• Tidak ada hasil yang ditemukan

Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)"

Copied!
36
0
0

Teks penuh

(1)

Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003). Di bawah bimbingan INDAHWATI dan ANANG KURNIA.

Pendugaan area kecil (small area estimation) sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi pada suatu area dengan ukuran contoh kecil. Pendugaan langsung yang dilakukan memiliki nilai keragaman yang besar karena ukuran contohnya kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung berupa informasi dari dalam maupun luar area tersebut untuk menduga parameter. Pendugaan tidak langsung pada area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam kasus tersebut adalah metode empirical Bayes (EB).

(2)

(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

ARTA YUNITA

G14103014

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(3)

Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003). Di bawah bimbingan INDAHWATI dan ANANG KURNIA.

Pendugaan area kecil (small area estimation) sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi pada suatu area dengan ukuran contoh kecil. Pendugaan langsung yang dilakukan memiliki nilai keragaman yang besar karena ukuran contohnya kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung berupa informasi dari dalam maupun luar area tersebut untuk menduga parameter. Pendugaan tidak langsung pada area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam kasus tersebut adalah metode empirical Bayes (EB).

(4)

(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

Arta Yunita

Skripsi

sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

NRP : G14103014

Menyetujui:

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Ir. Indahwati, M.Si

Anang Kurnia, M.Si

NIP.131909223

NIP. 132158749

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. Drh. Hasim, DEA

NIP. 131578806

(6)

atas segala rahmat, hidayah serta karunia-Nya sehingga Penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Rasulullah SAW, keluarga, sahabat, dan umatnya hingga akhir zaman.

Karya ilmiah ini berjudul “Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)”. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji metode empirical Bayes pada pendugaan area kecil dan menerapkan metode tersebut untuk menduga pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003.

Terima kasih Penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini, terutama kepada:

Ibu Ir. Indahwati, M.Si dan Bapak Anang Kurnia, M.Si terima kasih atas segala bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan.

My family: bapak, ibu, adik, serta seluruh keluarga besar yang aku sayangi, terima kasih atas do’a, dukungan, semangat, dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada Penulis.

Seluruh staf pengajar Departemen Statistika FMIPA IPB terima kasih atas pengajaran yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dan karya ilmiah ini.

Seluruh staf pegawai Departemen Statistika FMIPA IPB: Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh, Pak Ian, Pak Sudin, Pak Dur, Pak Herman, Pak Heri, dan Bu Aat yang selalu siap membantu segala keperluan dalam penyelesaian studi dan karya ilmiah ini.

Myclosed friend Enta, Proe, Dina, Tiwi, dan Cecep terima kasih atas do’a, kebersamaan, dan dukungannya.

Sahabatku Chichie, Muti, Lala, Mba Dian, Aril, Edo, Rosit, dan Dwi terima kasih untuk semua bantuannya.

Rekan-rekan Statistika 40 tercinta yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu. Keep contact! Seluruh kakak kelas dan adik-adik Statistika angkatan 41,42, dan 43.

Teman-teman GAMAPURI, asrama A1 027 (Wnie, Veni, Anjar dan Wywy) serta teman satu kosan di Citra Islamic 2 dan Pondok Adinda.

Semua pihak yang telah memberikan dukungan kepada penulis yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa banyak kekurangan dalam karya ilmiah ini karena kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor,

(7)

Suhendro dan Ibu Supriyati. Penulis merupakan putri pertama dari dua bersaudara dengan adik bernama Huda Arta Bahri.

Penulis menyelesaikan sekolah dasar di SD Negeri Butuh I pada tahun 1997. Pendidikan selanjutnya ditempuh di SLTP Negeri I Kutoarjo yang diselesaikan pada tahun 2000. Penulis melanjutkan ke SMU Negeri I Purworejo dan lulus tahun 2003. Pada tahun yang sama berhasil masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih jurusan Statistika.

(8)

DAFTAR TABEL...viii

DAFTAR LAMPIRAN ...viii

PENDAHULUAN...1

Latar Belakang ...1

Tujuan...1

TINJAUAN PUSTAKA...1

Pengeluaran Per Kapita ...1

Pendugaan Area Kecil ...1

Penduga Sintetik...2

Model Area Kecil ...2

Metode Empirical Bayes...2

Pendekatan Jackknife dalamPendugaan MSE ...3

BAHAN DAN METODE ...3

Bahan...3

Metode...4

HASIL DAN PEMBAHASAN ...4

Eksplorasi Data...4

Pendugaan Langsung...4

Pendugaan Tidak Langsung...5

KESIMPULAN ...7

DAFTAR PUSTAKA ...7

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

1. Hasil Pendugaan Beta ...5

2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan

pendekatan EB - jackknife beserta nilai RRMSE (%)...5

3. Perbandingan statistik MSE ...6

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1. Scatterplot, boxplot, dan nilai korelasi peubah-peubah pendukung (xi)...9

2. Pendugaan langsung pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) beserta nilai Di...10

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dewasa ini permintaan akan statistik area kecil (small area statistics) semakin meningkat dalam berbagai bidang. Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi-informasi pada area kecil, misalnya pada lingkup kabupaten/kota, kecamatan, maupun kelurahan/desa. Informasi tersebut menjadi sangat penting seiring dengan berkembangnya era otonomi daerah di Indonesia karena dapat digunakan sebagai acuan menyusun sistem perencanaan, pemantauan, dan kebijakan daerah lainnya tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus dikembangkan untuk menduga statistik area kecil adalah pendugaan area kecil (small area

estimation).

Pendugaan secara langsung (direct

estimation) pada area kecil akan menghasilkan

nilai ragam yang besar jika contoh yang diambil berasal dari data survei yang dirancang untuk skala besar/nasional. Hal ini disebabkan oleh ukuran contoh yang terambil pada area tersebut kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung dalam menduga parameter. Peubah pendukung tersebut berupa informasi dari area lain yang serupa, survei terdahulu pada area yang sama, atau peubah lain yang berhubungan dengan peubah yang ingin diduga.

Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung dapat diketahui dengan membandingkan nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) pendugaan langsung dengan nilai RRMSE pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung untuk area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Metode yang digunakan untuk menduga pengeluaran per kapita tersebut adalah metode empirical

Bayes dengan pendekatan jackknife untuk

menghitung MSE.

Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1.Mengkaji metode empirical Bayes pada pendugaan area kecil.

2.Menerapkan metode empirical Bayes untuk menduga pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003.

TINJAUAN PUSTAKA

Pengeluaran Per Kapita

Pengeluaran per kapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS, 2003). Pengertian rumah tangga yang dimaksud pada definisi di atas yaitu sekelompok orang yang mendiami sebagian atau seluruh bangunan fisik dan biasanya tinggal bersama serta makan dari satu dapur (BPS, 2003). Satu rumah tangga bisa terdiri dari satu, dua, atau lebih kepala keluarga.

Perhitungan pengeluaran per kapita dirumuskan sebagai berikut:

q p y =

dimana;

y = pengeluaran per kapita

p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga

Pendugaan Area Kecil

Pendugaan area kecil saat ini sangat umum digunakan dalam survey sampling, dimana banyak metode analisis data telah dikemukakan dalam beberapa literatur. Area kecil (small area) diartikan sebagai bagian dari wilayah populasi (small domain) baik berdasarkan geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang lainnya (Rao, 2003). Suatu daerah disebut

small area jika dalam daerah tersebut jumlah

contoh yang terambil kurang besar untuk mendapatkan nilai pendugaan langsung yang akurat. Nilai pendugaan langsung pada area kecil merupakan penduga tak bias tetapi memiliki ragam yang besar karena diperoleh dari ukuran contoh yang kecil (Ramsini et.al

(2001) dalam Kurnia dan Notodiputro (2006b)).

Metode pendugaan yang dapat digunakan untuk mendapatkan pendugaan area kecil yaitu pendugaan langsung dan pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung (indirect

estimation) dilakukan dengan cara

memanfaatkan informasi peubah lain yang berhubungan dengan parameter yang diamati. Contoh informasi yang dapat digunakan adalah catatan sensus ataupun survei pada area tersebut. Ada beberapa metode pada pendugaan tidak langsung untuk area kecil antara lain EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased

Prediction), EB (Empirical Bayes), dan HB

(11)

Small area estimation merupakan pendugaan suatu area yang lebih kecil dengan memanfaatkan informasi dari luar area, informasi dari dalam area itu sendiri, dan dari luar survei (Longford, 2005). Pendugaan secara tidak langsung pada small area estimation

mempunyai beberapa keuntungan, yaitu mendapatkan penduga optimal, memperoleh model valid yang berasal dari data contoh, serta dapat menjelaskan berbagai macam model berdasar pada respon alami suatu peubah dan kekomplekan struktur data (Rao, 2003).

Penduga Sintetik

Penduga sintetik merupakan penduga tak bias yang diperoleh dari sebuah survei contoh untuk area yang besar, ketika penduga ini digunakan sebagai penduga untuk sub-area (area yang lebih kecil) dengan mengasumsikan bahwa sub-area tersebut memiliki karakteristik yang sama dengan area besar (Gonzales (1973) dalam Ghosh dan Rao (1994)). Metode ini cocok digunakan untuk semua desain sampling.

Penduga sintetik pada pendugaan area kecil dapat digunakan untuk menduga nilai respon pada sub-area yang tidak disurvei. Penduga sintetik dapat memberikan dugaan dengan memanfaatkan informasi dari area kecil lain yang diasumsikan mirip dengan area kecil yang akan diduga.

Model Area Kecil

Pendugaan area kecil terdiri atas dua jenis model dasar yaitu basic area level model dan

basic unit level model (Rao, 2003).

a. Basic area level (type A) model yaitu model

yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i,…,xpi)T dan

parameter yang akan diduga θi, diasumsikan mempunyai hubungan dengan xi. Data

pendukung tersebut digunakan untuk membangun model: θi = xiT β + bivi ,

i =1,…,m dengan v

(ii) θ

i ~ N(0, σ2v), sebagai

pengaruh acak yang diasumsikan normal. Kesimpulan mengenai θi, dapat diketahui

dengan mengasumsikan bahwa model penduga langsung yi telah tersedia yaitu:

yi = θi + ei , i =1,…,m dengan sampling error ei ~N(0, σ2ei) dan σ2ei diketahui.

Pada akhirnya, kedua model digabungkan dan menghasilkan model gabungan:

yi= xiT β + bivi + ei , i =1,…,m dimana bi

diketahui bernilai positif konstan (diasumsikan bernilai 1).

Model tersebut merupakan bentuk khusus dari model linier campuran (general linear

mixed model) yang terdiri dari pengaruh

tetap (fixed effect) yaitu β dan pengaruh acak

(random effect) yaitu vi (Saei dan Chambers,

2003).

b. Basic unit level (type B) model yaitu suatu

model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misal xij = (xij1,...,xijp)T, sehingga

dapat dibuat suatu model regresi tersarang yij = xijTβ + vi + eij; i=1,…,m dan j=1,...,Ni

dengan vi ~N(0, σ2v) dan ei ~N(0, σ2ei).

Penelitian ini menggunakan model basic area

level (type A) karena data pendukungnya hanya

ada untuk level area tertentu yaitu pada level desa.

Metode Empirical Bayes

Metode empirical Bayes (EB) merupakan salah satu pendekatan yang dapat digunakan pada pendugaan area kecil. Hal pertama yang ingin didapatkan pada metode Bayes adalah sebaran posterior untuk parameter yang diamati yang dinotasikan f (θi |yi, β, σ2v), dengan asumsi β dan σ2v diketahui. Sedangkan pada metode

EB, inferensia yang diperoleh berdasar pada dugaan sebaran posterior dari θi dengan memasukkan nilai dugaan β dan σ2v yaitu

f(θi|yi,βˆ,σˆv2).

Model Fay dan Heriot (1979) untuk model

basic area level adalah:

yi= xiTβ+ vi + ei

dimana vi ~N(0, σ2v) dan ei ~N(0, σ2ei), vi dan

ei saling bebas. β dan σ2v tidak diketahui

sedangkan σ2ei diasumsikan diketahui (Kurnia

dan Notodiputro, 2006b).

Misal σ2v dan σ2ei disimbolkan dengan A

dan Di, selanjutnya merupakan penduga

Bayes untuk θ Β

i

θˆ

i, dengan mengikuti model

Bayes:

(i) yi|θi ~N(θi, Di)

i ~ N(xiTβ, A) adalah sebaran prior

untuk θi, i=1,2,...,m.

Model Bayes dijelaskan oleh:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 i i i i

i (y )

Di 2 1 exp D 2 1 ) | y ( f θ π

θ dan

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ) ( 2 1 exp 2 1 ) ( θ β π θ π T i i i x A A dan

= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = m 1 i 2 i i i i i

i (y )

D 2 1 exp D 2 1 ) A , | , y ( f θ π β θ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

2

) ( 2 1 exp 2

1 θ β

π T i i x A A

untuk yi = (y1, y2,...,ym)T dan θi = (θ1,θ2,...,θm)T.

(12)

Lihat dua fungsi eksponensial tanpa faktor (-1/2) dari f(yi, θi |β, A),

2 2 ) ( 1 ) (

1 θ θ Tβ i i i i i x A y

D − + −

) ) ( 2 ( 1 ) 2 (

1 2 θ θ2 θ2 θ β Tβ 2

i T i i i i i i i i x x A y y

D − + + − +

= * i i T i i i 2 i i a A x D y 2 A 1 D 1 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β θ * i i T i i i i T i i i i T i i i i 2 i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y 2 A 1 D 1 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = β β β θ θ * i 2 i T i i i i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β

dengan ai* adalah konstanta dan bebas dari θi.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + Ν −1 1 1 , ~ ) , , | ( A D D A x D Ay A y i i T i i i i i β β θ

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + + Ν i i T i i i T i D A AD β x y D A Α β x , ~ ) A , , y | (θi i β

Berdasarkan formula tersebut diperoleh suatu penduga:

Β

i

θ

ˆ

= E (θi | yi, β, A) = xiTβ

+ (1 – BBi)(yi - xi

Tβ

), dengan Bi = Di / (A + Di)

MSE(θˆiΒ )= Var (θi | yi, β, A) = ADi / (A + Di ) Parameter A pada formula diatas dapat diduga dengan metode momen, minimum variance quadratic unbiased estimation

(MIVQUE), maximum likelihood (ML), atau

restricted/residual maximum likelihood

(REML). Sedangkan parameter β dapat diduga dengan metode momen ataupun weighted least

square (WLS).

Jika A dan β diduga, maka akan diperoleh suatu penduga empirical Bayes:

(

)

(

β

)

β

θˆ ˆ 1 ˆ T ˆ

i i i i

i = x + −Β yx

Τ

ΕΒ ,

dengan Βˆi =Di/(Αˆ+Di)

Berdasarkan metode Bayes, diperoleh: MSE(θˆiΕΒ) = Var (θi |yi,βˆ ˆ,Α) =

(

)

i i/Aˆ D

D Aˆ +

Penduga MSE tersebut menjadi bersifat

underestimate karena adanya pendugaan pada

nilai A dan β. Hal tersebut dapat dikoreksi dengan menggunakan pendekatan jackknife

(Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002) maupun dengan pendekatan bootstrap (Butar dan Lahiri (2003) dalam Rao (2003)). Penelitian ini menggunakan metode jackknife untuk mengoreksi MSE tersebut.

Pendekatan Jackknife dalam Pendugaan MSE( ΕΒ)

i

θˆ

Pendekatan jackknife merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam survei karena konsepnya yang sederhana (Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002). Metode ini diperkenalkan oleh Tukey (1958) dan berkembang menjadi suatu metode yang dapat mengoreksi bias suatu penduga. Prosedur yang dilakukan yaitu dengan menghapus observasi ke-i untuk i = 1,2,...,m dan selanjutnya melakukan pendugaan parameter.

Small area estimation menerapkan metode

jackknife untuk mengoreksi pendugaan MSE

akibat adanya pendugaan β dan A, dengan: MSE( Β) = AD

i

θˆ i / (A + Di ) = g1i(A) dimana A

diduga oleh s2v (Kurnia dan Notodiputro,

2006a). Tahapan-tahapan untuk menghitung MSEJ(θˆiΕΒ) adalah sebagai berikut:

1.Hitung nilai h1i dengan rumus:

( )

[

(

) (

]

= − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = m 1 u 2 v i 1 2 ) u ( v i 1 2 v i 1 i

1 g s g s

m 1 m s g h

)

dimana g1i(s2v(-u)) diperoleh dengan

menghapus pengamatan ke-u pada himpunan data g1i(s2v).

2.Hitung nilai h2i dengan rumus:

( ) ( )

[

]

2

1 ) (

2 ˆ ˆ

1

= ΕΒ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m u EB i u i i m m

h θ θ

dimana ( ) diperoleh dengan menghapus

pengamatan ke-u pada himpunan data .

( ) ΕΒ −u i θˆ ΕΒ i θˆ

3.Hitung nilai MSE: MSEJ(θˆiΕΒ) = h1i + h2i

BAHAN DAN METODE

Bahan

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data SUSENAS 2003 dengan informasi data berbasis rumah tangga serta PODES 2003 sebagai sumber data peubah pendukung .

Peubah respon yang menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor. Peubah pendukung xi yang

diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu,

x1 = persentase keluarga prasejahtera dan

sejahtera 1

x2 = persentase keluarga pengguna listrik

PLN

x3 = persentase surat miskin yang

(13)

Metode

Tahapan-tahapan pada penelitian ini adalah: 1.Memilih peubah pendukung xi yang

diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita berdasarkan eksplorasi data serta penelitian-penelitian sebelumnya.

2.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa secara langsung (direct estimation).

3.Melakukan pendugaan A dan β dengan metode momen.

4.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa dengan metode empirical Bayes (θˆiΕΒ). 5.Menghitung MSEJ( ) dengan konsep

jackknife menggunakan proc IML pada SAS

9.1.

ΕΒ

i

θˆ

6.Membandingkan nilai RRMSE pendugaan langsung dan nilai RRMSEJ( ), dengan

perhitungan RRMSE sebagai berikut: ΕΒ

i

θˆ

( )

( )

100%

ˆ ˆ MSE ˆ

RRMSE

i i

i = ×

θ θ θ

Software yang digunakan adalah Minitab

14, Microsoft Excell dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Eksplorasi Data

Eksplorasi untuk masing-masing peubah dilakukan dengan menggunakan scatterplot,

boxplot, dan nilai korelasi Pearson yang tersaji

pada Lampiran 1. Scatterplot data menunjukkan bahwa desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga pengguna listrik dan jumlah penduduk yang besar pula. Selain itu, desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga prasejahtera dan sejahtera 1 serta persentase surat miskin yang dikeluarkan desa kecil. Nilai korelasi Pearson yang dihasilkan juga sesuai dengan hasil scatterplot.

Boxplot digunakan untuk mengetahui

ukuran pemusatan data. Boxplot untuk peubah x1, x2, dan x4 menunjukkan bahwa tidak ada

data yang jauh dari kumpulan data, sedangkan pada peubah x3 ada satu data yang agak jauh

dari kumpulan data.

Berdasarkan eksplorasi data yang telah dilakukan, terlihat bahwa hasilnya sesuai dengan logika. Peubah tersebut juga digunakan dalam penelitian sebelumnya pada skripsi

(Dewi, 2006). Berdasar alasan-alasan di atas, peubah x1, x2, x3, dan x4 cukup sesuai

digunakan untuk menggambarkan pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor.

Pendugaan Langsung

Hasil yang didapatkan dari pendugaan langsung pengeluaran per kapita yaitu besarnya pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor dan nilai simpangan bakunya. Jumlah desa/kelurahan yang diamati adalah 34 desa/kelurahan yang ada di Kota Bogor.

Nilai ragam sampling error (Di) yang

menjadi perhatian diduga oleh si2/ni yang

merupakan rasio antara ragam di dalam area dengan banyaknya contoh. Nilai Di dapat

dihitung dari hasil pendugaan langsung. Hasil pendugaan langsung dan nilai ragam sampling

error (Di) dapat dilihat pada Lampiran 2.

Pendugaan langsung pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa kelurahan/desa di Kota Bogor dilakukan berdasarkan data survei dengan objek survei sebanyak 16 rumah tangga untuk masing-masing desa, kecuali untuk desa Sukadamai sebesar 15 rumah tangga. Jumlah tersebut termasuk kecil untuk merepresentasikan seluruh rumah tangga pada masing-masing desa, sehingga memberikan hasil dugaan dengan ragam yang besar.

Penelitian sebelumnya (Dewi, 2006) menggunakan prosedur proc tabulate pada SAS 9.1 untuk menghitung pengeluaran per kapita, menggunakan lima peubah pendukung, dan menggunakan metode REML untuk menduga parameter A dan β. Perbedaan penelitian ini dengan penelitian tersebut adalah perhitungan pengeluaran per kapita menggunakan rumus sebagai berikut:

16 ,..., 2 , 1 j ; q p y

j

j =

=

dimana;

y = pengeluaran per kapita suatu desa

p

j= jumlah pengeluaran seluruh rumah tangga contoh selama sebulan

q

j= jumlah seluruh anggota rumah tangga contoh

Penelitian ini hanya menggunakan empat peubah pendukung, menggunakan metode momen untuk menduga parameter A dan β, dan menambahkan pendugaan pengeluaran per kapita untuk desa-desa di Kota Bogor yang tidak disurvei.

(14)

Pendugaan Tidak Langsung Nilai dugaan beta yang diperoleh tidak bertentangan dengan hasil eksplorasi. Tanda positif (+) dan negatif (-) pada dugaan koefisien regresi sama dengan tanda pada nilai korelasi Pearson.

Nilai dugaan ragam pengaruh acak (keragaman antar desa) yang diperoleh dengan metode momen yaitu =100.6987, sedangkan nilai dugaan beta ( ) tersaji pada Tabel 1.

Αˆ

βˆ

Tabel 1. Hasil Pendugaan Beta

xi Beta Ragam Beta Duga

x0 -1.6806 2.57072

x1 -0.3473 5.59824

x2 0.3290 2.04967

x3 -0.2830 40.18948

x4 0.0015 0.00004

Pendugaan tidak langsung pada area kecil dalam penelitian ini menggunakan metode

empirical Bayes dengan pendekatan jackknife.

Software yang digunakan adalah SAS 9.1

dengan prosedur proc IML. Hasil perbandingan pendugaan langsung dan tidak langsung pada pengeluaran per kapita beberapa desa di Kota Bogor tersaji pada Tabel 2.

Tabel 2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan pendekatan EB - jackknife beserta nilai RRMSE (%)

Pendugaan Langsung EB - Jackknife

(15)

Pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing desa dengan pendugaan tidak langsung tidak berbeda jauh nilainya dengan hasil pendugaan langsung. Ada beberapa desa yang mempunyai nilai dugaan pengeluaran per kapita sangat besar dibanding desa yang lain yaitu Katulampa, Baranangsiang, Tegal Lega, Sempur, dan Kebon Pedes. Desa-desa tersebut merupakan desa dengan sumber utama penghasilan penduduknya adalah industri, perdagangan, dan jasa. Sebagian besar penduduknya juga sudah berlangganan telepon, menggunakan bahan bakar gas untuk memasak, dan sumber air untuk minum/memasak bersumber dari PAM/air kemasan dan sumur. Beberapa desa letaknya dekat dengan pusat kota, mempunyai perguruan tinggi/akademi, dan fasilitas pendidikannya cukup memadai. Berdasarkan pada karakteristik-karakteristik tersebut, desa-desa dengan nilai dugaan pengeluaran per kapita yang besar dapat digolongkan sebagai desa yang cukup maju dibandingkan desa-desa yang lain.

Nilai MSE ( ) yang diperoleh dengan pendekatan jackknife sangat beragam dengan jangkauan nilai yang cukup besar. Perbandingan nilai MSE pendugaan langsung dan MSE EB-jackknife terdapat pada Tabel 2.

Boxplot perbandingan nilai MSE dari hasil

pendugaan langsung (MSE_n) dan MSE

EB-jackknife (MSE_j) tersaji pada Gambar 1.

ΕΒ

i

θˆ

D

a

ta

MSE_j MSE_n

60 50 40 30 20 10 0

Boxplot

Gambar 1. Boxplot nilai MSEJ(θˆiΕΒ)

Semua nilai MSE untuk metode empirical

Bayes lebih kecil daripada nilai MSE pada

pendugaan langsung. Bahkan terdapat beberapa desa dengan nilai MSE EB-jackknife jauh lebih kecil dari nilai MSE pendugaan langsung. Beberapa desa masih memiliki nilai MSEJ( ) yang cukup besar, di atas 20, yaitu

desa Bantarjati, Sempur, Kebon Pedes, Kedungbadak, Sukadamai, dan Kayumanis. Hal ini terjadi karena nilai ragam sampling

error (D

ΕΒ

i

θˆ

i) pada desa-desa tersebut juga besar.

Perbandingan beberapa statistik untuk MSE dari hasil pendugaan langsung dan MSE

EB-jackknife terdapat pada Tabel 3.

Tabel 3. Perbandingan statistik MSE

Statistik MSE

Pendugaan Langsung

EB -

jackknife

Nilai minimum 0.9293 0.9205 Nilai maksimum 55.4564 32.1790

Rataan 11.3110 8.7729

Q1 2.1552 2.1183

Median 5.2898 4.9899

Q3 11.4743 10.4765

Jangkauan 54.5271 31.2585

Evaluasi hasil pendugaan langsung dan tidak langsung dapat diketahui dengan membandingkan nilai RRMSE keduanya. Nilai RRMSE untuk metode EB-jackknife secara umum lebih kecil daripada nilai RRMSE pada pendugaan langsung, kecuali untuk desa/kelurahan Baranangsiang dan Tegal Lega. Hal ini menunjukkan bahwa pendugaan tidak langsung menggunakan metode EB-jackknife

dapat memperbaiki hasil pendugaan langsung. Hasil tersebut juga memperlihatkan bahwa

small area estimation baik digunakan untuk

pendugaan parameter pada level desa/kelurahan yang memiliki ukuran contoh kecil (15 dan 16 rumah tangga) dengan nilai keragaman antar desa yang besar.

Ada beberapa desa di Kota Bogor yang tidak disurvei pada SUSENAS 2003. Konsep penduga sintetik dapat digunakan untuk menduga pengeluaran per kapita desa-desa yang tidak disurvei tersebut, dengan asumsi perilaku antar desa di Kota Bogor sama (nilai

sama). Nilai harapan dari model small area adalah x

βˆ

iTβ, sehingga pengeluaran per kapita

dihitung dengan rumus:

β

ˆ

x

T

i

i

=

Sedangkan rumus pendugaan MSE adalah:

( )

( )

(

pi

4

0 p

2 pi T

i

i Var x ˆ x Var ˆ

MSE β

β

= =

=

)

Hasil pendugaan pengeluaran per kapita untuk desa-desa yang tidak disurvei terdapat pada Lampiran 3.

Kajian lebih lanjut diperlukan untuk penyelesaian pendugaan area kecil dengan berbagai metode terutama dalam penerapannya pada data BPS. Pemilihan peubah pendukung pada pendugaan tidak langsung sangat penting untuk mendapatkan model yang sesuai. Peubah pendukung yang dipilih sebaiknya benar-benar berkaitan dengan peubah respon, sesuai dengan logika yang telah ada dan dapat menggambarkan peubah respon dengan baik.

(16)

KESIMPULAN

Jiang, J., Lahiri, P., dan Wan. S. M. 2002. A Unified Jackknife Theory, Annals of Statistics, 30.

Pendugaan tidak langsung pada area kecil menggunakan metode empirical Bayes dengan pendekatan jackknife memiliki presisi yang baik dalam menduga pengeluaran per kapita rumah tangga di Kota Bogor. Pendugaan tidak langsung tersebut mampu memperbaiki nilai RRMSE pendugaan langsung meskipun kondisi datanya memiliki ragam sampling

error yang heterogen dan keragaman antar desa

yang besar. Namun demikian, masih ada nilai RRMSE pendugaan tidak langsung yang lebih besar dari nilai RRMSE pendugaan langsung.

Kurnia, A. dan Notodiputro, K.A. 2006a. Penggunaan Metode Jackknife dalam Pendugaan Area Kecil. Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Matematika. UNPAD Bandung, 22 April 2006.

Kurnia, A. dan Notodiputro, K.A. 2006b. EB-EBLUP MSE Estimator on Small Area Estimation with Application to BPS Data. Paper presented in International Conference on Mathematical Sciences 1. Bandung 19-21 June 2006.

DAFTAR PUSTAKA

Longford, N. T. 2005. Missing Data and Small Area Estimation : Modern Analytical

Equipment for the Survey Statistician. New

York : Springer Science + Business Media, Inc.

Badan Pusat Statistik. 2003.http://www.bps. go.id/publikasi/2003[ Agustus 15, 2007]

Dewi, L. 2006. Penerapan Metode Empirical Bayes pada Model Small Area Estimation dalam Pendugaan Pengeluaran Per Kapita

di Kota Bogor [skripsi]. Bogor: Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation. New Jersey: John Willey & Sons, Inc.

Saei, A. dan Chambers. 2003. Small Area Estimation : A Review of Methods Based on the application of Mixed Models. S3RI Methodologi Working Paper M03/16. University of Southampton, UK.

(17)
(18)

Lampiran 1. Scatterplot, boxplot, dan nilai korelasi peubah-peubah pendukung (xi)

p

e

n

g

e

lu

a

ra

n

p

e

r

k

a

p

it

a

60 45 30 15

0 20 40 60 80 100

1000000

800000

600000

400000

200000

20 15 10

5 0

1000000

800000

600000

400000

200000

25000 20000

15000 10000

5000

x1 x2

x3 x4

Scatterplot

60

45

30

15

0

100

80

60

40

20

20

15

10

5

0

25000

20000

15000

10000

5000

x1 x2

x3 x4

Boxplot

Korelasi xi dengan pengeluaran per kapita: rx1 = -0.264

(19)

Lampiran 2. Pendugaan langsung pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) beserta nilai Di

Desa Nama Desa N Pengeluaran

per kapita StDev Di

1002 PAMOYANAN 16 19.1191 3.8561 0.9293

1009 MUARASARI 16 17.9906 6.0587 2.2942

1011 CIPAKU 16 21.4518 5.9392 2.2046

1013 BATU TULIS 16 31.3429 8.0474 4.0476

1015 EMPANG 16 25.2997 11.3375 8.0337

1016 CIKARET 16 22.1055 5.3560 1.7929

2002 SINDANGRASA 16 15.9537 6.7887 2.8804

2004 KATULAMPA 16 83.1377 12.2372 9.3593

2005 BARANANGSIANG 16 90.7744 15.7357 15.4758

2006 SUKASARI 16 22.2171 4.6170 1.3323

3001 BANTARJATI 16 37.4703 25.2878 39.9670

3002 TEGALGUNDIL 16 15.6954 5.6665 2.0068

3004 CIMAHPAR 16 19.7865 12.7468 10.1551

3006 CIBULUH 16 33.3486 10.0535 6.3171

3007 KEDUNGHALANG 16 32.2212 9.3247 5.4344

3008 CIPARIGI 16 29.2072 13.0182 10.5921

4002 GUDANG 16 19.3093 6.2110 2.4111

4004 TEGAL LEGA 16 70.2715 15.0310 14.1207

4006 SEMPUR 16 62.9482 27.6476 47.7744

4010 KEBON KELAPA 16 19.2118 9.0731 5.1451

5002 PASIR KUDA 16 23.5635 4.1460 1.0743

5003 PASIR JAYA 16 22.9930 7.8757 3.8767

5004 GUNUNG BATU 16 22.3138 4.4016 1.2109

5006 MENTENG 16 25.4122 11.7737 8.6638

5008 CILENDEK BARAT 16 17.3314 4.4973 1.2641 5009 SINDANGBARANG 16 25.2394 10.6514 7.0908

5015 CURUGMEKAR 16 33.1897 11.9179 8.8772

6001 KEDUNGWARINGIN 16 40.3853 7.8757 3.8766 6003 KEBON PEDES 16 63.9131 20.3510 25.8852

6004 TANAH SAREAL 16 25.0582 8.9324 4.9867

6005 KEDUNGBADAK 16 31.1814 19.8307 24.5786

6007 SUKADAMAI 15 26.8992 25.7414 44.1745

6009 KAYUMANIS 16 36.9552 29.7876 55.4564

(20)

Lampiran 3. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) untuk desa yang tidak disurvei beserta nilai RRMSE (%)

Nama Desa

Pengeluaran

per Kapita MSE RRMSE

MULYAHARJA 31.9639 2.7144 5.1544

RANGGAMEKAR 33.4561 3.0821 5.2475

GENTENG 22.1764 3.4638 8.3924

BOJONGKERTA 29.0968 2.7861 5.7366

HARJASARI 33.4401 2.5359 4.7621

PAKUAN 19.3847 4.2761 10.6680

LAWANG GINTUNG 27.6699 1.0697 3.7378

BONDONGAN 33.6287 3.3373 5.4323

SINDANG SARI 29.4229 3.2154 6.0944

TAJUR 28.0761 2.5875 5.7293

TANAH BARU 45.8028 3.2873 3.9585

CILUAR 18.3914 1.9703 7.6322

PALEDANG 34.1114 2.3757 4.5185

BABAKAN PASAR 23.0592 2.9059 7.3925

BABAKAN 26.5659 1.6324 4.8093

PABATON 23.3994 1.8963 5.8850

CIBOGOR 25.6134 1.7711 5.1958

PANARAGAN 14.6340 2.6196 11.0599

CIWARINGIN 36.4841 2.1587 4.0271

PASIR MULYA 22.3987 2.1103 6.4856

LOJI 29.8252 3.2767 6.0692

CILENDEK TIMUR 26.6234 3.5175 7.0446

MARGAJAYA 30.3393 2.4968 5.2081

BALUMBANG JAYA 26.0864 2.9556 6.5904

BUBULAK 22.2129 1.5797 5.6582

SEMPLAK 17.5101 4.5532 12.1860

CURUG 29.7435 2.8444 5.6702

KEDUNGJAYA 30.4747 2.8173 5.5078

SUKARESMI 30.8295 3.1219 5.7312

CIBADAK 37.3416 3.2635 4.8378

(21)

(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)

ARTA YUNITA

G14103014

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(22)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dewasa ini permintaan akan statistik area kecil (small area statistics) semakin meningkat dalam berbagai bidang. Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi-informasi pada area kecil, misalnya pada lingkup kabupaten/kota, kecamatan, maupun kelurahan/desa. Informasi tersebut menjadi sangat penting seiring dengan berkembangnya era otonomi daerah di Indonesia karena dapat digunakan sebagai acuan menyusun sistem perencanaan, pemantauan, dan kebijakan daerah lainnya tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus dikembangkan untuk menduga statistik area kecil adalah pendugaan area kecil (small area

estimation).

Pendugaan secara langsung (direct

estimation) pada area kecil akan menghasilkan

nilai ragam yang besar jika contoh yang diambil berasal dari data survei yang dirancang untuk skala besar/nasional. Hal ini disebabkan oleh ukuran contoh yang terambil pada area tersebut kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung dalam menduga parameter. Peubah pendukung tersebut berupa informasi dari area lain yang serupa, survei terdahulu pada area yang sama, atau peubah lain yang berhubungan dengan peubah yang ingin diduga.

Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung dapat diketahui dengan membandingkan nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) pendugaan langsung dengan nilai RRMSE pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung untuk area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Metode yang digunakan untuk menduga pengeluaran per kapita tersebut adalah metode empirical

Bayes dengan pendekatan jackknife untuk

menghitung MSE.

Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1.Mengkaji metode empirical Bayes pada pendugaan area kecil.

2.Menerapkan metode empirical Bayes untuk menduga pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003.

TINJAUAN PUSTAKA

Pengeluaran Per Kapita

Pengeluaran per kapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS, 2003). Pengertian rumah tangga yang dimaksud pada definisi di atas yaitu sekelompok orang yang mendiami sebagian atau seluruh bangunan fisik dan biasanya tinggal bersama serta makan dari satu dapur (BPS, 2003). Satu rumah tangga bisa terdiri dari satu, dua, atau lebih kepala keluarga.

Perhitungan pengeluaran per kapita dirumuskan sebagai berikut:

q p y =

dimana;

y = pengeluaran per kapita

p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga

Pendugaan Area Kecil

Pendugaan area kecil saat ini sangat umum digunakan dalam survey sampling, dimana banyak metode analisis data telah dikemukakan dalam beberapa literatur. Area kecil (small area) diartikan sebagai bagian dari wilayah populasi (small domain) baik berdasarkan geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang lainnya (Rao, 2003). Suatu daerah disebut

small area jika dalam daerah tersebut jumlah

contoh yang terambil kurang besar untuk mendapatkan nilai pendugaan langsung yang akurat. Nilai pendugaan langsung pada area kecil merupakan penduga tak bias tetapi memiliki ragam yang besar karena diperoleh dari ukuran contoh yang kecil (Ramsini et.al

(2001) dalam Kurnia dan Notodiputro (2006b)).

Metode pendugaan yang dapat digunakan untuk mendapatkan pendugaan area kecil yaitu pendugaan langsung dan pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung (indirect

estimation) dilakukan dengan cara

memanfaatkan informasi peubah lain yang berhubungan dengan parameter yang diamati. Contoh informasi yang dapat digunakan adalah catatan sensus ataupun survei pada area tersebut. Ada beberapa metode pada pendugaan tidak langsung untuk area kecil antara lain EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased

Prediction), EB (Empirical Bayes), dan HB

(23)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dewasa ini permintaan akan statistik area kecil (small area statistics) semakin meningkat dalam berbagai bidang. Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi-informasi pada area kecil, misalnya pada lingkup kabupaten/kota, kecamatan, maupun kelurahan/desa. Informasi tersebut menjadi sangat penting seiring dengan berkembangnya era otonomi daerah di Indonesia karena dapat digunakan sebagai acuan menyusun sistem perencanaan, pemantauan, dan kebijakan daerah lainnya tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus dikembangkan untuk menduga statistik area kecil adalah pendugaan area kecil (small area

estimation).

Pendugaan secara langsung (direct

estimation) pada area kecil akan menghasilkan

nilai ragam yang besar jika contoh yang diambil berasal dari data survei yang dirancang untuk skala besar/nasional. Hal ini disebabkan oleh ukuran contoh yang terambil pada area tersebut kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung dalam menduga parameter. Peubah pendukung tersebut berupa informasi dari area lain yang serupa, survei terdahulu pada area yang sama, atau peubah lain yang berhubungan dengan peubah yang ingin diduga.

Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung dapat diketahui dengan membandingkan nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) pendugaan langsung dengan nilai RRMSE pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung untuk area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Metode yang digunakan untuk menduga pengeluaran per kapita tersebut adalah metode empirical

Bayes dengan pendekatan jackknife untuk

menghitung MSE.

Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1.Mengkaji metode empirical Bayes pada pendugaan area kecil.

2.Menerapkan metode empirical Bayes untuk menduga pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003.

TINJAUAN PUSTAKA

Pengeluaran Per Kapita

Pengeluaran per kapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS, 2003). Pengertian rumah tangga yang dimaksud pada definisi di atas yaitu sekelompok orang yang mendiami sebagian atau seluruh bangunan fisik dan biasanya tinggal bersama serta makan dari satu dapur (BPS, 2003). Satu rumah tangga bisa terdiri dari satu, dua, atau lebih kepala keluarga.

Perhitungan pengeluaran per kapita dirumuskan sebagai berikut:

q p y =

dimana;

y = pengeluaran per kapita

p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga

Pendugaan Area Kecil

Pendugaan area kecil saat ini sangat umum digunakan dalam survey sampling, dimana banyak metode analisis data telah dikemukakan dalam beberapa literatur. Area kecil (small area) diartikan sebagai bagian dari wilayah populasi (small domain) baik berdasarkan geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang lainnya (Rao, 2003). Suatu daerah disebut

small area jika dalam daerah tersebut jumlah

contoh yang terambil kurang besar untuk mendapatkan nilai pendugaan langsung yang akurat. Nilai pendugaan langsung pada area kecil merupakan penduga tak bias tetapi memiliki ragam yang besar karena diperoleh dari ukuran contoh yang kecil (Ramsini et.al

(2001) dalam Kurnia dan Notodiputro (2006b)).

Metode pendugaan yang dapat digunakan untuk mendapatkan pendugaan area kecil yaitu pendugaan langsung dan pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung (indirect

estimation) dilakukan dengan cara

memanfaatkan informasi peubah lain yang berhubungan dengan parameter yang diamati. Contoh informasi yang dapat digunakan adalah catatan sensus ataupun survei pada area tersebut. Ada beberapa metode pada pendugaan tidak langsung untuk area kecil antara lain EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased

Prediction), EB (Empirical Bayes), dan HB

(Hierarchical Bayes).

(24)

Small area estimation merupakan pendugaan suatu area yang lebih kecil dengan memanfaatkan informasi dari luar area, informasi dari dalam area itu sendiri, dan dari luar survei (Longford, 2005). Pendugaan secara tidak langsung pada small area estimation

mempunyai beberapa keuntungan, yaitu mendapatkan penduga optimal, memperoleh model valid yang berasal dari data contoh, serta dapat menjelaskan berbagai macam model berdasar pada respon alami suatu peubah dan kekomplekan struktur data (Rao, 2003).

Penduga Sintetik

Penduga sintetik merupakan penduga tak bias yang diperoleh dari sebuah survei contoh untuk area yang besar, ketika penduga ini digunakan sebagai penduga untuk sub-area (area yang lebih kecil) dengan mengasumsikan bahwa sub-area tersebut memiliki karakteristik yang sama dengan area besar (Gonzales (1973) dalam Ghosh dan Rao (1994)). Metode ini cocok digunakan untuk semua desain sampling.

Penduga sintetik pada pendugaan area kecil dapat digunakan untuk menduga nilai respon pada sub-area yang tidak disurvei. Penduga sintetik dapat memberikan dugaan dengan memanfaatkan informasi dari area kecil lain yang diasumsikan mirip dengan area kecil yang akan diduga.

Model Area Kecil

Pendugaan area kecil terdiri atas dua jenis model dasar yaitu basic area level model dan

basic unit level model (Rao, 2003).

a. Basic area level (type A) model yaitu model

yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i,…,xpi)T dan

parameter yang akan diduga θi, diasumsikan mempunyai hubungan dengan xi. Data

pendukung tersebut digunakan untuk membangun model: θi = xiT β + bivi ,

i =1,…,m dengan v

(ii) θ

i ~ N(0, σ2v), sebagai

pengaruh acak yang diasumsikan normal. Kesimpulan mengenai θi, dapat diketahui

dengan mengasumsikan bahwa model penduga langsung yi telah tersedia yaitu:

yi = θi + ei , i =1,…,m dengan sampling error ei ~N(0, σ2ei) dan σ2ei diketahui.

Pada akhirnya, kedua model digabungkan dan menghasilkan model gabungan:

yi= xiT β + bivi + ei , i =1,…,m dimana bi

diketahui bernilai positif konstan (diasumsikan bernilai 1).

Model tersebut merupakan bentuk khusus dari model linier campuran (general linear

mixed model) yang terdiri dari pengaruh

tetap (fixed effect) yaitu β dan pengaruh acak

(random effect) yaitu vi (Saei dan Chambers,

2003).

b. Basic unit level (type B) model yaitu suatu

model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misal xij = (xij1,...,xijp)T, sehingga

dapat dibuat suatu model regresi tersarang yij = xijTβ + vi + eij; i=1,…,m dan j=1,...,Ni

dengan vi ~N(0, σ2v) dan ei ~N(0, σ2ei).

Penelitian ini menggunakan model basic area

level (type A) karena data pendukungnya hanya

ada untuk level area tertentu yaitu pada level desa.

Metode Empirical Bayes

Metode empirical Bayes (EB) merupakan salah satu pendekatan yang dapat digunakan pada pendugaan area kecil. Hal pertama yang ingin didapatkan pada metode Bayes adalah sebaran posterior untuk parameter yang diamati yang dinotasikan f (θi |yi, β, σ2v), dengan asumsi β dan σ2v diketahui. Sedangkan pada metode

EB, inferensia yang diperoleh berdasar pada dugaan sebaran posterior dari θi dengan memasukkan nilai dugaan β dan σ2v yaitu

f(θi|yi,βˆ,σˆv2).

Model Fay dan Heriot (1979) untuk model

basic area level adalah:

yi= xiTβ+ vi + ei

dimana vi ~N(0, σ2v) dan ei ~N(0, σ2ei), vi dan

ei saling bebas. β dan σ2v tidak diketahui

sedangkan σ2ei diasumsikan diketahui (Kurnia

dan Notodiputro, 2006b).

Misal σ2v dan σ2ei disimbolkan dengan A

dan Di, selanjutnya merupakan penduga

Bayes untuk θ Β

i

θˆ

i, dengan mengikuti model

Bayes:

(i) yi|θi ~N(θi, Di)

i ~ N(xiTβ, A) adalah sebaran prior

untuk θi, i=1,2,...,m.

Model Bayes dijelaskan oleh:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 i i i i

i (y )

Di 2 1 exp D 2 1 ) | y ( f θ π

θ dan

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ) ( 2 1 exp 2 1 ) ( θ β π θ π T i i i x A A dan

= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = m 1 i 2 i i i i i

i (y )

D 2 1 exp D 2 1 ) A , | , y ( f θ π β θ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

2

) ( 2 1 exp 2

1 θ β

π T i i x A A

(25)

Lihat dua fungsi eksponensial tanpa faktor (-1/2) dari f(yi, θi |β, A),

2 2 ) ( 1 ) (

1 θ θ Tβ i i i i i x A y

D − + −

) ) ( 2 ( 1 ) 2 (

1 2 θ θ2 θ2 θ β Tβ 2

i T i i i i i i i i x x A y y

D − + + − +

= * i i T i i i 2 i i a A x D y 2 A 1 D 1 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β θ * i i T i i i i T i i i i T i i i i 2 i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y 2 A 1 D 1 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = β β β θ θ * i 2 i T i i i i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β

dengan ai* adalah konstanta dan bebas dari θi.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + Ν −1 1 1 , ~ ) , , | ( A D D A x D Ay A y i i T i i i i i β β θ

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + + Ν i i T i i i T i D A AD β x y D A Α β x , ~ ) A , , y | (θi i β

Berdasarkan formula tersebut diperoleh suatu penduga:

Β

i

θ

ˆ

= E (θi | yi, β, A) = xiTβ

+ (1 – BBi)(yi - xi

Tβ

), dengan Bi = Di / (A + Di)

MSE(θˆiΒ )= Var (θi | yi, β, A) = ADi / (A + Di ) Parameter A pada formula diatas dapat diduga dengan metode momen, minimum variance quadratic unbiased estimation

(MIVQUE), maximum likelihood (ML), atau

restricted/residual maximum likelihood

(REML). Sedangkan parameter β dapat diduga dengan metode momen ataupun weighted least

square (WLS).

Jika A dan β diduga, maka akan diperoleh suatu penduga empirical Bayes:

(

)

(

β

)

β

θˆ ˆ 1 ˆ T ˆ

i i i i

i = x + −Β yx

Τ

ΕΒ ,

dengan Βˆi =Di/(Αˆ+Di)

Berdasarkan metode Bayes, diperoleh: MSE(θˆiΕΒ) = Var (θi |yi,βˆ ˆ,Α) =

(

)

i i/Aˆ D

D Aˆ +

Penduga MSE tersebut menjadi bersifat

underestimate karena adanya pendugaan pada

nilai A dan β. Hal tersebut dapat dikoreksi dengan menggunakan pendekatan jackknife

(Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002) maupun dengan pendekatan bootstrap (Butar dan Lahiri (2003) dalam Rao (2003)). Penelitian ini menggunakan metode jackknife untuk mengoreksi MSE tersebut.

Pendekatan Jackknife dalam Pendugaan MSE( ΕΒ)

i

θˆ

Pendekatan jackknife merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam survei karena konsepnya yang sederhana (Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002). Metode ini diperkenalkan oleh Tukey (1958) dan berkembang menjadi suatu metode yang dapat mengoreksi bias suatu penduga. Prosedur yang dilakukan yaitu dengan menghapus observasi ke-i untuk i = 1,2,...,m dan selanjutnya melakukan pendugaan parameter.

Small area estimation menerapkan metode

jackknife untuk mengoreksi pendugaan MSE

akibat adanya pendugaan β dan A, dengan: MSE( Β) = AD

i

θˆ i / (A + Di ) = g1i(A) dimana A

diduga oleh s2v (Kurnia dan Notodiputro,

2006a). Tahapan-tahapan untuk menghitung MSEJ(θˆiΕΒ) adalah sebagai berikut:

1.Hitung nilai h1i dengan rumus:

( )

[

(

) (

]

= − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = m 1 u 2 v i 1 2 ) u ( v i 1 2 v i 1 i

1 g s g s

m 1 m s g h

)

dimana g1i(s2v(-u)) diperoleh dengan

menghapus pengamatan ke-u pada himpunan data g1i(s2v).

2.Hitung nilai h2i dengan rumus:

( ) ( )

[

]

2

1 ) (

2 ˆ ˆ

1

= ΕΒ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m u EB i u i i m m

h θ θ

dimana ( ) diperoleh dengan menghapus

pengamatan ke-u pada himpunan data .

( ) ΕΒ −u i θˆ ΕΒ i θˆ

3.Hitung nilai MSE: MSEJ(θˆiΕΒ) = h1i + h2i

BAHAN DAN METODE

Bahan

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data SUSENAS 2003 dengan informasi data berbasis rumah tangga serta PODES 2003 sebagai sumber data peubah pendukung .

Peubah respon yang menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor. Peubah pendukung xi yang

diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu,

x1 = persentase keluarga prasejahtera dan

sejahtera 1

x2 = persentase keluarga pengguna listrik

PLN

x3 = persentase surat miskin yang

dikeluarkan desa x4 = jumlah penduduk

(26)

Lihat dua fungsi eksponensial tanpa faktor (-1/2) dari f(yi, θi |β, A),

2 2 ) ( 1 ) (

1 θ θ Tβ i i i i i x A y

D − + −

) ) ( 2 ( 1 ) 2 (

1 2 θ θ2 θ2 θ β Tβ 2

i T i i i i i i i i x x A y y

D − + + − +

= * i i T i i i 2 i i a A x D y 2 A 1 D 1 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β θ * i i T i i i i T i i i i T i i i i 2 i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y 2 A 1 D 1 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = β β β θ θ * i 2 i T i i i i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β

dengan ai* adalah konstanta dan bebas dari θi.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + Ν −1 1 1 , ~ ) , , | ( A D D A x D Ay A y i i T i i i i i β β θ

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + + Ν i i T i i i T i D A AD β x y D A Α β x , ~ ) A , , y | (θi i β

Berdasarkan formula tersebut diperoleh suatu penduga:

Β

i

θ

ˆ

= E (θi | yi, β, A) = xiTβ

+ (1 – BBi)(yi - xi

Tβ

), dengan Bi = Di / (A + Di)

MSE(θˆiΒ )= Var (θi | yi, β, A) = ADi / (A + Di ) Parameter A pada formula diatas dapat diduga dengan metode momen, minimum variance quadratic unbiased estimation

(MIVQUE), maximum likelihood (ML), atau

restricted/residual maximum likelihood

(REML). Sedangkan parameter β dapat diduga dengan metode momen ataupun weighted least

square (WLS).

Jika A dan β diduga, maka akan diperoleh suatu penduga empirical Bayes:

(

)

(

β

)

β

θˆ ˆ 1 ˆ T ˆ

i i i i

i = x + −Β yx

Τ

ΕΒ ,

dengan Βˆi =Di/(Αˆ+Di)

Berdasarkan metode Bayes, diperoleh: MSE(θˆiΕΒ) = Var (θi |yi,βˆ ˆ,Α) =

(

)

i i/Aˆ D

D Aˆ +

Penduga MSE tersebut menjadi bersifat

underestimate karena adanya pendugaan pada

nilai A dan β. Hal tersebut dapat dikoreksi dengan menggunakan pendekatan jackknife

(Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002) maupun dengan pendekatan bootstrap (Butar dan Lahiri (2003) dalam Rao (2003)). Penelitian ini menggunakan metode jackknife untuk mengoreksi MSE tersebut.

Pendekatan Jackknife dalam Pendugaan MSE( ΕΒ)

i

θˆ

Pendekatan jackknife merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam survei karena konsepnya yang sederhana (Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002). Metode ini diperkenalkan oleh Tukey (1958) dan berkembang menjadi suatu metode yang dapat mengoreksi bias suatu penduga. Prosedur yang dilakukan yaitu dengan menghapus observasi ke-i untuk i = 1,2,...,m dan selanjutnya melakukan pendugaan parameter.

Small area estimation menerapkan metode

jackknife untuk mengoreksi pendugaan MSE

akibat adanya pendugaan β dan A, dengan: MSE( Β) = AD

i

θˆ i / (A + Di ) = g1i(A) dimana A

diduga oleh s2v (Kurnia dan Notodiputro,

2006a). Tahapan-tahapan untuk menghitung MSEJ(θˆiΕΒ) adalah sebagai berikut:

1.Hitung nilai h1i dengan rumus:

( )

[

(

) (

]

= − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = m 1 u 2 v i 1 2 ) u ( v i 1 2 v i 1 i

1 g s g s

m 1 m s g h

)

dimana g1i(s2v(-u)) diperoleh dengan

menghapus pengamatan ke-u pada himpunan data g1i(s2v).

2.Hitung nilai h2i dengan rumus:

( ) ( )

[

]

2

1 ) (

2 ˆ ˆ

1

= ΕΒ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m u EB i u i i m m

h θ θ

dimana ( ) diperoleh dengan menghapus

pengamatan ke-u pada himpunan data .

( ) ΕΒ −u i θˆ ΕΒ i θˆ

3.Hitung nilai MSE: MSEJ(θˆiΕΒ) = h1i + h2i

BAHAN DAN METODE

Bahan

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data SUSENAS 2003 dengan informasi data berbasis rumah tangga serta PODES 2003 sebagai sumber data peubah pendukung .

Peubah respon yang menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor. Peubah pendukung xi yang

diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu,

x1 = persentase keluarga prasejahtera dan

sejahtera 1

x2 = persentase keluarga pengguna listrik

PLN

x3 = persentase surat miskin yang

(27)

Metode

Tahapan-tahapan pada penelitian ini adalah: 1.Memilih peubah pendukung xi yang

diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita berdasarkan eksplorasi data serta penelitian-penelitian sebelumnya.

2.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa secara langsung (direct estimation).

3.Melakukan pendugaan A dan β dengan metode momen.

4.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa dengan metode empirical Bayes (θˆiΕΒ). 5.Menghitung MSEJ( ) dengan konsep

jackknife menggunakan proc IML pada SAS

9.1.

ΕΒ

i

θˆ

6.Membandingkan nilai RRMSE pendugaan langsung dan nilai RRMSEJ( ), dengan

perhitungan RRMSE sebagai berikut: ΕΒ

i

θˆ

( )

( )

100%

ˆ ˆ MSE ˆ

RRMSE

i i

i = ×

θ θ θ

Software yang digunakan adalah Minitab

14, Microsoft Excell dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Eksplorasi Data

Eksplorasi untuk masing-masing peubah dilakukan dengan menggunakan scatterplot,

boxplot, dan nilai korelasi Pearson yang tersaji

pada Lampiran 1. Scatterplot data menunjukkan bahwa desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga pengguna listrik dan jumlah penduduk yang besar pula. Selain itu, desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga prasejahtera dan sejahtera 1 serta persentase surat miskin yang dikeluarkan desa kecil. Nilai korelasi Pearson yang dihasilkan juga sesuai dengan hasil scatterplot.

Boxplot digunakan untuk mengetahui

ukuran pemusatan data. Boxplot untuk peubah x1, x2, dan x4 menunjukkan bahwa tidak ada

data yang jauh dari kumpulan data, sedangkan pada peubah x3 ada satu data yang agak jauh

dari kumpulan data.

Berdasarkan eksplorasi data yang telah dilakukan, terlihat bahwa hasilnya sesuai dengan logika. Peubah tersebut juga digunakan dalam penelitian sebelumnya pada skripsi

(Dewi, 2006). Berdasar alasan-alasan di atas, peubah x1, x2, x3, dan x4 cukup sesuai

digunakan untuk menggambarkan pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor.

Pendugaan Langsung

Hasil yang didapatkan dari pendugaan langsung pengeluaran per kapita yaitu besarnya pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor dan nilai simpangan bakunya. Jumlah desa/kelurahan yang diamati adalah 34 desa/kelurahan yang ada di Kota Bogor.

Nilai ragam sampling error (Di) yang

menjadi perhatian diduga oleh si2/ni yang

merupakan rasio antara ragam di dalam area dengan banyaknya contoh. Nilai Di dapat

dihitung dari hasil pendugaan langsung. Hasil pendugaan langsung dan nilai ragam sampling

error (Di) dapat dilihat pada Lampiran 2.

Pendugaan langsung pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa kelurahan/desa di Kota Bogor dilakukan berdasarkan data survei dengan objek survei sebanyak 16 rumah tangga untuk masing-masing desa, kecuali untuk desa Sukadamai sebesar 15 rumah tangga. Jumlah tersebut termasuk kecil untuk merepresentasikan seluruh rumah tangga pada masing-masing desa, sehingga memberikan hasil dugaan dengan ragam yang besar.

Penelitian sebelumnya (Dewi, 2006) menggunakan prosedur proc tabulate pada SAS 9.1 untuk menghitung pengeluaran per kapita, menggunakan lima peubah pendukung, dan menggunakan metode REML untuk menduga parameter A dan β. Perbedaan penelitian ini dengan penelitian tersebut adalah perhitungan pengeluaran per kapita menggunakan rumus sebagai berikut:

16 ,..., 2 , 1 j ; q p y

j

j =

=

dimana;

y = pengeluaran per kapita suatu desa

p

j= jumlah pengeluaran seluruh rumah tangga contoh selama sebulan

q

j= jumlah seluruh anggota rumah tangga contoh

Penelitian ini hanya menggunakan empat peubah pendukung, menggunakan metode momen untuk menduga parameter A dan β, dan menambahkan pendugaan pengeluaran per kapita untuk desa-desa di Kota Bogor yang tidak disurvei.

(28)

Metode

Tahapan-tahapan pada penelitian ini adalah: 1.Memilih peubah pendukung xi yang

diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita berdasarkan eksplorasi data serta penelitian-penelitian sebelumnya.

2.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa secara langsung (direct estimation).

3.Melakukan pendugaan A dan β dengan metode momen.

4.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa dengan metode empirical Bayes (θˆiΕΒ). 5.Menghitung MSEJ( ) dengan konsep

jackknife menggunakan proc IML pada SAS

9.1.

ΕΒ

i

θˆ

6.Membandingkan nilai RRMSE pendugaan langsung dan nilai RRMSEJ( ), dengan

perhitungan RRMSE sebagai berikut: ΕΒ

i

θˆ

( )

( )

100%

ˆ ˆ MSE ˆ

RRMSE

i i

i = ×

θ θ θ

Software yang digunakan adalah Minitab

14, Microsoft Excell dan SAS 9.1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Eksplorasi Data

Eksplorasi untuk masing-masing peubah dilakukan dengan menggunakan scatterplot,

boxplot, dan nilai korelasi Pearson yang tersaji

pada Lampiran 1. Scatterplot data menunjukkan bahwa desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga pengguna listrik dan jumlah penduduk yang besar pula. Selain itu, desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga prasejahtera dan sejahtera 1 serta persentase surat miskin yang dikeluarkan desa kecil. Nilai korelasi Pearson yang dihasilkan juga sesuai dengan hasil scatterplot.

Boxplot digunakan untuk mengetahui

ukuran pemusatan data. Boxplot untuk peubah x1, x2, dan x4 menunjukkan bahwa tidak ada

data yang jauh dari kumpulan data, sedangkan pada peubah x3 ada satu data yang agak jauh

dari kumpulan data.

Berdasarkan eksplorasi data yang telah dilakukan, terlihat bahwa hasilnya sesuai dengan logika. Peubah tersebut juga digunakan dalam penelitian sebelumnya pada skripsi

(Dewi, 2006). Berdasar alasan-alasan di atas, peubah x1, x2, x3, dan x4 cukup sesuai

digunakan untuk menggambarkan pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor.

Pendugaan Langsung

Hasil yang didapatkan dari pendugaan langsung pengeluaran per kapita yaitu besarnya pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor dan nilai simpangan bakunya. Jumlah desa/kelurahan yang diamati adalah 34 desa/kelurahan yang ada di Kota Bogor.

Nilai ragam sampling error (Di) yang

menjadi perhatian diduga oleh si2/ni yang

merupakan rasio antara ragam di dalam area dengan banyaknya contoh. Nilai Di dapat

dihitung dari hasil pendugaan langsung. Hasil pendugaan langsung dan nilai ragam sampling

error (Di) dapat dilihat pada Lampiran 2.

Pendugaan langsung pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa kelurahan/desa di Kota Bogor dilakukan berdasarkan data survei dengan objek survei sebanyak 16 rumah tangga untuk masin

Gambar

Tabel 2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan
Tabel 3. Perbandingan statistik MSE Pendugaan EB -
Tabel 2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan
Tabel 3. Perbandingan statistik MSE Pendugaan EB -

Referensi

Dokumen terkait

Dalam Peraturan Bank Indonesia Nomor: 7/7/PBI/2005 Tentang Penyelesaian Pengaduan Nasabah yang wajib dilaksanakan oleh seluruh bank, nasabah mengajukan permohonan penyelesaian

Untuk itu diperlukan adanya kerjasama dan komitmen organisasi profesi, institusi pendidikan keperawatan dan penyelenggara acara Sumpah Perawat serta pihak terkait dalam

[r]

Perhitungan ini dilakukan dengan menghitung jumlah energi listrik dan biaya pemakaian yang digunakan untuk menghasilkan tingkat pencahayaan yang standar pada

Proses penyetaraan yang direkomendasikan untuk mengatasi gap yang terjadi dilakukan secara berurut, mulai dari rekomendasi untuk pencapaian tingkat kematangan 2

Salah satu jenis olahan susu yaitu susu pasteurisasi yang merupakan susu yang telah mengalami proses pengolahan dengan cara pemanasan pada suhu tertentu dengan tujuan

Untuk memperoleh kepuasan kerja yang optimal pada seorang individu maka perlu dibutuhkan suatu kecerdasan emosional, sehingga tingkat stres fisiologis dan psikologis

Instrumen dikembangkan secara ad hoc, spesifik pada setting dan peneliti Data dalam bentuk kata- kata atau kesan yang bersumber dari dokumen, observasi, dan transkrip Teori