PENDEKODEAN KODE LINEAR BINER
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
RINGKASAN
ANSUFRI ID SAMBO. Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pcrbaikan Salu Kesalahan (Decoding Binary Linear Code with Single Error-Correcting). Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS, FARIDA HANUM dan SUGl GURITMAN.
Saat ini banyak orang mcnggunakan jasa telegram untuk mengirim pesan dari suatu tempat ke
tempat yang lain. Pcsan itu sebenarnya tidak Iangsung dikirim dalam bahasa aslinya melainkan terle-bih dahulu diubah ke dalam benluk kode (rangkaian angka-angka). Hal ini digunakan unluk
memudah-kan dalam mcmeriksa kesalahan yang terjadi pacta pengiriman pesan tersebut. Pada tulisan ini kade
yang digunakan adalah kode biner (rangkaian angka 0 dan I).
Tulisan ini bertujuan unluk ｭ･ｬｾ･ｬ｡ｳｫ｡ｮ＠ prinsip dasar dalam memeriksa dan membetulkan kesalahan yang te/jadi dalam pengiriman pesan. Prinsip dasar tersebut adalah sebagai berikut : jika diasumsikan kata yang diterima memiliki kesalahan maka kata kode yang memiliki jarak terdekat dengan kata tersebut adalah kata kode yang dikirim. Prinsip tersebut dikenal sebagai "prinsip pendekodean dengan tetangga
terdekat" (nearest neighbour decoding principle). Misalkan In merupakan jarak minimum antara kata
kode-kata kode dalam sualu kode maka kode tersebut dapat memeriksa m-l kesalahan atau kurang dan dapat membetulkan (m-l)/2 kesalahan atau kurang.
Menurut prinsip di alas ada tiga cara untuk melakukan pendekodean kala yang dikirim. Pertama, dengan cara menghitung jarak minimum antara kata yang dilerima dengan seluruh kata kode. Kedua,
dengan earn mendaftarkan semua kala dalam himpunan biner ke dalam tabel larik standar, Cara ini
PENDEKODEAN KODE LINEAR BINER
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
Skripsi
Sebagai salah satu syarat uutuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
J udul
Nama
NIM
Pcndckodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan
Ansufri Id Sambo G26.0985
Menyelujui.
Dra. Nur Alialininglyas. MS. Dra. Farida Hanulll. MS.
Pembimbing I Pembimbillg II
Judul
Nama
NIM
Pendekodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan Ansufri Id Sambo
G26.0985
Menyetujui,
Dra. Nur Alialininglyas , MSi. Dra. Farida Hallum) MSi.
Pembimbing I Pembimbing II
Mcngetalmi.
Dr. If. D.S. Priyarsono, MS.
Kelua Program Sludi
RIWAYATHIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 20 Nopember 1970 sebagai anak keempat dari enam bersalldara, anak dari pasangan Muhammad Idms Sambo dan Anizar Ja'far.
Talmn 1989 penulis lui us dari SMA KHALSA Medan dan pada tahun yang sarna lusus seleksi rnasuk Institut Pertanian Bogor rnelalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Pada tahun 1990 penulis rnernilih Program Studi Maternatika, Jumsan Matematika, Fakultas Maternatika dan Ilrnu Pengetahuan Alam, yang ketika itu bam membuka program untuk sarjana.
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadiral Allah SWT alas ralnnal, hidayah dan berkah-Nya sehingga tulisan ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini adalah leori pengkodean, dengan judul Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pemeriksaan Salu Kesalahan.
Penulis mengucapkan lerima kasih yang lak tcrhingga kepada berbagai pihak yang telah banyak membanlu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Ibu Dra. Nur Aliatinigtyas, MS. dan Ibu Dra. Farida Hanum, MS. selaku doscn pembimbing, dan Bapak Ir. Fahren Bukhari, MSc. selaku dosen pcnguji, serta Bapak Dr. Ir. D.S. Priyarsono, MS. selaku ketua Jumsan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetalman Alam. Di sam ping itu penulis juga mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan di AI-Jabar yang juga telah membantu penulis. Tak lupa ungkapan terima kasih yang dalam disampaikan kepada Ibunda, Ayahanda, Ananda AI-Hasanah, Istri, serta selumh keluarga, atas segala doa, dorongan dan kasih-sayangnya. Penulis tak dapat membalas segala kebaikan mercka semua, semoga Allah SWT membalas scgala kcbaikan mercka dcngan yang lebih baik.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 1997
DAFTARISI
Ralaman
DAFTAR GAMBAR ... '" ... vi
PENDAHULUAN ... 1
Latar Belakang ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... I Tujuan ... 1
LANDASAN TEORl ... 1
Gmp ... 1
Sub Gmp ... 2
Partisi dan Rubungan Ekivalensi ... 2
Koset dan Teorellla Lagrange ... '" ... '.. ... .... 3
GRUP BINER ... '" ... '" ... ... ... ... ... ... ... ... 4
PRlNSIP PENDEKODEAN ... '" ... ... ... ... ... ... ... .... 5
Kode, Kata Kode, Jarak, dan Bobot .. ... ... 5
Pemeriksaan dan Pembetulan Kesalahan ... " ... ,... 7
K'ODE LINEAR ... '" ... ... 8
Kode Linear ... .. . ... .. . ... .. . .. . .. . .. . ... .. . ... 8
Kode Linear dengan Matriks Keseilllbangan ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 9
Pendekodean Kata yang Dikirilll .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
PENDEKODEAN DENGAN KOSET ... 11
Koset Kode Linear ... .. .. . .. . ... .. . ... II Pendekodean dengan Tabel Larik Standar ... ... ... ... ... ... ... ... .... II Pendekodean dengan Vektor Sindrolll ... 12
KESIMPULAN DAN SARAN ... ... 14
Kesimpulan ... 14
Saran ... ... ... 14
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Proses pengiriluan pesan ... , ... , ... , ... , ... ,.. 1
PENDAHULUAN
Latar Bclakang
Kemajuan dunia saat ini ditandai dengan
berkembangnya teknologi telekomunikasi. Ma-nusia bebas berkomunikasi atau mengirim pesan dari suatu tempat ke lcmpal yang lain.
Pengirim-an pesan ini melalui media perantara yang dina-makan channel. Channel tersebut bisa berupa jalur telepon, frekuensi radio, salelit komunikasi, kaset atau disket.
Dalam pengiriman pesan mungkin teljadi gangguan-gangguan pada channel sehingga pe-san yang diterima berbeda dengan pepe-san yang dikirim. Jika leljadi kesalahan Imka pencrima pesan dapat meminla agar pemberi pesan meng-nlangi kembali pengiriman pesan. Tetapi ka-dangkala pengiriman kembali tidak memung-kinkan seperti pengiriman gambar dari luar ang-kasa, pembacaan pada kaset atau disket.
gangguan
....
Gall1bar 1. Proses pengiriman pesal1
Sebagai contah pcsan dikirim dalum bahasa aslinya scpcrti llSaya datang II dan pes3n yang
diterima adalah "Saya dateng". Melihal hal in;, penerima dapat mengetahui bahwa telah terjadi kesalahan pengiriman. Akan telapi jika pesan
yang diterima adalah "Maya datangll
atau IISaya
dalang" maka penerima tidak dapat memuluskan apakah telah terjadi kesalahan atau tidak.
Unlttk mengalasi hal di alas, pengiriman pe-san tidak di'dalam bahasa aslinya telapi terlebih dahulu diubah (dikodekan) ke dalam bentuk vektor biner (unlaian biiangan biner 0 dan I). Pengubahan ke dalam vektor biner ini dinama-kan pcngkodcan (encoding). Sedangkan peng-ubahan kembali dari vektor biner ke pesan yang berbahasa asli dinamakan pcndcl<odcan (deco-ding). Pesan yang dikodekan bisa berupa kata
"datanglt
, bilangan "12511, kalimat I1Saya akan
datang besok" atau gambar.
Misalkan ada dua pesan yaitu lIya" dan "tidakll
, Pesan-pesan itu dikodekan menjadi
00000 dan 11111. Jika pcsan 00000 dikirilll dall yang dilerima adalah 00110 Illaka pendekode
I
tahu bahwa telah tetjadi kesalaban pengiriman. Kemudian dia akan memutuskan bahwa pesan yang dikirim adalah 00000 atau "ya".
pcngirim ya pengkode pcsan
ｾ＠
yn ｾ＠ 00000ｴ､ｫｾｬｬｬｬｬ＠
00110 pcndckode _ _ ｾＰＰＱｬＰＮ＠ 00000
=yn
gangguan
ｾ＠
ｾＭ
Gambar 2. Proses pengkodean, pengiriman, dan pendekodean pesan
Dasar -<lasar yang dibutultkan dalam mema-hruni tulisan ini adalah operasi-operasi dalrun matriks ctrul kombinalorika. Sedangkan dasar-<lasar lru\iutan akan dibahas pada Landasan Teori.
Tujuan
Adapun tujuan penulisan ini adalah :
1. Mel\ielaskan prinsip dasar pemeriksaan dan
pelllbelulan kesalahan dalrun pengiriman pesan .
2. MClllbcrikan kondisi-kondisi lcrlcnlu unluk
IIlC-IlIUclaltkrul pendekoderul pesan yrulg dikirim. 3. Menjelaskan bebcrapa cara pendekodean serta
menjelaskan kelebihan-kelebihannya.
LANDASAN TEOR!
Sebelum membahas teori pengkoderul lebih lanju!, terlebih dallUlu dibahas hal-hal yang menunjang Illasalah tersebut. Adapun haJ-hal tersebut adalaJl teori tentang grup, sub grup, partisi, kose!, ctrul Teorema Lagrange.
GI1IJl
Definis; 1. Suatu operasi biner yang dilrunbang-killl dengan '*' clalrun suatu himpunan
A
adalaJl sualu aluran yang mengkombinasikan 2unsur
dalrull A yang menghasilkan salu dan !tanya satu unsurdiA.
Definisi di atas dapat dilulis dengan cara lain yaitu : jika a,b eA Imka ada satu dan hanya satu
CE A sedemikian sehingga a*b
=
c. [image:10.547.281.481.102.235.2]PENDEKODEAN KODE LINEAR BINER
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
RINGKASAN
ANSUFRI ID SAMBO. Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pcrbaikan Salu Kesalahan (Decoding Binary Linear Code with Single Error-Correcting). Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS, FARIDA HANUM dan SUGl GURITMAN.
Saat ini banyak orang mcnggunakan jasa telegram untuk mengirim pesan dari suatu tempat ke
tempat yang lain. Pcsan itu sebenarnya tidak Iangsung dikirim dalam bahasa aslinya melainkan terle-bih dahulu diubah ke dalam benluk kode (rangkaian angka-angka). Hal ini digunakan unluk
memudah-kan dalam mcmeriksa kesalahan yang terjadi pacta pengiriman pesan tersebut. Pada tulisan ini kade
yang digunakan adalah kode biner (rangkaian angka 0 dan I).
Tulisan ini bertujuan unluk ｭ･ｬｾ･ｬ｡ｳｫ｡ｮ＠ prinsip dasar dalam memeriksa dan membetulkan kesalahan yang te/jadi dalam pengiriman pesan. Prinsip dasar tersebut adalah sebagai berikut : jika diasumsikan kata yang diterima memiliki kesalahan maka kata kode yang memiliki jarak terdekat dengan kata tersebut adalah kata kode yang dikirim. Prinsip tersebut dikenal sebagai "prinsip pendekodean dengan tetangga
terdekat" (nearest neighbour decoding principle). Misalkan In merupakan jarak minimum antara kata
kode-kata kode dalam sualu kode maka kode tersebut dapat memeriksa m-l kesalahan atau kurang dan dapat membetulkan (m-l)/2 kesalahan atau kurang.
Menurut prinsip di alas ada tiga cara untuk melakukan pendekodean kala yang dikirim. Pertama, dengan cara menghitung jarak minimum antara kata yang dilerima dengan seluruh kata kode. Kedua,
dengan earn mendaftarkan semua kala dalam himpunan biner ke dalam tabel larik standar, Cara ini
PENDEKODEAN KODE LINEAR BINER
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
Skripsi
Sebagai salah satu syarat uutuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
J udul
Nama
NIM
Pcndckodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan
Ansufri Id Sambo G26.0985
Menyelujui.
Dra. Nur Alialininglyas. MS. Dra. Farida Hanulll. MS.
Pembimbing I Pembimbillg II
Judul
Nama
NIM
Pendekodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan Ansufri Id Sambo
G26.0985
Menyetujui,
Dra. Nur Alialininglyas , MSi. Dra. Farida Hallum) MSi.
Pembimbing I Pembimbing II
Mcngetalmi.
Dr. If. D.S. Priyarsono, MS.
Kelua Program Sludi
RIWAYATHIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 20 Nopember 1970 sebagai anak keempat dari enam bersalldara, anak dari pasangan Muhammad Idms Sambo dan Anizar Ja'far.
Talmn 1989 penulis lui us dari SMA KHALSA Medan dan pada tahun yang sarna lusus seleksi rnasuk Institut Pertanian Bogor rnelalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Pada tahun 1990 penulis rnernilih Program Studi Maternatika, Jumsan Matematika, Fakultas Maternatika dan Ilrnu Pengetahuan Alam, yang ketika itu bam membuka program untuk sarjana.
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadiral Allah SWT alas ralnnal, hidayah dan berkah-Nya sehingga tulisan ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini adalah leori pengkodean, dengan judul Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pemeriksaan Salu Kesalahan.
Penulis mengucapkan lerima kasih yang lak tcrhingga kepada berbagai pihak yang telah banyak membanlu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Ibu Dra. Nur Aliatinigtyas, MS. dan Ibu Dra. Farida Hanum, MS. selaku doscn pembimbing, dan Bapak Ir. Fahren Bukhari, MSc. selaku dosen pcnguji, serta Bapak Dr. Ir. D.S. Priyarsono, MS. selaku ketua Jumsan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetalman Alam. Di sam ping itu penulis juga mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan di AI-Jabar yang juga telah membantu penulis. Tak lupa ungkapan terima kasih yang dalam disampaikan kepada Ibunda, Ayahanda, Ananda AI-Hasanah, Istri, serta selumh keluarga, atas segala doa, dorongan dan kasih-sayangnya. Penulis tak dapat membalas segala kebaikan mercka semua, semoga Allah SWT membalas scgala kcbaikan mercka dcngan yang lebih baik.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 1997
DAFTARISI
Ralaman
DAFTAR GAMBAR ... '" ... vi
PENDAHULUAN ... 1
Latar Belakang ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... I Tujuan ... 1
LANDASAN TEORl ... 1
Gmp ... 1
Sub Gmp ... 2
Partisi dan Rubungan Ekivalensi ... 2
Koset dan Teorellla Lagrange ... '" ... '.. ... .... 3
GRUP BINER ... '" ... '" ... ... ... ... ... ... ... ... 4
PRlNSIP PENDEKODEAN ... '" ... ... ... ... ... ... ... .... 5
Kode, Kata Kode, Jarak, dan Bobot .. ... ... 5
Pemeriksaan dan Pembetulan Kesalahan ... " ... ,... 7
K'ODE LINEAR ... '" ... ... 8
Kode Linear ... .. . ... .. . ... .. . .. . .. . .. . ... .. . ... 8
Kode Linear dengan Matriks Keseilllbangan ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 9
Pendekodean Kata yang Dikirilll .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
PENDEKODEAN DENGAN KOSET ... 11
Koset Kode Linear ... .. .. . .. . ... .. . ... II Pendekodean dengan Tabel Larik Standar ... ... ... ... ... ... ... ... .... II Pendekodean dengan Vektor Sindrolll ... 12
KESIMPULAN DAN SARAN ... ... 14
Kesimpulan ... 14
Saran ... ... ... 14
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Proses pengiriluan pesan ... , ... , ... , ... , ... ,.. 1
PENDAHULUAN
Latar Bclakang
Kemajuan dunia saat ini ditandai dengan
berkembangnya teknologi telekomunikasi. Ma-nusia bebas berkomunikasi atau mengirim pesan dari suatu tempat ke lcmpal yang lain.
Pengirim-an pesan ini melalui media perantara yang dina-makan channel. Channel tersebut bisa berupa jalur telepon, frekuensi radio, salelit komunikasi, kaset atau disket.
Dalam pengiriman pesan mungkin teljadi gangguan-gangguan pada channel sehingga pe-san yang diterima berbeda dengan pepe-san yang dikirim. Jika leljadi kesalahan Imka pencrima pesan dapat meminla agar pemberi pesan meng-nlangi kembali pengiriman pesan. Tetapi ka-dangkala pengiriman kembali tidak memung-kinkan seperti pengiriman gambar dari luar ang-kasa, pembacaan pada kaset atau disket.
gangguan
....
Gall1bar 1. Proses pengiriman pesal1
Sebagai contah pcsan dikirim dalum bahasa aslinya scpcrti llSaya datang II dan pes3n yang
diterima adalah "Saya dateng". Melihal hal in;, penerima dapat mengetahui bahwa telah terjadi kesalahan pengiriman. Akan telapi jika pesan
yang diterima adalah "Maya datangll
atau IISaya
dalang" maka penerima tidak dapat memuluskan apakah telah terjadi kesalahan atau tidak.
Unlttk mengalasi hal di alas, pengiriman pe-san tidak di'dalam bahasa aslinya telapi terlebih dahulu diubah (dikodekan) ke dalam bentuk vektor biner (unlaian biiangan biner 0 dan I). Pengubahan ke dalam vektor biner ini dinama-kan pcngkodcan (encoding). Sedangkan peng-ubahan kembali dari vektor biner ke pesan yang berbahasa asli dinamakan pcndcl<odcan (deco-ding). Pesan yang dikodekan bisa berupa kata
"datanglt
, bilangan "12511, kalimat I1Saya akan
datang besok" atau gambar.
Misalkan ada dua pesan yaitu lIya" dan "tidakll
, Pesan-pesan itu dikodekan menjadi
00000 dan 11111. Jika pcsan 00000 dikirilll dall yang dilerima adalah 00110 Illaka pendekode
I
tahu bahwa telah tetjadi kesalaban pengiriman. Kemudian dia akan memutuskan bahwa pesan yang dikirim adalah 00000 atau "ya".
pcngirim ya pengkode pcsan
ｾ＠
yn ｾ＠ 00000ｴ､ｫｾｬｬｬｬｬ＠
00110 pcndckode _ _ ｾＰＰＱｬＰＮ＠ 00000
=yn
gangguan
ｾ＠
ｾＭ
Gambar 2. Proses pengkodean, pengiriman, dan pendekodean pesan
Dasar -<lasar yang dibutultkan dalam mema-hruni tulisan ini adalah operasi-operasi dalrun matriks ctrul kombinalorika. Sedangkan dasar-<lasar lru\iutan akan dibahas pada Landasan Teori.
Tujuan
Adapun tujuan penulisan ini adalah :
1. Mel\ielaskan prinsip dasar pemeriksaan dan
pelllbelulan kesalahan dalrun pengiriman pesan .
2. MClllbcrikan kondisi-kondisi lcrlcnlu unluk
IIlC-IlIUclaltkrul pendekoderul pesan yrulg dikirim. 3. Menjelaskan bebcrapa cara pendekodean serta
menjelaskan kelebihan-kelebihannya.
LANDASAN TEOR!
Sebelum membahas teori pengkoderul lebih lanju!, terlebih dallUlu dibahas hal-hal yang menunjang Illasalah tersebut. Adapun haJ-hal tersebut adalaJl teori tentang grup, sub grup, partisi, kose!, ctrul Teorema Lagrange.
GI1IJl
Definis; 1. Suatu operasi biner yang dilrunbang-killl dengan '*' clalrun suatu himpunan
A
adalaJl sualu aluran yang mengkombinasikan 2unsur
dalrull A yang menghasilkan salu dan !tanya satu unsurdiA.
Definisi di atas dapat dilulis dengan cara lain yaitu : jika a,b eA Imka ada satu dan hanya satu
CE A sedemikian sehingga a*b
=
c. [image:33.547.281.481.102.235.2]
