Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa dan Amerika Menggunakan Metode Binomial

(1)

PENENTUAN NILAI OPSI TIPE EROPA DAN AMERIKA

MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL

NOVRI HENDRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul “Penentuan Nilai Opsi

Tipe Eropa dan Amerika Menggunakan Metode Binomial” adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Maret 2014

Novri Hendri

(3)

Menggunakan Model Binomial. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RETNO BUDIARTI.

Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return yang maksimum namun investor harus menanggung risiko tertentu yang membuat investor berhati-hati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk derivatif diantaranya adalah opsi. Opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak. Satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode tertentu. Berdasarkan waktu eksekusi opsi ada dua jenis yaitu opsi tipe Eropa dan Amerika. Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Amerika dapat dieksekusi di sebarang waktu sampai dengan jatuh tempo.

Dalam karya ilmiah ini dikaji cara menentukan harga opsi pada waktu keadaan diskret menggunakan struktur model binomial. Model binomial adalah model sederhana yang digunakan dalam pergerakan harga saham dengan mengasumsikan dua kemungkinan pergerakan harga saham di masa mendatang yaitu harga akan naik atau turun. Struktur dalam model one-step binomial dapat diperluas menjadi multi-step binomial untuk mengaproksimasikan harga opsi. Aplikasi model binomial one-step digunakan pada opsi tipe Eropa dan model binomial multi-step digunakan pada opsi tipe Amerika. Rumus yang diperoleh diaplikasikan untuk menghitung nilai opsi call saham PT Telekomunikasi Indonesia bulan Januari 2012 berdasarkan data pergerakan saham periode Januari-Desember 2011.

(4)

Options Using the Binomial Model. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RETNO BUDIARTI.

Investors have purposes to obtain maximum returns, but they must be careful to invest their money because they may take risk. Therefore, they need products to reduce the risk. The products are called derivative products. There are many kinds of derivative products, such as options. An option is a type of contract between two parties. One party gives the other party a right to sell or to buy some assets in a certain price and in a certain period. Based on their execution time, there are two types of options i.e. European styles and American styles. European style options can only be exercised at expiration time, meanwhile American style options can be exercised at random time to the expiration time.

In this paper, the option price at a discrete time will be determined by using binomial model. A binomial model is a model that describes asset price movements by assuming two possibilities of asset price movements in the future. Those are up and down. One-step binomial structures can be expanded into multi-step binomial structures in order to approximate the option price. The application of one-step binomial model is used on the European option and multi-step binomial model is used on the American option. The acquired formula is applied to calculate the value of call option of PT Telekomunikasi Indonesia stocks in

January 2012 based on the data of January to December 2011’s fluctuation of

stock.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENENTUAN NILAI OPSI TIPE EROPA DAN AMERIKA

MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL

NOVRI HENDRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

Judul Skripsi : Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa dan Amerika Menggunakan Metode Binomial

Nama : Novri Hendri

NIM : G54080019

Disetujui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I

Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

(7)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah

Matematika keuangan, dengan judul “Penentuan Nilai Opsi Tipe Eropa dan

Amerika Menggunakan Metode Binomial”.

Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr Berlian Setiawaty, MS selaku dosen pembimbing I, Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu, motivasi, bantuan dan sarannya, Dr Donny Citra Lesmana, MfinMath selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu dan sarannya. Penghargaan penulis sampaikan kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika, terima kasih atas semua yang sudah diberikan. Ungkapan terima kasih Bapak dan Ibu yang selalu memberikan doa, motivasi, dan kasih sayang setiap harinya, keluargaku tercinta: nenek, om, tante, onsu, sepupuku dan adik-adikku terima kasih atas dukungannya.

(8)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR LAMPIRAN ix

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Tujuan 2

1.3 Sistematika Penulisan 2

II LANDASAN TEORI 2

2.1 Pengantar Teori Peluang 2

2.2 Matematika Keuangan 4

III MODEL BINOMIAL UNTUK DERIVATIF 8

3.1 Model Binomial satu langkah 8

3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 12

3.3 Model Binomial Multi-step 14

IVAPLIKASI MODEL BINOMIAL PADA OPSI 19

4.1 Opsi Eropa 19

4.2 Opsi Amerika 22

4.3 Aplikasi Model Binomial untuk Opsi Call pada Pergerakan Saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) Tbk 25

SIMPULAN DAN SARAN 30

DAFTAR PUSTAKA 30

(9)

DAFTAR TABEL

1 Data PT Telekomunikasi Indonesia 25

2 Nilai opsi call untuk tipe Amerika 28

DAFTAR GAMBAR

1 Binomial tree satu langkah 9

2 Binomial tree satu langkah dalam model CRR 13

3 Binomial tree dua langkah 14

4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR 14

5 Binomial tree tiga langkah 15

6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR 16

7 Binomial treen-langkah 17

8 Distribusi nilai dari � 0 ₁₈

9 Grafik nilai opsi call tipe Eropa untuk pembeli opsi call 20

10 Grafik nilai opsi put tipe Eropa untuk pembeli opsi put 21

11 Model binomial satu langkah opsi call tipe Eropa 27

12 Model binomial dua langkah opsi call tipe Amerika 29

DAFTAR LAMPIRAN

1 Data harian PT Telekomunikasi Indonesia 32

2 BI rate Agustus 2010 - Desember 2011 38

3 Model binomial satu langkah 39

4 Model binomial 2-langkah 40

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan investasi setiap tahun semakin meningkat apalagi pada sektor keuangan. Investasi bertujuan untuk memperoleh keuntungan yang besar dengan biaya yang minimum. Para investor saat ini tidak hanya berinvestasi pada aset riil saja seperti, logam mulia, ataupun minyak tetapi investor juga tertarik pada aset keuangan seperti saham, portofolio, obligasi, mata uang, dan lain-lain. Saat berinvestasi, investor pasti berharap untuk mendapatkan keuntungan yang besar dengan biaya awal minimum. Namun, untuk memperoleh keuntungan itu investor harus berani menanggung risiko. Dalam hal ini investor harus hati-hati dalam menanamkan uangnya untuk berinvestasi. Maka berkembanglah produk-produk untuk meminimumkan risiko yang sering disebut produk derivatif. Produk derivatif ini berupaya untuk melindungi nilai dan untuk meningkatkan keuntungan pada aset investasi. Berbagai macam bentuk produk derivatif beberapa di antaranya adalah forward contract (kontrak forward), future contract (kontrak berjangka), dan opsi.

Karya ilmiah ini akan membahas tentang opsi. Opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak. Satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode tertentu (Niwigia 2005). Terdapat dua jenis opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset dengan harga tertentu, pada atau sebelum waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put

memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan harga tertentu, pada atau sebelum jatuh tempo.

Berdasarkan waktu eksekusi, opsi ada dua jenis yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan jatuh tempo (Hull 2003).

Ada beberapa metode yang digunakan dalam menghitung aproksimasi harga opsi dalam pergerakan saham, salah satunya adalah model binomial. Pada tugas akhir ini dibahas tentang model binomial. Model binomial adalah model sederhana yang digunakan dalam pergerakan harga saham dengan mengasumsikan dua kemungkinan pergerakan harga saham di masa mendatang yaitu, harga saham akan naik atau harga saham akan turun (Hoek dan Elliott 2006).

Model binomial terdiri atas dua macam yaitu binomial one-step dan binomial

(11)

1.2 Tujuan

Tujuan karya ilmiah ini adalah

1. Mengkaji model binomial one-step dan model binomial multi-step

2. Menentukan rumus model binomial untuk nilai opsi call dan put.

3. Menentukan nilai opsi Eropa dan opsi Amerika menggunakan model binomial dengan periode lebih dari satu. Bab keempat merupakan pembahasan yang berisi penentuan rumus untuk nilai dari opsi tipe Eropa dan tipe Amerika dengan model binomial one-step dan multi-step serta berisi aplikasi rumus yang telah ditentukan pada studi kasus. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dan saran dari keseluruhan penulisan.

II LANDASAN TEORI

2.1 Pengantar Teori Peluang

Definisi 1 (Percobaan acak)

(12)

Definisi 4 (Peubah acak)

Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa { } untuk setiap

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Definisi 5 (Peubah acak diskret)

Peubah acak dikatakan diskret jika himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah atau berhingga. (Grimmett dan Stirzaker 1992) keberhasilan dalam ulangan yang bebas dalam suatu percobaan binom. (Walpole 1992)

Definisi 9 (Sebaran binom)

Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan dan peluang kegagalan , maka peluang bagi peubah acak binom untuk mendapatkan keberhasilan kali dalam kali ulangan yang bebas adalah

untuk dan . (Walpole 1992)

Definisi 10 (Nilai harapan)

(13)

∑

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)

Definisi 11 (Ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan . Ragam dari , dinotasikan dengan atau , adalah

(Hogg et al. 2005)

Persamaan dapat di uraikan menjadi

( )

( ) ( )

( )

Definisi 12 (Kovarian)

Kovarian dari dua peubah acak dan , ditulis didefinisikan sebagai berikut

di mana dan adalah nilai harapan dari dan .(Ross 2009)

Persamaan dapat diuraikan menjadi

2.2 Matematika Keuangan

Definisi 13 (Aset)

Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai penukaran. (Harvey dan Gretchen 2002)

Definisi 14 (Aset berisiko dan aset bebas risiko)

(14)

Definisi 15 (Investasi) untuk melakukan pembayaran bunga kepada pemegang obligasi selama masa obligasi, kemudian melunasi nilai nominal pada waktu jatuh tempo. (Bodie et al.

2006)

Definisi 18 (Volatilitas)

Volatilitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga berfluktuasi dalam suatu periode. (Lo 2003)

Volatilitas saham menyatakan tingkat keacakan harga saham. Semakin tinggi volatilitas suatu saham, maka kepastian imbal hasil suatu saham memberikan keuntungan akan semakin rendah. Sebaliknya semakin rendah volatilitas suatu saham, maka kepastian imbal hasil suatu saham memberikan keuntungan semakin tinggi.

Definisi 19 (Short sell)

Short sell adalah pinjam dan jual apa yang bukan milik sendiri. Short sell aset berarti pinjam aset dari orang lain kemudian jual aset tersebut dan di waktu mendatang beli aset tersebut dan dikembalikan kepada pemilik aset. (Hoek dan Elliot 2006)

Definisi 20 (Underlying asset)

Underlying asset adalah aset yang dijadikan sebagai objek atau dasar transaksi. Aset yang dijadikan sebagai underlying dapat berupa barang berwujud maupun tidak berwujud, seperti tanah, bangunan, berbagai jenis proyek pembangunan, serta aset non fisik lainnya seperti jasa. Yang termasuk underlying assets antara lain komoditas (minyak, gas, emas), saham, mata uang, obligasi. (Hoek dan Elliot 2006)

Definisi 21 (Produk derivatif)

(15)

Definisi 22 (Opsi)

Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. (Hull 2003)

Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put.

Definisi 23 (Opsi call dan opsi put)

Opsi call merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset dengan harga yang telah disepakati pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Opsi put merupakan hak tetapi bukan suatu kewajiban untuk menjual aset dengan harga yang telah disepakati pada atau sebelum waktu yang ditentukan. (Hoek dan Elliot 2006)

Opsi call dan opsi put dapat dibedakan menjadi European (tipe Eropa) dan

American (tipe Amerika). Tipe Eropa dapat diaplikasikan hanya pada pada waktu yang telah disepakati T (exercise date). Tipe Amerika dapat diaplikasikan kapan saja, dimulai dari waktu sekarang hingga waktu mendatang .

Definisi 24 (Peluang arbitrase)

Peluang arbitrase adalah peluang di mana sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilai di semua kemungkinan keadaan waktu di

(16)

sangat penting dan menguntungkan, sehingga argumentasi berdasarkan no arbitrage axiom merupakan dasar dari matematika keuangan.

Teorema 1 ( Law of one price)

Misalkan terdapat dua aset dan dengan harga pada waktu ,

. Seandainya ada harga dan sama di semua keadaan dunia:

maka

(Hoek dan Elliot 2006)

Bukti

Misalkan . Bentuklah portofolio berikut pada waktu , dimulai dengan $0.

Meminjam dan menjual , berarti Membeli B, berarti .

Sehingga , yang bisa dipegang atau diinvestasikan. Catatan strategi ini memerlukan tidak adanya investasi awal. Pada waktu , maka

Membeli dan mengembalikan , berarti . Menjual , berarti .

Karena , maka hasil yang diperoleh adalah $0. Tetapi, masih mempunyai hasil yang positif sebesar , sehingga telah menunjukkan adanya peluang arbitrase. Kontradiksi dengan aksioma dasar, sehingga haruslah . Untuk pembuktian argumen yang sama dapat digunakan.

(17)

III MODEL BINOMIAL UNTUK DERIVATIF

Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga derivatif yang dijelaskan oleh Hoek & Elliott (2006). Model ini dapat dikerjakan dengan mudah karena berisi sedikit parameter dan struktur setiap node dalam tree

sederhana.

3.1 Model Binomial Satu Langkah

Model binomial merupakan metode untuk mengaproksimasi harga opsi pergerakan saham pada masa mendatang dengan dua kemungkinan yaitu harga saham naik atau harga saham turun. Pada model ini para investor bisa membeli atau menjual asetnya yang dikontruksi ke dalam portofolio biasanya disebut dengan tradeable asset.

Tradeable asset dapat diartikan bahwa aset dapat dibeli atau dijual berapapun banyaknya dan kapanpun permintaannya. Diasumsikan untuk setiap aset bawa harga membeli dan menjual adalah sama pada waktu yang sama. Pada , aset berisiko memiliki dua kemungkinan nilai yang berbeda (karena nilainya tidak pasti atau berisiko), yang dilambangkan dan .

Model binomial sederhana satu langkah dapat digunakan untuk menentukan harga derivatif hari ini. Dalam model ini terdapat dua waktu, untuk memudahkan akan disebut dan . Pada menunjukkan waktu sekarang, dan pada

(18)

Gambar 3.1 Binomial tree satu langkah.

Relative pricing

Misalnya adalah portofolio yang akan dibayar pada waktu . Pada model, dapat mempuyai dua nilai yaitu dan . Akan ditentukan

, harga pada waktu . Nilai tidak pasti karena adalah fungsi dari yang tidak pasti, sehingga adalah aset yang nilainya tergantung nilai . Jadi merupakan derivatifdari underlying asset .

Diasumsikan bahwa dengan memiliki model S, dapat ditentukan menggunakan relative pricing.

Terdapat dua tahap dalam relative pricing

1. Tentukan sehingga

. (3.2) Interpretasinya sebagai berikut.

Didefinisikan bahwa mewakili jumlah aset bebas risiko pada dan mewakili jumlah aset berisiko pada . Pada , tingkat kepemilikan tidak berubah, tetapi underlying asset mengubah nilai menjadi . Kedua sisi adalah suatu besaran acak dan persamaan (3.2) berarti

(3.3)

(3.4) Pemecahan (3.3) dan (3.4) memberikan:

dan

(19)

2. Menggunakan One Price Theorem, yang merupakan akibat dari No Arbitrage Axiom harus diperoleh

(3.7).

dengan mensubtitusikan nilai dan persamaan (3.5) dan (3.6), maka nilai

pada persamaan (3.7) akan menjadi sebagai berikut

[ ] [ _]

Risk neutral probability

Misalkan nilai hasil dari portofolio yang didefinisikan

sehingga

Untuk semua nilai , didefinisikan sebagai berikut:

di mana adalah peluang (dilihat pada ) akan terjadi upstate pada . Misalkan X adalah tredeable asset di mana nilai pada adalah dan nilai pada adalah atau tergantung apakah terjadi upstate atau

downstate. Berdasarkan rumus umum harga dalam model binomial satu langkah

(20)

Didefinisikan return untuk aset X

di mana dapat ditulis

Lema 1. Untuk semua , berlaku

[ ]

. (3.14) (Bukti: Haryanto 2013)

Akibat 1.

[ ]

(Bukti: Haryanto 2013)

Definisi 22

Diberikan dan adalah dua tradeable asset. Nilai kedua aset tersebut pada waktu adalah dan . Pada waktu keadaan (atau nilai kedua aset tersebut adalah ( ). Kemudian dapat didefinisikan sebagai

Diperoleh

(21)

(22)

√

di mana:

t=0 t=1

Gambar 3.2 Binommial tree satu langkah dalam model CRR.

diperoleh

Sehingga rumus umum harga untuk derivatif dalam model binomial satu langkah menggunakan CRR adalah

_[

]

Return untuk aset S dalam model binomial satu langkah, dapat ditulis

{ (3.26)

(23)

3.3 Model Binomial Multistep

3.3.1 Binomial tree dua langkah

Dalam model binomial dua langkah terdapat tiga keadaan pada saat .

t=0 t=1 t=2

Gambar 3.3 Binomial tree dua langkah

 Pada yaitu node harga aset bernilai .

 Pada , harga aset akan bernilai dan

dengan masing-masing peluang dan .

 Pada , harga aset akan menjadi tiga keadaan yaitu

, dan dengan peluang masing-masing adalah , , dan .

Model binomial dua langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi-notasi yang digunakan adalah:

.

Gambar model binomial dua langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.4.

(24)

Return untuk aset , dapat ditulis

{

3.3.2 Binomial tree tiga langkah

Dalam menentukan binomial tree tiga langkah sama halnya dengan dua langkah dengan waktu eksekusinya dua periode, sedangkan pada binomial tree tiga langkah memiliki tiga periode sebelum jatuh tempo. Dalam model binomial tree

tiga langkah terdapat empat keadaan pada saat .

t=0 t=1 t=2 t=3

Gambar 3.5 Binomial tree tiga langkah

 Pada yaitu node harga aset bernilai .

 Pada , harga aset akan bernilai dan

dengan masing-masing peluang dan .

 Pada , harga aset akan menjadi tiga keadaan yaitu

, dan dengan peluang masing-masing adalah , , dan .

 Pada , harga aset akan menjadi empat keadaan yaitu

, ,

, dan dengan peluang masing-masing adalah , , , dan

.

Model binomial tiga langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi-notasi yang digunakan adalah

(25)

.

Gambar model binomial tiga langkah menggunakan model CRR ditunjukan dalam Gambar 3.6.

Gambar 3.6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR

Return untuk aset , dapat ditulis

{

3.3.3 Model binomial n-langkah

Model CRR pada model binomial multi-step pada dasarnya adalah simplest constant model dengan

Untuk semua diasumsikan

dengan dan

(26)

Setiap node dalam tree ditulis . Penulisan t dalam node melambangkan waktu

dan penulisan dalam node melambangkan keadaan

. Pada waktu terdapat keadaan. Jika berada pada node pada , maka pada node yang mungkin salah satu dari

atau .

Gambar 3.7 Binomial tree n-langkah

Untuk setiap keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan

_.

Model binomial tree n-langkah dapat dijelaskan menggunakan model CRR. Dalam binomial tree n-langkah untuk harga aset setiap keadaan (atau jalur yang melewati tree) di mana perubahan harga secara tepat j naik ke atas dan n-j turun ke bawah menghasilkan nilai aset pada waktu n.

Maka dapat dinotasikan:

dengan peluang

_{dengan peluang}

  

dengan peluang

(27)

Untuk setiap keadaan, peluang masing–masing keadaan sama dengan

_{, sehingga dapat ditulis}

dengan peluang

untuk setiap . Nilai aset pada waktu adalah variabel acak diskret dengan nilai berbeda.

Distribusi nilai dapat dilihat dalam Gambar 3.8 untuk , ,

, , dan .

Gambar 3.8 Distribusi nilai dari

Nilai dari yang merupakan pergerakan nilai ke atas adalah variabel acak yang menyebar binomial. Hal yang sama juga berlaku untuk nilai dari yang merupakan pergerakan nilai ke bawah. Kemudian dapat dikatakan bahwa proses perubahan harga aset mengikuti binomial tree. Dalam n-step, binomial dilakukan dalam semua keadaan. Setiap jalur dalam n-step bergerak naik dan turun dan setiap step memiliki elemen.

Return untuk aset dapat ditulis

{

(28)

IV APLIKASI MODEL BINOMIAL PADA OPSI

Pada bab ini akan dibahas cara menentukan harga opsi call atau opsi put dari opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika dengan menggunakan model binomial

4.1 Opsi Eropa

Opsi Eropa memberikan hak kepada pembeli opsi untuk melakukan eksekusi pada saat jatuh tempo berakhir. Pada tipe Eropa opsi terbagi dua yaitu opsi call

dan opsi put. Opsi call tipe Eropa memberikan hak tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset dari pemiliknya pada tingkat harga dan waktu tertentu. Sedangkan opsi put memberikan hak untuk menjual aset tertentu pada tingkat harga dan waktu tertentu.

4.1.1. Opsi call

Opsi call merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset S

dengan harga yang telah disepakati (strike price) pada waktu yang telah disepakati .

Pada opsi call ada empat hal utama yang perlu diperhatikan: 1. Perusahaan yang sahamnya akan dibeli,

2. Jumlah saham yang dapat dibeli,

3. Harga pembelian saham yang akan dibeli atau disebut strike price, dan 4. Tanggal berakhirnya hak membeli yaitu tanggal terakhir opsi yang dapat

digunakan.

Pada opsi call ada pihak-pihak yang terlibat pada opsi ini yang disebut:

 Pembeli opsi call (call writer) adalah pihak yang memiliki hak atau kewajiban untuk membeli sejumlah tertentu saham, dengan harga dan waktu tertentu.

 Penjual opsi call (call holder) adalah pihak yang menerima pembayaran opsi dan berjanji menyerahkan sejumlah tertentu saham, dengan harga dan waktu tertentu.

Pembeli opsi call akan menggunakan opsi untuk membeli saham pada harga yang telah disepakati . Pada dasarnya terdapat dua kondisi yang terjadi pada keuntungan yang akan diperoleh pembeli opsi call dapat bernilai nol atau selisih harga saham saat opsi dieksekusi dengan harga pelaksanaan. Dengan kata lain pembeli opsi tidak akan menggunakan opsi ketika harga pasar lebih rendah atau sama dengan strike price.

(29)

{

sehingga

{ }

Jadi nilai opsi call seorang call writer untuk membeli aset dengan harga yang telah disepakati pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbal hasil atau penerimaan keuntungan dapat ditunjukkan Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Grafik nilai opsi call tipe Eropa untuk pembeli opsi call

Pada grafik di atas, semakin tinggi harga pasar saham, maka imbal hasil call holder akan semakin besar.

4.1.2. Opsi put

Opsi put merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk menjual aset dengan harga yang telah disepakati (strike price) pada waktu yang telah disepakati .

Pada opsi call ada empat hal utama yang perlu diperhatikan: 1. Perusahaan yang sahamnya dapat dijual,

2. Jumlah saham yang dapat dijual,

3. Harga penjualan saham yang akan dijual atau disebut strike price, dan 4. Tanggal berakhirnya hak menjual yaitu tanggal terakhir opsi dapat

digunakan.

Pada opsi put ada pihak-pihak yang terlibat pada opsi ini yang disebut:

(30)

Untuk kondisi ini opsi put tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo, maka yang telah disepakti pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbal hasil atau penerimaan keuntungan dapat ditunjukkan Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Grafik nilai opsi put tipe Eropa untuk pembeli opsi put

Pada grafik diatas, semakin rendah harga pasar saham, maka imbal hasil put holder akan semakin besar.

4.1.3 Menghitung nilai opsi call

Opsi call dan opsi put adalah contoh derivatif karena nilainya tergantung pada underlying asset dalam hal ini adalah harga saham. Sebuah opsi call dan opsi

put merupakan yang dapat dieksekusi terhadap sebuah saham apakah akan dibeli

Suatu opsi tipe Eropa imbalanya dapat diekspresikan sebagai suatu fungsi

(31)

Untuk mendapatkan imbal hasil dari opsi call maka dapat ditentukan dengan

Suatu opsi tipe Eropa jika imbalanya dapat diekspresikan sebagai suatu fungsi dari harga aset pada waktu jatuh tempo dengan strike price .

(32)

4.2.1 Opsi call

Opsi call merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset S

dengan harga yang telah disepakati K (strike price) dan dapat dieksekusi kapan saja pada waktu selama jangka waktu kontraknya berlaku yaitu T.

Pembeli opsi call akan menggunakan opsi untuk membeli saham pada harga yang telah disepakati dan dapat dieksekusi kapan saja. Pada dasarnya opsi call

tipe Amerika sama dengan opsi call tipe Eropa, tapi pada opsi ini seorang pembeli opsi call dapat mengeksekusi opsi sebelum jatuh tempo selama batas waktu yang telah disepakati yaitu . Jika waktu eksekusi dilaksanakan dengan maka pembeli opsi call akan mengeksekusi opsi dengan cara membeli saham dengan harga K yang telah disepakati dan menjual saham di saat harga pasar sebesar , jadi pembeli opsi call akan diuntungkan di mana besar keuntungan yang diperoleh adalah . Sedangkan jika pada saat eksekusinya dilaksanakan maka pembeli opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena pembeli opsi call memperoleh kerugian sebesar . Untuk kondisi ini opsi

Opsi put merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk menjual aset S

dengan harga yang telah disepakati K (strike price) dan dapat dieksekusi kapan saja pada waktu selama jangka waktu kontraknya berlaku yaitu .

Pembeli opsi put akan menggunakan opsi untuk menjual saham pada harga yang telah disepakati dan dapat dieksekusi kapan saja. Pada dasarnya opsi put

tipe Amerika sama dengan opsi put tipe Eropa, tapi pada opsi ini seorang pembeli opsi put dapat mengeksekusi opsi sebelum jatuh tempo selama batas waktu yang telah disepakati yaitu . Jika maka pembeli opsi put akan menjual saham dengan harga yang telah disepakati dan membeli saham di saat harga pasar sebesar , jadi besar keuntungan yang diperoleh pembeli opsi put adalah

. Sedangkan jika pada saat jatuh tempo, maka pembeli opsi put

tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena akan memperoleh kerugian sebesar

(33)

Nilai opsi call tipe amerika tergantung pada nilai di mana . Sehingga imbal hasil opsi call tipe Amerika dengan harga K pada saat dieksekusi dengan waktu t dapat ditulis { }. sebesar dengan peluang atau nilai sahamnya turun sebesar dengan peluang

, maka dapat dirumuskan Sehingga imbal hasil opsi put tipe Amerika dengan harga K pada saat dieksekusi dengan waktu t dapat ditulis { }.

Opsi put tipe Amerika adalah model derivatif di mana nilai saham akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar u atau d pada setiap step waktu. Penulisan dalam node melambangkan waktu dan penulisan dalam node melambangkan keadaan . Pada model CRR pembeli opsi put tipe Amerika berdasarkan pergerakan saham menentukan nilai saham pada saat node , ketika saat dieksekusi nilai sahamnya naik sebesar u dengan peluang atau nilai sahamnya turun sebesar dengan peluang , maka dapat dirumuskan

_{[ ( ) ( )]}

(34)

di mana merupakan nilai present value dari harga opsi pada saat indeks

Pada karya ilmiah ini akan dibahas aplikasi model binomial opsi call tipe Eropa dan tipe Amerika diambil data pergerakan saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) mulai dari bulan Januari-Desember 2011.

4.3.1 Data

(35)

4.3.1 Menghitung nilai opsi call tipe Eropa untuk saham PT Telekomunikasi Indonesia

Berdasarkan data pergerakan saham PT Telekomunikasi Indonesia (Persero) periode Januari-Desember 2011 (lampiran 1) dan data BI rate Agustus 2010-Desember 2011 (lampiran 2) akan dihitung nilai opsi call tipe Eropa untuk membeli aset pada bulan Januari 2012. Dalam hal ini adalah Desember 2011 dengan aset dan strike price adalah 1430 yang akan dieksekusi pada

bulan Januari 2012 dengan

dan suku bunganya adalah 6%

pertahun. Dengan menggunakan model binomial CRR satu langkah untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa yaitu dan volatilitasnya 30%. Maka dari harga saham dan strike price didapatkanlah nilai opsi call tipe Eropa dengan menggunakan rumus

Nilai opsi call tipe Eropa dapat dilihat dari Gambar 4.1.

0.083333

√ _1.090463178

0.91704151

0.480766009

0.519233991

1537.553082

(36)

Gambar 4.1 Model binomial satu langkah opsi call tipe Eropa

Pada Gambar 4.1 maka pembeli opsi call tipe Eropa dapat mengeksekusinya jika telah mendapatkan nilai opsinya dengan menggunakan model binomial CRR satu langkah. Ketika pembeli opsi menggunakan opsinya dengan menggunakan opsinya di mana 1410 dan strike price 1430 maka saat dieksekusi pergerakan saham akan naik sebesar 1.090463178 dengan peluang 0.480766009 dan akan turun sebesar 0.91704151 dengan peluang 0.519233991, maka dengan menggunakan rumus binomial satu langkah untuk nilai opsi tipe Eropa yang akan dieksekusi pada akhir Januari 2012 adalah sebesar 51.68632535.

4.3.2 Menghitung nilai opsi call tipe Amerika PT Telekomunikasi Indonesia

Opsi call tipe Amerika adalah model binomial multi-step karena pembeli opsi bisa mengeksekusi kapan saja berdasarkan pergerakan saham. Waktu yang digunakan adalah diskret, maka pembeli opsi call akan mengeksekusi sahamnya ketika telah mendapatkan nilai opsi call tipe Amerika, untuk pergerakan saham

(37)

{ _} dapat mengeksekusinya jika telah mendapatkan nilai dari opsi call. Ketika pembeli menggunakan opsi tipe Amerika maka pembeli opsi bisa mengeksekusi sahamnya kapan saja dalam jangka waktu yang telah ditentukan jadi dengan meggunakan model binomial untuk opsi tipe Amerika adalah model binomial

(38)

√ _1.06315111

0.94060006

0.4888096

0.511904

1499.040365

1326.246087

1593.709299

1410

1247.467152

Gambar 4.2 Model binomial dua langkah opsi call tipe Amerika

Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa nilai opsi call tipe Amerika untuk strike price

yang sama yaitu dan harga saham awal pada akhir Desember 2011 yaitu dengan volatilitas dan suku bunga 6% pertahun yang akan dieksekusi pada bulan Januari 2012, menunjukkan semakin besar langkahnya yaitu maka semakin kecil nilai opsi call tipe Amerika.

1410

1247.467152 1410

1593.70929

(39)

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dari pembahasan dapat ditarik kesimpulan.

1. Nilai opsi call dan opsi put dapat dimodelkan menggunakan model binomial. 2. Model binomial one-step digunakan pada opsi tipe Eropa dan model binomial

multi-step digunakan pada model opsi tipe Amerika.

3. Berdasarkan data pergerakkan saham PT Telekomunikasi Indonesia pada bulan Januari 2011 sampai dengan Desember 2011, diperoleh nilai opsi untuk

2. Penulis menyarankan untuk menggunakan model binomial dalam mengkaji produk derivatif lainnya.

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2006. Investments. 6th Ed. New York:McGraw-Hill.

Capinski M, Zastawniak T. 2003. Mathematics for Finance: an Introduction to

Haryanto. 2013. Aplikasi Model Binomial dalam Forward Contract dan Forward Exchange Rate Contract [Skripsi]. Bogor: Program Sarjana Institut

(40)

Hoek VJ, Elliot RJ. 2006. Binomial Models in Finance. United States of America: Springer Finance

Hogg RV, Craig AT, McKean JW.2005. Introduction to Mathematical Statistics.

6th Ed.Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey.

Hull JC. 2003. Option Future and Other Derivative. University of Toronto: Prentice Hall International Inc.

Lo MS. 2003. Generalized Autoregressive Conditional Heterscedasticity Time Series Model [tesis]. Burnaby: Departemen of Statistics and Actuaria Science, Simon Fraser University.

Niwigia DB. 2005. Numerical Method For Valuation Of Financial Derivative

[tesis]. University of Werstern Cape, South Afica.

Ross SM.2009. Probability and Statistics to Enginers and Scientists. 4th Ed. South California: Elsevier Inc.

TLKM.Historical Prices, http://finance.yahoo.com/, [26 September 2013]

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

Date Open High Low Close Volume Adj Close

1/11/2011 1440 1490 1420 1440 307800000 168.33

1/10/2011 1440 1460 1430 1440 147192500 168.33

1/7/2011 1470 1520 1450 1470 284375000 171.83

1/6/2011 1540 1590 1530 1540 198480000 180.02

1/5/2011 1600 1600 1580 1600 84900000 187.03

1/4/2011 1580 1600 1580 1580 50385000 184.69

1/3/2011 1600 1610 1580 1600 34922500 187.03

Lampiran 2. BI rate Agustus 2010 - Desember 2011

BI Rate

(Berdasarkan hasil dari Rapat Dewan Gubernur)

Tanggal BI Rate Siaran Pers 8 Des 2011 6.00% Pranala siaran pers

10 Nov 2011 6.00% Pranala siaran pers

11 Okt 2011 6.50% Pranala siaran pers

8 Sept 2011 6.75% Pranala siaran pers

9 Agust 2011 6.75% Pranala siaran pers

12 Juli 2011 6.75% Pranala siaran pers

9 Juni 2011 6.75% Pranala siaran pers

12 Mei 2011 6.75% Pranala siaran pers

12 April 2011 6.75% Pranala siaran pers

4 Maret 2011 6.75% Pranala siaran pers

4 Feb 2011 6.75% Pranala siaran pers

5 Jan 2011 6.50% Pranala siaran pers

3 Des 2010 6.50% Pranala siaran pers

4 Nov 2010 6.50% Pranala siaran pers

5 Okt 2010 6.50% Pranala siaran pers

3 Sept 2010 6.50% Pranala siaran pers

(48)

Lampiran 3 model binomial satu langkah

√ √

{ }

(49)

Lampiran 4 model binomial 2-langkah

1410 1430 0.3 0.005 0.041666667 1.06315111 0.940600062

0.488096122 0.511903878 1.130290283 1 0.884728477 1593.709299

1410 1247.467152 163.7092987 0 0

Dengan menggunakan rumus opsi call maka didapat nilai opsi

{ }

163.709299

{ _}

{

}

79.88922855

Maka nilai opsi call adalah

38.98549984

1410 1430 0.3 0.005 0.027777778 1.051271096 0.951229425

(50)

0.860708 1638.186282 1482.292246 1341.233489 1213.598247

208.1862822 52.29224589 0 0

{ }

208.186282

{ }

52.292246

{ _}

{

}

128.9225079

{ _}

{

}

63.37831821

31.15678777

(51)

0.493986932 0.506013068 1.189109944 1.090463178 1 0.9170415

0.840965131 1676.645021 1537.553082 1410 1293.028529 1185.760835

246.6450205 107.5530817 0 0 0

{ }

246.645021

{ }

107.553082

{ _}

{

}

176.2443221

{ _}

{

}

53.12428281

{ _}

{

}

(52)

{ _}

{

}

56.27510865

27.79627269

1410 1430 0.3 0.005 0.016666667 1.213670413 1.1232087

1.213670413 1.1232087 1.213670413 1.1232087 1.03948961 0.9620106

0.890306494 0.823946921 1711.275282 1583.724268 1465.680351 1356.434914

1255.3321 1161.7651 281.27528 153.7242676 35.680350 0 0 0

{ }

281.275282

{ }

(53)

{ }

35.680351

{ _}

{

}

216.9329026

{ _}

{

}

94.1865708

{ _}

{

}

155.0186965

{ _}

{

}

46.68415304

{ _}

{

}

100.3769455

{ _}

{

}

(54)

24.66010797

1410 1430 0.3 0.005 0.013888889 1.03598777 0. 96526236

0.497054407 0.502945593 1.2363111 1.15190991 1.03598777 1

0.931731423 0.931731423 0.808857893 1743.198665 1624.192973

1460.74275 1410 1313.74130 1313.741307 1140.48963 313.1986649

194.1929733 30.74275615 0 0 0 0

{ }

313.1986649

{ }

194.192973

{ }

(55)

{ _}

{

}

253.3276839

{ _}

{

}

138.4160782

{ _}

41.40753767

{ _}

{

}

195.51982

{ _}

{

}

89.61983644

{ _}

{

}

142.2480113

{ _}

{

}

(56)

(57)

{ }

230.7231202

{ }

125.485561

{ }

26.91675044

{ _}

{

}

286.6805529

{ _}

{

}

177.9024484

{ _}

{

}

76.01745085

{ _}

{

}

(58)

{ _}

{

}

126.7671955

{ _}

{

}

37.86828548

{ _}

{

}

179.2214638

{ _}

{

}

82.15124842

{ _}

{

}

130.502132

{ _}

{

}

40.

{ _}

{

}

(59)

{ _}

{

}

42.61448962

21.22851583

1410 1430 0.3 0.005 0.01041667 1.031092193 0.96984538

0.4991501 0.500859837 1.27755612 1.20166937 1.13029028 1.063151

1 0.940600062 0.782744477 0.884728477 0.83217566 1801.354134

1694.3538 1593.709299 1499.043065 1410 1326.2461 1247.467152

1173.368 1103.67 371.3541 264.3538 163.7093 69.04307

0 0 0 0 0

{ }

(60)

{ }

264.35381

{ }

163.709299

{ }

69.043065

{ _}

{

}

317.7464894

{ _}

{

}

213.9348802

{ _}

{

}

116.2896741

{ _}

{

}

(61)

{ _}

{

}

265.7386209

{ _}

{

}

165.0206996

{ _}

{

}

75.3010517

{ _}

{

}

215.2828535

{ _}

{

}

120.0788018

{ _}

{

}

37.58500063

{ _}

{

}

(62)

{ _}

{

}

78.75769283

{ _}

{

}

123.0925366

{ _}

{

}

39.30986777

{ _}

{

}

81.12577513

{ _}

{

}

40.49183487

(63)

1410 1430 0.3 0.005 0.009259259 1.029288 0.971545

0.500001 0. 499999 1.29668061 1.22393686 1.155274025 1.0904632

1.0292882 0.9715452 0.91704151 0.86559550 0.81703561 0.77119993

1828.31966 1725.75097 1628.93638 1537.55308 1451.2964 1369.879

1293.029 1220.49 1152.02 1087.392 398.3197 295.751 198.9364

107.5531 21.29639 0 0 0 0 0

{ }

398.316583

{ }

295.7509664

{ }

(64)

{ }

107.553082

{ }

21.296388

{ _}

{

}

347.0193195

{ _}

{

}

247.3322894

{ _}

{

}

153.2376995

{ _}

{

}

64.42181395

{ _}

{

}

(65)

{ _}

{

}

200.2757894

{ _}

{

}

108.8247818

{ _}

{

}

32.20946174

{ _}

{

}

248.7075082

{ _}

{

}

154.543159

{ _}

{

}

70.51391184

{ _}

{

}

(66)

{ _}

{

}

112.5234043

{ _}

{

}

35.25537401

{ _}

{

}

157.0625366

{ _}

{

}

73.88602357

{ _}

{

}

115.4689935

{ _}

{

}

36.94135422

{ _}

{

}

(67)

{ _}

{

}

38.09914148

19.04871603

1410 1430 0.3 0.005 0.008333333 1.027764575 0.9729855

0.500761 0.49923 1.315032367 1.2449421 1.178587594 1.1157697

1.056300021 1 0.946700729 0.89624227 0.848473211 0.803250207

0.760438 1854.1956 1755.3684 1661.8085 1573.235 1489.383 1410

1334.84 1263.702 1196.35 1132.58 1072.22 424.196 325.37 231.81

143.235 59.383 0 0 0 0 0 0

_{ _}

{ }

(68)

{ }

325.3683613

{ }

231.8085074

{ }

143.2353255

{ }

59.38302964

{ _}

{

}

374.8416358

{ _}

{

}

278.6480681

{ _}

{

}

(69)

{ _}

{

}

101.3688059

{ _}

29.735495

{ _}

{

}

326.8044846

{ _}

{

}

233.1744376

{ _}

{

}

144.5348038

{ _}

{

}

65.60396448

{ _}

{

}

(70)

{ _}

{

}

188.9142467

{ _}

{

}

105.1251084

{ _}

32.85056976

{ _}

{

}

234.5412932

{ _}

{

}

147.0773532

{ _}

{

}

69.03999819

{ _}

{

}

(71)

{ _}

{

}

108.113595

{ _}

{

}

34.57113141

{ _}

{

}

149.5475686

{ _}

{

}

71.3953897

{ _}

{

}

110.5263854

{ _}

35.75057161

{ _}

{

}

(72)

{ _}

36.65039227

(73)

ibu Sari Bulan. Penulis adalah putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Batang Kapas dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).