BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

Dalam kehidupan nyata, sejumlah fenomena dapat dipikirkan sebagai percobaan yang mencakup sederatan pengamatan yang berturut-turut dan bukan satu kali pengamatan. Umumnya, tiap pengamatan dalam suatu percobaan tergantung pada beberapa atau semua pengamatan masa lalu dan hasil tiap pengamatan, umumnya, ditentukan dengan hukum-hukum peluang. Studi tentang percobaan dalam bentuk seperti ini dikenal dengan teori proses stokastik.

Mungkin juga terjadi bahwa pengamatan yang berturut-turut dalam suatu percobaan merupakan pengamatan-pengamatan bebas artinya hasil suatu pengamatan tertentu tidak tergantung pada sesuatu hasil pengamatan di masa lalu dan sebaliknya tidak mempengaruhi hasil pengamatan di masa mendatang. Hal seperti ini merupakan keadaan atau bentuk khusus dari proses stokastik dan dikenal dengan proses bebas.

Namun dalam suatu percobaan yang lebih rumit, hasil suatu pengamatan tertentu akan tergantung pada hasil pengamatan sebelumnya (terdahulu) dan selanjutnya akan mempengaruhi hasil pengamatan dimasa mendatang.

Lebih sederhana lagi yaitu hasil pengamatan tertentu tergantung hanya pada hasil pengamatan barusan dan bukan pada hasil pengamatan sebelum itu dan sebaliknya, hasil pengamatan tertentu akan mempengaruhi hanya hasil pengamatan berikutnya, tapi bukan hasil-hasil pengamatan sesudahnya. Proses stokastik yang memiliki sifat-sifat ketergantungan seperti ini dikenal dengan proses Markov.

Prosedur ini dikembangkan oleh sarjana matematika Rusia Andrei A Markov (1907) yang digunakan untuk mengatur silsilah keturunan kerajaan Inggris.

Rantai Markov merupakan suatu metode yang mempelajari sifat-sifat suatu variabel pada masa sekarang yang didasarkan pada sifat-sifatnya dimasa lalu dalam usaha menaksir sifat-sifat variabel yang sama dimasa mendatang.

Proses Markov dapat diklasifikasikan kedalam waktu pengamatan proses serta state spacenya. Waktu pengamatan proses dapat bersifat diskrit maupun kontinu demikian juga dengan state spacenya. Oleh karena itu peneliti hanya melakukan pembahasan mengenai “ IMPLEMENTASI WAKTU DISKRIT PADA RANTAI MARKOV.

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Adapun yang menjadi permasalahan dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana cara memformulasikan waktu diskrit ke dalam bentuk rantai Markov dan bagaimana cara untuk meramalkan peluang perpindahan dari satu state ke state lainnya berdasarkan contoh yang ada.

1.3 TINJAUAN PUSTAKA

Menurut P. Siagian (1982) Proses Stokastik adalah suatu himpunan variabel acak

{ }

x

( )

t yang tertentu dalam suatu ruang sampel yang sudah diketahui dimana t merupakan parameter waktu (indeks) dari suatu himpunan T.

Papoulis Anthanosius (1984) menyatakan Rantai / Proses markov adalah proses Stokastik pada masa lalu tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui. Ini mempunyai arti sebagai berikut:

Bila t_n−1 <t_{n ,} maka:

( ) ( )

{

xt_n ≤x_n \x t ,t≤t_n−1

}

=P

{

x

( )

t_n ≤ x_n \x

( )

t_n−1

}

P

Dari bentuk ini terlihat bahwa bila

t t

t 〈 〈 ... 〈 n

2 1

maka

( ) ( ) ( )

{

xt_n ≤x_n \x t_n−1 ,...,x t1

}

=P

{

x

( )

t_n ≤ x_n \x

( )

t_n−1

}

P

Defenisi diatas juga berlaku untuk proses waktu diskrit bila x(tn) diganti dengan xn . Dimana n = 1,2,3,……,n

Rantai Markov [6] xn, n = 1,2,….,n dengan matrik transisi P. Didefenisikan matrik transisi n-langkah (P⁽ⁿ⁾

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∑ ∑

∑

∈ + + + ∈

∈ + + + +

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

S

K K S

ij kj

ik n

n n

n

S K

n n

n n n

n n

n ij

n n

ij

PP P

P i

x k x P k x j x p

x k x P k x i x j x p i

x j x P P

i x j x P P

/ /

/ ,

/ /

/

1 1

2

1 1

1 2

2 1

) adalah

dimana

P adalah matriks peluang peralihan n langkah, s adalah state spacenya n n

Pij adalah peluang peralihan dari state i ke state j satu langkah pada pangkat n

Suatu proses stokastik [7] dapat diklasifikasikan kedalam parameter space dan kedalam state space yaitu diskrit atau kontinus. Yang dinamakan sebuah rantai adalah jika state spacenya diskrit. Sebuah rantai Markov yang berorder pertama dapat digambarkan dengan:

1) Semua probabilitas transisi 1-langkah nya Pij

2) Matrik transisi langkah pertamanya P(n)

(n)

3) Diagram transisinya

Jika P adalah matrik transisi MC (Markov Chains) reguler [6] maka:

1) Pⁿ akan menuju sebuah matriks T, apabila n→∞ 2) Setiap baris dari T sama yaitu berupa vektor peluang W 3) Semua elemen W adalah positip, W merupakan state awal.

Disney Clark (1985) menyatakan untuk menghitung peluang vektor peluang state dalam n langkah, didapat dengan mengalikan state awal p⁽⁰⁾ dengan matriks satu langkah pangkat n.

p⁽ⁿ⁾ = p⁽⁰⁾ Pⁿ , n 1 ≥ p⁽ⁿ⁾ = Vektor pembagian state pada waktu n, n≥ 1

p⁰ = Vektor pembagian state awal Pⁿ

∑

^∞

=

+ =

0 k

m kj n ik m

n

ij p p

p

= Matriks transisi P dalam n langkah

Menurut Sheldon (1969) persamaan Chapman Kolmogorov dalam menghitung peluang peralihan n langkah:

n

p ik = Peluang peralihan dari state i ke state k setelah n langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam state i.

m

pkj= Peluang peralihan dari state i ke state k setelah m langkah dan diketahui sebelumnya berada dalam state k.

k n

pij⁺ = Peluang peralihan dari state i akan berpindah ke state j setelah n+m langkah.

Dengan menggunakan hubungan Chapman Kolmogorov kita dapat membuktikan bahwa p⁽ⁿ⁾ = Pⁿ dimana matriks peluang peralihan n langkah Pⁿ

Menurut P. Sianipar (1996) Matriks adalah suatu susunan atau kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga sama dengan matriks peluang peralihan satu langkah pangkat n.

Selanjutnya Fieldman (1996) menyatakan bahwa peluang steady state adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keadaan tetap (keseimbangan) sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi dimana peluang peralihan independen terhadap kondisi awal proses apabila n menuju tak hingga.

berbentuk persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya jumlah baris dan kolom. Matriks bujur sangkar (square) adalah matriks dimana jumlah baris dan kolomnya adalah sama (m=n).

1.4 TUJUAN PENELITIAN

Adapun yang menjadi tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui peranan waktu diskrit pada rantai Markov untuk mendapatkan peluang perpindahan dari satu state ke state lain dalam suatu problema.

1.5 PEMBATASAN MASALAH

Agar penelitian ini tepat sasaran penulis menetapkan pembatasan permasalahan adalah hanya mencari peluang perpindahan dari satu state ke state lainnya dalam suatu masalah dimana penulis mengambil sebagai contoh adalah perpindahan tikus dalam melewati beberapa state untuk mencapai tujuan.

1.6 MANFAAT PENELITIAN

Diharapkan penelitian ini dapat menambah wawasan tentang penggunaan rantai Markov pada data yang telah ada. Ini juga diharapkan dapat memberikan gambaran yang lebih jelas tentang parameter yang terdapat dalam rantai markov.

1.7 METODE PENELITIAN

Dalam penelitian ini langkah-langkah yang dilakukan penulis adalah sebagai berikut:

1) Mengumpulkan bahan baik dari buku maupun artikel dari internet.

2) Menganalisa maupun memahami apa yang dimaksud dengan rantai Markov.

3) Menguraikan waktu diskrit pada rantai Markov.

4) Membuat aplikasinya kedalam bentuk contoh.

5) Menentukan matriks peluang peralihan.





















=

nn n

n p p

p

p p

p

p p

p P















2 1

23 22

21

13 12

11

6) Menghitung peluang state n langkah peralihan.

( )ⁿ p Pⁿ

p = ⁰

dimana

p⁽ⁿ⁾ = Vektor pembagian state pada waktu n p⁰ = Vektor pembagian state awal

Pⁿ

7) Menghitung probabilitas steady state matriks P.

= Matriks transisi P dalam n langkah

∑

=

= ⁿ

i ij i

j p

1

π π

πj adalah batas distribusi peluang peralihan steady state dari status j.

π adalah batas distribusi peluang peralihan steady state dari status i. i

pij adalah peluang perpindahan dari state i ke state j.

8) Mengambil kesimpulan berdasarkan hasil analisa.