Penentuan Frekuensi dalam Metode Polinom Lokal Kuadrat Terkecil untuk Mendeteksi Loncatan

PENENTUAN FREKUENSI DALAM METODE

POLINOM LOKAL KUADRAT TERKECIL

UNTUK MENDETEKSI LONCATAN

OLEH:

BAHARUDDIN

PROGRAM PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRAK

BAHARUDDIN. Penentuan Frekuensi dalam Metode Polinom Lokal Kuadrat Terkecil untuk Mendeteksi Loncatan. Dibimbing oleh BARIZI dan BUD1

SUSETYO.

Metode polinom lokal kuadrat terkecil adalah suatu metode statistika yang dapat digunakan untuk mendeteksi adanya loncatan persamaan regresi. Metode ini didasarkan pada pengepasan suatu f h g s i polinom terhadap tetangga terdekat dari beberapa data. Banyaknya data setiap tetangga disebut fiekuensi (k). Penentuan fiekuensi yang tepat diperlukan untuk mendapatkan hasil pendeteksian yang benar. Penentuan ini dilakukan dengan simulasi.

SURAT

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang be rjudul:

Penentuan Frekuensi dalam Metode Polinom Lokal Kuadrat ~erkecil untuk Mendeteksi Loncatan

adalah hasil karya saya sendiri dan belum pemah dipublikasikan. Sumber data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan dengan jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.

Bogor, 13 Februari 2002

PENENTUAN FREKUENSI DALAM METODE

POLINOM LOKAL KUADRAT TERKECIL

UNTUK MENDETEKSI LONCATAN

BAHARUDDIN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Statistika

PROGRAM PASCASARJANA

INSTITUT PERTANLAN BOGOR

Judul Tesis : Penentuan Frekuensi dalam Metode Polinom Lokal Kuadrat Terkecil mtuk Mendeteksi Loncatan

Nama : Baharuddin

NRP

: 99162

Program Studi : Statistka

Menyetujui,

1. Komisi Pembimbing

Anggota

Mengetahui,

Penuhs dilahirkan

di

Sengkang pada tanggd 3 1 Januari 1972 sebagai anak

pertama dari pasangan

H.

Muh. Said Mallo dan H.J. Sahri Toro. Pendidikan sarjana ditempuh di Jurusan Matematika FMlPA Universitas Hasanuddin Makassar, lulus

tahun 1995. Pada tahun 1999, penulis diterima di Program Studi Statistika pada Program Pascasarjana IPB. Beasiswa pendidikan pascasarjana (BPPS) diperoleh

dari DI rjen Dikti Departemen Pendidikan Nasional.

Penulis bekerja sebagai tenaga pengajar di Fakultas Matematika d m Ilmu

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, segenap

keluarga dan sahabatnya serta siapa saja yang menyerukan dakwahnya hingga akhir zaman. Tema yang dipilih penulis dalam penelitian ini adalah metode

pendeteksi loncatan, dengan judul penentuan fiekuensi dalam metode polinom

lokal kuadrat terkecil untuk mendeteksi loncatan.

Terima kasih penylis ucapkan kepada Bapak Prof Dr. Baxizi, M.E.S. clan Bapak Dr. Budi Susetyo, M. S. selaku pembimbing, serta teman-teman mahasiswa

STK '99 yang telah banyak membenkan saran. Ungkapan terima kasih juga saya

sampaikan kepada kedua orangtua dan selunrh keluarga atas segala doanya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2002

DAFTAR IS1

Halaman

...

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR ... vii

...

DAFTAR LAMPIRAN viii

PENDAHULUAN ... Latar Belakang ... Tujuan Penelitian ...

TINJAUAN PUSTAKA ... : ... ... Regresi Polinom

Regresi dengan Loncatan ... ... Metode Polinom Lokal Kuadrat Terkecil

DATA DAN METODE

...

Sumber Data

...

Metode Penelitian ...

HASIL DAN PEMBAHASAN ... Ukuran Contoh n = 100 ...

...

Ukuran Contoh n = 200

Ukuran Contoh n = 300 ...

Ukuran Contoh n = 400 ... Pembahasan Umwn ...

KESIMPULAN DAN SARAN ... Kesimpulan ...

Saran ...

DAFTAR TABEL

Halaman

1. Besar loncatan, jumlah data bangk~tan dan taraf kepercayaan

2,

,,

yang dipakai pada ukuran contoh n

...

7

2. Jumlah data banglatan dengan banyaknya posisi loncatan yang

terdeteksi untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 100 ... 10

3. Persentase data banglutan yang terdeteksi sebanyak tiga loncatan untuk pemakaian fiekuensi k pada berbagai kerapatan data antar

loncatan dan n = 100 ... 17 4. Nilai rancangan x, dan nilai standardisasi respon y, dari data

yang akan dideteksi

...

44

5. Koefisien

p,c')

dari b g s i polmom yang dipas terhadap tetangga

dengan median xi ... 45

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1. (a) Contoh pengepasan global (b) Contoh pengepasan lokal

...

terhadap dua segmen (posisi loncatan adalah x = 40) 1

2. Persentase data banglutan yang terdeteksi sebanyak tiga loncatan ...

untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 100 11

3. Persentase data banglutan yang terdeteksi sebanyak tiga loncatan

...

untuk pemakaian eekuensi k dan n = 200 12

4. Persentase data banglatan yang terdeteksi sebanyak tiga loncatan

...

untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 300 14

5. Persentase data banglatan yang terdeteksi sebanyak tiga loncatan

...

untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 400 15

...

6. Diagram pencar dari data yang akan dideteksi 43

7. (a) Koefisien polinom

bf)

dari tetangga dengan median xi

...

(b) Nilai operator A(:) dari tetangga dengan median xi 47

...

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

...

1 . Contoh fmgsi yang dijadkan sumber data banglatan 22

...

2 . Diagram pencar dari contoh data banglutan yang dipakai 23 ...

.

3 Contoh h a d pendeteksian untuk n = 100

...

4 . Contoh hasil pendeteksian untuk n = 200

...

.

5 Contoh h a d pendeteksian untuk n = 300

...

6 . Contoh h a d pendeteksian untuk n = 400

... .

7 Makro minitab untuk mendeteksi loncatan

8 . Jumlah data banglutan dengan banyalcnya posisi loncatan yang

...

terdeteksi untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 200

9 . Jumlah data bangkitan dengan banyaknya posisi loncatan yang

...

terdeteksi untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 300

10 . Jumlah data bangkitan dengan banyaknya posisi loncatan yang ... terdeteksi untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 400

1 1

.

Petunjuk penggunaan metode polinom lokal kuadrat terkecil

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Model regresi linear sederhana sering dtpakai untuk menyatakan hubungan

antara peubah respon Y dan peubah penjelas X. Apabila nilai-nil& (x, y) dianggap

sebagai satu kesatuan maka pengepasan global terhadap keseluruhan data dapat

dilakukan (Gambar la). Akan tetapi, jika nilai-nilai (x, y ) &pat dipartisi menjadi

beberapa segmen maka pengepasan lokal terhadap setiap segmen lebih tepat

digunakan (Gambar lb). Persamaan regresi diperoleh dengan menggabungkan

semua persamaan regresi lokal. Model regresi ini dinamakan regresi loncatan

(Guthery 1974; Wegman & Wright 1983; QLU & Yandell 1998). Pengepasan

global terhadap data regresi lmcatan dapat menyebabkan berkurangnya nilai

koefisien determinasi R ~ .

Regresi loncatan mempunyai beberapa bentuk. Dalam penelitian ini, suatu

persamaan regresi dikatakan mengalami loncatan apabila koefisien intersep dari

[image:83.582.136.474.514.676.2]

dua segmen yang berdekatan adalah berbeda sedangkan koefisien lainnya sama

Loncatan persamaan regresi sering terjadi pada proses pengendalia. mutu

produksi, pergerakan harga barang atau data deret waktu. Loncatan pada proses

pengendalian mutu dapat disebabkan oleh menurunuya kemampuan mesin atau

operator menuut waktu dan pada suatu waktu tertentu dilakukan perbaikan atau

penggantian. Penyebab lain adalah adanya faktor atau pengaruh peubah lain yang

cukup signifikau terhadap respon yang diamati pada suatu waktu tertentu.

Metode polinom lokal kuadrat terkecil adalah suatu metode statistika yang

dapat digunakan untuk mendeteksi adanya loncatan. Metode

ini

dikembangkan

oleh Qiu dan Yandell(1998). Metode tersebut didasarkan pada pengepasan suatu

h g s i polinom terhadap tetangga terdekat dari beberapa data dengan memakai

metode kuadrat terkecil. Setiap tetangga (neighborhood) terdiri atas k data yang

saling berdekatan. Bilangan k ini disebut fiekuensi.

Sebelum tetangga dibentuk, data yang berukuran n diurut berdasarkan nilai

X Tetangga pertama beranggotakan k data terkecil pertama. Tetangga kedua

terdiri atas data terkecil kedua sampai data terkecil ke-(k+l), demikian seterusnya

sampai terbentuk (n+ 1 -k) tetangga. Fungsi polinom yang dipas terhadap tetangga-

tetangga

ini

dinamakan polinom lokal.

Metode polinom lokal mudah diimplementasikan karena didasarkan pada

penggunaan penduga kuadrat terkecil. Hampir semua perangkat lunak statistika

dapat digunakan menghtung penduga tersebut. Disamping itu, pengetahuan awal

tentang banyaknya loncatan yang te jadi tidak diperlukan.

Metode polinom lokal dikembangkan dengan asumsi bahwa paling banyak

posisi loncatan maka algoritma hanya menganggap satu loncatan yang terjadi

dalam tetangga tersebut. Pemakaian k yang relatif besar juga dapat menghasilkan

pendeteksian yang salah. Algoritma memunculkan suatu indikasi loncatan yang

sebenarnya tidak terjadi. Sebaliknya, jika k yang digunakan sangat kecil maka

indikasi loncatan sering hilang karena polinom-polinom lokal yang terbentuk

belum merepresentasikan persamaan regresi yang sesungguhnya (belum stabil).

Olehnya itu, penentuan fiekuensi (k) yang tepat dqerlukan untuk mendapatkan

hasil pendeteksian yang benar. Penentuan ini dapat dilakukan dengan simulasi.

Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian

ihi

adalah menentukan fiekuensi terbaik dalam metode

polinom lokal kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk mendeteksi adanya

TINJAUAN PUSTAKA

Penentuan fiekuensi merupakan masalah umum dalam metode pengepasan lokal. Hastie dan Tibshiraai (1 987,1990) menyarankan pemakaian 10%-50% data

untuk setiap pemulus garis bergerak dalam algoritma penskoran lokal. Silvennan

(1 984), Htirdle, Hall dan Marron ( 1 988) menyarankan pemakaian metode validasi

silang untuk memilih the bandwidth.

Regresi Polinom

Model regresi polinom ordo ke-m dengan satu peubah penjelas ( X ) dapat

dinyatakan sebagai:

Y,

=Po

+&x, +..-+P,xy + E , (i=1,2;.;n) ( 1 )

dengan nilai-nilai x, < x, <

.

<

x, dan galat-galat { E , ) mempunyai rataan no1 dan

ragam a2. Jika m = 1 , maka model ( 1 ) menjadi persamaan regresi sederhana:

EtY

I XI

=

Po

+ P1x ( 2 )

dengan E[Y

I

x ] adalah nilai harapan dari Y pada saat x,

Po

merupakan koefisien

intersep dan

pl

adalah koefisien kemiringan garis regresi terhadap sumbu-x.

Regresi dengan Loncatan

Suatu persamaan regresi dikatakan mengalami lacatan sebesar d pada

posisi x, ( 1 << a << n ) apabila:

1 . Terdapat nilai-nilai xu p.

<

.

< xu, < xu, dengan persamaan regresi yang

dengan persamaan regresi yang stabil E[Y

1

x ] =

+

fi:x

+

.

+

p:xm

demikian sehingga

P:

t /3: dan koefisien

P;

=

PJ

untuk j = I,.

.

; nt

.

lim lim

2. Besar loncatan d = &a,. + ~ : x + . - - + / ? : x ' ) - x + x , , - o

+ P ;

x + . . . +

p i x m ) dengan Id1 > d,, untuk suatu d, > 0.

Metode Polinom Lokal Kuadrat Terkecil

Misalkan N ( x , ) = { x i ,

,

x ~ + ~ - ~

,.

.,

X ,

,.

-,

xi-,+,

,

xi, } adalah tetangga terdekat

dari xi dengan frekuensi k = 21

+

1 << n untuk I

+

1

I

i l n

-

1. Dengan memakai metode kuadrat terkecil, dilakukan pengepasan suatu h g s i polinom ordo kern,

9'"

=

B f )

+ p y x

+

. . .

+

b"x-

terhadap N ( x i ) tersebut untuk 1

+

1 l i I n

-

I .

Pendeteksian loncatan dapat dilakukan dengan mengamati perubahan yang

terjadi pada { , { atau himpunan koefisien lain dari polinom-polinom

lokal ke-i. Pendeteksian yang didasarkan pada {B:"} dilakukan dengan mengepas

suatu garis

9'"

=

BAi)

+

B:"x terhadap N ( x , ) untuk 1

+

1 l i S n

-

1. Untuk memperoleh informasi tentang adanya loncatan, dipakai suatu dzflerence operator,

dengan k l i l n

-

k

+

1. Sebagai penentu adanya loncatan, digunakan nilai

dengan

6

adalah penduga a dan Z,,, adalah taraf kepercayaan. Apabila nilai

IA(;)~

> u, maka dapat diprediksi bahwa persamaan regresi mengalami loncatan

pada suatu x, dalam tetangga N(xi)

.

Metode polinom lokal dikembangkan dengan asumsi bahwa paling banyak

satu loncatan yang te rjadi dalam setiap tetangga N(xi)

.

Jika suatu loncatan terjadi

pada xi maka tidak ada loncatan lain dalam N(x,-, ) u N(x, ) u N(x,+, )

.

Ini

berarti bahwa diantara dua loncatan (kalau terdapat lebih dari satu) hams terdapat

banyak data. Untuk menghindari pelanggaran asumsi hi, data yang akan dideteksi sebaiknya berukuran besar (dalam hal hi, n besar sedanglcan k / n kecil).

Hubungan antara simpangan baku galat ( 6 )

,

taraf kepercayaan (Z,,, ) ,

fiekuensi (k) yang dipakai, dengan besarnya loncatan (d) yang dapat dideteksi

oleh algoritma adalah:

Ini berarti bahwa jika k yang dipakai agak besar (dalam ha1 ini n juga lebih besar

DATA DAN METODE

Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data banglatan. Data

dibanglatkan dari suatu h g s i linear f (x) untuk x = i l n dengan i = 1,2,..-, n dan

n = 100,200,300,400. Fungsi linear tersebut mempunyai kemiringan posiu, no1

atau negatif. Fungsi linear dijadikan sumber data banglatan karma merupakan

bentuk yang sederhana dari h g s i polinom. Nilai-nilai x dirancang demikiau

sehingga memudahkan pendeteksian untuk berbagai ukuran contoh n, sedan-

pemakaian berbagai d a i n diharapkan mewakili ukuran contoh yang kecil clan

sedang serta hasilnya dapat digeneralisasi pada ukuran contoh yang lain.

Fungsi linear yang dijadikau sumber data banglatan mempunyai tiga posisi

loncatan, yaitu pada x = 0,25, x = 0,50 dan x = 0,75 (Lampiran 1). Pmentuan

fiekuensi terbaik didasarkan pada kemampuan mendeteksi ketiga posisi loncatan

tersebut. Besarnya loncatan yang digunakan bergantung pa& ukuran contoh n

(Tabel 1). Hal ini disesuaikan dengan besar lmcatan yang &pat dideteksi oleh

algoritma (6) untuk penambahan galat yang berdistribusi normal baku.

Tabel 1. Besar loncatan, jumlah data bangk~tan dan taraf kepercayaan Z,,, yang dipakai pada ukuran contoh n

2 0 1 2

2,50 2,75 3,00 3,25 n = 100

n = 200

n = 300

n = 400

-2,7 atau 2,7. -2,O atau 2,O -2,O atau 2,O -2,O atau 2,O

-3,2 atau 3,2 -2,5 atau 2,5 -2,3 atau 2,3 -2,2 atau 2,2

-3,7 atau 3,7 -3,O atau 3,O -2,6 atau 2,6 -2,4 atau 2,4

Data bangkitan diperoleh dengan menambahkan suatu galat E

-

n(0,l)

terhadap f h g s i f ( x ) yang telah dibentuk. J u d a h data bangkitan setiap ukuran

contoh ( n = 100,200,300 dan 400 ) adalah 240 dan proporsional terhadap jenis

fungsi sumber. Lampiran 2 menunjukkan diagram pencar dari beberapa contoh

data bangkitan yang digunakan.

Metode Penelitian

Penentuan fiekuensi terbaik dilakukan terhadap masing-masing ukuran

contoh. Setiap data bangkitan dalam suatu ukuran contoh yang ditinjau dideteksi

dengan menggunalcan berbagai fiekuensi (k) yang mungkin. Frekuensi yang dapat

digunakan untuk data yang bedcuran n = 100 dengan tiga posisi loncatan adalah

k = 3,5,7,

--,

23 ; untuk n = 200 dipakai k = 3,5,7,. .a, 49 ; untuk n = 300 dipakai

k = 3,5,7,

.-,

73 ; sedangkan untuk n = 400 digunakan k = 3,5,7,.-,99.

Taraf kepercayaan ( Z,

,,

) yang digunakan dalam penelitian

ini

bergantung

pada ukuran contoh n. Penggunaan

ini

disesuaikan dengan rumus (6). Untuk

n = 100 dipakai Z,

,,

= 2,5 yang setara dengan a

=

0,O 1 ; untuk n = 200 dipakai

Z,

,,

= 2,75 yang setara dengan a

=

0,006 ; untuk n = 300 digunakan

2,

,,

= 3,O atau dengan a

=

0,0027 ; dan untuk n = 400 digunakan Z,,, = 3,25 atau dengan

a

=

0,001.

Pendeteksian posisi loncatan dilakukan berdasarkan pemalcaian {&')}.

Pemakaian ini merupakan pendekatan sederhana dalam regresi polinom. Lagi

Prosedur pendeteksian mtuk setiap data banglatan dan fiekuensi ( k ) yang dipakai

mengikuti algoritma berikut:

1 . Pengepasan garis

fCi)

=

&')

+

B,'"x terhadap tetangga N(x, ) dengan fiekuensi k = 2 1 + l untuk I + l S i S n - I .

2. Nilai operator A!) dihitung dengan memakai rumus ( 4 ) untuk k S i S n

-

k

+

1 .

3. Nilai threshold u, dihitung dengan menggunakan rumus (5).

4. Jika terdapat satu atau lebih data x, E N(0,25) dengan nilai

IA:)~

>

u, maka

dikatakan bahwa satu posisi loncatan yang terdeteksi. Hal yang sama juga

berlaku untuk N(0,50) dm N(0,75). Jika terdapat suatu x, e [ N ( 0 , 2 5 ) u

~ ( 0 ~ 5 0 ) v ~ ( 0 , 7 5 ) ] dengan nilai [A:')

1

> u, maka dikatakan bahwa terjadi salah deteksi. Hasil-hasil yang diperoleh dicatat menurut ukuran contoh, nomor urut

data bangkitan dan fiekuensi yang digunakan (Lampiran 3-6).

5. Frekuensi (k) terkecil yang terbmyak mendeteksi ketiga loncatan yang ada

pada data-data banglutan dalam suatu ukuran contoh yang ditinjau ditetapkau

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sembilan ratus enam puluh data banglutan telah diperoleh dengan

menggunakan Minitab release 1 1.12. Persamaan regresi daxi masing-masing data

banglutan tersebut mempunyai tiga posisi loncatan. Pendeteksian posisi loncatan

dilakukan dengan menggunakan makro minitab (Lampiran 7). H a d pendeteksian

dikelompokkan menurut fiekuensi (k) dan ukuran contoh data banglatan (n = 100,

200,300,400).

Ukuran Contoh n = 100

Frekuensi yang digunakan untuk mendeteksi posisi loncatan persamaan

regresi dari data yang berukuran n = 100 adalah k = 3,5,7,

..;

23. Tabel 2

menunjukkan bahwa penggunaan k yang sangat kecil(3 d m 5) menyebabkan

algoritma tidak mampu mendeteksi ketiga posisi loncatan. Hal ini disebabkan oleh

polinom-polinom lokal yang terbentuk belum stabil sehingga tidak mampu

memunculkan indikasi loncatan dalam difference operator.

[image:92.578.83.498.585.718.2]

Penggunaan fiekuensi 7 dan 9 secara umum baru mampu mendeteksi satu

posisi loncatan. Sedangkan pemakaian k = 1 1 baru mampu mendeteksi dua posisi

loncatan. Tiga posisi loncatan telah terdeteksi sebanyak 54,58% dengan memakai

k = 13 (Gambar 2). Namun demikian, h a d

ini

belum optimum.

H a d pendeteksian optimum diperoleh dengan memakai fkekuensi k = 15

.

Algoritma mampu mendeteksi ketiga posisi loncatan sebanyak 96,25 persen dari

keseluruhan data. Dengan demikian, fiekuensi terbaik untuk data yang berukura.

n = 100 adalah 15.

Gambar 2. Persentase data bangkitan yang terdeteksi sebanyak tiga loncatan untuk pemakaian fiekuensi k dan n = 100.

Penggunaan fiekuensi yang relatif besar (17, 19, 21 dan 23) menyebabkan

algoritma mendeteksi lebih dari tiga posisi loncatan. Disamping mendeteksi ketiga

loncatan yang sesungguhnya, algoritma juga memberikan indikasi loncatan yang

sebenarnya tidak ada. Indikasi loncatan tersebut muncul diantara posisi loncatan

yang sesungguhnya. Hal ini disebabkan oleh banyaknya data antara dua loncatan

dalam data bangkitan relatif sedikit untuk pemakaian fkekuensi tersebut, sehingga

[image:93.578.79.494.230.827.2]

Ukuran Contoh n = 200

Frekuensi yang digunakan untuk mendeteksi posisi loncatan persamaan

regresi dari data yang berukuran n = 200 adalah k = 3,5,7,

--,

49. Penggunaan

fiekuensi 3, 5 dan 7 menyebabkan algoritma belum m a q u mendeteksi ketiga

posisi loncatan (Lampiran 8). Hasil yang sama juga diperoleh jika dipakai k = 9

dan 11. Dengan memakai fiekuensi tersebut, algoritma baru mampu mendeteksi

satu posisi loncatan masing-masing sebanyak 25,83 persen dan 35 persen. Hal ini

disebabkan oleh polinompolinom lokal yang terbentuk belum stabil sehingga

tidak mampu memberikan indikasi loncatan dalam difference operator.

Pemakaian fiekuensi 13, 15 dan 17 secara umum baru mampu mendeteksi

satu posisi loncatan. Sedangkan penggunaan fi-ekuensi 19 dan 21 baru mampu

mendeteksi dua posisi loncatan. Tiga posisi loncatan telah terdeteksi masing-

masing sebanyak 49,58%; 65%; dan 75,83% dengan menggunakan fiekuensi 23;

25 ; dan 27 (Gambar 3). Namun demikian, hasil tersebut belum optimum.

Hasil pendeteksian optimum diperoleh dengan memakai fiekuensi k = 29

(Gambar 3). Algoritma mampu mendeteksi ketiga posisi loncatan sebanyak 97,08

persen dari keseluruhan data. Dengan demikian, fiekuensi terbaik untuk data yang

berukuran n = 200 adalah 29.

Penggunaan fiekuensi yang relatif besar ( 33,3 5,37,

.

-a, 49 ) menyebabkan

algoritma mendeteksi lebih dari tiga posisi loncatan. Disamping mendeteksi ketiga

loncatan yang sesungguhnya, algoritma juga memberilcan indikasi loncatan yang

sebenarnya tidak ada. Indikasi loncatan tersebut muncul diantara posisi loncatan

yang sesungguhnya. Hal ini disebabkan oleh banyaknya data antara dua loncatan

dalam data bangkitan relatif sedikit untuk pemakaian fiekuensi tersebut, sehingga

asurnsi yang ber& dalam metode polinom lokal tidak dqenuhi.

Ukuran Contoh n = 300

Frekuensi yang dipakai untuk mendeteksi posisi loncatan dari data yang

berukuran n = 300 adalah k = 3,5,

--.,

73

.

Penggunaan fiekuensi yang sangat kecil

( k = 3, 5, 7 dan 9) menyebabkan algoritma tidak mampu mendeteksi ketiga posisi

loncatan yang ada (Lampiran 9). Satu posisi loncatan baru terdeteksi dengan

memakai fiekuensi 1 1, 13 dan 15. Sedangkan penggunaan k = 17, 19, 2 1 dan 23

secara m u m baru mampu mendeteksi dua posisi loncatan.

Frekuensi yang berhasil mendeteksi ketiga posisi loncatan pada data yang

berukuran

n

= 300 lebih banyak dibandingkan dengan fiekuensi pada data yang

berukuran 100 dan 200. Frekuensi tersebut adalah

k

= 25,27, -as, 43. Frekuensi 25;

27; 29; 3 1; dan 33 mampu mendeteksi masing-masing sebanyak 46,25%; 61,25%;

menggunakan k = 35 (Gambar 4). Dengan menggunakan fiekuensi tersebut,

algoritma mampu mendeteksi ketiga posisi loncatan sebanyak 98,75%. Dengan

demikian, frekuensi terbaik

untuk

data yang berukuran n = 300 adalah 35.

Gambar 4. Persentase data bangkitan yang terdeteksi sebanyak tiga loncatan

untuk

pemakaian fiekuensi

k

dan n = 300.

Penggunaan fiekuensi 45,47,. -, 73 menyebabkan algoritma mendeteksi

lebih dari tiga posisi loncatan. Disarnping mendeteksi ketiga posisi loncatan yang

sesungguhnya, algoritma juga memberikan mdikasi loncatan yang sebenarnya

tidak ada. Indikasi tersebut muncul diantara posisi loncatan yang sesmgguhnya.

Hal ini disebabkan oleh banyaknya data antara dua loncatan dalam data bangkitan

relatif sedikit

untuk

pemakaian frekuensi tersebut, sehingga asumsi yang berlaku dalam metode polinom lokal tidak dipenuhi.

Ukuran Contoh n = 400

Hasil pendeteksian yang diperoleh dari data dengan ukuran n = 400 secara

300. Apabila fiekuensi yang digunakan sangat kecil maka algoritma tidak mampu

mendeteksi ketiga posisi loncatan yang ada (Lampiran 10). Sebaliknya, jika k

yang digunakan relatif besar maka algoritma memberikan indikasi loncatan lebih

dari tiga.

Frekuensi yang mampu mendeteksi ketiga posisi loncatan yang ada adalah

25,27,-.a, 55. Frekuensi 25,27, a-, 33 mampu mendeteksi 68,75% sampai 84,16%.

Sedangkan penggunaan fi-ekuensi 35; 37; dan 39 menyebabkan algoritma mampu

mendeteksi masing-masing sebanyak 90,42%; 92,08%; d m 95,83%.

Hasil pendeteksian optimum diperoleh dengan memakai k = 4 1 , 4 3 dan 45

(Gambar 5). Dengan memakai fiekuensi tersebut, algoritma mampu mendeteksi

ketiga posisi loncatan sebanyak 98,75%. Hal ini menarik karena ada tiga fiekuensi

yang memberikan hasil pendeteksian yang sama. Namun demikian, berdasarkan

asumsi bahwa fi-ekuensi yang digunakan dalam metode polinom lokal adalah jauh

lebih kecil dari ukuran contoh. Ini berarti bahwa frekuensi terbaik untuk n = 400

adalah 4 1.

Pembahasan Umum

Berdasarkan uraian sebelumnya, fiekuensi yang dapat memberikan hasil

pendeteksian optimum bergantung pada ukuran contoh. Frekuensi terbaik untuk

n = 100 adalah 15; k terbaik untuk n = 200 adalah 29; k terbaik untuk n = 300

adalah 35; sedangkan untuk n = 400, fiekuensi terbaik adalah 4 1.

Rasio antara fiekuensi terbaik dengan ukuran contoh yang dipakai ( k 1 n )

adalah 15 1100 = 15% untuk n = 100 ; 29 1200 = 14,5% untuk n = 200 ; 35 1300

= 1 47% untuk n = 300 ; 4 11 400 = 10,25% untuk n = 400

.

H a d ini memberikan suatu gambaran bahwa semakin besar ukuran contoh yang digunakan maka rasio

terbaik ( k 1 n ) adalah semakin m e n m .

Penggunaan fiekuensi terbaik terhadap data dengan ukuran n = 100; 200;

300; dan 400 menyebabkan algoritma mampu mendeteksi ketiga posisi loncatan

masing-masing sebanyak 96,25%; 97,08%; 98,75%; dan 98,75% dari keseluruhan

data bangkitan. hi menunjukkan bahwa semakin besar ukuran contoh yang

dipakai kemampuan algoritma mendeteksi loncatan juga semakin besar. Hal ini

disebabkan oleh banyaknya data diantara dua posisi loncatan semakin bertambah.

Hasil ini relevan dengan asumsi bahwa paling banyak satu loncatan yang termuat

dalam setiap tetangga.

Persamaan regresi dari data bangkitan yang digunakan dalam penelitian ini

mempunyai tiga posisi loncatan. Banyaknya data (kerapatan) diantara dua posisi

loncatan yang berdekatan untuk n = 100 adalah 25. Kerapatan ini memenuhi

asumsi untuk pemakaian fiekuensi terbaik, k = 15. Tabel 3 menunjukkan bahwa

semakin s e a t data yang terdapat antara dua loncatan, persentase data bangkitan

berkurang. Bahkan pemakaian k = 15 tidak lagi memberikan hasil yang optimum

apabila banyaknya data diantara dua loncatan sama dengan 20,21 clan 22. Hal ini

disebabkan oleh penggunaan k = 15 tidak memenuhi asumsi pa& kerapatan

tersebut.

Tabel 3. Persentase data bangkitan* yang terdeteksi sebanyak tiga lcmcatan mtuk pemakaian fiekuensi k pada berbagai kerapatan data

antar loncatan dan n = 100

*

Jumlah data bangkitan adalah 100.

Berdasarkan uraian sebelumnya, penggunaan k =15 pada data dengan

ukuran n = 100 dapat menghadkan pendeteksian optimum apabila banyaknya

data diantara dua loncatan (jika terdapat lebih dari satu) lebih besar dari 22. Akan

tetapi, informasi tentang banyaknya data antar loncatan pada data real seringkali

tidak diketahui. Sebagai altematif, data yang akan dideteksi dengan metode

polinom lokal sebaiknya bemkuran besar. Apabila data yang dideteksi berukuran

kecil maka sebaiknya hasil yang diperoleh diperiksa ulang mtuk m e m a n

tidak terjadinya salah deteksi. Pemeriksaan dapat dilakukan dengan menglutung

besar lmcatan pada masing-masing posisi yang terdeteksi. Besar loncatan yang

sesuai dengan rumus (6) menunjukkan bahwa hasil pendeteksian yang diperoleh

[image:99.578.119.502.267.418.2]

Beberapa karakteristik data yang &pat dijadikan petunjuk adanya loncatan

adalah (1) diagram pencar dari X-Y memperlihatkan kecendemgan data terbagi

menjadi beberapa populasi (segmen); (2) hubungan linear antara peubah X dan Y

tidak terlalu erat, dalarn hal

ini

nilai mutlak dari koefisien korelasi

I

r

1

relatif

kecil;

(3) koefisien

P,

dari hasil pmgepasan global adalah nyata, akan tetapi nilai

koefisien determinasi R, relatif kecil; dan (4) deretan awal dari suku-suku galat

ceudenmg berkorelasi serial, dalam hal ini diagram pencar dari galat terhadap X

tidak acak.

Metode polinom lokal kuadrat terkecil mempunyai beberapa keterbatasan,

diantaranya (1) merupakan metode pendeteksi kasar sehhgga hasil pendeteksian

yang diperoleh masih harus diperiksa ulang untuk memastikan tidak terjadinya

salah deteksi; (2) metode ini lebi. tepat digunakan pada data deret wakty dalam

hal ini setiap nilai peubah penjelas x mempunyai tepat satu nilai respon y; dan (3)

besar loncatan yang dapat dideteksi bergantung pada simpangan baku galat, taraf

kepercayaan ( 2,

,,

) dm fiekumsi (k) yang digunakan dimana nilai-nilai ini hams

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Banyalcnya data (fiekuensi, k) setiap neighborhood dalam metode polinom

lokal yang &pat dipakai untuk mendeteksi adanya loncatan dengan menggunakan

w,'")

bergantung pada ukuran contoh (n). Semakin besar n, persentase n yang

dapat digunakan sebagai k semakin kecil. Diantara k yang ganjil, k terbaik untuk

n = 100 adalah 15; k terbaik untuk n = 200 adalah 29; k terbaik untuk n = 300

adalah 35; dan k terbaik untuk n = 400 adalah 41. Frekuensi tersebut merupakan

fiekuensi terbaik apabila banyahya data yang terletak diantara dua loncatan

(kalau terdapat lebih dari satu loncatan) lebih besar dari (3k

-

1)/ 2. Batasan ini merupakan asumsi yang hams dipenuhi dalam metode polinom lokal.

Saran

Metode polinom lokal lebih tepat digunakan pada data deret waktu

Beberapa karakteristik data yang dapat dipakai sebagai petunjuk adanya loncatan

adalah nilai koefisien determinasi R~ dari hasil pengepasan global relatif kecil

dan diagram pencar dari X-Y menunjukkan kecenderungan data terbagi menjadi

beberapa segmen (populasi).

Apabila data yang akan dideteksi berukuran kecil maka sebaiknya hasil

yang diperoleh diperiksa ulang untuk memastikan tidak terjadinya salah deteksi.

Pemeriksaan dapat dilakdcan dengan menghtung besar loncatan pada masing-

masing posisi yang terdeteksi. Apabila besar loncatan cukup si@kan maka hasil

DAFTAR

PUSTAKA

Guthery SB. 1974. Partition regression. J Amer Statist Assoc 69:945-947.

W d l e W, Hall P, Marron S. 1988. How far are the optimally chosen smoothing parameters &om their optimum?. J Amer Statist Assoc 83:86-95.

Hastie TJ, Tibshirani

RJ.

1987. Generalized additive mode&: some applications. J Amer Statist Assoc 82:37 1-386.

Hastie TJ, Tibshirani RJ. 1990. Generalized Additive Models. New York: Chapman & Hall.

Q u P, Yandell B. 1998. A local polynomial jump-detection algorithm in non- parametric regression. Technometxics 40: 141-1 52.

Silverman BW. 1984. A fast and efficient cross-validation method fbr smoothing parameter choice in spline regression. J Amer Statist Assoc 79:584-589.

Lampiran 3. Contoh hasil pendeteksian untuk n = 100

Lampiran 3. Lanjutan

Lampiran 3. Lanjutan

Lampiran 4. Contoh hasil pendeteksian untuk n = 200

Lampiran 4. Lanjutan

Lampiran 4. Lanjutan

Lampiran 5. Contoh hasil pendeteksian

untuk

n = 300

Lampiran 5 . Lanjutan

Lampiran 6 . Cantoh hasil pendeteksian mtuk n = 400

Lampiran 6. Lanjutan

Lampiran 7. Makro minitab untuk mendeteksi loncatan

gmacro deteksi noecho

name C1='X1 ## Nilai peubah penjelas X ciiketik berurut pada kolom C 1

name C2= ' Re spon Y

'

## Nilai peubah respon Y diketik pada kolom C2

let kl=count (Cl) ## Ukuran data yang dideteksi

center C1 C3; MinMax 1 kl.

let C3=C3/kl ## Nil4 rancangan 0 c x, < 1 pada kolom C3

center C2 C4. ## Standardisasi respon Y pada kolom C4

let k2= ## Isi hkuensi yang dipakai (lihat kesimpulan penelitian ini)

let k3= ## Isi simpangan baku data

let k4= ## Isi taraf kepercayaan yang dipakai (bergantung jenis data)

let C1000 (1) =k2

name C1000='k' ## Nilai k tercetak pada kolom C 1000

## Nilai Threshold

let k5=SQRT ( (6* ( (5*k2) -3) ) / ( ( (k2) **2) -1) )

let k6=(k3) *(k4)*(kl/k2)*k5

let C999(1)=k6

name C999='u11 ## Nilai threshold tercetak pada kolom C999

let k7=1+ (-l+k2) /2 ## Indeks median 1+1 kolom x

let k8=1-k2+kl # Banyaknya polinom lokal

let k9=ll ## Lokasi cetak koefisien fi polinom pertama

do k10=1: k8 ## Loop untuk polinom ke-k 10

do kll=l: k2 # Baris 1 sampai baris k let kl2=-l+klO+kll

let C5(kll)=C3(k12) ##Nilaix,lokaltercetakpadakolomC5

let C6(kll)=C4(k12) ##PeubahY lokaltercetakpadakolomC6

enddo

Regress C6 1 C5; ## Menglutung koefisien regresi

coefficients Ck9. ## Lokasi cetak koefisien &

let C994 (k10) =Cl (k7) ## Nilai x untuk koefisien f i tercetak pada C994

let C995 (k10) =Ck9 (2) ## Nilai koefisien

PI

tercetak pada kolom C995

let k9=l+k9 let k7=l+k7 enddo

Lampiran 7. Lanjutan

## Operator 6:)

let k13= (-l+k2) /2 let k14=l+k13

let k15=1+ (2*k13)

let k17=k2

## Nilai 1

## Indeks median 1+1

## Nilai k

do k18=1:k16

let C996 (k18)=Cl (k17) ## Nilai x untuk operator tercetak pada C996 let k19=C995(k14)-C995(k18)

let k20=C995 (k14) -C995 (k15)

let k21=abso (kl9)

let k22=abso (k20)

if k21=k22 or k21<k22 let C997 (k18) =k19 else if k21>k22

let C997 (k18) =k20 endif

## Nilai operator A!) tercetak pada C997

let k14=l+k14 let k15=l+k15 let k17=l+k17

let k23=C997 (k18)

let k24=abso (k23)

if k24>k6 ## Jika suatu loncatan terdeteksi

let c998 (k18)=1 ## maka tercetak angka 1 pada kolom C998 else if k24<k6 or k24=k6 ##Jikatidakadaloncatan

let c998 (k18) =0 ## maka tercetak angka 0 pada kolom C998 endif

enddo

name C996='x Operator' name C997='0peratorV name C998='Kode Deteksi'

Lampiran 1 1. Petunjuk penggunaan metode polinom lokal kuadrat terkecil untuk mendeteksi adanya loncatan

Misalkan terdapat suatu data dengan ukuran n = 100. X adalah peubah penjelas

dan Y adalah peubah respon.

Pasangan nilai ( x , y) kemudian ditebar dalam suatu diagram pencar. Gambar 6 menunjukkan adanya indikasi loncatan pada x = 61. Untuk memastikan adanya

loncatan tersebut diguuakan metode polinom lokal kuadrat terkecil. Prosedur

pendeteksian menghti algoritma berikut:

[image:125.549.197.373.63.219.2]

Gambar 6. Diagram pencar dari data yang akan dideteksi.

2. Skala nilai-nilai x diubah demikian sehingga nilai x terkecil sama dengau l l n

dan nilai x terbesar sama dengan 1, sedangkan nilai-nilai y distandardisasi. Hal

ini dilakukan untuk menyamakan penggunaan nilai threshold pada hrbagai skala data real. Tabel 4 menmjukkan perubahan skala x dan y tersebut.

3. Pasangan (x, y ) selanjutnya diberikan suatu indeks (x, , y, ) berdasarkan urutan

data. Berdasarkan tabel 4, (x,,, y,, ) = (0.61,0.33036) yang berpadanan dengan

data asli ( x , y ) = (6 1,82.06) pada tabel sebelumnya.

4. Bentuk tetangga terdekat dari suatu data. Karena n = 100 maka menurut hasil

penelitian ini, banyaknya data setiap tetangga adalah k = 15. Tetangga ke-1

beranggotakan lima belas nilai x, terkecil pertama. Tetangga ini dilambangkan dengan N(x,) yang berarti bahwa nilai-nil6 x, yang tennuat dalam tetangga

tersebut merupakan tetangga terdekat dari x, (median). Tetangga ke-2 terdiri

atas nilai x, sampai nilai x,, , dalam hal ini N(x9) = {x,,x,,..; X ~ , . . ; X , , , X , ~ ) .

Tetangga ke-3 adalah N(x,, ) = {x, , x, ,a ; x,, ,*.

.,

x,, , x,,)

.

Demikian seterusnya

sampai terbentuk n

-

k

+

1 = 86 tetangga.

5. Tetapkan bentuk fimgsi polinom yang akan digunakan. Penetapan ini &pat dilakukan dengan memperhatikan trend data tetangga ke-1

.

Dalam ilustrasi ini, pendeteksian loncatan didasarkan pada penggunaan

{B,(o),

karena trend data

Tabel 4. Nilai rancangan x, dan nilai s;tandardisasi respan y, dari data yang akan dideteksi

Nilai-nilai x dirancang demitian sehingga nilai terkecil adalah x, = 1 1 n dan nilai terbesar adalah xm = 1.

7. Catat semua koefisien

b$

yang diperoleh dad pengepasan terhadap tetangga dengan median xi. Apabila pengepasan dllakukan dengan menggunakan h g s i

kuadratik maka yang dicatat adalah koefisien

8:".

[image:127.545.69.471.199.686.2]

8. Nilai operator A:) dihitung dengan memakai rumus:

dengan k 5 i 5 n - k + l dan I = ( k - 1 ) / 2 . Dalamilustrasiini, I = 7 .

Tabel 6. Nilai operator A(:) dari tetangga dengan median x,

9. Sebagai penentu adanya loncatan dipakai nilai threshold u,. Nilai ini diperoleh

dengan menggunakan rumus:

dengan

6

adalah penduga ragam data dan Z,,, adalah taraf kepercayaan [image:128.545.76.477.214.665.2]

Penduga ragam & dapat diperoleh dari h a d pengepasan lokal telhadap

segmentasi pendahuluan. Gambar 6 menunjulckan adanya kecendenmgan data

terpartisi ke dalam dua segmen. Segmen pertama beranggotakan data (x,, y, )

dengan i = 1,2,.. ;60 dan segmen kedua beranggotakan (x,, y, ) dengan i =

6 1,62,.. .,loo. Segmentasi ini dapat dilakukan karena adanya indikasi lmcatan

pada x = 61 (Gambar 6). Nilai 3 yang diperoleh dari pengepasan ini adalah

& = 0,607 . Sedangkan taraf kepercayaan yang dipakai adalah Z,,, = 2,58

yang setara dengan a = 0,01 sehingga diperoleh nilai'threshold u, = 14.5706.

Tabel 6 menunjukkan bahwa nilai-nilai

IA\~)~, IA?')

1,

I A \ ~ ) ~

lebih besar dad u, .

Dengan demikian ada tiga indikasi loncatan yang diberikan oleh algoritma.

Ketiga indlkasi ini berada dalam tetangga dengan median x6,. Ini berarti bahwa, suatu loncatan te jadi pada x,, yang berpadanan dengan x = 61.

10. Penentuan posisi loncatan juga dapat dilakukan dengan melihat diagram

pencar dari {pi')} dan diagram pencar dad {A:)}. Gambar 7(a) dan 7(b) juga

menunjukkan adanya indikasi loncatan pada x,,

.

11. Langkah terakhir adalah mengepas suatu kurva terhadap setiap segmen yang

diperoleh. Pengepasan ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode

kuadrat terkecil, metode pemulusan atau metode pengepasan lainnya.

Gambar 7. (a) Koefisien polinom

iii)

dari tetangga dengan median x,

.

[image:129.545.71.471.52.729.2] [image:129.545.81.468.470.645.2]

Untuk memudahkan pendeteksian, pengguna dapat memakai makro minitab

(Lampiran 7). Makro tersebut dapat disimpan dalam suatu file notepad 0ump.txt).

Data yang akan dideteksi diketik pada lembar data minitab. Nilai-nilai peubah

penjelas X diketik b e m t pada kolom C 1, sedangkan nilai-nilai peubah respon Y

diketik pada kolom C2. Selanjutnya pada session window diketik %c:\jump.txt

[enter] (Gambar 8).

1 Worksheet size: 100000 cells

,

! Retrieving vorksheet f rom file: C:WAHAR.YITW

i Worksheet vas saved on 2/13/2002

I, MTB > %c:\jump. txt

I

r

Gambar 8. Pendeteksian loncatan dengan makro minitab.

Hasil pendeteksian dapat dilihat pa& kolom C996 dan C998. Jika terjadi suatu

loncatan maka pada kolom C998 tercetak angka 1, sedangkan angka yang tercetak

[image:130.545.69.497.169.650.2]