Algoritma Semut Untuk Mencari Jalur Terpendek

(1)

ALGORITMA SEMUT UNTUK MENCARI JALUR TERPENDEK

YAAYU

060803040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

ALGORITMA SEMUT UNTUK MENCARI JALUR TERPENDEK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

YAAYU

060803040

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : ALGORITMA SEMUT UNTUK MENCARI JALUR

TERPENDEK

Kategori : SKRIPSI

Nama : YAAYU

Nomor Induk Mahasiswa : 060803040

Program Studi : SARJANA (S!) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Dituliskan di

Medan, 27 Juni 2012

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dra. Elly Rosmaini, M.Si Drs. James P. Marbun, M.Kom NIP. 19600520 198503 2 002 NIP. 19580611 198603 1 002

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si

(4)

PERNYATAAN

ALGORITMA SEMUT UNTUK MENCARI JALUR TERPENDEK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 27 Juni 2012

(5)

PENGHARGAAN

Dengan segala kerendahan hati penulis memanjatkan puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya kertas kajian ini mampu diselesaikan dalam yang telah ditetapkan.

(6)

ABSTRAK

(7)

ANT ALGORITHM FOR FIND THE SHORTEST PATH

ABSTRACT

(8)

DAFTAR ISI

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Pembatasan Masalah 3

1.4 Tinjauan Pustaka 4

1.5 Tujuan Penelitian 7

1.6 Kontribusi Penelitian 7

1.7 Metode Penelitian 7

Bab 2 Landasan Teori 8

2.1 Teori Dasar Graf 8

2.1.1 Graf Berbobot (Weighted Graph) 11

2.1.2 Representasi Graf 11

2.2 Optimisasi 14

2.2.1 Pengertian Optimisasi 14

2.2.2 Pengertian Nilai Optimasi 14

2.2.3 Macam-Macam Permasalahan Optimisasi 14

2.2.4 Penyelesaian Masalah Optimisasi 15

2.3 Jalur Terpendek (Shortest Path) 16

2.3.1 Penerapan Algoritma Semut 16

2.3.2 Contoh Kasus 16

Bab 3 Pembahasan 18

3.1 Algoritma Semut 18

3.2 Cara Kerja Semut Mencari Jalur Terpendek 19 3.3 Analisis Algoritma Semut Untuk Mencari Nilai Optimal

Menggunakan Graf 21

3.4 Penyelesaian Masalah dengan Algoritma Semut 24

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 39

4.1 Kesimpulan 39

4.2 Saran 39

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Jarak Antarkota d_ij 25

Tabel 3.2 Visibilitas Antarkota

ij

d

1 =

η 25

Tabel 3.3 Probabilitas Kota untuk Dikunjungi Siklus Ke-1 Kasus 1 26 Tabel 3.4 Panjang Jalur Semut Siklus Ke-1 Kasus 1 26 Tabel 3.5 Perubahan Harga Intensitas Jejak Kaki Semut τ_ij

Antarkota Siklus Ke-2 Kasus 1 27

Tabel 3.6 Probabilitas Kota untuk Dikunjungi Siklus Ke-2 Kasus 1

dengan τ_ij Telah Diperbaharui 27

Tabel 3.7 Panjang Jalur Semut Siklus Ke-2 Kasus 1 27 Tabel 3.8 Perubahan Harga Intensitas Jejak Kaki Semut τ_ij

dengan τ_ijTelah Diperbaharui 28

Tabel 3.10 Panjang Jalur Semut Siklus Ke-3 Kasus 1 28 Tabel 3.11 Probabilitas Kota untuk Dikunjungi Siklus Ke-1 Kasus 2 29 Tabel 3.12 Panjang Jalur Semui Siklus Ke-1 Kasus 2 29 Tabel 3.13 Perubahan Harga Intensitas Jejak Kaki Semut τ_ij

Tabel 3.18 Panjang Jalur Semut Siklus Ke-3 Kasus 2 31 Tabel 3.19 Probabilitas Kota untuk Dikunjungi Siklus Ke-1 Kasus 3 32 Tabel 3.20 Panjang Jalur Semui Siklus Ke-1 Kasus 3 32 Tabel 3.21 Perubahan Harga Intensitas Jejak Kaki Semut τ_ij

(10)

Tabel 3.27 Probabilitas Kota untuk Dikunjungi Siklus Ke-1 Kasus 4 35 Tabel 3.28 Panjang Jalur Semui Siklus Ke-1 Kasus 4 35 Tabel 3.29 Perubahan Harga Intensitas Jejak Kaki Semut

τ

_ij

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Graf G(4,5) 8

Gambar 2.2 Graf Berarah 9

Gambar 2.3 Graf Tak-berarah 10

Gambar 2.4 Graf Terhubung 10

Gambar 2.5 Graf Tak-terhubung 10

Gambar 2.6 Graf Berbobot 11

Gambar 2.7 Dua Buah Graf dengan Matriks ketetanggaannya

Masing-Masing 12

Gambar 2.8 Graf dengan Matriks Bersisian 13

Gambar 2.9 Graf dengan Daftar ketetanggaan 13

Gambar 2.10 Graf Berarah dan Berbobot 17

Gambar 3.1 Jalur Awal Semut Menuju Tempat Makanan 19 Gambar 3.2 Jalur Optimal Semut Menuju Tempat Makanan 20 Gambar 3.3 Jalur Awal Semut Menuju Tempat Makanan 21

Gambar 3.4 Jalur Semut Menuju Sarang 22

Gambar 3.5 Jalur Semut Menuju Makanan pada Iterasi Ke-1 22 Gambar 3.6 Jalur Semut Menuju Sarang pada Iterasi Ke-2 23 Gambar 3.7 Jalur Optimal Semut Untuk Menuju Tempat Makanan 23

(12)

ABSTRAK

(13)

ANT ALGORITHM FOR FIND THE SHORTEST PATH

ABSTRACT

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Masalah untuk mencari jalur terpendek di dalam graf merupakan salah satu masalah optimisasi. Graf yang digunakan dalam pencarian jalur terpendek adalah graf yang setiap sisinya memiliki suatu nilai atau bobot atau yang lebih dikenal dengan graf berbobot (weighted graph).

Bobot yang ada pada setiap sisinya dapat menyatakan jarak antarkota, waktu pengiriman pesan, ongkos pembangunan, waktu tempuh antarkota dan lain sebagainya. Namun kata “terpendek“ dalam masalah ini tidak selalu diartikan secara fisik sebagai panjang minimum, sebab kata “terpendek” berbeda-beda maknanya, tergantung pada jenis masalah yang akan diselesaikan sehingga secara umum “terpendek“ berarti meminimisasi bobot pada suatu jalur di dalam graf. Asumsi yang digunakan adalah bahwa semua bobot bernilai positif. Persoalan jalur terpendek ini memiliki tujuan untuk menemukan jalur terpendek namun bukan untuk sebuah sirkuit Hamilton yang terdapat pada Traveling Salesman Problem (TSP) melainkan jalur terpendek dari sebuah simpul ke simpul lainnya.

Secara umum, pencarian jalur terpendek dapat dibagi menjadi dua metode, yaitu metode konvensional dan metode heuristik. Metode konvensional ini lebih mudah dipahami daripada metode heuristik. Akan tetapi metode heuristik seperti Simulated

Annealing, Algoritma Semut, Algoritma Genetika, Tabu Search, dan lain sebagainya

(15)

Algoritma semut diadopsi dari perilaku koloni semut dalam mencari makanan yang diperkenalkan oleh Marco Dorigo tahun 1990 untuk mencari jalur terpendek pada graf, digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi kombinatorial dengan perhitungan waktu yang lebih singkat terutama pada masalah dasar graf (Dorigo dan St tzle, 2004).

Secara alamiah koloni semut mampu menemukan jalur terpendek dalam perjalanan dari sarang ke tempat-tempat sumber makanan. Koloni semut dapat menemukan jalur terpendek antara sarang dan sumber makanan berdasarkan jejak kaki pada jalur yang telah dilalui. Semakin banyak semut yang melalui suatu jalur, maka akan semakin jelas bekas jejak kakinya. Hal ini akan menyebabkan jalur yang dilalui semut dalam jumlah sedikit, semakin lama akan semakin berkurang kepadatan semut yang melewatinya, atau bahkan akan tidak dilewati sama sekali. Sebaliknya, jalur yang dilalui semut dalam jumlah banyak, semakin lama akan semakin bertambah kepadatan semut yang melewatinya, atau bahkan semua semut akan melalui jalur tersebut.

Pada algoritma semut setiap semut ditempatkan di semua titik graf (dalam hal ini titik–titik yang dikunjungi) yang kemudian akan bergerak mengunjungi seluruh titik. Setiap semut akan membuat jalur masing-masing sampai ke tempat tujuan yanng telah ditentukan. Jika sudah mencapai keadaan ini, maka semut telah menyelesaikan sebuah siklus (tour). Solusi akhir adalah menemukan jalur terpendek yang dihasilkan oleh pencarian semut-semut tersebut.

Dalam kehidupan sehari-hari algoritma semut telah banyak digunakan dalam berbagai bidang untuk persoalan seperti:

1. Traveling Salesman Problem (TSP)

2. Quadratic Assignment Problem (QAP)

3. Job-shop Scheduling Problem (JSP)

4. Vehicle Routing Problem (VRP)

5. Pengaturan jalur kendaraan

6. Pewarnaan graf Implementasi pada jaringan komunikasi

(16)

Dalam hal ini salah satu algoritma optimisasi yang akan digunakan adalah algoritma semut yang merupakan suatu algoritma optimisasi yang cara kerjanya mengadopsi kehidupan perilaku kelompok semut dalam mencari makanan dengan beberapa kriterianya termasuk yang berhubungan dengan nilai optimum dari masalah yang juga sering dihadapi oleh kelompok semut dalam mencari sumber makanannya. Dengan membuat suatu asumsi permasalahan yang dihadapi oleh kelompok semut, maka akan ditemukan suatu solusi efektif yang berhubungan dengan permasalahan dalam kehidupan manusia untuk mencari jalur terpendek.

.

1.2Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh nilai parameter α dan β terhadap nilai probabilitas kota untuk dikunjungi dan

pengaruh nilai parameter

ρ

terhadap nilai τ_ij pada pencarian jalur terpendek dengan

menggunakan algoritma semut.

1.3Pembatasan Masalah

Dari latar belakang dan rumusan masalah yang telah dijelaskan, pencarian jalur terpendek dibatasi pada salah satu jenis algoritma yang digunakan dalam metode heuristik, yaitu Algoritma Semut. Batasan masalah yang diperlukan dalam penelitian ini yaitu:

1. Masukan yang diperlukan berupa model representasi graf yang terdiri dari jumlah simpul (vertex) dan label simpulnya.

2. Jenis graf yang dipakai adalah graf berarah (direct graph).

3. Bobot antarsimpul yang digunakan hanyalah bobot jarak dan mengabaikan bobot lainnya.

4. Laporan yang dihasilkan hanyalah berupa solusi antarsimpul dan jarak. 5. Program alat bantu untuk perhitungan yang digunakan dibangun dengan

(17)

1.4Tinjauan Pustaka

Maharani (2009), menyatakan bahwa algoritma semut ini diinspirasi oleh tingkah laku koloni semut, bagaimana kemampuan individu dengan yang sederhana dapat menemukan jalur terpendek (sarang semut dengan sumber makanan) jika bersama dalam suatu koloni.

St tzle (2005), menyatakan bahwa Algoritma Semut adalah berbasis populasi, teknik pencarian umum untuk solusi dari masalah kombinatorial yang sulit yang terinspirasi oleh peletakkan jejak feromon perilaku koloni semut.

G nay (2007), menyatakan Algoritma Semut adalah suatu metaheuristik untuk optimasi kombinatorial yang terinspirasi dari perilaku semut mencari makanan yang pertama kali diusulkan oleh Marco Dorigo pada tahun 1992.

Mutakhiroh et al (2007), menyatakan bahwa koloni semut yang sudah terdistribusi ke sejumlah atau setiap kota, akan mulai melakukan perjalanan dari kota pertama masing-masing sebagai kota asal dan salah satu kota-kota lainnya sebagai kota tujuan. Kemudian dari kota kedua masing-masing, koloni semut akan melanjutkan perjalanan dengan memilih salah satu dari kota-kota yang tidak terdapat pada tabuk sebagai kota tujuan selanjutnya. Perjalanan koloni semut berlangsung terus

menerus sampai semua kota satu per satu dikunjungi atau telah menempati tabuk. Jika s menyatakan indeks urutan kunjungan, kota asal dinyatakan sebagai tabuk(s) dan

kota-kota lainnya dinyatakan sebagai {N-tabuk}, maka untuk menentukan kota tujuan

digunakan persamaan probabilitas kota untuk dikunjungi sebagai berikut:

[ ] [ ]

= Intensitas jejak semut antarkota dan perubahannya

(18)

Q = Tetapan siklus semut

= Tetapan pengendali intensitas jejak semut = Tetapan pengendali visibilitas

m = Banyak semut

= Tetapan penguapan jejak semut

= Visibilitas antarkota

Jumlah siklus maksimum (Ncmax) bersifat tetap selama algoritma dijalankan, sedangkan akan selalu diperbaharui nilainya pada setiap siklus algoritma mulai

dari siklus pertama (NC=1) sampai tercapai jumlah siklus maksimum (NC=Ncmax) atau sampai terjadi konvergensi. Setelah inisialisasi dilakukan, kemudian m semut

ditempatkan pada kota pertama tertentu secara acak.

Perhitungan panjang jalur setiap semut dilakukan setelah satu siklus

diselesaikan oleh semua semut. Perhitungan ini dilakukan berdasarkan tabuk

masing-masing dengan persamaan sebagai berikut:

−

diketahui maka dapat dihitung berdasarkan persamaan:

2

Setelah setiap semut dihitung maka akan didapat nilai minimal panjang jalur

setiap siklus atau LminNC dan nilai minimal panjang jalur secara keseluruhan atau Lmin.

(19)

kemungkinan terjadinya perubahan nilai intensitas jejak kaki semut antarkota.

dengan adalah perubahan nilai intensitas jejak kaki semut antarkota setiap semut yang dihitung berdasarkan persamaan:

lainnya kemungkinan berubah karena adanya penguapan dan perbedaan jumlah semut yang melewati. Untuk siklus selanjutnya, semut yang akan melewati jalur tersebut nilai intensitasnya telah berubah. Nilai intensitas jejak kaki semut antarkota untuk siklus selanjutnya dihitung dengan persamaan:

ij ij ij ρ τ τ τ =(1− ). +∆

Pengembalian nilai perubahan intensitas jejak kaki semut antarkota. Untuk siklus selanjutnya perubahan nilai intensitas jejak semut antarkota perlu diatur kembali agar memiliki nilai sama dengan nol. Tabu list perlu dikosongkan untuk diisi lagi dengan urutan kota yang baru pada siklus selanjutnya, jika jumlah siklus maksimum belum tercapai atau belum terjadi konvergensi maka algoritma diulang lagi dengan nilai parameter intensitas jejak kaki semut antarkota yang sudah diperbaharui.

1.5Tujuan Penelitian

(20)

1.6Kontribusi Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan referensi dalam penyelesaian dan perhitungan jalur terpendek dalam suatu aplikasi perangkat lunak yang lebih mudah digunakan oleh pihak lainnya.

1.7Metode Penelitian

Dalam melancarkan penelitian ini metode yang digunakan adalah dengan studi literatur berdasarkan rujukan pustaka dan pengembangan sistem, yaitu:

1. Menjelaskan pengertian dasar graf dan pengertian jalur terpendek.

2. Memberikan penjelasan penyelesaian dengan contoh kasus yang sederhana. 3. Membuat intruksi untuk menjalankan suatu fungsi pada perangkat keras

(21)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Dasar Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi

G=(V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

(vertices atau simpul) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang

menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2005).

Definisi graf G(V,E) menyatakan bahwa simpul V tidak boleh kosong sedangkan sisi E boleh kosong karena tidak ada sisi yang tanpa simpul yang disebut graf trivial.

Simpul pada graf dapat menyatakan objek sembarang seperti kota, atom-atom suatu zat, komponen alat elektronik, nama suatu objek dan sebagainya yang dinomori dengan huruf, bilangan asli atau gabungan dari keduanya. Sedangkan sisi dapat menunjukkan hubungan sembarang seperti ikatan atom, sambungan telepon, jalur penerbangan, jalan raya dan sebagainya yang menghubung antarsimpul pada graf dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan Jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v maka e=(u,v).

A e1 B

e2 e3 e4

C e5 D

(22)

G(4,5) adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E adalah:

V = { A, B, C, D }

E = { (A, B), (A, C), (A, D), (B, D), (C, D) }

= { }

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada sautu graf, maka graf dapat digolongkon menjadi dua jenis:

1. Graf sederhana (simple graph) adalah graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun sisi ganda.

2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph) adalah graf yang mengandung gelang (loop) maupun sisi ganda.

Berdasarkan orientasi arah pada sisi,maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:

1. Graf berarah (directed graph atau digraph) adalah graf yang sisinya mempunyai orientasi arah dengan urutan pasangan simpul yang terhubung oleh sisi-sisinya diperhatikan maka (u,v) (v,u) adalah sisi yang berbeda.

Pada graf berarah, gelang (loop) diperbolehkan tetapi sisi ganda tidak diperbolehkan.

A

B C

D

Gambar 2.2 Graf berarah

(23)

A B

C D

Gambar 2.3 Graf tak-berarah

Graf tak-berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul u dan v pada himpunan V terdapat jalur atau sisi ei (yang juga harus

berarti ada jalur atau sisi ei) pada himpunan E. Jika tidak, maka G disebut graf

tak-berhubung (disconnected graph).

A C E

B D F

Gambar 2.4 Graf terhubung

A F

C D E H

B G

Gambar 2.5 Graf tak-terhubung

(24)

2.1.1 Graf Berbobot (Weighted Graph)

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah nilai atau bobot (Munir, 2005).

Bobot pada setiap sisi graf dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan. Bobot dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan antara dua buah kota, waktu tempuh antara dua buah kota, waktu tempuh pesan antara simpul komunikasi dengan simpul komunikasi lainnya (dalam jaringan komputer), ongkos produksi dan sebagainya. Graf berbobot juga sering dikaitkan dengan istilah graf berlebel yang definisinya lebih luas lagi. Label tidak hanya diberikan pada sisi tapi juga pada simpul yang berupa bilangan non negatif.

P 9 Q 6 7 12 T 6 R 9 S

Gambar 2.6 Graf berbobot

2.1.2 Representasi Graf

Ada beberapa representasi yang mungkin untuk graf yang sering digunakan, yaitu:

1. Matriks ketetangaan (adjacency matrix)

Misalkan G = (V,E) adalah graf dengan n simpul, . Matriks

ketetanggaan G adalah matriks bujursangkar yang berukuran n x n. Bila matriks tersebut dinamakan , maka jika simpul i dan j

bertetanggaan, sebaliknya jika simpul i dan j tidak bertetanggaan

(25)

dinyatakan 1 jika simpul i dan j bertetanggaan dan 0 untuk yang

lainnya (Kenneth, 2003).

1 2

3 4

1 2

3 4

Gambar 2.7 Dua buah graf dengan matriks ketetanggaannya masing-masing

2 Matriks Bersisian (incidency matrix)

Misalkan G=(V,E) graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G

adalah matriks bujursangkar yang berukuran n x m. Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukkan label sisinya. Bila matriks tersebut dinamakan , maka jika simpul i bersisian dengan sisi j,

(26)

1 3 5

2 4 6

Gambar 2.8 Graf dengan matriks bersisian

3 Daftar ketetanggaan (adjacency list)

Representasi dengan daftar ketetanggaan dapat disajikan dengan membuat tabel simpul dan tetangga simpulnya (Amir Hamzah, 2011, hal: 40). Representasi dengan daftar ketetanggaan digunakan untuk mengatasi masalah pada graf yang matriksnya bersifat jarang yaitu mengandung banyak elemen nol, sedangkan elemen yang bukan nol sedikit.

Simpul Simpul Tetangga

A B C D E

C, B, D A A, D, E A, C, E C, D

B A C

D E

(27)

2.2 Optimisasi

2.2.1 Pengertian Optimisasi

Optimisasi adalah suatu proses untuk mencapai hasil yang ideal atau optimal (nilai efektif yang dapat dicapai). Dalam disiplin matematika optimisasi merujuk pada studi permasalahan yang mencoba untuk mancari nilai minimal atau maksimal dari suatu fungsi nyata. Untuk dapat mencari nilai optimal baik minimal atau maksimal tersebut, secara sistematis dilakukan pemilihan nilai variabel integer atau nyata yang akan memberikan solusi optimal (Wardy, 2007).

2.2.2 Pengertian Nilai Optimal

Nilai optimal adalah nilai yang didapat melalui suatu proses dan dianggap menjadi suatu solusi jawaban yang paling baik dari semua solusi yang ada (Wardy, 2007).

Nilai optimal dapat dicari dengan dua cara, yaitu:

1. Cara konvensional, yaitu mencoba semua kemungkinan yang ada dengan mencatat nilai yang didapat. Cara ini kurang efektif karena optimasi akan berjalan sangat lambat.

2. Cara kedua adalah dengan menggunakan rumus sehingga nilai optimal dapat diperkirakan dengan cepat dan tepat.

2.2.3 Macam-Macam Permasalan Optimisasi

(28)

1. Menentukan jalur terpendek dari suatu tempat ke tempat yang lain. 2. Mengatur jalur kendaraan umum agar semua lokasi dapat dijangkau.

3. Mengatur routing jaringan kabel telpon agar biaya pemasangan kabel tidak terlalu besar dan penggunaannya tidak boros.

4. Menentukan jumlah pekerja seminimal mungkin untuk melakukan suatu proses produksi agar biaya pengeluaran biaya pekerja diminimalkan dan hasil produksi tetap maksimal.

Selain beberapa contoh di atas, masih banyak persoalan lainnya yang terdapat dalam berbagai bidang.

2.2.4 Penyelesaian Masalah Optimisasi

Secara umum penyelesaian masalah pencarian jalur terpendek dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode konvensional dan metode heuristik. Metode konvensional diterapkan dengan cara perhitungan matematis seperti biasa, sedangkan metode heuristik diterapkan dengan sistem pendekatan (Mutakhiroh et al, 2007).

Metode konvensional berupa metode yang menggunakan perhitungan matematis biasa. Ada beberapa metode konvensional yang biasa digunakan untuk melakukan pencarian jalur terpendek, diantaranya algoritma Djikstra, algoritma Floyd-Warshall, dan algoritma Bellman-Ford (Mutakhiroh et al, 2007).

(29)

2.3 Jalur Terpendek (Shortest Path)

2.3.1 Penerapan Algoritma Semut

Algoritma semut telah digunakan dalam kehidupan sehari-hari untuk menghasilkan penyelesaian yang mendekati optimal. Aplikasi algoritma semut dalam kehidupan sehari-hari mencakup beberapa persoalan, yaitu:

1. Quadratic Assignment Problem (QAP), yaitu menugaskan sejumlah n

resources untuk ditempatkan pada sejumlah m lokasi dengan meminimalisasi biaya penugasan (assignment).

2. Job-shop Scheduling Problem (JSP) juga salah satu contoh aplikasi Ant Colony

Optimization, yaitu untuk mencari jalur sejumlah n pekerjaan menggunakan

sejumlah m mesin demikian sehingga seluruh pekerjaan diselesaikan dalam waktu yang seminimal mungkin.

3. Vehicle Routing Problem (VRP) adalah masalah optimisasi penentuan jalur

dengan keterbatasan kapasitas kendaraan yang bertujuan meminimumkan total jarak yang ditempuh kendaraan dengan mengatur urutan-urutan yang harus dikunjungi serta kapan kembalinya kendaraan untuk mengisi kapasitasnya lagi.

4. Traveling Salesman Problem (TSP), yaitu untuk mencari jalur terpendek dalam

sebuah graph yang menggunakan jalur Hamilton.

2.3.2 Contoh Kasus

(30)

Permasalahan mencari jalur terpendek di dalam graf merupakan permasalahan optimisasi yang dapat dimodelkan dengan graf berbobot (weighted graph). Graf berbobot adalah suatu graf dengan masing-masing sisi diberi bobot dengan nilai suatu bilangan tertentu. Gambar 2.10 merupakan suatu graf ABCDEF yang berarah dan berbobot.

A 5 F 5 4 3 2 6 C 2 D 3

4 6 B 8 E

Gambar 2.10 Graf berarah dan berbobot

Gambar 2.10 di atas, misalkan dari kota A ingin menuju kota E. Untuk menuju kota E, dapat dipilih beberapa jalur yang tersedia yaitu:

(31)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Algoritma Semut

Algoritma semut diadopsi dari perilaku semut yang dikenal sebagai sistem semut (Dorigo et al, 1996). Koloni semut merupakan algoritma yang bersifat heuristik untuk menyelesaikan masalah optimasi. Algoritma ini terinspirasi oleh lingkungan koloni semut pada saat mencari makanan. Semut mampu menemukan jalur terpendek dari suatu sumber makanan menuju sarangnya, tanpa harus melihatnya secara langsung. Semut mempunyai penyelesaian yang unik dan sangat maju, yaitu menggunakan jejak

feromon pada suatu jalur untuk berkomunikasi dan membangun solusi, semakin

banyak jejak feromon ditinggalkan maka jalur tersebut akan diikuti oleh semut lain.

Feromon adalah zat kimia yang berasal dari kelenjar endokrin yang digunakan

oleh makhluk hidup untuk mengenali sesama jenis individu lain, kelompok dan untuk membantu proses reproduksi. Feromon menyebar keluar tubuh dan hanya dapat mempengaruhi dan dikenali oleh individu lain yang sejenis.

Proses peninggalan feromon ini dikenal dengan stigmery, yaitu sebuah proses memodifikasi lingkungan yang tidak hanya bertujuan untuk mengingat jalan pulang ke sarang, tetapi juga memungkinkan para semut berkomunikasi dengan koloninya.

(32)

3.2 Cara Kerja Semut Mencari Jalur Optimal

Secara alamiah semut mampu menemukan jalur terpendek dalam perjalanan dari sarang ke tempat-tempat sumber makanan. Koloni semut dapat menemukan jalur terpendek antara sarang dan sumber makanan berdasarkan jejak kaki pada jalur yang dilaluinya. Semakin banyak semut yang melalui jalur tersebut maka akan semakin jelas jejak kakinya. Hal ini akan menyebabkan jalur yang dilalui semut dalam jumlah sedikit, semakin lama akan semakin berkurang kepadatan semut yang melewatinya, atau bahkan akan tidak dilalui sama sekali. Sebaliknya jalur yang akan dilalui semut dalam jumlah banyak, semakin lama semakin bertambah kepadatan semut yang melewatinya, atau bahkan semua semut akan melalui jalur tersebut.

Agar semut mendapatkan jalur optimal, diperlukan beberapa proses:

1. Pada awalnya semut berkeliling secara acak hingga menemukan makanan. Lihat gambar di bawah ini:

B Jalur 1 A

Jalur 2

Gambar 3.1 Jalur awal semut menuju tempat makanan

Keterangan:

A : Tempat awal koloni semut (sarang) B : Tujuan koloni semut (makanan) Jalur 1: Jalur yang ditempuh oleh semut 1 Jalur 2: Jalur yang ditempuh oleh semut 2

2. Ketika menemukan makanan mereka kembali ke koloninya sambil memberikan tanda dengan jejak feromon.

(33)

4. Kembali dan menguatkannya jika pada akhirnya mereka pun menemukan makanan.

5. Seekor semut yang tidak sengaja menemukan jalur optimal akan menempuh jalur ini lebih cepat dan melakukan round-trip lebih sering yang dengan sendirinya meninggalkan feromon lebih banyak dari jalur-jalur yang lambat ditempuh.

6. Feromon yang berkonsentrasi tinggi pada akhirnya akan menarik

semut-semut lain untuk berpindah jalur menuju jalur yang optimal sedangkan jalur lainnya akan ditinggalkan.

7. Pada akhirnya semua semut yang tadinya menempuh jalur yang berbeda-beda akan beralih kesebuah jalur tunggal yang ternyata paling optimal dari sarang menuju ketempat makanan. Lihat gambar di bawah ini:

B

A

Gambar 3.2 Jalur optimal semut menuju tempat makanan

Ketarangan:

A : Tempat awal koloni semut (sarang) B : Tujuan koloni semut (makanan)

(34)

3.3 Analisis Algoritma Semut untuk Mencari Nilai Optimal Menggunakan

Graf

Algoritma semut menggunakan sistem multi agen, yang berarti mengerahkan seluruh koloni semut yang masing-masingnya bergerak sebagai agen tunggal. Setiap semut menyimpan daftar tabu yang memuat simpul-simpul yang sudah pernah dilalui, dimana ia tidak diijinkan untuk melalui simpul-simpulyang sama dua kali dalam satu kali perjalanan.

Sebuah koloni semut diciptakan dan setiap semut ditempatkan pada masing-masing simpul secara merata untuk menjamin bahwa tiap simpul memiliki peluang untuk menjadi titik awal dari jalur optimal yang dicari. Setiap semut selanjutnya harus melakukan perjalanan mengunjungi semua simpul-simpul pada graf tersebut.

Berikut ini adalah tahapan-tahapan algoritma semut menggunakan graf, yaitu:

1. Dari sarang semut berkeliling secara acak mencari makanan sambil mencatat jarak antara simpul yang ia lalui.

2. Ketika sampai ke makanan, total jarak dari tiap simpul yang ia tempuh dijumlahkan untuk mendapatkan jarak dari sarang ke makanan.

B Jalur 1

A

Jalur 2

Gambar 3.3 Jalur awal semut menuju tempat makanan

Keterangan:

(35)

3. Ketika kembali ke sarang, sejumlah konsentrasi feromon ditambahkan pada jalur tersebut yang telah ditempuh berdasarkan total jarak jalur tersebut. Makin kecil total jarak (makin optimal) maka makin banyak kadar feromon

yang dibubuhkan pada masing-masing busur pada jalur tersebut. B

Jalur 1 A

Jalur 2

Gambar 3.4 Jalur semut menuju sarang

Keterangan: A : Sarang semut

B : Tempat ditemukannya makanan

Jalur 1: Jalur yang ditempuh oleh semut 1 dengan pemberian kadar feromon

yang tinggi

yang rendah

4. Untuk melalui busur mana yang harus dilalui berikutnya, digunakan sebuah rumus yang pada intinya menerapkan suatu fungsi heuristik untuk menghitung intensitas feromon yang ditinggalkan pada suatu busur.

B Jalur 3

A Jalur 1 Jalur 2

Gambar 3.5 Jalur semut menuju makanan pada iterasi ke-1

(36)

Jalur 2 : Jalur yang tidak ditempuh oleh semut karena kadar feromon yang rendah

Jalur 3 : Jalur yang ditemukan oleh semut 2

5. Pada iterasi berikutnya, busur-busur yang mengandung feromon lebih tinggi ini akan cenderung dipilih sebagai busur yang harus ditempuh berikutnya berdasarkan rumus pemilihan busur. Akibatnya, lama-kelamaan akan terlihat jalur optimal pada graf yaitu jalur yang dibentuk oleh busur-busur dengan kadar feromon yag tinggi yang pada akhirnya akan dipilih oleh semua multi agen semut.

B Jalur 3

A Jalur 1 Jalur 2

Gambar 3.6 Jalur semut menuju sarang pada iterasi ke-2

yang rendah

Jalur 2: Jalur yang tidak ditempuh

yang tinggi

Jalur 3 B Jalur 2 A

Jalur 2

(37)

Jalur 1 : Jalur yang tidak ditempuh karena kadar feromon yang rendah Jalur 2 : Jalur yang tidak ditempuh karena kadar feromon yang sangat rendah Jalur 3 : Jalur optimal yang ditempuh oleh semut karena kadar feromon yang tinggi

3.4 Penyelasaian Masalah dengan Algoritma Semut

Setiap semut akan berperan sebagai agen yang mampu melakukan tugas sederhana untuk melakukan solusi dengan kriteria:

1. Semut akan berpindah dari kota i ke kota j, pada interval antara t dan (t+1). Kota j dipilih berdasarkan probabilitas terhadap jarak antarkota dan juga jumlah jejak yang ada pada sisi yang menghubungkan antara i dan j.

2. Semut akan berpindah dari kota asal ke kota yang lain yang belum pernah dikunjunginya atau kota yang memungkinkan jaraknya maka akan sering untuk dikunjungi dan pada akhirnya semut tersebut akan sampai pada kota tujuan.

3. Jika jalur suatu jalur memiliki jarak paling pendek maka jumlah semut yang ada akan memilih jalur tersebut, sehingga semua semut akan berada pada jalur yang terpendek.

(38)

A

D

B

E C

Gambar 3.8 Contoh kasus

Tabel 3.1 Jarak antarkota d_ij

A B C D E

A 0 5 7 3 0

B 5 0 4 0 0

C 7 4 0 0 5

D 3 0 0 0 4

E 0 0 5 4 0

Dari jarak kota yang telah diketahui dapat dihitung visibilitas antarkota

ij

d

1

=

η

sebagai berikut:

Tabel 3.2 Visibilitas antarkota ij

d

1

=

η

A B C D E

A 0 0.2 0.143 0.33 0

B 0.2 0 0.25 0 0

C 0.143 0.25 0 0 0.2

D 0.33 0 0 0 0.25

(39)

Kasus 1:

Parameter-parameter yang digunakan adalah sebagai berikut:

E

Dari intensitas jejak semut τ_ij yang telah ditetapkan dan perhitungan visibilitas

antarkota

Tabel 3.3 Probabilitas kota untuk dikunjungi siklus ke-1 kasus 1

A B C D E

Sehingga didapat panjang jalur semut pada siklus ke-1 sebagai berikut:

Tabel 3.4 Panjang jalur semut siklus ke-1 kasus 1

Semut Jalur Panjang Jalur

1 A – D – E 7

2 A – B – C – E 14

(40)

Dari perjalan semut pada siklus ke-1 maka akan terjadi perubahan harga intensitas jejak kaki semut τ_ij antarkota untuk siklus selanjutnya sebagai berikut:

Tabel 3.5 Perubahan harga intensitas jejak kaki semut τ_ij antarkota siklus ke-2 kasus 1

(41)

1 A – C – E 12

2 A – D – E 7

3 A – B – C – A – D - E 23

(42)

1 A – D – E 7

2 A – C – E 12

3 A – D – E 7

Dari ke-3 siklus yang telah dilakukan akan diperoleh jalur terpendek dari kota asal A ke kota tujuan E yaitu A – D – E dengan panjang jalur 7. Karena siklus yang diinginkan hanya 3 siklus maka langkah selanjutnya tidak dikerjakan lagi karena sudah terjadi konvergensi.

Kasus 2:

E

(43)

1 A – D – E 7

2 A – B – C –A – D – E 23

3 A – B – C – E 14

Tabel 3.14 Probabilitas kota untuk dikunjungi siklus ke-2 kasus 2 dengan

(44)

1 A – D – E 7

2 A – D – E 7

3 A – C – E 12

(45)

1 A – D – E 7

2 A – D – E 7

3 A – D – E 7

Dari ke-3 siklus yang telah dilakukan akan diperoleh jalur terpendek dari kota asal A ke kota tujuan E yaitu A – D – E dengan panjang jalur 7. Karena siklus yang diinginkan hanya 3 siklus maka langkah selanjutnya tidak dikerjakan lagi karena sudah terjadi konvergensi.

Kasus 3:

E

(46)

1 A – D – E 7

2 A – B – C – E 14

3 A – C – E 12

(47)

1 A – C – E 12

2 A – D – E 7

3 A – B – C – A – D - E 23

(48)

1 A – D – E 7

2 A – C – E 12

3 A – D – E 7

Kasus 4:

E

A B C D E

1 A – D – E 7

2 A – B – C – E 14

(49)

Tabel 3.29 Perubahan harga intensitas jejak kaki semut τ_ij antarkota

ij

1 A – C – E 12

2 A – D – E 7

(50)

Tabel 3.32 Perubahan harga intensitas jejak kaki semut τ_ij antarkota

ij

1 A – D – E 7

2 A – C – E 12

(51)

Semut akan memilih jalur yang memiliki kadar feromon yang besar. Itu berarti jalur yang jarang dilalui, kadar feromon akan berkurang sehingga semut-semut tidak akan memilih jalur tersebut.

Nilai paramater dan mempengaruhi nilai P_ijk , dimana P_ijk merupakan

probabilitas dari kota i ke kota j. Semakin besar nilai parameter keduanya, semakin besar pula probabilitas dari kota yang sekarang ke kota berikutnya. Ini berarti nilai

paramater dan berbanding lurus dengan nilai P_ijk .

Nilai parameter akan mempengaruhi nilai τ_ij, dimana τ_ij merupakan

intensitas jejak kaki semut. Intensitas jejak kaki semut setiap kota berbeda-beda. Setiap iterasi yang dilakukan menyebabkan perubahan pada intensitas jejak kaki semut tersebut. Jadi setiap iterasi diadakan perubahan nilai intensitas jejak kaki semut.

Semakin besar nilai akan memperkecil nilai τ_ij, sedangkan semakin kecil nilai

akan memperbesar nilai τ_ij. Ini berarti nilai berbanding terbalik dengan nilai τ_ij.

Semakin besar nilai , maka intensitas jejak kaki semut τ_ij menjadi lebih kecil

sedangkan semakin kecil nilai , maka intensitas jejak kaki semut τ_ij menjadi lebih

(52)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari penelitian tentang pencarian jalur terpendek menggunakan algoritma semut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Algoritma semut merupakan alternatif lain yang digunakan dalam permasalahan optimisasi.

2. Algoritma semut dapat digunakan untuk melakukan pencarian jalur terpendek berdasarkan jarak yang ditempuh.

3. Hasil yang diperoleh dari metode heuristik lebih variatif dan lebih cepat. 4. Pemanfaatan teknologi informasi pada pencarian jalur terpendek

menghasilkan suatu hasil atau keluaran yang akurat dan tepat, untuk pilihan perjalanan seseorang dengan mempertimbangkan beberapa parameter yang lain.

4.2 Saran

(53)

DAFTAR PUSTAKA

Dorigo, Marco. dan Thomas St tzle. 2004. Ant Colony Optimization. Slides Large: hal. 1-53.

G nay, Akin. 2007. Ant Colony Optimization. Slides Large: hal. 1-15.

Hamzah, Amir. 2011. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Fakultas Teknologi Industri Institut Sains dan Teknologi Akprind.

Maharani, Warih. 2009. Analisis algoritma hybrid ant colony optimization (aco) dan local search untuk optimasi pemotongan bahan baku. SNATI2009 1907-5022: hal. E63-E68.

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Edisi ketiga. Bandung: Informatika.

Mutakhiroh, I’ing., Fajar Saptono, Nur Hasanah, dan Romi Wiryadinata. 2007. Pemanfaatan metode heuristik dalam pencarian jalur terpendek dengan algoritma semut dan algoritma genetika. SNATI2009 1907-5022: B33-B39.

Mutakhiroh, I’ing., Indrato, dan Taufiq Hidayat. 2007. Pencarian jalur terpendek menggunakan algoritma semut. SNATI2009 1907-5022: hal. B81-B85.

Rosen, K.H. 2003. Discrete Mathematics and Its Applications. Fifth edition. New York: McGraw-Hill.

St tzle, Thomas. 2005. Ant Colony Optimization An Introduction. Slides Large: hal. 1-46.

Wardy, Ibnu Sina. 2007. Penggunaan graf dalam algoritma semut untuk melakukan optimisasi. Jurnal Program Studi Teknik Informatika ITB: hal. 1-10.

Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit. Edisi kedua. Jakarta: Graha Ilmu.

(54)

LAMPIRAN : LISTING PROGRAM

float alpha, beta, rho, tho, x, pk[100][100], v[100][100], p[100][100]; int jarak[100][100], solusi1[100], solusi2[100], tabu[100][100], solusi[100];

mulai:

system("cls");

printf("\n\n---\n");

printf("PROGRAM KOMPUTASI JALUR TERPENDEK DENGAN ALGORITMA SEMUT\n");

printf("---\n\n");

srand(time(0));

//Inisial parameter algoritma semut

printf("Tentukan banyak titik = "); scanf("%d", &titik); printf("Tentukan titik awal = "); scanf("%d", &awal); printf("Tentukan titik tujuan = "); scanf("%d", &akhir); printf("Tentukan banyak siklus = "); scanf("%d", &Q); printf("Tentukan besar intensitas = "); scanf("%f", &tho); printf("Tentukan besar alpha = "); scanf("%f", &alpha); printf("Tentukan besar beta = "); scanf("%f", &beta); printf("Tentukan banyak semut = "); scanf("%d", &semut);

//Input jarak antar titik

(55)

//---

printf("\n\nPROSES ITERASI ALGORITMA SEMUT\n"); printf("---\n");

(56)