ABSTRACT
REPRESENTATION OF LINEAR OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE
by
Muhammad Ibrahim Ali
The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be represented by an infinite matrices. For example, a matrices where
[ ] and { | ∑ | | } is a sequence real
numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to sequence space by using a standard basis and it can be proven that the collection all the operators become Banach space.
ABSTRAK
REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
Oleh
Muhammad Ibrahim Ali
Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks
dengan [
] dan { | ∑ | | } merupakan
barisan bilangan real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar dan ditunjukkan bahwa koleksi semua operator membentuk ruang Banach.
REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
Oleh
MUHAMMAD IBRAHIM ALI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
(Skripsi)
Oleh
MUHAMMAD IBRAHIM ALI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
Teorema 4.1 ... 27 Akibat 4.1 ... 31 Teorema 4.2 ... 31 V. KESIMPULAN
DAFTAR SIMBOL
A = Operator
= Elemen (anggota)
∑ = Penjumlahan dari sampai tak hingga
= Koleksi semua operator (linier dan kontinu) = Nilai limit dari n menuju tak hingga
= Sistem bilangan real = Ruang dual X
BK = Banach Komplit/Lengkap
( ) = Matriks tak hingga dengan baris ke-i dan kolom ke-j | | = Mutlak
‖ ‖ = Norma
= Untuk setiap { } = Barisan
= Vektor nol
= Batas atas terkecil dari nilai k lebih dari sama dengan 1
MOTO
“Hai orang
-orang yang beriman, Jadikanlah sabar dan shalatmu Sebagai
penolongmu, sesungguhnya Allah beserta orang-
orang yang sabar”
(Al-Baqarah: 153)
Allah akan meninggikan derajat orang-orang yang beriman diantara kamu
dan orang-orang yang memiliki ilmu pengetahuan.
(Al-Mujadillah:11)
“Barang siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan memudahkan
baginya jalan ke syurga”
(HR. Muslim)
Saat melangkah ke depan (masa depan), berhentilah sejenak untuk menoleh
ke belakang (masa lalu) sebagai pembelajaran dalam mengambil langkah ke
depan (masa depan) yang lebih baik.
PERSEMBAHAN
Alhamdulilah, puji syukur kehadirat ALLAH SWT atas segala
rahmat, ridho dan nikmat-Nya sehingga terselesaikannya skripsi ini.
Dari lubuk hati terdalam, ku persembahkan karya sederhana ini
setulus hati teruntuk :
Kedua orang tua ku tercinta, ibunda Asmaniar dan ayahanda
Mustafa Kemal untuk setiap do’a, perhatian dan dukungan melimpah
yang menemani perjalanan hidup ku.
Kedua kakak ku tersayang yang menjadi penyemangat
Keluarga, teman, sahabat, para guru dan dosen yang mengiringi
perjalanan hidup penulis hingga saat ini.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 5 Mei 1992 di Jakarta. Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara, dari pasangan Mustafa Kemal, B.Ac. dan Asmaniar.
Penulis memulai pendidikan formalnya di TK Mutiara yang diselesaikan pada tahun 1998. Lalu menempuh tingkat dasar di SD Negeri 2 Sukamaju Baru dan diselesaikan pada tahun 2004. Kemudian melanjutkan ke tingkat menengah di SMP Negeri 11 Depok dan terselesaikan pada tahun 2007. Selanjutnya, menyelesaikan pendidikan tingkat atas pada tahun 2010 di SMA Negeri 4 Depok.
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat, ridho dan rizki-Nya penulis dapat
menyelesaikan skripsi dengan judul “Representasi Operator Linear Pada Ruang Barisan Terbatas ”. Shalawat serta salam senantiasa disanjungkan kepada baginda Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.
Pada penulisan skripsi ini, penulis menerima banyak do’a, dukungan, saran serta kritik yang tentunya membangun dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Kedua orang tuaku, Papa dan Mama yang tak pernah lelah memberikan do’a, nasehat serta semangat sepanjang hidup penulis.
2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku pembimbing pertama yang telah sabar dalam membimbing, mengarahkan serta memberi semangat di sela-sela waktu kesibukan beliau hingga terselesaikannya skripsi ini.
3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing kedua yang telah memberikan pengarahan dan nasehat hingga skripsi ini selesai.
4. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku pembahas yang telah memberi kritik dan saran sehingga skripsi ini terselesaikan dengan baik.
6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph,D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
8. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Unila yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
9. Ete mar, dan kakakku uda faat dan adam atas dukungan serta semangat yang tiada akhir.
10. Sahabat-sahabatku tersayang eko, dewa, inggit, nika, okta dan umi yang selalu memberikan semangat, senyum dan tawa hingga saat ini.
11. Wesly yang meluangkan waktu untuk memberikan ilmunya, nova dan novi yang selalu memberikan dukungannya saat seminar serta teman-teman matematika angkatan 2011 atas saran dan kebersamaan hingga skripsi ini terselesaikan.
12. Keluarga besar ROIS FMIPA UNILA terkhusus periode kepengurusan 2013/2014, presidium, pimpinan dan anggota bidang maupun biro yang mengajarkan makna ukhuwah dan pengalaman berharga.
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.
Sebagai contoh, suatu matriks dengan [
] dan
{ | ∑ | | } merupakan barisan bilangan real.
Jika maka
[ ] [ ]
2 Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan tersebut.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :
1. Mengkaji ruang barisan terbatas .
2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan terbatas .
3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatas .
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan ini, diantaranya :
1. Memahami sifat dari operator linear.
3
4
II. TINJAUAN PUSATAKA
2.1 Operator
Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989)
Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator.
Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989)
Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas field yang sama.
a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator.
b. Operator A : X Y dikatakan linear jika untuk setiap X dan setiap skalar berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay.
Definisi 2.1.3 (Kreyszig, 1989)
Diberikan ( ‖ ‖) dan ( ‖ ‖) masing-masing ruang bernorm.
a. Operaror A : X → Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M R dengan
M ≥ 0 sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ ‖ ‖.
b. Operator A dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada bilangan sehingga untuk setiap dengan ‖ ‖
8
Karena dan masing-masing terbatas, serta maka A terbatas (kontinu).
Jadi ‖ ‖ dengan kata lain ‖ ‖ ruang Banach.
Definisi 2.1.4 (Kreyszig, 1989)
Diberikan ruang Bernorm X dengan field .
a. Pemetaan disebut fungsi.
b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X, biasanya ditulis .
Teorema 2.1.3 (Ruckle, 1991)
Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang memetakan X ke Y maka A kontinu.
Bukti :
10
Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linear pada X.
Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X.
Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X.
Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga | | | |
Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x
11 pada baris dan kolom sebanyak takhingga.
b. Jika dan masing-masing matriks takhingga dan
12
Ruang Matriks merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang Matriks merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak pada real line R.
Definisi 2.2.1 (Kreyszig, 1989)
Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu matriks di X adalah suatu fungsi
[ , sehingga untuk setiap pasangan berlaku :
Selanjutnya pasangan (X, d) dengan d adalah Matriks pada X disebut ruang
13
Definisi 2.2.2 (Kreyszig, 1989)
Suatu barisan (xn) dalam ruang Matriks (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk
setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap . Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen.
Definisi 2.2.3 (Maddox, 1970)
Suatu ruang Matriks (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika
14
Teorema 2.2.1 (Parzynsky dan Zipse, 1987)
Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.
sehingga barisan {an} terbatas.
2.3 Ruang Vektor
Definisi 2.3.1 (Maddox, 1970)
16
2.5 Ruang Banach
Definisi 2.5.1 (Darmawijaya, 2007)
Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang Matriks yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen.
2.6 Barisan
Definisi 2.6.1 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)
Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian dengan bilangan real xn tertentu, maka x1, x2,...,xn,... dikatakan barisan.
Definisi 2.6.2 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)
Bilangan-bilangan disebut barisan bilangan tak hingga cn disebut
suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan.
Definisi 2.6.3 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)
Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L
jika untuk setiap bilangan terdapat suatu bilangan asli N, sehingga |
17
Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga jika ada bilangan real positif sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung pada sehingga | | untuk setiap , daan suatu barisan dikatakan konvergen jika ia mempunyai nilai limit.
Teorema 2.6.1 (Martono, 1984)
Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas.
Bukti :
Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat
suatu bilangan real sehinga | | untuk setiap . Karena {an}
Definisi 2.6.5 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)
Suatu barisan {xn} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan
18
(atau | | ) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka
xn mendekati L jika n mendekati tak hingga.
Definisi 2.6.6 (Martono, 1984)
Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan yang tak konvergen dinamakan barisan divergen.
Definisi 2.6.7 (Soeparna, 2007)
Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi :
19
a) Akan dibuktikan bahwa merupakan ruang bernorm terhadap ‖ ‖ . Untuk setiap skalar ̅ { } { } diperoleh
20
Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan ‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorm. Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap.
21
Selanjutnya dibentuk barisan ̃ { }. Menurut ketidaksamaan minkowski.
22
jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya
kontinu.
Contoh ruang BK (Banach lengkap) adalah ruang barisan , .
2.7 Basis
Definisi 2.7.1 (Darmawijaya, 2007)
Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor-vektor sehingga [ ]. Dalam keadaan seperti itu { } disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.
Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor ada skalar-skalar sehingga
Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi | | atau B pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor dan skalar sehingga
∑
23
Definisi 2.7.2 (Darmawijaya, 2007)
Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linear jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear.
Definisi 2.7.3 (Darmawijaya, 2007)
Diberikan ruang vektor V atas lapangan . Himpunan disebut basis (base) V jika B bebas linear dan | | .
Contoh :
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :
1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar { } dengan ( ).
2. Mengkonstruksikan norma operator A
3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach 4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan
V. KESIMPULAN
Operator linear dan kontinu merupakan operator-SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks ( ) yang memenuhi :
(i) {∑ } untuk setiap ( ) ,
(ii) ∑ ∑ | | ,
(iii) ∑ |∑ | .
DAFTAR PUSTAKA
Berberian, S. K. 1996. Fundamentals of Real Analysis. Springer, Texas.
Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.
Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hilbert Space. Mc Graw Hill and Sons, New York.
Kreyszig, E. 1989. Introductory Function Analysis with Application. Willey Classic Library, New York.
Maddox, I.J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge Univercity Press, London.
Martono, K. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.
Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982. Calculus and Analytic Geometry. Wadsworth Publishing Company Belmont, California.
Parzynski and Zipse. 1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill International Edition, Singapore.
Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company, Boston.
