Penentuan Peluang Transisi t Langkah Dalam Rantai Markov Dan Penerapannya Di Bidang Pertanian

PENENTUAN PELUANG TRANSISI t LANGKAH DALAM

RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG

PERTANIAN

SKRIPSI

RUDY ASWIN

060823038

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FALULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PENENTUAN PELUANG TRANSISI t LANGKAH DALAM

RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG

PERTANIAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana sains

RUDY ASWIN

060823038

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FALULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : PENENTUAN PELUANG TRANSISI t

LANGKAH DALAM RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG PERTANIAN

Kategori : SKRIPSI

Nama : RUDY ASWIN

Nomor Induk Mahasiswa : 060823038

Program Studi : SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM ( FMIPA ) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Juni 2010

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si Dra.Rahmawati Pane, M.Si

NIP : 130 810 774 NIP : 131 474 682

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

PERNYATAAN

PENENTUAN PELUANG TRANSISI t LANGKAH DALAM RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA DI BIDANG PERTANIAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2010-06-24

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pengasih dan Maha

Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam

waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Dra.Rahmawati Pane, M.Si

dan Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian

skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya

untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat dan profesional

telah diberikan kepada saya agar penulis menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima

kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr.Saib Suwilo,

M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Sumatera Utara, semua dosen

pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan

– rekan kuliah pada program studi ekstension matematika stambuk 2006.

Akhirnya, tidak terlupakan kepada Ayahanda Syafwin Haikal dan Ibunda Aswani

serta Kakak-kakak dan adikku tercinta. Penulis mengucapkan terima kasih yang

tulus atas do’a dan doronganya kepada penulis yang selama ini memberikan

bantuan baik moril maupun materi yang tak terbatas. Semoga Allah SWT yang

ABSTRAK

Rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat

kejadian yang akan datang hanya bergantung kepada kejadian yang sekarang dan

tidak tergantung kepada kejadian yang lalu. Secara matematika dapat dituliskan

sebagai berikut :

{

Xt jX i X i Xt i Xt it

}

P

(

Xt j X_t i

)

Pij

P +1 = 0 = 0, 1 = 1,..., −1 = 1−1, = = +1 = = = ,

j i

P, adalah peluang perpindahan dari state i ke state j. Rantai Markov yang

digunakan pada skripsi adalah untuk menentukan peluang perpindahan dari state

yang satu ke satate yang lainnya. Peramalan yang digunakan berdasarkan pada

matriks transisi, peluang perpindahan dari satu state ke state yang lainnya,

berdasarkan peluang state t langkah peralihan. Aplikasinya diterapkan dalam

bidang pertanian yaitu pada bidang sosial ekonomi pertanian. sebagai contoh

adalah peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dari satu state ke state

lainnya. hasil yang diperoleh adalah seluruh merek bibit kelapa sawit mengalami

pergeseranpeminatan kecuali merek lainnya yang tidak diperhitungkan

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 3

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Pembatasan Masalah 5

1.6 Manfaat Penelitian 5

1.7 Metode Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Pengantar 7

2.2 Data 7

2.2.1 Defenisi Data 7

2.3 Matriks 8

2.3.1 Defenisi Matriks 8

2.3.2 Teorema Matriks 9

2.3.3 Operasi Matriks 10

2.4 Probabilitas 12

2.4.1 Defenisi Probabilitas 13

2.4.2 Probabilitas Beberapa Peristiwa 14

2.5 Teorema Bayes 17

2.6.1 Defenisi rantai Markov 19

2.6.2 Sifat Markov 19

2.6.3 Asumsi – asumsi dasar rantai Markov 20

2.6.4 Keadaan awal rantai Markov 20

2.7 Persamaan Chapman- Kolmogorov 21

2.7 Matriks Probabilitas Transisi 19 2.8 Peluang state t langkah 22 2.8.1 Defenisi 22

2.9 Rantai Markov 22 2.9.1 Defenisi Rantai Markov 22 2.9.2 Sifat Markov 22 2.9.3 Asumsi- asumsi Dasar Rantai Markov 23

2.9.4 Keadaan Awal Rantai Markov 23

2.9.5 Keadaan Transisi dan Probabilitasnya 24

Bab 3 Pembahasan 26 3.1 Penerapan Di Bidang Pertanian 26

3.2 Matriks Transisi Empat Langkah 34 3.3 Peluang State Delapan Langkah 35

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 44

4.1 Kesimpulan 44

4.2 Saran 45

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Merek Bibit Kelapa Sawit dan Jumlah Pengguna 27

Tabel 3.2 Alasan Pengguna (Petani) Memilih Bibit Kelapa Sawit 28

Tabel 3.3 Jumlah Pengguna Bibit Kelapa Sawit saat ini dan sebelumnya 30

Tabel 3.4 Perolehan dan Kehilangan Konsumen pada Berbagai Merek Bibit Kelapa Sawit 30

Tabel 3.5 Brand Switching Patern 32

Tabel 3.6 Probabilitas Transisi 32

Tabel 3.7 Peluang Proporsi Pengguna Bibit Kelapa Sawit 41

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.4 Perpindahan Konsumen Pada Berbagai Merek

ABSTRAK

Rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat

kejadian yang akan datang hanya bergantung kepada kejadian yang sekarang dan

tidak tergantung kepada kejadian yang lalu. Secara matematika dapat dituliskan

sebagai berikut :

{

Xt jX i X i Xt i Xt it

}

P

(

Xt j X_t i

)

Pij

P +1 = 0 = 0, 1 = 1,..., −1 = 1−1, = = +1 = = = ,

j i

P, adalah peluang perpindahan dari state i ke state j. Rantai Markov yang

digunakan pada skripsi adalah untuk menentukan peluang perpindahan dari state

yang satu ke satate yang lainnya. Peramalan yang digunakan berdasarkan pada

matriks transisi, peluang perpindahan dari satu state ke state yang lainnya,

berdasarkan peluang state t langkah peralihan. Aplikasinya diterapkan dalam

bidang pertanian yaitu pada bidang sosial ekonomi pertanian. sebagai contoh

adalah peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dari satu state ke state

lainnya. hasil yang diperoleh adalah seluruh merek bibit kelapa sawit mengalami

pergeseranpeminatan kecuali merek lainnya yang tidak diperhitungkan

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan nyata, hampir seluruh fenomena alam mengandung ketidak

pastian atau bersifat probabilistik, misalnya pergerakan lempengan bumi yang

menyebabkan gempa, naik turunnya harga saham, keadaan cuaca, dan lain

sebagainya. Salah satu model yang saat ini banyak dikembangkan adalah rantai

Markov. Aplikasi dari proses Markov melalui rantai Markov banyak digunakan

dalam kehidupan sehari-hari. Rantai Markov dapat digunakan sebagai model dari

berbagai bentuk permainan, salah satu contohnya adalah permainan ular tangga.

Dibidang ekonomi, kita bisa melihat pergerakan selera konsumen atas beberapa

jenis produk yang sama menggunakan rantai Markov. Selain itu, proses Markov

juga berperan dalam menentukan urutan halaman dari sebuah webpage

sebagaimana yang digunakan oleh Google. Dalam memodelkan fenomena alam

dengan model ini, diasumsikan bahwa proses yang terlibat didalamnya mengikuti

sifat Markov yaitu peluang keadaan proses pada suatu saat hanya bergantung

kepada keadaan disatu kurun waktu sebelumnya. Misalnya keadaan besok

tergantung pada keadaan hari ini. Umumnya, peluang bersyarat ini disajikan

sebagai suatu matriks.

Dalam analisis markov yang dihasilkan adalah suatu informasi probabilistik yang

dapat digunakan untuk membantu pembuatan keputusan, jadi analisis ini bukan

suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik deskriptif . Analisis Markov

dinamakan stochastic process. Analisis ini sangat sering digunakan untuk

membantu pembuatan keputusan dalam bisnis dan industri, misalnya dalam

masalah ganti merek, masalah hutang-piutang, masalah operasi mesin, analisis

pengawasan dan lain-lain.

Berdasarkan ruang keadaan dan ruang parameternya Proses Markov dapat

dikelompokkan menjadi proses markov dengan ruang sampel diskrit. sebagai

contoh, salah satu proses stokastik dengan ruang sampel diskrit adalah

banyaknya pengunjung yang datang kesuatu pertokoan pada hari ke-t. Dan

proses Markov dengan ruang sampel kontinu. Contoh proses stokastik dengan

ruang sampel kontinu adalah selang waktu antar kedatangan pengunjung kesuatu

pertokoan pada waktu t sembarang. yang dinamakan sebuah rantai adalah jika

state spacenya diskret. Rantai Markov diskrit adalah sebuah proses Markov yang

ruang statenya adalah bilangan yang dapat dihitung, dan bilangan indeksnya

adalah T = (0, 1, 2, ...) Dalam bentuk formal, sifat Markov dinyatakan sebagai :

Pr

{

Xn+1 = jXn =i,Xn−1 =in−1,...,X1 =i1,X0 =i0

}

=Pr

(

Xn+1 = jX_n =i

)

,

untuk semua titik waktu n dan semua state i₀,...,i_n−1,i,j.

Umumnya ruang state dari rantai Markov dinyatakan dengan bilangan bulat tak

negatif {0, 1, 2, ...}, dan Xn =i menyatakan X berada pada state i. n

Seperti yang telah diuraikan diatas rantai Markov bisa diterapkan diberbagai

bidang antara lain ekonomi, politik, kependudukan, industri, pertanian dan

lain-lain. Dalam tulisan ini mencoba menggali labih jauh penerapannya pada bidang

pertanian, yaitu dalam bidang sosial ekonomi pertanian. Oleh karena itu penulis

mencoba membahas mengenai ”PENENTUAN PELUANG TRANSISI t

LANGKAH DALAM RANTAI MARKOV DAN PENERAPANNYA

1.2Identifikasi Permasalahan

Dalam tugas akhir ini rumusan masalah yang akan dibahas adalah bagaimana cara

untuk menentukan peluang perpindahan merek bibit kelapa sawit dari satu merek

ke merek lainnya (dari state yang satu ke state yang lainnya) dengan

menggunakan matriks peluang transisi pada rantai Markov.

1.3Tinjauan Pustaka

Proses Markov diperkenalkan oleh seorang ahli Matemetika berkebangsaan Rusia

yang bernama Andrey Anddreevich Markov pada tahun 1906. Andrey

Anddreevich Markov memperkenalkan proses Markov berupa teori dasarnya saja.

Pada tahun 1963, seorang ahli matematika berkebangsaan Rusia lainnya bernama

Kolmogorov membuat generalisasi pada ruang state yang terhitung dan terbatas.

Dalam rantai Markov, salah satu hal menarik adalah dapat mempelajari perubahan

keadaan pada proses. untuk rantai Markov dengan ruang parameter diskret

peluang Xt+1 berada pada keadaan it+1 bila diberikan V berada pada keadaan t i t

dinamakan peluang transisi satu langkah dan dinotasikan dengan P_i,j

{

Xt jX i X i Xt i Xt it

}

P

(

Xt j X_t i

)

Pij

P ₊₁ = ₀ = ₀, ₁ = ₁,..., ₋₁ = ₁₋₁, = = ₊₁ = = = _,

dimana

∑

= =

n

j j i

P

1

1

, dan Pi,j ≥0,i= j =1,2,...,n

Disney Clark (1985) menyatakan untuk menghitung peluang vektor peluang state

dalam t langkah, didapat dengan mengalikan state awal P( )0 dengan matriks satu langkah pangkat t

P( )t = P( )0 Pt−1,t ≥1

( )t ₌

P Vektor pembagian state pada waktu t,t≥1

0

P = Vektor pembagian state awal

1

−

t

P = Matriks transisi P dalam t langkah

Menurut Sheldon (1969) persamaan Chapman Kolmogorov dalam menghitung

peluang peralihan t langkah :

0

t m t m

ij ik kj

k

P P P

∞ +

=

=

∑

t ik

P = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah t langkah dan diketahui

sebelumnya telah berada dalam state i

m kj

P = Peluang peralihan dari state k ke state j setelah m langkah dan diketahui

sebelumnya telah berada dalam state k

Pijt m

+ _{= Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah t+m}

langkah.

Menurut P. Sianipar (1996) Matriks adalah suatu susunan atau kumpulan

angka-angka (elemen-elemen) yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga

berbentuk persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh

banyaknya jumlah baris dan kolom serta dibatasi dengan tanda kurung. Matriks

bujur sangkar (square) adalah matriks dimana jumlah baris dan kolomnya adalah

1.4Tujuan Penelitian

Adapun yang menjadi tujuan dalam tugas akhir ini adalah untuk mengetahui

peluang transisi t langkah dalam rantai markov untuk mendapatkan peluang

perpindahan penggunaan merek bibit kelapa sawit dari satu merek ke merek

lainnya.

1.5Pembatasan Masalah

Agar penelitian ini tepat sasaran penulis menetapkan permasalahan dibatasi

penyusunan matriks probabilitas transisi, kemungkinan Market Share diwaktu

yang akan datang serta interprestasi hasil probabilitas.

1.6 Manfaat Penelitian

Penulis berharap bahwa hasil dari tugas akhir ini dapat menambah wawasan

tentang penggunaan rantai Markov pada data yang telah ada. Ini juga diharapkan

dapat memberikan gambaran yang lebih jelas tentang parameter yang terdapat

dalam rantai Markov serta dapat membawa masalah-masalah baru dalam bidang

proses stokastik sehingga akan muncul penelitian-penelitian baru yang lebih

bermanfaat

1.7Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan

langkah-langkah sebagai berikut :

a. Membahas dan mempelajari proses Stokastik sebagai dasar proses Markov

b. Membahas dan mempelajari sifat-sifat dari proses Markov

d. Membuat tabel jumlah pengguna bibit kelapa sawit dari masing-masing

merek

e. Membuat tabel pola perpindahan penggunaan merek dari satu merek ke

merek lainnya

f. Membuat Matriks Probabilitas Transisional.

g. Menghitung Peluang state t langkah peralihan.

p(t) = p(0)pt−1

Dimana

) (t

P = Vektor pembagian state pada waktu t

0

P = Vektor pembagian state awal

1

−

t

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pengantar

Proses stokastik merupakan suatu cara untuk mempelajari hubungan yang dinamis

dari suatu runtunan peristiwa atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti.

Dalam memodelkan perubahan dari suatu sistem yang mengandung

ketidakpastian seperti pergerakan harga saham, banyaknya klaim yang datang ke

suatu perusahaan asuransi, keadaan cuaca, dan lain sebagainya, proses stokastik

banyak digunakan didalam kehidupan sehari-hari..

2.2 Data

2.2.1 Defenisi

Data adalah suatu sumber informasi yang diketahui atau diasumsikan untuk

memberikan suatu gambaran mengenai suatu keadaan. Syarat data yang baik

adalah yang memenuhi persyaratn berikut ini :

a. Objektif

b. Representatif

c. Standard errornya kecil

Data terbagi atas dua jenis yaitu :

a. Data kuntitatif adalah data yang berbentuk bilangan atau angka, harganya

berubah-ubah dan bersifat variabel

b. Data kualitatif adalah data yang berbentuk suatu kategori.

Data dapat diklasifikasikan berdasarkan pengumpulan data yaitu :

a. Data primer adalah data yang diperoleh langsung dari sumber pertama

baik dari individu maupun perorangan seperti hasil wawancara atau hasil

pengisian kuesioner yang dilakukan oleh peneliti.

b. Darta sekunder adlah data primer atau data dalam bentuk jadi biasanya

telah dikelola oleh pihak lain.

2.3 Matriks

2.3.1 Defenisi Matriks

Matriks ialah suatu kumpulan angka-angka Atau sering disebut elemen-elemen

yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi

panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya kolom dan baris

yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks A yang berukuran pxq dapat

ditulis :

   

 

   

  =

pq p

p

q q

a a

a

a a

a

a a

a

A

    

 

2 1

2 22

21

1 12

11

Atau dapat disingkat dengan :

( )

aij

A= , dimana i = 1,2,3,...p dan j = 1,2,3,...q.

Matriks diatas disebut matriks tingkat pxq atau disingkat matriks pxq karena

sedangkan indeks i dan j berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen

ij

a terdapat pada baris ke-i, kolom ke-j.

2.3.2 Teorema Matriks

Berikut beberapa teorema dari matriks :

a. Jika A=

( )

a_ij danB=

( )

b_ij yang berukuran sama pxq, maka

) (a_ij b_ij B

A+ = +

b. Jika A=

( )

a_ij merupakan matriks berukuran pxq dan k adalah skalar, maka

( )

kaij

A

k. =

c. Jika A=

( )

aij matriks berukuran pxn dan B=

( )

bij matriks berukuran nxq

maka perkalian matriks A dan B berlaku apabila jumlah kolom matriks A

sama dengan jumlah baris matriks B.

d. Jika A=

( )

aij dan B=

( )

bij keduanya merupakan matriks berukuran pxq maka

:

A=B, jika aij =bij untuk semua nilai i dan j.

A≥B; jika a_ij ≥b_ij untuk semua nilai i dan j. A>B; jika a_ij >b_ij untuk semua nilai i dan j.

Demikian juga halnya untuk A≤B dan A<B.

e. Matriks bujur sangkar adalah matriks dimana banyaknya baris sama dengan

banyaknya kolom.

   

 

   

  =

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

    

 

2 1

2 22

21

1 12

11

f. Matriks Identitas I adalah matriks bujur sangkar dimana elemen di n

mempunyai nilai entry 1. Sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol. Untuk

n = 3, matriks identitasnya adalah :

  

 

  

  =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

I

g. Matriks Transpos adalah matriks jika baris dan kolom dari suatu matriks pxq

dipertukarkan ( baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya ), maka

diperoleh suatu matriks qxp yang disebut transpos. Jika matriks A adalah :

  

 

  

  =

32 31

22 21

12 11

a a

a a

a a A

maka transpose dari matriks A dinotasikan dengan A yaitu : T

  

 =

32 22 12

31 21 11

a a a

a a a AT

2.3.3 Operasi Matriks

a. Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika kedua matriks identik. Artinya kedua

matriks tersebut mempunyai orde yang sama dan elemen – elemen yang

berkesesuaian sama. Jadi Matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika

ij ij b

b. Jumlah dan Selisih Matriks

Matriks – matriks yang mempunyai ukuran sama dapat diambil jumlah atau

selisihnya. Jumlah atau selisih dari dua matriks berukuran pxq yakni matriks A

dan B adalah matriks C dengan ukuran yang sama. Jadi :

C B

A± =

Dimana setiap elemen dari matriks C adalah :

ij ij

ij a b

c = ±

Hal ini dapat diperluas untuk beberapa matriks yang mempunyai ukuran sama.

Jadi untuk matriks A, B dan C berlaku :

A±B±C =D dimana d_ij =a_ij ±b_ij ±c_ij

c. Pergandaan Matriks dengan Skalar

Jika suatu matriks A digandakan dengan skalar k dimana (k ≠0)ditulis kA, maka

matriks B yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A dengan skalar

k. Jadi B=

( )

kA dimana bij =kaij untuk semua i dan j.

d. Sifat – sifat pokok Matriks terhadap Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar.

Jika A, B dan C merupakan matriks yang mempunyai dimensi sama serta skalar

0 , 2

1 k ≠

k , maka :

a. A+B=B+A, dinamakan sifat Komutatif

b. A+(B+C)=(A+B)+C, dinamakan sifat Asosiatif

d. (k₁ +k₂)A=k₁A+k₂A

e. (k₁k₂)A=k₁(k₂A)

f. A+0= A, 0 adalah matriks nol

g. A+(−A)= A−A=0

h. 1A= Adan 0A=0

i. Terdapat matriks D sedemikian sehingga A+D=B. Dan dari sifat d dan sifat

h

dapat diturunkan bahwa :

A A

A+ =2 , A+A+A=3A, dan seterusnya.

e. Pergandaan dua Matriks atau lebih.

Pergandaan dari dua matriks atau lebih dapat dilakukan jika banyak kolom dari

matriks pengali sama dengan banyak baris matriks yang dikali. Dengan kata lain

hasil perkalian dari matriks A yang berukuran pxn dan matriks B yang berukuran

nxq adalah matriks C yang berukuran pxq dimana elemen – elemen dari matriks C

merupakan jumlah hasil ganda elemen – elemen yang bersesuaian dari matriks A

baris ke i dengan kolom j dari matriks B. Jadi elemen matriks C dapat ditulis :

( )

∑

=

=

= q

k

kj ik

ij a b

c C

1

dimana i = 1,2,...p dan j = 1,2,...q.

f. Sifat – sifat pokok Pergandaaan Matriks.

Andaikan matriks A, B dan C dapat digandakan dan k (k ≠0)adalah skalar, maka dapat diturunkan sifat – sifat sebagai berikut :

1.(AB)C = A(BC), dinamakan sifat Asosiatif

4.k(AB)=(kA)B= A(kB)

5.AB=0, tidak perlu harus A=0atau B=0

6.AB=BC, tidak perlu harus B=C

7.0A=0 dan B0=0, 0 adalah matriks nol

2.4 Probabilitas

Probabilitas mempunyai banyak persamaan seperti kemungkinan, kesempatan dan

kecenderungan. Probabilitas menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu

peristiwa yang bersifat acak. Suatu peristiwa disebut acak jika terjadinya peristiwa

tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, probabilitas dapat

digunakan sebagai alat ukur terjadinya peristiwa di masa yang akan datang.

Nilai probabilitas yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa peristiwa tersebut

pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai probabilitas yang terbesar adalah 1 yang

berarti bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi. Secara umum, nilai

probabilitas suatu peristiwa A adalah :

0≤ Pr( A)≤1

2.4.1 Definisi Probabilitas

Definisi mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan. Yaitu

pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif.

A. Pendekatan Klasik

Menurut pendekatan klasik, probabilitas didefinisikan sebagai hasil bagi

Dirumuskan :

) (

) ( ) Pr(

S n

A n

A = ( 2.1 )

dimana :

Pr( A = probabilitas terjadinya peristiwa A )

n( A) = jumlah peristiwa A

n(S) = jumlah peristiwa yang mungkin.

B. Pendekatan Frekuensi Relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat didefinisikan sebagai

berikut:

1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika

kondisi stabil.

2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai probabilitas

Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai

probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut.

Dirumuskan :

n f x

X ) lim

Pr( = = , untuk n→∞.

Dimana :

)

Pr(X =x = probabilitas terjadinya peristiwa x

f = frekuensi peristiwa x

C. Pendekatan Subjektif

Menurut pendekatan subjektif, probabilitas didefinisikan sebagai tingkat

kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau

peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja. Seorang direktur akan

memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan.

Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan.

Probabilitas tertinggi ( kemungkinan diterima ) menjadi karyawan ditentukan

secara subjektif oleh sang direktur.

2.4.2 Probabilitas Beberapa Peristiwa

A. Probabilitas Saling Lepas ( Mutually Exclusive )

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih

peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua

peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B = A + B .

Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling lepas, maka probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B∪C = A + B + C

Sehingga dapat disimpulkan, untuk n buah peristiwa yang saling lepas,

maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( )... Pr( ) Pr( ) Pr( ) ...

B. Probabilitas Tidak Saling Lepas ( Non Mutually Exclusive )

Dua atau lebih peristiwa dikatakan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau

lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua

peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah :

) Pr(

) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B = A + B − A∩B

Untuk tiga peristiwa A ,B dan C yang tidak saling lepas, maka probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr(

) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )

Pr(A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C

C. Probabilitas Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang

satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya.

Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling bebas, probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ). Pr( )

Pr(A∩B = A B

Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling bebas probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ). Pr( ). Pr( )

D. Probabilitas Tidak Saling Bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila terjadinya

peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang

lainnya.Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr( ). Pr( )

Pr(A∩B = A BA

Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas, probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah :

) (

Pr( ) Pr( ). Pr( )

Pr(A∩B∩C = A BA C A∩B

E. Probabilitas Bersyarat

Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan syarat

peristiwa lain telah terjadi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, maka

probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

) Pr(

) Pr(

) Pr(

A A B A

B = ∩

F. Probabilitas Komplementer

Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa

A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut

adalah :

Yang juga berarti bahwa :

Pr(A)=1−Pr(B)

Pr(B)=1−Pr(A).

2.5 Teorema Bayes

Misalkan S adalah Ruang sampel dari kejadian. B1,B2,...,B_n adalah kejadian

didalam S dimana B₁,B₂,...,B_n adalah kejadian saling lepas dan membentuk partisi didalam S

Jika B₁,B₂,...,B_n membentuk partisi dalam S dan A adalah peristiwa lain dalam S maka

(

A∩B1

) (

, A∩B2

) (

, A∩B3

) (

,..., A∩Bn

)

akan membentuk partisi sehingga :

A=

(

A∩B₁

) (

∪ A∩B₂

) (

∪ A∩B₃

) (

,..., A∩B_n

)

(2.2)

Karena kejadian-kejadian secara eksklusif secara bersama-sama maka :

P

( ) (

A =P A∩B1

) (

+P A∩B2

) (

+P A∩B3

)

+...+P

(

A∩Bn

)

P

( ) ( ) (

A =P B₁ P A/B₁

) ( ) (

+P B₂ P A/B₂

)

+...+P

( ) (

B_n P A/B_n

)

( )

( ) (

_j

)

n

i j

j P A B

B P A

P

∑

/

=

=

(2.3)

Dengan demikian akan didapat :

(

) (

)

( )

A P

B A P A B

P i i

∩ =

/

(

) ( )

( )

A P

B P B A

P / i i

(

) ( )

( ) (

)

(

(

)

( ) (

n n

)

)

i i

B A P B P B

A P B P B a P B P

B P B A P

/ ....

/ /

/ 2 2

1

1 + +

=

Sehingga :

(

)

(

) ( )

( ) (

)

∑

₌

= n

j

j j

i i i

B A P B P

B P B A P A B P

1

/ /

/

(2.4)

Jika A i = 1,2,...,n maka peluang kondisional i, A dengan syarat n A1,A2,...,An−1

telah terjadi sebelumnya ialah :

(

) (

)

(

1 2 1

)

2 1 1

2 1

,...., ,

... ,...,

, /

− − = ∩ ∩

n n n

n

A A A P

A A

A P A

A A A P

atau dapat ditulis juga :

(

A1∩A2,...,∩An

) ( ) (

=P A1 P A2/A1

) (

P A3/A1∩A2

) (

...P An /A1∩A2 ∩...An−1

)

P

(2.5)

Sifat yang paling mendasar adalah bahwa tiap-tiap barisan kejadian merupakan

kejadian yang hanya tergantung pada kejadian sebelumnya yaitu A_j+1 tergantung pada A akan tetapi _j A_j+1 tidak tergantung pada A_j−1,A_j−2,...,A₁ maka persamaan ini dengan asumsi diatas dapat disederhanakan menjadi

(

A1∩A2,...,∩An

) ( ) (

=P A1 P A2/A1

) (

P A3/A2

) (

....P An /An−1

)

2.6 Rantai Markov

2.6.1 Definisi Rantai Markov

Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas

yang melibatkan waktu dan lebih dikenal sebagai proses Stokastik. Rantai

Markov merupakan proses Stokastik dari variabel-variabel acak

{

X_t;t=0,1,2,3...

}

yang membentuk suatu deret dan memenuhi sifat Markov.

2.6.2 Sifat Markov

Dalam sifat Markov, jika diberikan kejadian - kejadian yang telah berlalu ( past

states) X₀,X₁,X₂,...,X_t−1 dan kejadian yang sedang berlangsung ( present state )

t

X , maka kejadian yang akan datang ( future state )X_t+1 bersifat bebas (

independen ) dari kejadian-kejadian yang telah berlalu ( past state )

1 2

1

0 X X Xt−

X , , ,..., . Artinya kejadian yang akan datang ( future state ) Xt+1 hanya

bergantung pada kejadian yang sedang berlangsung ( present state) X . _t

Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai waktu ke t, maka

distribusi nilai proses dari waktu ke t+1 hanya bergantung pada nilai dari proses

pada waktu t.

Secara umum dapat dituliskan :

) Pr(

) ,

,..., ,

Pr(X_t+1=iX₀= j₀ X₁= j₁ X_t−1= j_t−1 X_t = j_t = X_t+1=iX_t = j (2.7)

2.6.3 Asumsi – asumsi Dasar Rantai Markov

Penggunaan rantai Markov terhadap suatu masalah memerlukan pemahaman

tentang tiga keadaan yaitu keadaan awal, keadaan transisi dan keadaan

terpenting. Oleh karena itulah asumsi – asumsi dalam rantai Markov hanya

berhubungan dengan keadaan transisi.

Asumsi – asumsi dalam rantai Markov adalah sebagai berikut :

a. Jumlah probabilitas transisi keadaan adalah 1

b. Probabilitas transisi tidak berubah selamanya.

c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang, bukan

pada periode sebelumnya.

2.6.4 Keadan Awal Rantai Markov

Keadaan pada rantai Markov ditulis dalam bentuk vektor yang dinamakan vektor

keadaan. Vektor keadaan untuk suatu pengamatan rantai Markov dengan n

kejadian adalah vektor kolom dengan n baris. Untuk keadaan awal, vektor pada

rantai Markov adalah keadaan ataupun probabilitas yang terjadi pada waktu yang

sedang berlangsung dan dinotasikan dengan X . ₀

Dapat dituliskan :

    

 

    

  =

n

x x x

X

, , ,

0 2 0

1 0 0



2.6.5 Keadaan Transisi dan Probabilitasnya

Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan ( status ) ke keadaan lain

pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses acak dan

dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Probabilitas ini dikenal sebagai probabilitas

periode berikutnya. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal diberikan

perubahan melalui suatu matriks yang disebut matriks probabilitas transisi

Jika rantai Markov mencapai situasi satsuoner maka probabilitas tersebuttidak lagi

bergantung pada t, sehingga dituliskan besaran probabilitas sebagai P . Dengan _ij

demikian maka probabilitas proses berpindah dari status i ke status j homogen

dalam waktu. Jadi kita dapat mendefenisikan seluruh probabilitas proses dalam

bentuk matriks P.

00 01 02 0

10 11 12 1

. . .

. . .

. . .

0 1 2

. . . .

. . . .

. . . .

... ... ... ...

... ... j

i

i i i ij

p p p p

P p p p p

p p p p

 

 

 

 

 

 

=  

 

 

 

 

 

 

Yang disebut sebagai matrik probabilitas transisi (disingkat matriks transisi) dari

rantai Markov. Jika jumlah status adalah berhingga yaitu t maka matriks transisi

ini akan berukuran t baris x t kolom. Seriap elemen matriks P adalah positif _ij

(P_ij ≥0, untuk setiap i,j = 0, 1, 2, ...). Total Probabilitas dalam setiap baris adalah

1 (

0

1

ij j

p

∞ = =

∑

, untuk setiap baris i = 0, 1, 2, ...).

2.7 Persamaan Chapman- Kolmogorov

Persamaan Chapman Kolmogorov merupakan sebuah metode untuk

menghubungkan peluang peralihan t langkah yang berurutan. Untuk dapat

0

t m t m

ij ik kj

k

P P P

∞ +

=

=

∑

(2.8)

P = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah t langkah dan diketahui _ikt

sebelumnya telah berada dalam state i

m kj

P = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah m langkah dan diketahui

sebelumnya telah berada dalam state k

t m ij

P + = Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah t+m langkah.

Dengan menggunakan persamaan Chapman Kolmogorov kita dapat membuktikan

bahwa P( )t =Pt matriks peluang peralihan t langkah

( )

P sama dengan matriks t

peluang peralihan satu langkah pangkat t.

Jika α_iP

(

X

₀=i

)

(

0 0, i 1,... t 1 t 1, t t

)

P

X

=

i

X

=

i

X

₋ =

i

₋

X

=

i

1 ,

0 1 1 2...

t it

i i i i _i

P P

P

₋

=

( )2

0 ,

k

ij ik kj

P

=

∑

∞=

P P

,

( )1

0 ,

t t

k

ij ik kj

P

=

∑

∞=

P P

− ,

( ) _{( ) ( )}

0

t m t m

k ik kj ij

p

+ =

∑

∞=

P P

,

( )t m ( ) ( )t m

P

+ =

P P

,

( )t t

P

=

P

,

(

)

( )

0

t k

t ij

P j

i

Maka,

(

0 0, 1 1,..., t 1 t 1, t t

)

P

X

=

i

X

=

i

X

₋ =

i

₋

X

=

i

(

0 0

)

(

1 1 0 0

) (

2 2 0 0, 1 1

)

P

X

=

i

P

X

=

i

X

=

i

P

X

=

i

X

=

i

X

=

i

(

0 0 1 1 1 1

)

...P

X

_t=

i

_t

X

=

i

,

X

=

i

,...

X

_t− =

i

_t−

(

0 0

)

(

1 1 0

)

(

2 2 1 1

)

(

1 1

)

1, 2... 1,

t t t t

i i it it

P

X

i

P

X

i

X

P

X

i

X

i

P

X

i

X

i

P

P

− − −

= = = = = = =

=

,

Untuk 0 < t < m,

(

0 , t , m

)

P

X

=i

X

= j

X

=k

(

0

)

(

t 0

) (

m 0 , t

)

P

X

i P

X

j

X

i P

X

k

X

i

X

k

= = = = = = =

(

)

(

) (

)

( )

( ) ( )

0 0

t m t

t m t ij jk

P

X

i P

X

j

X

i P

X

k

X

k α i

P P

−

= = = = = = =

( )

(

)

(

)

(

)

0 0

0

, ,

t m t t m

ij t m

P i k j

P j i

P i

X

X

X

P

X

X

X

+ +

+

= = =

= = = =

=

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

0 0

t m

kj t m

ik

k k ik kj

i

i P P

P P

α

α

∞ ∞

==

==

∑

∑

Sehingga

(

)

(

)

(

)

( )

0 0 0 0

t

i i

t t ij

Sifat Matriks:

( ) ( )1

.

t

t

P P

P

= −

Yaitu peluang peralihan dari tahap i ke j adalah elemen dari matriks transisi Pt atau :

Kejadian perpindahan dari tahap i ke j dalam n langkah dapat dipandang dengan cara yang saling lepas dimana pada langkah pertama menuju tahap k (k = 0,1, ...), selanjutnya dari tahap j dalam sisanya (t -1) langkah (peralihan). Karena sifat

rantai Markov maka peluang pada langkah ke dua adalah

P

( )_kjt−1 dimana peluang pada langkah 1 adalah

P

_ik. dengan menggunakan sifat peluang total. Tahapan

tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

(

)

( )

0 t

ij P t j i

P

=

X

=

X

=

(

1 0

)

0

,

t k

P

X

j

X

k

X

i

∞ =

=

∑

= = =

(

_{1 0}

)

0

,

t k

P

X

j

X

k

X

i

∞ =

=

∑

= = = P

(

X

1=k

X

0=i

)

(

₁

)

0

t k

P

X

j

X

k

∞ =

=

∑

= = P

(

X

1=k

X

0=i

)

( )1

0

t ik kj

k

P P

∞ ₋

=

=

∑

Jika dilakukan induksi t = 1 dan m = t-1 maka persamaan (2.8) menjadi :

∑

∑

= =

− − ₌

=

0 0

1 1

k k

kj t ik t

kj ik t

ij P P P P

P

dengan t ij

P adalah anggota atau elemen dari matriks P dan t P dan ik

1

−

t kj

P anggota

dari matrik P. Persamaan diatas memperlihatkan peluang peralihan t langkah

dapat diperoleh dari peluang beralih satu langkah. Misalkan untuk t = 2

∑

∑

∑

= = = =

=

0 0 0

k k

kj ik

ik kj

ik t

ij P P P P

karena Pij2 merupakan elemen dari matriks 2

P , P dan ik

1

−

t kj

P elemen dari matriks

P, maka P2 = P.P yaitu perkalian matriks peralihan satu langkah dengan matriks

itu sendiri. Untuk t langkah secara umu dapat diperoleh :

t t t t t

P P P P P P P P P

P = . .... = = . −1 = −1. =

Sehingga dapat dikatakan bahwa peluang peralihan t langkah dapat diperoleh

dengan memangkatkan t, matriks beralih satu langkah.

2.8 Peluang State t langkah

2.8.1 Defenisi

Andaikan Pt =

(

P₀t,P₁t,...

)

adalah vektor peluang state setelah t langkah maka P_jt, vektor peluang statenya adalah P yaitu vektor peluang berada pada state j jt

setelah t langkah dengan n≥1,j∈E

(

)

∑

(

)

= = =

= = =

0

0

,

i t t

t

j P x j P x j x i

P

P

(

x i

) (

P x_t j x j

)

o i

= =

= =

∑

= 0 0

\

∑

=

= 0

0 i

t ij i P

P (2.9)

Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah t

langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan (2.9) dapat

dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk t = 1

P1 =P0P

atau

(

)

∑

(

)

= = − =

= = =

0

1

,

i

t t t

t

j P x j P x j x i

P

P

(

x i

) (

P xt j xt j

)

o i

t = = =

= −

= −

∑

1 \ 1

∑

= −

= 0

1 i

ij t i P

P (2.10)

Persamaan diatas menyatakan bahwa peluang proses berada pada state j setelah t

langkah dengan mengabaikan state awalnya yaitu state i. Persamaan (2.10) dapat

dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, untuk t = 1

( )0 ( )0 2 1

2 0 1

P P PP P P P P

P P P

= =

= =

Dapat disimpulkan vektor peluang state dalam t langkah diperoleh dengan

mengalikan statei awal P( )0 dengan matriks satu langkah pangkat t.

Pt =Pt−1Pt =P( )0 Pt, n≥1

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Penerapan di Bidang Pertanian

Aplikasi Rantai Markov di bidang pertanian paling banyak digunakan dibidang

sosial ekonomi. Sebagai statenya antara lain adalah banyaknya jumlah produksi

industri pertanian, lokasi industri pertanian, pertumbuhan ekonomi, pembangunan

pertanian, struktur pasar dan berbagai jenis merek suatu produk pertanian. Seperti

yang dijelaskan pada bab yang sebelumnya, rantai Markov atau proses Markov

akan digunakan untuk menganalisa data yang diperoleh dalam penulisan skripsi

ini. Data yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah peluang perpindahan

penggunaan suatu merek bibit kelapa sawit ke merek yang lainnya.

Untuk memperjelas aplikasi Rantai Markov tersebut, akan diberikan ilustrasi pada

berbagai merek bibit kelapa sawit. The American Marketing Association dalam

Basu Swasta (1980) mengartikan merek sebagai suatu nama, istilah, simbol,

disain, atau kombinasinya sebagai tanda pengenal produk atau jasa suatu penjual

yang membedakan dengan produk-produk lainnya.

Dasar pemilihan merek adalah faktor-faktor lingkungan yang mendorong

Merek Bibit Kelapa Sawit yang Dipilih :

Dari data yang diperoleh menunjukkan merek-merek bibit kelapa sawit yang

digunakan oleh petani adalah seperti tabel berikut :

Tabel 3.1 Merek Bibit Kelapa Sawit dan Jumlah Pengguna

No Merek Pengguna (Petani) Proporsi

1 DxP Marihat 43 56,58%

2 Dxp Yangambi 14 18,42%

3 Dxp La Me 8 10,53%

4 DxP Dolok Sinumbah 2 2,63%

5 DxP Bah jambi 2 2,63%

6 DxPAvros 1 1,32%

7 Lainnya 6 7,89%

Jumlah 76

[image:40.595.158.493.248.443.2]

Sumbe

Tabel tersebut memperlihatkan bahwa 3 merek yang paling digemari yaitu DxP

Marihat (56,58%), DxP Yangambi (18,42%), DxP La Me (10,53%). Urutan

berikutnya DxP Dolok Sinumbah dan DxP Bah jambi masing-masing dipilih oleh

2 petani atau 2,63%, sisanya DxP Avros dan sementara lainnya merupakan

gabungan dari beberapa merek yang diminati hanya oleh satu orang petani saja.

Alasan yang dikemukakan oleh petani dalam memilih merek Bibit Kelapa Sawit

Tabel 3.2 Alasan Pengguna (Petani) Memilih Merek Bibit Kelapa Sawit

N

o

Alasan

Memilih

Merek

Marihat

Avros

Yangambi Dolok

Sinum

bah

Bah

jambi La Me

Lainnya

1 Sekedar

Mencoba

1 1 3 - 1 1 1

2 Kandungan

Minyak

3 - 1 1 - - -

3 Mudah

didapat

- - 1 - - 2 2

4 Harganya

Murah

8 - 4 - - 3 1

5 Bersertifikat 28 - 4 - 1 1 -

6 Anjuran

orang lain

2 - 2 1 - - -

7 Umur mulai

berproduksi

1 - - - -

8 Berat tandan - - - 1 1

Total

Pengguna

43 1 15 2 2 8 5

Konsumen banyak menggunakan DxP Marihat karena Bersertifikat dan harganya

murah. Demikian juga DxP Yangambi dipilih karena bersertifikat, harganya

murah dan sekedar mencoba-coba. Sedangkan DxP La Me dibeli karena harganya

murah dan mudah didapat. Merek lainnya juga dipilih karena mudah diidapat.

Perpindahan dalam Memilih Merek Bibit Kelapa Sawit

Selera konsumen selalu berubah dalam menggunakan suatu produk. Perpindahan

merk Bibit Kelapa Sawit adalah gejala yang umum terjadi dikalangan Petani

konsumen dari satu merek Bibit Kelapa Sawit ke merek lainnya dapat dilihat pada

tabel-tabel berikut ini :

Tabel 3.3 Memperlihatkan DxP Marihat sebagai merek yang paling diminati, saat

ini digunakan oleh 43 orang dari 76 pengguna akan tetapi sebelumnya dimiati

oleh 49 orang atau telah berkurang 6. Ini karena DxP Marihat memperoleh

tambahan dari merek lain 14 dan berpindah ke merek lainnya sebanyak 20 orang.

DxP Avros yang semula dipilih oleh 6 orang, saat ini tinggal 1 orang, karena 5

orang berpindah ke merek lain

DxP Yangambi yang semula 10 orang saat ini digunakan oleh 14 orang atau

bertambah 4 orang, ini disebabkan ada yang berpindah dari merek lain 9 orang,

tetapi keluar memilih merek lain 5 orang.

DxP Dolok Sinumbah semula dimiliki oleh 3 orang memperoleh tambahan 2

orang akan tetapi pindah ke merek lain 3 orang.

DxP Bah jambi semula 1 orang, saat ini menjadi 2 orang. Sementara itu DxP La

Me saat ini dimiliki oleh 8 orang atau naik 2 orang dibanding sebelumnya, hal ini

Tabel 3.3 Jumlah Pengguna Bibit Kelapa Sawit saat ini dan sebelumnya

No Merek Bibit

Kelapa Sawit

Pengguna

Sebelumnya

Perolehan Kehilangan Pengguna

Saat ini

1 DxP Marihat 49 14 20 43

2 Dxp Avros 6 0 5 1

3 Dxp Yangambi 10 9 5 14

4 DxP Dolok

Sinumbah

3 2 3 2

5 DxP Bah jambi 1 2 1 2

6 DxP La M e 6 6 4 8

7 Lainnya 1 5 0 6

Total 76 38 38 76

Secara lebih rinci perolehan dan kehilangan konsumen pada setiap merek bibit

Tabel 3.4 Perolehan dan Kehilangan Konsumen pada Berbagai Merek Bibit Kelapa Sawit

Merek

Bibit

Kelapa

Sawit

Perolehan Kehilangan

Mar

iha

t

A

vr

os

Y

anga

m

bi

D

ol

ok S

inum

ba

h

B

ah j

am

bi

L

a Me

L

ai

nnya

Mar

iha

t

A

vr

os

Y

anga

m

bi

D

ol

ok S

inum

ba

h

Ba

h

ja

mbi

L

a Me

L

ai

nnya

Marihat - 3 5 2 1 3 0 - 0 7 2 2 4 5

Avros 0 - 0 0 0 0 0 3 - 1 0 0 1 0

Yangam

bi

7 1 - 0 0 1 0 5 0 - 0 0 0 0

Dolok

Sinumba

h

2 0 0 - 0 0 0 2 0 0 - 0 1 0

Bah

jambi

2 0 0 0 - 0 0 1 0 0 0 - 0 0

La Me 4 1 0 1 0 - 0 3 0 1 0 0 - 0

Lainnya 5 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 -

Jumlah

20 5 5 3 1 4 0 14 0 9 2 2 6 5

[image:44.595.113.547.145.552.2]

Kehilangan Perolehan

Tabel di atas menunjukkan bahwa DxP Marihat memperoleh tambahan orang

yaitu berasal dari DxP Avros 3, dari DxP Yangambi 5, dari DxP Dolok Sinumbah

2, dari DxP Bah jambi 1, dan dari DxP La Me 3, Sedangkan yang berpindah

sebanyak 20 orang yaitu ke DxP Yangambi 7, Ke DxP Dolok Sinumbah 2, ke

DxP Bah jambi 2, ke DxP La Me 4 dan ke lainnya 5 orang. Demikian seterusnya

untuk merek-merek lainnya dapat dibaca secara horizontal dari kiri ke kanan.

Sedangkan angka total dibagian bawah menunjukkan jumlah kehilangan dan

5 1

1 7 2

1

3 5

4 2

1 1

3 2

[image:45.595.124.492.96.650.2]

1

Gambar 3.4 Perpindahan Konsumen pada Berbagai Merek Bibit Kelapa Sawit

D x P Dolok Sinumba

h 2 D x P

Marihat 43

Lainnya 6

D x P La Me

8

D x P Bah Jambi

2 D x P

Yangam bi 14

D x P Avros

Tabel 3.5 Merupakan tabel yang memperlihatkan pola perpindahan penggunaan

merek dari satu merek ke merek lainnya. Baris (horizontal) merupakan merek

yang dipilih sebelumnya dan kolom (vertikal) sebagai merek tujuan atau yang

dipilih saat ini. Sebagai contoh DxP Marihat yang saat ini berjumlah 43 orang itu

berasal dari konsumen yang loyal 29 orang, berpindah dari DxP Avros 3 orang,

dari DxP Yangambi 5, dari dolok Sinumbah 2, dari DxP Bah jambi, dan dari DxP

La Me 3. Atau pelanggan DxP Marihat yang berpindah ke merek lain adalah 7

orang ke DxP Yangambi, 2 ke DxP Dolok Sinumbah, 2 ke DxP Bah jambi, 4 ke

DxP La Me,dan 5 ke merek lainnya.

Pengguna DxP Yangambi saat ini berjumlah 14 orang yaitu 5 orang yang loyal,

pindahan dari DxP Marihat 7, dari DxP Avros 1, dan dari DxP La Me 1.

Yang menarik adalah bahwa setiap merek memiliki konsumen yang loyal seperti

DxP Marihat 29 orang, DxP Avros 1 orang, DxP Yangambi 5 orang, DxP La Me

[image:47.595.115.548.148.458.2]

Tabel 3.5 Pola Perpindahan Penggunaan Merek Bibit Kelapa Sawit

D

a

r

i

M

e

r

e

k

Merek Bibit

Kelapa sawit

Ke Merek

Mar

iha

t

A

vr

os

Y

anga

m

bi

Do

lok

S

inum

ba

h

B

ah j

am

bi

L

a Me

L

ai

nnya

P

engguna

S

ebe

lum

nya

Marihat 29 0 7 2 2 4 5 49

Avros 3 1 1 0 0 1 0 6

Yangambi 5 0 5 0 0 0 0 10

Dolok

Sinumbah

2 0 0 0 0 1 0 3

Bah jambi 1 0 0 0 0 0 0 1

La Me 3 0 1 0 0 2 0 6

Lainnya 0 0 0 0 0 0 1 1

Pengguna

Saat ini

43 1 14 2 2 8 6 76

Bila diasumsikan bahwa pergeseran diantara merek bibit kelapa sawit dianggap

stabil maka dapat dibuat probabilitas transisinya seperti pada tabel 3.6 dibawah

[image:48.595.113.556.164.425.2]

Tabel 3.6 Probabilitas Transisi

Dari

Ke Merek

Marihat Avros Yangambi Dolok

Sinumbah

Bah

jambi

La

Me

Lainnya

Marihat 0,59 0,00 0,14 0,04 0,04 0,08 0,10

Avros 0,50 0,17 0,17 0,00 0,00 0,17 0,00

Yangambi 0,50 0,00 0,50 0,00 0,00 0,00 0,00

Dolok

Sinumbah

0,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,33 0,00

Bah jambi 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

La Me 0,50 0,00 0,17 0,00 0,00 0,33 0,00

Lainnya 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00

Market Share 0,57 0,01 0,18 0,03 0,03 0,11 0,08

Dari tabel 3.6 dapat dilihat bahwa pelanggan DxP Marihat yang loyal adalah 59%,

berpindah dari DxP Marihat ke DxP Yangambi 14%, ke DxP Bah jambi 4%, ke

DxP La Me 8% dan ke merek lain 10%.

Pelanggan DxP Avros yang pindah ke DxP Marihat 50%, pelanggan yang loyal

17%, berpindah ke DxP Yangambi 17%, dan ke DxP La Me 17%.

Pelanggan DxP Yangambi yang berpindah ke DxP Marihat 50%, pelanggan loyal

50%. Pelanggan DxP Dolok Sinumbah yang pindah ke DxP Marihat 67%dan ke

DxP La Me 33%. DxP Bah jambi 100% pindah ke DxP Marihat dan DxP La Me

pindah ke DxP Marihat 50 %, ke DxP Yangambi 17% dan yang loyal 33%.

Sedangkan baris paling bawah menunjukkan pangsa pasar saat ini untuk semua

Berdasarkan data pada tabel diatas maka diperoleh sebuah matriks transisi satu

langkah dengan merek bibit kelapa sawit sebagai state spacenya {1, 2, 3, 4, 5, 6,

7}                       = 00 , 1 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 1 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 67 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 17 , 0 50 , 0 10 , 0 08 , 0 04 , 0 04 , 0 14 , 0 00 , 0 59 , 0 p

3.2 Matriks Transisi Empat Langkah

Karena telah diperoleh matriks transisi satu langkah maka dengan menggunakan

rumus Chapman Kolmograv bahwa p(t) = ptyaitu p diperoleh dengan t

mengalikan matriks transisi P sebanyak n kali diman n = 1,2,3,4.

                      = 00 , 1 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 1 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 67 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 17 , 0 50 , 0 10 , 0 08 , 0 04 , 0 04 , 0 14 , 0 00 , 0 59 , 0 p

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi p yaitu 2

                      = 0000 , 1 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0500 , 0 1489 , 0 0200 , 0 0200 , 0 2111 , 0 0000 , 0 5450 , 0 1000 , 0 0800 , 0 0400 , 0 0400 , 0 1400 , 0 0000 , 0 5900 , 0 0670 , 0 1625 , 0 0268 , 0 0268 , 0 1499 , 0 0000 , 0 5603 , 0 0500 , 0 0400 , 0 0200 , 0 0200 , 0 3200 , 0 0000 , 0 5450 , 0 0500 , 0 1250 , 0 0200 , 0 0200 , 0 2128 , 0 0289 , 0 5500 , 0 1590 , 0 0868 , 0 0236 , 0 0236 , 0 1662 , 0 0000 , 0 5249 , 0 p

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi p yaitu 3

matriks transisi P tahun ketiga

                      = 0000 , 1 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 1578 , 0 0826 , 0 0212 , 0 0212 , 0 1951 , 0 0000 , 0 5051 , 0 2114 , 0 0748 , 0 0264 , 0 0264 , 0 1711 , 0 0000 , 0 4755 , 0 1088 , 0 0850 , 0 0210 , 0 0210 , 0 1830 , 0 0000 , 0 4950 , 0 1579 , 0 0708 , 0 0213 , 0 0213 , 0 2070 , 0 0000 , 0 5052 , 0 15898 , 0 0832 , 0 0214 , 0 0214 , 0 1975 , 0 0008 , 0 5144 , 0 2588 , 0 0706 , 0 0188 , 0 0188 , 0 1654 , 0 0000 , 0 4404 , 0 p

Dengan diketahui matriks P maka dapat diramalkan matriks transisi p yaitu 4

matriks transisi P tahun keempat

                      = 0000 , 1 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 0000 , 0 3390 , 0 0596 , 0 0161 , 0 0161 , 0 2923 , 0 0000 , 0 3830 , 0 3820 , 0 0562 , 0 0152 , 0 0152 , 0 1385 , 0 0000 , 0 3608 , 0 5978 , 0 0581 , 0 2163 , 0 2163 , 0 1434 , 0 0000 , 0 3330 , 0 3403 , 0 0594 , 0 1053 , 0 1053 , 0 1475 , 0 0000 , 0 3832 , 0 3423 , 0 0602 , 0 0164 , 0 0164 , 0 1491 , 0 0000 , 0 3879 , 0 4141 , 0 0514 , 0 0138 , 0 0138 , 0 1273 , 0 0000 , 0 3312 , 0 p

Dari matriks yang diperoleh maka dapat diketahui bahwa peluang perpindahan

3.3 Peluang state t langkah

Dengan diketahui matriks P, maka berdasarkan vektor awal dapat diprediksi

vektor distribusi perpindahan merek bibit kelapa sawit dengan menggunakan

rumus Chapman Kolmogorov yaitu peluang n langkah.

t t

p p

p() = (0) , n = 1,2,...,8

= t

p Vektor pembagian state pada waktu t, t = 1,2,...,8

= 0

p Vektor pembagian state awal

= t

p Matriks transisi P dalam t langkah

         

 

         

 

=

7 6 5 4 3 2 1

p p p p p p p

p

DimanaP_j adalah peluang sistem saat berada pada state j,j = 1,2,3...,7

Seperti yang telah diperlihatkan pada tabel 3.6 pada kolom market share maka

kemungkinan perpindahan jalurnya diberikan oleh vektor-vektor keadaan awal

yaitu

(

0,57 0,01 0,18 0,03 0,03 0,11 0,08

)

0 =

p

                      = 00 , 1 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 1 00 , 0 33 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 67 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 17 , 0 00 , 0 00 , 0 17 , 0 17 , 0 50 , 0 10 , 0 08 , 0 04 , 0 04 , 0 14 , 0 00 , 0 59 , 0 p

(

0,57 0,01 0,18 0,03 0,03 0,11 0,08

)

0 =

p

maka diperoleh p1 = p0p

sehingga:

(

0,530 0,020 0,193 0,023 0,023 0,092 0,140

)

1 =

p

sedangkan untuk mendapatkan p diperoleh dengan menggunakan rumus 2 p

p

p2 = 1

atau p2 = p0p2

maka 1 =

(

0,530 0,020 0,193 0,023 0,023 0,092 0,140

)

p                       = 00 , 1 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 00 , 0 33 , 0 00