ANALISIS KONKURENSI GARIS YANG MELALUI TITIK SINGGUNG INCIRCLE DAN HASIL ROTASI INCIRCLE PADA SEGITIGA SAMA SISI.

21  13 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

i

Judul Skripsi : Analisis Konkurensi Garis yang Melalui Titik Singgung Incircle dan Hasil Rotasi Incircle pada Segitiga Sama Sisi

Nama Mahasiswa : Syarto Musthofa

NIM : 4113230027

Program Studi : Matematika

Jurusan : Matematika

Menyetujui

Dosen Pembimbing Skripsi

Dra. Nerli Khairani, M.Si NIP.19680114 199412 2 001

Mengetahui:

FMIPA UNIMED Jurusan Matematika

Dekan, Ketua,

Prof. Drs. Motlan, M.Sc., Ph.D Dr. Edy Surya M.Si

NIP. 19590805 198601 1 001 NIP. 19671019 199203 1 003

(2)

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya yang memberikan kesehatan, kesabaran, ketekunan, dan hikmat bagi penulis sehingga penelitian skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik sesuai dengan waktu yang direncanakan. Shalawat dan salam semoga senantiasa terlimpah curahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW, kepada keluarganya dan para sahabatnya. Adapun penelitian pada skripsi ini penulis mengambil tema tentang geometri klasik yaitu geometri Euclid dengan judul “Analisis Konkurensi Garis yang Melalui Titik Singgung Incircle dan Hasil Rotasi Incircle pada Segitiga Sama Sisi”, diajukan untuk memenuhi syarat memperoleh gelar sarjana sains Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

(3)

v

Akhir kata, kesempurnaan bukanlah milik manusia melainkan milik-Nya. Penulis menyadari bahwa skripsi ini membutuhkan kritik dan saran membangun dari para pembaca. Semoga karya tulis ini bermanfaat khsusnya bagi penulis dan bagi para pembaca.

Medan, Juni 2015

(4)

iii

ANALISIS KONKURENSI GARIS YANG MELALUI TITIK SINGGUNG INCIRCLE DAN HASIL ROTASI INCIRCLE PADA

SEGITIGA SAMA SISI

Syarto Musthofa (4113230027)

ABSTRAK

Penelitian ini menganalisa konkurensi garis-garis cevian pada segitiga sama sisi dan memberikan analisa lanjutan terhadap hasil yang diperoleh. Pembentukan garis-garis cevian pada segitiga sama sisi dilakukan dengan menggunakan titik singgung incircle terhadap sisi-sisi segitiga tersebut, dan menggunakan titik singgung hasil rotasi 180o (dengan sumbu rotasi masing-masing titik sudut segitiga) incircle terhadap perpanjangan sisi segitiga sama sisi tersebut. Setiap tiga garis cevian tertentu yang telah terbentuk akan konkuren di sebuah titik. Dengan menggunakan metode tersebut diperoleh tiga buah titik konkurensi garis-garis cevian dihadapan masing-masing sudut luar segitiga sama sisi. Apabila ketiga titik konkurensi tersebut dihubungkan satu sama lain maka akan terbentuk sebuah segitiga baru yang sebangun dengan segitiga pertama dengan ukuran yang lebih besar. Karena kedua segitiga tersebut sebangun maka setiap sisi yang bersesuaian adalah sebanding. Diperoleh perbandingan sisi segitiga sama sisi pertama dengan segitiga sama sisi kedua adalah 1∶4 dengan perbandingan luasnya adalah 1∶ 16. Sehingga disimpulkan apabila perbandingan jari-jari incircle dengan jari-jari lingkaran penyinggung segitiga sama sisi dari arah sudut luar adalah 1∶1 maka diperoleh perbandingan luas daerah segitiga sama sisi yang pertama dengan yang kedua adalah 1∶ 16.

(5)

vi

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Rumusan Masalah 7

1.3 Batasan Masalah 7

1.4 Tujuan Penelitian 7

1.5 Manfaat Penelitian 8

BAB II LANDASAN TEORI 9

2.1 Ruang Lingkup Geometri 9

2.2 Geometri Euclid 9

2.3 Lingkaran 10

2.3.1 Prinsip-prinsip pada Lingkaran 12

2.4 Segitiga 15

2.4.1 Klasifikasi Segitiga 16

2.4.2 Luas Daerah Segitiga 18

2.4.3 Konstruksi Segitiga Sama Sisi 21

2.5 Bisektor Segmen Garis dan Sudut 22

2.5.1 Bisektor Segmen Garis 22

2.5.2 Bisektor Sudut 22

2.6 Hubungan Lingkaran dan Segitiga 23

(6)

vii

Halaman

2.8 Teorema Menelaus 27

2.9 Transformasi 30

BAB III METODE PENELITIAN 32

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 32

3.2 Jenis Penelitian 32

3.3 Prosedur Penelitian 32

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 34

4.1 Konstruksi Segitiga Sama Sisi 34

4.2 Konstruksi Incircle dan Hasil Rotasi Incircle 35 4.3 Konstruksi Garis-garis Cevian dan Pembuktian Konkurensinya 39 4.4 Segitiga PQR dan Perbandingan Luasnya dengan Segitiga ABC 45

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 54

5.1 Kesimpulan 54

5.2 Saran 54

(7)

x

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Klasifikasi segitiga 16

(8)

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1.1.A Titik Circumcenter O dan Orthocenter H 2 Gambar 1.1.B Titik Incenter I dan Centroid G 3 Gambar 1.2.A Dua garis yang tidak sejajar 3

Gambar 1.2.B Berpotongan di satu titik 3

Gambar 1.3.A Tiga garis berpotongan di tiga titik 3 Gambar 1.3.B Tiga garis berpotongan di satu titik 4 Gambar 1.4 Ttitik G hasil konkurensi garis BE, AD, dan CF 5 Gambar 1.5 Masing-masing lingkaran luar hanya menyinggung

perpanjangan dua sisi segitiga sama sisi 6 Gambar 2.1.A Busur, tali busur, dan jari-jari lingkaran 11 Gambar 2.1 B Garis potong dan garis singgung lingkaran 11 Gambar 2.2 Diameter AB membagi dua lingkaran 12

Gambar 2.3 Jari-jari lingkaran 13

Gambar 2.4 Sudut dan busur lingkaran 13

Gambar 2.5 Tali busur 13

Gambar 2.6 Diameter yang tegak lurus pada sebuah busur 13 Gambar 2.7 Garis bagi yang tegak lurus pada busur 14 Gambar 2.8 Jarak tali busur pada pusat lingkaran 14

Gambar 2.9.A Poligon BVXKHW 15

Gambar 2.9.B Poligon RFANT 15

Gambar 2.10 Segitiga ABC 15

Gambar 2.11 Klasifikasi segitiga berdasarkan panjang sisinya 16 Gambar 2.12 Klasifikasi segitiga berdasarkan besar sudutnya 17

Gambar 2.13 Garis CF sejajar dengan BE 18

Gambar 2.14 Alas dan tinggi pada segitiga 19 Gambar 2.15 Segitiga dan jajar genjang dengan alas dan tinggi yang

sama 20

(9)

ix

Halaman Gambar 2.18 Garis CD membagi dua sudut POQ 23 Gambar 2.19 Circumcircle dan incircle pada segitiga ABC 24 Gambar 2.20 Incircle dan excircle pada segitiga ABC 24 Gambar 2.21 Garis cevian AX, BY, dan CZ konkuren di titik P 25 Gambar 2.22 Titik X, Y, dan Z kolinier di satu garis 28

Gambar 2.23 Garis BC diperpanjang 28

Gambar 2.24.A Lingkaran dirotasi 90o terhadap titik P 31 Gambar 2.24.B Lingkaran dirotasi 180o terhadap titik P 31

Gambar 4.1 Sebuah Garis BC 34

Gambar 4.2 Dua lingkaran dengan masing-masing pusat B dan C 34

Gambar 4.3 Segitiga sama sisi ABC 35

Gambar 4.4 Segitiga sama sisi ABC dengan sisi-sisi diperpanjang 35

Gambar 4.5 Bisektor sudut CAB 36

Gambar 4.6 Bisektor ketiga sudut segitiga ABC 36 Gambar 4.7 Hasil konstruksi incircle dengan pusat incenter I 38 Gambar 4.8 Incircle dan hasil rotasi incircle pada masing-masing

sudut segitiga 38

Gambar 4.9 Titik-titik singgung lingkaran terhadap segitiga 39

Gambar 4.10 Cevian AX, BK, dan CJ 40

Gambar 4.11 Garis cevian BY, CM dan AL 41

Gambar 4.12 Garis cevian CZ, AO, dan BN 43 Gambar 4.13 Titik-titik konkurensi P, Q, dan R 44 Gambar 4.14 Segitiga PQR dibentuk dari konkurensi garis

sebelumnya 45

(10)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Surat Persetujuan Dosen PS 57

Surat Rekomendasi Jurusan ke Fakultas untuk Permohonan Izin Penelitian 58

Surat Permohonan Penelitian dari Fakultas ke Tempat Penelitian 59

Surat Memberikan Izin Penelitian dari Tempat Penelitian 60

(11)

54

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian yang telah dilakukan ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Segitiga sama sisi memiliki keistimewaan dalam hal konkurensi garis-garis yang melalui titik singgung lingkaran. Metode yang biasanya digunakan untuk mendapatkan konkurensi garis cevian pada segitiga adalah menggunakan incircle atau excircles. Tetapi pada segitiga sama sisi konkurensi garis-garis cevian tetap dapat dibentuk menggunakan pendekatan incircle dan hasil rotasi incircle sebesar 180o pada masing-masing titik sudut segitiga.

2. Dengan pendekatan incircle dan hasil rotasi incircle tersebut diperoleh tiga titik hasil konkurensi garis-garis cevian di hadapan masing-masing sudut luar segitiga. Kemudian ketiga titik tersebut dihubungkan satu sama lain sehingga terbentuk segitiga kedua yang sebangun dengan segitiga pertama.

3. Perbandingan incircle dan lingkaran penyinggung luar dari arah sudutnya adalah 1: 1. Hal tersebut menyebabkan perbandingan sisi antara segitiga pertama dan segitiga kedua adalah 1: 4, kemudian perbandingan luas daerah keduanya menjadi 1: 16.

5.2 Saran

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan dan kesimpulan di atas penulis menyarankan hal-hal berikut ini:

1. Penulis mengasumsikan bahwa dengan menggunakan metode yang sama pada penelitian ini masih terdapat titik konkurensi dari garis-garis cevian selain dari yang telah dibuktikan penulis. Misalnya apabila diperhatikan cevian ܣܮ, ܤܭ, dan ܥܼ berdasarkan gambar dapat diasumsikan ketiganya konkuren di satu titik. Sehingga penulis menyarankan untuk membuktikan asumsi tersebut. 2. Dengan menggunakan pendekatan yang sama dengan penelitian ini

(12)

55

tak hingga titik pada selang tertentu pada masing-masing perpanjangan cevian ܣܺ, ܤܻ, dan ܥܼ. Disarankan untuk mencari panjang selang yang memungkinkan terbentuknya konkurensi garis tersebut dan membuktikannya. 3. Penelitian ini menggunakan pendekatan lingkaran dari arah sudut luar segitiga

sama sisi, dimana jari lingkaran yang digunakan adalah sama dengan jari-jari incircle. Bagi pembaca yang tertarik untuk melakukan penelitian lebih lanjut bisa menggunakan pendekatan lingkaran dari arah sudut luar segitiga sama sisi dengan jari-jari lingkaran penyinggungnya adalah setengah jari-jari incircle, kemudian seperempat jari-jari incircle dan seterusnya apabila diperlukan.

(13)

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Kata geometri berasal dari bahasa Yunani yaitu geos yang berarti bumi dan metron yang berarti pengukuran. Orang-orang dahulu baik yang berbangsa Mesir, Cina, Babilonia, Romawi, dan Yunani menggunakan geometri sebagai sarana untuk penelitian, penunjuk arah, mempelajari astronomi, dan berbagai macam bidang praktis lainnya. Bangsa Yunani telah berhasil menemukan sistematika dari fakta geometri yang mereka dapatkan dengan menetapkan alasan-alasan logis dan hubungan-hubungan dalam kehidupan mereka. Pekerjaan orang-orang seperti Thales (600 SM), Pythagoras (540 SM), Plato (390 SM), dan Aristoteles (350 SM) dalam membuat fakta-fakta dan prinsip-prinsip geometri telah mencapai puncaknya dalam buku teks geometri yang berjudul Elements yang ditulis kira-kira pada tahun 325 SM oleh Euclid. Ini merupakan karya yang luar biasa yang telah digunakan selama lebih dari 2000 tahun (Rich, 2009).

Geometri secara harfiah dapat diartikan sebagai ilmu pengukuran bumi. Ini merupakan cabang ilmu dari matematika untuk mempelajari hubungan di dalam suatu ruang dimana orang dapat mengetahui suatu ruang dari ciri dasarnya. Dalam pengertian yang lebih sempit dapat dikatakan bahwa geometri terbatas pada pengukuran panjang segmen garis, luas daerah, dan volum, dimana ketiganya berturut turut dapat ditinjau dari sudut pandang geometri dimensi satu, dimensi dua dan dimensi tiga (Fauzi, 2013).

(14)

2

Berbicara tentang segitiga, ada beberapa titik istimewa yang terdapat pada sembarang segitiga. Dikatakan istimewa karena titik-titik tersebut terbentuk melalui konkurensi garis-garis yang melalui titik singgung lingkaran pada masing-masing sisi dan atau perpanjangan sisi segitiga tersebut. Yang dimaksud dengan konkurensi garis-garis adalah perpotongan antara tiga garis atau lebih pada satu titik yang sama. Pada segitiga hanya dikhususkan membahas konkurensi tiga garis pada sebuah titik, sehingga dengan kata lain titik istimewa yang dimaksud disini adalah titik yang terbentuk akibat perpotongan tiga garis yang melalui titik singgung lingkaran pada segitiga (Suryani, 2014).

Titik-titik istimewa yang paling sering dibicarakan dalam segitiga adalah centroid, circumcenter, orthocenter, dan incenter. Keberadaan dari masing-masing titik tersebut berturut-turut merupakan hasil dari konkurensi tiga garis pembagi sisi (median), pembagi dengan sudut tegak lurus (perpendicular bisector), tinggi (altitudes), pembagi sudut dalam (internal bisector). Gambar 1.1.A berikut ini menunjukkan titik circumcenter O dan orthocenter H, dan Gambar 1.1 B mebunjukkan titik incenter I dan centroid G (Yiu, 2004).

(15)

3

Gambar 1.1.B Titik Incenter I dan Centroid G

Perpotongan tiga garis di satu titik merupakan suatu kondisi khusus dari dua kondisi yang mungkin terjadi pada tiga buah garis sembarang dengan kemiringan yang berbeda (tidak satupun diantara ketiganya yang sejajar). Untuk menunjukkan keistimewaan konkurensi tiga garis kita bisa membandingkannya dengan kondisi yang mungkin terjadi pada dua garis sembarang yang tidak sejajar.

Gambar 1.2.A Dua garis yang tidak sejajar

Gambar 1.2 B Berpotongan di satu titik

Bagaimanapun kecilnya perbedaan kemiringan dari dua garis sembarang selama keduanya tidak sejajar maka dipastikan hanya ada satu kondisi yakni keduanya akan berpotongan di sebuah titik. Namun lain halnya dengan tiga buah garis sembarang dengan masing-masing kemiringan berbeda, karena ada dua kondisi yang mungkin terjadi yakni kondisi pertama ketiganya akan berpotongan di tiga titik atau kondisi kedua ketiganya berpotongan di satu titik.

(16)

4

Gambar 1.3.B Tiga garis berpotongan di satu titik

Kondisi pertama adalah kondisi dengan kemungkinan besar akan terjadi karena tidak ada kriteria khusus yang harus dipenuhi. Sedangkan kondisi kedua hanya akan terjadi jika kemiringan dari ketiga garis tersebut konvergen ke sebuah titik. Alasan tersebut menjelaskan bahwa konkukrensi tiga garis pada segitiga merupakan hal yang pantas diberi perhatian dalam pengembangan geometri Euclid.

(17)

5

Gambar 1.4 Titik G hasil konkurensi garis BE, AD, dan CF

Pada Gambar 1.4 diberikan sebuah segitiga ABC sembarang dengan ketiga sisinya diperpanjang pada masing-masing ujungnya. Kemudian dapat dilihat tiga buah lingkaran yang masing-masing menyinggung sebuah sisi pada segitiga dan menyinggung perpanjangan dua sisi lainnya. Lingkaran pertama menyinggung sisi BC dan perpanjangan sisi AB serta CA, lingkaran kedua menyinggung sisi CA dan perpanjangan sisi BC serta AB, kemudian lingkaran ketiga menyinggung sisi AB dan perpanjangan sisi BC serta CA. Ketiga lingkaran yang menyinggung segitiga ABC tersebut dari luar segitiga ABC disebut dengan excircles (Yiu, 2004).

(18)

6

kearah yang konvergen maka ketiganya akan konkuren di sebuah titik, katakanlah itu titik G. Sehingga kita dapatkan sebuah titik dihadapan sudut luar A pada segitiga. Apabila dilakukan hal yang sama maka akan diperoleh juga sebuah titik konkurensi dihadapan sudut luar B dan sebuah titik konkurensi dihadapan sudut luar C pada segitiga (Odehnal, 2010).

Hasil penelitian sebelumnya telah menyimpulkan bahwa terdapat tiga buah titik semi nagel (titik konkurensi garis cevians yang diperoleh dengan menggunakan metode titik singgung incircle dan excircles) yang berada di luar segitiga (Suryani, 2014).

Metode titik singgung incircle dan excircles berlaku pada sembarang segitiga dan sudah sering dilakukan untuk mendapatkan konkurensi garis. Oleh karena itu muncul gagasan dari penulis dan tertarik untuk melakukan penelitian dengan menyinggung incircle dan hasil rotasi 180o incircle (lingkaran hanya bersinggungan dengan perpanjangan dua sisi) pada suatu segitiga sama sisi untuk mendapatkan konkurensi garis. Ilustrasinya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.5 Masing-masing lingkaran luar hanya menyinggung perpanjangan dua sisi segitiga sama sisi.

(19)

7

dilakukan analisis lanjutan terhadap hasil yang diperoleh (Pembentukan segitiga kedua dan pencarian perbandingan luas segitiga pertama dan kedua).

Permasalahan yang telah diuraikan diatas menjadi latar belakang bagi penulis untuk mengangkatnya menjadi sebuah karya ilmiah dalam bentuk skripsi dengan judul “Analisis Konkurensi Garis yang Melalui Titik Singgung Incircle dan Hasil Rotasi Incircle pada Segitiga Sama Sisi”.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana membuktikan terjadinya konkurensi tiga buah garis pada segitiga sama sisi dengan menggunakan titik singgung incircle yang dirotasi 180o pada masing-masing sudut segitiga tersebut.

2. Bagaimana mengkonstruksi sebuah segitiga baru yang sudut-sudutnya adalah titik-titik konkurensi yang diperoleh sebelumnya.

3. Bagaimana perbandingan luas segitiga pertama dengan segitiga yang kedua.

1.3 Batasan Masalah

1. Segitiga yang akan diteliti adalah segitiga sama sisi.

2. Lingkaran yang digunakan untuk menyinggung segitiga sama sisi adalah incircle yang dirotasi 180o terhadap titik-titik sudut segitiga. 3. Sudut pandang yang digunakan pada penelitian ini adalah sistem

geometri Euclid pada dimensi dua (bidang datar).

1.4Tujuan Penelitian

1. Untuk membuktikan bahwa konkurensi garis pada segitiga sama sisi dapat dilakukan dengan pendekatan incircle dari luar segitiga.

2. Untuk Melakukan konstruksi segitiga baru berdasarkan titik-titik konkurensi yang diperoleh.

(20)

8

1.5Manfaat Penelitian 1. Bagi Penulis

Penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan serta meningkatkan pemahaman penulis tentang keberadaan titik hasil konkurensi garis-garis pada segitiga.

2. Bagi Pembaca

(21)

56

DAFTAR PUSTAKA

Bradley, Christopher J., (2005), Challenges in Geometry For Mathematical Olympians Past and Present, Oxford University Press, New York.

Coxeter, H. S. M dan S. L Greitzer, (1967), Geometry Revisited, The Mathematical Assosiation of America (Inc), Washington D. C.

Cummins, J., Tim Kanold, Margaret Kenney, Carol Malloy, & Yvonne Mojica, (2001), Geometry Concepts and Applications Study Guide Workbook, McGraw Hill, New York.

Fauzi, K.M.A., (2013), Mengenal Geometri Euclid dan Non-Euclid Lebih Dekat, Unimed Press, Medan.

Greenberg, Marvin Jay., (1993), Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History – Third Edition, W. H Freeman and Company, San Fransisco.

Odehnal, B., (2009), Generalized Gergonne and Nagel Points, Beitr Algebra Geom, Vol. 51 No. 2, Hal. 477 - 491.

Rich, Barnett dan Christopher Thomas., (2009), Schaum’s Outline Geometry, McGraw Hill, New York.

Stillwell, John., (2005), The Four Pillars of Geometry, Springer, San Fransisco. Suryani, Indah; Mashadi & M. Natsir., (2014), Alternatif Konstruksi Titik Nagel,

JOM FMIPA UNRI, Vol.1 No. 2, Hal. 1 – 10.

Figur

Tabel 2.1 Klasifikasi segitiga
Tabel 2 1 Klasifikasi segitiga . View in document p.7
Gambar 1.1 B mebunjukkan titik incenter I dan centroid G (Yiu, 2004).
Gambar 1 1 B mebunjukkan titik incenter I dan centroid G Yiu 2004 . View in document p.14
Gambar 1.1.B Titik Incenter I dan Centroid G
Gambar 1 1 B Titik Incenter I dan Centroid G . View in document p.15
Gambar 1.3.B Tiga garis berpotongan di satu titik
Gambar 1 3 B Tiga garis berpotongan di satu titik . View in document p.16
Gambar 1.4 Titik G hasil konkurensi garis BE, AD, dan CF
Gambar 1 4 Titik G hasil konkurensi garis BE AD dan CF . View in document p.17
Gambar 1.5 Masing-masing lingkaran luar hanya                       menyinggung perpanjangan dua sisi
Gambar 1 5 Masing masing lingkaran luar hanya menyinggung perpanjangan dua sisi . View in document p.18

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :