Penentuan Solusi Optimal untuk Alokasi Kekayaan ke dalam Konsumsi dan Investasi

(1)

PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI

KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI

PELI SUKARSO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

PELI SUKARSO. Penentuan Solusi Optimal Untuk Alokasi Kekayaan ke dalam Konsumsi dan Investasi. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA.

Kehidupan manusia sangat berkaitan dengan masalah ekonomi yang dilakukan sepanjang hayatnya. Kegiatan tersebut berupa pengelolaan keuangan untuk konsumsi dan investasi dari kekayaan yang dimilikinya. Permasalahan yang muncul adalah bagaimana mengoptimalkan alokasi kekayaan untuk konsumsi dan investasi sehingga memaksimalkan fungsi utilitasnya. Dengan menentukan model persamaan anggaran dari individu, dapat ditentukan sebuah formulasi pengalokasian kekayaan individu untuk konsumsi dan investasi yang optimal. Fungsi utilitas yang digunakan adalah CRRA (Constant Relative Risk Aversion).

Hasil dari pengalokasian kekayaan yang optimal akan berdampak pada peningkatan konsumsi apabila besarnya kekayaan individu meningkat. Sedangkan untuk investasi, alokasi kekayaan untuk investasi dipengaruhi oleh besarnya return dan volatilitas dari aset. Semakin besar nilai return, investasi semakin meningkat. Apabila nilai volatilitas aset tinggi, investasi turun akibat pergerakan aset yang semakin tidak pasti.

Keyword: optimasi, CRRA, konsumsi dan investasi.

ABSTRACT

PELI SUKARSO. Determination of Optimal Solutions for the Allocation of Wealth into Consumption and Investment. Supervised by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA.

Human life is closely linked with economic problems faced throughout his life. The financial management activities are consumption and investment of the wealth. The problem is how to optimize the allocation of wealth to consumption and investment so as to maximize his utility function. By determining the budget equation model of the individual, an allocation formula of individual wealth for the optimal consumption and investment can be determined. The utility function has the form of constant relative risk aversion.

The optimal allocation of wealth imply to the increase in the amount of consumption, when individual wealth increases. On the other hand, the allocation of wealth for investment is influenced by the size and volatility of asset returns. The larger the value of return, investment tends to increase. If the value of volatility assets is higher, then investment assets will decrease due to the increasing uncertainty.

(3)

PENENTUAN SOLUSI OPTIMAL UNTUK ALOKASI

KEKAYAAN KE DALAM KONSUMSI DAN INVESTASI

PELI SUKARSO

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

(4)

Judul : Penentuan Solusi Optimal untuk Alokasi Kekayaan ke dalam Konsumsi

dan Investasi

Nama : Peli Sukarso

NIM : G54062895

Menyetujui,

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Ir. Retno Budiarti, M. S.

NIP 19610729 198903 2 002

Pembimbing II,

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA

NIP 19651218 199002 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, M. S.

NIP 19650505 198903 2 004

(5)

PRAKATA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, yang telah

memberikan rahmat dan hidayah-NYA sehingga penulis dapat menyelesaikan

penulisan skripsi ini yang berjudul “

Penentuan Solusi Optimal untuk Alokasi

Kekayaan ke Dalam Konsumsi dan Investasi

”.

Tulisan ini merupakan suatu karya dari hasil perjuangan yang sangat

panjang yang tentunya tidak akan selesai tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh

karena itu, pada kesempatan ini perkenankan penulis menghaturkan terima kasih

yang mendalam serta penghargaan yang setinggi-tingginya kepada Ibu Ir. Retno

Budiarti, M. S. dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing

atas segala arahan, bimbingan, motivasi, dukungan moral yang tak henti-hentinya

penulis dapatkan dan terus mendorong penulis agar berjuang menyelesaikan

tulisan ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada keluarga

besar Sadjar Edi Prayitno terutama Ibu, kakak, dan keponakan-keponakan saya,

atas doa, kasih sayang, motivasi, dan perhatian, yang begitu besar selama ini

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Yono, Ibu Ade,

Mas Heri, Mas Deni dan Bapak Bono atas bantuan yang diberikan. Tidak lupa,

ungkapan terima kasih penulis kepada seluruh teman-teman Matematika 43

(Albryan, Andrew, Arif, Zulkarnaen, Hendra dan lainnya), teman-teman 43

(Risal, Ipank, Ridho, Tito, Wahyu, Nafiul), serta teman-teman kos Wisma Cemara

(Indra, Fijar, Djalley, Roy, Ofa ) atas bantuan, motivasi, diskusi, dan kebersamaan

selama penulis menempuh studi dan menjalankan penelitian.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Januari 2012

(6)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 19 Juni 1986 dari Ayah Sajar

Edi Prayitno (Alm) dan Ibu Kesin. Penulis merupakan anak kedelapan dari

delapan bersaudara. Penulis menyelesaikan studi di SMAN 1 SUMBER

CIREBON pada tahun 2004. Pada tahun 2006 penulis diterima di Institut

Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB)

pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam.

Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah menjadi

staf departemen Permberdayaan Sumber Daya Manusia (PSDM) Gumatika

(Gugus Mahasiswa Matematika) FMIPA IPB pada periode 2007-2008. Selain itu,

penulis pernah terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan yang diselenggarakan

oleh Gumatika antara lain Kadiv. Logistik dan Transportasi Tahun 2007, panitia

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ... vii

PENDAHULUAN ... 1

BAHAN DAN METODE

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 1

Proses Stokastik dan Gerak Brown 1-dimensi ... 2

Fungsi Kepuasan dan

Constant Relative Risk Aversion

(CRRA) ... 3

Kontrol Optimum dan Sistem Dinamik ... 4

Istilah dalam Ekonomi ... 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Asumsi dalam Model ... 5

Model Dinamik Persamaan Anggaran ... 5

Model Persamaan Anggaran Dua Aset ... 6

Kasus

Constant Relative Risk Aversion

(CRRA) ... 8

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan ... 9

Saran ... 9

DAFTAR PUSTAKA ... 9

LAMPIRAN ... 11

(8)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Uraian persamaan 2 ... 11

2 Uraian persamaan 10 ... 11

(9)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kehidupan individu sangat terkait dengan masalah ekonomi yang dilakukan sepanjang hayatnya. Kegiatan ekonomi yang dilakukan dapat berupa konsumsi barang dan jasa. Permasalahan yang muncul adalah bagaimana memaksimalkan pendapatan yang diperoleh untuk alokasi konsumsi. Dengan mengoptimalkan pengeluaran berupa konsumsi barang dan jasa yang menjadi prioritas, akan memungkinkan adanya sisa dari pendapatan yang dapat disimpan dalam bentuk tabungan atau dipergunakan untuk keperluan lainnya. Di samping mementingkan konsumsi yang dilakukan pada periode waktu saat ini, individu juga dapat merencanakan kegiatan konsumsi pada masa yang akan datang. Oleh karena itu, perlu dilakukan suatu tindakan preventif berupa tabungan atau investasi.

Seorang individu dalam melakukan kegiatan ekonomi mementingkan tingkat kepuasannya. Dalam ilmu ekonomi tingkat kepuasan individu diukur dengan fungsi utilitas.

Dalam tulisan ini, akan dibahas mengenai model persamaan anggaran dalam umum dan dalam bentuk khusus berupa model persamaan

anggaran untuk dua aset. Serta permasalahan mengenai besarnya proporsi yang akan dialokasikan seseorang yang digunakan untuk konsumsi dan investasi sehingga memaksimalkan fungsi utilitas seseorang. Dari model tersebut akan didapat formulasi proporsi optimal untuk kekayaan yang dibelanjakan untuk konsumsi dan investasi.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari penyelesaian masalah pengambilan keputusan dalam pengalokasian kekayaan yang optimal untuk konsumsi dan investasi.

1.3 Metode Penulisan

Metode penulisan karya ilmiah ini berupa studi literatur materi. Untuk studi literatur, materi diperoleh dari jurnal ilmiah utama dan jurnal-jurnal ilmiah lain, serta buku-buku yang terkait dengan penyusunan karya ilmiah ini. Materi jurnal ilmiah utama diadaptasi dari jurnal ilmiah yang berjudul Lifetime Portofolio Selection Under Uncertainty: Continuous-time Case (Robert C. Merton 1969).

II LANDASAN TEORI

Dalam bagian ini dijelaskan konsep-konsep dasar matematis yang digunakan untuk membantu penyelesaian masalah dalam pembahasan.

2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Fungsi sebaran.

Definisi 1 Percobaan Acak

Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dilakukan secara berulang dalam kondisi yang sama dengan kemungkinan semua hasil yang muncul diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 2 Ruang Contoh

Ruang contoh adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω.

(Grimmet dan Stirzaker 2001)

Definisi 3 Medan-

Medan- adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat

berikut.

1.

2. Jika A , maka

3. Jika , maka

(Hogg et al. 2005)

Definisi 4 Peubah Acak

Peubah acak adalah suatu fungsi X : Ω dengan sifat bahwa { } ℱ untuk setiap x .

Definisi 5 Fungsi Sebaran

Suatu fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi FX : ℝ→[0,1] yang diberikan oleh FX(x) = P( ).

Misalkan adalah gugus fungsi kemungkinan nilai dari suatu peubah acak X, maka sifat-sifat fungsi sebaran adalah

1. ₀

2. _F₍_x_{) adalah fungsi tak turun.}

(10)

4. _F₍_z₎₌_{1 untuk setiap nilai}_z_yang lebih besar atau sama dengan nilai terbesar dalam .

Definisi 6 Fungsi Massa Peluang

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p: yang diberikan oleh (x) = P(X= x).

Definisi 7 Peubah Acak Kontinu

Peubah acak X dikatakan peubah acak kontinu jika fungsi sebaran dapat diekspresikan sebagai

untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Fungsi disebut sebagai fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu .

Definisi 8 Sebaran Normal dan Normal Baku

Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran normal dengan parameter dan jika fungsi kepekatannya

.

Jika peubah acak X menyebar normal dengan parameter dan serta fungsi kepekatan peluangnya

,

maka dikatakan menyebar normal baku. (Ghahramani 2005)

Definisi 9 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari X adalah

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Grimmet & Stirzaker 2001)

Lema 1 Sifat Nilai Harapan

Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1. Jika k adalah suatu konstanta, maka E(k) =

k,

2. Jika k adalah suatu konstanta dan X adalah peubah acak, maka

3. Jika adalah konstanta dan adalah peubah acak, maka

(bukti lihat Hogg et al. 2005)

Definisi 10 Ragam

Ragam dari suatu peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya, didefinisikan sebagai berikut.

Lema 2 Sifat Ragam

Beberapa sifat dari ragam: 1. Jika k suatu konstanta, maka

.

2. Jika suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka

(Hogg et al.2005)

2.2 Proses Stokastik dan Gerak Brown 1-dimensi

Definisi 11Proses Stokastik

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 2007)

Definisi 12 Gerak Brown 1-dimensi

Suatu proses stokastik B(t), t [0, ) dikatakan sebagai Gerak Brown 1-dimensi, apabila B(t) memiliki sifat-sifat berikut:

1. P{B(0) = 0}= 1,

2. Untuk sembarang ,

peubah acak

3. _Untuk _{, selisih} menyebar N(0, ).

(11)

Definisi 13 Proses Wiener

Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan ragam 1.

Proses Wiener cocok untuk suatu peubah acak yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

Komponen disebut sebagai komponen deterministik dan komponen

menyatakan komponen stokastik, serta adalah Proses Wiener, sedangkan dan masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari .

(Hull 1997)

Definisi 14 Proses Ito 1-dimensi

Proses Ito 1-dimensi adalah proses stokastik X(t) pada ruang peluang (Ω, ℱ, P) yang memiliki bentuk:

Dengan B(t) adalah Gerak Brown

1-dimensi pada (Ω, ℱ, P).

(Oksendal 2003)

Definisi 15 Rantai Markov

Rantai Markov adalah Suatu proses stokastik dengan ruang state S yang terbatas atau tak terbatas, jika untuk semua

, dan

(Ghahramani 2005)

Definisi 16 Random Walk

Random Walk adalah suatu rantai markov dengan ruang state suatu himpunan bilangan bulat, dan mempunyai peluang transisi

dengan . Dengan kata lain setiap transisi perubahan akan bergerak satu langkah ke kanan dengan peluang atau bergerak satu langkah ke kiri dengan peluang .

(Ross 2007)

Definisi 17 Gaussian Random Walk

Gaussian random walk adalah suatu rantai markov yang mempunyai transisi perubahan berdasarkan pada distribusi normal yang

digunakan dalam dunia nyata sebagai model data time series seperti pasar keuangan.

Transisi perubahannya adalah inverse dari sebaran normal kumulatif

dimana adalah jumlah acak sebaran seragam dan adalah mean dan standar deviasi dari sebaran normal.

(Ross 2007)

2.3 Fungsi Kepuasan dan Constant Relative Risk Aversion (CRRA)

Definisi 18 Fungsi Kepuasan

Misalkan adalah

himpunan konsumsi, maka fungsi kepuasan konsumsi U memetakan X ke bilangan real.

(Fishburn 1970)

Definisi 19 Constant Relative Risk Aversion (CRRA)

Misalkan U(W) adalah fungsi kepuasan U dari kekayaan W, Constant Relative Risk Aversion (CRRA) didefinisikan dalam bentuk:

,

dengan adalah koefisien Constant Relative Risk Aversion ( )

(Anderson dan Hardeker 2003)

Definisi 20 Himpunan Convex

Himpunan dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di , maka ruas garis yang menghubungkan dan juga terletak di Dengan kata lain himpunan dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di dan untuk setiap dengan

, maka vektor juga terletak di

(Peressini et al. 1988)

Definisi 21 Fungsi Konkaf dan Konkaf sempurna

Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks di , maka:

1. Fungsi dikatakan konkaf di jika

untuk setiap di dan untuk setiap , dengan .

(12)

(Peressini et al. 1988)

Definisi 22 Teorema Deret Taylor

Nilai hampiran f di x untuk fungsi di a (atau sekitar a atau berpusat di a) didefinisikan

(Stewart 1999)

2.4 Kontrol Optimum dan Sistem Dinamik

Definisi 23 Kontrol Optimum

Kontrol optimum merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah optimasi dinamis. Secara sederhana masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol diantara peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state akhir pada waktu akhir , sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional objektif. Fungsional objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi lainnya untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu permasalahan.

(Tu 1993)

Definisi 24 Sistem Dinamik

Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.

Sistem dinamik dinyatakan sebagai berikut:

,

dengan merupakan fungsi x.

(Kreyszig 1993)

Definisi 25 Simbol

Simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarmya dua fungsi dan untuk menuju suatu limit .

Notasi menyatakan

bahwa terbatas, untuk .

(Serfling 1980)

2.5 Istilah-Istilah Ekonomi

Definisi 26 Aset

Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai pertukaran.

(Harvey dan Gretchen 2002)

Definisi 27 Aset Bebas Risiko

Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki return yang pasti di masa depan.

Definisi 28 Aset Berisiko

Aset berisiko adalah aset yang return di masa yang akan datang tidak pasti.

Definisi 29 Portofolio

Portofolio adalah kumpulan dari beberapa aset yang digabungkan dalam suatu investasi yang didalamya termasuk beberapa investasi berisiko dan bebas risiko dengan tujuan untuk meminimalkan resiko dari masing-masing aset.

(Bodie et al. 2005)

Definisi 30 Volatilitas

Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan aset. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan aset. Sebaliknya semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah menduga aset tersebut.

(Harvey & Gretchen 2002)

III PEMBAHASAN

3.1 Asumsi

Dalam pembahasan skripsi ini akan dibahas permasalahan pemilihan portofolio dan konsumsi individu untuk model waktu kontinu dengan asumsi pendapatan individu diperoleh dari return beberapa aset yang bersifat stokastik. Selanjutnya, akan dibahas mengenai permasalahan optimalitas dari model multi-aset dengan return yang dibangkitkan dari gerak Wiener-Brownian.

Dalam kasus khusus, dibahas persamaan untuk model dua aset dengan constant relative risk aversion (CRRA).

3.2 Model Dinamik: Persamaan Anggaran

(13)

selanjutnya menyelesaikan bentuk limitnya untuk waktu yang kontinu.

Didefinisikan:

Total kekayaan pada waktu t,

Harga dari aset i pada waktu t, ,

Konsumsi per unit waktu untuk waktu t,

Proporsi total kekayaan yang dialokasikan pada aset i untuk waktu t, dengan

.

Persamaan anggaran dapat dituliskan sebagai berikut

(1)

dengan dan interval waktu antar periode.

Dengan melakukan pengurangan terhadap pada kedua sisi, maka persamaan (1) dapat ditulis kembali menjadi

(2)

(Lihat Lampiran 1)

dengan . Oleh karena

stokastik mengakibatkan juga stokastik, maka dipilih adalah tingkat return per unit waktu pada aset ke-i.

Untuk kondisi waktu diskret, diasumsikan bahwa ditetapkan mengikuti persamaaan

(3)

dimana adalah expected rate return yang bernilai konstan.

Fungsi merupakan error yang dibangkitkan oleh Gausian random-walk yang dinyatakan dalam bentuk fungsi yang memenuhi persamaan berikut

(4)

dengan adalah peubah acak yang saling bebas yang menyebar normal baku,

untuk setiap t, menyatakan ragam per unit waktu dari proses , dan nilai tengah dari increment sama dengan nol.

Subtitusi pada persamaan (3) ke dalam persamaan (2), diperoleh

(5)

Dari persamaan (5), nilai harapan bersyarat di atas dengan diketahui adalah (6) (Merton 1969) ₍₇₎ (Merton 1969)

Dengan adalah nilai harapan bersyarat dengan syarat diketahui.

Bentuk persamaan diferensial stokastik pada persamaan (4) jika , (waktu kontinu) dapat dituliskan dalam bentuk berikut.

, (8)

dengan dibangkitkan proses Wiener.

Jika untuk kondisi , persamaan (5) dapat ditulis menjadi

(9)

(Merton 1969)

(14)

kontinu di bawah kondisi ketidakpastian. Persamaan anggaran rata-rata dapat dihasilkan dari persamaan (5), yaitu

. (10)

(Lihat Lampiran 2)

Dengan mengambil , maka persamaan di atas menjadi rata-rata laju perubahan kekayaan.

(11)

(Lihat Lampiran 3)

3.3 Model Persamaan Anggaran Dua Aset

Pada bagian ini akan dibahas lebih khusus yaitu persamaan anggaran untuk model dua aset.

Didefinisikan

adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset berisiko,

adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset bebas resiko,

adalah besarnya return pada aset berisiko (Var ),

adalah besarnya interest rate pada aset bebas resiko (Var ).

Dengan , maka

persamaan (5), (6), (7) dan (11) dapat dituliskan, sebagai berikut.

. (12)

(Lihat Lampiran 4)

(13)

(Lihat Lampiran 5)

(14)

(Lihat Lampiran 6)

(15)

(Lihat Lampiran 7)

(16)

(Lihat Lampiran 8)

Permasalahan untuk memilih portofolio dan konsumsi yang optimal dirumuskan sebagai berikut,

(17)

dengan kendala persamaan (15) .

Fungsi diasumsikan merupakan fungsi utilitas yang strictly concave

adalah peubah acak yang dibentuk proses Wiener, adalah bequest valuation function (fungsi penaksiran harta waris) yang diasumsikan concave terhadap .

Untuk mendapatkan persamaan yang optimal, yang dilakukan selanjutnya adalah menulis ulang persamaan (17) ke dalam bentuk pemograman dinamik.

(18)

dengan kendala yang dimiliki sama seperti pada persamaan (17), yaitu persamaan (15),

(15)

Jika diasumsikan

, maka dari persamaan (18) diperoleh

(19)

Sehingga dalam kasus khusus, persamaan (14) dapat dituliskan menjadi

(20)

Jika dan turunan parsial ketiga dari terbatas, maka dengan menggunakan teorema Taylor dan teorema nilai tengah untuk integral, persamaan (19) dapat dituliskan menjadi

,

(21)

(LihatLampiran 9)

Ambil nilai harapan dari persamaan (21),

yaitu , dan

mengurangkan dengan pada kedua sisi, serta dengan mensubtitusikan persamaan (13) dan (14) ke dalam persamaan kemudian bagi dengan h. Dengan cara mengambil limit , maka persamaan (21) menjadi

(22)

Persamaan di atas disebut sebagai a continous-time version of the Bellman-Dreyfus fundamental equation of optimality (persamaan fundamental Bellman-Dreyfus yang optimal untuk waktu kontinu). Dengan penulisan singkat untuk , untuk setiap .

Jika didefinisikan

, (23)

maka persamaan (22) dapat dituliskan menjadi

(24)

Kondisi orde pertama untuk persamaan (24) adalah

(25)

(26)

Kondisi orde kedua (syarat cukup) untuk persamaan (24) adalah

dimana .

Jika strictly concave terhadap

, maka dan

, strictly concave terhadap . Kondisi optimalitas dapat dituliskan sebagai himpunan persamaan diferensial parsial untuk menyelesaikan

(27)

terhadap kendala batas

sehingga solusi untuk persamaan (14) menjadi solusi yang feasible.

3.4 Kasus Constan Relative Risk Aversion

Untuk kasus persamaan sistem diferensial parsial tak linear pada persamaan (27) sangat sulit untuk diselesaikan secara umum. Akan tetapi, jika fungsi utilitas diasumsikan sebagai bentuk yielding constant relative risk-aversion, maka persamaan (27) dapat diselesaikan secara eksplisit. Misalkan

(16)

(bentuk limit dari ) dimana

– adalah measure of relative risk aversion. Jika pada persamaan (27) disubstitusikan besarnya nilai utilitas, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk kasus khusus seperti di bawah ini,

.

(28) (Lihat Lampiran 10)

(29)

(Lihat Lampiran 11)

(30)

(Lihat Lampiran 12)

berlaku untuk ,

untuk . Dimana sebuah asumsi strategi yang sederhana akan menghasilkan bentuk khusus dari fungsi penilaian harta warisan,

Untuk menyelesaikan persamaan (22) digunakan trial solution.

. (31)

Substitusi persamaan (22) ke dalam persamaan (24), syarat perlu

menjadi solusi persamaan (24) adalah yang memenuhi persamaan diferensial biasa di bawah ini.

. (32)

(Lihat Lampiran 13)

dengan nilai batas , dan

.

Hasil pengambilan keputusan pemilihan untuk konsumsi dan portofolio adalah , yang dinyatakan persamaan (33) dan persamaan (34) adalah

(33)

(34)

Solusi untuk persamaan (23) adalah

(35)

dengan

(Merton 1969)

Syarat perlu untuk menjadi solusi untuk ( ) adalah jika

memenuhi

A. real (feasibility)

B. (concavity for maximum)

C. (feasibility)

Kondisi A, B, dan C yang dipenuhi jika

(36)

untuk semua v dan .

Dengan mendapatkan persamaan (27), maka aturan pemilihan konsumsi dan portofolio yang optimal adalah

, .

, (37)

dan

(38)

Persamaan (37) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk konsumsi bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu. Semakin besar kekayaan, maka individu cenderung untuk semakin besar menambah jumlah proporsi untuk konsumsi.

Persamaan (38) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk investasi tidak bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu, . Alokasi pada investasi hanya bergantung pada besarnya nilai return dan volatilitas aset dari aset berisiko bergantung pada interest rate aset bebas risiko.

(17)

SIMPULAN

Pemilihan strategi alokasi kekayaan untuk portofolio dan konsumsi dapat dinyatakan dalam bentuk formula yang mengoptimalkan konsumsi dan investasi.

Semakin besar kekayaan individu, maka proporsi kekayaan untuk konsumsi semakin meningkat, berlaku juga sebaliknya.

Sedangkan besarnya proporsi yang dialokasikan dalam investasi, semakin besar

nilai return yang didapat akan mengakibatkan besarnya proporsi investasi yang menurun, dan berbanding terbalik terhadap volatilitas aset. Jadi semakin besar nilai return, alokasi untuk investasi naik. Semakin besar nilai volatilitas aset, individu cenderung mengurangi pembelian portofolio karena pergerakan aset yang tidak pasti.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson JR, Hardeker JB. 2003. Risk Aversion in Economic Decision Making: Pragmatic Guides for Consistent Chance by Natural Resources Manager. Journal of Risk and Uncertainty in Enviromental and Natural Resources Economics .171-187.

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investment. ed. New York: The McGraw-Hill Companies. Inc.

Fishburn PC. 1970. Utility Theory for Decision Making. New York : Robert F. Krieger Publishing. Co.

Gahramani S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastic Processes. 3th ed. New Jersey : Pearsn Prentice Hall.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Oxford: Clarendon Press.

Harvey CR, Gretchen M. 2002. The New York

Times Dictionary of Money and

Investing: the Essential A-Z for the Language of the Market. New York : Henry Holt & Company.

Hogg RY, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistic . 5th ed. New Jersey: Pearsn Prentice Hall, Inc

Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik

lanjutan. Terjemahan bambang

Sumantri. Jakarta: gramedia pustaka Utama..

Merton RC. 1969. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous time

case. Review of Economics and Statistics Lt. 239-246.

Oksendal B. 2003. Stochastic Differential Equation. 6th ed. Berlin : Springer.

Peressini Al, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Non-Linear Programing. New York: Springer-Verlag.

Ross SM. 2007. Introduction to Probability Models. Ed. ke-7. California : Academic Press.

Serfling Rh. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Willey & Sons.

Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 2. 4th ed. Jakarta: Erlangga.

Sydsaeter K, Hammond PJ. 1995. Mathematics for Economic Analysis. New York: Englewood Cliffs Prentice-Hall.

Tu PNV. 1993. Introduction Optimazion

Dynamics: Optimal Control with

Economics and Management

Applications. Second Revised and Enlarge Edition. Berlin: Springer-Verlag.

(18)

(19)

Lampiran 1: Uraian persamaan (2)

Diketahui persamaan anggaran.

Dengan cara melakukan pengurangan terhadap pada kedua sisi, sehingga

Karena , maka

Misalkan , maka persamaannya menjadi

Lampiran 2: Uraian persamaan (10)

Diketahui nilai harapan dari persamaan anggaran

(20)

Dengan mengambil nilai limit untuk pada persamaan anggaran rata-rata, maka kita dapatkan persamaan untuk tingkat rata-rata perubahan kekayaan dari model persamaan anggaran.

Lampiran 4: Uraian persamaan (12)

Dari definisi persamaan model dua aset diketahui:

; ; ;

Dengan bentuk persamaan anggaran

Dengan definisi persamaan (6), nilai harapan dari persamaan anggaran untuk model dua aset adalah

=

Dengan menggunakan definisi persamaan (7), maka nilai kuadrat ekspektasi dari persamaan anggaran untuk model dua aset adalah

(21)

Karena besarnya nilai Var , maka

Lampiran 7: Uraian persamaan (15)

Dengan menggunakan definisi persamaan (9), maka untuk persamaan anggaran waktu diskret untuk model dua aset adalah

Diketahui persamaan optimal untuk pemilihan portofolio dan konsumsi

Untuk mendapatkan persamaan optimalitas, maka bentuk persamaan di atas akan dirubah dalam bentuk pemograman dinamik menjadi

(a)

dimana .

Jika dan turunan parsial ketiga dari terbatas, maka untuk menyelesaikannya kita gunakan teorema Taylor dan teorema nilai tengah.

Jika diketahui

(22)

(Bukti lihat S.E Dreyfus)

Sehingga untuk persamaan (a) dapat kita tuliskan menjadi

Lampiran 10: Uraian persamaan (28)

Dengan mensubstitusikan persamaan , dan ke dalam

persamaan (28), maka akan diperoleh

Didefinisiakan

(23)

dimana

kondisi orde pertama untuk C maksimum adalah

Seperti yang didefinisikan persamaan (26), maka kondisi orde pertama untuk w maksimum adalah

Lampiran 13: Uraian persamaan (32)

Diketahui

(a)

(b)

(c)

Bukti:

Substitusi (a),(b), dan (c) ke dalam persamaan (28)

(24)

Kalikan dengan , sehingga

(25)

ABSTRAK

ABSTRACT

(26)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kehidupan individu sangat terkait dengan masalah ekonomi yang dilakukan sepanjang hayatnya. Kegiatan ekonomi yang dilakukan dapat berupa konsumsi barang dan jasa. Permasalahan yang muncul adalah bagaimana memaksimalkan pendapatan yang diperoleh untuk alokasi konsumsi. Dengan mengoptimalkan pengeluaran berupa konsumsi barang dan jasa yang menjadi prioritas, akan memungkinkan adanya sisa dari pendapatan yang dapat disimpan dalam bentuk tabungan atau dipergunakan untuk keperluan lainnya. Di samping mementingkan konsumsi yang dilakukan pada periode waktu saat ini, individu juga dapat merencanakan kegiatan konsumsi pada masa yang akan datang. Oleh karena itu, perlu dilakukan suatu tindakan preventif berupa tabungan atau investasi.

Seorang individu dalam melakukan kegiatan ekonomi mementingkan tingkat kepuasannya. Dalam ilmu ekonomi tingkat kepuasan individu diukur dengan fungsi utilitas.

Dalam tulisan ini, akan dibahas mengenai model persamaan anggaran dalam umum dan dalam bentuk khusus berupa model persamaan

anggaran untuk dua aset. Serta permasalahan mengenai besarnya proporsi yang akan dialokasikan seseorang yang digunakan untuk konsumsi dan investasi sehingga memaksimalkan fungsi utilitas seseorang. Dari model tersebut akan didapat formulasi proporsi optimal untuk kekayaan yang dibelanjakan untuk konsumsi dan investasi.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari penyelesaian masalah pengambilan keputusan dalam pengalokasian kekayaan yang optimal untuk konsumsi dan investasi.

1.3 Metode Penulisan

Metode penulisan karya ilmiah ini berupa studi literatur materi. Untuk studi literatur, materi diperoleh dari jurnal ilmiah utama dan jurnal-jurnal ilmiah lain, serta buku-buku yang terkait dengan penyusunan karya ilmiah ini. Materi jurnal ilmiah utama diadaptasi dari jurnal ilmiah yang berjudul Lifetime Portofolio Selection Under Uncertainty: Continuous-time Case (Robert C. Merton 1969).

II LANDASAN TEORI

Dalam bagian ini dijelaskan konsep-konsep dasar matematis yang digunakan untuk membantu penyelesaian masalah dalam pembahasan.

2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Fungsi sebaran.

Definisi 1 Percobaan Acak

Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dilakukan secara berulang dalam kondisi yang sama dengan kemungkinan semua hasil yang muncul diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga.

Definisi 2 Ruang Contoh

Ruang contoh adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω.

Definisi 3 Medan-

Medan- adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat

berikut.

1.

2. Jika A , maka

3. Jika , maka

(Hogg et al. 2005)

Definisi 4 Peubah Acak

Peubah acak adalah suatu fungsi X : Ω dengan sifat bahwa { } ℱ untuk setiap x .

Definisi 5 Fungsi Sebaran

Suatu fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi FX : ℝ→[0,1] yang diberikan oleh FX(x) = P( ).

Misalkan adalah gugus fungsi kemungkinan nilai dari suatu peubah acak X, maka sifat-sifat fungsi sebaran adalah

1. ₀

2. _F₍_x_{) adalah fungsi tak turun.}

(27)

4. _F₍_z₎₌_{1 untuk setiap nilai}_z_yang lebih besar atau sama dengan nilai terbesar dalam .

Definisi 6 Fungsi Massa Peluang

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p: yang diberikan oleh (x) = P(X= x).

Definisi 7 Peubah Acak Kontinu

Peubah acak X dikatakan peubah acak kontinu jika fungsi sebaran dapat diekspresikan sebagai

untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Fungsi disebut sebagai fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu .

Definisi 8 Sebaran Normal dan Normal Baku

Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran normal dengan parameter dan jika fungsi kepekatannya

.

Jika peubah acak X menyebar normal dengan parameter dan serta fungsi kepekatan peluangnya

,

maka dikatakan menyebar normal baku. (Ghahramani 2005)

Definisi 9 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari X adalah

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Grimmet & Stirzaker 2001)

Lema 1 Sifat Nilai Harapan

Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1. Jika k adalah suatu konstanta, maka E(k) =

k,

2. Jika k adalah suatu konstanta dan X adalah peubah acak, maka

3. Jika adalah konstanta dan adalah peubah acak, maka

(bukti lihat Hogg et al. 2005)

Definisi 10 Ragam

Ragam dari suatu peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya, didefinisikan sebagai berikut.

Lema 2 Sifat Ragam

Beberapa sifat dari ragam: 1. Jika k suatu konstanta, maka

.

2. Jika suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka

(Hogg et al.2005)

2.2 Proses Stokastik dan Gerak Brown 1-dimensi

Definisi 11Proses Stokastik

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 2007)

Definisi 12 Gerak Brown 1-dimensi

Suatu proses stokastik B(t), t [0, ) dikatakan sebagai Gerak Brown 1-dimensi, apabila B(t) memiliki sifat-sifat berikut:

1. P{B(0) = 0}= 1,

2. Untuk sembarang ,

peubah acak

3. _Untuk _{, selisih} menyebar N(0, ).

(28)

Definisi 13 Proses Wiener

Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan ragam 1.

Proses Wiener cocok untuk suatu peubah acak yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

Komponen disebut sebagai komponen deterministik dan komponen

menyatakan komponen stokastik, serta adalah Proses Wiener, sedangkan dan masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari .

(Hull 1997)

Definisi 14 Proses Ito 1-dimensi

Proses Ito 1-dimensi adalah proses stokastik X(t) pada ruang peluang (Ω, ℱ, P) yang memiliki bentuk:

Dengan B(t) adalah Gerak Brown

1-dimensi pada (Ω, ℱ, P).

(Oksendal 2003)

Definisi 15 Rantai Markov

Rantai Markov adalah Suatu proses stokastik dengan ruang state S yang terbatas atau tak terbatas, jika untuk semua

, dan

(Ghahramani 2005)

Definisi 16 Random Walk

Random Walk adalah suatu rantai markov dengan ruang state suatu himpunan bilangan bulat, dan mempunyai peluang transisi

dengan . Dengan kata lain setiap transisi perubahan akan bergerak satu langkah ke kanan dengan peluang atau bergerak satu langkah ke kiri dengan peluang .

(Ross 2007)

Definisi 17 Gaussian Random Walk

Gaussian random walk adalah suatu rantai markov yang mempunyai transisi perubahan berdasarkan pada distribusi normal yang

digunakan dalam dunia nyata sebagai model data time series seperti pasar keuangan.

Transisi perubahannya adalah inverse dari sebaran normal kumulatif

dimana adalah jumlah acak sebaran seragam dan adalah mean dan standar deviasi dari sebaran normal.

(Ross 2007)

2.3 Fungsi Kepuasan dan Constant Relative Risk Aversion (CRRA)

Definisi 18 Fungsi Kepuasan

Misalkan adalah

himpunan konsumsi, maka fungsi kepuasan konsumsi U memetakan X ke bilangan real.

(Fishburn 1970)

Definisi 19 Constant Relative Risk Aversion (CRRA)

Misalkan U(W) adalah fungsi kepuasan U dari kekayaan W, Constant Relative Risk Aversion (CRRA) didefinisikan dalam bentuk:

,

dengan adalah koefisien Constant Relative Risk Aversion ( )

(Anderson dan Hardeker 2003)

Definisi 20 Himpunan Convex

Himpunan dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di , maka ruas garis yang menghubungkan dan juga terletak di Dengan kata lain himpunan dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di dan untuk setiap dengan

, maka vektor juga terletak di

(Peressini et al. 1988)

Definisi 21 Fungsi Konkaf dan Konkaf sempurna

Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks di , maka:

1. Fungsi dikatakan konkaf di jika

(29)

(Peressini et al. 1988)

Definisi 22 Teorema Deret Taylor

Nilai hampiran f di x untuk fungsi di a (atau sekitar a atau berpusat di a) didefinisikan

(Stewart 1999)

2.4 Kontrol Optimum dan Sistem Dinamik

Definisi 23 Kontrol Optimum

Kontrol optimum merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah optimasi dinamis. Secara sederhana masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol diantara peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state akhir pada waktu akhir , sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional objektif. Fungsional objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi lainnya untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu permasalahan.

(Tu 1993)

Definisi 24 Sistem Dinamik

Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.

Sistem dinamik dinyatakan sebagai berikut:

,

dengan merupakan fungsi x.

(Kreyszig 1993)

Definisi 25 Simbol

Simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarmya dua fungsi dan untuk menuju suatu limit .

Notasi menyatakan

bahwa terbatas, untuk .

(Serfling 1980)

2.5 Istilah-Istilah Ekonomi

Definisi 26 Aset

Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai pertukaran.

Definisi 27 Aset Bebas Risiko

Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki return yang pasti di masa depan.

Definisi 28 Aset Berisiko

Aset berisiko adalah aset yang return di masa yang akan datang tidak pasti.

Definisi 29 Portofolio

Portofolio adalah kumpulan dari beberapa aset yang digabungkan dalam suatu investasi yang didalamya termasuk beberapa investasi berisiko dan bebas risiko dengan tujuan untuk meminimalkan resiko dari masing-masing aset.

(Bodie et al. 2005)

Definisi 30 Volatilitas

Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan aset. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan aset. Sebaliknya semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah menduga aset tersebut.

(Harvey & Gretchen 2002)

III PEMBAHASAN

3.1 Asumsi

Dalam pembahasan skripsi ini akan dibahas permasalahan pemilihan portofolio dan konsumsi individu untuk model waktu kontinu dengan asumsi pendapatan individu diperoleh dari return beberapa aset yang bersifat stokastik. Selanjutnya, akan dibahas mengenai permasalahan optimalitas dari model multi-aset dengan return yang dibangkitkan dari gerak Wiener-Brownian.

Dalam kasus khusus, dibahas persamaan untuk model dua aset dengan constant relative risk aversion (CRRA).

3.2 Model Dinamik: Persamaan Anggaran

(30)

selanjutnya menyelesaikan bentuk limitnya untuk waktu yang kontinu.

Didefinisikan:

Total kekayaan pada waktu t,

Harga dari aset i pada waktu t, ,

Konsumsi per unit waktu untuk waktu t,

Proporsi total kekayaan yang dialokasikan pada aset i untuk waktu t, dengan

.

Persamaan anggaran dapat dituliskan sebagai berikut

(1)

dengan dan interval waktu antar periode.

Dengan melakukan pengurangan terhadap pada kedua sisi, maka persamaan (1) dapat ditulis kembali menjadi

(2)

(Lihat Lampiran 1)

dengan . Oleh karena

stokastik mengakibatkan juga stokastik, maka dipilih adalah tingkat return per unit waktu pada aset ke-i.

Untuk kondisi waktu diskret, diasumsikan bahwa ditetapkan mengikuti persamaaan

(3)

dimana adalah expected rate return yang bernilai konstan.

Fungsi merupakan error yang dibangkitkan oleh Gausian random-walk yang dinyatakan dalam bentuk fungsi yang memenuhi persamaan berikut

(4)

dengan adalah peubah acak yang saling bebas yang menyebar normal baku,

untuk setiap t, menyatakan ragam per unit waktu dari proses , dan nilai tengah dari increment sama dengan nol.

Subtitusi pada persamaan (3) ke dalam persamaan (2), diperoleh

(5)

Dari persamaan (5), nilai harapan bersyarat di atas dengan diketahui adalah (6) (Merton 1969) ₍₇₎ (Merton 1969)

Dengan adalah nilai harapan bersyarat dengan syarat diketahui.

Bentuk persamaan diferensial stokastik pada persamaan (4) jika , (waktu kontinu) dapat dituliskan dalam bentuk berikut.

, (8)

dengan dibangkitkan proses Wiener.

Jika untuk kondisi , persamaan (5) dapat ditulis menjadi

(9)

(Merton 1969)

(31)

kontinu di bawah kondisi ketidakpastian. Persamaan anggaran rata-rata dapat dihasilkan dari persamaan (5), yaitu

. (10)

(Lihat Lampiran 2)

Dengan mengambil , maka persamaan di atas menjadi rata-rata laju perubahan kekayaan.

(11)

(Lihat Lampiran 3)

3.3 Model Persamaan Anggaran Dua Aset

Pada bagian ini akan dibahas lebih khusus yaitu persamaan anggaran untuk model dua aset.

Didefinisikan

adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset berisiko,

adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset bebas resiko,

adalah besarnya return pada aset berisiko (Var ),

adalah besarnya interest rate pada aset bebas resiko (Var ).

Dengan , maka

persamaan (5), (6), (7) dan (11) dapat dituliskan, sebagai berikut.

. (12)

(Lihat Lampiran 4)

(13)

(Lihat Lampiran 5)

(14)

(Lihat Lampiran 6)

(15)

(Lihat Lampiran 7)

(16)

(Lihat Lampiran 8)

Permasalahan untuk memilih portofolio dan konsumsi yang optimal dirumuskan sebagai berikut,

(17)

dengan kendala persamaan (15) .

Fungsi diasumsikan merupakan fungsi utilitas yang strictly concave

adalah peubah acak yang dibentuk proses Wiener, adalah bequest valuation function (fungsi penaksiran harta waris) yang diasumsikan concave terhadap .

Untuk mendapatkan persamaan yang optimal, yang dilakukan selanjutnya adalah menulis ulang persamaan (17) ke dalam bentuk pemograman dinamik.

(18)

dengan kendala yang dimiliki sama seperti pada persamaan (17), yaitu persamaan (15),

(32)

Jika diasumsikan

, maka dari persamaan (18) diperoleh

(19)

Sehingga dalam kasus khusus, persamaan (14) dapat dituliskan menjadi

(20)

Jika dan turunan parsial ketiga dari terbatas, maka dengan menggunakan teorema Taylor dan teorema nilai tengah untuk integral, persamaan (19) dapat dituliskan menjadi

,

(21)

(LihatLampiran 9)

Ambil nilai harapan dari persamaan (21),

yaitu , dan

mengurangkan dengan pada kedua sisi, serta dengan mensubtitusikan persamaan (13) dan (14) ke dalam persamaan kemudian bagi dengan h. Dengan cara mengambil limit , maka persamaan (21) menjadi

(22)

Persamaan di atas disebut sebagai a continous-time version of the Bellman-Dreyfus fundamental equation of optimality (persamaan fundamental Bellman-Dreyfus yang optimal untuk waktu kontinu). Dengan penulisan singkat untuk , untuk setiap .

Jika didefinisikan

, (23)

maka persamaan (22) dapat dituliskan menjadi

(24)

Kondisi orde pertama untuk persamaan (24) adalah

(25)

(26)

Kondisi orde kedua (syarat cukup) untuk persamaan (24) adalah

dimana .

Jika strictly concave terhadap

, maka dan

, strictly concave terhadap . Kondisi optimalitas dapat dituliskan sebagai himpunan persamaan diferensial parsial untuk menyelesaikan

(27)

terhadap kendala batas

sehingga solusi untuk persamaan (14) menjadi solusi yang feasible.

3.4 Kasus Constan Relative Risk Aversion

Untuk kasus persamaan sistem diferensial parsial tak linear pada persamaan (27) sangat sulit untuk diselesaikan secara umum. Akan tetapi, jika fungsi utilitas diasumsikan sebagai bentuk yielding constant relative risk-aversion, maka persamaan (27) dapat diselesaikan secara eksplisit. Misalkan

(33)

(bentuk limit dari ) dimana

– adalah measure of relative risk aversion. Jika pada persamaan (27) disubstitusikan besarnya nilai utilitas, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk kasus khusus seperti di bawah ini,

.

(28) (Lihat Lampiran 10)

(29)

(Lihat Lampiran 11)

(30)

(Lihat Lampiran 12)

berlaku untuk ,

untuk . Dimana sebuah asumsi strategi yang sederhana akan menghasilkan bentuk khusus dari fungsi penilaian harta warisan,

Untuk menyelesaikan persamaan (22) digunakan trial solution.

. (31)

Substitusi persamaan (22) ke dalam persamaan (24), syarat perlu

menjadi solusi persamaan (24) adalah yang memenuhi persamaan diferensial biasa di bawah ini.

. (32)

(Lihat Lampiran 13)

dengan nilai batas , dan

.

Hasil pengambilan keputusan pemilihan untuk konsumsi dan portofolio adalah , yang dinyatakan persamaan (33) dan persamaan (34) adalah

(33)

(34)

Solusi untuk persamaan (23) adalah

(35)

dengan

(Merton 1969)

Syarat perlu untuk menjadi solusi untuk ( ) adalah jika

memenuhi

A. real (feasibility)

B. (concavity for maximum)

C. (feasibility)

Kondisi A, B, dan C yang dipenuhi jika

(36)

untuk semua v dan .

Dengan mendapatkan persamaan (27), maka aturan pemilihan konsumsi dan portofolio yang optimal adalah

, .

, (37)

dan

(38)

Persamaan (37) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk konsumsi bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu. Semakin besar kekayaan, maka individu cenderung untuk semakin besar menambah jumlah proporsi untuk konsumsi.

Persamaan (38) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk investasi tidak bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu, . Alokasi pada investasi hanya bergantung pada besarnya nilai return dan volatilitas aset dari aset berisiko bergantung pada interest rate aset bebas risiko.

(34)

SIMPULAN

Pemilihan strategi alokasi kekayaan untuk portofolio dan konsumsi dapat dinyatakan dalam bentuk formula yang mengoptimalkan konsumsi dan investasi.

Semakin besar kekayaan individu, maka proporsi kekayaan untuk konsumsi semakin meningkat, berlaku juga sebaliknya.

Sedangkan besarnya proporsi yang dialokasikan dalam investasi, semakin besar

nilai return yang didapat akan mengakibatkan besarnya proporsi investasi yang menurun, dan berbanding terbalik terhadap volatilitas aset. Jadi semakin besar nilai return, alokasi untuk investasi naik. Semakin besar nilai volatilitas aset, individu cenderung mengurangi pembelian portofolio karena pergerakan aset yang tidak pasti.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson JR, Hardeker JB. 2003. Risk Aversion in Economic Decision Making: Pragmatic Guides for Consistent Chance by Natural Resources Manager. Journal of Risk and Uncertainty in Enviromental and Natural Resources Economics .171-187.

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investment. ed. New York: The McGraw-Hill Companies. Inc.

Fishburn PC. 1970. Utility Theory for Decision Making. New York : Robert F. Krieger Publishing. Co.

Gahramani S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastic Processes. 3th ed. New Jersey : Pearsn Prentice Hall.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Oxford: Clarendon Press.

Harvey CR, Gretchen M. 2002. The New York

Times Dictionary of Money and

Investing: the Essential A-Z for the Language of the Market. New York : Henry Holt & Company.

Hogg RY, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistic . 5th ed. New Jersey: Pearsn Prentice Hall, Inc

Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik

lanjutan. Terjemahan bambang

Sumantri. Jakarta: gramedia pustaka Utama..

Merton RC. 1969. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous time

case. Review of Economics and Statistics Lt. 239-246.

Oksendal B. 2003. Stochastic Differential Equation. 6th ed. Berlin : Springer.

Peressini Al, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Non-Linear Programing. New York: Springer-Verlag.

Ross SM. 2007. Introduction to Probability Models. Ed. ke-7. California : Academic Press.

Serfling Rh. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Willey & Sons.

Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 2. 4th ed. Jakarta: Erlangga.

Sydsaeter K, Hammond PJ. 1995. Mathematics for Economic Analysis. New York: Englewood Cliffs Prentice-Hall.

Tu PNV. 1993. Introduction Optimazion

Dynamics: Optimal Control with

Economics and Management

Applications. Second Revised and Enlarge Edition. Berlin: Springer-Verlag.

(35)