The Relation of Gabriel’s Goodness of Fit with Procrustes Analysis in Biplot Analysis

(1)

HUBUNGAN UKURAN KESESUAIAN GABRIEL DENGAN ANALISIS

PROCRUSTES DALAM ANALISIS BIPLOT

LINGGA DIVIKA ANGGIRULING

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

LINGGA DIVIKA ANGGIRULING. Hubungan Ukuran Kesesuaian Gabriel dengan Analisis Procrustes dalam Analisis Biplot. Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR.

(3)

ABSTRACT

LINGGA DIVIKA ANGGIRULING. The Relation of Gabriel’s Goodness of Fit with Procrustes Analysis in Biplot Analysis. Supervised by SISWADI and TONI BAKHTIAR.

(4)

HUBUNGAN UKURAN KESESUAIAN GABRIEL DENGAN ANALISIS

PROCRUSTES DALAM ANALISIS BIPLOT

LINGGA DIVIKA ANGGIRULING

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Hubungan Ukuran Kesesuaian Gabriel dengan Analisis

Procrustes dalam Analisis Biplot

Nama

: Lingga Divika Anggiruling

NRP

: G54070008

Menyetujui,

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.

Dr. Toni Bahktiar, M.Sc.

NIP. 19490609 197412 1 001

NIP. 19720627 199702 1 002

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala nikmat, rahmat, karunia dan pertolongan-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ibu Devi Hanifah dan Papah Odin Karodin yang telah memberikan kasih sayang, dukungan, doa, pengorbanan, dan nasihat yang senantiasa mengiringi perjalanan penulis selama ini; Adikku Iken dan Sabina atas semangat dan dukungannya; Eyang, (Alm.) Abah, Mang Deden, Bi Yani atas doa dan dukungannya;

2. Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini);

3. Bapak Dr. Toni Bahktiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini);

4. Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya);

5. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan); 6. Bu Susi, Bu Ade, Pa Bono, Pa Yono, Mas Heri, Mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di Departemen Matematika;

7. Musthafa Tanfiz Syariat Walayatullah terima kasih atas kasih sayang, dukungan, semangat, dan doanya;

8. Teman-teman satu bimbingan: Maryam, Ririh, Sari terima kasih atas bantuan dan motivasinya;

9. Sahabat-sahabat tercinta: Dinda Asyifa Devi, Fitri Durrotun Nafisah, Nurisma, Pariatik terima kasih atas semangat, doa, dan perhatiannya. Kebersamaan kita akan selalu dikenang; 10.Teman-teman Math 44: Anis, Ruhi, Siska, Fikri, Yuyun, Lugi, Diana, Yanti, Lilis, Eka,

Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Wewe, Nurul, Tanto, Rahma, Melon, Lili, Tita, Cita, Cepi, Tendy, Ali, Lina, Resha, Deva, Ucu, Istiti, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Pepi, Eny, Ndep, Yogi, Chopa, Ayung, Endro, Fajar, Kodok, Masay, Denda, Dika, Fani, Ikhsan, Della, Pandi, Abe, Tyas, Arina, Imam, Nadiroh, Rofi, Indin, Olih, Ipul, Nurus, Lukman, Puying, Naim terima kasih atas semangat dan kebersamaannya selama 3 tahun di Math 44;

11.Mbak Lina dan kakak-kakak Math 43 serta adik-adik Math 45 terima kasih atas doa dan dukungannya;

12.Teman-teman Ikamasi: Rina, Lida, Yoga, Pam-pam, Teguh, Ari, Kornel, Hasan, dan lainnya terima kasih atas doa, dukungan, dan semangatnya;

13.Teman-teman Salsabila: Kak Eta, Mbak Nina, Bio, Ayu, Kak Baby, Kak Lulus, Kak Sandra, Kak Siti, Kak Icha, Ayu Marlika, Opi, Ayu Opi, Sari, Ruro, Dea, Titi, dan lainnya terima kasih atas doa, dukungan, dan semangatnya;

14.Teman-teman Enrichment terimakasih atas dukungan dan doanya;

15.Semua pihak yang telah memberikan dorongan, doa, semangat, bantuan dan kerjasama selama pengerjaan karya ilmiah ini.

Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.

Bogor, Agustus 2011

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 17 Juli 1989 dari pasangan Bapak Odin Karodin dan Ibu Devi Hanifah. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.

Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu SDN Sriwidari II lulus pada tahun 2001, SMP Negeri 1 Kota Sukabumi lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 3 Kota Sukabumi lulus pada tahun 2007 dan di tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor melalui Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Menginjak tahun kedua di IPB, penulis masuk di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan Statistika Terapan sebagai mata kuliah minor.

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan... 1

LANDASAN TEORI ... 1

Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 1

Dekomposisi Nilai Singular ... 1

Analisis Biplot ... 2

Jarak Euclid ... 3

Jarak Mahalanobis ... 3

Analisis Procrustes ... 3

Translasi ... 3

Rotasi ... 4

Dilasi ... 4

Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot ... 5

Matriks Data ... 5

PEMBAHASAN... 6

Ukuran Kesesuaian Matriks Objek ... 6

Penyesuaian terhadap Translasi ... 6

Penyesuaian terhadap Rotasi ... 6

Penyesuaian terhadap Dilasi ... 7

Ukuran Kesesuaian Matriks Peubah ... 7

Penyesuaian terhadap Translasi ... 7

Penyesuaian terhadap Rotasi ... 7

Penyesuaian terhadap Dilasi ... 7

SIMPULAN DAN SARAN ... 9

DAFTAR PUSTAKA ... 10

(9)

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Contoh Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) ... 12

2 Contoh Analisis Biplot ... 13

3 Ilustrasi ≠ dan ≠ sehingga ≠0 dengan menggunakan α= 0. ... 15

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan salah satu bentuk Analisis Peubah Ganda (APG) yang dapat memberikan gambaran grafis tentang kedekatan antarobjek, keragaman atau korelasi peubah, serta keterkaitan antara objek dengan peubah. Selain itu, analisis biplot dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antarpeubah dan objek yang berada pada ruang berdimensi tinggi ke dalam ruang berdimensi rendah, biasanya dua atau tiga. Dari analisis biplot dapat diperoleh tiga matriks pendekatan yang terkait dengan data, objek, dan peubah. Pada tahun 2002 Gabriel mengemukakan tentang ukuran kesesuaian dari ketiga matriks pendekatan tersebut.

Analisis Procrustes yang disebut juga Rotasi Procrustes adalah salah satu metode yang menyatakan perbedaan dua atau lebih konfigurasi n-titik sebagai suatu nilai numerik (Krzanowski 1990). Nilai numerik yang dihasilkan metode ini dapat digunakan untuk memperkirakan ukuran kesesuaian (goodness of fit) antarkonfigurasi (Sibson 1978). Pada

analisis Procrustes dikenal tiga transformasi geometris yaitu translasi, rotasi, dan dilasi untuk menghitung nilai perbedaan minimum dari dua konfigurasi. Ketiga transformasi tersebut dapat digunakan untuk menentukan ukuran kesesuaian yang optimal.

Dari kedua pendekatan untuk menentukan ukuran kesesuaian Gabriel dan analisis Procrustes perlu ditelusuri hubungan antara ukuran kesesuaian yang diperoleh dalam analisis biplot yang dikemukakan oleh Gabriel dengan nilai perbedaan minimum dari ketiga transformasi pada analisis Procrustes.

Pada tahun 2011 Herlina telah menelusuri hubungan ukuran kesesuaian analisis biplot untuk matriks data sehingga yang perlu ditelusuri selanjutnya yaitu terkait dengan matriks objek dan peubah.

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk memperoleh gambaran hubungan antara ukuran kesesuaian Gabriel dengan analisis Procrustes dalam analisis biplot.

LANDASAN TEORI

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan A adalah suatu matriks n×n.

Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau

nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik matriks A yang berpadanan dengan nilai eigen

λ (Leon 2001).

Dekomposisi Nilai Singular

Misalkan X adalah matriks n×p. Nilai singular dari X adalah akar dari nilai eigen yang positif dari matriks atau (Leon 2001).

Dekomposisi Nilai Singular (DNS) digunakan secara umum dalam analisis peubah ganda mulai tahun 1970-an. DNS ini diterapkan dalam psikometrika untuk pendekatan matriks berpangkat rendah yang dikenal sebagai bentuk kanonik oleh Eckart dan Young atau Dekomposisi Eckart-Young (Greenacre 1984).

Matriks Y yang berdimensi n×p dan berpangkat r dengan r≤ min{n,p} dinyatakan sebagai DNS yaitu:

= (1)

(Aitchison & Greenacre, 2002) di mana U dan W merupakan matriks dengan kolom ortonormal, = = . Matriks W adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen wiyang berpadanan dengan nilai eigen λi dari matriks YTY. Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen dari matriks YYT dalam bentuk

= ( , , …, ) = _λ , _λ , … , _λ (2) di mana

= diag ( , , …, ) , dengan λ1 ≥ λ2

≥ … ≥ λr> 0 dan λi merupakan nilai eigen dari matriks YTY.

Untuk membuktikan persamaan (1) di atas, diperlukan fakta sebagai berikut:

a. ∑ = ∑ , untuk

sebarang wj∈ℝ .

b. = ↔ = , untuk sebarang w∈ℝ .

c. Bila W = [w1, w2, …, wp] merupakan

(11)

2

d. YTY dan YYT berpangkat r dan merupakan matriks yang semidefinit positif dengan r nilai eigen positif yang sama.

DNS tidak bersifat tunggal. Jika vektor-vektor kolom dari matriks W dan U dilengkapi sehingga keduanya menjadi matriks ortogonal yang masing-masing berdimensi p×p dan n×n maka DNS dapat ditulis dalam Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL).

Misalkan r merupakan pangkat dari matriks Y. Matriks YTY juga mempunyai pangkat r. Karena YTY simetris, maka pangkatnya sama dengan banyaknya nilai eigen taknol. Jadi λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λr > 0 dan λr+1

= λr+2 = …= λp = 0. Misalkan W = [W1 W2] di

mana W1 = [w1, w2, …, wr] , W2 = [wr+1, wr+2,

…, wp] dan L = diag ( , ,…, )

sehingga = . Vektor-vektor kolom dari W2 adalah vektor-vektor eigen dari YTY

yang berpadanan dengan λ = 0. Jadi YTY = 0 di mana j = r+1, r+2, …, p dan akibatnya, vektor-vektor kolom dari W2 membentuk suatu basis ortonormal untuk ruang nol dari YTY atau N(YTY) di mana N(YTY) = N(Y). Dengan demikian, YW2 = 0. Misalkan U =

[U1 U2] di mana U1 = [u1, u2, …, ur] dan U2 =

[ur+1, ur+2, …, un]. Vektor-vektor kolom dari

U2 membentuk basis ortonormal untuk ruang

nol dari YYTatau N(YT). Jadi dalam DNSBL, setiap matriks Y yang berdimensi n×p dapat dinyatakan sebagai = di mana = , = (Leon 2001).

Contoh DNSBL diberikan pada Lampiran 1.

Analisis Biplot

Biplot didefinisikan sebagai dekomposisi dari matriks tujuan ke dalam produk dari dua matriks, yang disebut matriks kiri dan kanan. Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai

= dengan adalah matriks tujuan, adalah matriks kiri dan adalah matriks kanan. Unsur-unsur dalam matriks tujuan adalah sama dengan produk skalar antara pasangan yang sesuai dari vektor dalam baris X dan Y masing-masing.

Kata "bi" dalam biplot menyatakan dua himpunan titik (yaitu baris dan kolom matriks tujuan) yang divisualisasikan oleh produk skalar, dan bukan menyatakan tampilan dua dimensi. Biplot dan geometrinya berlaku untuk ruang-ruang dimensi manapun, tetapi akan perlu mengurangi dimensi ketika matriks data memiliki dimensi tinggi sedangkan

representasi memerlukan dimensi rendah, biasanya dua atau tiga (Greenacre 2010).

Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan suatu tampilan grafik dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi rendah yang merepresentasikan vektor-vektor baris sebagai gambaran objek dengan vektor-vektor kolom sebagai gambaran peubah.

Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain ialah:

1. Kedekatan antarobjek. Dua objek dengan karakteristik yang sama akan digambarkan sebagai dua titik yang posisinya berdekatan.

2. Keragaman peubah. Peubah dengan keragaman kecil digambarkan sebagai vektor yang pendek. Begitu pula sebaliknya, peubah dengan keragaman besar digambarkan sebagai vektor yang panjang.

3. Korelasi antarpeubah. Peubah digambarkan sebagai vektor. Jika sudut dua peubah lancip (<90o) maka korelasinya bernilai positif. Apabila sudut dua peubah tumpul (>90o) maka korelasinya bernilai negatif. Sedangkan jika sudut dua peubah siku-siku maka tidak saling berkorelasi.

4. Keterkaitan peubah dengan objek. Karakteristik suatu objek bisa disimpulkan dari posisi relatifnya terhadap suatu peubah. Jika posisi objek searah dengan arah vektor peubah maka objek tersebut bernilai di atas rata-rata, jika berlawanan maka nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di tengah-tengah maka nilainya mendekati rata-rata.

Misalkan nY*p merupakan matriks data

dengan n objek dan p peubah. Kemudian Y* dikoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya sehingga didapat matriks Y,

= ∗− ( ∗) (3) dengan 1 adalah vektor berdimensi n×1 yang semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam (S ) peubah ganda tersebut ialah

= YTY (4) dengan matriks korelasi (R = [rij]),

R = D−1/2 S D−1/2 (5) di mana D-1/2 adalah matriks diagonal,

/ _{= diag}

(12)

3

Jarak Euclid

Misalkan matriks nYp = [y1, y2, …, yn]T

maka jarak Euclid antara yi dan yj

didefinisikan sebagai

, = ( − ) ( − )

(Jollife 2002). Jarak Mahalanobis

Misalkan matriks nYp = [y1, y2, …, yn]T

maka jarak Mahalanobis antara yi dan yj

didefinisikan sebagai

, = ( − ) ( − )

(Jollife 2002).

Dalam Jollife (2002) persamaan nYp = nUrLrWpT dapat diuraikan menjadi =

di mana,

G = ULα = [g1, g2, …, gn]T dan

= = [h1, h2, …, hp]

T_{untuk α ϵ} [0,1]. Kemudian persamaan (1) dapat ditulis sebagai Y = GHT sehingga tiap elemen ke-(i,j) unsur matriks Y dapat dinyatakan sebagai yij = giThj. Vektor gi merepresentasikan objek ke-i

pada matriks Y dan vektor hj

merepresentasikan peubah ke-j pada matriks Y.

Matriks Y = GHT dengan matriks ABT sebagai matriks pendekatannya. Jika

Y = GHT = ∑ = ∑ ( )α( )1-α maka

ABT=∑

= ∑ ( )α( )1-α , di mana s < r.

Penentuan nilai α akan berimplikasi pada

interpretasi biplot. Berikut adalah beberapa implikasinya:

1. Jika α = 0, maka G = U , H = WL sehingga = , akibatnya:  hTh = (n – 1) sij, dengan

= [ ( −1)

∑( − )∑ − ] adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.  ‖ ‖= ( −1) / _merupakan panjang vektor yang menggambarkan keragaman peubah ke-i.

 cos( ) = rij menjelaskan korelasi antara peubah ke-i dengan peubah ke-j, di mana θ adalah sudut antara peubah ke-i dan ke-j.

 Jika Y berpangkat p maka

( − ) − =

( −1) − −

artinya kuadrat jarak Mahalanobis antara yidengan yj sebanding dengan

kuadrat jarak Euclid antara gi dengan gj

dengan S adalah matriks koragam yang diperoleh dari Y.

2. Jika α = 1, maka G = UL, H = W sehingga = , akibatnya:

( − ) − =

− − artinya jarak Euclid antara yidengan yjakan sama

dengan jarak Euclid antara vektor-vektor yang merepresentasikan gi dan

gj.

Contoh analisis biplot diberikan pada Lampiran 2.

Analisis Procrustes

Misalkan X dan Y merupakan matriks yang berukuran n×p dan n×q yang masing-masing adalah representasi konfigurasi yang akan dibandingkan. Koordinat titik ke-i

berada pada ruang Euclid yang diberikan oleh nilai-nilai baris ke-i pada matriks. Konfigurasi pertama berada pada ruang berdimensi p dan koordinat titik ke-i yaitu ( , , …, ) . Sedangkan konfigurasi kedua berada pada ruang berdimensi q dan koordinat ke-i yaitu ( , , …, ). Jika p > q maka konfigurasi kedua berada dalam subruang dari ruang berdimensi p. Berdasarkan analisis Procrustes, perbedaan ruang dimensi ini dapat diselesaikan dengan memasangkan p – q

kolom nol di kanan Y sehingga menjadi matriks berukuran n×p. Dengan demikian, dapat diasumsikan bahwa p = q. Untuk menentukan ukuran kesesuaian dalam dua konfigurasi, analisis Procrustes menggunakan jumlah kuadrat jarak antartitik yang bersesuaian yaitu

( , ) = ∑ ∑ ₋

= tr [ ( − ) ( − ) ] (6) Bakhtiar dan Siswadi (2011).

Translasi

Misalkan matriks X=( , , …, ), maka sentroid kolom dari matriks X ialah = ( ̅ , ̅ , …, ̅ ) di mana

̅ = ∑ ; untuk j= 1, 2, …, p.

(13)

4

( , )

= ∑ ∑ [ − ̅ − − ] +

2∑ ∑ − ̅ − − .

̅ − + ∑ ̅ − . (7) Persamaan (7) menghasilkan

( , ) = ( , ) + , (8) di mana XT = X - 1nCX,

YT = Y - 1nCY,

= ∑ ̅ − .

XT dan YT merupakan konfigurasi X dan Y

setelah ditranslasi. C_X_danC_Y_{masing-masing}

adalah sentroid kolom dari X dan Y. Sedangkan ZXY merupakan jumlah kuadrat

jarak dari kedua sentroid kolom X dan Y. Untuk menghasilkan nilai E yang minimum, maka ZXY= 0.

Dengan demikian, nilai perbedaan minimum antara dua konfigurasi X dan Y setelah translasi ialah

ET(X, Y) = E (XT, YT)

= ∑ ∑ − ̅ − − . (9)

Rotasi

Rotasi adalah proses pemindahan seluruh titik konfigurasi dengan sudut yang tetap tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Transformasi ini dilakukan dengan mengalikan konfigurasi dengan suatu matriks ortogonal.

Rotasi Y terhadap X dilakukan dengan mengalikan matriks Y dengan matriks ortogonal Q yaitu E(X,Y) = E(X,YQ) di mana QTQ = QQT = I. Nilai perbedaan minimum konfigurasi X dengan Y setelah penyesuaian dengan rotasi ialah

ER(X, Y)= inf



,



Q E X YQ . (10) Secara aljabar, nilai perbedaan setelah dilakukan penyesuaian dengan rotasi ialah

E(X,YQ)

= tr[(X-YQ)T (X-YQ)]

= tr(XT_X_{) + tr(}_YT_Y_{) -2 tr(}_XT_YQ_{) . (11)} Nilai E akan minimum jika tr(XTYQ) maksimum. Sehingga dipilih matriks ortogonal Q yang memaksimumkan tr(XTYQ). Jadi, ER(X,Y) = tr(XTX) + tr(YTY). Teorema

Jika X dan Y pada ℝ , dan Q pada

ℝ merupakan matriks ortogonal maka tr(XTYQ) akan maksimum bila diplih = dengan merupakan hasil DNSBL dari matriks XTY.

Bukti:

Andaikan merupakan hasil DNSBL dari matriks pXTYp = pUp pWpT.

= adalah matriks diagonal dengan dan U, W merupakan matriks ortogonal, sehingga

tr(XTYQ) = tr( ) = tr( ) . Karena Q merupakan matriks ortogonal maka juga matriks ortogonal. Dimisalkan = = maka berlaku −1≤ ≤1, sehingga

tr(XTYQ) = tr(P ) = ∑ ( )≤ tr( ). Jadi, tr(P ) akan maksimum jika P =

= .Kondisi ini dapat terpenuhi jika = (Bakhtiar 1995).

Dilasi

Dilasi adalah penskalaan data dengan pembesaran atau pengecilan jarak setiap titik dalam konfigurasi terhadap sentroidnya dengan mengalikan suatu konfigurasi dengan suatu skalar c. Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan cara mengalikan konfigurasi Y dengan suatu skalar c yaitu E(X,Y) = E(X,cY). Nilai perbedaan minimum konfigurasi X dengan Y setelah penyesuaian dengan dilasi ialah

ED (X,Y) = inf



,



c E X Yc . (12)

Secara aljabar, nilai perbedaan setelah dilakukan penyesuaian dengan dilasi ialah

E(X, cY)

= tr [ ( − ) ( − ) ]

= c2tr(YTY) − 2ctr(XTY) + tr(XTX) . (13) Syarat untuk memperoleh nilai E yang minimum pada fungsi kuadrat dengan variabel

c ialah turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua lebih besar dari nol. Dari persamaan (13) diperoleh

= 0

⇔2 tr ( )−2 tr ( ) = 0

⇔2 tr ( ) = 2 tr ( )

⇔ = . (14) Nilai c pada persamaan (14) minimum karena

= 2 tr ( ) > 0 .

Nilai minimum dari E dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (14) ke persamaan (13), yaitu

( , ) = tr ( )−2 tr ( ) + tr ( )

= t r ( )−

(14)

5

Ukuran Kesesuaian Analisis Biplot

Analisis biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data Y dengan menggunakan matriks ABT tetapi juga hasil perkalian BBT sebagai pendekatan dari matriks HHT yang berkaitan dengan ragam-koragam dan korelasi antarpeubah, dan matriks AAT sebagai pendekatan bagi GGT yang berkaitan dengan ukuran ketakmiripan antarobjek. Pada matriks objek dan matriks peubah berturut-turut digunakan GGT dan HHT karena bergantung terhadap nilai α.

 Matriks data GHT dengan ABT sebagai pendekatannya.

Sehingga Y = GHT = ∑ = ∑ ( )α( )1-α dan ABT=∑ , di mana s < r.

 Matriks objek GGT dengan AAT sebagai pendekatannya.

Jika GGT = ∑ ( ) , maka AAT = ∑ ( ) ,

di mana s < r.

 Matriks peubah HHT dengan BBT sebagai pendekatannya.

Jika HHT= ∑ ( ) , maka BBT = ∑ ( ) ,

di mana s < r.

Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian analisis biplot ini adalah sebagai berikut

GF(Y, H) = 1− ║ ║ ║ ║

= ( )

( ) (16), dengan H merupakan pendekatan Y. Ukuran kesesuaian analisis biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks yang dikemukakan oleh Gabriel (2002), yaitu

1. Kesesuaian Data: GF(Y, ABT) =

2. Kesesuaian Objek:

GF(GGT_,_AAT_{) =} ( )

( )

3. Kesesuaian Peubah: GF(HHT, BBT) =

Trace Y atau tr(Y) merupakan jumlah elemen diagonal utama dari matriks segi Y sehingga dapat dituliskan tr ( ) = ∑ (Leon 2001).

Pada dasarnya ukuran kesesuaian Gabriel dan analisis Procrustes dalam analisis biplot adalah sebagai berikut

 Gabriel:

GF(X, Y) = 1− ║ ║ ║ ║

= 1− ( , )

║ ║ (17)

 analisis Procrustes: GF(X, Y) = 1− ( , )

║ ║ (18)

GF pada persamaan (17) selalu lebih kecil atau sama dengan GF pada persamaan (18). Matriks Data

(15)

PEMBAHASAN

Pada ukuran kesesuaian analisis biplot dapat diperoleh tiga matriks pendekatan yang terkait dengan data, objek, dan peubah. Nilai ukuran kesesuaian (goodness of fit) pada persamaan (16) berada dalam selang [ 0,1]. Jika nilai GF semakin mendekati nilai 1 maka semakin baik nilai perbedaan minimum suatu matriks dengan pendekatannya tapi jika nilai GF semakin mendekati 0 maka semakin buruk.

Matriks yang digunakan untuk menunjukkan hubungan antara ukuran kesesuaian analisis biplot dengan analisis Procrustes adalah matriks pendekatan dari ukuran kesesuaian analisis biplot yang disesuaikan dengan ketiga transformasi geometris pada analisis Procrustes. Pada karya ilmiah ini akan dijelaskan tentang matriks objek GGT dengan pendekatan AAT dan matriks peubah HHT dengan pendekatan BBT.

Untuk menentukan nilai perbedaan minimum pada analisis Procrustes dapat diperoleh dari tiga transformasi geometri yaitu translasi, rotasi, dan dilasi. Pada translasi, nilai perbedaan minimum diperoleh jika jarak kedua sentroid kolom antara kedua matriks sama dengan nol. Pada rotasi, nilai perbedaan minimum diperoleh dengan mengalikan konfigurasi dengan matriks ortogonal. Pada dilasi, nilai perbedaan minimum diperoleh dengan mengalikan konfigurasi dengan skalar

c.

Ukuran Kesesuaian Matriks Objek

Penyesuaian terhadap Translasi

Pada transformasi translasi, nilai perbedaan minimum diperoleh saat jarak kedua sentroidnya sama dengan nol = 0 . Nilai perbedaan transformasi translasi adalah

( , )

= ( , ) + . (19) Akan dibuktikan bahwa = dan

= .

=

= ∑

= ∑ = ∑ =

=

= ∑

= ∑ = ∑ = ∑

= =

Karena = dan = maka = 0, yang berarti bahwa secara intrinsik transformasi translasi sudah dilakukan.

Penyesuaian terhadap Rotasi

Transformasi rotasi dilakukan setelah transformasi translasi dilakukan. Nilai perbedaan minimum diperoleh dengan mengalikan matriks dengan matriks ortogonal Q. Nilai perbedaan transformasi rotasi adalah

( , )

= t r ( ) + tr( )−

2 tr ( ) . (20) Nilai perbedaan minimum akan diperoleh dengan memaksimumkan tr ( ) di mana = yang didapat dari DNSBL = . Dari analisis biplot diperoleh GGT = ∑ dan AAT =

∑ di mana s < r. Jika Q = Imaka

ER( , )= ( , ).

= ∑ ∑

= ∑

= ∑ + ∑ 0

=

di mana U adalah matriks ortogonal berdimensi n×n dan

=

diag λ , λ ,…,λ × ( )

( ) × ( ) × ( )

(16)

7

Berdasarkan DNSBL yang diperoleh = = = = . Jadi = yang memaksimumkan tr ( ). Oleh karena itu, transformasi rotasi tidak dilakukan. Penyesuaian terhadap Dilasi

Transformasi dilasi dilakukan apabila transformasi translasi dan rotasi telah dilakukan. Nilai perbedaan minimum diperoleh dengan mengalikan dengan suatu skalar c. Nilai perbedaan minimum transformasi dilasi adalah

E( , c )

= t r ( )−2 tr ( ) +

tr ( ) . (21) Nilai c yang diperoleh sebagai titik kritisnya adalah = ( )

Substitusikan nilai c yang diperoleh ke persamaan (21), sehingga diperoleh

( , )

= tr ( )−

= mi n ║ − ║ (22) Untuk memperoleh persamaan GF, substitusikan persamaan (22) ke persamaan (16) sehingga

GF( , ) = 1− ║ ║ ║ ║

= 1−

= 1− 1−

= (23)

tr ( )

= tr ∑ ∑

= ∑ (24)

tr ( )

= tr ∑ ∑

= ∑ (25)

tr ( )

= tr ∑ ∑

= ∑ (26). Substitusikan persamaan (24), (25), (26) ke persamaan (23) sehingga diperoleh

GF ( , ) = _∑ ∑ _∑

= ∑_∑ . (27) Jadi, nilai perbedaan minimum yang diperoleh dari transformasi dilasi yang digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis biplot. Ukuran kesesuaian yang dikemukakan

oleh Gabriel sama dengan ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam analisis biplot.

Ukuran Kesesuaian Matriks Peubah

Penyesuaian terhadap Translasi

Pada transformasi translasi, nilai perbedaan minimum diperoleh saat jarak kedua sentroidnya sama dengan nol = 0 . Nilai perbedaan transformasi translasi adalah

( , )

= ( , ) + . (28) Pada matriks peubah secara umum diperoleh ≠ dan ≠ sehingga ≠0. Oleh karena itu, transformasi translasi perlu dilakukan. Ilustrasi bahwa ≠ dan ≠

diberikan pada Lampiran 3. Penyesuaian terhadap Rotasi

Transformasi rotasi dilakukan setelah transformasi translasi dilakukan. Misalkan

setelah dilakukan translasi adalah dengan setelah dilakukan translasi adalah

sebagai matriks pendekatannya. Nilai perbedaan minimum pada transformasi rotasi diperoleh dengan mengalikan matriks dengan matriks ortogonal Q. Nilai perbedaan tersebut adalah

( , )

= tr ( ) + tr( )−

2 tr ( ) . (29) Nilai perbedaan minimum akan diperoleh dengan memaksimumkan tr ( ) di mana = yang didapat dari DNSBL = . Jika Q = I maka ( , ) = ( , ). Pada matriks peubah diperoleh ≠ sehingga perlu dicari matriks ortogonal Q untuk memperoleh

ER( , ) .Oleh karena itu, transformasi rotasi dilakukan. Ilustrasi bahwa Q ≠ I diberikan pada Lampiran 4.

Penyesuaian terhadap Dilasi

Transformasi dilasi dilakukan apabila transformasi translasi dan rotasi telah dilakukan. Nilai perbedaan minimum diperoleh dengan mengalikan dengan suatu skalar c. Nilai perbedaan transformasi dilasi adalah

E( , )

= tr ( )−2 tr ( ) +

(17)

8

Nilai c yang diperoleh sebagai titik kritisnya adalah = .

Substitusikan nilai c yang diperoleh ke persamaan (30), sehingga diperoleh

( , )

= tr ( )− . (31) Untuk memperoleh persamaan GF, substitusikan persamaan (31) ke persamaan (16) sehingga diperoleh

GF( , ) = 1− , ║ ║

= 1− , . (32)

Jadi, nilai perbedaan minimum dari ketiga transformasi tersebut digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis biplot. Namun, ukuran kesesuaian yang dikemukakan oleh Gabriel selalu lebih kecil atau sama dengan ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam analisis biplot.

[image:17.612.139.495.90.460.2]

Contoh ilustrasi ukuran kesesuaian yang dikemukakan oleh Gabriel dengan analisis Procrustes dalam analisis biplot dengan menggunakan data hasil panen kedelai di New York (Gabriel 2002) diberikan pada Gambar 1.

Gambar 1 Ukuran kesesuaian dalam analisis biplot

Pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai ukuran kesesuaian matriks data adalah

sebesar 0.9811 untuk α ∊[0,1]. Nilai ukuran kesesuaian matriks objek adalah sebesar

0.3333 untuk α = 0 dan 0.9997 untuk α = 1.

Pada matriks objek, semakin besar nilai α maka nilai ukuran kesesuaian akan mendekati

nilai 1 dengan α ∊ [0,1]. Pada matriks peubah, semakin kecil nilai α maka nilai ukuran kesesuaian akan mendekati nilai 1

dengan α ∊ [0,1]. Nilai ukuran kesesuaian peubah Gabriel adalah sebesar 0.9997 untuk

α = 0 dan 0.3334 untuk α = 1. Nilai ukuran kesesuaian peubah Procrustes adalah sebesar

0.9999 untuk α = 0 dan 0.3775 untuk α = 1. Jadi, nilai ukuran kesesuaian yang dikemukakan oleh Gabriel selalu lebih kecil atau sama dengan ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam analisis biplot.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

G

F

α

data objek

(18)

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Pada matriks objek, transformasi translasi dan rotasi dalam analisis Procrustes tidak perlu dilakukan untuk memperoleh ukuran kesesuaian analisis biplot. Jadi, hanya transformasi dilasi pada analisis Procrustes yang dilakukan. Nilai perbedaan minimum yang diperoleh dari transformasi dilasi digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis biplot. Ukuran kesesuaian yang dikemukakan oleh Gabriel sama dengan ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam analisis biplot.

Pada matriks peubah, ketiga transformasi dalam analisis Procrustes yaitu translasi, rotasi, dan dilasi perlu dilakukan. Nilai perbedaan minimum dari ketiga transformasi tersebut digunakan untuk ukuran kesesuaian analisis biplot. Namun, ukuran kesesuaian

yang dikemukakan oleh Gabriel selalu lebih kecil atau sama dengan ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis Procrustes dalam analisis biplot.

Saran

(19)

DAFTAR PUSTAKA

Aitchison J, Greenacre M. 2002. Biplots for compositional data. Applied Statistics

51 (part4): 375-392.

Bakhtiar T. 1995. Tinjauan terhadap urutan pengerjaan transformasi geometris pada analisis Procrustes untuk mencari norma kuadrat perbedaan minimum [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal Procrustes analysis: its transformation arrangement and minimal distance. Int. J. Appl. Math. Stat.,vol 20, No. M11, pp.16-24.

Gabriel KR. 1971. The biplot-graphic display of matrices with application to principal component analysis.

Biometrika 58(3): 453-467.

Gabriel KR. 2002. Goodness of fit of biplot and correspondence analysis.

Biometrika 89(2): 423-436.

Greenacre MJ. 1984. Theory and Applications of Correspondence Analysis. London: Academic Press.

Greenacre MJ. 2010. Biplots in Practice. Madrid: Fundacion BBVA.

Herlina M. 2011. Hubungan ukuran kesesuaian dalam analisis komponen utama dan analisis biplot dengan analisis Procrustes [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Jolliffe IT. 2002. Principal Component Analysis. 2nd Ed. Berlin: Springer-Verlag.

Krzanowski WJ. 1990. Principles of Multivariate Analysis, A User’s Perspective. New York: Oxford University Press.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:

Linear Algebra with Applications, 5th Ed.

Sibson R. 1978. Studies in the robustness of multidimensional scaling: procrustes

(20)

(21)

12

Lampiran 1 Contoh Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) Misalkan matriks X ialah

=

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡2₂ 2₂ 1₁

1 1 0

0 0 0

0 0 0⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎤ sehingga diperoleh =

9 9 4

4 4 2

.

Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen ortonormal, yaitu ( , ) = 19.7980,

0.6739 0.6739 0.3029

, ( , ) = 0.2020,

−0.2142

−0.2142 0.9530

,

( , ) = 0,

−0.7071 0.7071 0 dengan = ⎝ ⎜ ⎛ 0.6739 0.6739 0.3029 0 0 ⎠ ⎟ ⎞ , = ⎝ ⎜ ⎛ 0.2142 0.2142 −0.9530 0 0 ⎠ ⎟ ⎞ . Diperoleh = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎡9₉ 9₉ 4₄ 0₀ 0₀

4 4 2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎤

sehingga diperoleh vektor eigen ortonormal yang berpadanan dengan λ = 0, yaitu

= ⎝ ⎜ ⎛ −0.7071 0.7071 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎞ , = ⎝ ⎜ ⎛ 0 0 0 1 0⎠ ⎟ ⎞ , = ⎝ ⎜ ⎛ 0 0 0 0 1⎠ ⎟ ⎞

dan =

⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎡4.4496₀ _0.44950 0₀

0 0 0

0 0 0⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎤

.

Jadi, DNSBL dari matriks X adalah

= = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡0.6739_0.6739

0.3029 0 0 0.2142 0.2142 −0.9530 0 0 −0.7071 0.7071 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎡4.4496₀ _0.44950 0₀

0 0 0

0 0 0⎦

(22)

13

Lampiran 2 Contoh Analisis Biplot

Data yang digunakan merupakan beberapa hasil panen kedelai di New York (Gabriel 2002) yang dikelompokkan berdasarkan lingkungan. Dari data ini akan dilakukan pemetaan lingkungan berdasarkan hasil panen kedelai.

Berikut tabel data hasil panen berdasarkan lingkungan.

Lingkungan Genotipe

A B C D E F

1 1.1113 0.578 1.278 1.4992 1.9632 1.7118 2 2.0375 1.3865 2.3502 2.8255 2.617 2.758 3 1.7355 1.6065 1.5875 1.8393 1.3747 1.5337 4 3.2578 2.9605 2.8127 3.4228 3.2073 2.9253 5 3.164 2.6058 2.815 3.4072 3.1883 3.5897 6 3.9235 3.6125 3.097 3.1645 2.482 2.9015 7 4.9062 4.6082 3.5097 4.7518 4.5015 3.6898 Pemetaan lingkungan berdasarkan hasil panen kedelai dilakukan dengan analisis biplot

menggunakan α = 0.

Data pada tabel adalah matriks ∗ dikoreksi terhadap nilai rata-ratanya sehingga diperoleh matriks , yaitu

=

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡−₋1.7652_0.8390 −₋_1.09321.9017 −₋_0.14271.2149 ₋−_0.16171.4880 ₋−_0.14500.7988 −_0.02801.0182 −1.1410 −0.8732 −0.9054 −1.1479 −1.3873 −1.1963

0.3813 0.4808 0.3198 0.4356 0.4453 0.1953

0.2875 0.1261 0.3221 0.4200 0.4263 0.8597

1.0470 1.1328 0.6041 0.1773 −0.2800 0.1715

2.0297 2.1285 1.0168 1.7646 1.7395 0.9598⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

Berdasarkan DNS dengan = 0 diperoleh koordinat-koordinat biplot sebagai berikut: Koordinat objek

D1 D2

1 -0.54496 -0.1753 2 -0.18134 -0.46 3 -0.41408 0.49948 4 0.14769 -0.04944 5 0.13971 -0.35828 6 0.21022 0.61064 7 0.64276 -0.06711 Koordinat peubah

D1 D2

A 3.20778 0.50675 B 3.29106 0.88003 C 1.93565 -0.00418 D 2.61005 -0.42029 E 2.22062 -0.94866 F 1.8471 -0.70927

Matriks yang merepresentasikan data ≈ , objek ≈ , dan peubah ≈ dari 7Y6 = 7U6L6W6T ≈ 7U*2L*2W*6T , di mana L* = diag , sehingga diperoleh matriks

= ∗dan matriks = ∗ ∗sebagai berikut:

=

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡−₋0.54496_0.18134 −0.41408 0.14769 0.13971 0.21022 0.64276

−0.17530

−0.46000 0.49948

−0.04944

−0.35828 0.61064

−0.06711⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

, =

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡3.2078_3.2910 0.5067_0.8800

1.9357 −0.0042 2.6101 −0.4203 2.2206 −0.9487 1.8471 −0.7093⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

(23)

14

Ukuran kesesuaian (%) analisis biplot disajikan dalam tabel berikut:

α = 0

Gabriel analisis Procrustes GF

Data 98.11 98.11 Peubah 99.97 99.99 Objek 33.33 33.33

[image:23.612.127.349.91.148.2]

Pada tabel di atas ditunjukkan bahwa pendekatan matriks menggunakan analisis biplot memberikan ukuran kesesuaian yang cukup besar untuk data dan peubah yaitu lebih dari 95% sedangkan ukuran kesesuaian untuk objek kecil yaitu kurang dari 50%. Hasil biplot diberikan pada gambar berikut

. Nilai D1 dan D2 untuk gambar di atas masing-masing ialah 92.10% dan 6.01%. Dari gambar di atas panjang vektor D dan E relatif sama panjang menunjukkan bahwa keragaman dari kedua peubah relatif sama besar. Pada peubah B digambarkan dengan vektor yang lebih panjang dibandingkan dengan peubah yang lainnya menunjukan bahwa tingkat keragamannya lebih tinggi dibandingkan dengan yang lainnya. Peubah C digambarkan dengan vektor yang lebih pendek dibandingkan dengan peubah yang lainnya menunjukan bahwa tingkat keragamannya relatif lebih rendah. Sudut yang dibentuk antar peubah tergolong lancip sehingga korelasi yang terjadi adalah korelasi positif, misalkan makin tinggi nilai A makin tinggi pula nilai peubah yang lainnya. Dari gambar di atas dapat terlihat kedekatan antar objek dengan peubah yaitu lingkungan (3) dan (6) terletak berlawanan dengan E, artinya hasil panen E untuk lingkungan (3) dan (6) berada di bawah rata-rata.

D1 = 92.10%

D

2

=

6

.0

1

[image:23.612.136.498.212.496.2]

(24)

15

Lampiran 3 Ilustrasi ≠ dan ≠ sehingga ≠0 dengan menggunakan

α= 0.

Misalkan diberikan matriks ∗ yaitu

∗₌ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡1.1113_2.0375 _1.38650.578 _2.35021.278 1.4992_2.8255 1.9632_2.617 1.7118_2.758

1.7355 1.6065 1.5875 1.8393 1.3747 1.5337 3.2578 2.9605 2.8127 3.4228 3.2073 2.9253 3.164 2.6058 2.815 3.4072 3.1883 3.5897 3.9235 3.6125 3.097 3.1645 2.482 2.9015 4.9062 4.6082 3.5097 4.7518 4.5015 3.6898⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ sehingga diperoleh = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡−₋1.7652_0.8390 −₋_1.09321.9017 −₋_0.14271.2149 ₋−_0.16171.4880 ₋−_0.14500.7988 −_0.02801.0182 −1.1410 −0.8732 −0.9054 −1.1479 −1.3873 −1.1963

0.3813 0.4808 0.3198 0.4356 0.4453 0.1953

0.2875 0.1261 0.3221 0.4200 0.4263 0.8597

1.0470 1.1328 0.6041 0.1773 −0.2800 0.1715

2.0297 2.1285 1.0168 1.7646 1.7395 0.9598⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dan = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡10.5657_10.9962 10.9962_11.6348 6.2082_6.2999 8.1261_8.2280 6.6445_6.5422 5.5881_5.3898

6.2082 6.2999 3.9209 5.0461 4.1265 3.7350 8.1261 8.2280 5.0461 7.0694 6.1974 5.0540 6.6445 6.5422 4.1265 6.1974 6.0680 4.5439 5.5881 5.3898 3.7350 5.0540 4.5439 4.1965⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .

Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen ortonormal sebagai berikut

( , ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 40.0229, ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0.50705 0.52021 0.30597 0.41257 0.35101 0.29197⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , ( , ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 2.6109, ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0.31361 0.54463 −0.00258 −0.26011 −0.58710

−0.43895⎠

⎟ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , ( , ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0.6418, ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ −0.02832 0.18477 −0.46090 0.08671 0.59057

−0.62955⎠

⎟ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , ( , ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0.1241, ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0.31845 0.06964 −0.32962 −0.74486 0.26912 0.39730 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , ( , ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0.0482, ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ −0.21871 0.30969 −0.70086 0.35615 −0.28205 0.39832⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

, dan ( , ) =

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0.0074, ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ −0.70321 0.54576 0.30674 −0.27009 0.17707 0.09615 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

dengan =

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ −0.54496 −0.18134 −0.41408 0.14769 0.13971 0.21022 0.64276 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ −0.17530 −0.46000 0.49948 −0.04944 −0.35828 0.61064

−0.06711⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0.37294 −0.28681 0.15296 0.13532 −0.48229 −0.44533 0.55320 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0.55274 −0.57836 −0.33879 −0.22015 0.39053 0.20970

−0.01567⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎞

(25)

16 = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ −0.28073 −0.27603 0.54512 −0.23371 0.55681 −0.41523 0.10377 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ −0.07757 −0.34600 −0.02951 0.84350 0.11876 −0.15925

−0.34993⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎞

dan =

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡√40.0229 0 0 0 0 0

0 √2.6109 0 0 0 0

0 0 √0.6418 0 0 0

0 0 0 √0.1241 0 0

0 0 0 0 √0.0482 0

0 0 0 0 0 √0.0074⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .

Jadi, DNS dari matriks Y ialah

= = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡−₋0.54496_0.18134 −0.41408 0.14769 0.13971 0.21022 0.64276 −0.17530 −0.46000 0.49948 −0.04944 −0.35828 0.61064 −0.06711 0.37294 −0.28681 0.15296 0.13532 −0.48229 −0.44533 0.55320 0.55274 −0.57836 −0.33879 −0.22015 0.39053 0.20970 −0.01567 −0.28073 −0.27603 0.54512 −0.23371 0.55681 −0.41523 0.10377 −0.07757 −0.34600 −0.02951 0.84350 0.11876 −0.15925

−0.34993⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡6.32637₀ _1.615840 0₀ 0₀ 0₀ 0₀

0 0 0.80113 0 0 0

0 0 0 0.35229 0 0

0 0 0 0 0.21947 0

0 0 0 0 0 0.08580⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡0.50705_0.31361 −0.02832 0.31845 −0.21871 −0.70321 0.52021 0.54463 0.18477 0.06964 0.30969 0.54576 0.30597 −0.00258 −0.46090 −0.32962 −0.70086 0.30674 0.41257 −0.26011 0.08671 −0.74486 0.35615 −0.27009 0.35101 −0.58710 0.59057 0.26912 −0.28205 0.17707 0.29197 −0.43895 −0.62955 0.39730 0.39832 0.09615 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .

Untuk α= 0 diperoleh matriks dan sebagai berikut:

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡10.5637_10.9949 10.9949_11.6342 6.2083_6.3005 8.1253_8.2273 6.6436_6.5419 5.5881_5.3903

6.2083 6.3005 3.9218 5.0471 4.1269 3.7358 8.1253 8.2273 5.0471 7.0716 6.1991 5.0560 6.6446 6.5419 4.1269 6.1991 6.0677 4.5443 5.5881 5.3903 3.7358 5.0560 4.5443 4.1973⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dan = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡10.5466_11.0016 11.0016_11.6049 6.2071_6.3672 8.1586_8.2192 6.6417_6.4730 5.5657_5.4552

6.2071 6.3672 3.7476 5.0549 4.3027 3.5791 8.1586 8.2192 5.0549 6.9913 6.1963 5.1211 6.6417 6.4730 4.3027 6.1963 5.8308 4.7750 5.5657 5.4552 3.5791 5.1211 4.7750 3.9157⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

dengan sentroidnya ialah

(26)

17

(27)

18

Lampiran 4 Ilustrasi bahwa ≠ pada transformasi rotasi. Pada transformasi translasi diperoleh matriks dan , di mana

= − dan

= − .

Matriks dan sebagai berikut:

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡ 2.5430_2.9742 2.8134_3.4527 1.3182_1.4104 1.5042_1.6062 0.9564_0.8546 0.8361_0.6383 −1.8124 −1.8811 −0.9683 −1.5740 −1.5604 −1.0161

0.1046 0.0458 0.1570 0.4506 0.5118 0.3040

−1.3770 −1.6396 −0.7631 −0.4220 0.3805 −0.2077

−2.4325 −2.7912 −1.1542 −1.5651 −1.1429 −0.5547⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dan = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡2.5247_2.9817 2.8148_3.4180 1.3307_1.4908 1.5351_1.5956 0.9384_0.7698 0.8304_0.7199 −1.8128 −1.8196 −1.1288 −1.5687 −1.4005 −1.1562

0.1387 0.0323 0.1785 0.3677 0.4931 0.3858

−1.3782 −1.7138 −0.5737 −0.4273 0.1276 0.0397

−2.4542 −2.7316 −1.2973 −1.5025 −0.9283 −0.8196⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

sehingga diperoleh matriks

= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡26.4565_29.9243 29.6302_33.5795 13.8282_15.5843 15.7741_17.6898 _10.33689.3482 8.3279_9.2371

13.1951 14.7591 6.9130 7.9109 4.7303 4.2058 15.9253 17.6011 8.5258 10.0385 6.4736 5.6651 10.1429 10.9389 5.6638 7.0223 5.1025 4.3628 7.5460 8.2653 4.1043 4.9299 3.3375 2.8924⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .

Untuk memperoleh matriks Q, akan dicari DNSBL dari matriks . DNSBL dari matriks ialah

= = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡−₋0.5643_0.6370 −₋0.1943_0.3525 ₋0.8000_0.5025 −_0.34600.0564 ₋0.0226_0.2665 −_0.16370.0025 −0.2818 −0.0588 −0.2448 −0.2604 0.3823 −0.8021

−0.3445 0.3577 −0.2077 −0.7281 0.0550 0.4208

−0.2249 0.7770 0.0604 0.2711 −0.4300 −0.2893

−0.1647 0.3209 −0.0272 0.4535 0.7710 0.2629⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡82.6301₀ _2.47380 0₀ 0₀ 0₀ 0₀

0 0 1. 10 0 0 0

0 0 0 2. 10 0 0

0 0 0 0 1. 10 0

0 0 0 0 0 0⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡−₋0.5654_0.1892 −₋_0.41100.6312 −_0.07250.2973 −_0.34840.3419 −_0.65160.2072 −_0.49400.1837

0.6199 −0.1899 −0.4999 −0.4857 0.1990 0.2329 0.4685 −0.5301 0.0176 0.5129 −0.1170 −0.4716 0.1336 −0.2343 0.2187 0.0760 −0.6689 0.6529 0.1514 −0.2464 0.7799 −0.5069 0.1782 −0.1391⎦

(28)

19

dan hasil yang diperoleh ialah

=

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡₋−_0.63120.5654 ₋−0.1892_0.4110 ₋0.6199_0.1899 ₋0.4685_0.5301 ₋0.1336_0.2343 ₋0.1514_0.2464 −0.2973 0.0725 −0.4999 0.0176 0.2187 0.7799

−0.3419 0.3484 −0.4857 0.5129 0.0760 −0.5069

−0.2072 0.6516 0.1990 −0.1170 −0.6689 0.1782

−0.1837 0.4940 0.2329 −0.4716 0.6529 −0.1391⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡−₋0.5643_0.1943 −₋0.6370_0.3525 −₋_0.05880.2818 −_0.35770.3445 −_0.77700.2249 −_0.32090.1647

0.8000 −0.5025 −0.2448 −0.2077 0.0604 −0.0272

−0.0564 0.3460 −0.2604 −0.7281 0.2711 0.4535 0.0226 −0.2665 0.3823 0.0550 −0.4300 0.7710

−0.0025 0.1637 −0.8021 0.4208 −0.2893 0.2629⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

=

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎡ ₀0.8280_.₃₀₉₄ ₀0.266_.₄₈₁₀ −₀0.1736_.4946 −_0.37930.2718 ₋0.0434₀_.₁₆₀₅ 0_0.5085.3708 −0.2443 0.4905 −0.3447 0.5596 −0.2219 0.4675

−0.2893 0.4132 0.4968 −0.23940 0.5712 0.3393 0.1405 −0.0308 −0.3968 0.3864 0.7693 −0.2841 0.2357 −0.5341 0.4496 0.5124 0.0709 0.4354⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤