †h, P we›`ywU e„‡Ëi Dci Aew¯’Z Ges P we›`yMvgx e¨v‡mi Aci cÖvšÍwe›`yi ¯’vbv¼ wbY©q Ki|

(L) cÖgvY Ki †h, †iLvwU P(10, 0) we›`y‡Z e„ˇK ¯úk© K‡i Ges P we›`yMvgx e¨vm †iLvwUi Dci j¤^|

(M) e„‡Ëi `yBwU ¯úk©‡Ki mgxKiY wbY©q Ki hv cÖ`Ë †iLvwUi Dci j¤^|

p

C

Q

L

3. GKwU e„‡Ëi mgxKiY x² + y²- 20x-16y + 139 = 0.

(K) we›`y e„Ë ej‡Z Kx eySvq? †`Lvb †h, x²+y²-6x+8y+25 = 0 GKwU we›`y e„Ë|

(L) L †iLvwUi mgxKiY x = 13, hv e„ˇK P I Q we›`y‡Z †Q` K‡i|

P I Q Gi y-¯’vbvsK Ges PCQ wbY©q Ki, hLb e„‡Ëi †K›`ª C.

M. (-3, -1) n‡Z DÏxc‡Ki e„‡Ë Aw¼Z ¯úk©‡Ki mgxKiY wbY©q Ki|

Y

O X C

P Q

T

4. wP‡Î x² + y² - 4x + 6y-87 = 0 e„‡Ëi †K›`ª C.

(K) e„‡Ëi †K›`ª C Gi ¯’vbv¼ Ges e¨vmva© wbY©q Ki|

(L) x-A‡ÿi wb‡P Aew¯’Z PQ R¨v x-A‡ÿi mgvšÍivj| PQ = 16 n‡j, P I Q Gi ¯’vbv¼ wbY©q Ki|

(M) P I Q we›`y‡Z Aw¼Z ¯úk©K `yBwU ci¯úi T we›`y‡Z wgwjZ nq| T we›`yi ¯’vbv¼ wbY©q Ki|

এ ঄ধ্যোয় মলন঳ অমরো যো ণলখ঱োম :

১. ময বৃনত্তর মকন্দ্র মূ঱ণবন্দু (0,0) এবং বযো঴োধ্ণ r তোর ঴মীকরি, x²+y² = r² ২. ময বৃনত্তর মকন্দ্র (h,k) এবং বযো঴োধ্ণ r তোর ঴মীকরি। (x-h)²+(y-k)² = r²

h=0 ঵ন঱ মকন্দ্র y ঄নের উপর ঄বণিত। বৃনত্তর ঴মীকরি, x²+(y-k)²=k² k=0 ঵ন঱ মকন্দ্র x ঄নের উপর ঄বণিত। বৃনত্তর ঴মীকরি, (x-h)²+y²=h² ৩. বৃনত্তর ঴োধ্োরি ঴মীকরি, x²+y²+2gx+2fy+c=0

মযখোনন, বৃনত্তর মকন্দ্র ≡ (-g,-f) এবং বযো঴োধ্ণ = √(g²+f²-c) g = 0 ঵ন঱ মকন্দ্র y ঄নের উপর ঄বণিত

f = 0 ঵ন঱ মকন্দ্র x ঄নের উপর ঄বণিত এবং c = 0 ঵ন঱ বৃত্তটি মূ঱ণবন্দুগোমী

৪. মকোন বৃত্ত x ঄েনক মেদ করন঱ x ঄ে মথনক কণতণত ঄ংল = 2√(g²-c) বৃৃ্ত্তটি x ঄েনক স্পলণ করন঱ g²=c

মকোন বৃত্ত y ঄েনক মেদ করন঱ y ঄ে মথনক কণতণত ঄ংল = 2√(f²-c) বৃত্তটি y ঄েনক স্পলণ করন঱ f²=c

৫. মকোন বৃত্ত x ঄েনক স্পলণ করন঱ তোর বযো঴োধ্ণ ঵নব মকনন্দ্রর মকোটির মোন এবং ঴মীকরি ঵নব, (x-h)²+(y-k)² = k²

৬. মকোন বৃত্ত y ঄েনক স্পলণ করন঱ তোর বযো঴োধ্ণ ঵নব মকনন্দ্রর ভুনজ্র মোন এবং ঴মীকরি ঵নব, (x-h)²+(y-k)² = h²

এ ঄ধ্যোয় মলন঳ অমরো যো ণলখ঱োম :

৭. (x₁,y₁) ও (x₂,y₂) ণবন্দু দুআটির ঴ংনযোগ ঴র঱নরখোনক বযো঴ ধ্নর ঄ণিত বৃনত্তর ঴মীকরি, (x-x₁)(x-x-2)+(y-y₁)(y-y₂) = 0

৮. x²+y²+2gx+2fy+c=0 বৃনত্তর একনকণন্দ্রক ঄নয মকোন বৃনত্তর ঴মীকরি ঵নব, x²+y²+2gx+2fy+c₁=0

৯. x²+y²+2gx+2fy+c=0 বৃত্ত এবং ax+by+c₁ ঴র঱নরখোর মেদণবন্দুগোমী বৃনত্তর ঴মীকরি, x²+y²+2gx+2fy+c+k(ax+by+c₁)=0

১০. দুআটি বৃত্ত পরস্পরনক বণ঵ঃিভোনব স্পলণ করন঱,

তোনদর বযো঴োধ্ণদ্বনয়র মযোগফ঱ = মকন্দ্রদ্বনয়র মধ্যবতী দূরত্ব।

১১. দুআটি বৃত্ত পরস্পরনক ঄ন্তঃিভোনব স্পলণ করন঱,

তোনদর বযো঴োধ্ণদ্বনয়র ঄ন্তরফ঱ = মকন্দ্রদ্বনয়র মধ্যবতী দূরত্ব

১২. দুআটি বৃত্ত পরস্পরনক মেদ করনব যণদ মকন্দ্রদ্বনয়র মধ্যবতী দূরত্ব বযো঴োধ্ণদ্বনয়র মযোগফন঱র মথনক মেোট ঵য়। এনেনে ঴োধ্োরি স্পলণক দুআটি।

১৩. দুআটি বৃত্ত পরস্পরনক মেদ বো স্পলণ মকোনটিআ করনব নো যণদ মকন্দ্রদ্বনয়র মধ্যবতী দূরত্ব বযো঴োধ্ণদ্বনয়র মযোগফন঱র মেনয় বড় ঵য়। এনেনে ঴োধ্োরি স্পলণক েোরটি।

১৪. x²+y²+2gx+2fy+c=0 এবং x²+y²+2g₁x+2f₁y+c₁=0 বৃনত্তর মেদণবন্দুগোমী বৃনত্তর

঴মীকরি, x²+y²+2gx+2fy+c+k(x²+y²+2g₁x+2f₁y+c₁)=0

এ ঄ধ্যোয় মলন঳ অমরো যো ণলখ঱োম :

১৫. বণ঵ঃি মকোন ণবন্দু মথনক মকোন বৃনত্তর ওপর দুআটি স্পলণক ঄িন করো যোয়।

১৬. y=mx+c ঴র঱নরখোটি x²+y² = r² বৃত্তনক স্পলণ করনব যণদ, c = ±r√(1+m²) ঵য়

১৭. x²+y²=r² বৃনত্তর উপণরণিত (x₁,y₁) ণবন্দুনত ঄ণিত স্পলণনকর ঴মীকরি, xx₁+yy₁=r² ১৮. x²+y²+2gx+2fy+c = 0 বৃনত্তর (x₁,y₁) ণবন্দুনত ঄ণিত স্পলণনকর ঴মীকরি,

xx₁+yy₁+g(x+x₁)+f(y+y₂)+c = 0

১৯. বণ঵ঃি মকোন ণবন্দু (x₁,y₁) মথনক x²+y² = r² বৃনত্তর উপর ঄ণিত স্পলণকদ্বনয়র ঴মীকরি, (x²+y²-r²)(x₁²+y₁²-r²)=(xx₁+yy₁-r²)²

২০. বণ঵ঃি ণবন্দু (x₁,y₁) মথনক x²+y²+2gx+2fy+c=0 বৃনত্তর উপর ঄ণিত স্পলণকদ্বনয়র ঴মীকরি, (x²+y²+2gx+2fy+c)(x₁²+y₁²+2gx₁+2fy₁+c) = {xx₁+yy₁+g(x+x₁)+f(y+y₁)+c}

২১. বণ঵ঃি ণবন্দু (x₁, y₁) মথনক x²+y²=a² বৃনত্তর উপর ঄ণিত স্পলণনকর দদঘণয, = √(x²+y²-r²)

উক্ত ণবন্দু মথনক x²+y²+2gx+2fy+c=0 বৃনত্তর উপর ঄ণিত স্পলণনকর দদঘণয, =√(x₁²+y₁²+2gx₁+2fy₁+c) ২২. x²+y² = r² বৃনত্তর (x₁,y₁) ণবন্দুনত ঄ণভ঱নের ঴মীকরি, x₁y-y₁x=0, বৃনত্তর ঄ণভ঱ে এর মকন্দ্রগোমী।

২৩. x²+y²+2gx+2fy+c=0 বৃনত্তর (x₁,y₁) ণবন্দুনত ঄ণভ঱নের ঴মীকরি, (x₁+g)y-(y₁+f)x+fx₁-gy₁=0 ২৪. x²+y²+2g₁x+2f₁y+c₁ = 0 এবং x²+y²+2g₂x+2f₂y+c₂ = 0 বৃত্তদ্বনয়র ঴োধ্োরি জ্নয এর ঴মীকরি, (x²+y²+2g₁x+2f₁y+c₁) – (x²+y²+2g₂x+2f₂y+c₂)=0

eûwbev©Pwb cÖkœ:

1. x²+ y² - 2x -4y- 4 = 0 e„‡Ëi †h e¨vmwU 3x - 4y + 5 = 0 †iLvi Dci j¤^ Zvi mgxKiY †KvbwU?

(K) 4x + 3y-10 = 0 (L) 4x + 3y + 10 = 0 (M) 4x + 3y-25 = 0 (N) 4x + 3y + 20 = 0 2. (1, 2) †K›`ªwewkó GKwU e„Ë x-Aÿ‡K ¯úk© K‡i| e„ËwUi mgxKiY †KvbwU?

(K) x²+y²+4x+2y-4=0 (L) x²+y²-4x+2y+2=0 (M) x²+y²-6x+4y-9=0 (N) x²+y²-2x-4y+1=0 3. x²+ y² - 4x + 2y + 4 = 0 Ges x²+ y² - 8x + 6y + 16 = 0 e„Ë `yBwUi mvaviY R¨v-Gi mgxKiY

†KvbwU? (K) x + y - 2 = 0 (L) x - y - 3 = 0 (M) 2x + y -3 = 0 (N) x + 2y + 1 = 0 4. x²+ y² - 6x + 9 = 0 e„‡Ëi e¨vmva© KZ ? (K) 0 (L) 1 (M) 2 (N) 3

5. (-4, 3) I (12, -1) we›`y؇qi ms‡hvM‡iLv‡K e¨vm a‡i Aw¼Z e„‡Ëi mgxKiY †KvbwU ?

(K) x²+y²-8x-2y+51=0 (L) x²+y²-8x+2y-51=0 (M) x²+y²+8x-2y-51=0 (N) x²+y²-8x-2y-51=0

6. GKwU e„Ë x-Aÿ‡K (4, 0) we›`y‡Z ¯úk© K‡i Ges Gi †K›`ª 2x-y-5 = 0 †iLvi Dci Aew¯’Z| e„ËwUi mgxKiY

†KvbwU?

(K) x²+y²-8x-6y+16=0 (L) x²+y²+8x+6y+16=0 (M) x²+y²+8x-6y+16=0 (N) x²+y²-8x+6y-16=0

7. (4, -8) †K›`ªwewkó GKwU e„Ë y-Aÿ‡K ¯úk© K‡i Zvi mgxKiY †KvbwU?

(K) x²+y²-8x-16y 64=0 (L) x²+y² -8x+16y+64=0 (M) x²+y²+8x+16y+64=0 (N) †KvbwU bq|

8. (4, 3) †K›`ªwewkó GKwU e„Ë x²+y²=9 e„ˇK ewn:¯’fv‡e ¯úk© K‡i| e„ËwUi mgxKiY †KvbwU?

(K) x²+y²+8x +6y+21= 0 (L) x²+y²-8x-6y+21=0 (M) x²+y²-8x+6y+25=0 (N) x²+y²+8x-6y+25=0 9. wb‡Pi Z_¨¸wj jÿ Kwi: (i) x²+y²-8x+6y+9=0 e„ËwU y-Aÿ‡K ¯úk© K‡i| ¯úk© we›`yi ¯’vbv¼ (0,-3).

(ii) x²+y²=0 mgxKiYwU we›`ye„Ë wb‡`©k K‡i| (iii) x²+y²-4x-6y+11=0 e„‡Ëi GKwU e¨v‡mi cÖvšÍwe›`y `yBwU (1, 2), (3, 4) wb‡Pi †KvbwU mwVK ? (K) i I ii (L) ii I iii (M) i I iii (N) i, ii I iii

10. k Gi †Kvb gv‡bi Rb¨ (x-y+3)²+(kx+2) (y-1) = 0 GKwU e„Ë m~wPZ K‡i ? (K) 1 (L) 2 (M) 3 (N) -2 11. c Gi gvb KZ n‡j, x²+y²-8x+6y+c=0 e„Ë y-Aÿ‡K ¯úk© Ki‡e? (K) 4 (L) 9 (M) 16 (N) 18

12. (1, 2) †K›`ªwewkó GKwU e„Ë x-Aÿ‡K ¯úk© K‡i| y-Aÿ †_‡K e„ËwU Øviv LwÐZ As‡ki cwigvY KZ ? (K) 3 (L) 22 (M) 23 (N) 3

13. 3x + 4y = k †iLvwU x²+y²= 10x e„ˇK ¯úk© K‡i| k-Gi GKwU gvbÑ (K) 20 (L) 30 (M) 40 (N) 45 14. x²+y²= 81 e„‡Ëi GKwU R¨v-Gi ga¨we›`y (-2, 3) n‡j H R¨v-Gi mgxKiY †KvbwU?

(K) 2x + 3y + 12 = 0 (L) 2x -3y + 13 = 0 (M) 2x - y + 5 = 0 (N) x + 2y - 11 = 0 15. GKwU e„Ë y-Aÿ‡K g~jwe›`y‡Z ¯úk© K‡i Ges (2, -2) we›`y w`‡q AwZµg K‡i| e„ËwUi mgxKiY †KvbwU?

(K) x²+y²+ 4x = 0 (L) x²+y²-4x = 0 (M) 2(x²+y²) -5x = 0 (N) 2(x²+y²) -3x = 0

16. x²+y²-8x + 6y + 21 = 0 e„‡Ëi †ÿÎdj KZ ? (K) 4(L) 6(M) 8(N) †KvbwU bq|

17. 2x²+2y²-8x-5y+8=0 e„‡Ëi †K‡›`ªi ¯’vbvsK †KvbwU? (K) (4, 5) (L) ) (2,5/2) (M) (2,5/4) N) (2, 5) 18. c Gi gvb KZ n‡j, x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>-8x + 6y + c = 0 e„ËwU we›`y e„Ë n‡e? (K) 10 (L) 11 (M) 13 (N) 15

19. x²+y²= r² Ges x²+y²-6x+5=0 e„Ë `yBwU ci¯úi AšÍ¯’fv‡e ¯úk© Ki‡j r Gi gvb KZ?

(K) 1 (L) 2 (M) 3 (N) 5

20. x²+y²-kx+2y-4=0 e„‡Ëi GKwU e¨v‡mi mgxKiY 2x+y-3=0 n‡j,k-Gi gvb KZ? (K) -3 (L)-2 (M) 3 (N) 4

ধ্নযবোদ