PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN DIOPHANTINE x^2+3^m=y^n DI MANA (x,y,m,n) BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x≠0 DAN n≥3

PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN DIOPHANTINE x23myn DI MANA



x,y,m,n



BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x0 DAN

3  n

(Skripsi)

Oleh Deni Mulyani

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

ABSTRAK

PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN DIOPHANTINE x23m  yn DI MANA



x,y,m,n



BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x0

DAN n3

Oleh

Deni Mulyani

Salah satu bidang kajian ilmu matematika adalah kajian teori bilangan yang

mengkaji bilangan bulat dengan pendekatan dasar konsep keterbagian (divisibility)

termasuk di dalamnya persamaan Diophantine. Persamaan Diophantine

merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi berupa bilangan-bilangan

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan pada tanggal 1 Januari 1993 di Desa Jatibaru, Kecamatan

Tanjung Bintang. Terlahir dari keluarga yang sederhana dari pasangan Bapak

Giatno dan Ibu Simah, merupakan anak ketiga dan adik dari Dwi Arianto dan

Yuli Astuti, serta kakak dari Yulia Anggraini.

Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 3 Jatibaru,

Tanjung Bintang pada tahun 2005. Pendidikan sekolah menengah pertama di

SMP Negeri 1 Tanjung Bintang pada tahun 2008. Pendidikan sekolah menengah

atas di SMA Negeri 1 Tanjung Bintang pada tahun 2011. Kemudian penulis

melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN tertulis pada tahun 2011.

Pada periode 2011/2012 penulis terdaftar sebagai anggota magang Unit Kegiatan

Mahasiswa Fakultas (UKMF) NATURAL yang kemudian menjadi pengurus

sebagai anggota Biro Kesekretariatan pada periode 2012/2013. Selain itu penulis

(HIMATIKA) periode 2011/2012, anggota muda Rohani Islam (ROIS) peride

2011/2012, anggota biro Kesekretariatan HIMATIKA periode 2012/2013,

anggota bidang Kajian ROIS periode 2012/2013 dan sekretaris Biro

Kesekretariatan NATURAL FMIPA Universitas Lampung.

Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja, penulis telah melaksanakan

Kerja Praktik (KP) selama tiga minggu di Kantor Badan Perencanaan

Pembangunan Daerah (Bappeda) Provinsi Lampung. Dan sebagai bentuk aplikasi

bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata

(KKN) selama 35 hari di Desa Sumber Agung, Kecamatan Kemiling, Bandar

MOTTO

“Raih cita-cita bahagiakan orang tua”

(Deni Mulyani)

“Senyum adalah kekuatan terbesar dalam menjalani setiap kesulitan dalam hidup”

(Deni Mulyani)

“Bahagia di dunia adalah hal indah yang diinginkan setiap orang,

tetapi bahagia di akhirat jauh lebih indah untuk diraih”

(Deni Mulyani)

“Cinta adalah ketika tak ada lagi kata yang bisa diungkapkan untuk menggambarkan keindahan cinta itu sendiri”

(Deni Mulyani)

“Setiap karunia-Nya akan lebih terasa ketika kita mampu bersyukur atas apa yang telah diberikan”

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap syukur kepada Allah SWT atas nikmat

yang tak terhingga yang selalu dilimpahkan kepadaku

sehingga aku dapat menyelesaikan karya kecilku ini.

Mamak..., Bapak....

Kupersembahkan karya kecilku ini sebagai salah satu tanda

bakti dan cintaku, terima kasih untuk setiap do’a, kasih

sayang dan perhatian, serta semangat yang tak pernah putus

diberikan di setiap hariku.

Untuk kedua kakakku tersayang Mamas dan Yayuk, adikku

Lia juga kakak iparku Mba Cinta, serta keluarga besarku

yang selalu memberikan semangat dan dukungan serta do’a

yang tak pernah henti untukku.

Seseorang yang selalu ada di setiap hariku, Mas terimakasih

untuk semua kebahagiaan dan keceriaan yang telah

diberikan untukku. Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada,

SANWACANA

Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas

izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penyelesaian

Analitik Persamaan Diophantine x23m yn di mana



x,y,m,n



Bilangan Bulat Positif dengan x0 dan n3”. Shalawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis banyak memperoleh bimbingan,

kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.

Untuk itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :

1. Bapak Suharsono. S, M.Si., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama

yang senantiasa membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing kedua

yang telah memberikan bimbingan serta saran yang membantu penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

dan saran yang membangun. Serta bimbingannya selama ini kepada penulis

iv 4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

6. Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung.

7. Untuk kedua orang tuaku, Mamas dan Yayuk, juga adikku Lia serta kakak

iparku Mba Cinta yang telah banyak memberikan kasih sayang, do’a dan

perhatian serta semangat yang tak terhingga kepada penulis.

8. Seluruh keluarga besarku di Tanjung Bintang, terimakasih atas semua do’a

dan dukungannya serta kasih sayang yang telah banyak diberikan.

9. Untuk Mas yang selalu ada untukku, terimakasih untuk kasih sayang,

kebahagiaan dan keceriaan yang telah banyak diberikan.

10. Keluarga besar UKMF Natural atas segala pembelajaran, kebersamaan,

keceriaan serta kebahagiaan yang telah diberikan kepada penulis.

11. Sahabat-sahabat di asrama safitri Andzirnie Bil Haqqi, Rusmi Purwanti, Ofi

Megariani, Dewi Oktaviani, Sri Wulandari, Eka Zuliana Sari serta Mba Nova

yang telah banyak memberikan semangat dan dukungan.

12. Sahabat seperjuangan satu bimbingan Dwi Okta Arianti dan Ita Septia

Indrawati, serta teman Kerja Praktik (KP) Inggit Puspita Ningrum.

13. Sahabat seperjuangan pada saat KKN Yeni Purnama Sari, Mega Fitri Nemara,

Yori Tirta dan Junaidi Permana, serta keluarga baru di Sumber Agung Ibu

v 14. Teman-teman Matematika 2011 atas kebersamaan serta keceriaan yang telah

diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan di Universitas

Lampung.

15. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak

dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, Februari 2015

Penulis

DAFTAR ISI

2.2.2 Definisi Sifat-Sifat Sistem Bilangan Bulat ... 5

2.2.3 Definisi Pengurangan Bilangan-Bilangan Bulat ... 6

2.2.4 Definisi Pembagian Bilangan-Bilangan Bulat ... 6

2.3 Keterbagian ... 6

2.3.1 Definisi Keterbagian ... 6

2.4 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ... 6

2.4.1 Definisi Faktor Persekutuan ... 6

2.4.2 Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ... 7

2.5 Bilangan Prima ... 7

2.5.1 Definisi Bilangan Prima ... 7

2.6 Kekongruenan ... 8

2.6.1 Definisi Kekongruenan ... 8

2.7 Persamaan Diophantine ... 8

2.7.1 Definisi Persamaan Linear Diophantine ... 8

2.7.2 Definisi Persamaan Tak Linear Diophantine ... 8

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 10 3.2 Metodologi Penelitian ... 10

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN V. KESIMPULAN DAN SARAN

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang banyak

sekali manfaatnya. Banyak ahli matematika mencoba mendefinisikan

matematika sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran,

ilmu tentang bentuk dan lainnya. Ciri khas ilmu matematika yang tidak

dimiliki ilmu pengetahuan lain yaitu merupakan abstraksi dari dunia nyata,

menggunakan bahasa simbol, dan menganut pola pikir deduktif.

Matematika memiliki berbagai bidang kajian salah satunya adalah kajian

teori bilangan. Teori bilangan secara umum membahas tentang bilangan dan

sifat-sifatnya (khususnya bilangan bulat). Teori bilangan elementer mengkaji

bilangan bulat dengan pendekatan dasar konsep keterbagian (divisibility)

termasuk di dalamya persamaan Diophantine.

Persamaan Diophantine pertama kali dipelajari oleh matematikawan Yunani

bernama Diophnatus. Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul

Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan

yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat

2

Persamaan Diophantine (Diophnatine Equation). Persamaan Diophantine

merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi berupa

bilangan-bilangan bulat. Persamaan Diophantine terbagi menjadi dua yaitu

persamaan linear Diophantine dan persamaan taklinear Diophantine.

Bentuk umum persamaan Diophantine adalah axbyc dengan a,b adalah koefisien dan c adalah konstanta bulat. Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi

persamaan axbyc. Jika d adalah Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari a dan b, agar persamaan mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c. Metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine yaitu dengan menggunakan algoritma Euclid.

Persamaan Diophantine x23myn untuk n2 tidak menarik untuk dibahas karena mempunyai tak hingga banyaknya solusi. Sedangkan untuk

0 

m tidak mempunyai solusi dan untuk m1 telah dibuktikan oleh Cohn. Belum lama ini Arif dan Muriefah menemukan semua solusi dari persamaan

Diophantine x23myn dimana m adalah ganjil. Dari semuanya membentuk x10.3t, y7.32t, m56t dan n3.

Persamaan Diophantine x23myn, di mana



x,y,m,n



bilangan bulat positif dengan x0 dan n3 untuk m genap belum diketahui apakah mempunyai solusi atau tidak. Oleh karena itu penulis akan mencoba mencari

3

1.2 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini penulis hanya menyelesaikan persamaan Diophantine

n

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memahami secara lebih mendalam konsep persamaan Diophantine

2. Memperoleh solusi secara analitik persamaan Diophantine x23myn ,

di mana



x,y,m,n



bilangan bulat positif dengan x0 dan n3.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan mengenai konsep

persamaan Diophantine secara mendalam, serta dapat menjadi motivasi bagi

mahasiswa Matematika FMIPA Universitas Lampung untuk dapat

mengembangkan penelitian mengenai persamaan Diophantine ini dengan

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang

terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar

yang menunjang dan disajikan dalam definisi berikut:

2.1 Persamaan

2.1.1 Definisi Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel (peubah) sehingga belum

dapat disimpulkan benar atau salah nilai kebenarannya.

2.1.2 Definisi Persamaan

Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda kesamaan (=).

2.2 Sistem Bilangan Bulat

2.2.1 Definisi Invers Penjumlahan

Jika n bilangan bulat sedemikian sehingga n

   

n  n n0, maka

 

n disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas

5

2.2.2 Definisi Sifat-Sifat Sistem Bilangan Bulat

Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} dengan

operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.). Untuk a, dan b c

bilangan-bilangan bulat sebarang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

i. Sifat tertutup terhadap penjumlahan, ada dengan tunggal



ab



dalam B.

viii.Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan

6

2.2.3 Definisi Pengurangan Bilangan-Bilangan Bulat

Jika a, dan b k bilangan-bilangan bulat, maka abk jika dan hanya jika k

b

a  (Wirasto, 1972).

2.2.4 Definisi Pembagian Bilangan-Bilangan Bulat

Jika a, dan b c bilangan-bilangan bulat dengan b0, maka a:bc jika dan

hanya jika ab.c.

Hasil bagi blangan-bilangan bulat



a:b



ada (yaitu suatu bilangan bulat) jika dan hanya jika a kelipatan dari b. Sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b, hasil bagi



a:b



tidak selalu ada (merupakan bilangan bulat). Oleh karena itu, pembagian bilangan-bilangan bulat tidak memiliki sifat tertutup (Wirasto, 1972).

2.3 Keterbagian

2.3.1 Definisi Keterbagian

Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis ab) jka dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga ba.k. Jika a tidak membagi habis b maka ditulis a∤ b(Dudley, 1969).

2.4 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) 2.4.1 Definisi Faktor Persekutuan

7

2.4.2 Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, d adalah faktor persekutuan terbesar dari a dan b (ditulis

 

a,b ) jika dan hanya jika d faktor persekutuan dari a dan b, jika c faktor persekutuan dari a dan b maka cd.

Dari kedua definisi di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

) Sedangkan syarat ii menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terbesar (Graham, 1975).

2.5 Bilangan Prima

2.5.1 Definisi Bilangan prima

Suatu bilangan bulat p1 yang tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan p disebut bilangan prima. Bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan bukan prima

disebut bilangan komposit (tersusun).

Menurut definisi, 1 bukan bilangan prima maupun bilangan komposit. 1 disebut

unit. Jadi himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam tiga

himpunan yang saling lepas, yaitu himpunan semua bilangan prima, himpunan

8

2.7.1 Definisi Persamaan Linear Diophantine

Fungsi linear axbyc yang dapat diselesaikan dalam domain (himpunan

semesta) berupa bilangan bulat, jika domainnya bilangan bulat maka fungsi linear

tersebut mempunyai solusi. Persamaan linear Diophantine mempunyai derajat satu

(Graham, 1975).

2.7.2 Definisi Persamaan Tak Linear Diophantine

Fungsi linear ax2by2c2 yang dapat diselesaikan dengan domain (himpunan semesta) berupa bilangan bulat, jika domainnya bilangan bulat maka fungsi linear

tersebut mempunyai solusi. Persamaan non linear Diophantine mempunyai derajat

dua (Graham, 1975).

2.8 Persamaan Umum Pell

Persamaan umum Pell berbentuk x2dy2 a

dengan a adalah konstanta

9

maka disebut persamaan Pell positif. Jika a bilangan bulat negatif maka

10

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015

yang bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1.mengumpulkan referensi berupa jurnal, buku-buku, dan literatur dari

internet yang berhubungan dengan penelitian ini.

2.menjabarkan definisi-definisi yang digunakan dalam penelitian ini.

3.menguraikan konsep persamaan Diophantine.

4.menguraikan solusi dari persamaan Diophantine dengan langkah-langkah

11

Selanjutnya:

a. membahas persamaan (3.1) dimana 3∤ x.

Diberikan x3bx₁ dan y3ay₁ untuk suatu a1, b0, 3∤ x₁, dan 3∤ y₁, sehingga persamaan (3.1) menjadi

(3.2)

b. membedakan menjadi 3 kasus yaitu KASUS 1. 2bm , KASUS 2.

m b

2 , dan KASUS 3. 2bm.

c. membedakan KASUS 3. 2bm menjadi 2 kasus yaitu KASUS 3.1. 4 n

dan KASUS 3.2. 4∤ n.

d. mensubtitusikan hasil yang diperoleh sehingga diperoleh solusi umum

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penguraian yang telah dikerjakan dari hasil dan pembahasan

dapat disimpulkan bahwa penyelesaian dari persamaan Diophantine

n

Pada penelitian ini penulis hanya menyelesaikan persamaan Diophantine

n m

y

DAFTAR PUSTAKA

Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I. 2010. An Intruduction to Diophantine Equation. Birkhauser.

Arif, S.A dan Muriefah, F.S.A. 1998. The Diophantine Equation x23m yn. International Journal Mathematical Science. 21, 619-620. Cohn, J.H.E. 1993. The Diophantine Equation x23 yn . Glosgow

Mathematical Journal. 35, 203-206.

Cooper, C.D.H. 1975. Number : Their Personality and Properties. Jhon Murray, London.

Dudley, Underwood. 1969. Elementary Number Theory. W.H. Freman and Company, San Fransisco.

Graham, Malcom. 1975. Modern Elementary Mathematics. Harcort Brace Jonanovich, Inc., New York.

Lebesgue, V.A. 1850. Sur I’impossibilite en nombres entiers de I’equation 1

  n m

y

x . Nouv Annalisys des Mathematics. 9, 178-181.

Luca, Florian. 2000. On a Diophantine equation. Bull. Austral. Math. Soc. 61, 241–246.

Peterson, Jhon A.Hashisaki, Joseph. 1967. Theory of Arithmetics. John Willy & Sons, Inc., New York.

Purcell, E.J. dan Dale, V. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis. Edisi keempat. Erlangga, Jakarta.

Sembiring, S.2002. Olimpiade Matematika. Yrama Widya, Bandung.