Pendugaan parameter model AMMI dengan komputasi menggunakan pendekatan bayes

DENGAN KOMPUTASI MENGGUNAKAN

PENDEKATAN BAYES

GUSTI NGURAH ADHI WIBAWA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Dengan ini saya menyatakan bahwa disertasi “Pendugaan Parameter Model AMMI dengan Komputasi Menggunakan Pendekatan Bayes” adalah karya saya sendiri dan belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun.

Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan atau tidak

diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar

Pustaka di bagian akhir disertasi ini.

Bogor, Agustus 2012

GUSTI NGURAH ADHI WIBAWA. Parameter Estimation of AMMI Models with Computation using Bayesian Approach. Supervised by AUNUDDIN, AHMAD ANSORI MATTJIK, and I MADE SUMERTAJAYA.

Statistics on the application of plant breeding research has long used primarily in quantitative genetics. Modeling requirements for selection is needed to support efforts to obtain improved varieties. In modeling, there are two main paradigms used to estimate model parameters as the frequentist and Bayesian.

Standard AMMI is a classical method has been used extensively for modeling and analysis genotype and environmental interactions. Homogeneity variance error is one of assumptions that must be satisfied in this method. Heterogeneity of variance error can lead to errors in conclusions regarding treatment effect. This study focuses attention on the computational efficiency of Bayesian in AMMI model parameters assumed in the data with heterogeneous variance error and evaluate the suitability of the configuration of genotype and environment interactions in Biplot AMMI.

In the data with heterogeneous variance error, there are various differences between the treatment which is likely to cause a reduction in the efficiency of variance estimators in suspected treatment effect. Data transformation is usually used to overcome the problem of heterogeneity variance error. However, it is often quite difficult to obtain a suitable transformation and interpretations of treatment effect obtained from the transformation of data. Therefore we need another approach that can overcome the problem of heterogeneity variance error.

The continued development of computerization, the Bayesian approach is a method that has been used to estimate parameters of linier-bilinier model. Bayesian approach is utilizing prior information about parameters to be expected and information from the sample that will be combined to get a posterior distribution.

In this paper was evaluated the use of Bayesian approach to estimate model parameters and configuration AMMI biplot. There are two types of data used in this study, the simulated data and real data results of multilocation trials. Each type of data has homogeneous and heterogeneous variance. Prior distribution was a conjugate prior and values for posterior distribution were estimated by Gibbs sampling algorithm.

The analysis showed that the Bayesian approach was quite efficient to estimate genotype and environment interaction effect. In fact, AMMI-BS using the BIC to determine the number of principal components of the interaction has a higher efficiency than AMMI-B. Bayesian approach to efficient enough in assuming an interaction effect can be seen from the variance that are smaller than standard AMMI.

If the estimation of bilinier components of each method is used to construct the AMMI biplot to know the configuration of interaction structure, there are relatively similar in configuration among the three methods.

GUSTI NGURAH ADHI WIBAWA. Pendugaan Parameter Model AMMI dengan Komputasi Menggunakan Pendekatan Bayes. Dibimbing oleh AUNUDDIN, AHMAD ANSORI MATTJIK, dan I MADE SUMERTAJAYA.

Penerapan Statistika sudah cukup lama digunakan pada penelitian pemuliaan tanaman terutama dalam genetika kuantitatif. Kebutuhan pemodelan pada proses seleksi diperlukan untuk mendukung upaya memperoleh varietas unggul. Dalam pemodelan, terdapat dua paradigma utama yang digunakan untuk pendugaan parameter model yaitu frequentist dan Bayes.

Metode AMMI standar merupakan metode klasik yang telah digunakan secara luas untuk pemodelan dan analisis interaksi genotipe dan lingkungan (IGL). Kehomogenan ragam galat percobaan merupakan salah satu asumsi yang harus dipenuhi pada metode ini. Ketidakhomogenan ragam galat dapat menyebabkan terjadinya kesalahan dalam pengambilan kesimpulan mengenai pengaruh perlakuan. Penelitian ini memfokuskan perhatian pada efisiensi komputasi Bayes dalam menduga parameter model AMMI pada data dengan ragam heterogen dan mengevaluasi kesesuaian konfigurasi interaksi genotipe dan lingkungan pada Biplot AMMI.

Pada data dengan ragam galat heterogen, terdapat perbedaan ragam antar perlakukan yang kemungkinan akan menyebabkan berkurangnya efisiensi penduga ragam dalam menduga pengaruh perlakuan. Transformasi data biasanya digunakan untuk mengatasi masalah keheterogenan ragam galat. Namun, seringkali cukup sulit untuk memperoleh transformasi yang cocok dan melakukan interpretasi pengaruh perlakuan yang diperoleh dari data hasil transformasi. Oleh karena itu diperlukan pendekatan lain yang relatif mampu mengatasi masalah keheterogenan galat.

Semakin berkembangnya komputerisasi, pendekatan Bayes merupakan suatu metode yang dapat digunakan untuk menduga parameter model linier-bilinier. Pendekatan Bayes memanfaatkan informasi awal (prior information) tentang parameter yang akan diduga dan informasi dari contoh yang akan dikombinasikan membentuk suatu sebaran posterior. Pada penelitian ini digunakan dua pendekatan Bayes yaitu AMMI Bayes (AMMI-B) dan AMMI Bayes SVD (AMMI-BS). Pada AMMI-B, semua parameter model diduga mengunakan komputasi Bayes. Sedangkan pada AMMI-BS, hanya nilai tengah dan pengaruh utama serta pengaruh interaksi yang diduga dengan komputasi Bayes, sementara komponen bilinier diduga dengan SVD (Singular Value Decomposition).

Terdapat dua jenis data yang digunakan pada penelitian ini, yaitu data simulasi dan data riil hasil percobaan lokasi ganda. Sebaran prior yang digunakan pada pendekatan Bayes adalah conjugate prior dengan nilai ragam prior merupakan non informatif prior. Nilai dari sebaran posterior diduga menggunakan algoritma Gibbs sampling. Sedangkan dugaan parameter model diperoleh dari nilai rata-rata posterior.

Kemiripan Biplot AMMI diperoleh karena nilai dugaan akar ciri dan vektor ciri yang dihasilkan oleh ketiga metode dan besarnya keragaman interaksi yang digambarkan melalui Biplot AMMI hampir sama.

@Hak Cipta Milik Institut Pertanian Bogor (IPB), tahun 2012

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber:

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar

Oleh:

GUSTI NGURAH ADHI WIBAWA

G161070041/STK

Disertasi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor

pada

Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Penguji pada Ujian Tertutup

: Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS.

Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc.

Penguji pada Ujian Terbuka

: Dr. Ir. M. Syukur, MS.

Dr. Ir. Budi Susetyo, MS.

Nama Mahasiswa : Gusti Ngurah Adhi Wibawa

Nomor Pokok : G161070041

Program Studi : Statistika

Menyetujui

Komisi Pembimbing,

Prof. Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc Ketua

Prof. Dr. Ir. A. A. Mattjik, M.Sc Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si

Anggota Anggota

Mengetahui,

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr.Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

Tanggal Ujian Terbuka : 31 Juli 2012

xv

Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widi Wasa, Tuhan

Yang Maha Esa, atas berkat rahmatnya sehingga Disertasi ini dapat terselesaikan.

Disertasi ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor pada

Program Studi Statistika di Institut Pertanian Bogor.

Dalam penyelesaian tulisan ini, Penulis banyak mendapat bantuan dan

dukungan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih dan

penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:

1. Rektor Universitas Haluoleo dan Dekan Fakultas MIPA Universitas Haluoleo

yang telah mengijinkan Penulis untuk melanjutkan studi ke IPB.

2. Direktorat Jenderal pendidikan Tinggi Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan, yang telah memberikan bantuan biaya pendidikan melalui program

BPPS.

3. Bapak Prof. Dr. Aunuddin, MSc, Prof. Dr. A.A. Mattjik, MSc, dan Dr. Ir. I

Made Sumertajaya, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberikan

arahan, saran, bimbingan, nasehat dan dorongan moral kepada penulis. Ucapan

terimakasih juga penulis haturkan kepada penguji atas masukan dan saran untuk

perbaikan disertasi ini.

4. Bapak Dr. Aan Andang Daradjat dari Balai Besar Penelitian Tanaman Padi (BB

Padi) di Sukamandi, Subang Jawa Barat yang telah mengijinkan menggunakan

data hasil penelitian BB Padi untuk dijadikan sebagai bahan kajian dalam

disertasi ini.

5. Staf pengajar Departemen Statistika IPB atas saran, bimbingan, nasehat dan

dorongan moral kepada penulis, khususnya kepada Bapak Dr. Hari Wijayanto

dan Dr. Anang Kurnia atas bantuan akses jurnal dan diskusinya.

6. Rekan-rekan mahasiswa S2 dan S3 Statistika IPB atas kebersamaan selama

menempuh studi, terutama Tim Hibah Pascasarjana di bawah asuhan Prof. Dr.

A.A. Mattjik, MSc.

7. Seluruh anggota keluarga Penulis yang telah banyak memberikan dorongan

moral dan spiritual.

xvi ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2012

xvii

Penulis adalah anak ketiga dari pasangan I Gusti Made Mastra dan Ni Gusti

Ayu Nyoman Budi, lahir pada tanggal 16 Juni 1972 di Kendari, Sulawesi Tenggara.

Penulis mengenyam pendidikan sarjana di Jurusan Statistika, Fakultas

Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor pada tahun

1992-1997. Setahun setelah lulus pendidikan sarjana, penulis bekerja sebagai staf

pengajar honorer di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo dan pada

tahun 1999 diangkat sebagai pengajar tetap.

Pada tahun 2004, penulis memperoleh gelar Magister Sains pada Program

Studi Statistika di universitas yang sama di bawah bimbingan Prof. Dr. Barizi, MES

dan Prof. Dr. Ir. Latifah K. Darusman, MS. Sejak tahun 2007 Penulis menempuh

program Doktor dengan Beasiswa Program Pascasarjana (BPPS) dari Direktorat

Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Republik Indonesia.

Sejak tahun 2008 Penulis diberi kesempatan untuk ikut bergabung dalam

Hibah Pascasarjana di bawah asuhan Prof. Dr. Ir. A.A. Mattjik, MSc yang

memfokuskan perhatian pada pemodelan statistika pada bidang pemuliaan tanaman.

Untuk menunjang keilmuan pada bidang pemuliaan tanaman, Penulis menempuh

beberapa matakuliah penunjang pada bidang tersebut, antara lain: Pemuliaan

Tanaman, Genetika Kuantitatif, dan Metode Penelitian Pemuliaan Tanaman.

Selama mengikuti pendidikan Program Doktor, beberapa karya ilmiah penulis

bersama pembimbing akan dipublikasikan dalam jurnal ilmiah dan sebagian telah

dibukukan. Karya ilmiah tersebut antara lain:

1. Wibawa GNA, Aunuddin, Mattjik AA, dan Sumertajaya IM. 2012. Pendugaan

Parameter Model AMMI dengan Komputasi Bayesian. Akan diterbitkan pada

Jurnal Math-Info Vol. 6/ No. 1/ Januari 2013.

2. Wibawa GNA, Aunuddin, Mattjik AA, dan Sumertajaya IM. 2012. Komputasi

Bayesian untuk Menduga Parameter Model AMMI dengan Ragam Galat

Heterogen. Akan diterbitkan pada Jurnal BIAStatistics Vol. 6/No. 2/September

xix

DAFTAR ISI ... XIX DAFTAR TABEL ... XXI DAFTAR GAMBAR ... XXIII DAFTAR LAMPIRAN ... XXV

BAB I. PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian ... 6

1.3. Kerangka Pikir ... 6

1.4. Kebaharuan ... 8

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA ... 9

2.1. Percobaan Lokasi ganda... 9

2.2. Analisis AMMI (Additive Main Effect Multiplicative Interaction) ... 9

2.3. Metode Bayes ... 10

2.4. Bayes AMMI ... 11

2.4.1. Sebaran Prior ... 11

2.4.2.Sebaran Posterior ... 14

2.5. Markov Chain Monte Carlo ... 18

2.6. Pemilihan Model AMMI ... 21

2.7. Evaluasi Kesesuaian Konfigurasi... 21

BAB III. PENDUGAAN PARAMETER MODEL AMMI PADA DATA DENGAN RAGAM HOMOGEN ... 23

3.1. Pendahuluan ... 23

3.2. Tujuan ... 23

3.3. Data dan Metode Analisis ... 24

3.3.1. Data ... 24

3.3.2. Metode Analisis ... 26

3.4. Hasil dan Pembahasan ... 33

3.4.1. Data Hasil Simulasi ... 33

3.4.2. Data Riil ... 39

3.5. Kesimpulan ... 46

BAB IV. PENDUGAAN PARAMETER MODEL AMMI PADA DATA DENGAN RAGAM HETEROGEN ... 47

4.1. Pendahuluan ... 47

4.2. Tujuan ... 47

4.3. Data dan Metode Analisis ... 47

4.3.1. Data ... 47

4.3.2. Metode Analisis ... 49

4.4. Hasil dan Pembahasan ... 49

xx

5.1. Dugaan Parameter ... 74

5.2. Konfigurasi Struktur Interaksi Genotipe dan Lingkungan ... 76

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN ... 77

6.1. Kesimpulan ... 77

6.2. Saran ... 77

DAFTAR PUSTAKA ... 79

xxi

Tabel 3.1 Nilai setiap parameter model untuk membangkitkan data ... 24 Tabel 3.2 Daftar uji lokasi ganda galur-galur padi sawah ... 25 Tabel 3.3 Daftar lokasi percobaan ... 26 Tabel 3.4 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku beberapa parameter

model AMMI pada data dengan ragam homogen ... 34 Tabel 3.5 Dugaan beberapa parameter pengaruh interaksi model AMMI

pada data dengan ragam homogen ... 34 Tabel 3.6 Rata-rata bias mutlak dan MSE ... 38 Tabel 3.7 Tabel analisis ragam data riil dengan ragam galat homogen ... 41 Tabel 3.8 Dugaan nilai rata-rata dan beberapa parameter pengaruh utama

model AMMI ... 42 Tabel 3.9 Hasil penguraian bilinier matriks pengaruh interaksi ... 43 Tabel 4.1 Nilai setiap parameter model untuk membangkitkan data ... 48 Tabel 4.2 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku beberapa parameter

model AMMI pada data dengan dua ulangan ... 50 Tabel 4.3 Dugaan beberapa parameter pengaruh interaksi model AMMI

pada data dengan dua ulangan ... 51 Tabel 4.4 Rata-rata bias mutlak dan rata-rata MSE pada data dengan dua

ulangan ... 54 Tabel 4.5 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku beberepa parameter

model AMMI pada data dengan tiga ulangan ... 55 Tabel 4.6 Dugaan pengaruh interaksi model AMMI pada data dengan tiga

ulangan ... 55 Tabel 4.7 Rata-rata bias mutlak dan rata-rata MSE pada data dengan tiga

ulangan ... 58 Tabel 4.8 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku parameter model

AMMI pada data dengan empat ulangan ... 59 Tabel 4.9 Dugaan beberapa parameter pengaruh interaksi model AMMI

pada data dengan empat ulangan ... 60 Tabel 4.10 Rata-rata bias mutlak dan rata-rata MSE pada data dengan empat

ulangan ... 63 Tabel 4.11 Tabel Analisis Ragam Data Percobaan Padi ... 67 Tabel 4.12 Dugaan nilai rata-rata dan beberapa parameter pengaruh utama

xxiii

Gambar 1.1 Kerangka pikir penelitian ... 8 Gambar 3.1 Tahapan memperoleh data simulasi dengan ragam galat

homogen ... 25 Gambar 3.2 Sebaran nilai bias dugaan rata-rata, pengaruh genotipe dan

pengaruh lingkungan ... 35 Gambar 3.3 Sebaran nilai bias dari dugaan parameter pengaruh utama

kelompok tersarang pada lingkungan ... 36 Gambar 3.4 Sebaran nilai bias dugaan pengaruh interaksi ... 37 Gambar 3.5 Nilai MSE dari dugaan parameter pengaruh interaksi ... 37 Gambar 3.6 Nilai R2 procrustes ... 39 Gambar 3.7 Rata-rata daya hasil menurut genotipe ... 40 Gambar 3.8 Rata-rata daya hasil menurut genotipe dan lokasi ... 40 Gambar 3.9 Dugaan pengaruh utama berdasarkan data riil ... 43 Gambar 3.10 Dugaan nilai akar ciri ... 44 Gambar 3.11 Dugaan pengaruh interaksi ... 45 Gambar 3.12 Biplot AMMI menurut pendekatan yang digunakan ... 46 Gambar 4.1 Tahapan memperoleh data simulasi dengan ragam galat

heterogen ... 49 Gambar 4.2 Sebaran banyaknya komponen utama interaksi yang

dipertahankan pada model ... 52 Gambar 4.3 Sebaran nilai bias dugaan pengaruh interaksi ... 53 Gambar 4.4 Nilai rata-rata bias dan MSE dari dugaan parameter pengaruh

interaksi pada data dengan ragam heterogen ... 53 Gambar 4.5 Sebaran banyaknya komponen utama interaksi yang

dipertahankan pada model ... 56 Gambar 4.6 Sebaran nilai bias dugaan pengaruh interaksi pada data dengan

4 ulangan ... 57 Gambar 4.7 Nilai rata-rata bias dan MSE dari dugaan parameter pengaruh

interaksi pada data dengan ragam heterogen ... 58 Gambar 4.8 Sebaran banyaknya komponen utama interaksi yang

dipertahankan pada model ... 61 Gambar 4.9 Sebaran nilai bias dugaan pengaruh interaksi pada data dengan

3 ulangan ... 62 Gambar 4.10 Nilai rata-rata bias dan MSE dari dugaan parameter pengaruh

xxiv

Gambar 4.17 Dugaan pengaruh interaksi ... 70 Gambar 4.18 Biplot AMMI menurut pendekatan yang digunakan ... 71 Gambar 5.1 Hubungan banyaknya ulangan dengan nilai MSE ... 75 Gambar 5.2 Hubungan banyaknya ulangan dengan banyaknya komponen

xxv

Lampiran 1 Hasil uji kehomogenan ragam ... 83 Lampiran 2 Plot CUSUM akar ciri yang dihasilkan menggunakan AMMI-B

pada data riil padi (ragam homogen) ... 84 Lampiran 3 Plot CUSUM nilai tengah yang dihasilkan menggunakan

AMMI-B pada data riil padi (ragam heterogen) ... 85 Lampiran 4 Plot CUSUM dugaan pengaruh genotipe yang dihasilkan

menggunakan AMMI-B pada data riil padi (ragam heterogen) ... 85 Lampiran 5 Plot CUSUM dugaan pengaruh lingkungan yang dihasilkan

menggunakan AMMI-B pada data riil padi (ragam heterogen) ... 86 Lampiran 6 Plot CUSUM pengaruh kelompok tersarang pada lokasi yang

dihasilkan menggunakan AMMI-B pada data riil padi (ragam

heterogen) ... 86 Lampiran 7 Plot CUSUM akar ciri yang dihasilkan menggunakan AMMI-B

pada data riil padi (ragam heterogen) ... 87 Lampiran 8 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku parameter model

AMMI pada data dengan ragam homogen ... 88 Lampiran 9 Dugaan pengaruh interaksi model AMMI pada data dengan

ragam homogen ... 89 Lampiran 10 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku parameter model

AMMI pada data dengan dua ulangan (kasus ragam galat

heterogen) ... 90 Lampiran 11 Dugaan pengaruh interaksi model AMMI pada data dengan dua

ulangan (kasus ragam galat heterogen) ... 91 Lampiran 12 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku parameter model

AMMI pada data dengan tiga ulangan (kasus ragam galat

heterogen) ... 93 Lampiran 13 Dugaan pengaruh interaksi model AMMI pada data dengan

tiga ulangan (kasus ragam galat heterogen) ... 94 Lampiran 14 Dugaan nilai rata-rata dan simpangan baku parameter model

AMMI pada data dengan empat ulangan (kasus ragam galat

heterogen) ... 95 Lampiran 15 Dugaan pengaruh interaksi model AMMI pada data dengan

empat ulangan (kasus ragam galat heterogen) ... 97 Lampiran 16 Dugaan pengaruh utama dan interaksi serta ragam berdasarkan

data riil uji lokasi ganda (kasus ragam galat homogen) ... 99 Lampiran 17 Dugaan pengaruh utama dan interaksi serta ragam berdasarkan

1.

BAB I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Percobaan yang melibatkan dua faktor telah umum digunakan pada

penelitian pemuliaan tanaman seperti uji daya hasil tanaman padi dan jagung. Dua

faktor utama yang biasanya dilibatkan dalam uji daya hasil (uji lokasi ganda) yakni

genotipe tanaman dan kondisi lingkungan (lingkungan: tempat (site), musim,

perlakuan agronomis (agronomy treatment). Percobaan ini bertujuan untuk

meningkatkan keakuratan pendugaan daya hasil, melihat kestabilan hasil dan pola

respon genotipe antar lingkungan, serta membantu pemulia menentukan

genotipe-genotipe terbaik untuk direkomendasikan sebagai varietas baru.

Dari uji lokasi ganda diharapkan mampu memilah pengaruh utama

(genotipe dan lingkungan) dan pengaruh Interaksi antara Genotipe dengan

Lingkungan (IGL). Dari pengaruh interaksi tersebut dapat dipilah

genotipe-genotipe yang mampu beradaptasi pada berbagai kondisi lingkungan (genotipe-genotipe

stabil) dan genotipe-genotipe yang hanya sesuai pada lingkungan tertentu (genotipe

spesifik). Untuk mampu memilah kedua pengaruh ini dengan baik dibutuhkan

pendekatan analisis yang tepat.

Pendekatan analisis yang berkembang sampai saat ini untuk percobaan

lokasi ganda antara lain analisis kestabilan Eberhat and Russel, analisis regresi

linier terhadap pengaruh lingkungan dan Additive Main effect and Multiplicative

Interaction (AMMI). Dari beberapa penelitian yang telah dilakukan diketahui

bahwa pendekatan AMMI lebih baik dalam mengkaji struktur interaksi antara

genotipe dengan lingkungan. Model AMMI mampu menjelaskan interaksi dengan

baik melalui model interaksi lengkap atau dikenal sebagai suku

multiplikatif/bilinier (Sumertajaya 1998). Groenen & Koning (2004) menunjukkan

penggunaan biplot pada model bilinear sebagai cara baru menggambarkan interaksi

pada model aditif (ANOVA model). Struktur interaksi diuraikan dari matriks sisaan

(singular value decomposition, SVD). SVD merupakan pendekatan kuadrat

terkecil dengan reduksi dimensi (pangkat matriks) data yang terbaik dan

menyediakan penyajian secara grafis yang dikenal secara luas dengan nama Biplot.

Seiring dengan permasalahan riil pada pemuliaan tanaman pangan,

beberapa hal dari pendekatan AMMI yang dibangun dengan landasan teori

pemodelan pada data yang berdistribusi Normal, teknik komputasi yang sederhana

dan telah secara luas digunakan perlu dikembangkan untuk memperluas cakupan

analisis. Gambar 1.1 menyajikan roadmap dari pengembangan pendekatan AMMI

(Mattjik et al 2011). Beberapa hal terkait pengembangan model AMMI antara lain:

1. Pengujian subhipotesis pada IGL melalui aproksimasi menggunakan

resampling data dengan pengembalian untuk menguji kontribusi yang

diberikan oleh genotipe dan lingkungan terhadap pengaruh interaksi (Yulianti

2009).

2. Pengembangan metode secara inferensia untuk interpretasi hasil biplot AMMI

melalui penggunaan resampling bootsrap yang dikembangkan karena biplot

AMMI hanyalah suatu analisis eksplorasi dan tidak menyediakan pengujian

hipotesis (Novianti 2010).

3. Pengembangan model AMMI untuk mengatasi masalah data tidak lengkap

(incomplete data) melalui EM-AMMI (Sumertajaya 2005).

4. Pengembangan model AMMI pada data dengan respons ganda dengan tujuan

agar mampu menarik kesimpulan secara komprehensif dari berbagai respons

yang diamati (Sumertajaya 2005).

5. Pengembangan model SEM-AMMI (Structural Equation Modeling_-AMMI)

untuk mengatasi keterbatasan model AMMI dalam menjelaskan pengaruh dari

kovariat genotipe dan lingkungan terhadap nyatanya pengaruh IGL (Jaya

2008).

6. Pengembangan model robust-AMMI melalui penggunaan algoritma

alternating regression pada model faktor analisis dengan pendekatan robust

factorization matrix untuk mengatasi masalah munculnya pengamatan

2011).

7. Pengembangan model G-AMMI untuk menangani data kualitatif misalnya

data cacahan yang berdistribusi Poisson (Hadi 2012).

8. Pengembangan model AMMI dengan pendekatan Bayes untuk mengatasi

kemungkinan diperolehnya nilai dugaan komponen ragam yang negatif yang

dapat saja terjadi pada model analisis ragam. Pendekatan Bayes yang sudah

dikembangkan yaitu model Bayes pada stabilitas genotipe (Silvianti 2009).

Gambar 1.1 Pengembangan model AMMI

Berdasarkan beberapa pendekatan analisis yang berkembang untuk

percobaan lokasi ganda menunjukkan bahwa penerapan Statistika sudah cukup

lama digunakan pada penelitian pemuliaan tanaman terutama dalam genetika

kuantitatif. Kebutuhan pemodelan untuk seleksi pada uji lokasi ganda diperlukan

untuk mendukung upaya memperoleh varietas unggul.

Dalam pemodelan, terdapat dua paradigma utama yang digunakan untuk

pendugaan parameter model yaitu frequentist dan Bayes. Perbedaan utama dari

pendugaan parameter. Pada paradigma frequentist, parameter diasumsikan bernilai

tetap dan pendugaan parameternya hanya didasarkan pada informasi yang dibawa

oleh contoh, sedangkan pada paradigma Bayes parameter model yang akan diduga

memiliki sebaran yang bersifat acak dan dalam pendugaan parameter tidak hanya

menggunakan informasi yang dibawa oleh contoh, tetapi juga menggunakan

informasi awal (prior information).

Jika dibandingkan dengan pendekatan frequentist, pendekatan Bayes dapat

memberikan dugaan yang memiliki ketepatan (presisi) lebih tinggi. Informasi ini

diperkuat dalam literatur Berger (1985) dan Gill (2008). Pendekatan Bayes juga

dapat mengatasi kemungkinan diperolehnya nilai dugaan komponen ragam yang

negatif yang dapat saja terjadi pada model analisis ragam.

Pada pendekatan frequentist, metode AMMI (Additive Main effect and

Multiplicative Interaction), selanjutnya disebut sebagai AMMI-S (AMMI Standar),

merupakan suatu metode yang telah umum digunakan untuk menganalisis data

hasil percobaan uji daya hasil terutama untuk mengkaji struktur interaksinya

(Gauch 2006). Metode ini menggabungkan analisis ragam aditif bagi pengaruh

utama perlakuan dengan analisis komponen utama pada pengaruh interaksi.

Metode ini sudah secara luas digunakan karena teknik komputasinya yang relatif

sederhana.

Salah satu asumsi yang harus dipenuhi pada metode AMMI-S yaitu

kehomogenan ragam dari galat percobaan. Ragam galat percobaan disyaratkan

homogen untuk memperoleh ragam galat gabungan yang digunakan dalam

pengujian pengaruh dari faktor/perlakuan yang dicobakan.

Namun, seringkali asumsi kehomogenan ragam galat percobaan dari suatu

data hasil percobaan tidak terpenuhi (Myers et al 2010). Adanya perbedaan ragam

antar perlakukan akan mengakibatkan berkurangnya efisiensi dari penduga ragam

dalam menduga pengaruh-pengaruh perlakuan. Jika perbedaan ragam antar

perlakuan besar, maka sensitivitasnya semakin kecil sehingga uji F yang digunakan

untuk mengetahui perbedaan pengaruh perlakuan pada analisis ragam menjadi tidak

homogen dapat menyebabkan terjadinya kesalahan dalam pengambilan kesimpulan

mengenai pengaruh perlakuan. Sebagai ilustrasi, dari hasil uji F disimpulkan ada

pengaruh perlakuan terhadap respon padahal dapat saja perbedaan tersebut

diakibatkan oleh tidak terpenuhinya asumsi kehomogenan ragam galat.

Transformasi data biasanya digunakan untuk mengatasi masalah

keheterogenan ragam galat percobaan dari data yang akan dianalisis. Beberapa jenis

transformasi yang umum digunakan antara lain: transformasi logaritma, akar

kuadrat dan arcsin. Namun, transformasi yang cocok dalam arti berhasil

memperbaiki perilaku data dan memberikan pengertian yang logis memerlukan

pertimbangan yang lebih luas (Aunuddin 1989). Disamping itu, terdapat kesulitan

dalam melakukan interpretasi pengaruh perlakuan yang diperoleh dari data hasil

transformasi (Myers et al 2010).

Untuk mengatasi masalah keheterogenan ragam galat percobaan dalam

melakukan analisis AMMI, Viele & Srinivasan (1999) menggunakan komputasi

Bayes untuk menduga parameter model AMMI dengan tehnik Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) melalui Gibbs sampling dengan memasukkan langkah acak

(random walk) Metropolis-Hastings. Metropolis-Hastings digunakan untuk

memperbaiki nilai dugaan parameter bilinier.

Liu (2001) mengembangkan komputasi menggunakan pendekatan Bayes,

yang selanjutnya disebut AMMI-B, dalam menduga parameter model AMMI

menggunakan tehnik MCMC melalui Gibbs sampling untuk menduga semua

parameter model dan mengecek kekonvergenan sebaran serta kekonsistenan

pemilihan model. Hasil penelitiannya menunjukkan bahwa dengan pendekatan

Bayes, dugaan parameter model lebih efisien daripada metode klasik (AMMI-S).

Liu juga menunjukkan bahwa untuk model AMMI-B, output yang dihasilkan

melalui Gibbs sampling tidak dipengaruhi oleh nilai awal dari parameter yang

digunakan pada proses simulasi karena hasilnya selalu konvergen ke sebaran

posterior target.

Komputasi menggunakan pendekatan Bayes juga digunakan oleh Silvianti

AMMI-BS (AMMI Bayes dan SVD). Namun, Silvianti menerapkan komputasi

Bayes hanya untuk menduga parameter pengaruh utama dan pengaruh interaksi,

sedangkan pendugaan parameter bilinier seperti akar ciri dan vektor ciri tetap

dihitung dengan SVD (Singular Value Decomposition).

Adanya dua pendekatan Bayes yang digunakan untuk menduga parameter

model AMMI, penelitian ini membandingkan efisiensi penggunaan pendekatan

AMMI-B dengan pendekatan AMMI-BS.

1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Mengkaji penerapan komputasi Bayes untuk menduga parameter model AMMI

pada data dengan ragam galat heterogen.

2. Mengevaluasi kesesuaian konfigurasi interaksi dari genotipe dan lingkungan

antara metode standar dengan komputasi Bayes.

Sedangkan manfaat dari penelitian ini adalah komputasi Bayes dapat

digunakan sebagai salah satu alternatif metode untuk menduga parameter model

AMMI pada data dengan ragam galat heterogen.

1.3. Kerangka Pikir

Data yang diperoleh dari hasil percobaan lapangan kadang-kadang tidak

sesuai dengan rancangan yang sudah ditetapkan pada tahap perencanaan. Salah satu

permasalahan tersebut adalah diperolehnya data dengan ragam galat tidak

homogen.

Keheterogenan ragam galat percobaan dapat terjadi karena munculnya satu

atau dua ulangan dengan pemberian penanganan yang kurang homogen atau kurang

kehati-hatian dari peneliti dalam mengontrol kondisi lingkungan, apalagi pada uji

lokasi ganda perlakuan yang dilibatkan cukup banyak.

Pendekatan Bayes merupakan salah satu alternatif metode yang digunakan

untuk menduga parameter model AMMI pada kasus data dengan ragam tidak

homogen. Beberapa hal yang diperhatikan dalam menduga parameter model AMMI

Dalam pendekatan Bayes diperlukan sebaran awal dari parameter model yang

sering disebut sebagai sebaran prior. Dalam menentukan sebaran prior

seringkali mempertimbangkan kemudahan dalam membuat sebaran posterior.

2. Penentuan sebaran posterior

Sebaran posterior diperoleh dari hasil kombinasi antara informasi awal tentang

parameter dengan informasi tentang parameter tersebut yang dibawa oleh data

observasi.

3. Pendugaan parameter dari sebaran posterior

Masalah utama dalam penerapan pendekatan Bayes terletak pada cara

mendapatkan sebaran posterior yang sering memerlukan proses pengintegralan

fungsi yang berdimensi tinggi sehingga perhitungan menjadi sulit. MCMC

(Markov Chain Monte Carlo) adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk

tujuan tersebut.

4. Pendugaan parameter model AMMI

Berdasarkan hasil komputasi melalui MCMC selanjutnya diduga parameter

model AMMI.

5. Interpretasi struktur interaksi

Dengan Bayes AMMI akan diperoleh dugaan dari parameter bilinier. Struktur

interaksi antara genotipe dan lingkungan digambarkan dalam bentuk biplot

AMMI.

6. Evaluasi kesesuaian konfigurasi.

Hasil penanganan data dengan ragam tidak homogen terkait kinerja hasil

dugaan parameter model AMMI dengan komputasi Bayes ditunjukkan melalui

perbandingan konfigurasi Biplot menggunakan Analisis Procrustes.

Secara ringkas, kerangka pikir yang digunakan dalam mengkaji penerapan

komputasi Bayes dalam menangani data dengan ragam tidak homogen terkait hasil

dugaan parameter model AMMI dapat dilihat pada Gambar 1.2.

Pembahasan mengenai penerapan pendekatan Bayes pada model AMMI

akan diawali dengan melihat hasil dugaan ketiga metode (AMMI-S, AMMI-BS,

meliputi data hasil simulasi dan data hasil percobaan lokasi ganda. Hasil dari

analisis ini akan dibahas pada BAB III.

Selanjutnya, pada BAB IV akan diuraikan bagaimana penerapan pendekatan

Bayes pada data dengan ragam tidak homogen. Sementara pada BAB V akan

[image:34.595.47.483.41.709.2]

diuraikan pembahasan umum dan pada BAB VI dibahas kesimpulan dan saran.

Gambar 1.2 Kerangka pikir penelitian

1.4. Kebaharuan

Hasil perbandingan metode AMMI Bayes dengan AMMI Bayes SVD dalam

menduga parameter model AMMI pada data yang tidak memenuhi asumsi

2.

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Percobaan Lokasi ganda

Istilah uji daya hasil seringkali disebut sebagai uji lokasi ganda karena uji ini

dilakukan pada beberapa lokasi dengan kondisi lingkungan yang berbeda. Uji lokasi ganda

ini dilakukan untuk mengkaji pengaruh genotipe pada berbagai kondisi lingkungan yang

meliputi tempat, tahun tanam dan perlakuan agronomi lainnya. Model rancangan dari uji

ini hampir sama dengan model rancangan percobaan biasa, hanya saja blok disarangkan ke

dalam lingkungan. Model linier untuk uji lokasi ganda dengan genotipe sebagai perlakuan

adalah sebagai berikut:

ijk ij j i k(j)

ijk μ ε

y       dengan:

ijk

y = respon dari genotipe ke-i pada lingkungan ke-j dalam kelompok ke-k

μ = nilai rata-rata umum

i

 = pengaruh genotipe ke-i, i=1,2,….a

k(j)

 = pengaruh kelompok ke-k tersarang pada lingkungan ke-j, k=1,2….r

j

 = pengaruh lingkungan ke-j, j=1,2…b

ij

 = pengaruh interaksi genotipe ke-i dengan lingkungan ke-j

ijk

ε = pengaruh sisaan dari genotipe ke-i dalam kelompok ke-k yang dilakukan di

lingkungan ke-j

Model di atas merupakan model dua faktor, yaitu genotipe dan lingkungan.

2.2. Analisis AMMI (Additive Main Effect Multiplicative Interaction)

Metode AMMI merupakan metode yang telah umum digunakan untuk analisis data

lokasi ganda. Metode AMMI sangat efektif menjelaskan interaksi genotipe dengan

lingkungan. Metode ini merupakan gabungan antara analisis ragam pada pengaruh aditif

dengan analisis komponen utama pada pengaruh multiplikatif. Pengaruh multiplikatif

diperoleh dari penguraian interaksi genotipe dengan lingkungan menjadi komponen utama

Jika menggunakan metode MKT dengan iterasi untuk pendugaan parameter model

AMMI, tahapan analisis diawali dengan melihat pengaruh aditif dari genotipe dan

lingkungan menggunakan analisis ragam, kemudian dilanjutkan dengan melakukan

penguraian nilai singular untuk komponen multiplikatif interaksi genotipe x lingkungan.

Bentuk multiplikatif diperoleh dari penguraian interaksi genotipe dengan lingkungan

menjadi komponen utama interaksi (KUI). Dengan melakukan tahapan tersebut, maka

model AMMI dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

dengan:

ijk

y = respon dari genotipe ke-i pada lingkungan ke-j dalam kelompok ke-k

μ = nilai rata-rata umum

i

 = pengaruh genotipe ke-i, i=1,2,….a

k(j)

 = pengaruh kelompok ke-k tersarang pada lingkungan ke-j, k=1,2….r

j

 = pengaruh lingkungan ke-j, j=1,2…b

= nilai singular untuk komponen bilinier ke-l, λ₁λ₂...λ_m

= pengaruh ganda genotipe ke-i melalui komponen bilinier ke-l

= pengaruh ganda lingkungan ke-j melalui komponen bilinier ke- l

ij

 = sisaan dari komponen bilinier

ijk

ε = pengaruh sisaan dari genotipe ke-i dalam kelompok ke-k yang dilakukan di

lingkungan ke-j

M = banyaknya KUI yang dipertahankan dalam model

2.3. Metode Bayes

Metode Bayes merupakan salah satu metode pendugaan parameter yang

memanfaatkan informasi awal/informasi prior tentang parameter yang akan diduga () dan

informasi dari contoh (x) yang akan dikombinasikan membentuk suatu sebaran yang

disebut sebagai sebaran posterior. Sebaran posterior ini merupakan sebaran dasar pengujian

Di dalam kerangka metode Bayes,  dipandang sebagai suatu peubah acak yang

mempunyai fungsi sebaran dengan ruang parameter  sebagai daerah fungsi. Fungsi

sebaran dari informasi awal disebut sebagai fungsi kepekatan awal (sebaran prior) dari 

(π(θ)). Sedangkan fungsi kepekatan peubah acak X dipandang sebagai fungsi kepekatan bersyarat X| yang ditulis sebagai f(x|). Sementara f(x,) digunakan untuk menyatakan

fungsi kepekatan bersama X dan , dan f(x,)= f(x|) π(θ) dan X memiliki kepekatan marginal:

 









 





dF x f x

m 



| , untuk  peubah acak kontinu

maka untuk m(x) > 0 dapat diperoleh sebaran posterior sebagai berikut:



|



 

 

, .

x m

x f

x 



 

Fungsi π(θ|x) dinamakan sebagai sebaran posterior yang didefinisikan sebagai sebaran bersyarat θ jika data contoh x diketahui.

2.4. Bayes AMMI

Komputasi Bayes telah digunakan oleh Viele & Srinivasan (1999) untuk menduga

parameter model AMMI pada data dengan ukuran contoh tidak sama dan ragam heterogen.

Liu (2001) mengembangkan pendekatan ini untuk menduga semua parameter model

AMMI dan mengecek kekonvergenan sebaran serta kekonsistenan pemilihan model.

2.4.1. Sebaran Prior

Sebaran prior merefleksikan pengetahuan atau keyakinan peneliti tentang

parameter. Dalam menentukan sebaran prior seringkali mempertimbangkan kemudahan

dalam membuat sebaran posterior, karena secara umum tidak mudah menghitung m(x) dan π(θ|x) (Berger 1985). Kelas sebaran prior yang membuat sebaran posterior dapat ditentukan dengan mudah karena posterior memiliki keluarga sebaran yang sama dengan keluarga

sebaran prior disebut sebagai conjugate prior.

Untuk memperoleh dugaan Bayes dari parameter, perlu ditentukan terlebih dahulu

sebaran prior dari setiap parameter model AMMI (_{, , , , , ,}2 jk ik k j

Srinivasan (1999) dan Liu (2001) mengasumsikan bahwa , i, dan j menyebar Normal, 2

menyebar Invers Gamma, sementara k menyebar Normal Positif, sedangkan vik dan sjk

masing-masing menyebar menurut sebaran von-Mises Fisher.

Misalkan X  N(, 2), suatu peubah acak Y dikatakan menyebar normal positif

(N+) jika sebaran dari Y proporsional terhadap sebaran X untuk y≥0, dan 0 untuk y lainnya. Suatu vektor satuan acak x (||x||=1) berdimensi p dikatakan menyebar menurut

sebaran von-Mises Fisher, Mp(, k), jika memiliki fungsi kepekatan peluang (Mardia dan

Jupp 2000; Dillon dan Sra 2003):

dengan ||||=1, k≥ 0, Sp-1 adalah unit hypersphere berdimensi p, dan cp(k) adalah

Ip(k) merupakan fungsi Bassel yang dimodifikasi pada ordo ke-p

dengan (.) merupakan fungsi Gamma.

Parameter  menunjukkan rata-rata arah dan k menunjukkan consentration

parameter. Jika k=0, maka x menyebar menurut sebaran seragam sperikal (Mardia dan

Jupp 2000).

Sebaran von-Mises Fisher merupakan sebaran keluarga eksponensial (Mardia dan

El-Atoum 1976; Nuñez-antonio dan Gutiérrez-peña 2005). Conjugate prior dari sebaran ini

juga merupakan sebaran von-Mises Fisher.

Prior yang digunakan untuk menduga parameter model AMMI dengan komputasi

Bayes adalah conjugate prior yaitu (Viele & Srinivasan1999; Liu 2001):



2



, ~



_



_



T



a aK

K N , 2 ~ μ_τ _

τ ;



T



b bK K

N , 2

~ μ_γ _

γ ;



 



2 ~ IG ,



2



, ~ _ _

 

N

n

vinU(v,0)

sinU(s,0)

symbol N, IG, N+, dan U berturut-turut melambangkan sebaran normal, invers gamma,

sebaran normal positif, dan sebaran seragam sperikal (sebaran von-Mises Fisher dengan

k=0). Km merupakan suatu matriks sembarang yang berukuran mx(m-1) dan memenuhi

sifat dan , dengan Jm merupakan matriks berukuran

mxm yang semua unsurnya bernilai satu.

Cara membangkitkan peubah yang menyebar secara seragam sperikal adalah (Liu

2001):

1. Bangkitkan x U(Vm) dengan tahapan:

- Bangkitkan m-vektor acak, v=(v1,…, vm)T, dari N(0, Im)

- Normalisasi vector v:



  m j j i

i v v

x

1 2

untuk i=1,…,m

maka x = (x1,…,xm)TU(Vm)

2. Bangkitkan ~ ( m s)

m

v U

x  dengan vms ˆ{h:hm,hTh1}

m t, h orthogonal pada vector

independen s(s>0) dan v1,v2,…,vs ada pada . Untuk model AMMI, vn dan sn harus

diasumsikan hanya mempunyai sebaran ( m s)

m

v

U  untuk m=g atau m=l dan s=m, karena

vn dan snorthogonal pada vector 1m dan dengan yang lainnya. Ambil Cs=(v1,v2,..,vs) dan

diasumsikan v1,v2,..,vs sebuah gugus dari vector ortonormal sehingga CsTCs=Is.

- Bangkitkan (m-s)-vektor acak, v=(v1,…, vm-s)T, dari N(0, Im-s)

- Normalisasi vector v:



 

 m s

j j i

i v v

k

1 2

untuk i=1,2,…,m-s

maka k = (k1, k2,…,km-s)TU(Vm-s)

Ambil B=(Cs|es+1,…,em), dengan el adalah satu dari vector elementer, contoh el=(0,

0, …, 0, 1, 0, …,0), dengan unsur ke-l adalah satu, dan yang lainnya bernilai nol. Ambil C=(cs,cs+1, …, cm) yang diturunkan dari ortonormalisasi B. Jika Cr=(cs+1, …, cm) dan x = Crk, maka x ~ U(Vm) yang orthogonal padaCs.

Adapun cara membangkitkan data yang menyebar menurut sebaran von-Mises

Fisher, misalnya y ~ Mp(v, k), dapat dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:

1.

Bangkitkan vektor x ~ Mp(, k) dengan =(0, 0,…,1)T menggunakan algoritma fungsi

vsamp (Dhillon & Sra 2003).

2. Hitung nilai y = Px dengan Px ~ Mp(P, k). P merupakan matriks simetrik yang

bersifat ortogonal. Matriks P dapat diperoleh melalui transformasi Householder (Noble

& Daniel 1988).

2.4.2. Sebaran Posterior

Sebaran posterior merupakan refleksi dari perbaikan nilai parameter setelah

dilakukan observasi contoh. Atau dengan perkataan lain, sebaran posterior merupakan

kombinasi antara informasi awal tentang parameter dengan informasi tentang parameter

tersebut yang dibawa oleh data observasi. Sebaran posterior merangkum informasi tentang

semua nilai yang tidak pasti (termasuk parameter yang tidak terobservasi, hilang, latent,

maupun data yang tidak terobservasi) dalam analisis Bayes (Gelman 2002). Data yang

dibentuk sebagai likelihood digunakan sebagai bahan untuk memperbaharui informasi

prior menjadi sebuah informasi posterior yang siap untuk digunakan sebagai bahan

inferensia. Secara analitik, fungsi kepekatan posterior diperoleh dari perkalian antara prior

dengan likelihood.

. prior likelihood

posterior 

Sebaran untuk (Yijk |θ) adalah:



yijk |



~N



ijk,2



dengan ijk k(j)ij dan





  

 m

k

jk ik k j i

ij v s

1    

 serta θ didefinisikan sebagai



2



)

( , , , , , ,

,    

 k j i j k vik sjk .

 

















                  _{ }      ijk ijk ijk a b r

ijk ijk ijk y y L 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 exp 2 2 1 exp 2        .

Sebaran posterior bersama adalah:



|



 

 

 

 

 

 

 





 ( )





 ( )  ( )  ( )



 2

 

2 .

   _  _  _ 



_ 



_    _ k k s k v k j j n s v L y k k k j

Sebaran posterior dari masing-masing parameter diperoleh dari perkalian antara prior dari

parameter dengan likelihood.

 Sebaran posterior untuk μ (Liu 2001)





















. , ~ | 2 exp 2 1 exp 2 exp 2 1 exp 2 exp | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 . 2                                                                         





                                                rab rab y rab N lainnya rab y rab rab y r y r lainnya ij ij ij ij ij  

 Sebaran posterior untuk τ

Karena adanya kendala τT1a=0, maka τ diasumsikan diperoleh melalui sebaran

prior norma ganda. Untuk memperoleh sebaran posteriornya dilakukan transformasi

satu-satu dari τ ke vektor yang berpangkat penuh τ*, τ*=( τ1*, …, τa-1*)T =KaTτ, cari sebaran posterior dari τ* dan ditransformasi kembali ke τ dengan τ=Krτ*.

               ) ) 2 exp

| _{2 2}

2 2 * τ * τ (τ* μ μ * (τ τ* T i i rb lainnya        

dengan μ K τ₂* ₂K μτ .

T a 2 T a 2 τ* _{ }        rb rb Jadi, . , μ ~ |

τ* 2 2 1

2 2 τ* _      

 Ia

Dengan demikian, sebaran posterior dari  yaitu            T a aK K rb rb rb N

lainnya _{2 2}

2 2 2 2 2 2 , ˆ ~ |             τ μτ τ

adalah sembarang matriks berukuran m x (m-1) dengan dan , dimana adalah matriks berukuran m x m yang semua unsurnya bernilai satu.

 Sebaran posterior untuk γ

Sebaran posterior dari γ diperoleh melalui cara yang sama seperti mencari sebaran

posterior dari  yaitu:

. , μ γˆ ~ |

γ _{2 2}

2 2 2 2 γ 2 2            _T b bK K ra ra ra N lainnya             

 Sebaran posterior untuk 

Sebaran posterior dari  diperoleh melalui cara yang sama seperti mencari sebaran

posterior dari , hanya saja  akan dicari untuk setiap . Sebaran posteriornya

yakni:

.

,

μ

~

|

_{2 2}

2 2 2 2 2 2























T r r j

j

K

K

a

a

a

N

lainnya

j j j j j























    

 Sebaran posterior untuk k





_         





_{2 2 2}2 ₂

2 . 2 , |                   r r y s v r N

lainnya ij ik jk ij

k

untuk k-1≥ k≥ k+1 dan diasumsikan 0= dan m+1=0.

 Sebaran posterior untuk vk dengan k=1, 2, …, m

dengan 



.. j

ij jk

k s y

v

Untuk model AMMI, karena vn harus orthogonal terhadap vector 1a dan v yang lain,

A-vk, ada matriks Hk berukuran a x (a-m) dimana kolom dari Hk adalah suatu gugus

vektor ortonormal dan orthogonal terhadap 1a dan A-vk. Jika didefinisikan

k T k

k H v

v*  yang merupakan transformasi linier satu-satu, sebaran posterior dari v*k

dengan v_k*V_a_m adalah:





              k T k k k k T k k T k k k v v rc v H H v r lainnya v ~ exp exp | * 2 2 *















dengan T _k

k k

k c H v

v 1 

~ _  _{dan .}

k T k k T k

k v H H v

c   

Selanjutnya diperoleh | ~ ( , ,~ )

2 * k k k k v rc m a FM lainnya v  

  , dengan FM adalah

sebaran von Mises Fisher.

 Sebaran posterior untuk sk dengan k=1, 2, …, m





                     



k T k k i j ij jk ik k k s s r y s v r lainnya s  2 . 2 exp exp |      

dengan 



_..

i ij ik

k v y

s

Dengan cara yang hampir sama seperti dalam menentukan sebaran posterior untuk

vk, sebaran dari * | ~ ( , ₂ ,~k) k k k s rd m b FM lainnya s  

  , dimana T _k

k k

k d R s

s 1 

~ _  _dan

k T k k T k

k s R R s

d    serta Rk berukuran b x (b-m) dimana kolom dari Rk adalah suatu

gugus vector ortonormal dan orthogonal terhadap 1b dan S-sk.









 









                                       





      ijk ijk ijk abr ijk ijk ijk abr y y L lainnya 2 2 ) 1 2 / ( 2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 exp ) ( exp ) ( 2 1 exp 2 , | ) ( | 2                           





.

2

1

,

2

~

|

2 2





















ijk ijk ijk

y

abr

IG

lainnya











_{ }

2.4.3. Dugaan Parameter Model AMMI

Nilai dugaan dari parameter model diperoleh melalui proses komputasi dengan

simulasi menggunakan Gibbs sampling menggunakan sebaran posterior bersyarat dari

setiap parameter. Misalkan θl untuk l= 1,…,m adalah contoh yang dibangkitkan dengan Gibbs sampling, maka nilai dugaan untuk parameter θ selain parameter vektor ciri (v dan s) adalah (Liu 2001):

  . ~ 1 1



  m l l m  

Sedangkan parameter v dan s diduga melalui tahapan sebagai berikut:

1. Buat matriks B yang berukuran pxq dengan pq dimana kolom dari B dibentuk dari

vektor vk atau sk.

2. Hitung



 

  m l l m B B 1 1 .

3. Lakukan penguraian nilai singular untuk matriksBsehingga diperoleh _B _LDRT

.

4. Hitung T

LR

Bˆ  yaitu matriks yang unsur-unsur kolomnya merupakan dugaan dari parameter vk atau sk.

2.5. Markov Chain Monte Carlo

Masalah utama dalam penerapan pendekatan Bayes terletak pada cara mendapatkan

sebaran posterior yang sering memerlukan proses pengintegralan fungsi yang berdimensi

tinggi. Hal ini dapat menyebabkan perhitungan menjadi sulit. MCMC (Markov Chain

Monte Carlo) adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk tujuan tersebut. Dasar

dan bergerak melalui semua bagian dari suatu sebaran posterior. Ada dua bagian pengertian dari MCMC yaitu “Monte Carlo” yang berhubungan dengan proses simulasi secara acak dan “Markov Chain” yang berhubungan dengan proses sampling suatu nilai

baru dengan syarat nilai sebelumnya dari sebaran posterior (Lynch 2007). Algoritma

MCMC diimplementasikan dengan cara mengambil contoh berulang-ulang dari p sebaran

posterior bersyarat [θ1|θ2, ..., θp], ..., [θp|θ1, ..., θp−1] (Albert 2007).

2.6.1 Markov Chain

Suatu Rantai Markov (Markov Chain) {Xn, n≥0} merupakan suatu proses stokastik yang memenuhi sifat (Neal 2010):

,

Dengan Xn melambangkan state dari proses setelah n kejadian. Pada dasarnya, kejadian

saat ini hanya dipengaruhi oleh kejadian yang langsung mendahuluinya dan tidak

bergantung pada rangkaian kejadian sebelum-sebelumnya yang lain.

2.6.2 Monte Carlo

Monte Carlo dikembangkan untuk membangkitkan bilangan acak untuk

menghitung integral (Walsh 2004). Misalkan ingin dihitung integral dari suatu fungsi

kompleks

Jika h(x) merupakan hasil kali antara fungsi f(x) dengan fungsi kepekatan peluang p(x)

yang didefinisikan pada selang (a, b) maka

.

Jadi integral dapat diekspresikan sebagai nilai harapan dari f(x) yang berhubungan dengan

fungsi peluang p(x), jadi

Hal ini disebut sebagai integrasi Monte Carlo (Gilks et al 1996).

Integrasi Monte Carlo dapat digunakan untuk menduga sebaran posterior yang

dibutuhkan pada analisis Bayes. Misalkan

,

maka I(y) diduga oleh dengan xi dibangkitkan dari fungsi peluang

p(x). Galat baku Monte Carlo diduga dengan

.

2.6.3 Gibbs Sampling

Gibbs sampling merupakan salah satu metode untuk membangun algoritma Markov

Chain Monte Carlo (MCMC). Gibbs sampling adalah suatu teknik untuk membangkitkan

peubah acak dari sebaran (marjinal) secara tidak langsung, tanpa perlu menghitung fungsi

kepekatannya (Casella & George 1992).

Gibbs Sampling dapat diterapkan apabila sebaran peluang bersama (joint probability

distribution) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi sebaran bersyarat (conditional

distribution) dari tiap-tiap variabel diketahui (Hoff 2009). Misalkan diketahui suatu vector

dari parameter  = {1, 2, …, p}, dan informasi mengenai ukuran peluang  adalah

p()=p(1, 2, …, p). Dengan memberi nilai awal (0) = {1(0), 2(0), …, p(0) }, Gibbs sampling akan membangkitkan (l) dari (l-1) seperti berikut.

a. Untuk l=1, 2, …, m, dibangkitkan:

1. contoh 1(l)~p(1|2(l-1), …, p(l-1)) 2. contoh 2(l)~p(2|1(l), 3(l-1),…, p(l-1))

:

:

3. contoh p(l)~p(p|1(1),2(l), …, p-1(l))

Fungsi kepekatan p,,p2,…,pp disebut sebaran bersyarat penuh yang digunakan untuk

simulasi. Walaupun dalam dimensi tinggi semua simulasi adalah univariate. Dalam Gibbs

sampling tidak ada mekanisme penerimaan dan penolakan semua contoh hasil simulasi

diterima.

2.6. Pemilihan Model AMMI

Untuk menentukan banyaknya komponen utama yang dipertahankan pada model

AMMI, Liu (2001) merekomendasikan metode BIC (Bayes Information Criteria) sebagai

metode yang efektif untuk pemilihan model. Model terbaik yang akan dipilih adalah model

dengan BIC minimum. Formula dari BIC adalah:

) log( )

ˆ ( log 2 )

(m L q N

BIC    _t

dengan L(ˆ) adalah fungsi kemungkinan maksimum dengan m komponen interaksi dan

qt = a+b-1+b(r-1)+m(a+b-m-2) yaitu banyaknya parameter bebas pada model serta N

adalah ukuran contoh efektif dari data yang digunakan untuk menduga 2 yang merupakan

rata-rata ukuran contoh efektif dari semua parameter bebas yang lain pada model

berpangkat penuh (rab untuk menduga , rb untuk menduga i, ra untuk menduga j, dan r

untuk menduga k, vik, atau sjk), dimana untuk model AMMI, N=4r (Liu 2001).

2.7. Evaluasi Kesesuaian Konfigurasi

Dalam analisis AMMI, Biplot AMMI merupakan alat analisis untuk menguraikan

struktur interaksi berdasarkan komponen utama interaksi yang diperoleh. Untuk

mengevaluasi kesesuaian konfigurasi biplot yang dihasilkan digunakan Metode Procrustes.

Metode Procrustes merupakan suatu metode yang dapat digunakan untuk melihat

kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi, salah satu konfigurasi dibuat tetap,

sementara konfigurasi yang lain ditransformasi sehingga cocok dengan konfigurasi yang

pertama (Digby & Kempton, 1987). Sumertajaya (2005) menggunakan metode ini untuk

3.

BAB III.

PENDUGAAN PARAMETER MODEL AMMI PADA DATA

DENGAN RAGAM HOMOGEN

3.1. Pendahuluan

Analisis AMMI-S merupakan analisis yang umum digunakan untuk menganalisis

data percobaan yang melibatkan dua faktor dengan interaksi dalam pendugaan parameter

model dan interpretasi faktor interaksi melalui biplot AMMI. Metode ini cukup populer

digunakan untuk menduga daya hasil tanaman dan interpretasi kestabilan pada percobaan

lokasi ganda.

Perkembangan komputer yang semakin maju sangat membantu mengatasi kesulitan

perhitungan dalam menduga parameter suatu model yang rumit, mendorong semakin

berkembangnya penggunaan metode Bayes untuk menduga parameter suatu model, salah

satunya untuk pendugaan parameter model AMMI.

Pada penelitian ini, metode standar (AMMI-S) dan pendekatan Bayes (AMMI-BS

dan AMMI-B) digunakan untuk menduga parameter model menggunakan data yang

memenuhi asumsi kehomogenan ragam galat percobaan.

Selain digunakan untuk menduga parameter model, analisis AMMI juga digunakan

untuk mengkaji struktur interaksinya. Alat analisis yang digunakan untuk tujuan ini yaitu

Biplot AMMI. Pada penelitian ini dievaluasi Biplot AMMI yang dihasilkan terkait

kesesuaian konfigurasi interaksi dari ketiga metode menggunakan analisis Procrustes.

3.2. Tujuan

Tujuan dari penelitian ini yaitu:

1. Menduga parameter model AMMI men1ggunakan metode AMMI-S, AMMI-BS dan

AMMI-B.

2. Mengevaluasi kesesuaian konfigurasi interaksi dari AMMI antara ketiga metode yang

3.3. Data dan Metode Analisis

3.3.1. Data

Terdapat dua sumber data yang digunakan untuk menilai hasil dugaan parameter

model AMMI dari tiga metode yang digunakan, yaitu data hasil simulasi dan data riil hasil

uji lokasi ganda. Kedua sumber data yang digunakan memenuhi asumsi kehomogenan

galat percobaan.

3.3.1.1. Data Simulasi

Data simulasi diperoleh melalui pembangkitan data secara acak menggunakan

model faktorial RAK. Terdapat delapan taraf faktor A dan tujuh taraf dari faktor B dan

[image:50.595.49.513.59.817.2]

tiga kelompok. Nilai dari setiap parameter seperti yang tersaji pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Nilai setiap parameter model untuk membangkitkan data

Faktor A

Faktor B Pengaruh

Utama faktor A

1 2 3 4 5 6 7

1 -0,44 -0,08 0,22 0,02 0,20 0,66 -0,58 -0,22

2 -0,10 0,24 -0,34 0,23 -0,57 0,55 -0,01 0,15

3 -0,10 0,22 -0,49 0,10 0,04 -0,31 0,54 0,30

4 -0,89 0,43 -0,24 0,30 0,01 0,17 0,22 0,33

5 0,24 0,03 0,75 0,12 -0,11 -0,80 -0,22 -0,06

6 0,82 -0,26 -0,47 -0,02 0,15 0,11 -0,34 0,19

7 -0,07 -0,25 0,16 -0,27 -0,04 0,06 0,41 -0,37

8 0,54 -0,33 0,41 -0,48 0,32 -0,44 -0,02 -0,31

1 0,09 0,25 0,30 0,28 0,48 0,42 -0,06

2 -0,16 0,03 0,00 0,08 -0,35 -0,34 0,00

3 0,07 -0,28 -0,31 -0,36 -0,13 -0,08 0,06

Pengaruh Utama faktor

B

1,54 -0,14 -0,62 -0,01 -1,01 -0,39 0,64

Selain nilai-nilai tersebut, juga ditetapkan nilai rata-rata umum sebesar 5,62 dan

ragam sebesar 1. Semua nilai yang digunakan diperoleh dari data riil hasil percobaan lokasi

ganda padi dengan memilih delapan genotipe dari total 14 genotipe dan tujuh lokasi dari

total 21 lokasi.

Untuk meyakinkan bahwa data yang dibangkitkan sudah memenuhi asumsi

kehomogenan ragam, sebelum digunakan untuk analisis, setiap satu set data yang diperoleh

terlebih dahulu diuji menggunakan Uji Bartlett. Secara ringkas, tahapan yang dilakukan

[image:51.595.143.487.81.316.2]

Gambar 3.1 Tahapan memperoleh data simulasi dengan ragam galat homogen

3.3.1.2. Data Riil

Data riil yang digunakan merupakan hasil percobaan lokasi ganda yang melibatkan

14 galur padi yang ditanam pada 21 lokasi. Dari 14 galur yang digunakan, 3 diantaranya

merupakan varietas pembanding (Gilirang, INPARI1, dan Ciherang) dan 11 galur lainnya

merupakan galur baru (1 galur berasal dari BATAN, 5 galur dari BB Padi, 1 galur dari

Biogen, dan 4 galur dari IPB). Nama-nama galur dan lokasi disajikan pada Tabel 3.2 dan

Tabel 3.3. Deskripsi data yang digunakan disajikan pada Lampiran 16.

Tabel 3.2 Daftar uji lokasi ganda galur-galur padi sawah

KODE GALUR ASAL KETERANGAN

G1 IPB-3 (IPB97-F-20-2-1) IPB PTB, WCK,HDB

G2 BIO-1-AC-BLB/BLAS-05 BIOGEN HDB,BLAS

G3 B10531E-KN-14-3-0-LR-B376-1 BB-PADI WCK,BLB, GENJAH

G4 OBS 1735/PSJ BATAN GENJAH, WCK, BLB

G5 BP11252-2-PN-12-2-2-2-1-7-MR-6 BB-PADI PTB, WCK,HDB, GENJAH

G6 BIO-8-AC-BLB-05 BIOGEN HDB,BLAS

G7 OBS 1740/PSJ BATAN GENJAH, WCK, BLB

G8 IPB-6 (IPB107-F-8-3) IPB PTB, WCK,HDB

G9 BP3300-2C-2-3 BB-PADI WCK,BLB

G10 OBS 1739/PSJ BATAN GENJAH, WCK, BLB

KODE GALUR ASAL KETERANGAN

G12 CIHERANG CHECK

G13 INPARI 1 CHECK

G14 CIMELATI CHECK

Percobaan dilaksanakan dengan menggunakan rancangan acak kelompok dengan 3

ulangan. Setiap galur ditanam pada petak berukuran 4 m x 5 m. Tanam dilakukan pada

saat umur bibit 21 hari, sebanyak 1 bibit per rumpun, dengan jarak tanam 25 cm x 25 cm.

Peubah yang digunakan dalam analisis yakni hasil gabah (kg/ha).

Data yang digunakan merupakan data hasil percobaan yang dilakukan oleh

Konsorsium Padi Nasional yang berpusat di Balai Besar Padi Sukamandi. Percobaan

dilakukan pada musim tanam 2008-2009.

Tabel 3.3 Daftar lokasi percobaan

No Lingkungan No Lingkungan No Lingkungan

1 Asahan1* 8 Ngawi2 15 Pusakanagara2

2 Bali1* 9 NTB1 16 Pesawaran2*

3 Bali2 10 NTB2 17 Purworejo1

4 Bantul2* 11 Probolinggo2 18 Rangkasbitung2

5 Bantaeng1 12 Pasar miring1 19 Tabanan1*

6 Marmada2 13 Purworejo2 20 Takalar2

7 Ngawi1* 14 Pusakanagara1* 21 Taman Bogo2*

Keterangan: 1= musim tanam pertama; 2 = musim tanam kedua *= lokasi tidak diikutkan dalam analisis

Agar asumsi kehomogenan ragam galat