EKSISTENSI SNAKE LEMMA PADA MODUL.

(1)

Oleh

VEEMONA ESTHER SIBARANI NIM: 4123230031

Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

RIWAYAT HIDUP

(4)

EKSISTENSI SNAKE LEMMA PADA MODUL

Veemona Esther Sibarani

NIM: 4123230031

ABSTRAK

Penelitian ini telah membahas tentang barisan eksak pada teori modul. Dalam tulisan ini telah dibuktikan eksistensi lemma snake pada modul yang pembuktiannya didasarkan pada sifat barisan eksak didalam teori modul. Terdapat tiga sifat barisan eksak yang meliputi barisan eksak yang injektif, barisan eksak yang surjektif, dan barisan eksak yang injektif serta subjektif yang telah dibuktikan. Sehingga menunjukkan keeksistensian lemma snake pada modul.

(5)

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk

setiap berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan

kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul

”Eksistensi Snake Lemma pada Modul”. Disusun untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas negeri Medan.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan

dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan

baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih

kepada:

1. Bapak Prof Dr.Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri

Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd, selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam.

2. Bapak Dr.Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak

Drs.Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak

Dr.Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika

serta Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA Universitas Negeri

Medan.

3. Ibu Dr. Hamidah Nasution ,M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Ibu Dr. Nerli Khairani, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang

telah banyak memberikan bantuan, saran, dan kritik dalam penulisan

skripsi ini.

5. Ibu Dr.Hamidah Nasution, M.Si., Bapak Dr. Hermawan Syahputra, M.Si.,

dan Bapak Dr. Abil Mansyur, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah

banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.

6. Ibu Dra. Ratnawati Dora, SIP selaku Kepala Perpustakaan Universitas

Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian

(6)

7. Teristimewa buat orangtuaku tercinta (Mami Erita Eriwaty Silalahi S.Sos.

dan Alm.Papi Julian Vicky Syahnan Matumona Sibarani) yang senantiasa

mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal,

untuk adikku Audrey Dominique Sibarani dan Vikry Moses Sibarani, juga

untuk keluarga besar Sibarani, serta keluarga besar Silalahi.

8. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Robin, Jufridho, penghuni Sukaria,

Ramla, Wahyuni, Wulan, Rahma, Intan dkk, Nanda dkk), sahabat

terbaikku Irene, Lastiar, Saurma, Sandy, Dita, Lena, Bunga, Adek kosan

(Wenny, Devi, Rani, Raya, Merry), seniorku (Bang Yuri Sagala, Bang

Feryanta, Kak Raibanta) terimakasih atas bantuannya.

9. Teruntuk Roy Sinaga yang selalu menyemangati, Ibrahim Simbolon yang

tak pernah lelah menemani hingga subuh, Hermanto Purba yang

mendukungku memasuki bangku Universitas Negeri, Daniel Sipayung

untuk bersabar menungguku, dan yang namanya tak sempat disebut,

terimakasih.

Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyusuan skripsi ini,

maupun penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari

segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari

semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga

mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan

pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan di masa yang akan datang.

Medan, Februari 2017

Penulis

Veemona E. Sibarani

(7)

DAFTAR ISI

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Rumusan Masalah 3

1.3. Batasan Masalah 3

1.4. Tujuan Penelitian 3

1.5. Manfaat Penelitian 3

Bab 2 Tinjauan Pustaka 4

2.1. Fungsi 4

2.2. Himpunan 4

2.3. Grup 8

2.4. Homomorfisma Grup 11

2.5. Isomorfisma Grup 12

2.6. Ring 13

2.7. Homomorfisma Ring 14

2.8. Isomorfisma Ring 15

2.9. Modul 16

2.10. Modul Faktor dan Homomorfisma 18

2.11. Kategori 20

2.12. Diagram Komutatif 22

2.13. Barisan Eksak 26

(8)

Bab 3 Metodologi Penelitian 30

3.1. Tempat Dan Waktu Penelitian 30

3.2. Jenis Penelitian 30

3.3. Prosedur Penelitian 30

Bab 4 Pembahasan 31

4.1. Modul dan Barisan Eksak 31

4.2. Diagram Komutatif 43

4.3. Eksistensi Snake Lemma 44

Bab 5 Penutup 50

5.1. Kesimpulan 50

5.2. Saran 50

DAFTAR PUSTAKA 51

(9)

DAFTAR GAMBAR

hal

Gambar 2.1 Kernel 22

Gambar 2.2 Cokernel 22

Gambar 2.3 Urutan 1 23

Gambar 2.4 Urutan 2 23

Gambar 2.5 Kesetaraan 1 23

Gambar 2.8 Segitiga Komutatif 25

Gambar 2.9 Kotak Komutatif 25

Gambar 2.10 Angka Pesawat 26

Gambar 2.11 Peta yang berbeda antara 2 set yang sama 26

Gambar 2.12 Panah yang melingkar menunjukkan peta dari satu set 27

Gambar 2.13 g adalah peta terbalik dengan f 27

Gambar 2.14 Modul M 28

Gambar 2.15 Modul M2 28

Gambar 2.16 Homomorfisma Rantai 29

Gambar 2.17 Barisan Eksak 29

Gambar 2.18 Diagram Komutatif Homomorfisma 1 29

Gambar 2.20 Barisan Eksak 1 29

Gambar 2.22 Gambar Lemma 1 30

Gambar 2.23 Gambar Lemma 2 30

Gambar 4.3 Kernel 46

Gambar 4.4 Cokernel 46

(10)

Gambar 4.6 Diagram 1 48

Gambar 4.7 Diagram 2 48

Gambar 4.9 Diagram Komutatif Barisan Eksak 50

Gambar 4.10 Homomorfisma Unik 50

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

hal

Lampiran 1 Dokumentasi Penelitian 52

Lampiran 2 Surat Ketersediaan Menjadi Dosen Pembimbing Skripsi 53

Lampiran 3 Surat Permohonan Izin Penelitian dari Jurusan 54

Lampiran 4 Surat Permohonan Izin Penelitian dari Wakil Dekan

Bidang Akademik 55

Lampiran 5 Surat Izin Penelitian dari Kepala Perpustakaan Universitas Negeri

Medan 56

Lampiran 6 Surat Telah Melakukan Penelitian di Perpustakaan Universitas

(12)

Bab I

Pendahuluan

1.1. Latar Belakang

Kata matematika berasal dari kata mathema dalam bahasa Yunani yang

diartikan sebagai sains, ilmu pengetahuan, atau belajar dan juga mathematikos

yang diartikan sebagai suka belajar. Matematika menuntut banyak analisa dan

perhitungan sehingga banyak orang yang hanya menghafalkan ilmu tersebut

daripada memahaminya (Hudojo, 1988).

Secara umum matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan

struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika. Cabang

- cabang utama dalam matematika adalah Aljabar, Geometri, Analisis dan

Teori Bilangan (George, 1981).

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan

dan kuantitas. Aljabar dibagi lagi menjadi aljabar abstrak, aljabar elementer,

aljabar linear. Aljabar abstrak adalah bidang subjek matematika yang

mempelajari struktur aljabar, seperti grup, gelanggang (ring), lapangan

(fields), modul, ruang vektor (Lang, 2002).

Kajiannya dimulai dengan suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi

dengan satu komposisi biner (struktur aljabar). Aljabar abstrak ini banyak

digunakan dalam kajian lanjut bidang matematika (teori bilangan aljabar,

topologi aljabar, geometri aljabar) (Kromodihardjo, 1990).

Topologi adalah kajian pemetaan dari suatu obyek dalam ruang baik dalam

struktur global maupun dalam struktur lokal yang lebih halus. Dapat dikatakan

bahwa kajian ini merupakan perluasan kajian geometri, dengan

mempertimbangkan baik himpunan titik titiknya maupun keluarga

himpunan-himpunan tersebut. Pertimbangan yang digunakan tersebut berupa sifat-sifat

dalam konteks ruang (yang disebut kemudian dengan ruang topologi)

(13)

Dengan mempertimbangkan pendekatan dan arah observasi kajiannya,

dapat diklasifikasikan beberapa subbidang kajian topologi, dan bagian yang

paling mendasar adalah:

1. Topologi himpunan-titik (point-set topology). Di sini dilakukan kajian

terhadap sifat-sifat ruang dan pemetaannya,termasuk di dalamnya konsep

kekompakan (compactness), keterhubungan (connectedness), dan

ketercacahan (countability).

2. Topologi aljabar (algebraic topology). Di sini dalam kajiannya

menggunakan struktur dalam aljabar abstrak (khususnya grup) yang di

dalamnya dikaji ruang topologi dan pemetaan antar ruang. Di dalamnya

diobservasi konsep homotopi dan homologi.

3. Topologi geometri (geometric topology), yang melakukan kajian dari

konsep manifold dan emmbeding-nya (Rotman, 2000).

Kombinasi topologi aljabar dan aljabar abstrak (teori modul) pada akhir

abad ke-19 disebut homological aljabar, yang merupakan cabang matematika

yang masih relatif baru. Alat yang digunakan dalam matematika, terutama

homological aljabar adalah Snake Lemma. Snake Lemma adalah suatu

Lemma yang digunakan untuk membangun barisan eksak panjang yang lebih

dari dua modul.

Dimana modul adalah perluasan dari ruang vektor yang terbentuk dari

suatu grup dan suatu lapangan yang dikaitkan dengan sebuah perkalian skalar.

Pada perkembangannya lapangan yang menyusun ruang vektor tersebut

mengalami perluasan menjadi suatu ring. Dalam hal ini struktur yang

terbentuk dari suatu grup dan suatu ring dengan suatu perkalian skalar

dinamakan modul atas ring tersebut.

Apabila diberikan modul M atas ring R serta submodul - submodul di M,

maka dapat dibentuk barisan eksak. Beberapa R-modul dan R-homomorfisma

modul dapat membentuk suatu barisan dan diagram komutatif. Diagram

komutatif adalah kumpulan peta dimana semua komposisi peta mulai dari set

yang sama dan berakhir dengan set yang sama memberikan hasil yang sama.

(14)

sehingga dibutuhkan snake lemma untuk membangun barisan eksak panjang

tersebut. Snake lemma berlaku dalam setiap kategori abelian dan merupakan

alat penting dalam homological aljabar dan aplikasi, misalnya dalam algebraic

topology (Atiyah, 1969).

Berdasarkan latar belakang di atas maka penulis mengambil judul

”Eksistensi Snake Lemma pada Diagram Modul”.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,

permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:

a. Bagaimana sifat barisan eksak homological aljabar?

b. Bagaimana eksistensi Snake Lemma pada Modul?

1.3. Batasan Masalah

Penelitian ini difokuskan kepada Eksistensi Snake Lemma pada Diagram

Komutatif dalam kajian materi homological aljabar.

a. Mengkaji lebih dalam mengenai homological aljabar.

b. Menunjukkan Eksistensi Snake Lemma pada Modul.

1.4. Tujuan Penelitian

Penelitian ini difokuskan kepada Eksistensi Snake Lemma pada Diagram

Komutatif dalam kajian materi homological aljabar.

a. Mengkaji lebih dalam mengenai homological aljabar.

b. Menunjukkan Eksistensi Snake Lemma pada Modul.

1.5. Manfaat Penelitian

Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat

sebagai berikut :

a. Bagi peneliti menambah wawasan dan pengetahuan dalam mengkaji dan

menganalisis materi mengenai homological aljabar.

b. Bagi mahasiswa diharapkan hasil penelitian ini dapat memberikan

kontribusi dalam pengetahuan dan pendidikan mengenai Snake Lemma yang

(15)

Bab V

Penutup

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan uraian pada pembahasan dapat disimpulkan,

1. Karakteristik dari barisan eksak pendekR-modul adalah :

a. Barisan 0→ → adalah eksak jika dan hanya jika fungsi f

injektif.

b. Barisan → →0 adalah eksak jika dan hanya jika fungsi g

surjektif.

c. Barisan 0→ → → →0 adalah eksak jika dan hanya jika

fungsif injektif, fungsigsurjektif, dan ( ) = ( ).

2. Setelah terbukti keeksakan dari pemetaan → → dan

→ → dimana , lalu , dan ,

maka terdapat fungsi isomorfisma dari Ker → sehingga

dapat ditunjukkan keeksistensian snake lemma.

5.2. Saran

Dalam penelitian ini dibahas mengenai snake lemma pada diagram

komutatif terkhusus pada modul kategori. Bagi yang tertarik dengan topik ini,

penelitian masih bisa dikembangkan lebih lanjut untuk snake lemma pada bidang

kategori yang lain atau membandingkannya dengan lemma lain yang berlaku pada

(16)

DAFTAR PUSTAKA

Atiyah, I., (1969): Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley

Publishing Company, Oxford.

Cholily, Y. M., (2013): Homomorfisma, Universitas Haluoleo Kampus Bumi

Tridharma Anduonohu Kendari, 8(1), 1–6.

Eilenberg.S, S., (1962): Foundations of Algebraic Topology, Princeton University

Press, Princeton.

George, P., (1981):Mathematical Discovery, John Wiley Son, New York.

Hudojo, H., (1988):Mengajar Belajar Matematika, Depdikbud, Jakarta.

Kromodihardjo, K., (1990):Struktur Aljabar, UT Jakarta, Jakarta.

Lang, S., (2002):Algebra, Vol. 3, Springer.

Mulyono (2014):Struktur Aljabar 2, Universitas Negeri Medan, Medan.

Rotman (2000): An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, New

York.

Saragih, S., (2012): Struktur Aljabar 1, Larispa, Medan.

Setiawan, A., (2011): Aljabar Abstrak, UNIVERSITAS KRISTEN SATYA

WACANA, Salatiga.

Wijna (2009): Struktur Aljabar, 1, Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

Wisbauer, R., (1991): Foundations of Module and Ring Theory, University of

Dusseldorf, New York.

Yunita Septriana Anwar, S., (2015): Perumuman Snake Lemma dan Lemma Lima,