belajar matematika numerik

Metode Terbuka

Metode Terbuka

• _{Tidak memerlukan selang yang mengurung}

akar

• _{Hanya perlu tebakan awal akar sembarang} • _{Kadang konvergen namun kadang divergen} • _{Jika iterasi konvergen, konvergensinya akan}

Metode Iterasi Titik Tetap

Ide awal: mengubah persamaan nonlinear f(x) menjadi bentuk ekivalen x=g(x)

1

( ) ( ) 0 ( ) _r ( )_r

Metode Iterasi Titik Tetap

• _{Misalkan f(x)=0 diubah menjadi x=g(x).}

Jika g fungsi kontinu dan (xr) adalah

barisan yang dibangun dari iterasi xr+1=g(xr)

yang konvergen maka barisan (xr)

konvergen ke akar f(x)

• _{s disebut titik tetap dan g disebut iterator}

1

Metode Iterasi Titik Tetap

• _{Susun f(x)=0 menjadi persamaan x=g(x)}

menjadi prosedur iterasi

• _{Tebaklah sebuah nilai awal}

Latihan

• _{Tentukan akar dari}

dg menggunakan iterasi titik tetap dengan ε toleransi galat kurang dari 0.0001 dan

toleransi lebar selang kurang dari 0.001.

3 2

( ) 4 10

Kriteria Konvergensi

• _{Misalkan dalam selang I=[s-h,s+h], dengan s titik}

konvergen monoton konvergen berosilasi

• _{Meskipun menyatakan iterasi divergen dari}

suatu akar, namun iterasi mungkin konvergen ke akar yang lain.

r

x

Latihan

1. Tentukan akar dari

2

( ) 2 3

f x   x x 

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson

• _{Uraikan dengan deret Taylor}

Newton-Hal yang perlu diperhatikan

• _{Jika terjadi hitung kembali iterasi}

dengan yang lain

• _{Jika persamaan memiliki lebih dari}

satu akar maka pemilihan berbeda dapat menemukan akar yang lain

• _{Dapat terjadi iterasi konvergen ke akar}

Hal yang perlu diperhatikan

• _{Pembuatan grafik fungsi lokasi akar}

sejati

• _{Tebakan awal cukup dekat dengan akar}

Latihan

• _{Tentukan akar dari}

dg menggunakan metode newton raphson dengan ε toleransi galat relatif hampiran kurang dari 0.0001

3 2

( ) 4 10

Metode Secant

• _{Perbaikan metode Newton-Raphson} • _{Tidak semua fungsi dapat diturunkan}

• _{Turunan dihilangkan dengan mengganti}

ke bentuk lain yang ekivalen

• _{Metode ini disebut Metode Secant}

Latihan

• _{Tentukan akar dari}

dg menggunakan secant dengan ε

toleransi galat relatif hampiran kurang dari 0.0001

3 2

( ) 4 10