BAB
5
INTERPOLASI
•
Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi
pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada
ke-2 titik tersebut sudah diketahui
•
Cara menentukan harga fungsi f dititik x*
ε
[x
0,x
n]
dengan menggunakan informasi dari seluruh atau
sebagian titik-titik yang diketahui ( x
0, x
1, …., x
n)
2
x x0 x1 x2 ……. xn
TEKNIK UMUM YANG DIGUNAKAN
(i)
Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg
mempunyai harga fungsi di titik-titik yang
diketahui
Polinomial Interpolasi
(ii)
Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya
ke dalam polinomial interpolasi
INTERPOLASI LINIER
[image:4.720.55.696.67.515.2]•
ide dasar : pada saat
data dalam bentuk
tabel tidak begitu
bervariasi, sehingga
memungkinkan untuk
dilakukan pendekatan
dengan
menggunakan sebuah
garis lurus di antara
CONTOH :
•
Jarak yang dibutuhkan sebuah
kendaraan untuk berhenti adalah fungsi
kecepatan. Data percobaan berikut ini
menunjukkan hubungan antara
kecepatan dan jarak yang dibutuhkan
untuk menghentikan kendaraan.
CONTOH :
EXAMPLE
The upward velocity of a rocket is given as
a function of time in Table 1. Find the
velocity at t=16 seconds using linear splines.
t v(t) s m/s 0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67
[image:8.720.44.702.108.520.2]Table : Velocity as a function of time
LINEAR INTERPOLATION
10 12 14 16 18 20 22 24
350 400 450 500 550 517.35 362.78 ys f range( ) f x desired
xs
110
xs
010 xsrangexdesired
, 15
0
t v(t0) 362.78 ,
20
1
t v(t1) 517.35 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 1 0 1
0 t t
t t t v t v t v t v
( 15)
15 20 78 . 362 35 . 517 78 . 362 t ) 15 ( 913 . 30 78 . 362 )
(t t v
At t 16,
) 15 16 ( 913 . 30 78 . 362 ) 16 ( v
INTERPOLASI KUADRAT
INTERPOLASI KUADRAT
•
Titik-titik data (x
1,y
1) (x
2,y
2) (x
3,y
3)
•
Hitung a, b dan c dari sistem
CONTOH :
•
Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) =
2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi
kuadrat
•
Sistem Pers Linier yang terbentuk.
• 64 a + 8 b + c = 2.0794
• 81 a + 9 b + c = 2.1972
• 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513
•
Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266
c = 0.6762
POLINOM NEWTON
•
Persamaan Polinom Linier
•
Bentuk pers ini dapat ditulis :
•
Yang dalam hal ini
(1)•
Dan
(2)•
Pers ini mrpk bentuk selish terbagi
(divided-difference)
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0 1 0 1 01
x
x
x
x
y
y
y
x
p
)
(
)
(
0 1 01
x
a
a
x
x
p
)
(
00
0
y
f
x
a
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 1 0 1 0 1 0 1 1x
x
x
f
x
f
x
x
y
y
a
]
,
[
1 01
f
x
x
POLINOM NEWTON
• Polinom kuadratik
• Atau
• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti
x=x2 untuk mendapatkan (3)
• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
)
)(
(
)
(
)
(
0 1 0 2 0 12
x
a
a
x
x
a
x
x
x
x
p
)
)(
(
)
(
)
(
1 2 0 12
x
p
x
a
x
x
x
x
p
POLINOM NEWTON
•
Dengan melakukan utak-atik aljabar,
pers ini lebih disukai
0 2
0 1 1
2
0 2
0 1
0 1
1 2
0 2
2
] , [ ]
, [ )
( )
( )
( )
(
x x
x x f x
x f x
x
x x
x f x
f x
x
x f x
f
a
POLINOM NEWTON
•
Jadi tahapan pembentukan polinom
Newton :
)
(
)
(
)
(
0 1 01
x
p
x
a
x
x
p
)
(
)
(
0 1 01
x
a
a
x
x
p
)
)(
(
)
(
)
(
0 1 0 2 0 12
x
a
a
x
x
a
x
x
x
x
p
)
)(
(
)
(
)
(
1 2 0 12
x
p
x
a
x
x
x
x
p
)
)(
)(
(
)
(
)
(
2 3 0 1 23
x
p
x
a
x
x
x
x
x
x
p
)
)(
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
0 1 0 2 0 1 3 0 1 23
x
a
a
x
x
a
x
x
x
x
a
x
x
x
x
x
x
POLINOM NEWTON
• Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai
• Yang dalam hal ini
[
,
,...,
,
]
]
,
,
[
]
,
[
)
(
0 1 1 0 1 2 2 0 1 1 0 0x
x
x
x
f
a
x
x
x
f
a
x
x
f
a
x
f
a
n nn
POLINOM NEWTON
•
Dengan demikian polinom Newton dapat
ditulis dalam hub rekursif sebagai :
•
Rekurens
•
basis
•
Atau dalam bentuk polinom yang lengkap
sbb :
]
,
,...,
,
[
)
)...(
)(
(
)
(
)
(
x
p
1x
x
x
0x
x
1x
x
1f
x
x
1x
1x
0p
n
n
n n n)
(
)
(
00
x
f
x
CONTOH SOAL :
• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147 1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880
2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551 3.0 -0.99 0.3363
CONTOH SOAL :
•
Contoh cara menghitung nilai selisih
terbagi pada tabel :
CONTOH SOAL :
•
Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x
0= 0 sebagai titik pertama :
•
Nilai sejati f(2.5) adalah
• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
