1. Buktikan bahwa Buktikan bahwa ^
H(r)=− ℏ
2
2mer2 ∂ ∂r
(
r2 ∂
∂r
)
+ ^ L22mer2− Ze2 4πε0r
Penyelesaian:
^
L
2=−ℏ
2(
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
sin
2θ
∂
2∂
φ
2)
^
L
2ℏ
2=−
(
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
sin
2θ
∂
2∂
φ
2)
Persamaan Laplacian pada koordinat spheric dapat dituliskan menjadi:
∇
2=
1
r
2∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
r
2sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
r
2sin
2θ
∂
2∂
φ
2∇
2=
1
r
2∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
r
2(
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
sin
2θ
∂
2∂
φ
2)
∇
2=
1
r
2∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
r
2(
−
^
L
2ℏ
2)
∇
2=
1
r
2∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
−
^
L
2ℏ
2r
2Operator Hamiltonian :
^
H(r)=−ℏ
2
2me ∇
2−Ze2
4πε0r
^
H(r)=−ℏ
2
2me
(
1
r2
∂ ∂r
(
r2∂
∂r
)
−^
L2
ℏ2r2
)
− Ze24πε0r
^
H(r)=−ℏ
2
2me
1
r2
∂ ∂r
(
r2∂
∂r
)
+^
L2ℏ2
2meℏ2r2− Ze2
4πε0r
^
H(r)=−ℏ
2
2mer2
∂ ∂r
(
r2∂
∂r
)
+^
L2
2mer2− Ze2
4πε0r
2. Sebuah atom mempunyai fungsi gelombang radial sebagai berikut R(r)=Ae −Zr
a0 . a. Normalisasikan fungsi tersebut
b. Cari energinya
Penyelesaian :
R(r)=Ae −Zr
a)
∫
0∞
dr
(
r
2R
2(
r
)
)
=
1
∫
0
∞
dr
(
r
2(
Ae
−Zr
a0
)
2
)
=
1
A2
∫
0∞
r2e −2Zr
a0 dr=1
… (1) Misal n = −2
Z
a0 , maka :
∫
enrdr=1ne
nr
∫
∂∂n(e
nr)dr= d
dn
(
1
ne
nr
)
∫
∂∂n(enr)dr= ddn
(
1
ne
nr
)
∫
renrdr=enrrn−enr
n2 =
enr
n2 (rn−1)
∫
∂∂n(
renr)
dr= ddn
(
enrn2(rn−1)
)
∫
r2enrdr=n2enrr(rn−1)+n2enr−2nenr(rn−1)
n4
∫
r2enrdr=e nrr2n + 2enr
n3 − 2enrr
n2
Subsitusi ke persamaan (1)
A2
∫
0∞
r2e −2Zr
a0 dr=1
A
2[
e
−2Zr a0
(
r
2a
0−2
z
+
2
ra
024
z
2+
2
a
03−8
z
3)
]
|
0A2
[
e−∞(
∞−∞− a034z3
)
−e0
(
0−0−a034z3
)
]
=1A2
[
0(
0−a034z3
)
−1(
− a03
4z3
)
]
=1 A2[
0+(
a
03
4z3
)
]
=1A
=
2
(
z
a
0)
3 2
… (2) Dari persamaan (2) diperoleh
R(r)=2
(
z a0)
3 2e
−Zr a0
(merupakan R(r) saat n=1 dan l=0)
R10(r)=2
(
z a0)
3 2e
−Zr a0
b) En= −Z2
2n2 E1=−Z
2
2 . 12=
−Z2 2
3. Sebuah elektron berada dalam medan magnet B (0,B,0) pada waktu t = 0, elektron dalam keadaan spin down. Cari spinor pada t > 0. Hitung periode getarnya!
Penyelesaian :
Fungsi gelombang spin down adalah −¿=
[
01]
χ¿Memenuhi persamaan Schrodinger iℏ ∂
∂ x χ(t)=^Hsχ(t) … (1)
^
^
Hs=M . B=−μBσ . B=−μBσyB … (2)
μB adalah Magneton Bohr dan B adalah medan magnetik magnitude
Pada waktu t, misal fungsi spinor electron adalah sbb :
χ(t)=
[
a(t)b(t)
]
maka, disubstitusikan ke persamaan (1) dan (2)
iℏ ∂
∂ x
[
a(t)b(t)
]
=−μBσyB[
a(t)b(t)
]
, dengan σy=[
0 −ii 0
]
∂
∂ x
[
a(t)
b(t)
]
=−μBB
iℏ
[
0−i
i 0
]
[
a(t)
b(t)
]
Maka, jika ω=μBB
ℏ
da(t) dt =
−μBB
ℏ b(t)=−ωb(t)
db(t) dt =
μBB
ℏ a(t)=ωa(t)
Setelah menyelesaikan diferensial fungsi di atas, diperoleh : a(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt
b(t) = c1 sin ωt - c2 cos ωt jadi,
χ(t)=
[
a(t) b(t)]
=[
c1cosωt+c2sinωt
-[
a(t) b(t)]
=[
0 1
]
[
c1cosωt+c2sinωt c1sinωt−c2cosωt]
=[
0 1
]
Maka,a(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt = 0 … (4) b(t) = c1 sin ωt - c2 cos ωt = 1 … (5) pada t = 0, persamaan (4) diperoleh : c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
c1 = 0
dan persamaan (5) diperoleh : c1 sin 0 - c2 cos 0 = 1
c2 = -1
dengan memasukkan nilai c1 = 0 dan c2 = -1 pada persamaan (3), diperoleh :
χ(t)=
[
c1cosωt+c2sinωt c1sinωt−c2cosωt]
=[
0+(−1)sinωt 0−(−1)cosωt
]
=[
−sinωt cosωt
]
Jadi, spinor pada :t1=0,χ(t)=
[
−sinωt cosω t
]
=[
−sin 0 cos 0
]
=[
0
1
]
“spin down”t2= π
2ω, χ(t)=
[
−sinω t
cosω t
]
=[
−sinω
(
π2ω
)
cosω
(
π2ω
)
]
=
[
−sinπ2 cosπ
2
]
=
[
−1t3=π
ω, χ(t)=
[
−sinωt cosωt
]
=[
−sinω
(
π ω)
cosω
(
π ω)
]
=
[
−sinπ cosπ]
=[
0
1
]
“spin down”Mencari Δt, t2 – t1 atau t3 – t2
Δt=t2−t1= π 2ω−0=
π 2ω
Δt=t3−t2=ωπ−2πω=2π2ω−π=2πω
Jadi, Δt= π 2ω
Mencari periode getar (T)
T=2Δt=2π 2ω=
π ω
Karena ω=μBB
ℏ
Maka
T=π ω=
πℏ
μBB
4. Buktikan persamaan Schwarz’s
|⟨⃗
a
|
⃗
b
⟩|≤||⃗
a
||⃗
b
||
Penyelesaian :
(
1
)
Schwarz's inequality
|⟨
a
|
b
⟩|≤‖
a
‖‖
b
‖⇒
the equality hold, when {
a
=
λb
,
λ
is a scalar
¿
Proof:
¿
‖
a
+
λb
‖
2
=⟨
a
+
λb
|
a
+
λb
⟩=⟨
a
|
a
⟩+
λ
⟨
a
|
b
⟩+
λ
¿
⟨
b
|
a
⟩+
λλ
¿
⟨
b
|
b
⟩
¿
if
⟨
a
|
b
⟩=|⟨
a
|
b
⟩|
e
iα
⇒‖
a
+
λb
‖
2
=‖
a
‖
2
+|
λ
|
2
‖
b
‖
2
+
λ
|⟨
a
|
b
⟩|
e
iα
+
λ
¿
|⟨
a
|
b
⟩|
e
−
iα
¿
for
‖
a
+
λb
‖
2
≥
0 for all
λ
, choose
λ
=
re
−
iα
¿
⇒
0
≤‖
a
+
λb
‖
2
=‖
a
‖
2
+
r
2
‖
b
‖
2
+
2
r
|⟨
a
|
b
⟩|
¿
⇒(
r
+
|⟨
a
|
b
⟩|
‖
b
‖
2
)
2
−
(
4
|⟨
a
|
b
⟩|
2
−
4
‖
a
‖
2
‖
b
‖
2
)
4
‖
b
‖
2
≥
0
¿
⇒|⟨
a
|
b
⟩|
5. Cari nilai eigen dan fungsi eigen ternormalisasi dari operator :
A=
(
1 1 0
1 1 −3
0 −3 −3
)
Penyelesaian :
Diketahui bahwa det (A – λI) = 0
A – λ I=
(
1 1 0
1 1 −3
0 −3 −3
)
−λ
(
1 0 00 1 0 0 0 1)
A – λ I=
(
1 1 0
1 1 −3
0 −3 −3
)
−(
λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ
)
A – λ I=
(
1−λ 1 0
1 1−λ −3
0 −3 −3−λ
)
Jadi, det (A – λI) = 0|
1−λ 1 01 1−λ −3
0 −3 −3−λ
|
1−λ 1 1 1−λ
0 −3
=0
(1 – λ)(1 – λ)(-3 – λ) + (1)(-3)(0) + (0)(1)(-3) - (0)(1-λ)(0) - (-3)(-3)(1-λ) - (-3 – λ)(1)(1) = 0 -3 + 5λ - λ2 - λ3 + 0 + 0 - 0 - 9 + 9λ + 3 + λ = 0
λ3 + λ2 - 15λ + 9 = 0 (λ – 3)( λ2 + 4λ – 3) = 0 λ1 = 3
mencari λ2 dan λ3 menggunakan rumus abc dengan persamaan λ2 + 4λ – 3 = 0
λ2,3=−b ±
√
b 2−4ac 2aλ2,3=−4±
√
4 2−4(1) (−3) 2(1)
λ2,3=−4±
√
16+12 2λ2,3=−4±
√
28 2λ2,3=−4±5,29 2
λ2=−4+5,29
2 =
1,29
2 =0,645
λ3=−4−5,292 =−9,292 =−4,645
Mencari fungsi eigen untuk λ1 = 3
Ax1 = λ 1x1 misal x1=
(
x1 x2 x3
)
maka,
(
1 1 0
1 1 −3
0 −3 −3
)
(
x1 x2 x3)
=3
(
x1 x2 x3)
(1) x1 + x2 = 3x1-2x1 + x2 = 0 (2) x1 + x2 – 3x3 = 3x2
(3) -3x2 – 3x3 = 3x3 -3x2 – 6x3 = 0 Misal x1 = k,
Pada persamaan (1) -2x1 + x2 = 0
-2k = - x2
x2 = 2k
pada persamaan (3) -3x2 – 6x3 = 0 -3(2k) = 6x3 -6k = 6x3
x3 = -k
menormalisasikan : x12 + x22 + x32 = 1 k2 + (2k)2 + (-k)2 = 1 k2 + 4k2 + k2 = 1 6k2 = 1
k=
√
1 6Fungsi eigen ternormalisasi pada λ1 = 3 adalah
x1=
(
x1 x2 x3)
=
(
k 2k −k)
=k
(
1 2 −1)
=
√
1 6(
1 2 −1
)
Mencari fungsi eigen untuk λ2 = 0,645Ax2 = λ 2x2 misal x2=
(
x1 x2 x3
)
maka,
(
1 1 0
1 1 −3
0 −3 −3
)
(
x1 x2 x3)
=0,645
(
x1 x2 x3)
(1) x1 + x2 = 0,645x10,355x1 + x2 = 0 (2) x1 + x2 – 3x3 = 0,645x2
x1 + 0.355x2 – 3x3 = 0 (3) -3x2 – 3x3 = 0,645x3
-3x2 – 3,645x3 = 0 Misal x2 = k,
Pada persamaan (1) 0,355x1 + x2 = 0 0,355x1 = - k
x1 = -2,817k
-3(k) = 3,645x3 -3k = 3,645x3
x3 = -0,8230k
menormalisasikan : x12 + x22 + x32 = 1
(-2,817k)2 + k2 + (-0,8230k)2= 1 7,935489k2 + k2 + 0,677329k2 = 1 9,612818k2 = 1
k=
√
1 9,612818Fungsi eigen ternormalisasi pada λ2 = 0,645 adalah
x2 =
(
x1 x2 x3
)
=
(
−2,817k k −0,8230k
)
=k
(
−2,8171 −0,8230)
=
√
19,612818
(
−2,817 1 −0,8230
)
Mencari fungsi eigen untuk λ3 = -4,645Ax3 = λ 3x3 misal x3=
(
x1 x2 x3
)
maka,
(
1 1 0
1 1 −3
0 −3 −3
)
(
x1 x2 x3)
=−4,645
(
x1 x2 x3)
(1) x1 + x2 = -4,645x15,645x1 + x2 = 0
(2) x1 + x2 – 3x3 = -4,645x2 x1 + 5,645x2 – 3x3 = 0 (3) -3x2 – 3x3 = -4,645x3
-3x2 + 1,645x3 = 0 Misal x1 = k,
Pada persamaan (1) 5,465x1 + x2 = 0 5,465k = -x2
x2 = -5,465k
pada persamaan (3) -3x2 + 1,645x3 = 0 -3(-5,465k) = -1,645x3 16,935k = -1,645x3
x3 = -10,2948k
menormalisasikan : x12 + x22 + x32 = 1
k=
√
1 138,84894Fungsi eigen ternormalisasi pada λ3 = -4,645 adalah
x3=
(
x1 x2 x3)
=
(
k −5,645k −10,2948k)
=k
(
1 −5,645 −10,2948)
=
√
1