ANALISIS DAYA TAHAN DEBITUR MENGGUNAKAN
PERLUASAN MODEL COX DAN COX STRATIFIKASI
IWAN KURNIAWAN
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2016
Iwan Kurniawan
RINGKASAN
IWAN KURNIAWAN. Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan BAGUS SARTONO.
Perluasan model Cox dan Cox stratifikasi adalah model Cox yang digunakan untuk mengatasi ketidakterpenuhinya asumsi hazard proporsional pada peubah penjelas. Perluasan model Cox adalah pengembangan model Cox hazard
proporsional yang dibangun dengan menambahkan interaksi peubah yang tidak proporsional dengan durasi daya tahan terhadap model dasar Cox. Adapun model Cox stratifikasi yang dibangun dari peubah-peubah yang tidak memenuhi asumsi
hazard proporsional dibuat menjadi strata sehingga di setiap strata memenuhi asumsi keproporsionalan. Model yang lebih kompleks tidak menjamin hasil pendugaan akan lebih akurat, oleh karena itu penelitian ini mencoba memodelkan serta mengkaji kesesuaian dan kebaikan dari Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi untuk mengatasi masalah asumsi hazard yang tidak proporsional.
Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari salah satu cabang perusahaan pembiayaan konsumen berupa pembelian kredit motor. Data pembelian kredit motor diambil selama 42 bulan dari bulan Januari tahun 2008 sampai Juni 2011. Keseluruhan debitur terdiri dari 22737 nasabah dengan 16 karakteristik dari masing-masing debitur pada pembelian kredit motor ini.
Pengaruh waktu daya tahan debitur melaksanakan kewajibannya yang berkaitan dengan karakteristik masing-masing debitur dapat dilihat dari efek rasio
hazard-nya. Rasio hazard ini bergantung pada perbandingan nilai fungsi hazard
satu individu dengan individu lainnya. Rasio hazard ini menjelaskan seberapa besar dampak yang ditimbulkan dari setiap faktor masing-masing debitur terhadap risiko gagal bayar.
Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa dengan metode Kaplan-Meier menghasilkan penurunan fungsi daya tahan yang curam terjadi pada 10 bulan pertama dan setelahnya penurunannya lebih lambat. Sementara itu, hasil lainnya menunjukkan risiko gagal bayar yang menggunakan pemodelan regresi Cox
hazard proporsional tidak memenuhi asumsi hazard proporsional. Untuk itu, pengembangan model yang digunakan pada penelitian ini adalah perluasan model Cox dan Cox stratifikasi. Kedua pengembangan model tersebut menghasilkan nilai AIC yang cenderung berbeda dan model Cox stratifikasi lebih baik daripada perluasan model Cox.Pada penelitian ini, strata yang digunakan pada model Cox stratifikasi terdiri dari 783 strata. Faktor-faktor yang paling mempengaruhi durasi daya tahan debitur untuk melaksanakan kewajibannya berdasarkan model Cox stratifikasi adalah tipe motor, kepemilikan telepon(tetap/tidak tetap), jenis pekerjaan, status pernikahan, tanggungan keluarga, dan besar angsuran.
SUMMARY
IWAN KURNIAWAN. Survival Analysis of Debtor Using Extended Cox Model and Stratification Cox. Supervised by ANANG KURNIA and BAGUS SARTONO.
Extended Cox Model and Stratification Cox are the models used to solving proportional hazard asumption violated. Extended Cox models is the development model of Cox proportional hazard models were built by adding interaction of variables that are nonproportional with the survival time to Cox model. The stratified Cox models constructed of variables that do not meet the proportional hazards assumption was made into strata so that in every strata satisfy the proportional assumptions. A more complex model does not guarantee the results will be more accurate estimation. Therefore, the purpose of this research is to model and assess the appropriateness and the goodness of the Extended Model Cox and Cox Stratification to resolve the problem of assumption a nonproportional hazard.
This research uses secondary data obtained from one of the branches of consumer finance company in the form of the purchase of motorcycle credit. Data purchases of motorcycle credit taken during the 42 months from January 2008 to June 2011. Overall debtors consist of 22737 customers with 16 characteristics of an each debtor on this purchase of motorcycle credit.
To influence of survival time debtors can do its obligations with many of the characteristics seen from its effects hazard ratio. The hazard ratio depends on the hazard function value comparison from individual to others. The hazard ratio describes how much impact each factor against the risk of default to pay.
The results of this research indicate that the Kaplan-Meier method produces a decrease rapidly in survival function occurred in the first 10 months and after decrease more slowly. Meanwhile, other results showed the default risk to pay using Cox proportional hazard regression modeling does not meet the assumption of proportional hazards. For that, the development model used in this research is the extended Cox model and Cox stratification. Both the development of the model produces a value AIC rather different and stratified Cox models better than the expansion of Cox models. In this research, the strata used in stratified Cox models consists of 783 strata. The factors that most influence the survival time of the debtor doing its obligations based on stratified Cox models are the type of motor, phone ownership (fixed/not fixed), occupation, marital status, amenability of family, and installment payment.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Statistika
ANALISIS DAYA TAHAN DEBITUR MENGGUNAKAN
PERLUASAN MODEL COX DAN COX STRATIFIKASI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2016
Judul Tesis : Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox dan Cox Stratifikasi
Nama : Iwan Kurniawan NIM : G151130051
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Dr Anang Kurnia, MSi Ketua
Dr Bagus Sartono, MSi Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Statistika
Dr Kusman Sadik, MSi
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
PRAKATA
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa ta‟ala atas segala karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta keluarga Beliau, para Sahabat, serta para penerus perjuangan Beliau hingga akhir zaman. Penelitian ini berjudul “Analisis Daya Tahan Debitur Menggunakan Perluasan Model Cox Dan Cox Stratifikasi”. Penulisan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan, bimbingan, dan petunjuk dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan penghargaan dan ucapan terima kasih khususnya kepada:
1. Dr Anang Kurnia, MSi selaku pembimbing I dan Dr Bagus Sartono, MSi selaku pembimbing II yang dengan kesabaran telah banyak memberi bimbingan, arahan, serta saran kepada penulis selama penyusunan tesis ini. 2. Dr I Made Sumertajaya, MSi selaku penguji luar komisi yang telah
memberikan masukan dan arahan yang sangat membangun dalam penyusunan tesis ini.
3. Seluruh staf pengajar dan administrasi pascasarjana Departemen Statistika IPB yang telah banyak memberikan ilmu dan arahan selama perkuliahan sampai dengan penyusunan karya ilmiah ini.
4. Kedua orang tua serta seluruh keluarga yang berada di Bandung dan Bogor
atas do‟a, dukungan, dan kasih sayang yang diberikan.
5. Teman-teman statistika angkatan 2013 atas kebersamaan, kekompakannya, bantuan dan masukannya selama bersama-sama menempuh kuliah.
6. Direktorat Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor pemberi beasiswa BPPDN yang mendukung kelanjutan studi S2 penulis.
7. Prof Dr Ir Achmad, MS selaku pembina spiritual atas nasehat dan perhatiannya dalam meluruskan tujuan penulis selama menuntut ilmu agar mendapatkan kebahagiaan dunia dan akhirat.
8. Seluruh pihak yang namanya tidak dapat disebutkan satu per satu.
Atas segala bantuan yang diberikan, penulis hanya bisa berdoa dengan harapan semoga semua kebaikan yang penuh keikhlasan tersebut dicatat sebagai amal ibadah dan mendapatkan balasan berupa pahala disisi Allah Subhanahu wa
ta‟ala. Aamiin Ya Rabbal „Alamin. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat serta
dapat menambah wawasan bagi para pembaca.
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
1 PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
2 TINJAUAN PUSTAKA 3
Analisis Daya Tahan 3
Fungsi Daya Tahan (Survival Function) 3
Fungsi Hazard 4
Metode Kaplan-Meier 6
Regresi Hazard Proporsional (Model Cox) 6
Pendugaan Parameter 6
Asumsi Hazard Proporsional 9
Pengujian Penduga Parameter 9
Interpretasi Koefisien 10
Perluasan Model Cox 10
Pemodelan Cox Stratifikasi 11
Pemilihan Model Terbaik 12
3 METODE 13
Data 13
Prosedur Analisis Data 14
4 HASIL DAN PEMBAHASAN 15
Deskripsi dan Eksplorasi Data 15
Pemodelan Gagal Bayar Menggunakan Regresi Hazard Proporsional 20 Pengembangan Model Untuk Mengatasi Ketidakproporsionalan
Fungsi Hazard 21
Perluasan Model Cox 21
Model Cox Stratifikasi 22
Evaluasi Model 23
Interpretasi Model Cox Stratifikasi 24
5 SIMPULAN DAN SARAN 25
Simpulan 25
Saran 25
DAFTAR PUSTAKA 26
LAMPIRAN 27
DAFTAR TABEL
1 Nilai α dan taraf nyata 12
2 Peubah-peubah penjelas yang digunakan 13
3 Sisaan Schoenfeld 21
4 Nilai AIC setiap model 23
DAFTAR GAMBAR
1 Jenis sensor titik 3
2 Grafik fungsi kumulatif peluang�(�) 4
3 Grafik teoritis fungsi daya tahan S(�) 4
4 Sebaran debitur berdasarkan status pembayaran 15
5 Persentase debitur yang mengalami lunas/lancar (sensor) dan gagal bayar pada peubah penjelas tipe motor (a), telepon tetap (b),
kepemilikan telepon (c), uang muka (d), jangka waktu pinjaman (e), jenis kelamin (f), pendapatan (g), dan pendapatan total (h). 16 6 Persentase debitur yang mengalami lunas/lancar (sensor) dan
gagal bayar pada peubah penjelas jumlah angsuran (a), kepemilikan tempat tinggal (b), status pernikahan (c), jumlah tanggungan (d), tingkat pendidikan (e), pekerjaan (f),
jenis pendapatan (g), dan usia (h). 17
7 Fungsi daya tahan 18
8 Fungsi hazard 18
9 Fungsi daya tahan (uang muka) 18
10 Grafik –ln(-ln S(t)) untuk peubah jangka waktu pinjaman 21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Peubah-peubah penjelas yang digunakan beserta peubah boneka yang
dibentuk 28
2 Diagram alir penelitian 31
3 Grafik fungsi daya tahan metode Kaplan-Meier untuk setiap peubah
penjelas 32
4 Hasil analisis regresi hazard proporsional model Cox 35 5 Grafik -ln(-ln (�)) untuk setiap peubah penjelas 37
6 Hasil analisis perluasan model Cox 40
7 Hasil analisis perluasan model Cox setelah direduksi 42
8 Hasil analisis model Cox stratifikasi 44
9 Hasil analisis model Cox stratifikasi setelah direduksi 46 10 Pemeriksaan rasio hazard perluasan model Cox pada data validasi
dibandingkan dengan selang kepercayaan rasio hazard pada data
pemodelan 47
11 Pemeriksaan rasio hazard model Cox stratifikasi pada data validasi dibandingkan dengan selang kepercayaan rasio hazard pada data
1
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Motor merupakan alat transportasi pribadi yang sering digunakan masyarakat. Keefektifan dan keefisienan motor ini menjadikan daya tarik tersendiri untuk masyarakat memilikinya. Motor dipilih karena harganya yang bisa dijangkau oleh hampir semua kalangan masyarakat. Persyaratan pengajuan kredit yang mudah juga membuat sebagian masyarakat mengambil keputusan untuk membeli motor.
Perusahaan pembiayaan kredit atau lebih dikenal dengan leasing merupakan badan usaha di luar bank dan lembaga keuangan bukan bank yang khusus didirikan untuk melakukan kegiatan usaha diantaranya: sewa guna usaha, anjak piutang, atau pembiayaan konsumen (Oktaputra 2014). Usaha pembiayaan konsumen ini memberikan fasilitas pinjaman berupa kredit kepada pembeli motor, namun proses kredit ini tidak terbebas dari risiko. Risiko yang dimaksud adalah kegagalan debitur dalam memenuhi kewajiban membayar pinjaman kepada pemberi pinjaman atau kreditur. Debitur adalah perorangan, perusahaan atau badan yang memperoleh satu atau lebih fasilitas penyediaan dana.
Risiko kredit dapat diminimumkan dengan cara selektif terhadap debitur yang akan melakukan kredit. Penggunaan model merupakan salah satu alternatif untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi debitur mengalami kegagalan dalam memenuhi kewajibannya untuk melakukan pembayaran. Menurut Prasetya (2006) faktor-faktor yang diduga mempengaruhi kegagalan debitur dalam memenuhi kewajibannya adalah karakteristik demografi dan pinjaman debitur.
Karakteristik debitur ini dapat dimodelkan dengan menggunakan analisis daya tahan untuk melihat pengaruh gagal bayar debitur. Analisis daya tahan adalah salah satu teknik statistika yang digunakan untuk menganalisis waktu daya tahan debitur dapat melaksanakan kewajibannya. Analisis daya tahan dikembangkan pertama kali oleh astronom Inggris, yaitu Edmund Halley (1656-1742) (Armitage 1973, Johnson dan Johnson 1980, Miller 1981, Kuzma 1984). Seiring berkembangnya ilmu statistik, analisis daya tahan menjadi salah satu alat penting bagi ilmu lainnya seperti di bidang kesehatan, aktuaria serta ilmu lainnya. Beberapa metode dipakai dalam analisis daya tahan diantaaranya metode nonparametrik seperti metode Kaplan-Meier, parametrik dengan sebaran tertentu seperti Weibull dan Eksponensial, dan semiparametrik seperti model Cox.
Metode statistik yang sering dipakai dalam analisis daya tahan adalah metode semiparametrik regresi Cox. Beberapa alasan regresi Cox ini digunakan diantaranya: dapat menduga hazard ratio tanpa perlu diketahui fungsi hazard
2
model regresi Cox juga dikenal dengan nama model regresi Cox hazard
proporsional.
Model regresi Cox mempunyai asumsi hazard proporsional yang harus dipenuhi. Namun, masalah terjadi ketika asumsi ini dilanggar sehingga terjadi perubahan hazard ratio seiring berjalannya waktu dan menjadikan tidak proporsional. Akibatnya, jika asumsi hazard proporsional tidak terpenuhi maka model yang dihasilkan tidak sesuai yang diharapkan dan mengakibatkan interpretasi model tidak sesuai.
Berdasarkan penelitian yang dilakukan Yohanes (2011) pada data pecandu heroin, tidak semua nilai hazard dengan peubah penjelas dalam pemodelan Cox memenuhi asumsi proportional hazard. Penelitian pada data debitur pembelian motor ini juga menemukan hal yang sama yaitu terdapat nilai hazard dengan beberapa peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi proporsional hazard. Hal ini akan menjadi kesalahan dalam menginterpretasikan faktor-faktor yang mempengaruhi waktu debitur hingga pinjamannya menjadi macet. Dengan keterbatasan asumsi ini, penelitian ini mengkaji alternatif pemodelan pada regresi Cox yaitu diantaranya stratifikasi dan perluasan model Cox (Kleinbaum dan Klein 2012).
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini antara lain:
1. Memberikan gambaran umum mengenai debitur yang melakukan kredit motor pada salah satu cabang perusahaan leasing.
2. Memodelkan risiko kredit dengan regresi hazard proposional perluasan model Cox dan model Cox stratifikasi.
3
2
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Daya Tahan
Analisis daya tahan adalah suatu metode statistika yang digunakan untuk analisis data pada durasi daya tahan (Kleinbaum dan Klein 2012). Durasi daya tahan(survival time) adalah jangka waktu yang dicapai suatu objek dari waktu awal (waktu pemberian perlakuan) sampai terjadinya suatu peristiwa (event). Peristiwa ini dapat berupa pengembangan penyakit, respon terhadap pengobatan, kambuh, atau kematian (Lee dan Wang 2003). Waktu dari setiap individu tidak harus sama dan satuannya dapat berupa tahun, bulan, minggu atau hari.
Durasi daya tahan tidak semua dapat diamati secara lengkap. Hal ini bisa disebabkan oleh berakhirnya masa pengamatan, individu yang diamati menghilang dalam masa pengamatan, meninggal dunia atau sebab lain diluar penelitian (Kleinbaum dan Klein 2012). Apabila durasi daya tahan dapat diamati selama masa pengamatan maka disebut data lengkap, sedangkan bila tidak dapat diamati secara lengkap maka disebut data tersensor.
Menurut Leung et al. (1997) secara lebih rinci, tipe-tipe data tersensor dibagi dalam lima jenis seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1, yaitu:
1. Sensor kanan:
- Sensor kanan jenis 1, tersensor karena tidak mengalami kejadian sampai akhir pengamatan (objek A).
- Sensor kanan jenis 2, tersensor karena tidak dapat mengikuti hingga akhir pengamatan akibat kejadian lain di luar penelitian (objek B).
2. Sensor kiri, yaitu waktu awal di luar masa pengamatan dan kejadian terjadi dalam periode pengamatan (objek C).
3. Sensor kiri dan kanan, yaitu waktu awal terjadi sebelum masa pengamatan dan waktu kejadian terjadi setelah masa pengamatan (objek D).
4. Sensor kanan secara lengkap, yaitu waktu awal dan waktu kejadian terjadi setelah akhir pengamatan (objek E).
5. Sensor kiri secara lengkap, yaitu waktu awal dan waktu kejadian terjadi sebelum awal masa pengamatan (objek F).
A B C
D
F E
Gambar 1 Jenis sensor titik Fungsi Daya Tahan (Survival Function)
4
Misalkan adalah peubah acak tidak negatif pada interval [0, ∞) untuk durasi daya tahan, maka fungsi daya tahan didefinisikan sebagai
S(t) = P(T > t) (Lawless 2007). Dari definisi fungsi sebaran kumulatif dari T, fungsi daya tahan dapat dinyatakan juga sebagai berikut
S t( ) 1 P T( t) 1 F t( )
F t( ) 1 S t( )
d F t
( )
d(1 S t( ))dt dt
f t( ) d S t( ( )) S t'( ).
dt
Hubungan kepekatan peluang dan fungsi sebaran kumulatif dari T dengan fungsi daya tahan yaitu
( ) '( ) '( ).
f t F t S t
Fungsi daya tahan adalah suatu fungsi monoton tak naik seperti ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 2 Grafik fungsi peluang kumulatif �(�) Gambar 3 Grafik teoritis fungsi daya tahan (�)
Fungsi Hazard
Fungsi hazard adalah fungsi yang menyatakan limit dari peluang suatu
individu mengalami kejadian pada selang waktu yang pendek (Δ� → 0) dengan
syarat bahwa individu itu telah bertahan hingga waktu t, fungsinya sebagai berikut, 0
( ( ) | )
( ) lim .
t
P t T t t T t h t
t
Jika T adalah suatu peubah acak kontinu dan misalkan f(t) adalah fungsi kepekatan peluang pada waktu t, maka dari persamaan h(t) sebelumnya diperoleh:
0
( ( ) | )
( ) lim .
t
P t T t t T t h t
t
5 0 0 0 (( ( )) ( )) lim ( ). ( ( )) lim ( ).
1 ( ( ))
. lim ( ) ( ) . ( ) t t t
P t T t t T t P T t t
P t T t t S t t
P t T t t
S t t
f t S t
Karena diketahui bahwa S(t) = 1 - F(t), maka
( )
(1 ( )) ( ( ))( ) '( ) d F t d S t d S t '( )
f t F t S t
dt dt dt
dan
( ) '( ) (ln ( )) ( ( )) (ln ( ))
( ) '( ). .
( ) ( ) ( ( )) ( ( ))
f t S t d S t d S t d S t
h t S t
S t S t d S t dt d S t
(ln ( ))
( ) d S t ...(1).
h t
dt
Dari beberapa persamaan (1) diperoleh
0 0
0 0
0 0
0
(ln ( )) ( )
( ) ln ( )
( ) ln ( )
( ) ln ( ) ln (0)...(2).
t t
t t
t
t
t
d S x
h x dx
dx
d
h x dx S x dx
dx
h x dx S x
h x dx S t S
Karena S(0) = 1, ln S(0) = 0, sehingga persamaan (2) menjadi
0
0
( ) ln ( )
( ) exp ( ) .
t
t h x dx S t
S t h x dx
Dari uraian di atas, diperoleh hubungan antara S(t), h(t), dan f(t), yaitu sebagai berikut:
a. f t( ) S t'( )
b. ( ) ( ) ( ) f t h t S t c. 0
( ) exp ( )
t
S t h x dx
6
Metode Kaplan-Meier
Metode Kaplan-Meier merupakan salah satu metode nonparametrik yang dapat digunakan untuk menduga fungsi daya tahan tanpa mengikutsertakan peubah penjelas. Metode ini tidak memerlukan asumsi sebaran tertentu. Metode Kaplan-Meier mengelompokkan data ke dalam suatu selang, dalam setiap selang memuat satu kejadian. Misal t1, t2, …, tn adalah durasi daya tahan dari n individu
dalam pengamatan. Durasi daya tahan tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Misal � adalah durasi daya tahan ke-k, dengan �1 < �2 < ⋯ < ��D
adalah banyaknya durasi daya tahan yang berbeda dengan D≤ n. Peluang kejadian dalam setiap selang k diduga dengan k
k d
n dan peluang bertahannya diduga dengan k k
k
k n d p
n
dengan dk adalah banyaknya kejadian pada setiap selang k, dan nk adalah banyaknya individu pada awal selang k. Penduga fungsi daya tahan dengan menggunakan metode Kaplan-Meier adalah sebagai berikut
S kˆ( ) pˆ1 pˆ2 pˆ3 ... pˆk
1 ˆ . D
k k p
Regresi Hazard Proporsional (Model Cox)
Regresi hazard proporsional atau yang lebih dikenal dengan model Cox dapat menerangkan pengaruh karakteristik yang dimiliki responden secara simultan. Asumsi untuk model ini adalah memiliki hazard yang bersifat proporsional. Secara umum tingkat hazard untuk suatu individu ke-i adalah sebagai berikut
0
1
( | ) ( ).exp( )
p j ij j
h t h t x
x
h t0( ).exp( ' )b x dengan,
� = waktu hingga terjadinya suatu peristiwa ℎ0(�) = fungsi hazard dasar (baseline hazard function) j = koefisien model regresi Cox peubah ke-j � = peubah penjelas ke-j untuk individu ke-i. b = vektor koefisien peubah penjelas
x = vektor peubah penjelas.
Fungsi hazard dasar adalah nilai tingkat hazard ketika seluruh peubah penjelasnya bernilai nol (Cox 1972).
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter dapat dicari melalui fungsi kemungkinan parsial yang didasarkan pada peluang bersyarat(Cox dan Oakes 1984). Misalkan tk adalah
7 yang berbeda. X( ) adalah peubah penjelas ke-j dari individu dengan waktu kejadian � dan (� ) adalah himpunan individu yang memiliki risiko pada waktu � . Peluang Cox individu ke-i dengan peubah X mengalami kejadian pada waktu � adalah:
l(β) =
( )
( )
k k
k k
P X mengalami kejadiant P R t mengalami kejadiant
( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) k
i k k j i k m j m R t
h t X
h t X
( ) 1 ( ) 1 ( ) exp[ ] ...(3). exp[ ] k pj k j j
p
j m j j
m R t
X X
Dengan mengambil hasil peluang bersyarat (3), membentuk fungsi kemungkinan parsial seperti berikut,
L(β) = 1 ( )
1 ( )
1 ( ) exp[ ] . exp[ ] k p D
j k j j
p
k j m j
j m R t
X X
Misalkan logaritma natural dari L(�) adalah lnL(�). Pendugaan parameter � dilakukan dengan memaksimumkan L(�) yang diperoleh dari turunan pertama
L(�) terhadap � = 0, untuk j=1,2,…, p (Klein dan Moeschberger 2003). ln L(β) = 1 ( )
1 ( )
1 ( ) exp[ ] ln exp[ ] k p D
j k j j
p
k j m j
j m R t
X X
= ( )
( )
11 1 ( )
ln exp
k p
n
p
j k j j j m j
k j m R t
X X
danln ( ) 0 j L
( ) ( ) 1( ) 1
( ) 1 1 ( ) 1 ( ) exp 0...(4). exp k k p p
j m j k j j
p n
m R t j
k j p
k j
j m j j
m R t
X X X X
Persamaan (4) dapat diselesaikan secara numerik yaitu dengan iterasi menggunakan metode Newton-Raphson. Hasil turunan kedua dari ln L(β)
terhadap β adalah negatif sehingga fungsi logaritma kemungkinan menjadi
maksimum.
2 2 ( ) ( )( ) ( ) 1
1 2
( ) 1
( ) 1
2 2
1
( ) 1
( ) 1 ( )
( )
exp exp
ln ( )
( ) exp
exp k k k k p p p p
k j j m j
j m j k j j
j n
m R t j
m R t j
p i
j j j m j p
m R t j j m j
m R t
X X X X L X X
8
partial likelihood p dimensional vektor β = (β1, β2,...,β3)t. Misalkan U(β)
merupakan vektor berukuran p dari turunan parsial pertama L(β) maka
1 p t
U(β) = U (β),...,U (β)
dengan j( ) ln ( ), 1, 2,..., . j
L
U j p
Misalkan I(β)( ( )); ,Iij i j1,...,pdengan � � = − 2
ln ( )L
i j
maka
2 2 2
2
1 1 2 1
2 2 2
2
2 1 2 2
2 2 2
2
1 2
ln ( ) ln ( ) ln ( )
( )
ln ( ) ln ( ) ln ( )
( ) .
ln ( ) ln ( ) ln ( )
( )
p
p
p p p
L L L
L L L
L L L
I(β)
Algoritma metode Newton-Raphon yaitu sebagai berikut. βc+1=βc-I-1 βc .U(βc) dengan memisalkan c = 0, 1, 2, ... dan I-1 βc merupakan invers dari I(βc). Langkah-langkah iterasi dengan metode Newton Raphson sebagai berikut.
1. Menentukan nilai awal, βˆ0 0 2. β β I β U βˆ1 ˆ0 1
ˆ0 ˆ03. Iterasi dilakukan sampai memperoleh nilai konvergen, βˆc1 βˆc. Ragam dan simpangan baku dari ˆjdapat didefinisikan sebagai berikut
Var (ˆ) = I1
ˆ dan SE
ˆ Var
ˆ I1
ˆ .Simpangan baku diatas dapat digunakan untuk mencari selang kepercayaanβj yaitu (1-α) 100% selang kepercayaan untuk β (Hosmer et al 2008) sebagai berikut
1 2
ˆ ( ).ˆ j Z SE
Pendugaan parameter ini sering terdapat ties. Ties adalah dua atau lebih individu mengalami kejadian pada saat waktu yang sama. Hal ini akan menjadi masalah terhadap pendugaan parameternya. Pendugaan parameter ini digunakan pendekatan Breslow. X(k)+ adalah jumlah peubah penjelas pada kasus ties dan dk
adalah banyak kasus ties pada waktu tk.
l β 1 ( )
( ) 1 ( ) exp[ ] exp[ ] k k p
j k j j
d p
j m j j
m R t
9
( ) 1
1
( )
( ) 1
exp[ ]
( ) .
exp[ ] k
k p D
j k j j
d p
k
j m j m R t j
X L X
Asumsi Hazard Proporsional
Regresi hazard proporsional memiliki asumsi yang cukup kuat yaitu memiliki hazard yang bersifat proporsional antara satu individu dan individu lainnya. Dengan kata lain, rasio tingkat hazard antar dua kelompok individu (misal individu i dan i’) harus konstan sepanjang waktu (Therneau dan Grambsch 2000)
0
' 0 ' '
( | ) ( ).exp( ' ) exp( ' ) . ( | ) ( ).exp( ' ) exp( ' )
i i i
i i i
h t x h t x x
h t x h t x x
Kleinbaum dan Klein (2012) menyebutkan bahwa ada beberapa pendekatan yang dapat dilakukan untuk pemeriksaan asumsi hazard proporsional, yaitu dengan pendekatan grafik –ln(-ln S(t)) dan pengujian kesesuaian model (goodness of-fit test) yaitu residual Schoenfeld. Residual Schoenfeld didasarkan pada kontribusi individu dengan turunan dari log kemungkinan parsial (Hosmer dan Lemeshow 1999),
' ( ) ' 1 ( ) 1 ( ) . j i j i i x n jkj R t p
i ik x
i
k j R t
n w k i ik i x e L c x e
c x x
dimana ' ( ) ' ( ) j i i j i x jk j R tw k x
j R t x e x e
Hosmer dan Lemeshow (1999) menunjukkan, penduga sisaan Schoenfeld untuk subjek ke-i pada kovariat ke-k kemudian diperoleh dengan mengganti penduga parsial likelihood koefisien � ,
.i i
S k c xi ik xw k
Kemudian, dibuat peubah peringkat urutan waktu kegagalan. Subjek yang terjadi pertama (awal) kejadian mendapat nilai 1, berikutnya mendapat nilai 2, dan seterusnya. Setelah itu, uji korelasi antara sisaan Schoenfeld dan peringkat urutan kegagalan. H0 yang digunakan bahwa korelasi antara sisaan Schoenfeld dan peringkat waktu kegagalan adalah nol ( = 0). Statistik uji yang digunakan adalah uji-t yaitu 2 2 1 r n t r .
Besar α yang digunakan adalah 0.05. Jika p-value kurang dari α = 0.05,
maka H0 ditolak, artinya terdapat korelasi yang menunjukkan ada hubungan peubah penjelas dengan waktu daya tahan sehingga tidak memenuhi asumsi (Kleinbaum dan Klein 2012).
Pengujian Penduga Parameter
10
parsial menggunakan statistik uji Wald. Statistik uji-G adalah uji rasio kemungkinan yang digunakan untuk menguji peranan variabel penjelas di dalam model secara bersama-sama. Hipotesis yang diuji adalah:
H0 : �1 = �2 = ... = �� = 0
H1 : minimal ada satu � ≠ 0, j = 1, 2, ..., p. Rumus umum statistik uji-G sebagai berikut:
0 2 ln[ ]
p
L G
L
dengan L0 adalah fungsi kemungkinan tanpa peubah penjelas dan L� adalah fungsi
kemungkinan dengan p peubah penjelas. Statistik uji G menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas p. Apabila nilai G lebih besar dari nilai tabel khi-kuadrat
pada α=5% mengindikasikan bahwa terdapat minimal satu peubah penjelas yang pengaruhnya signifikan terhadap durasi daya tahan debitur.
Statistik uji Wald digunakan untuk menguji penduga parameter � secara parsial. Hipotesis yang diuji adalah:
H0 : � = 0
H1 : � ≠ 0 dengan j = 1, 2, ..., p.
Rumus umum statistik uji Wald sebagai berikut: 2 . ( ) j j W SE
Secara teori, statistik uji Wald ini mengikuti sebaran khi-kuadrat. Jika W > 2
,1
maka H0 ditolak pada taraf nyata α = 5% (Collet 2003).
Interpretasi Koefisien
Interpretasi koefisien pada regresi hazard proporsional dapat dilihat melalui rasio tingkat hazard. Jika dua individu dengan peubah X dan X*, maka rasio tingkat hazardnya adalah:
0 1
0 1
( ) exp[ ]
( , )
( , *) ( ) exp[ *]
p j ij j p j ij j
h t X
h t X
h t X h t X
1exp[ p j( ij ij*)]. j X X
Persamaan di atas merupakan risiko relatif dari suatu individu dengan faktor risiko X mengalami kejadian dibanding individu lainnya dengan faktor risiko X*
(Klein dan Moeschberger 2003).
Perluasan Model Cox
Berbeda dengan persamaan regresi Cox proportional hazard, persamaan perluasan model regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu adalah sebagai berikut (Kleinbaum dan Klein 2012):
1 2
0 1 1
( , ( )) ( ) exp[ p i i p j j( )]
i j
11 dengan X(t)=(X1,X2,…,Xp1,X1 t , X2 t , Xp2 t ), peubah X X1, 2,...,Xp1 adalah peubah penjelas yang tidak terikat-waktu, dan X t X t1( ), 2( ),...,Xp2( )t adalah peubah penjelas yang terikat-waktu. Hazard ratio dalam perluasan model Cox tersebut ditunjukkan dengan perbandingan dua individu peubah penjelas X* dan X
ditambahkan dengan terikat-waktu sehingga didapat X*(t) dan X(t) , secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:
( , *( ))
( , ( ))
h t X t HR
h t X t
1 2
1 2
0 1 1
0 1 1
( ) exp( ( )]
( ) exp( ( )]
p p
i i j j
i j
p p
i i j j
i j
h t X X t
h t X X t
1 2 1 1 ˆ ˆexp [ * ] [ ( ) ( )] .
p p
i i i j j j
i j
X X X t X t
Notasi adalah parameter dari peubah penjelas terikat-waktu yang berlaku untuk setiap t dan merupakan parameter dari peubah penjelas tidak terikat-waktu.
Untuk menilai bahwa model regresi hazard proposional, fungsi hazard ini tepat memenuhi asumsi hazard proposional pada peubah tidak terikat-waktu, kita dapat menggunakan fungsi waktu g ti( ), sehingga model ini dapat dituliskan sebagai:
0 1 1
( , ( )) ( ) exp[ p i i p i i i( )]
i i
h t X t h t
X
X g tdengan nilai parameter � akan berbeda-beda pada setiap peubah penjelas yang terikat oleh waktu dan parameter � ini mengartikan pengaruh keseluruhan dari hubungan antara peubah penjelas terikat-waktu dengan melihat semua waktu pada peubah yang digunakan dalam penelitian. Apabila nilai parameter � < 0 maka
hazard ratio akan turun bersamaan dengan naiknya waktu dan begitu juga sebaliknya. Ini mengakibatkan tidak konstannya hazard ratio yang juga berarti bahwa asumsi proportionalhazard tidak terpenuhi untuk perluasan model Cox ini.
Pilihan fungsi waktu gi(t) yang biasa digunakan dalam penggunan perluasan
model Cox (Kleinbaum dan Klein 2012) adalah: 1. gi(t) = 0
2. gi(t) = t
3. gi(t) = ln t
4. gi(t) adalah fungsi heaviside.
Pemodelan Cox Stratifikasi
peubah-12
peubah yang tidak memenuhi asumsi dan memiliki kelas sebanyak k1, k2, ..., kp. Kombinasi yang dihasilkan adalah sebanyak
∗=
1× 2 ×…× �.
Bentuk umum model cox stratifikasi adalah sebagai berikut:
*0 1 1 2 2
( , ) ( ) exp ... ; 1, 2,...,
g g k k
h t X h t X X X g k
dimana
g : jumlah strata
h0g(t) : baseline hazard function untuk setiap strata
β : koefisien regresi.
Pada model tersebut, g menyatakan strata ke-g. Sebagai catatan, peubah Z tidak dimasukkan ke dalam model, tetapi variabel-variabel X yang memenuhi asumsi dimasukkan ke dalam model. Pada model Cox stratifikasi, nilai fungsi
h0g(t) dapat berbeda untuk strata yang berbeda sehingga fungsi hazard akan
berbeda. Jadi, efek strata tetap dapat terlihat melalui komponen h0g(t). Namun,
koefisien β1, β2,....,βk adalah sama untuk semua strata. Oleh karena itu rasio hazard
akan sama untuk semua strata.
Pemilihan Model Terbaik
Serupa dengan analisis regresi klasik, analisis regresi Cox juga perlu dilakukan pemilihan model terbaik. Hal ini dilakukan untuk mengidentifikasi peubah penjelas yang berpotensi masuk dalam komponen linier model regresi Cox. Drapper dan Smith (1981) menyebutkan beberapa cara yang digunakan dalam pemilihan model terbaik seperti prosedur seleksi maju (forward selection), eliminasi langkah mundur (backward elimination prosedure) dan prosedur bertatar (stepwise procedure). Model terbaik memiliki skor Akaike‟ Informations Criterion (AIC) terkecil:
ˆ
2log
AIC Lq
� = nilai maksimum fungsi likelihood model regresi Cox q = banyaknya peubah penjelas dalam model regresi Cox
α = predetermined constant.
Predetermined constant sama dengan taraf nyata 2 ≤ α ≤ 6, α=3 sepadan dengan taraf nyata 5%. Collet (2003) menyarankan α=10% dalam penentuan peubah penjelas yang masuk dalam model regresi Cox agar banyak peubah penjelas yang masuk dalam model tidak terlalu sedikit. Penentuan nilai α untuk taraf nyata tertentu disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai α dan taraf nyata
α Taraf nyata (%)
2 3.3
3 5.0
4 6.7
5 8.3
13
3
METODE
Data
Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari salah satu perusahaan pembiayaan kredit motor di Indonesia. Data terdiri dari 22737 nasabah kredit pemilikan motor atau debitur pada salah satu cabang yang diamati dari periode Januari 2008 sampai dengan Juni 2011 (42 bulan). Seorang debitur dikatakan macet kreditnya bila tidak membayar angsuran dalam waktu 30 hari setelah jatuh tempo.
Data penelitian ini berstatus data lengkap dan data tersensor. Berstatus data lengkap apabila debitur mengalami gagal bayar dalam masa pengamatan. Berstatus data tersensor (sensor kanan) bila debitur mampu melunasi utangnya sebelum akhir masa pengamatan atau debitur masih lancar kreditnya hingga akhir masa pengamatan.
Tabel 2 Peubah-peubah penjelas yang digunakan
No Peubah Keterangan
1 X1 Kelas tipe motor yang dikredit oleh debitur
2 X2 Kelas kepemilikan nomor telepon dari debitur
3 X3 Kelas kepemilikan telepon yang dimiliki oleh debitur
4 X4 Kelas uang muka yang diambil oleh debitur (persen)
5 X5 Kelas jangka waktu pinjaman yang diambil oleh debitur dalam
pelunasan kredit motor (bulan) 6 X6 Kelas jenis kelamin
7 X7 Kelas pendapatan debitur (juta rupiah)
8 X8 Kelas pendapatan total (juta rupiah)
9 X9 Kelas besar angsuran dalam per bulan (juta rupiah)
10 X10 Kelas status kepemilikan tempat tinggal debitur
11 X11 Kelas status pernikahan debitur
12 X12 Kelas jumlah tanggungan (orang)
13 X13 Kelas tingkat pendidikan terakhir debitur
14 X14 Kelas pekerjaan
15 X15 Kelas jenis pendapatan debitur (tetap/ tidak tetap)
16 X16 Kelas umur debitur pada awal melakukan kredit motor (tahun)
14
Prosedur Analisis Data
Data yang diperoleh berupa data asli yang belum siap diolah. Untuk itu, diperlukan langkah-langkah analisis data yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Langkah pertama yang dilakukan sebelum diolah adalah pengaturan data. Pengaturan data dilakukan dengan cara mengubah semua peubah kontinu menjadi kelas-kelas atau kategorik.
2. Melakukan analisis data secara statistik deskriptif dan eksplorasi dengan melihat keseluruhan peubah penjelas menggunakan metode nonparametrik yaitu Kaplan-Meier. Analisis ini digunakan untuk melihat pola daya tahan pada setiap peubah penjelas.
3. Model dibangun dengan data 60% yang digunakan untuk dianalisis daya tahan. Analisis data daya tahan dengan metode semiparametrik, yaitu menggunakan regresi hazard proporsional. Pendugaan parameter β menggunakan fungsi parsial likelihood yang dimaksimumkan dengan pendekatan Breslow.
4. Pemeriksaan asumsi hazard proporsional dengan rasio tingkat hazard antar
dua kelompok individu (misal individu i dan i‟) harus konstan sepanjang waktu. Kleinbaum dan Klein (2012) menyebutkan bahwa ada beberapa pendekatan yang dapat dilakukan untuk pemeriksaan asumsi hazard
proporsional, yaitu dengan pendekatan grafik –ln(-ln S(t)) dan pengujian kesesuaian model (goodness of-fit test) yaitu residual Schoenfeld.
5. Melakukan pendugaan parameter β dan δ terhadap perluasan model Cox. Pendugaan model ini dilakukan dengan menambahkan peubah terikat-waktu pada peubah yang tidak berpengaruh secara signifikan dalam penelitian. 6. Melakukan pendugaan parameter β terhadap model Cox stratifikasi.
Pendugaan model ini dilakukan dengan tidak memasukkan peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional. Peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi ini dibuat strata.
7. Melakukan pengujian penduga parameter secara simultan dengan statistik uji-G maupun secara parsial dengan statistik uji Wald. Pengujian penduga parameter ini bertujuan untuk melihat apakah peubah penjelas dengan penambahan peubah terikat-waktu berpengaruh signifikan atau tidak terhadap model. Apabila dalam pengujian penduga parameter terdapat peubah penjelas yang terbukti berpengaruh signifikan terhadap peubah respon maka peubah penjelas tersebut dapat dimasukkan ke dalam perluasan model Cox dan Cox stratifikasi.
8. Melakukan evaluasi model yaitu dengan pemilihan model terbaik melalui metode stepwise dan kesesuaian model diukur dari nilai AIC (Collet 2003) serta kestabilan model. Kestabilan model diukur dengan melihat perubahan rasio hazard dengan set data yang berbeda. Pada data pemodelan didapatkan model dan penduga rasio hazard beserta selang kepercayaannya. Data validasi sebanyak 40% juga dilakukan pemodelan untuk mendapatkan nilai rasio hazard. Jika rasio hazard data validasi berada di dalam selang kepercayaan 95% dari hazard ratio pada data pemodelan, maka dapat dikatakan model yang dihasilkan valid.
15
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Deskripsi dan Eksplorasi Data
Secara keseluruhan pada Gambar 4, data kredit motor memiliki persentase debitur yang mampu melunasi cicilan kredit sebesar 34%, kemudian terdapat 41% debitur yang hingga akhir masa pengamatan masih lancar kreditnya dan 25% debitur mengalami gagal bayar.
Gambar 4 Sebaran debitur berdasarkan status pembayaran Deksripsi data untuk masing-masing peubah penjelas dapat dilihat pada Gambar 5 dan Gambar 6. Persentase debitur gagal bayar terbesar pada peubah tipe motor adalah debitur yang mengkredit motor bebek kelas bawah yaitu sebesar 15% (Gambar 5a). Selanjutnya, tipe motor matik berada di posisi kedua dengan 4%.
Mayoritas debitur memiliki nomor telepon tidak tetap. Berdasarkan Gambar 5b dapat dilihat bahwa sebanyak 23% debitur yang memiliki telepon tidak tetap mengalami gagal bayar. Hal ini mengindikasikan bahwa risiko kegagalan lebih rentan dialami oleh debitur yang memiliki telepon tidak tetap.
Sebagian besar debitur sudah memiliki telepon yaitu sebesar 76% dan hanya 20% yang mengalami gagal bayar. Gambar 5c menunjukkan bahwa persentase debitur gagal bayar terbesar adalah debitur yang tidak memiliki telepon.
Persentase gagal bayar pada peubah uang muka menunjukkan bahwa debitur yang membayar uang muka kurang dari 5% memiliki persentase gagal bayar paling besar. Gambar 5d menunjukkan bahwa semakin besar persentase uang muka yang dibayar maka semakin kecil persentase kegagalannya.
Persentase gagal bayar terbesar terjadi pada debitur dengan jangka waktu pinjaman 25 sampai 36 bulan. Sebanyak 69% dari seluruh debitur melakukan kredit dengan jangka waktu pinjaman 25 sampai 36 bulan. Terdapat 21% debitur yang mengalami gagal bayar pada jangka waktu tersebut. Berdasarkan diagram batang dapat dilihat bahwa semakin besar jangka waktu pinjaman maka semakin besar persentase kegagalannya (Gambar 5e).
Mayoritas debitur yang melakukan kredit motor berjenis kelamin laki-laki, yaitu sebesar 76%. Berdasarkan Gambar 5f dapat dilihat bahwa sebanyak 19% debitur laki-laki mengalami gagal bayar.
Dilihat dari segi pendapatan, persentase gagal bayar terbesar terjadi pada debitur dengan penghasilan perbulan terkecil. Gambar 5g menunjukkan bahwa
41% Lunas
25% Gagal
16
bahwa semakin besar penghasilan debitur maka semakin kecil persentase kegagalannya.
Gambar 5h menunjukkan bahwa debitur dengan pendapatan total terendah memiliki persentase kegagalan paling besar. Namun, berbeda hal yang dialami debitur dengan total pendapatan antara 2 sampai 3.5 juta yang mengalami gagal bayar terbesar.
sensor gagal bayar
Gambar 5 Persentase debitur yang mengalami lunas/lancer (sensor) dan gagal bayar pada peubah penjelas tipe motor (a), telepon tetap (b), kepemilikan telepon (c), uang muka (d), jangka waktu pinjaman(e), jenis kelamin (f), pendapatan (g), dan pendapatan total (h).
Besar angsuran per bulan diduga mempengaruhi perilaku debitur dalam membayar utangnya. Berdasarkan Gambar 6a dapat dilihat bahwa persentase debitur gagal bayar terbesar adalah debitur dengan jumlah angsuran perbulan Rp500 000 sampai Rp750 000 yaitu sebanyak 24%. Persentase kegagalan terkecil yaitu debitur dengan jumlah angsuran perbulan lebih dari 1.25 juta rupiah yaitu sebanyak 0.3%.
Sebagian besar debitur memiliki rumah sendiri yaitu sebanyak 62%. Persentase gagal bayar pada status rumah tersebut sebanyak 14% (Gambar 6b).
Sebanyak 85% debitur memiliki status menikah, 21% diantaranya mengalami gagal bayar. Sementara itu, persentase gagal bayar terkecil terjadi pada debitur berstatus duda atau janda yaitu sebesar 1% (Gambar 6c). Hal ini disebabkan kebutuhan setelah menikah meningkat sehingga menyebabkan gagal bayar.
a. Tipe motor b. Nomor telepon c. Kepemilikan telepon
d. Uang muka
e. Jangka waktu pinjaman
f. Jenis kelamin g. Pendapatan h. Total pendapatan
32% 17% 17% 10% 15% 4% 4% 2% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%
1 2 3 4
kelas/kategori 69 % 6% 23 % 1% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 1 2 kelas/kategori 58% 18% 17% 8% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 1 2 kelas/kategori 26% 13% 9% 6% 21% 16% 5%
2% 1% 1% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%
1 2 3 4 5
kelas/kategori 9% 18% 48% 1% 1% 3% 21% 1% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
1 2 3 4
kelas/kategori 57 % 19 % 19 % 5% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 1 2 kelas/kategori 32% 34% 9% 13% 10% 2% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%
1 2 3
kelas/kategori 15% 38% 23% 6% 13% 5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%
1 2 3
kelas/kategori % debitur
% debitur
% debitur % debitur % debitur
% debitur % debitur
17 Persentase gagal bayar terbesar pada kategori jumlah tanggungan terjadi pada debitur dengan jumlah tanggungan 2 orang (Gambar 6d). Sementara itu, debitur yang tidak mempunyai tanggungan memiliki persentase kegagalan sebesar 5%. Hal ini disebabkan oleh pengeluaran yang lebih besar untuk debitur dengan jumlah tanggungan 2 orang dibandingkan debitur yang tidak mempunyai tanggungan, sehingga dapat menghambat pembayaran kredit.
Mayoritas debitur memiliki pendidikan terakhir SMA yaitu sebanyak 41%. Persentase gagal bayar pada jenis pendidikan tersebut sebanyak 10%. Persentase terbesar gagal bayar terjadi pada debitur dengan pendidikan terakhir SMP dan SD yang memiliki perbedaan persentase hanya 2% (Gambar 6e).
a. Besar angsuran b. Status tempat tinggal
c. Status pernikahan
d.Jumlah tanggungan
e. Tingkat pendidikan f. Pekerjaan g. Jenis pendapatan
h. Usia
sensor gagal bayar
Gambar 6 Persentase debitur yang mengalami lunas/lancar (sensor) dan gagal bayar pada peubah penjelas jumlah angsuran (a), kepemilikan tempat tinggal (b), status pernikahan (c), jumlah tanggungan (d), tingkat pendidikan (e), pekerjaan (f), jenis pendapatan (g), dan usia (h).
Mayoritas debitur memiliki pekerjaan sebagai pegawai swasta yaitu sebanyak 23%, 6% diantaranya mengalami gagal bayar. Persentase gagal bayar terbesar kedua pada debitur yang memiliki pekerjaan sebagai petani dan pedagang (Gambar 6f). Sementara itu, persentase gagal bayar terendah terjadi pada debitur yang bekerja sebagai pegawai negeri dan guru. Hal ini mungkin disebabkan oleh pendapatan dari jenis pekerjaan pedagang tidak tetap setiap bulan.
Sebagian besar debitur sudah memiliki pendapatan tidak tetap, yaitu sebanyak 57%. Persentase gagal bayar pada jenis pendapatan tidak tetap sebanyak 16% mengalami gagal bayar. Nilai ini adalah persentase terbesar gagal bayar pada
18% 42% 12% 3% 6% 16% 2% 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45%
1 2 3 4
kelas/kategori
48%
14% 7% 6% 14%
5% 3% 2%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
1 2 3 4
kelas/kategori 64 % 10 % 2% 21 % 3% 1% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
1 2 3
kelas/kategori 13%15% 23% 15% 6% 2% 1% 5% 5% 7% 5% 2%1% 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25%
1 2 3 4 5 6 7
kelas/kategori 18% 12% 31% 9% 6% 0% 7% 5% 10%
2% 1% 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%
1 2 3 4 5 6
kelas/kategori 17% 16% 11% 8% 7% 5% 11%
6% 5% 5% 1%1% 2%
4% 0% 5% 10% 15% 20%
1 2 3 4 5 6 7
kelas/kategori 41 % 34 % 16 % 9% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 1 2 kelas/kategori 0% 21% 27% 20% 7% 0% 8% 9% 6% 2% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%
1 2 3 4 5
18
kategori jenis pendapatan (Gambar 6g). Penghasilan debitur yang tidak tentu tiap bulan dapat mengganggu pembayaran kredit.
Gambar 6h menunjukkan bahwa debitur dengan umur 21 sampai 30 dan 31 sampai 40 tahun memiliki persentase kegagalan paling besar. Selanjutnya, dapat dilihat juga bahwa semakin tua usia debitur maka persentase gagal bayar semakin kecil.
Gambar 7 Fungsi daya tahan keseluruhan debitur dengan metode Kaplan-Meier
Grafik fungsi daya tahan pada Gambar 7 menggunakan metode Kaplan-Meier menunjukkan bahwa penurunan terbesar peluang daya tahan terjadi sekitar 10 bulan pertama, setelah itu penurunannya lebih lambat. Hal ini berarti bahwa terjadinya banyak kegagalan untuk membayar oleh debitur terjadi pada 10 bulan pertama dibandingkan 10 bulan berikutnya.
Grafik fungsi hazard dapat dilihat pada Gambar 8. Tingkat hazard dengan metode Kaplan-Meier dari waktu ke waktu tidak sama. Pada periode awal fungsi
hazard tinggi kemudian menurun seiring bertambahnya waktu. Fungsi daya tahan mengindikasikan peluang debitur untuk tetap lancar kreditnya, sebaliknya fungsi
hazard mengindikasikan potensial kegagalan (macet). Tingkat hazard memiliki nilai yang tinggi pada 10 bulan pertama, kesimpulan yang sama juga diperoleh pada fungsi daya tahan yang penurunannya lebih curam pada 10 bulan pertama.
Gambar 8 Fungsi hazard debitur dengan metode Kaplan-Meier
Gambar 9 Fungsi daya tahan (uang muka)
Time
19 Metode Kaplan-Meier juga dapat menghasilkan pola daya tahan untuk setiap peubah penjelas. Grafik fungsi daya tahan pada peubah uang muka menunjukkan bahwa debitur yang membayar uang muka kurang dari 5% memiliki fungsi daya tahan terendah, atau yang paling cepat untuk menjadi macet kreditnya. Gambar 9 menunjukkan bahwa semakin besar persentase uang muka yang dibayar maka semakin tinggi fungsi daya tahannya atau risiko untuk menjadi debitur macet semakin kecil. Selain itu, fungsi daya tahan pada kategori uang muka kurang dari 5% dan 5-10% terlihat lebih curam dibandingkan kategori uang muka lainnya. Hal ini menunjukkan bahwa risiko pada kategori tersebut sangat besar. Hasil analisis daya tahan menggunakan metode Kaplan-Meier pada masing-masing peubah penjelas dapat dilihat pada Lampiran 2.
Untuk peubah tipe motor, debitur yang mengkredit motor bebek kelas bawah memiliki fungsi daya tahan yang rendah, atau yang paling cepat untuk menjadi gagal bayar. Kategori yang memiliki fungsi daya tahan tertinggi adalah tipe motor sport dan motor bebek kelas atas. Kedua kategori tersebut mempunyai fungsi daya tahan yang hampir sama.
Fungsi daya tahan pada peubah jenis kelamin terdapat perbedaan antara debitur laki-laki dan perempuan. Debitur laki-laki memiliki fungsi daya tahan yang lebih rendah dibandingkan dengan debitur perempuan.
Berdasarkan pendapatan per bulan dan total pendapatan, debitur dengan pendapatan terendah memiliki risiko kredit terbesar, hal ini bisa dilihat dari grafik fungsi daya tahan yang paling rendah dibandingkan kategori penghasilan lainnya. Selanjutnya, dapat dilihat juga bahwa semakin besar penghasilan per bulan maka semakin tinggi fungsi daya tahan debitur.
Dilihat dari karakteristik debitur dengan kepemilikan tempat tinggal yang berbeda, debitur berstatus tempat tinggal sewa atau kontrak memiliki fungsi daya tahan terendah, sedangkan debitur yang memiliki rumah sendiri memiliki fungsi daya tahan yang paling tinggi.
Fungsi daya tahan pada peubah status pernikahan menunjukkan bahwa debitur dengan status duda atau janda merupakan debitur yang paling cepat untuk menjadi gagal bayar. Debitur yang belum menikah dan sudah menikah memiliki fungsi daya tahan tertinggi. Fungsi daya tahan pada kedua kategori tersebut berhimpit yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama.
Ditinjau dari segi tingkat pendidikan, debitur dengan tingkat pendidikan Pascasarjana memiliki fungsi daya tahan tertinggi, sedangkan yang paling cepat gagal bayar adalah debitur berpendidikan tidak bersekolah/SD dan SMP. Kategori SMP dibandingkan dengan kategori SD memiliki fungsi daya tahan yang lebih rendah, walaupun perbedaannya tidak terlalu besar.
Jumlah tanggungan debitur diduga mempengaruhi durasi daya tahan debitur. Risiko gagal bayar terbesar terjadi pada debitur yang memiliki jumlah tanggungan lebih dari lima orang. Hal ini ditunjukkan dengan fungsi daya tahan yang lebih curam dibandingkan kategori jumlah tanggungan lainnya. Fungsi daya tahan pada kategori jumlah tanggungan 0, 1, 2, 3, dan 4 terlihat berhimpit yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama.
20
negeri dan guru memiliki fungsi daya tahan tertinggi. Fungsi daya tahan pada kedua kategori tersebut berhimpit yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama.
Fungsi daya tahan pada peubah umur menunjukkan bahwa debitur yang berumur kurang dari 21 tahun merupakan debitur yang paling cepat untuk menjadi gagal bayar. Debitur yang berumur 41 sampai 50 tahun dan lebih dari 50 tahun memiliki fungsi daya tahan tertinggi. Fungsi daya tahan pada kedua kategori tersebut menunjukkan bahwa keduanya memiliki daya tahan yang hampir sama.
Pemodelan Gagal Bayar Menggunakan Regresi Hazard Proporsional Sebelumnya telah dibuat kategorisasi terhadap seluruh peubah penjelas dengan menggunakan peubah boneka. Jika suatu peubah penjelas memiliki k buah kategori maka peubah boneka yang terbentuk sebanyak k-1 buah. Peubah boneka yang dibentuk dapat dilihat pada Lampiran 1.
Analisis daya tahan ini menggunakan model regresi Cox hazard
proporsional dan dapat dilihat pada Lampiran 4. Analisis ini dilakukan dengan memasukkan seluruh peubah penjelas ke dalam model. Pengujian parameter secara simultan dengan uji-G didapatkan nilai statistik uji khi-kuadrat sebesar 1837.57 dan nilai-p <0.0001, artinya minimal ada satu peubah penjelas yang berpengaruh terhadap durasi daya tahan debitur. Pengujian parameter secara parsial dilakukan dengan Uji Wald. Peubah-peubah penjelas berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur pada alpha 5% antara lain peubah tipe motor, nomor telepon, kepemilikan telepon, uang muka, jangka waktu pinjaman (1 vs 4), jenis kelamin, besar angsuran (1 vs 2) dan (1 vs 3), status pernikahan, jumlah tanggungan (1 vs 2) dan (1 vs 3), tingkat pendidikan(1 vs 4), dan pekerjaan.
Regresi hazard proporsional dapat menjelaskan pengaruh karakteristik debitur terhadap durasi daya tahan secara simultan. Regresi hazard proporsional menggunakan model Cox yang mana setiap peubah penjelas diregresikan untuk melihat pengaruhnya terhadap risiko kegagalan bayar debitur yaitu hazard ratio. Namun, hazard ratio dalam model Cox ini tidak dipengaruhi oleh waktu dan konstan sehingga bersifat proporsional. Untuk itu, hasil model Cox perlu dilakukan pemeriksaan asumsi hazard proporsional.
Asumsi hazard proposional adalah asumsi yang memiliki hazard bersifat proporsional antara satu individu dan individu lainnya. Pemeriksaan asumsi dilakukan dengan membuat dugaan dari kurva -ln(-ln S(t))untuk semua kategori dalam peubah penjelas dan melakukan uji sisaan Schoenfeld. Jika kurva -ln(-ln S(t))untuk setiap peubah penjelas menunjukkan bahwa kurva yang dihasilkan paralel antar kategori maka hal tersebut memenuhi asumsi proposional hazard
begitu juga sebaliknya jika kurva -ln(-ln S(t)) untuk setiap peubah penjelas menunjukkan bahwa kurva yang dihasilkan terjadi perpotongan maka hal tersebut tidak memenuhi asumsi (Gambar 10). Asumsi ini juga didukung juga dengan sisaan Schoenfeld. Berdasarkan hasil uji sisaan Schoenfeld pada tabel 3 untuk masing-masing peubah penjelas dan kurva -ln(-ln S(t)) pada Lampiran 5 dapat disimpulkan bahwa ada peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard
21
Tabel 3 Sisaan Schoenfeld
Pearson Correlation Coefficients, N = 3934 Prob > |r| under H0: Rho=0
RX1 RX2 RX3 RX4 RX5 RX6 RX7 RX8
t.r. R V 0.01 0.33 0.022 0.181 0.02 0.90 0.13 <.01* -0.06 0.002* 0.05 0.02* 0.019 0.255 0.04 0.01*
Pearson Correlation Coefficients, N = 3934 Prob > |r| under H0: Rho=0
RX9 RX10 RX11 RX12 RX13 RX14 RX15 RX16
t.r. R V 0.005 0.76 -0.01 0.68 -0.02 0.18 0.02 0.14 0.04 0.01* 0.004 0.77 0.047 0.005* 0.01 0.48
* nyata pada α = 0.05
Gambar 10 Grafik –ln(-ln S(t)) untuk peubah jangka waktu pinjaman
Pengembangan Model Untuk Mengatasi Ketidakproporsionalan Fungsi Hazard
Model Cox digunakan pada analisis daya tahan untuk mengetahui hubungan antara peubah penjelas terhadap peubah terikat yang memuat waktu kejadian dan data tersensor. Model regresi Cox ini dapat memberikan informasi yang berguna, berupa hazard ratio yang tidak bergantung pada baseline hazard. Hazard ratio
pada model Cox untuk dua individu yang memiliki nilai peubah penjelas yang berbeda dan tidak dipengaruhi oleh waktu. Dengan kata lain, hazard untuk satu individu bersifat proporsional dengan hazard individu lainnya yang keproporsionalannya konstan. Namun, keadaan sebenarnya dimungkinkan bahwa peubah-peubah penjelas ini dipengaruhi oleh waktu seperti data debitur pada risiko kredit motor ini. Akibatnya, interpretasi hazard ratio ini akan menyimpang dari keadaan yang sebenarnya sehingga asumsi proporsional hazard tidak terpenuhi. Untuk mengatasi hal tersebut, dilakukan analisis dengan menggunakan perluasan model Cox dan Cox Stratifikasi.
Perluasan Model Cox
Perluasan model Cox adalah model regresi Cox dengan penambahan peubah terikat-waktu pada peubah yang tidak memenuhi asumsi hazard proposional. Peubah terikat-waktu tersusun dari peubah yang tidak memenuhi asumsi dan fungsi waktu. Fungsi waktu yang digunakan pada penambahan peubah terikat-waktu adalah t. Penambahan peubah terikat-terikat-waktu pada peubah X4, X5, X6, X8 X13 dan X15 yaitu uang muka, jangka waktu pinjaman, jenis kelamin, pendapatan total, dan tingkat pendidikan terakhir, dan jenis pendapatan.
22
peubah tipe motor, nomor telepon tetap, kepemilikan telepon, uang muka, jangka waktu pinjman, jenis kelamin, besar angsuran, status pernikahan, jumlah tanggungan, tingkat pendidikan, dan pekerjaan. Peubah terikat-waktu yang berpengaruh waktu terhadap durasi daya tahan debitur pada alpha 5% yaitu diantaranya uang muka, jangka waktu pinjaman, jenis kelamin, dan jenis pendapatan.
Untuk mencari model terbaik dilakukan penyeleksian peubah penjelas dengan metode stepwise. Hasil seleksi tersebut direduksi menjadi beberapa peubah penjelas yang diikutsertakan ke dalam pemodelan. Hasil analisis perluasan model Cox yang direduksi dapat dilihat pada Lampiran 7. Model yang diperoleh memiliki nilai AIC sebesar 60431.072 dengan statistik uji-G sebesar 1956.2102 dan nilai-p <0.0001. Hal ini menunjukkan minimal ada satu peubah penjelas yang berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur. Pengujian penduga parameter secara parsial menunjukkan bahwa seluruh peubah yang masuk kecuali usia dalam model reduksi berpengaruh nyata terhadap durasi daya tahan debitur pada taraf nyata alpha 5%.
Model Cox Stratifikasi
Model Cox Stratifikasi diawali dengan membentuk strata berdasar kategori peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi risiko proporsional. Banyak strata bergantung pada kombinasi kategori pada setiap peubah penjelas. Pada analisis daya tahan, debitur yang melakukan kredit motor terdapat enam peubah penjelas tidak memenuhi asumsi. Masing-masing enam peubah penjelas tersebut memiliki kategori yang berbeda sehingga didapatkan sebanyak 783 strata dengan rincian pada Lampiran 8 dan diasumsikan setiap strata memenuhi asumsi hazard
proporsional.
Model Cox stratifikasi tidak memasukkan peubah penjelas yang tidak memenuhi asumsi hazard proporsional, sehingga hanya ada sepuluh peubah penjelas yang masuk dalam model yaitu diantaranya tipe motor, nomor telepon tetap, kepemilikan telepon, pendapatan, besar angsuran, status kepemilikan tempat tinggal, status pernikaha
