KAJIAN PELUANG STEADY STATE PADA RANTAI MARKOV
SKRIPSI
MARINTAN NOVALINA N
050813010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
KAJIAN PELUANG STEADY STATE PADA RANTAI
MARKOV
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains
MARINTAN NOVALINA N
050813010
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
MEDAN
2007
PERSETUJUAN
Judul : KAJIAN PELUANG STEADY STATE PADA RANTAI MARKOV
Kategori : Skripsi
Nama : Marintan Novalina N
Nomor Induk Mahasiswa : 050813010
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Desember 2007
Komisi Pembimbing:
Pembimbing II Pembimbing
I
Drs. Marwan Harahap, M.Eng Dr. Sutarman,
M.Sc NIP. 13042244 NIP.
131945359
Diketahui Oleh
Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 131796149
PERNYATAAN
KAJIAN PELUANG STEADY STATE PADA RANTAI MARKOV
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing masing disebutkan sumbernya.
Medan. Desember 2007
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pengasih karena hanya dengan kasih karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
Ucapan terimakasih saya sampaikan kepada Dr. Sutarman M.Sc dan Drs. Marwan Harahap. M Eng selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan ilmu, waktu dan dorongan semangat kepada saya untuk menyelesaikan skirpsi ini. Panduan ringkas dan padat dan profesional telah diberikan kepada saya agar penulis menyelesaikan tugas ini. Ucapan terimaksih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo. MSc dan Drs. Henri Rani Sitepu. MSi. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU. pegawai di FMIPA USU. dan rekan-rekan kuliah pada program ekstension matematika stambuk 2005. Akhirnya. tidak terlupakan kepada kedua orangtuaku tersayang demikian juga buat adik-adik yang sangat kukasihi dan teman-teman sepelayanan yang selama ini mendoakan dan memberikan dorongan semangat yang sangat membantu. Tuhan memberkati dan menyertai kita.
Medan, Desember 2007
Penulis
ABSTRAK
.
Rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yang akan datang hanya bergantung kepada kejadian yang sekarang dan tidak tergantung kepada kejadian yang lalu.
=
adalah peluang perpindahan dari state i ke state j
Peluang peralihan pada tingkat keadaan seimbang (peluang steady state) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan seimbang didefinisikan sebagai berikut:
adalah batas distribusi peluang tingkat keadaan seimbang dalam keadaan j adalah Peluang perpindahan dari state i ke state j setelah n langkah
Contoh kasus yang digunakan pada skripsi ini adalah untuk menentukan peluang
steady state pada perusahaan kamera dan menentukan peluang steady state pada
THE STUDY OF STEADY STATE PROBABILITY IN MARKOV CHAIN
ABSTRACT
Markov chain says that the conditional probability of any future event given any past even and the present state is independent of the past event and depend only upon the present state.
=
is the transition probability from state i to state j
The transition probability of well-balanced situation level is the transition probability which has reached balance so that will not change to change of time that happened or change that phase that happened. Formally, the transition probability of well- balanced situation level defined as follow:
is the probability distribution boundary mount well-balanced situation in state j
is the transition probability from state i to state j after n step
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan
ii
Pernyataan
iii Penghargaan
iv Abstrak
v Abstract vi Daftar Isi vii Daftar Tabel viii Daftar Gambar
Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tinjauan Pustaka 2
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Pembatasan Masalah 4
1.6 Manfaat Penelitian 4
1.7 Metode Penelitian 4
Bab 2 Landasan Teori
2.1 Pengantar 6
2.3 Peluang 7
2.3.1 Peluang Kondisional 8
2.4 Rumusan Rantai Markov 9
2.5 Distribusi Seimbang 13
2.6 Peluang Steady State 15
2.7 Teorema Limit pada proses markov waktu diskrit 18
2.8 Persamaan antara distribusi seimbang dan batasan peluang 20
2.9 Proses Birth dan Death 22
Bab 3 Pembahasan
3.1 Pengolahan Data 25
3.1 Contoh 1 25
3.2 Contoh 2 31
3.3 Contoh 3 32
Bab 4 Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 34 4.2 Saran 35 Daftar Pustaka 36 DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Peluang Mesin dalam kondisi bekerja atau rusak
31
Tabel 2.1 Klasifikasi Proses Markov
ABSTRAK
.
Rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yang akan datang hanya bergantung kepada kejadian yang sekarang dan tidak tergantung kepada kejadian yang lalu.
=
adalah peluang perpindahan dari state i ke state j
Peluang peralihan pada tingkat keadaan seimbang (peluang steady state) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan seimbang didefinisikan sebagai berikut:
adalah batas distribusi peluang tingkat keadaan seimbang dalam keadaan j adalah Peluang perpindahan dari state ike state j setelah n langkah
THE STUDY OF STEADY STATE PROBABILITY IN MARKOV CHAIN
ABSTRACT
Markov chain says that the conditional probability of any future event given any past even and the present state is independent of the past event and depend only upon the present state.
=
is the transition probability from state i to state j
The transition probability of well-balanced situation level is the transition probability which has reached balance so that will not change to change of time that happened or change that phase that happened. Formally, the transition probability of well- balanced situation level defined as follow:
is the probability distribution boundary mount well-balanced situation in state j
is the transition probability from state i to state j after n step
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangDalam kehidupan, sejumlah fenomena dapat dipikirkan sebagai
percobaan yang mencakup sederetan pengamatan yang berturut – turut dan bukan
satu kali pengamatan. Umumnya, tiap pengamatan dalam suatu percobaan
tergantung pada beberapa atau semua pengamatan masa lalu hasil tiap
pengamatan, umumnya ditentukan dengan hukum – hukum peluang. Studi tentang
percobaan dalam bentuk seperti ini dikenal dengan teori proses stokastik.
Rantai Markov adalah rangkaian proses Stokastik dimana peluang
bersyarat kejadian yang akan datang tergantung pada kejadian sekarang dan tidak
tergantung pada kejadian yang lalu. Konsep dasar Rantai Markov diperkenalkan
sekitar tahun 1907 oleh seorang Matematisi Rusia Andrei A. Markov (1856 –
1922) yang membahas suatu rantai yang disebut Rantai Markov. Pertama sekali
digunakan untuk mengatur silsilah keturunan kerajaan Inggris. Rantai Markov
telah diterapkan pada berbagai bidang antara lain: ekonomi, politik,
kependudukan, industri, pertanian, kesehatan dan lain lain.
Pada Rantai Markov dipaparkan secara terperinci dan terstruktur data,
matriks, peluang transisi, proses markov, peluang state n langkah dan peluang
Steady State. Peluang Peralihan pada tingkat keadaan seimbang (steady state)
adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan sehingga tidak akan
berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi.
Prinsip ini digunakan untuk mengamati ada berapa state / langkah untuk
menuju titik setimbang. Tentu prinsip ini berguna bagi perusahaan / kalangan
tertentu untuk mengetahui keuntungan, lamanya proses, biaya dari usaha yang
dilakukan. Akibatnya dapat diramalkan kejadian yang terjadi setelah n tahap.
Dari uraian di atas penulis memilih judul “Kajian Peluang Steady State pada
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang diuraikan adalah dalam penelitian ini adalah:
Mengkaji Peluang Steady State pada Rantai Markov dan memaparkan bentuk
aplikasinya dalam sebuah permasalahan sehingga dapat diketahui pada state ke
berapa akan mencapai steady (seimbang)
1.3 Tinjauan Pustaka
Menurut Abdurachman Edi, Markov Chain Stationer adalah:
Suatu Proses stokastik {Xn, n = 0,1,2,….} Apabila Xn = i, maka proses dikatakan
berada pada state-i. Misalkan apabila proses berada pada state-i maka akan
berpindah ke state-j dengan peluang pij, dimana pij tidak tergantung pada n.
Dengan Perkataan lain, apabila:
=
Untuk semua state i0 ,i1 , ……., in-1, i, j dan semua n 0
Jika P adalah matriks transisi MC (Markov Chain) regular maka :
1) Pn akan menuju sebuah matriks T, apabila
2) Setiap baris dari T sama yaitu berupa vektor peluang W
3) Semua elemen W adalah positif, W merupakan state awal
Proses Markov (Journal QUT) adalah proses stokastik dimana peluang
peralihannya pada state pj ( t ) ke state selanjutnya pj
Sebuah matriks peralihan adalah reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks itu
mempunyai entri yang semuanya positif.
( t+1) terikat hanya pada
Menurut P. Siagian (1987) bahwa Peluang Steady State adalah peluang
peralihan di masa depan akan menjadi tidak tergantung dari keadaan awal bahkan
peluang ini akan menuju satu harga yang mantap.
Sementara itu Journal Stationary Distribution by Alessandro Panconesi
menjelaskan bahwa:
dengan
= batas distribusi peluang peralihan tingkat keadaan seimbang dalam
keadaan j.
= Peluang perpindahan dari state ike state j setelah n langkah
i = 1, 2, 3, ……, t
j = 1, 2, 3, …… t
dimana:
Vektor adalah seimbang untuk matriks peluang transisi P, jika:
P =
adalah distribusi seimbang, maka dan dalam bentuk
umum:
Pn = untuk semua integer n > 0
Menurut J. Supranto (1998), matriks adalah suatu kumpulan angka-angka
(elemen-elemen) yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk
empat persegi panjang dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh
banyaknya baris-baris dan kolom-kolom. Matriks bujur sangkar (square matrix)
adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan Penelitian ini adalah: Untuk mengetahui dan mengkaji proses dari
Peluang Steady State pada Rantai Markov sehingga dapat diketahui pada state ke
berapa akan mencapai seimbang.
1.5 Pembatasan Masalah
Penulis membatasi masalah yang dibahas dalam tulisan ini pada Peluang
Steady State pada sebuah Rantai Markov dimana penulis mengambil contoh
berupa peluang perbaikan sebuah mesin dan biaya perbaikan yang dibutuhkan,
contoh berupa penyediaan kamera dari sebuah toko dan peluang steady state yang
diperoleh dari suatu sistem PABX yang memiliki 4 line hunting
1.6 Manfaat Penelitian
Melalui penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan penulis
tentang penggunaan Rantai Markov dan besarnya peluang steady state pada data
yang ada.
1.7 Metode Penelitian
Metode Penelitian yang digunakan adalah penelitian literatur atau studi
kepustakaan, yaitu:
1. Mamahami pengertian dari Rantai Markov
2. Mengkaji / Menganalisis Distribusi Seimbang pada Rantai Markov
3. Mengkaji / Menganalisis Peluang Steady State
4. Mengkaji teorema limit pada proses markov waktu diskrit
5. Memaparkan persamaan antara distribusi seimbang dan batasan
peluang pada Rantai Markov
6. Memaparkan / Mengkaji Proses Birth and Death
7. Membuat aplikasinya dalam sebuah permasalahan
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pengantar
Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan
skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara
terperinci dan terstruktur yaitu matriks, peluang, peluang kondisional. rumusan
rantai markov, distribusi seimbang, peluang steady state, teorema limit pada
proses markov waktu diskrit, persamaan antara distribusi seimbang dan batasan
peluang dan proses birth and death.
2.2 Matriks
Definisi 2.2.1 Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen) yang diusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat
persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya
kolom-kolom dan baris-baris.
P =
disebut elemen, matriks dengan n buah baris dan m kolom dinyatakan dengan
Am x n = [ , sedangkan matriks square atau matriks bujur sangkar adalah
matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n).
Definisi 2.2.2
1. Jika A = [ dan B = [ keduanya adalah matriks berukuran m x n,
maka A + B = [ + ]
2. Jika A = [ matriks berukuran m x n dan k adalah skalar, maka kA =
3. Jika A = matriks berukuran m x p dan B = [ matriks berukuran p
x n, maka perkalian matriks A x B berlaku apabila jumlah kolom matriks
4. Jika A = [ dan B = [ keduanya adalah matriks berukuran m x n,
maka
A = B jika = untuk semua i,j
A ≥ B jika ≥ untuk semua i,j
A > B jika > untuk semua i,j
Demikian halnya untuk A ≤ B dan A < B
5. Matriks identitas atau ditulis dengan In, adalah sebuah matriks bujur
sangkar yang mempunyai angka satu sepanjang diagonal utama (diagonal
dari kiri atas menuju kanan bawah) selainnya nol.
In =
2. 3 Peluang
Definisi 2.3.1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan diberi lambing Ω.
Definisi 2.3.2 Himpunan semua bilangan asli yang merupakan range dari semua peubah acak dalam proses stokastik disebut state space.
Definisi 2.3.3 Misalkan C adalah sebuah percobaan random yang memiliki ruang sampel Ω, suatu fungsi t memetakan setiap c ε Ω satu dan hanya satu ke bilangan
riil disebut peubah acak. Ruang dari T adalah himpunan dari bilangan asli {A = t :
t = T(c), c ε Ω}. Atau peubah acak adalah suatu fungsi yang mengubah setiap nilai
anggota ruang sampel menjadi suatu bilangan riil.
2. Peubah acak kontinu adalah apabila nilai dari peubah acak adalah pecahan,
bilangan decimal, bilangan riil. Atau jika banyaknya titik sampel dari
suatu ruang sampel tidak berhingga banyaknya.
Peluang yaitu suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya
suatu kejadian yang tidak pasti. Misalkan S adalah suatu ruang sampel dari suatu
eksperimen acak dan A adalah ruang kejadiannya. Peluang suatu kejadian A atau
ditulis P(A) dapat didefinisikan secara matematis sebagai berikut :
Dimana n(A) menyatakan banyaknya anggota dari himpunan A dan n(S)
menyatakan banyaknya anggota ruang sampel.
Sifat penting dari suatu kejadian A atau P(A) yaitu :
1. Nilai peluang kejadian A selalu berada pada selang [0,1] atau 0 P(A) ≤ 1
2. Nilai peluang dari peristiwa yang tidak mungkin terjadi adalah 0 atau P( )
= 0
3. Nilai peluang suatu peristiwa yang pasti terjadi adalah satu atau P(S) = 1
2.3.1 Peluang Bersyarat
Dua kejadian dikatakan mempunyai peluang bersyarat bilamana terjadinya
suatu kejadian merupakan persyaratan terjadinya kejadian yang lain. Secara
umum peluang kondisional A jika diketahui B didefinisikan sebagai berikut :
Apabila A dan B adalah kejadian – kejadian yang terdapat dalam ruang
sampel dan peluang – peluang kejadian B tidak sama dengan nol, maka peluang
kondisional A jika diketahui kejadian B telah terjadi sebelumnya adalah:
Ini hanya berlaku apabila P(B) ≠ 0. Karena jika P(B) = 0 maka
P tidak terdefinisi untuk keadaan dimana kejadian A dan B adalah
Karena =
2.4 Rumusan Rantai Markov
Konsep dasar proses markov adalah state dari sistem atau state transisi,
sifat dari proses ini adalah apabila diketahui proses berada dalam suatu keadaan
tertentu, maka peluang berkembangnya proses di masa mendatang hanya
tergantung pada keadaan saat ini dan tidak tergantung pada keadaan sebelumnya,
atau dengan kata lain rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana
peluang bersyarat kejadian yang akan datang tergantung pada kejadian sekarang.
Proses Stokastik ialah suatu himpunan variabel acak {X(t)} yang tertentu
dalam suatu ruang sampel yang sudah diketahui, dimana t merupakan parameter
waktu (indeks) dari suatu himpunan T. Kita menyatakan ruang keadaan I dari
suatu proses sebagai himpunan harga variable acak X(t) yang mungkin. Misalnya,
kalau X(t) berupa variabel acak diskrit yang terdiri dari sejumlah harga tak
berhingga yang dapat dihitung dalam suatu himpunan bilangan cacah tidak
negatif, maka
I = {0,1,2,………}. Dan kalau X(t) merupakan variabel acak kontinu yang non
negative, maka, I = { x ; 0 ≤ x ≤ ∞}.
Dalam proses stokastik, istilah variabel acak X(t) dapat diartikan sebagai
variabel keadaan. Misalnya, kalau t = 1, 2,…….. dalam himpunan
T = {1,2,………}dan X(t) = 0,1,…..,N dalam himpunan I = {0,1,2,……….N}
maka dalam system persediaan, X(1) menggambarkan keadaan tingkat persediaan
pada akhir minggu pertama, X(2) menggambarkan keadaan tingkat persediaan
pada akhir minggu kedua dan seterusnya.
Karena proses Markov adalah kelas tersendiri dari proses stokastik, maka
proses markov dapat dijabarkan dengan definisi berikut :
t2 < …….< tn , t0 = 0, dan harga Xn sebagai harga khusus variabel acak X(tn),
terdapat
Ini dapat kita artikan sebagai berikut :
1) Distribusi peluang bersyarat dari X(tn) untuk harga – harga X(t0),
X(t1),……,1) yang sudah diketahui tergantung hanya pada harga
X(tn-1), yaitu harga terdekat dan tidak tergantung pada harga – harga X(t0),
X(t1),……,X(tn-2
2) Harga
).
disebut “peluang peralihan satu langkah”
dari keadaan Xn-1 pada langkah (n-1) kepada keadaan xn
3) Atau, diketahui keadaan sistem pada saat sekarang, keadaan masa datang
tidak tergantung pada keadaan masa lalu.
pada langkah n.
4) Atau cukup mengetahui sejarah proses stokastik pada waktu tn-1 untuk
dapat menurunkan sifat – sifat proses pada waktu tn.
Dengan demikian, hukum peluang dari proses Markov seluruhnya
teruraikan dengan mengetahui (1) syarat awal yang diberikan oleh ,
dan (2) himpunan distribusi peluang bersyarat yang diberikan untuk semua 0 ≤ tm
< tn, m, n = 0, 1, 2,…… oleh P yang menentukan “distribusi
peluang peralihan” dari proses Markov.
Matriks P disebut Matriks Stokastik apabila memenuhi syarat:
1.
2.
3.
= Banyaknya perpindahan dari state i ke state j
= Peluang perpindahan dari state i ke state j
= jumlah yang berada pada state awal yaitu state i
Identifikasi himpunan distribusi peluang peralihan untuk semua 0 ≤ tm <
tn untuk suatu proses Markov sebarang adalah sesuatu yang sangat sukar.
Meskipun demikian, banyaknya persoalan praktis dapat dirumuskan sebagai
proses Markov dalam hal mana distribusi peluang peralihan adalah fungsi dari
selisih (tn – tm) dan bebas dari tn. Dalam hal ini proses Markov kita sebut
mempunyai distribusi peluang peralihan yang “homogen” atau “stasioner”.
Dengan demikian, formula untuk peluang peralihan stasioner satu langkah
adalah:
= P
(2.3)
untuk semua n, n = 1, 2,…….
Sifat – sifat homogenitas memperlihatkan kesederhanaan yang luar biasa
kalau kita mengembangkan hukum peluang dari proses, sekalipun dengan
keuntungan tambahan ini, penjabaran ciri – ciri statistikal sebarang proses dari
hukum peluangnya, umumnya masih sangat sukar. Akan tetapi, dalam praktek,
kita lebih tertarik mempelajari beberapa keadaan khusus. Dua persoalan penting
adalah:
1) Penentuan P {X(tn) ≤ xn}, fungsi distribusi peluang (tidak bersyarat) dari
X(tn) untuk tn
2) Karakterisasi proses untuk t di dalam T dan
n
1) Sifat himpunan indeks T (parameter diskrit atau parameter kontinu)
2) Sifat himpunan keadaan I (berharga diskrit atau berharga kontinu)
Kalau himpunan keadaan I adalah diskrit, maka proses Markov disebut
[image:24.595.107.518.214.347.2]sebagai rantai Markov.
Tabel 2.1 : Klasifikasi Proses Markov T
I Diskrit Kontinu
Diskrit Rantai markov Parameter Diskrit Rantai Markov Parameter Kontinu Kontinu Rantai markov Parameter Diskrit Rantai Markov Parameter Kontinu
2.5 Distribusi Seimbang
Dalam rantai markov, misalkan state d adalah 1,2,……d, dan fungsi massa
peluangnya berada pada waktu 0 sebagai vektor baris.
dimana I = P{ X(0) = i}, dan distribusi peluang dari vektor baris adalah
Definisi 2.5.1
n
Vektor adalah distribusi peluang untuk rantai, dengan matrix peralihan P, jika
P =
Misalkan adalah distribusi seimbang. Maka 2 = ( P)P = P = , dan secara
umum:
n
= untuk semua bilangan bulat n > 0 (2.5)
Teorema 2.1 Ergodisitas Rantai Markov Reguler
(i) α adalah distribusi seimbang rantai
(ii)Untuk distribusi peluang , distribusi n langkah n ada pada α dimana
n
Bukti 2.1 Ambil ei sebagai vektor baris dengan 1 dalam posisi i dan 0 yang lainnya. Jika A adalah matrix limit untuk rantai, maka eiA = α untuk setiap nilai
dai i, karena semua baria A adalah α, maka
Untuk tiap nilai dari i, khususnya
Rumus diatas menunjukkan α adalah distribusi seimbang.
Jika merupakan distribusi awal yang berubah-ubah, maka
Dimana ci ≥ 0 dan c1 + c2 + …..+ cd = 1. Maka distribusi peluang untuk X(n),
berawal dari distribusi untuk X(0) adalah
Misalkan pada rumus (2.7) dan rumus (2.6), maka:
Jika merupakan distribusi seimbang untuk P, maka sisi sebelah kiri dari
persamaan (2.8) adalah (tidak dibutuhkan batasan). Maka , yang
Teorema 2.8 menjamin bahwa sifat dari vektor tersebut ada. Dimana ada beberapa
cara untuk menghitung .
Suatu algoritma yang berulang-ulang untuk menentukan adalah: pilih
distribusi awal , set (0) = , dan hitung urutan dari vektor baris (n +1) =
(n)P untuk nilai yang berturut-turut dari n,hingga urutan bertemu sesuai
angkanya (di dalam beberapa ketelitian yang ditentukan. Ini memberikan
perkiraan pada vektor seimbang α.
2.6 Peluang Steady State
Definisi 2.6.1 Sebuah matriks peralihan adalah reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks itu mempunyai entri yang semuanya positif.
Jika P adalah matriks reguler maka:
1. Untuk n ∞. Pn akan menuju suatu matriks
3. Jika
adalah sebarang vektor peluang. Karena P n untuk n ∞, maka
sehingga
dimana pi adalah peluang sistem saat berada pada state i, i = 1,……,n.
4. Jika maka , jadi ,
karena
Peluang peralihan pada tingkat keadaan seimbang (peluang steady state)
adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak
akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang
terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan seimbang didefinisikan
= Peluang perpindahan dari state ike state j setelah n langkah
Dengan makin besar nilai n,maka peluang peralihan akan mendekati suatu
nilai tertentu, tanpa dipengaruhi oleh state yang ditempati pada n = 0. Dalam
beberapa kasus, hubungan atau relevansi antara keadaan awal dengan peluang
peralihan tahap ke n akan mengecil dengan bertambahnya n.
sehingga
Dengan demikian akan diperoleh suatu distribusi untuk n menuju tak
hingga berada dalam keadaan seimbang, oleh karena itu informasi mengenai
kedudukan awal dari proses tidak diperlukan lagi atau dengan kata lain nilai dari
peluang peralihan tingkat keadaan seimbang independen terhadap kondisi awal
proses, dan konvegen ke sebuah matriks untuk menuju tak berhingga. Untuk
setiap baris vektor distribusi steady state sebagai berikut:
karena , maka sehingga
= PPn
Persamaan tersebut merupakan persamaan – persamaan linier dengan
beberapa harga yang tidak diketahui dan merupakan kumpulan dependen,
sehingga menghasilkan banyak solusi dan hanya ada sebuah persamaan yang
menjadi distribusi peluang supaya diperoleh suatu solusi tunggal, dan nilai total
Persaman tersebut disebut sebagai persamaan normalizing. Dengan
memasukkan persamaan tersebut dalam kumpulan persamaan – persamaan linier
yang ada akan diperoleh suatu solusi tunggal, yang memenuhi suatu distribusi
peluang.
2.7 Teorema Limit pada Proses Markov waktu Diskrit Jika state j adalah transient, maka:
artinya bahwa mulai dari i, bilangan yang diharapkan dari perpindahan ke
state j adalah terbatas. Maka dari itu j adalah transient dimana
Misalkan merupakan bilangan yang diharapkan dari perpindahan yang
diperlukan untuk kembali ke statej. Maka
Dengan memasukkan transisi ke state j berubah, kita memperoleh Teorema
2.3
Teorema 2.3 Jika i dan j communicate, maka :
(iii) Jika j adalah aperiodic, maka
(iv) Jika j adalah period d, maka
Jika state j adalah recurrent, maka state tersebut akan positive recurrent
jika > ∞ dan null recurrent jika = ∞. Jika misalkan:
Kesimpulannya ialah bahwa recurrent state j adalah positive recurrent
jika dan null recurrent jika
Definisi 2.7.1 Distribusi Peluang {Pj, j≥ 0} mencapai seimbang untuk rantai markov jika
Jika distribusi peluang dari X0 dimana Pj = P{X0 = j}, j ≥ 0 adalah
distribusi seimbang, maka:
Oleh karena itu jika awal distribusi peluang adalah distribusi seimbang maka Xn
akan memiliki distribusi yang sama untuk semua n. Kenyataannya seperti {Xn , n ≥ 0} adalah rantai markov, maka dengan mudah untuk setiap m ≥ 0,
akan memiliki distribusi yang saling berhubungan untuk
setiap n, dengan perkataan lain {Xn , n ≥ 0} akan mencapai proses seimbang.
2.8 Persamaan antara Distribusi Seimbang dan batasan peluang
Teorema di bawah ini berhubungan dengan batas distribusi menuju
distribusi yang seimbang.
Teorema 2.4 Untuk irreducible, apperiodic finite-state waktu diskrit dengan m states, maka
Merupakan peluang batasan dari state j dan = ( ) menjadi batas
distribusi. Maka juga merupakan distribusi yang seimbang dan tidak ada lagi
distribusi yang muncul.
Bukti:
Akan dibuktikan 2 hal yang berhubungan dengan batas distribusi .
1. Akan dibuktikan bahwa } sebagai batas
distribusi. Oleh karena itu paling sedikit ada satu distribusi seimbang yang
muncul.
Oleh sebab itu memenuhi persamaan seimbang.
2. Akan dibuktikan bahwa setiap distribusi yang seimbang harus
, karena seimbang
maka:
maka:
Definisi 2.7.2 Sebuah Rantai Markov yang memiliki batas peluang akan mencapai seimbang atau steady state jika initial state dipilih berdasarkan
peluang-peluangnya.
2.9 Proses Birth and Death (B & D)
Suatu Populasi adalah suatu himpunan obyek-obyek yang memiliki sifat
yang sama. Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses markov jika
probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari suatu kedaan ke keadaan
lainnya hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak pada bagaimana
keadaan sekarang dicapai.
Pada model-model proses penghitungan di atas suatu variabel acak N(t)
menyatalan jumlah event. Jika event itu berupa obyek-obyek tertentu sehingga
B(t) menunjukkan jumlah populasi dari obyek. Dalam model tersebut selain
terkait masalah “kemunculan” (birth) terkait juga masalah “kehilangan” (death)
Birth rate (t) death rate
Gambar 2.1 Proses Birth and Death
Misalkan suatu proses stokastik berparameter kontinu {X(t), t ≥ 0}, dengan
ruang status diskrit 0, 1, 2, …,t Pada waktu t, jika dan hanya jika X(t) = n (dalam
hal ini sistem memiliki populasi berjumlah n).
Proses tersebut adalah Proses birth and death jika terdapat sejumlah birth
rate non negatif { n , n = 0, 1, 2,…} serta death rate non – negatif { n
- Tidak ada lebih dari satu transisi terjadi bersamaan dan pada saat populasi
kosong hanya berisi birth yang bisa terjadi. Untuk n ≥ 1, transisi berbentuk , n = 0,
1, 2,…} yang memenuhi asumsi-asumsi berikut:
atau , kecuali itu hanya transisi
- Pada waktu t sistem berada pada status E
♦ P [pada selang waktu (t, t+h) terjadi transisi n
] = h
♦ P [pada selang waktu (t, t+h) terjadi transisi
+0(h)
] untuk n ≥
1] = h
- P [pada selang waktu (t, t+h) terjadi lebih dari satu transisi status] = o(h)
(peluang pada waktu yang singkat probabilitas ini relatif kecil sekali) + 0 (h)
[image:33.595.145.511.563.691.2]Dari asumsi-asumsi tersebut proses B&D memberikan formulasi untuk peluang
populasi berjumlah n pada saat t dengan persamaan differensial :
Bila status awalnya adalah Ei maka kondisi/probabilitas awalnya (pada t = 0)
adalah Pi (0) = 1 dan Pj
Bila proses B&D pada
(0) = 1 untuk j ≠1
, mengaproksimasi konstanta pn maka
proses tersebut dikatakan berada dalam statistical equilibrium (keseimbangan
statistical). Dengan demikian sistem tidak lagi berubah menurut waktu. Jadi
diperoleh:
, untuk n ≥ 1
Seterusnya bila deret berikut adalah
S = (dimana S konvergen)
Dengan setiap n dan n non-negatif, maka po = 1/S > 0, yaitu bahwa
peluang sistem dalam keadaan kosong adalah positif. Dalam suatu sistem antrian
hal ini menunjukkan sistem pelayanan kadang-kadang mampu melayani setiap
customer yang datang. Sebaliknya jika kuantitas S divergen, maka sistem antrian
tidak stabil akibat rata-rata kedatangan lebih tinggi dari pelayanan, jadi dalam
sistem antrian yang mengikuti model proses B&D, dapat disimpulkan bahwa
peluang steady state {Pn} ada jika dan hanya jika S konvergen dan selanjunya
memiliki hubungan po = 1/S
0 1 1
0 1 2
n n
n
P
λ λ
λ
P
µ µ
µ
−=
0 1 1
1 1 2
n n n
λ λ
λ
µ µ
µ
∞ −=
< ∞
∑
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Pengolahan Data
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, rantai markov atau proses markov akan
digunakan untuk menganalisa data yang diperoleh dalam penelitian ini. Contoh
kasus yang digunakan dalam tulisan skripsi ini adalah peluang penyediaan kamera
dari sebuah toko, besarnya biaya yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin
yang rusak dan peluang steady state yang diperoleh dari suatu sistem PABX yang
memiliki 4 line hunting
Contoh 1:
Sebuah toko kamera menyediakan model kamera yang terbaru yang dapat dipesan
tiap minggu. Misalkan D1, D2 ,…. mewakili permintaan dari kamera
(kamera-kamera akan dijual jika tidak dihabiskan) selama minggu pertama, minggu kedua,
…., berturut-turut. Ini dapat diasumsikan bahwa Di adalah bebas dan variabel
acak yang didistribusikan memiliki distribusi poisson dengan rata-rata 1. Misalkan
X0 mewakili jumlah kamera yang tersedia mula-mula, X1 jumlah kamera yang
tersedia pada akhir minggu 1, X2
- Misalkan X
jumlah kamera yang tersedia pada akhir minggu
2, dan seterusnya.
0
- Pada malam sabtu toko memasukkan pesanan dimana pesanan dikirim
pada saat toko dibuka hari senin. = 3
- Toko mengeluarkan kebijaksanaan: Apabila tidak ada persediaan kamera,
3 kamera dipesan. Sebaliknya tidak dipesan jika persediaan ada.
- Penjual mengalami rugi apabila permintaan melebihi barang-barang yang
ada
Tentukan Peluang Steady State dari permintaan kamera tersebut!
• Dt memiliki distribusi poisson dengan jumlah sama dengan 1. Artinya bahwa P(Dt+1 = n) = e-11n / n untuk n = 0, 1,..
• P(Dt = 0) = e-1
• P(D
= 0.368
t = 1) = e-1
• P(D
= 0.368
t = 2) = (1/2) e-1
• P(D
= 0.184
t
• X
≥ 3) = 1 – (0.368+0.368+0.184) = 0.08
t+1 = max(3-Dt+1, 0) if Xt = 0 and Xt+1 = max(Xt – Dt+1, 0) if Xt
• Matriks transisi satu langkah P
≥ 1, for t = 0,1,2,….
03 = P(Dt+1
• P
= 0) = 0.368
02 = P(Dt+1
• P
= 1) = 0.368
01 = P(Dt+1
• P
= 2) = 0.184
00 = P(Dt+1≥ 3) = 0.080
P =
Matriks Transisi 1 langkah
P =
Matriks Transisi 4 langkah P(4) = P(2) P(2)
Matriks Transisi 8 langkah P(8) = P(4) P(4)
Peluang Steady State
Peluang peralihan tingkat keadaan seimbang (Peluang Steady State)
adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak
akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang
terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan seimbang didefinisikan
sebagai berikut:
dimana:
= batas distribusi peluang tingkat keadaan seimbang dalam keadaan j
= Peluang perpindahan dari state ike state j setelah n langkah
Dari matriks P yang ada maka dicari Pn untuk mengetahui matriks P itu regular
atau tidak.
Misalkan P2
Karena P2 merupakan matriks regular yaitu memiliki elemen-elemen yang positif,
maka dapat ditentukan peluang Steady State dari matriks P
+
+
1 = π0 + π1 + π2 + π3
Sekarang perhatikan matriks peluangnya: Baris pertama menyatakan
State 1 = 0.080 State 0 + 0.184 State 1 + 0.368 State 2 + 0.368 State 3
Demikian halnya dengan seterusnya.
Sehingga sistem linear F = (I – P t) = 0 adalah
P =
(I – P) =
Maka Sistem Linear F = (I – P t) = 0 adalah:
Jika persamaan diatas diselesaikan dengan bentuk eselon baris tereduksi untuk
matriks maka diperoleh:
Vektor Steady State dari sistem tersebut adalah :
1. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 0 atau mula – mula dalam
keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.286
2. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 1 atau pada akhir minggu 1
dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah
0.285
3. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 2 atau pada akhir minggu 2
dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah
0.264
4. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 3 atau pada akhir minggu 3
Contoh 2:
Seorang pengusaha mencoba memperhitungkan berapa banyaknya biaya untuk
perawatan mesin Mr. Andrew. Dia memperhitungkan bahwa biaya untuk
perawatan $300 setiap hari jika mesin dalam perbaikan.
Mereka memperkirakan bekerjanya mesin dengan baik menurut peraturan Rantai
Markov. Jika mesin itu bekerja hari ini, maka peluang untuk bekerja waktu yang
akan datang 95%. Berapa akan dibayar Mr. Andrew tiap tahunnya?
0.95
0.05
0.6
[image:40.595.108.512.271.409.2]0.4
Gambar 3.1 Peluang Mesin dalam kondisi Bekerja atau Rusak
Untuk menjawab pertanyaan di atas. Diperoleh batas distribusi = ( ) untuk
rantainya.
dimana P =
Maka:
Dari persamaan di atas diperoleh:
Maka diperoleh persamaan =
,
=Bekerja
(w)
Maka mesin yang rusak diperkirakan 9 hari sekali. Maka biaya yang dibutuhkan
untuk memperbaiki mesin tersebut
Maka Biaya untuk tiap tahun diperkirakan $12,000
Contoh 3
Suatu sistem PABX memiliki 4 jalur sibuk (line hunting) dengan satu nomor yang
sama. Rata-rata penggunaan jalur (line) dari luar / dalam diasumsikan tetap
mengikuti proses Poisson dengan parameter . Lama bicara rata-rata juga tetap
dan mengikuti proses eksponensial dengan parameter . Sistem ini memiliki lima
status . Diketahui = 6 call / jam dan lama pembicaraan rata –
rata 15 menit ( pembicaraan / jam). Hitung peluang steady state sistem
tersebut!
Jawab:
Karena ada lima status , En
Maka dalam keadaan steady state diperoleh:
, maka ada n jalur yang sedang
digunakan.
S = 1 +
S = 1 +
S = 13,1875
untuk n = 0, 1, 2, 3, 4
= 0,07583
= 0,25592
= 0,38389
Dengan melihat rata-rata peluang diatas maka dapat disimpulkan sistem akan
cenderung sibuk walaupun jumlah jalur (line) ditambah. Namun apabila
berkurang, misalnya jika berturut-turut 6, 5, 4, 3 akan menghasilkan
kemungkinan ada line yang kosong yang lebih baik sebagai berikut:
p0
p
= 0,13061
1
p
=0,19592
2
p
= 0,24490
3
p
= 0,24490
4 = 0,18367
1. Peluang steady state yang diperoleh pada Sistem PABX adalah:
0,07583
= 0,11374
= 0,25592
= 0,38389
Dengan melihat peluang steady state dapat disimpulkan bahwa sistem
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dari uraian bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
2. Peluang steady state yang diperoleh pada perusahaan kamera tersebut
adalah:
Dimana peluang permintaan kamera terbaru pada state 0 atau mula – mula
sampai pada akhir minggu atau state 3 mengalami penurunan.
Karena nilai steady statenya sudah sama dengan pn maka hasil yang
diperoleh sudah benar.
3. Peluang steady state yang diperoleh pada Sistem PABX adalah:
0,07583
= 0,11374
= 0,25592
= 0,38389
Dengan melihat peluang steady state dapat disimpulkan bahwa sistem
tersebut akan cenderung sibuk walaupun jumlah line ditambah.
4.2 Saran
kesehatan dan lain lain. Untuk penerapan rantai markov pada waktu
diskrit sudah banyak diteliti. Bagi seseorang yang ingin meneliti
tentang rantai markov, dapat juga menerapkan rantai markov pada
waktu kontinu dalam kasus-kasus yang lain.
2) Peluang steady state pada perusahaan kamera menunjukkan bahwa
permintaan kamera tiap minggunya berkurang. Oleh karena itu
penyediaan kamera tidak perlu ditambah lagi.
3) Peluang steady state pada sistem PABX menunjukkan sistem akan
cenderung berada dalam kondisi sibuk. Untuk menanggulanginya
maka harus semakin kecil, artinya penggunaan line atau jalur
harus menurun supaya ada line yang kosong sehingga sistem tersebut
DAFTAR PUSTAKA
1. Allesandro Panconessi, The Stationary Distribution of a Markov
Chain, Journal Matstat, 2005
2. Athanasios Papoulis, Probability, Random Variables And Stochastic
Process, 4th
3. Abdurachman Edi, Konsep Dasar Markov Chain serta kemungkinan
penerapannya di Bidang Pertanian, Journal Informatika Pertanian
Volume 8, Desember 1999
, Edition, New York : MC Graw Hill
4. Modul 10 (Probabilitas terapan), Proses-proses Stokastik, Maret 2004
5. Harold-Balter & Lafferty, Probability and Computing , Jurnal
Matematka, Maret 2006
6. Richard Bronson, Teori dan Soal-soal Operation Research, MC Graw
Hill, Inc, USA, 1982
7. Roe Goodman, Introduction to Stochastic Models, The Benjamin /
Cummings Publishing Company, Inc, 1988
8. Ross SM, Stochastic Processes, John Wiley and Sons, Inc, 1983
9. Siagian. P, Penelitian Operasional Teori dan Praktek, UI-Press, 1987
10.Quensland University of Technology, Probabilistic Models : Markov
