ABSTRACT
SEASONAL ARIMA METHOD TO FORECAST THE NUMBER OF INTERNATIONAL FLIGHT PASSENGERS AT NGURAH RAI AIRPORT
By
DIAS PUTRA PAMBUDI
The aim of this study is to find the best time series model for the number of international flight passengers at Ngurah Rai Airport. The first step is testing the stationary data using time series plot and Autocorrelation Function (ACF). Next step identifying the orde of model based on ACF plot and Partial Autocorrelation Function (PACF). Model parameter is estimated by Maximum Likelihood Estimation (MLE). The residual model used to test the assumption of white noise process. Akaike's Information Criterion (AIC) and Schwarz Bayesian Criteria (SBC) used to select the most appopriate model. Result shows that ARIMA (0,1,1) (0,1,1)12 is the model which can be used to forecast the number of international flight passengers at Ngurah Rai Airport in the future.
ABSTRAK
METODE SEASONAL ARIMA UNTUK MERAMALKAN JUMLAH PENUMPANG PENERBANGAN INTERNASIONAL
DI BANDARA NGURAH RAI
Oleh
DIAS PUTRA PAMBUDI
Pada penelitian ini akan di cari model time series terbaik untuk jumlah penumpang penerbangan Internasional di Bandara Ngurah Rai. Langkah pertama adalah menguji kestasioneran data dengan menggunakan time series plot dan Autocorrelation Function (ACF). Kemudian dilakukan identifikasi orde model berdasarkan plot ACF dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Pendugaan parameter model dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Uji residual model dilakukan untuk memenuhi proses white noise. Akaike’s Information Criterion (AIC) dan Schwarz Bayesian Criteria (SBC) digunakan untuk memilih model paling cocok. Diperoleh model ARIMA (0,1,1) (0,1,1)12 yang dapat digunakan untuk meramalkan jumlah penumpang penerbangan Internasional di Bandara Ngurah Rai pada masa yang akan datang.
METODE SEASONALARIMA UNTUK MERAMALKAN JUMLAH PENUMPANG PENERBANGAN INTERNASIONAL DI BANDARA
NGURAH RAI
(Skripsi)
Oleh
DIAS PUTRA PAMBUDI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
METODE SEASONALARIMA UNTUK MERAMALKAN JUMLAH PENUMPANG PENERBANGAN INTERNASIONAL DI BANDARA
NGURAH RAI
(Skripsi)
Oleh
DIAS PUTRA PAMBUDI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
DAFTAR ISI
2.4 Transformasi Box-Cox... 6
2.5 Fungsi Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial ... 7
2.5.1 Fungsi Autokorelasi ... 7
2.5.2 Fungsi Autokorelasi Parsial ... 9
2.6 Proses White Noise ... 15
2.7 Model Autoregressive ... 16
2.7.1 Order Pertama Autoregressive Proses, AR (1)... 16
2.7.2 Order Kedua Autoregressive Proses, AR (2) ... 18
2.7.3 Model Umum Autoregressive proses, AR (p) ... 18
2.8 Model Moving Average ... 20
2.8.1 Model Pertama Moving Average, MA (1) ... 21
2.8.1 Model kedua Moving Average, MA (2) ... 22
2.9 Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ... 23
2.10 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ... 23
2.11 Seasonal Proses ... 23
2.13 Kriteria Pemilihan Model Terbaik ... 26
III. METODOLOGI PENELITIAN ... 28
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 28
3.2 Data Penelitian ... 28
3.3 Metode Penelitian ... 29
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 31
4.1 Uji Stasioneritas Data ... 31
4.1.1 Transformasi Box-Cox ... 32
4.1.2 Pembedaan Non Musiman ... 33
4.1.3 Pembedaan Musiman ... 34
4.2 Identifikasi Model ... 35
4.3 Pendugaan Parmeter dan Uji Signifikansi Parameter ... 40
4.4 Uji Kecocokan Model ... 45
4.5 Pemilihan Model Terbaik ... 48
4.6 Peramalan ... 49
V. KESIMPULAN ... 52
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Jumlah Penumpang Pesawat di Bandara Ngurah Rai (orang) ... 28
2. Pembedaan Pertama Non Musiman ... 33
3. Pembedaan Pertama Non Musiman dan Musiman ... 34
4. Identifikasi ARIMA Proses. ... 36
5. Pendugaan Parameter ARIMA (1,1,1) (0,1,1)12 ... 40
6. Pendugaan Parameter ARIMA (0,1,1) (0,1,1)12 ... 42
7. Pendugaan Parameter ARIMA (1,1,0) (0,1,1)12 ... 43
8. Nilai AIC dan SBC pada Model... 49
KATA INSPIRASI
“Maka Nikmat Tuhanmu Yang Mana Lagi Yang Kamu Dustakan ?”
(Q.S. Ar-Rahman 55)
“Jangan pernah berp
ikir berapa banyak orang yang akan menangis dan bersedih
ketika mereka tahu kita telah meninggalkannya, tapi sebaliknya coba berpikir
berapa banyakkah
orang yang akan tersenyum ketika mereka mengingat kita”
(Anonim)
“Cukup berpikir dan bersikap positif maka tidak akan pernah ada kekecewaan”
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sendangdadi, Lampung Tengah pada tanggal 15 Maret 1993, merupakan anak pertama dari tiga bersaudara, dari Bapak Sutarso, S.Pd. dan Ibu Sri Handayani.
Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Aisyiyah Bustanul Atfhal Ambarawa pada tahun 1998-1999, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD N 6 Ambarawa (Sekarang SD N 3 Ambarawa Barat) pada tahun 1999-2005, kemudian bersekolah di SMP N 3 Pringsewu (Sekarang SMP N 1 Ambarawa) pada tahun 2005-2008, kemudian bersekolah di SMA N 1 Pringsewu pada tahun 2008-2011.
Pada tahun 2011 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Jalur SBMPTN tertulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di beberapa organisasi kampus seperti Rohani Islam (ROIS) FMIPA Unila 2012/2013 sebagai Ketua Bidang Kajian, Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA Unila
2012/2013 sebagai anggota Departemen Hubungan Luar dan Pengabdian
HIMATIKA FMIPA Unila 2013/2014 sebagai Wakil Ketua Umum serta aktif sebagai anggota Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA Unila 2014/2015.
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
Skripsi dengan judul “Metode Seasonal ARIMA untuk Meramalkan Jumlah Penumpang Penerbangan Internasional di Bandara Ngurah Rai” disusun sebagai
salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Universitas Lampung.
Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak kepada : 1. Mustofa Usman, Ph.D. selaku Dosen Pembimbing I, terima kasih untuk
bimbingan dan kesedian waktunya selama penyusunan skripsi ini.
2. Ir. Netti Herawati, M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Pembimbing II, terima kasih untuk bantuan dan masukannya selama penyusunan skripsi.
3. Drs. Eri Setiawan, M.Si. selaku Dosen Penguji, terima kasih atas kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc. selaku Pembimbing Akademik atas bimbingan dan pembelajarannya selama ini.
6. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika.
7. Keluargaku tercinta, terutama Ibu yang tak pernah berhenti melantunkan doanya untuk kesuksesanku, Ayah yang selalu mendukung dan
memberikan banyak pembelajaran hidup serta adik-adikku tersayang. 8. Sepria, Asmawi, Helmi, Sigit, Reno atas bantuannya selama ini. 9. Sahabat-sahabat seperjuangan matematika 2011.
10.Pengurus Rois FMIPA 2012/2013 terima kasih atas ukhuwah yang telah terjalin sampai saat ini.
11.Kakak-kakak serta seluruh pengurus BEM FMIPA 2012/2013. 12.HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung terutama presidium dan
pimpinan HIMATIKA periode 2013/2014 Anton, Tiwul, Riska, Riyama, Shelvi, Joko, Kajol, Gusti, Iril, Novi, Ono, Sherly, Dian sur, Anwar, Audy. 13.Rekan-rekan DPM FMIPA 2014/2015 (Fahad, Fara, Putri, Wagiran,
Miftah dan Parias) atas kebersamaannya selama ini.
14.Keluarga kecil KKN Pakuan Baru Kec. Pakuon Ratu Way Kanan Husen, Aris, Mba Meri, Nining, Fera dan Septi.
15.Semua pihak yang telah membantu saya dalam menyusun skripsi ini. 16.Almamterku tercinta Universitas Lampung.
Akhir kata, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak. Bandar Lampung, 2015 Penulis
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang dan Masalah
Bandara Ngurah Rai pada periode Oktober-Desember 2014 berhasil mencatatkan diri dalam sepuluh besar bandara dengan tingkat layanan terbaik di dunia
berdasarkan survei Airport Service Quality (ASQ) yang dilakukan oleh Airport Council International (ACI) yakni dengan menempati urutan ketujuh dari tiga
puluh satu bandara di dunia.
Bandara Ngurah Rai pada tahun 2013 melayani jumlah penumpang sebanyak 7.625.272, naik dibandingkan tahun 2012 yang hanya mencapai 7.289.782 penumpang. Jika dilihat dari tahun-tahun sebelumnya juga terlihat tren kenaikan jumlah penumpang yakni pada tahun 2009 sebanyak 4.717.250, tahun 2010 naik menjadi 5.519.392 dan tahun 2011 kembali mengalami peningkatan jumlah penumpang menjadi 6.307.201 orang.
2
Analisis runtun waktu (time series) merupakan salah satu metode statistika yang sering digunakan. Analisis time series merupakan analisis yang mempelajari hubungan timbal balik antarwaktu. Tujuan dalam analisis time series adalah untuk menemukan cara yang berguna (model) untuk mengekspresikan hubungan waktu yang terstruktur antara beberapa variabel atau peristiwa untuk kemudian kita dapat mengevaluasi hubungan ini atau melakukan peramalan (forecasting) dari satu atau lebih variabel (Pankratz, 1991).
ARIMA pertama kali diperkenalkan oleh Box and Jenkins dan sekarang menjadi salah satu metode paling sering digunakan untuk meramalkan data time series univariat. Salah satu metode dari analisis time series adalah Seasonal ARIMA, dimana pada analisis ini dapat dilakukan ketika data yang diamati mempunyai pola musiman. Pola musiman seringkali terjadi ketika data mempunyai pola interval yang spesifik seperti minggu, bulan dan lain-lain.
Pada penelitian ini akan dilakukan peramalan jumlah penumpang yang berangkat pada penerbangan internasional di Bandara Ngura Rai dengan metode peramalan Seasonal ARIMA .
1.2Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
3
2. Memperoleh model terbaik untuk memprediksi/meramalkan jumlah
penumpang pesawat terbang yang berangkat pada penerbangan internasional di Bandara Ngurah Rai.
3. Meramalkan jumlah penumpang pesawat terbang yang berangkat pada
penerbangan internasional di Bandara Ngurah Rai pada masa yang akan datang dengan model seasonal ARIMA.
1.3Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Dapat mengetahui tahap-tahap analisis data time series dengan metode seasonal ARIMA.
2. Dapat memperoleh model terbaik untuk memprediksi/meramalkan jumlah penumpang pesawat terbang yang berangkat pada penerbangan internasional di Bandara Ngurah Rai.
II.TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Deret Waktu (time series)
Time series merupakan serangkaian observasi terhadap suatu variabel yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang tetap (Wei, 2006). Rangkaian data pengamatan time series dinyatakan dengan variabel Xt dimana t adalah indeks waktu dari urutan pengamatan.
2.2 Stasioneritas
Stasioner berarti bahwa tidak terdapat perubahan drastis pada data. Fluktuasi data berada disekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut.
Stasioneritas dibagi menjadi 2 yaitu :
1. Stasioner dalam rata-rata
5
maka nilai-nilai autokorelasi dari data stasioner akan turun menuju nol sesudah time lag (selisih waktu) kelima atau keenam.
2. Stasioner dalan variansi
Sebuah data time series dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan plot time series, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke waktu (Wei, 2006).
2.3 Pembedaan
Pembedaan digunakan untuk mengatasi data yang tidak stasioner dalam rata-rata. Pembedaan di bagi menjadi dua yaitu pembedaan biasa dan pembedaan musiman.
2.3.1 Pembedaan Biasa
Ketika data tidak mempunyai rata-rata yang konstan, kita dapat membuat data baru dengan rata-rata konstan dengan cara pembedaan data, artinya kita
menghitung perubahan pada data secara berturut-turut. Pembedaan pertama atau d=1 dirumuskan :
Wt = Xt – Xt-1
6
pembedaan pertama dari zt sehingga rumus untuk pembedaan kedua d=2 sebagai berikut :
Wt = W*t – W*t-1
= (Xt – Xt-1) – (Xt-1 – Xt-2)
(Pankratz, 1991).
2.3.2 PembedaanMusiman
Pembedaan musiman berarti menghitung pergeseran data secara musiman berdasarkan periode waktu tertentu, biasanya dinotasikan s untuk menstimulasi rata-rata dalam seri menjadi konstan. Untuk data kuartalan, s = 4 ; untuk data bulanan, s = 12 dan seterusnya. Sebuah data seri mungkin cukup dilakukan dengan pembedaan biasa, cukup dengan pembedaan musiman saja atau kedua-keduanya. Misalkan didefinisikan D adalah derajat pembedaan musiman (berapa kali pembedaan musiman dilakukan). Jika d=0 dan pembedaan musiman (D=1) dihitung untuk semua t sebagai
Wt = Xt – Xt-s
Jika transformasi telah digunakan untuk menstabilkan varian, pembedaan
musiman digunakan untuk Xt . Pembedaan musiman digunakan untuk menghapus sebagian besar data musiman (Pankratz, 1991).
2.4 Transformasi Box-Cox
7
transformation yang disebut Box-Cox Transformation (Box and Cox, 1964).
Dengan transformasi ini kita mendefinisikan seri baru x׳t sebagai
x׳t = � �−
�
dimana adalah bilangan real. Jika nilai = / maka disebut transformasi akar karena xt1/2 adalah akar dari xt (Pankratz, 1991).
2.5 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
Dalam metode time series, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data yang akan diramalkan adalah dengan menggunakan fungsi
autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF).
2.5.1 Fungsi Autokorelasi
Dari proses stasioner suatu data time series (Xt) diperoleh E (Xt) = µ dan variansi Var (Xt) = E (Xt - µ)2= σ2 , yang konstan dan kovarian Cov (Xt,Xt+k), yang fungsinya hanya pada perbedaan waktu │t- (t-k)│. Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara Xt dan Xt+k sebagai berikut :
= Cov (Xt,Xt+k) = E (Xt - µ) (Xt+k - µ) dan korelasi antara Xt dan Xt+k didefinisikan sebagai
= �, �+
√ � � � �+
8
dimana notasi � � � � �+ = . Sebagai fungsi dari k, disebut fungsi autokovarian dan disebut fungsi autokorelasi (ACF). Dalam analisis time series, dan menggambarkan kovarian dan korelasi antara Xt dan Xt+k dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke-k.
Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
1. = Var � ; = .
2. │ │ ≤ ; │ │ ≤ .
3. = − dan = − untuk semua k, dan adalah fungsi yang sama dan simetrik lag k=0. Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara
�dan �+ . Oleh sebab itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag nonnegatif. Plot tersebut kadang disebut korrelogram (Wei, 2006).
Pendugaan koefisien ( ) adalah dugaan dari koefisien autokorelasi secara teoritis yang bersangkutan ( ) . Nilai tidak sama persis dengan yang
berkorespondensi dikarenakan error sampling. Distribusi dari kemungkinan nilai-nilai disebut dengan distribusi sampel. Galat baku dari distribusi sampling adalah akar dari penduga variansinya.
Pengujian koefisien autokorelasi :
H0 : = 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan)
9
Statistik uji : t =
dengan :
= ∑�−�= �− ̅ �+ − ̅
∑��= �− ̅ dan SE = √
+ ∑=−
≈ √
dengan :
SE : standard error autokorelasi pada saat lag k
: autokorelasi pada saat lag j
k : time lag
T : banyak observasi dalam data time series
Kriteria keputusan : tolak H0jika nilai│t hitung│> tα/2,df dengan derajat bebas df = T-1, T merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang diuji (Pankratz, 1991).
2.5.2 Fungsi Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara Xt dan Xt+k, apabila pengaruh dari time lag 1, 2, 3, . . . , dan seterusnya sampai k-1 dianggap terpisah . Ada beberapa prosedur untuk menentukan bentuk PACF yang salah satunya akan dijelaskan sebagai berikut. Fungsi autokorelasi parsial dapat dinotasikan dengan:
10
misalkan Xt adalah proses yang stasioner dengan E(Xt) = 0, selanjutnya Xt+k dapat dinyatakan sebagai model linear
Xt+k = ∅ �+ − , ∅ �+ − , … , ∅ �+ ��+ (2.1) dengan ∅ adalah parameter regresi ke-i dan ��+ adalah nilai kesalahan yang tidak berkorelasi dengan �+ − dengan j=1,2, … , k. Untuk mendapatkan nilai PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.1) dengan �+ − pada kedua ruas sehingga diperoleh :
�+ − Xt+k = ∅ �+ − �+ − + ∅ �+ − �+ − + … + ∅ � �+ − + ��+ �+ −
Selanjutnya nilai harapannya adalah
� �+ − Xt+k ) = E(∅ �+ − �+ − + ∅ �+ − �+ − + … + ∅ � �+ − + ��+ �+ −)
Dimisalkan nilai � �+ − Xt+k ) = , j=0,1,…,k dan karena � ��+ �+ − ) = 0, maka diperoleh
=∅ − + ∅ − + + ∅ − (2.2)
Persamaan (2.2) dibagi dengan
11
untuk j = 1, 2, 3 ,…, k didapatkan sistem persamaan sebagai berikut :
= ∅ + ∅ + + ∅ − ,
= ∅ + ∅ + + ∅ − , (2.3)
= ∅ − + ∅ − + + ∅ ,
Sistem persamaan (2.3) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer. Persamaan (2.3) untuk j = 1, 2, 3, …, k digunakan untuk mencari nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial lag k yaitu ∅ , ∅ , … , ∅ .
a. Untuk lag pertama (k = 1) dan (j = 1) diperoleh sistem persamaan sebagai berikut :
= ∅ , karena = sehingga = ∅ yang berarti bahwa fungsi
autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi pada lag pertama.
b. Untuk lag kedua (k = 2) dan (j = 1,2) diperoleh sistem persamaan
= ∅ + ∅
= ∅ + ∅ (2.4)
persamaan (2.4) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi [ ] [∅
∅ ] = [ ]
= [ ] , = [ ], dan dengan menggunakan aturan Cramer
12
∅ = detdet =
| |
| |
c. Untuk lag ketiga (k = 3) dan (j = 1,2,3) diperoleh sistem persamaan
= ∅ + ∅ +∅
= ∅ + ∅ +∅
= ∅ + ∅ +∅ (2.5)
persamaan (2.5) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi
[ ] [
d. Untuk k lag j = 1,2,3,…, k diperoleh sistem persamaannya adalah
= ∅ + ∅ + ∅ + + ∅ −
= ∅ + ∅ + ∅ + + ∅ −
= ∅ + ∅ + ∅ + + ∅ −
(2.6)
13
Persamaan (2.6) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi
dengan aturan Cramer diperoleh
=
Nilai autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah
∅ = detdet =
dengan ∅ disebut PACF antara Xt dan Xt+k. Fungsi autokorelasi parsial (PACF)
14
Jadi diperoleh autokorelasi parsial dari Xt pada lag k didefinisikan sebagai
∅ =
Function (PACF). Fungsi ∅ menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi Xt dan Xt+k dalam analisis time series. Fungsi ∅ akan bernilai nol untuk k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR dan MA, yaitu pada model Autoregressive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol dan Moving Average berlaku ACF menuju ke-0 setelah lag ke-q sedangkan nilai PACF model AR yaitu ∅ = 0, k > p dan model MA yaitu ∅ = 0, k > qHipotesis untuk menguji koefisien autokorelasi parsial adalah sebagai berikut
15
Kriteria keputusan :
Tolak H0 jika t hitung > �� ,�� , dengan derajat bebas df = T-1, T adalah
banyaknya data dan k adalah lag autokorelasi parsial yang akan diuji (Wei, 2006).
2.6 Proses White Noise
Suatu proses {εt} disebut proses white noise jika data terdiri dari variabel acak
yang tidak berkorelasi dan berdistribusi normal dengan rata-rata konstan
E (εt) = 0, variansi konstan Var (εt) = σ2 dan = Cov (εt, εt+k) = 0 untuk k ≠ 0.
Dengan demikian proses white noise stasioner dengan fungsi autokovariansi
{� ,0 , � ≠ 0� = 0
Fungsi autokorelasi
{ ,0 , � = 0� ≠ 0
Fungsi autokorelasi parsial
� { ,0 , � = 0� ≠ 0
Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada
tidaknya korelasi residual antar lag. Langkah-langkah pengujian korelasi residual yaitu : H0 : = = = = 0 (residual tidak terdapat korelasi)
16
Taraf signifikansi α = 5%
Statistik uji Ljung Box-Pierce. Rumus uji Ljung Box-Pierce :
� = + ∑ ̂−
̂ : dugaan autokorelasi residual periode k
Kriteria keputusan yaitu tolak H0 jika Q-hitung > ��,�� tabel , dengan derajat kebebasan K dikurangi banyaknya parameter pada model (Wei, 2006).
2.7 Model Autoregressive
2.7.1 Order pertama Autoregressive, AR(1)
Pertama, diberikan persamaan time series stasioner sebagai
17
� = + ��+ ���− + � ��− + (2.7)
diperoleh
�− = + ��− + ���− + � ��− + (2.8)
Kita dapat mengkombinasikan persamaan (2.7) dan (2.8) sebagai
� = + ��+ ���− + � ��− +
= � �− − �
= − � + � �− + �� (2.9)
= + � �− + ��
dimana = − � . Persamaan (2.9) disebut order pertama proses
autoregressive karena pada persamaan (2.9) merupakan regresi dari xt pada xt-1
karenanya disebut autoregressive proses.
Proses AR (1) stasioner jika |�| < . Rata-rata dari AR(1) yang stasioner adalah :
� � = = − �
Autokovarian dari AR (1) dapat dihitung dari persamaan (2.7)
= � � − � untuk k = 0, 1, 2, …
Nilai varian diberikan sebagai:
0 = � − �
Hubungan dengan fungsi autokorelasi diberikan sebagai: =��
�� untuk k = 0, 1, 2, 3,…
Ini menyebabkan proses stasioner AR (1) turun secara eksponensial
18
2.7.2 Order Kedua Autoregressive, AR(2)
Dari persamaan (2.9) diperoleh persamaan autoregressive orde kedua
� = + � �− + � �− + ��
dapat ditulis
− � − � � = + ��
Fungsi autokovarian adalah
= �, �−
= + � �− + � �− + ��, �−
= � �− , �− + � �− , �− + , �� �−
= � − + � − + {� = 00 > 0
sehingga
0 = � + � + �
= � − + � − = , , … (2.10)
Persamaan (2.10) disebut persamaan Yule-Walker untuk . Dengan cara yang sama kita peroleh fungsi autokorelasi dari pembagian persamaan (2.10) dengan
0 :
= � − + � − = , , … (Montgomery, 2008).
2.7.3 Bentuk Umum Model Autoregressive, AR(p)
Bentuk umum orde ke-p model Autoregressive adalah
19
Dimana �� white noise. Persamaan (2.11) dapat juga ditulis
Φ B �= + ��
dimanaΦ B = − � − � − − � .
untuk AR (p) stasioner
� � = = − � − � − − �
Hasil pembagian persamaan (2.12) dengan 0 untuk k > 0 dapat digunakan untuk mencari nilai ACF pada proses AR(p) yang memenuhi persamaan Yule-Walker
20
2.8 Model Moving Average
Model moving average dengan order q dinotasikan MA (q) didefinisikan sebagai :
xt = µ + εt - θ1 εt-1 - θ2 εt-2 - θ3 εt-3 - … - θq εt-q ; εt ~ N (0,σ2) dengan :
xt : nilai variabel pada waktu ke-t
εt : nilai-nilai error pada waktu t
θi : koefisien regresi, i: 1,2,3, …,q
q : order MA
persamaan di atas dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi :
xt = µ + (1 + θ1 B + θ2 B2+ … + θq Bq) εt
= µ + (1 - ∑= � ) εt
= µ + Θ εt
dimana Θ = 1 - ∑= �
Karena εt white noise, nilai harapan MA (q) adalah
E (xt) = E (µ + εt - θ1 εt-1 - θ2 εt-2 - θ3 εt-3 - … - θq εt-q)
= µ dan varian
21
= σ2 (1 + θ
12 + θ22+ … + θq2 )
Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian pada lag k
= Cov (xt, xt+k)
= E [(µ + εt - θ1 εt-1 - … - θq εt-q) ( µ + εt+k - θ1 εt+k-1 - … - θq εt+k-q)]
= {� (−� + � � + + + � − � ) = , , … ,
0 >
Diperoleh nilai autokorelasi pada lag k yaitu
= 0 = {
−� + � � + + + � − �
+ � + + � , = , , , …
0 >
Dari bagian ini diperoleh bahwa nilai ACF sangat membantu mengindentifikasi model MA dan order cut off tepat setelah lag q (Montgomery, 2008).
2.8.1 Order pertama Moving Average, MA(1)
Model paling sederhana dari Moving Average yakni MA(1) ketika nilai q =1 xt = µ + εt - θ1 εt-1
untuk model MA (1) kita peroleh nilai autocovariance function
0 = � + �
= −� � = 0 k > 1
Demikian pula, kita peroleh fungsi autokorelasi
= −�
22
= 0 >
Kita dapat lihat bahwa lag pertama fungsi autokorelasi pada MA (1) dibatasi
│ │ = │� │
( + � )≤
dan autokorelasi cut off setelah lag 1 (Montgomery, 2008).
2.8.2 Order kedua Moving Average, MA(2)
Model Moving Average lain yang berguna adalah MA (2), xt = µ + εt - θ1 εt-1 - θ2 εt-2
= µ + ( 1 - θ1 B - θ2 B2) εt
Fungsi autocovarian dan autokorelasi untuk model MA (2) yaitu
0 = � + � + �
= � −� + � � = � −�
= 0 k > 1
dan
= −� + � �
+ � + �
= −�
+ � + �
23
2.9 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Dalam bentuk umum, model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q) diberikan sebagai
2.10 Model Autoregresive Integrated Moving Average (ARIMA)
Jika d adalah bilangan bulat nonnegative, maka {Xt} dikatakan proses ARIMA jika Yt := (1 - B)d xt merupakan akibat dari proses ARMA.
Definisi diatas berarti bahwa{Xt} memenuhi persamaan : �∗
� ≡ � − � �= � ��, {��} ∼ � 0, �
Dengan � dan � adalah derajat polinomial dari p dan q, � ≠ 0 untuk |� | < (Brockwell, 2002).
2.11 Seasonal Proses
Data time series terkadang memiliki pola musiman. Hal ini sering kali
menunjukkan data time series mempunyai nilai musiman. Ini sering terjadi ketika data mempunyai pola interval yang spesifik (bulan, minggu, dll). Salah satu cara merepresentasikan data seperti ini adalah dengan mengasumsikan model
24
dengan St adalah komponen dengan faktor musiman s dan Nt adalah komponen stokastik yang mungkin merupakan model ARMA.
Karena St dengan faktor musiman s kita dapatkan St = St+s atau St - St+s = (1-Bs) St = 0
Gunakan (1 - Bs) pada persamaan xt = St + Nt , kita peroleh (1-Bs) xt = (1-Bs) St + (1-Bs) Nt = Wt = 0
Wt = (1-Bs) Nt
proses wt dapat dikatakan seasonally stationary . Karena proses ARMA dapat digunakan pada model Nt , dalam bentuk umum kita diperoleh
Φ(B)wt = (1 − Bs ) Θ(B)εt dengan εt white noise Kita dapat menganggap St sebagai proses stokastik. Kita mengasumsikan setelah dilakukan pembedaan musiman (1-Bs), (1-Bs)xt = wt menjadi stasioner. Itulah kenapa tidak dilakukan eliminasi pada data musiman. Maka setelah dilakukan pembedaan musiman data mungkin tetap menunjukkan autokorelasi pada lag s,
2s, … . Sehingga model seasonal ARMA adalah
− Φ − Φ − − Φ �= − Θ − Θ − − Θ ��
Model ini merepresentasikan jika autokorelasi terjadi pada lag s, 2s, … . Oleh karena itu bentuk umum seasonal ARMA dari order (p,d,q) x (P,D,Q) dengan periode s adalah
Φ ∅ − � −
25
Contoh :
Model ARIMA (0, 1, 1) × (0, 1, 1) dengan s = 12 adalah
− � −
� = ( − θ − Θ + Θ� )��
Untuk proses ini, nilai autokovarian adalah
0 = Var � = � + � + Θ − Θ�
= � + � + Θ
= � �, �− = � −� + Θ −Θ�
= � � − Θ
= = = 0 = 0
= � � Θ
= −� Θ + �
= � � Θ
= 0 > (Montgomery, 2008).
2.12 Pendugaan Parameter
Maximum likelihood estimation merupakan salah satu metode dalam pendugaan parameter. Metode ini menggunakan prinsip memaksimumkan fungsi likelihood untuk menduga parameter θ dan � pada model ARIMA. Diberikan bentuk umum model ARMA (p,q) sebagai berikut :
26
atau
�� = � ��− + � ��− + + � ��− − �− −� �− −� �− − −� �−
dimana �� ∼ 0, � , fungsi kepekatan peluang dari � = � , � , … . , �� didefinisikan sebagai berikut :
P(� │�, , �, �� = �� −�exp[ − diperoleh ketika memaksimumkan persamaan (2.15) yang kemudian kita
menyebut sebagai pendugaan maximum likelihood . Setelah diperoleh nilai pendugaan �, , �, maka dapat dihitung pula nilai pendugaan dari �� dari
�� = S �, ̂, �̂�
dengan df = (n - p) – (p + q + 1) = n – (2p + q + 1) (Wei, 2006).
2.13 Kriteria Pemilihan Model Terbaik
Salah satu pemilihan model terbaik dari beberapa model yang sesuai dapat berdasarkan nilai AIC (Akaike’s Information Criterion) dan SBC (Schwarz Bayesian Criteria), rumus AIC dan SBC :
AIC = T ln ( � ) + 2k
27
dimana :
MSE =
− �
SSE = ∑�= �− ̂�
k = jumlah parameter yang diduga
T = jumlah pengamatan
III.METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik Republik Indonesia tentang jumlah penumpang yang berangkat pada penerbangan internasional di Bandara Ngurah Rai tahun 2006-2014.
29
Tabel 1. lanjutan
Bulan/Tahun 2011 2012 2013 2014 Januari 250.125 305.699 265.246 344.598 Februari 218.112 232.144 239.309 316.680 Maret 220.797 244.916 250.043 314.088 April 231.380 249.179 260.652 308.091 Mei 249.697 248.079 276.720 323.686 Juni 262.535 266.074 295.499 354.380 Juli 290.975 294.217 316.461 376.481 Agustus 302.380 308.934 337.142 401.519 September 267.300 277.000 324.999 374.428 Oktober 290.961 299.204 313.639 386.836 Nopember 255.778 260.283 288.504 327.697 Desember 248.344 249.064 299.970 321.066
3.3 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini, kemudian melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang telah didapat. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menguji kestasioneran data dengan dengan plot data (time series plot) dan
plot ACF.
2. Menggunakan transformasi data dengan metode Box-Cox apabila data tidak stasioner dalam varian.
30
4. Data hasil transformasi dan pembedaan di uji kestasionerannya dengan plot data (time series plot) dan mengidentifikasi lag ke-5 atau ke-6 yang bernilai minimum pada plot ACF.
5. Menentukan orde model dengan plot ACF dan PACF.
6. Menetapkan model dugaan sementara berdasarkan orde model yang telah ditentukan.
7. Menduga parameter model dugaan sementara dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).
8. Menguji signifikansi parameter model
Uji signifikansi parameter menggunakan uji t dan p-value dengan kriteria pengambilan keputusan sebagai berikut :
Tolak H0 jika │thitung│ > tα/2,df dengan df = T-p dengan T banyaknya data dan p banyaknya parameter dalam model.
9. Pemeriksaan residual model yang memenuhi proses white noise. 10.Melakukan pemilihan model terbaik
Pemilihan model terbaik dapat dilihat dari nilai AIC dan SBC. Model dikatakan baik apabila AIC dan SBC bernilai minimum.
11.Melakukan peramalan atau forecasting
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Tahap-tahap analisis Seasonal ARIMA yaitu uji stasioneritas data, indentifikasi model, pendugaan dan uji signifikansi parameter, uji kecocokan residual, pemilihan model terbaik dan melakukan peramalan dengan model terbaik.
2. Model terbaik dari jumlah penumpang pesawat terbang yang berangkat pada penerbangan Internasional di Bandara Ngurah Rai pada tahun 2006-2014 adalah ARIMA (0,1,1)(0,1,1)12
��= ��− + ��−0, ��− − 0, ��− + 0, 0, ��−
DAFTAR PUSTAKA
Box, G.E.P. and G.M. Jenkins, 1976. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 1st Edn., Holden-Day, San Fransisco.
Brockwell, P.J. and Davis, R.A. 2002. Introduction to Time Series and Forecasting Second Edition. Springer-Verlag New York, Inc., New York.
Montgomery, D.C., Jennings, C.L., and Kulahci, M. 2008. Introduction Time Series Analysis and Forecasting. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.
Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models. Willey Intersciences Publication, Canada.
Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods Second Edition. Pearson Education Inc., Canada.
