Uha Isnaini1 dan Indah Emilia Wijayanti2
S2 Matematika FMIPA UGM, [email protected]
2
Jurusan Matematika FMIPA UGM, ind [email protected]
Abstrak. Diketahui R ring dengan elemen satuan, MRmerupakan R−modul kanan
dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Dapat dibentuk ring fraksi kanan Q = RS−1 dan Q−modul kanan M S−1. Selanjutnya apabila terdapat Ass(MR) dapat
dibentuk Ass(M SR−1) dan Ass(M SQ−1). Oleh karena itu di dalam tulisan ini dibicarakan bentuk dan beberapa sifat dari assosiasi prima pada modul fraksi yang meliputi: Ka-rakterisasi assosiasi prima pada modul fraksi, hubungan antara assosiasi prima pada modul fraksi dengan modul awal- nya, beberapa sifat assosiasi prima jika R meru-pakan ring Noetherian kanan, hubungan antara assosiasi prima dengan himpunan semua elemen pembagi nol dari Q dan bentuk assosiasi prima pada jumlah langsung dan pergandaan Kartesius dari modul-modul fraksi atas ring yang sama.
Kata Kunci: Assosiasi Prima, Ring Fraksi, Modul Fraksi.
1
Pendahuluan
Pengertian assosiasi prima dilatarbelakangi oleh pengamatan hubungan modul dengan ringnya. Assosiasi prima digunakan untuk mengkarakterisasi submodul P −primer. Submodul N di R−modul M merupakan submodul P −primer jika dan hanya jika Ass(M/N ) = {P }. Oleh karena itu, penelitian mengenai sifat-sifat dari assosiasi prima banyak dilakukan. Salah satu peneliti adalah Annin [1,2] yang mengkaji bentuk assosiasi prima pada modul fraksi atas sebarang ring (dimungkinkan non komutatif). Pembahasan assosiasi prima pada modul fraksi tersebut hanya pada bentuk dan syarat yang diperlukan dalam pemben-tukannya. Selain itu syarat 1 ∈ S berdasarkan pengamatan dapat diperumum dengan S 6= ∅. Oleh karena itu di paper ini, diberikan sifat-sifat assosiasi prima pada modul fraksi atas sebarang ring, dengan S tidak harus memuat elemen satuan yang belum pernah dikaji oleh peneliti sebelumnya.
2
RING DAN MODUL FRAKSI KANAN
Pengertian ring fraksi (ring of fractions) dilatarbelakangi oleh pengamatan hubungan himpunan semua bilangan bulat Z dengan himpunan semua bila-ngan rasional Q. Untuk kasus R ring sebarang, didefinisikan
Definisi 1. [3] Ring RS dikatakan ring fraksi kanan dari ring R atas S ⊆ R jika ada homomorfisma ring ϕ : R → RS sedemikan hingga
1. ∀s ∈ S, ϕ(s) unit di RS.
2. ∀x ∈ RS , x = ϕ(a)ϕ(s)−1 untuk suatu a ∈ R dan s ∈ S. 3. Ker ϕ = {r ∈ R|rs = 0 untuk suatu s ∈ S}.
Terdapat sedikit perbedaan Definisi 1 dengan definisi di buku Lam (1998). Menurut hasil pengamatan, elemen satuan tidak harus termuat di S karena pembentukan ring fraksi kanan tersebut masih bisa dilakukan tanpa syarat tersebut. Untuk menjamin eksistensi dari ring fraksi kanan, himpunan multi-plikatif S harus memenuhi syarat perlu berikut:
1. Untuk setiap a ∈ R dan s ∈ S, aS ∩ sR 6= ∅. Selanjutnya S disebut permutabel kanan.
2. Untuk setiap a ∈ R jika s0a = 0 untuk suatu s0 ∈ S maka as = 0 untuk suatu s ∈ S. Selanjutnya S disebut reversibel kanan.
Selanjutnya himpunan multiplikatif ∅ 6= S ⊆ R dan 0 /∈ S yang memenuhi 1 dan 2 disebut dengan himpunan denominator kanan.
Jika diambil sebarang ring dengan elemen satuan R dan himpunan denomi-nator kanan S ⊆ R dapat dibentuk ring fraksi kanan. Pertama-tama dibentuk himpunan
R × S = {(r, s)|r ∈ R, s ∈ S} dan dilengkapi dengan relasi ekuivalensi berikut:
(r, s) ∼ (r0, s0) ⇔ ∃x, y ∈ R sedemikian hingga rx = r0y ∈ R dan sx = s0y ∈ S.
Selanjutnya kelas ekuivalensi yang terbentuk dinotasikan dengan r
s = {(r
0, s0) ∈ R × S|(r0, s0) ∼ (r, s)}.
Himpunan semua kelas-kelas di R × S dinamakan RS−1, yaitu
RS−1 = {rs|(r, s) ∈ R × S}.
Selanjutnya jika diambil sebarang ab,dc ∈ RS−1, didefinisikan a b =
c
d jika dan hanya jika (a, b) ∼ (c, d). Notasi rs juga dapat ditulis sebagai rs−1, kemudian di dalam RS−1 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
r s + r0 s0 = rx + r0y sx r s · r0 s0 = rp s0q
dengan sx = s0y ∈ S dan sp = r0q ∈ R. Diperoleh RS−1 merupakan ring fraksi kanan R atas S.
Diberikan modul M atas ring R yang memuat elemen satuan. Jika diberikan himpunan denominator kanan S ⊂ R maka terdapat modul M S−1 yang meru-pakan modul fraksi kanan dari modul M atas S. Pertama-tama dibentuk him-punan
M × S = {(m, s)|m ∈ M, s ∈ S} dan dilengkapi dengan relasi ekuivalensi berikut
(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃x, y ∈ R sedemikian hingga mx = m0y ∈ M dan sx = s0y ∈ S.
Selanjutnya kelas ekuivalensi yang terbentuk dinotasikan dengan m
s = {(m
0, s0) ∈ M × S|(m0, s0) ∼ (m, s)}
Himpunan semua kelas-kelas di M × S dinamakan M S−1, yaitu M S−1 = {ms|(m, s) ∈ M × S}.
Diambil sebarang ms,ms00 ∈ M S−1, didefinisikan ms = m 0
s0 jika dan hanya jika
(m, s) berelasi dengan (m0, s0). Notasi m
s juga dapat ditulis sebagai ms
−1. Di-ambil sebarang ms,ms00 ∈ M S
−1 dan r
t ∈ RS
−1, kemudian di dalam M S−1 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut:
m s + m0 s0 = mx + m0y sx m s · r t = mp tq
dengan sx = s0y ∈ S dan sp = rq ∈ S untuk suatu x, y, p, q ∈ R. Diperoleh M S−1 merupakan RS−1−modul fraksi kanan M atas S.
3
ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI
Pada bab ini akan disajikan definisi assosiasi prima pada modul atas sebarang ring beserta contohnya dan sifat terkait. Pada keseluruhan pembahasan subbab ini diasumsikan R merupakan ring dengan elemen satuan, S ⊆ R merupakan himpunan denominator kanan dan Q = RS−1merupakan ring fraksi kanan dari R atas S. Selanjutnya MR merupakan R−modul kanan dan yang dikatakan ideal merupakan ideal dua sisi. Sebelum dibahas lebih lanjut diberikan definisi dari berasosiasi prima sebagai berikut.
Definisi 2. Diberikan R−modul kanan MR. Ideal A di R dikatakan berasosiasi prima dengan modul MR jika A = Ann(NR) untuk suatu R−modul prima tak nol NR⊂ MR.
Berikut sifat jika R merupakan ring komutatif.
Proposisi 1. Diberikan R−modul kanan MR. Ideal A di R berasosiasi prima dengan modul MR jika dan hanya jika A ideal prima dan A = Ann(x) untuk suatu 0 6= x ∈ MR.
Bukti. Pertama-tama ditunjukkan untuk arah ke kiri. Diberikan A suatu ideal prima di R dengan A = Ann(x) untuk suatu 0 6= x ∈ M. Dibentuk submodul terkecil yang memuat x yaitu < x >= xR. Pertama-tama ditunjukkan bahwa A = Ann(xR). Jelas bahwa xR merupakan submodul tak nol. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa xR merupakan modul prima.
Selanjutnya ditunjukkan untuk arah ke kanan. Diberikan A ideal di R de-ngan A = Ann(NR) untuk suatu R−modul prima tak nol NR ⊂ MR. Diambil sebarang elemen taknol x ∈ NR selanjutnya dibentuk submodul xR ⊆ NR. Karena NR modul prima, diperoleh A = Ann(NR) = Ann(xR). Akan ditun-jukkan bahwa A = Ann(x). Jelas bahwa karena x ∈ xR diperoleh A ⊆ Ann(x).
Diambil sebarang p ∈ Ann(x). Perhatikan bahwa p mengenolkan x. Sehingga diperoleh p juga mengenolkan modul yang dibangun oleh x. Karena NR meru-pakan R−modul prima, diperoleh pengenol submodul tersebut sama dengan Ann(NR) = A. Dapat ditunjukkan A ideal prima di R. Jadi A merupakan ideal prima di R dengan A = Ann(x).
Selanjutnya himpunan semua assosiasi prima dari M dinotasikan dengan Ass(M ). Selanjutnya pada keseluruhan bab ini diasumsikan R dan S memenuhi kondisi berikut:
Untuk setiap NR merupakan R−submodul dari Q−modul MQ berlaku ideal kanan Ann(NR)e dari Q merupakan ideal dua sisi di Q. (1)
Sebelum dipaparkan mengenai bentuk assosiasi prima pada modul fraksi, terlebih dahulu diberikan teorema sebagai berikut:
Teorema 1. Diberikan R−modul kanan M dan S ⊆ R himpunan denomina-tor kanan dengan 1 /∈ S. Selanjutnya dapat dibentuk himpunan ¯S = S ∪ {1}. Selalu berlaku RS−1 = R ¯S−1 dan M S−1 = M ¯S−1.
Bukti. Perhatikan bahwa karena S ⊆ ¯S diperoleh RS−1 ⊆ R ¯S−1. Selanjutnya diambil sebarang rs ∈ R ¯S−1. Untuk s 6= 1 jelas bahwa rs ∈ RS−1. Untuk s = 1, diambil sebarang t ∈ S diperoleh rs = r1 = rtt ∈ RS−1. Untuk kasus modul fraksi analog.
Dengan kata lain ada tidaknya elemen satuan pada himpunan S tetap diperoleh ring fraksi kanan dan modul fraksi kanan yang sama.
Selanjutnya diberikan Teorema sebagai berikut.
Teorema 2. Asumsikan pernyataan (1) berlaku dan M merupakan Q−modul kanan. Diperoleh
Ass(MQ) = {Ae|A ∈ Ass(MR) dan A ∩ S = ∅} = {I|Ic∈ Ass(MR) dan Ic∩ S = ∅}
Sebelum membuktikan Teorema 2 kita akan ditunjukkan beberapa lemma yang digunakan pada hubungan antara annihilator dan modul prima atas R dan Q. Kondisi (1) diperlukan untuk pembuktian tersebut. Diberikan sebarang R−submodul NRdari suatu Q−modul MQ, diberikan Ne = N ·QQmerupakan Q−submodul dari MQ yang dibangun oleh NR. Dengan kata lain
Ne = N · QQ = {Σi∈I nisi si ti si |ni ∈ N, ti si ∈ QQ}. Selanjutnya diberikan lemma sebagai berikut.
Lemma 1. Diberikan MQ merupakan Q−modul kanan. Diperoleh, 1. Ann(MR) = Ann(MQ)c
2. Diberikan NR suatu R−submodul dari Q−modul MQ. Didapat Ann(NQe) ⊆ Ann(NR)e dan jika pernyataan (1) dipenuhi, diperoleh persamaan yang sama.
Bukti. Diambil sebarang y ∈ Ann(MR), diperoleh xy = 0 untuk setiap x ∈ MR. Perhatikan bahwa jika diambil sebarang ms ∈ Q, diperoleh ψ(y) ∈ Ann(MQ), dengan kata lain y ∈ Ann(MQ)c. Selanjutnya diambil sebarang y ∈ Ann(MQ)c dan g ∈ S, diperoleh ygg ∈ Ann(MQ). Diambil sebarang m ∈ M , diperoleh
mg
g ∈ Q. Perhatikan bahwa karena yg
g ∈ Ann(MQ) diperoleh my = 0 untuk setiap m ∈ M , dengan kata lain y ∈ Ann(MR).
Diambil sebarang NR merupakan R−submodul di MQ. Pertama-tama di-tunjukkan Ann(Ne
Q) ⊆ Ann(NR)e. Diambil sebarang xy ∈ Ann(NQe), dengan x ∈ R dan y ∈ S. Selanjutnya diambil sebarang n ∈ N , diperoleh nx = 0. Jadi didapat x ∈ Ann(NR). Selanjutnya diambil sebarang as ∈ Ann(NR)e dan
r
t ∈ Q. Menggunakan sifat permutabel kanan didapat ada c ∈ R dan u ∈ S sedemikian hingga tc = au. Perhatikan bahwa au ∈ Ann(NR) karena untuk setiap n ∈ N berlaku (au)n = a(un) = 0. Selanjutnya karena Ann(NR)e merupakan ideal dua sisi, diperoleh c = 1tau ∈ Ann(NR)e. Karena c ∈ R didapat c ∈ Ann(NR). Perhatikan bahwa nrtas = nrcsu = 0. Jadi didapat Ann(NR)e ⊆ Ann(NQe).
Selanjutnya diberikan Lemma berikut.
Lemma 2. Diberikan MQ merupakan Q−modul kanan dan memenuhi per-nyataan (1). Jika MQ prima maka MR prima.
Bukti. Diambil sebarang MR0 merupakan R−submodul di MR. Akan ditun-jukkan Ann(MR) = Ann(MR0). Dari Lemma 1 bagian kedua dan (MQ0 )e sub-modul di MQ dan MQ prima diperoleh
Ann((MQ0 )e) = Ann(MQ).
Didapat
Ann(MR0) = Ann(MR0 )e∩ R = Ann(MQ) ∩ R = Ann(MR). Jadi MR merupakan modul prima.
Selanjutnya diberikan proposisi sebagai berikut
Proposisi 2. Diberikan himpunan denominator kanan S ⊆ R dan Q = RS−1. Selanjutnya dibentuk ¯S = {u ∈ R|uss ∈ U (Q), s ∈ S}, didapat
1. ¯S merupakan himpunan denominator kanan 2. R ¯S−1 = RS−1
Bukti. Jelas bahwa ¯S merupakan himpunan denominator kanan. Selanjutnya ditunjukkan RS−1 = R ¯S−1. Pertama-tama ditunjukkan RS−1 ⊆ R ¯S−1. Diam-bil sebarang s ∈ S, jelas bahwa ss2 ∈ U (Q). Jadi diperoleh S ⊆ ¯S, mengaki-batkan RS−1 ⊆ R ¯S−1. Selanjutnya karena ¯S−1 ⊆ Q diperoleh R ¯S−1 ⊆ Q. Selanjutnya diberikan Lemma sebagai berikut.
Lemma 3. Diberikan a1
s1,
a2
s2, · · · ,
ak
sk ∈ Q. Terdapat t ∈ S sedemikian hingga
ai
Bukti. Dapat ditunjukkan menggunakan induksi matematika dan sifat per-mutabel kanan S.
Selanjutnya diberikan Lemma sebagai berikut.
Lemma 4. Diberikan R−submodul NR di MQ. Jika pernyataan (1) berlaku dan NR modul prima maka NQe merupakan modul prima.
Bukti. Perhatikan bahwa NR modul prima, sehingga berakibat NQe 6= {0}. Diambil sebarang NQ0 merupakan Q−submodul tak nol di NQe. Diambil se-barang n0 ∈ NQ0 dengan n0 6= 0. Misalkan n0 = Pk
i=1ni(asi
i) dengan ni ∈ NR,
ai ∈ R dan si ∈ S. Menggunakan Lemma 3 terdapat t ∈ S sedemikian hingga n0t ∈ NR∩ NR0 dan n0t 6= 0.
Selanjutnya karena NR modul prima diperoleh Ann(NR) = Ann(NR ∩ NR0 ) ⊇ Ann(NR0 ). Diberikan sebarang as ∈ Ann(N0
Q), diperoleh a ∈ Ann(N 0 R) sedemikian hingga a ∈ Ann(NR). Menggunakan Lemma 1 diperoleh as ∈ Ann(NQe). Sehingga didapat Ann(NQ0 ) = Ann(NQe).
Selanjutnya akan diberikan bukti dari Teorema 2 sebagai berikut.
Bukti. Diambil sebarang I ∈ Ass(MQ). Dari definisi, terdapat {0} 6= NQ ⊆ MQ dengan NQ merupakan Q−modul prima dan I = Ann(NQ). Dibentuk himpunan A = Ic. Karena Q 6= I = Ice = Ae dapat ditunjukkan A ∩ S = ∅. Selanjutnya ditunjukkan arah sebaliknya. Diambil sebarang Ae dengan A ∈ Ass(MR) dan A ∩ S = ∅. Karena A ∈ Ass(MR), terdapat modul prima tak nol NR ⊆ MR dengan A = Ann(NR). Menggunakan Lemma 1 dan Lemma 4 diperoleh Ne
Q merupakan Q−modul prima. Jadi Ae ∈ Ass(MQ). Selanjutnya bukti untuk persamaan kedua analog.
Hasil tersebut masih dapat dikaji lebih lanjut. Namun sebelumnya diberikan Lemma sebagai berikut.
Lemma 5. Diberikan MR merupakan R−modul kanan dan MR merupakan S bebas torsi. Diperoleh Ass(MR) = Ass(M SR−1).
Bukti. Perhatikan bahwa MR merupakan S bebas torsi dan terdapat penyisi-pan MR ke M SR−1. Jelas bahwa Ass(MR) ⊆ Ass(M SR−1). Selanjutnya akan ditunjukkan Ass(M SR−1) ⊆ Ass(MR). Diambil sebarang A ∈ Ass(M SR−1). Menurut definisi, terdapat R−modul prima NRsedemikian hingga A = Ann(NR). Diambil sebarang m
s ∈ NR \ {0}, dengan m ∈ MR dan s ∈ S. Diperoleh m 6= 0. Selanjutnya dibentuk submodul siklik tak nol msRR di NR. Karena s ∈ R, diperoleh m = mss ∈ msRR. Diambil MR0 = mRR. Lebih lanjut di-peroleh Ann(MR0) = Ann(NR) = A. Jadi ketika diambil m ∈ MR diperoleh MR0 ⊆ MR. Dapat disimpulkan bahwa A ∈ Ass(MR).
Dari Teorema 2 dan Lemma 5 diperoleh akibat sebagai berikut.
Corollary 1. Diberikan R−modul kanan MR dan MR merupakan S bebas torsi. Asumsikan bahwa MR memenuhi pernyataan (1), diperoleh
Ass(M SQ−1) = {Ae|A ∈ Ass(MR) dan A ∩ S = ∅} (1)
Bukti. Menggunakan Teorema 2 diperoleh bahwa
Ass(M SQ−1) = {Ae|A ∈ Ass(M SR−1) dan A ∩ S = ∅} (3) = {I|Ic∈ Ass(M SR−1) dan Ic∩ S = ∅}
Selanjutnya menggunakan Lemma 5, dengan mengganti Ass(M SR−1) = Ass(MR) Akibat 1 terbukti.
Terdapat kondisi alternatif yang mengakibatkan pernyataan (1) berlaku meskipun R dan Q bukan ring Noetherian kanan. Kondisi tersebut adalah
Untuk setiap t ∈ S, terdapat t0 ∈ R dan q ∈ C(Q) sedemikian hingga 1 t = t
0q, dengan C(Q) merupakan himpunan center di Q. (2)
Selanjutnya diberikan proposisi sebagai berikut.
Proposisi 3. Asumsikan pernyataan (2) berlaku untuk S. Jika A merupakan ideal dua sisi di R maka Ae merupakan ideal dua sisi di Q. Lebih lanjut per-nyataan (1) berlaku untuk R dan Q.
Bukti. Diberikan A merupakan ideal dua sisi di R. Diambil sebarang as ∈ A dan rt ∈ Q. Cukup ditunjukkan bahwa Aetertutup terhadap perkalian dari kiri. Diambil sebarang c ∈ R dan u ∈ S sedemikian hingga tc = au. Menggunakan pernyataan (2) diperoleh untuk suatu t0 ∈ R dan q ∈ C(Q), berlaku
r t a s = rc su = rt0auq su = rt 0 auq su = rt0aq s ∈ A e.
Kesamaan tersebut berlaku karena q merupakan center di Q.
Perhatikan bahwa pernyataan (2) selalu berlaku jika S merupakan subset mul-tiplikatif central di R. Dari proposisi tersebut dapat ditarik kesimpulan yaitu, maka Teorema 2 dan Akibat 1 selalu berlaku jika S sentral.
Sebelum diberikan contoh mengenai bentuk assosiasi prima pada modul fraksi, diberikan terlebih dahulu teorema berikut.
Teorema 3. Diberikan ring matriks Mn(R) dengan R merupakan ring ko-mutatif dengan elemen satuan. Elemen A ∈ Mn(R) merupakan unit jika dan hanya jika det(A) merupakan unit di R.
Pertama-tama diberikan contoh ring fraksi kanan dan modul fraksi kanan pada ring matriks berukuran n × n sebagai berikut.
Contoh 1. Diberikan ring komutatif dengan elemen satuan R dan dibentuk ring matriks segitiga bawah Mn∗(R). Perhatikan bahwa Mn(R) merupakan Mn∗(R)−modul kanan. Selanjutnya dibentuk S ⊆ Mn∗(R) merupakan him-punan matriks-matriks dengan elemen diagonalnya 1 ∈ R. Diperoleh S meru-pakan himpunan denominator kanan. Terdapat ring fraksi kanan
(Mn∗(R))S−1 = {P
A|P ∈ M ∗
n(R), A ∈ S}.
Selanjutnya karena Mn(R) merupakan Mn∗(R)−modul kanan, dengan mengam-bil himpunan S yang sama diperoleh modul fraksi kanan
(Mn(R))S−1 = { M
Selanjutnya diberikan contoh assosiasi prima pada modul fraksi sebagai berikut. Contoh 2. Diberikan Mn(Z)−modul kanan Mn(Z6). Selanjutnya mengguna-kan S seperti pada Contoh 1, secara analog dapat ditunjukmengguna-kan S merupamengguna-kan himpunan denominator kanan di Mn(Z). Jadi dapat dibentuk modul fraksi kanan (Mn(Z6))S−1 = { M A|M ∈ Mn(Z6), A ∈ S}. Selanjutnya diperoleh Ass(Mn(Z6)) = {Mn(2Z), Mn(3Z)}.
Selanjutnya menggunakan Akibat 1 diperoleh
Ass(M SQ−1) = {Ae|A ∈ Ass(MR) dan A ∩ S = ∅} = {(Mn(2Z))e, (Mn(3Z))e} (4) Selanjutnya akan dibahas mengenai beberapa sifat assosiasi prima pada modul fraksi. Pada keseluruhan subbab ini, apabila tidak ada keterangan lain diasum-sikan ring yang dimaksud merupakan dengan elemen satuan dan memenuhi kondisi (1). Pertama-tama didefinisikan
(Ass(MR))e = {Ae⊆ M SQ−1|A ∈ Ass(MR)} dan
(Ass(M SQ−1))c = {Ic ⊆ MR|I ∈ Ass(M SQ−1)}. Pertama-tama diberikan lemma sebagai berikut
Lemma 6. Diberikan R−modul M dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Selalu berlaku Ass(M SQ−1) ⊆ (Ass(MR))e dan (Ass(M SQ−1))c⊆ Ass(MR). Bukti. Diambil sebarang I ∈ Ass(M SQ−1). Menggunakan Teorema 1 dipero-leh I ∈ (Ass(MR))e. Selanjutnya jika diambil sebarang I ∈ (Ass(M SQ−1))c maka Ie ∈ Ass(M S−1
Q ). Menggunakan Akibat 1 kesamaan kedua diperoleh I ∈ Ass(MR).
Perhatikan bahwa Lemma 6 sama saja mengatakan banyak elemen dari Ass(M SQ−1) kurang dari atau sama dengan banyak elemen dari Ass(MR). Pertama-tama diberikan karakterisasi dari asosiasi prima sebagai berikut. Proposisi 4. Diketahui M merupakan suatu R-modul dan P ideal prima di R. Ideal P berasosiasi dengan M jika dan hanya jika ada monomorfisma modul dari R/P ke M . Lebih lanjut jika N submodul di M maka Ass(N ) ⊆ Ass(M ).
Bukti. Jelas, dengan pemetaan f : R/P → M dengan f (r + P ) = xr.
Berikut diberikan karakterisasi dari asosiasi prima pada modul fraksi.
Proposisi 5. Diketahui MR merupakan suatu R-modul dan P ideal prima di R. Ideal Pe berasosiasi dengan M S−1
Q jika dan hanya jika ada monomorfisma modul dari R/P ke MR dan P ∩ S = ∅. Lebih lanjut jika N submodul di M maka Ass(N SQ−1) ⊆ Ass(M SQ−1).
Bukti. (⇒) Diketahui Pe berasosiasi prima dengan M S−1. Menggunakan Teo-rema 1 diperoleh P ∈ Ass(MR) dan P ∩ S = ∅. Selanjutnya menggunakan Proposisi 4 terdapat monomorfisma modul dari R/P ke MR dan P ∩ S = ∅.
(⇐) Diketahui terdapat monomorfisma modul f : R/P → MR. Menggu-nakan Proposisi 4 diperoleh P berasosiasi prima dengan MR. Menggunakan Akibat 1 diperoleh Pe∈ Ass(M SQ−1).
Diberikan lemma sebagai berikut.
Lemma 7. Diberikan R−modul tak nol MR, S ⊆ R himpunan denominator kanan dan R−submodul NR. Jika N = {0} maka N SQ−1 = {0}. Konversnya berlaku jika z(N ) ∩ S = ∅.
Bukti. Diambil NR merupakan R−submodul di MR dengan NR = {0}. Per-hatikan bahwa N SQ−1 = {0 s|s ∈ S} = { 0 s}. Jadi diperoleh N S −1 Q himpunan nol. Untuk sebaliknya, diasumsikan z(N ) ∩ S = ∅. Andaikan N SQ−1 himpunan nol dan NR bukan himpunan nol. Terdapat n ∈ NR sedemikian hingga n 6= 0. Karena z(N ) ∩ S = ∅ , terjadi kontradiksi. Jadi NR = {0}.
Selanjutnya diberikan proposisi berikut.
Proposisi 6. Diberikan R−modul M . Jika M = {0} maka Ass(M ) meru-pakan himpunan kosong. Konversnya berlaku jika R merumeru-pakan ring Noethe-rian.
Bukti. Jelas.
Selanjutnya diberikan proposisi berikut.
Proposisi 7. Diberikan R−modul tak nol M dan R−submodul N . Jika N = {0} maka Ass(N SQ−1) merupakan himpunan kosong. Konversnya berlaku jika R merupakan ring Noetherian kanan dan z(N ) ∩ S = ∅.
Bukti. Diambil sebarang R−modul tak nol M dan N merupakan R−submodul. Jika N = {0} maka N SQ−1 juga nol. Sehingga diperoleh Ass(N SQ−1) meru-pakan himpunan kosong. Sebaliknya diketahui Ass(N S−1) merupakan him-punan kosong. Selanjutnya menggunakan Proposisi 6 dan Lemma 7 diperoleh NR = {0}.
Pertama-tama diberikan z(M ) merupakan himpunan elemen pembagi nol di M . Diperoleh z(M ) = {r ∈ R|xr = 0 untuk suatu x ∈ M dengan x 6= 0}. Selanjutnya diberikan teorema berikut.
Teorema 4. Diketahui M merupakan suatu R-modul. Selalu berlaku
∪{P |P ∈ Ass(M )} ⊆ z(M ).
Selanjutnya hal tersebut menjadi sama jika R merupakan ring Noether.
Diberikan z(M SQ−1) merupakan himpunan elemen pembagi nol di Q−modul M SQ−1. Diperoleh z(M SQ−1) = {rs ∈ Q = RS−1|x t r s = 0 u untuk suatu x t ∈ M S −1 Q dengan x 6= 0 dan u ∈ S}. Selanjutnya diberikan teorema berikut.
Teorema 5. Diketahui M SQ−1merupakan suatu Q-modul. Diperoleh ∪{Pe|P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅} ⊆ z(M SQ−1). Selanjutnya hal tersebut menjadi sama jika R merupakan ring Noetherian kanan.
Bukti. Diambil sebarang Pe ∈ ∪{Pe|P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅}. Menggu-nakan Akibat 1 diperoleh Pe ∈ Ass(M S−1
Q ). Selanjutnya menggunakan Teo-rema 4 diperoleh P ∈ Ass(M SQ−1). Selanjutnya diasumsikan R merupakan ring Noetherian kanan. Diambil sebarang I ∈ z(M SQ−1). Menggunakan Proposisi 4 diperoleh z(M SQ−1) = {I|I ∈ Ass(M SQ−1)}. Jadi diperoleh I ∈ Ass(M SQ−1). Menggunakan Teorema 2 diperoleh I ∈ ∪{Pe|P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅}. Proposisi 8. Diberikan R−modul M . Jika N merupakan R−submodul di M maka Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ).
Bukti. Jelas.
Selanjutnya dapat ditunjukkan hasil lain dari proposisi 5.
Proposisi 9. Jika NR submodul di MR maka Ass(M SQ−1) ⊆ Ass(N S −1 Q ) ∪ Ass(M SQ−1/N SQ−1).
Bukti. Diambil sebarang P ∈ Ass(M SQ−1). Perhatikan bahwa karena NR ⊆ MRdiperoleh N SQ−1 ⊆ M S
−1
Q . Jelas bahwa N S −1
Q merupakan Q−submodul di M SQ−1. Sehingga dapat dibentuk
M SQ−1/N SQ−1 = {r s + N S −1 Q | r s ∈ M S −1 Q }.
Menggunakan Proposisi 8 diperoleh P ∈ Ass(M SQ−1/N SQ−1). Jadi diperoleh Ass(M SQ−1) ⊆ Ass(N SQ−1) ∪ Ass((M SQ−1)/(N SQ−1)).
Selanjutnya diberikan akibat sebagai berikut.
Corollary 2. Diberikan R−modul Mj, dengan j ∈ J merupakan himpunan indeks terhitung dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Diperoleh
Ass((M j∈J Mj)S−1) = [ j∈J Ass(MjS−1).
Bukti. Jelas bahwa (L
j∈JMj)S−1 ∼= Lj∈JMjS−1. Menggunakan Proposisi 5 didapat [ j∈J Ass(MjS−1) ⊆ Ass( M j∈J MjS−1).
Dapat ditunjukkan Ass(L
j∈JMjS−1) ⊆ Sj∈JAss(MjS−1) menggunakan in-duksi matematika dan Proposisi 9.
Pertama-tama diberikan contoh assosiasi prima pada direct sum dari modul fraksi pada kasus berhingga sebagai berikut:
Contoh 3. Diberikan Mn(Z)−modul M1, M2, dan M3dengan M1 = Mn(Z6), M2 = Mn(Z10) dan M3 = Mn(Z15). Diambil S himpunan matriks segitiga bawah atas Z yang entri-entri pada diagonalnya 1. Analog dengan contoh 1 diperoleh S merupakan himpunan denominator kanan. Jadi dapat dibentuk modul fraksi kanan (M1⊕ M2⊕ M3)S−1. Diperoleh
Ass(M1⊕M2⊕M3) = Ass(M1)∪Ass(M2)∪Ass(M3) = {Mn(2Z), Mn(3Z), Mn(5Z)} (5) Menggunakan Akibat 2 diperoleh
Ass((M1⊕ M2⊕ M3)S−1 = Ass(M1S−1) ∪ Ass(M2S−1) ∪ Ass(M3S−1) (6) = {(Mn(2Z))e, (Mn(3Z))e, (Mn(5Z))e} (7) Selanjutnya diberikan akibat sebagai berikut.
Corollary 3. Diberikan R−modul Mj, dengan j ∈ J merupakan himpunan indeks terhitung dan S ⊆ R himpunan denominator kanan. Diperoleh
Ass((Y j∈J Mj)( Y j∈J S)−1) = [ j∈J Ass(MjSj−1).
Bukti. Perhatikan bahwa (Q
j∈JMj)(Qj∈JS)−1 ∼= Q j∈JMjS−1. Menggunakan Proposisi 5 didapat [ j∈J Ass(MjS−1) ⊆ Ass( Y j∈J MjS−1).
Untuk arah sebaliknya, bukti analog dengan bukti pada Akibat 2. Sehingga diperoleh Ass(Q
j∈JMjS−1) =Sj∈JAss(MjS−1).
4
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat ditarik sejumlah kesimpulan sebagai berikut :
1. Sifat-sifat assosiasi prima pada kasus ring komutatif masih dipertahankan pada kasus sebarang ring.
2. Assosiasi prima dari pergandaan kartesius sama dengan gabungan assosiasi prima dari modul-modul penyusunnya.
3. Misalkan untuk setiap NR merupakan R−submodul dari Q−modul MQ berlaku ideal kanan Ann(NR)e dari Q merupakan ideal dua sisi di Q. dan R merupakan S bebas torsi. Himpunan assosiasi prima dari M SQ−1 adalah himpunan ekstensi dari elemen-elemen di Ass(MR) yang irisannya dengan S merupakan himpunan kosong. Lebih lanjut Ass(M SQ−1) juga dapat di-pandang sebagai himpunan semua ideal di RS−1 yang hasil kontraksinya berada di Ass(MR) dan irisannya dengan S merupakan himpunan kosong. 4. Banyak elemen dari Ass(M SQ−1) kurang dari atau sama dengan banyak
5. Syarat perlu dan cukup ideal Pe berasosiasi dengan M S−1
Q adalah terdapat monomorfisma modul dari R/P ke MR dan irisan P dengan S merupakan himpunan kosong. Lebih lanjut jika N submodul di M maka Ass(N SQ−1) subhimpunan dari Ass(M SQ−1).
6. Diberikan R−modul tak nol M dan R−submodul N . Himpunan N = {0} merupakan syarat cukup bagi Ass(N SQ−1) sama dengan himpunan kosong. Konversnya berlaku jika diberi tambahan syarat R merupakan ring Noethe-rian kanan dan tidak ada elemen S yang mengenolkan elemen N .
7. Selalu berlaku gabungan dari Pe dengan P ∈ Ass(M ) dan P ∩ S = ∅ merupakan subhimpunan z(M SQ−1). Jika ditambahkan syarat R merupakan ring Noetherian kanan maka diperoleh himpunan yang sama.
8. Syarat perlu NR submodul di MR adalah Ass(M SQ−1) merupakan subhim-punan dari Ass(N SQ−1) digabung dengan Ass(M SQ−1/N SQ−1).
9. Himpunan asssosiasi prima dari jumlahan langsung terhitung dari modul fraksi sama dengan gabungan dari assosiasi prima masing-masing modul fraksi tersebut.
Daftar Pustaka
1. Annin S, 2011, Associated Primes over Skew Polynomial Rings, Communications in Algebra, 30(5), 25112528 (2002).
2. Annin S dan Warner, N.J., 2012, Associated Primes under Noncommutative Localization, Pre-liminary version.
3. Lam, T.Y.,1998, Lectures On Modules and Rings ISBN 0-387-98428-3 , California.
4. Deore, R.P., 2008, On Associated Primes and Primary Subsemimodule, International Journal of Algebra, Vol. 2, 2008, no.16, 795-801.
5. Dummit, D.S dan Foote, R.M.,2003, Abstract Algebra ISBN 0471433349, 9780471433347 , Cal-ifornia.
6. Mc Casland, R.L. and Smith, P.F.,2008, Generalized Associated Primes and Radicals of Sub-modules International Electronic Journal of Algebra Volume 4 (2008) 159-176.
7. Savitt D,2000, Associated Primes and Primary Decomposition Preliminary version.
8. Tavallaee, H.A.,2010, On Associated and Supported Primes Mathematical Sciences Vol. 4, No. 1 (2010) 49-66.
