Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang

(1)

PENENTUAN PERIODE OPTIMAL SPREADING GAINS AND

LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM

KONTRIBUSI JANGKA PANJANG

YOYOK HARIYANTO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Juli 2013

Yoyok Hariyanto

(4)

ABSTRAK

YOYOK HARIYANTO. Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.

Karya ilmiah ini bertujuan untuk menentukan periode optimal spreading gains and losses pada rencana pendanaan pensiun manfaat-pasti. Prinsip metode

spreading gains and losses adalah dengan menyebarkan keuntungan dan kerugian ke beberapa periode. Periode optimal ditentukan dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka panjang. Pada karya ilmiah ini diasumsikan bahwa kerugian disebabkan oleh perbedaan tingkat bunga investasi aktuaria dengan tingkat bunga investasi aktual. Ilustrasi pada karya ilmiah ini menggunakan tiga kasus dengan nilai standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual sebesar 0.0025, 0.1, dan 0.25. Nilai periode optimal yang diperoleh dari ketiga kasus berturut-turut sebesar 12 tahun, 11 tahun, dan 8 tahun, serta besarnya standar deviasi dari kontribusi jangka panjang yang diperoleh berturut-turut sebesar 0.011, 0.469, dan 1.355. Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa ragam dari tingkat bunga investasi aktual berbanding lurus dengan ragam dari kontribusi dalam jangka panjang namun ragam dari tingkat bunga investasi aktual berbanding terbalik dengan periode optimal penyebaran kerugian.

Kata kunci: metode spreading gains and losses, minimum ragam kontribusi, pensiun manfaat-pasti, periode optimal

ABSTRACT

YOYOK HARIYANTO. Determining Optimal Periods of Spreading Gains and Losses by Minimizing the Variance of Long-Term Contribution. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.

The purpose of this paper is to determine optimal periods of spreading gains and losses on defined benefit pension funding plan. The principle of spreading gains and losses method is by spreading gains and losses to some periods. The optimal period is determined by minimizing the variance of long-term contribution. This paper assumes that losses are caused by the difference of actuarial rate and actual rate of investment return. The illustration of this paper uses three cases which standard deviations of actual rate of investment return are 0.0025, 0.1, and 0.25. The optimal period for three cases are acquired 12 years, 11 years, and 8 years, and standard deviation of long-term contribution for three cases are acquired 0.011, 0.469, and 1.355. It is concluded that the variance of actual rate of investment return and the variance of long-term contribution are comparable but the variance of actual rate of investment return and the optimal period of spreading losses are inversely proportional.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENENTUAN PERIODE OPTIMAL SPREADING GAINS AND

LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM

KONTRIBUSI JANGKA PANJANG

YOYOK HARIYANTO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

Judul Skripsi : Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang

Nama : Yoyok Hariyanto NIM : G54090005

Disetujui oleh

Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I

Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada:

1 orangtua tercinta (Yatimi dan Alm Supangat), kakak (Tina Wati, Zeni Sunyoto, dan Rika Umami) serta seluruh keluarga atas segala doa, kasih sayang, dan motivasinya,

2 Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing I dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II yang telah membimbing dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran dalam penulisan karya ilmiah ini,

3 Ibu Dr Berlian Setiawaty, MS selaku ketua Departemen Matematika IPB dan Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan dukungan, motivasi, dan semangatnya kepada penulis,

4 seluruh jajaran yang berwenang dan donatur Yayasan Karya Salemba Empat yang telah memberikan beasiswa selama tiga tahun kepada penulis,

5 teman organisasi daerah Ponorogo Manggolo Putro dan teman Pondok Anak Sholeh (Aziz, Danang, Doni, Febri, Iddea, dan Irfan) yang senantiasa menjadi tempat berbagi,

6 teman matematika angkatan 46 (Syaepul, Fenny, Aldi, Nurul, Lestari, Mirna, Hendra, Irma, Desyi, Evy, Fitri, Danty, Windi, dan lainnya) yang telah membantu penulis dalam kegiatan belajar,

7 seluruh staf tata usaha dan mahasiswa angkatan 44, 45, 47, dan 48 Departemen Matematika IPB yang telah menemani perjalanan penulis selama perkuliahan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juli 2013

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti 2

Nilai Sekarang Aktuaria 3

Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu 4

HASIL DAN PEMBAHASAN 4

Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti 4

Metode Spreading Gains and Losses 7

Periode Optimal pada Metode Spreading Gains and Losses 7

Ilustrasi Penentuan Periode Optimal 11

Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat Pasti dengan Metode Spreading Gains

andLosses 13

Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian

Investasi Aktual terhadap Kontribusi 18

SIMPULAN DAN SARAN 21

Simpulan 21

Saran 21

DAFTAR PUSTAKA 22

LAMPIRAN 23

(10)

DAFTAR TABEL

1 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat ′ = = 6% ,

�= 0.0025 dan m_s*=12 15

2 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat ′ = = 6% ,

�= 0.1 dan m_s*=11 16

3 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat ( ′)= i_A=6% ,

�= 0.25 dan m_s*=8 17

4 Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan berbagai periode

(m_s) dan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang

1 English Life Table No. 16.1Males 23

2 Perhitungan _{31 25}, 55_x=25l_x, 109₌₅₆ , _25:31| , dan ₅₆ 24 3 Perhitungan periode optimal ( ∗) saat ′ = = 6% dan

�= 0.0025 dengan Wolfram Mathematica 27

4 Perhitungan periode optimal ( ∗) saat ( ′) = = 6% dan

5 Perhitungan periode optimal ( ∗) saat ( ′) = = 6% dan

6 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode

spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′) = = 6% dan

�= 0.0025) dengan = 1 30

�= 0.0025) dengan = 8 32

(11)

�= 0.0025) dengan = 20 36

spreading gains and losses pada kasus 2 ( ( ′)= i_A=6% dan

�= 0.1) dengan ∗ = 11 38

spreading gains and losses pada kasus 3 ( ( ′)= i_A=6% dan

�= 0.25) dengan ∗ = 8 40

12 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat

( ′) = = 6% dan �= 0.0025 dengan berbagai nilai periode

( ) yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica) 42 13 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat

( ′) = = 6% dan �= 0.1 dengan berbagai nilai periode ( )

yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica) 43

14 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat

( ′) = = 6% dan �= 0.25 dengan berbagai nilai periode ( )

yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica) 44

(12)

(13)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Kebutuhan tidak pernah lepas dari kehidupan seseorang. Saat usia produktif orang bekerja untuk mendapatkan penghasilan guna memenuhi segala kebutuhan. Namun di saat usia tidak produktif (masa tua) orang sudah tidak mampu lagi bekerja, namun tuntutan kebutuhan hidup tetap harus dipenuhi. Oleh karena itu seseorang harus selalu dapat menjaga kesinambungan penghasilan sampai pada saat orang tersebut tidak mampu lagi bekerja pada usia tertentu. Salah satu sistem yang dapat menjamin kesinambungan penghasilan adalah program dana pensiun.

Berdasarkan UU Republik Indonesia Nomor 11 tahun 1992 tentang Dana Pensiun, program dana pensiun merupakan badan hukum yang didirikan dalam upaya untuk memelihara kesinambungan penghasilan pada hari tua untuk karyawan. Sehingga jika dilihat dari tujuannya, program pensiun merupakan salah satu solusi agar tuntutan akan kebutuhan tetap dapat terpenuhi dan taraf hidup tetap terjaga.

Salah satu jenis program pensiun adalah program pensiun manfaat-pasti. Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang penentuan besarnya

benefit (manfaat) yang diperoleh peserta pensiun sudah ditetapkan di awal namun besarnya iuran yang dibayarkan peserta dari waktu ke waktu tidak pasti jumlahnya, bergantung pada kesediaan dana yang terkumpul untuk memenuhi kewajiban manfaat pensiun tersebut. Seorang aktuaris melakukan perhitungan secara cermat dan berkesinambungan untuk menentukan besarnya contribution (kontribusi) yang harus dibayarkan peserta setiap periodenya agar dana yang terkumpul dapat menjamin seluruh kewajiban manfaat pensiun.

Pada proses perhitungan, seorang aktuaris menggunakan asumsi-asumsi aktuaria untuk memprediksikan segala kemungkinan yang terjadi. Menurut Winklevoss (1977) asumsi tersebut berkaitan dengan tingkat kematian (mortalitas), tingkat gaji (termasuk inflasinya), dan tingkat bunga. Asumsi tingkat bunga terbagi menjadi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun dan tingkat bunga yang dikenakan atas aset pensiun (pengembalian investasi).

Dalam rencana pendanaan, tingkat bunga pengembalian investasi ditetapkan oleh aktuaris namun faktanya penetapan ini mungkin berbeda dengan tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang sebenarnya. Perbedaan ini akan menimbulkan laba atau rugi. Agar dana yang terkumpul tetap mampu mencukupi kewajiban program pensiun, maka laba atau rugi ini harus ditutupi dengan

supplementary contribution. Supplementary contribution merupakan kontribusi tambahan yang timbul akibat terjadinya laba atau rugi.

Ada beberapa metode untuk menentukan besarnya nilai kontribusi tambahan,

(14)

2

skala 1 sampai 10 tahun. Karya ilmiah ini menjelaskan tentang penentuan periode (m) yang optimal. Penentuan periode optimal ini didasarkan pada prinsip ragam minimum dari kontribusi dalam jangka panjang agar stabilitas kontribusi maksimal. Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Owadally dan Haberman (1999) yang berjudul “Pension Fund Dynamics and Gains/Losses Due to Random Rates of Investment Return”.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:

1 menjelaskan dan memberikan ilustrasi mengenai metode spreading gains and losses pada pendanaan pensiun manfaat-pasti dengan asumsi terjadinya kerugian disebabkan oleh perbedaan antara tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual,

2 menentukan periode optimal penyebaran kerugian pada metode spreading gains and losses dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka panjang,

3 menganalisis dampak pemilihan periode optimal penyebaran kerugian terhadap laju kontribusi,

4 menjelaskan pengaruh ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual terhadap besarnya periode optimal penyebaran kerugian dan besarnya ragam kontribusi dalam jangka panjang.

TINJAUAN PUSTAKA

Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti

Asuransi pensiun manfaat-pasti adalah asuransi pensiun yang penentuan besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki usia pensiun normal sudah ditentukan di awal. Penetapan besarnya manfaat pensiun ini akan digunakan sebagai patokan untuk perhitungan besarnya penetapan kontribusi yang harus dibayarkan peserta setiap periodenya. Menurut Dufresne (1988) terdapat beberapa asumsi tingkat bunga yang digunakan pada pendanaan pensiun manfaat-pasti, yaitu tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria ( ), tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun ( _�), dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual ( ′).

(15)

3 pemerintah atau sesuai peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu. Asumsi tingkat bunga ketiga yang digunakan adalah ′, yaitu tingkat bunga yang diperoleh dari investasi dana secara aktual yang diketahui di akhir suatu periode tertentu (Dufresne 1988).

Program pensiun manfaat-pasti menerapkan metode entry age normal, yaitu metode yang menerapkan pendanaan dengan memandang manfaat pensiun pada usia pensiun normal. Metode ini menentukan normal contribution (kontribusi normal) yang akan dibayarkan setiap peserta berpedoman awal dari besarnya manfaat pensiun. Pandangan ini didasarkan pada beberapa faktor antara lain: gaji peserta di masa depan, gaji terakhir peserta sebelum masa pensiun, gaji rata-rata dari peserta selama masa kerja, dan masa pembayaran pembayaran kontribusi (Haberman 1995).

Ketentuan lain pada metode entry age normal pada pensiun manfaat-pasti yaitu kontribusi normal dibayarkan dari peserta dimulai saat umur peserta mulai bekerja, bukan saat umur peserta mulai mengikuti program pensiun serta besarnya kontribusi normal ini tetap setiap periodenya dan ditentukan dari proses perhitungan (Owadally dan Haberman 1999).

Nilai Sekarang Aktuaria

Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan

Nilai sekarang atas pembayaran manfaat pensiun masa depan disebut juga

actuarial present value of future benefit (APVFB). Besaran APVFB merupakan sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang yang ditafsirkan di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai

APVFB bagi seseorang yang berumur y adalah

� = _� − ₋

dengan:

= manfaat pensiun pada usia pensiun normal z,

= anuitas diskret di awal periode seumur hidup yang dibayarkan dimulai usia pensiun z,

− = peluang bahwa seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai usia pensiun z,

� = 1 + � −1(tingkat diskonto), � merupakan tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun.

Nilai Sekarang Aktuaria atas Pembayaran Kontribusi Normal

Nilai sekarang atas pembayaran kontribusi normal disebut juga dengan

actuarial present value of future normal contribution (APVFNC). Besaran

APVFNC merupakan sekumpulan pembayaran kontribusi peserta yang ditafsirkan di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai APVFNC

bagi seseorang yang berumur y adalah

( � � ) = (� ) _� −

−1

=

−

(16)

4

Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu

Turunan

Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.

Menurut Stewart (1998) turunan fungsi � pada bilangan dinyatakan

mendekati . Jika limit ini ada, maka dapat ditulis �′_{= lim}

Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai minimum (terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua. Menurut Stewart (1998) andaikan �′′ kontinu di sekitar , jika �′ = 0 dan �′′_{> 0,}_maka_�_{mempunyai nilai minimum lokal pada} _.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti

Beberapa konsep dasar pada pendanaan pensiun manfaat-pasti antara lain:

Manfaat Pensiun(B)

Manfaat pensiun adalah jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh perusahaan asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya. Besar nilainya merupakan penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi pensiun pada periode tertentu. Besarnya manfaat pensiun ditentukan di awal secara pasti dan diketahui nilainya karena akan digunakan sebagai acuan untuk menentukan berbagai perhitungan aktuaria.

Kontribusi Normal (NC)

Kontribusi normal adalah iuran yang dibayarkan oleh setiap peserta asuransi pensiun selama peserta mengikuti program ini dimulai dari usia awal y sampai usia pensiun z. Nilai kontribusi normal yang dibayarkan oleh peserta pada waktu t dilambangkan dengan (NC)_t. Pada pensiun program manfaat-pasti nilai kontribusi normal konstan setiap tahunnya. Rumus untuk menentukan kontribusi normal sebagai berikut:

� = � − −

: − |

(17)

5 dengan _: ₋ _| merupakan anuitas hidup diskret di awal periode berjangka waktu (z-y) tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y.

Bukti :

Berdasarkan ketentuan bahwa nilai sekarang seseorang berusia y dari pembayaran berkala kontribusi normal besarnya harus sama dengan nilai sekarang dari pembayaran berkala manfaat pensiun seseorang berusia y yaitu

� � = �

Actuarial liability merupakan kewajiban aktuaria untuk menjamin suatu kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability sering disebut juga dengan cadangan manfaat untuk menjamin pembayaran benefit. Actuarial liability

dihitung dengan menggunakan actuarial present value of future benefit (APVFB) saat usia x dikurangi dengan actuarial present value of future normal contribution

(APVFNC) pada saat usia x. Rumus actuarial liability saat orang berumur x adalah dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:

�= ( −� )

(1− _�) . (2)

Bukti:

Misalkan kontribusi normal diterima di awal tahun t dan manfaat pensiun juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban pensiun. Kondisi ini menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun karena penerimaan kontribusi normal dan pembayaran manfaat pensiun. Jika dilihat pada waktu t berlaku

� ∆ � = � + � �+1 − .

Karena � = � +1 = � konstan, maka ∆ � = 0, B dan NC juga konstan, sehingga berlaku juga

� + _� � − = 0

(18)

6

⇔(1− _�) �= − �

⇔ � =( −� )

(1− _�) . ■

Kontribusi(C)

Kontribusi merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program pensiun. Nilai kontribusi ini tidak konstan setiap periodenya. Hal ini dikarenakan nilai kontribusi pada waktu ke-t ( ) dipengaruhi oleh kontribusi tambahan

(� ) yang nilainya bisa berubah setiap waktu ke-t bergantung pada keadaan laba atau rugi. Kontribusidirumuskan

=� +� . (3)

Di dalam karya ilmiah ini perhitungan nilai kontribusi tambahan menggunakan metode spreading gains and losses.

Dana(F)

Dana(fund) pada saat waktu t ( ) merupakan nilai total dana yang dimiliki suatu program pensiun pada waktu t. Dana ini terdiri dari total pembayaran kontribusi seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun, dan termasuk hasil pengembangan investasi dari dana pensiun tersebut. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:

Rumus untuk nilai dana atas asumsi aktuaria

= 1 + ( ₋₁+ ₋₁− ) (4)

dan rumus untuk nilai dana aktual

= 1 + ′ ₋₁+ ₋₁− . (5)

Unfunded Liability (UL)

Unfunded liability pada waktu ke-t adalah selisih nilai actuarial liability

pada waktu ke-t dengan aset program pensiun secara aktual pada periode tersebut.

Unfunded liability dirumuskan

� = � − . (6)

Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun kedepannya. Jika nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada pendanaan pensiun tersebut dan sebaliknya.

Kerugian (L)

Kerugian merupakan indikasi terjadi situasi laba atau rugi pada pendanaan pensiun yang telah direncanakan. Kerugian bernilai positif artinya telah terjadi kerugian dan sebaliknya. Nilai kerugian diperoleh dari selisih unfunded liability

yang dihitung dari asumsi aktuaria dan dari perhitungan yang sebenarnya yaitu

� = � − � , (7)

(19)

7

Metode Spreading Gains and Losses

Metode spreading gains and losses adalah metode penentuan kontribusi tambahan(supplementary contribution) pada asuransi pensiun manfaat-pasti yang mengikuti prinsip aggregate actuarial cost menthod. Aggregate actuarial cost menthod adalah metode perhitungan aktuaria yang menggunakan total nilai keseluruhan. Metode ini diterapkan di negara-negara Benua Eropa Utara terutama di Inggris (United Kingdom) (Owadally 2003).

Prinsip yang mendasari metode ini adalah perumusan kontribusi tambahan pada tahun ke-t sebanding dengan unfunded liability yang diboboti oleh suatu proporsi k tertentu. Proporsi sebesar k ini dipengaruhi oleh periode selama m

tahun untuk mencicil unfunded liability seperti yang dikemukakan Dufresne (1988) yaitu

Penentuan kontribusi tambahan digunakan untuk menutupi loss atau kerugian yang terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga investasi. Dufresne (1988) menyatakan bahwa tujuan dari metode ini agar nilai harapan dari kontribusi tambahan konvergen menuju 0 (nol) untuk waktu t dalam jangka panjang. Hal ini karena kestabilan kontribusi tambahan akan menentukan kestabilan kontribusi.

Menurut Dufresne (1988) terdapat dua tujuan utama dalam jangka panjang pada pendanaan pensiun. Pertama, untuk memaksimumkan jaminan manfaat pensiun dapat dilakukan dengan cara meminimumkan ragam dana. Kedua, untuk memaksimumkan stabilitas kontribusi dengan cara meminimumkan ragam dari kontribusi.

Periode Optimalpada Metode Spreading Gains and Losses

Periode (ms)pada metode spreading gains and losses adalah besaran tahun untuk menentukan berapa periode kerugian akan didistribusikan. Penentuan kontribusi tambahan dipengaruhi oleh pemilihan periode ( ) ini. Pemilihan periode ( ) umumnya bebas, namun Owadally dan Haberman (2004) menyatakan bahwa pada kondisi ekonomi modern di Eropa umumnya pemilihan

yang sesuai yaitu ∈[1,10] tahun.

Ada tiga temuan penting menurut Dufresne (1988) mengenai karakteristik dana (fund) dan kontribusi (contribution) pada metode spreading gains and losses. Temuan ini akan digunakan sebagai dasar menentukan periode optimal ( ∗) . Tiga temuan itu antara lain:

1 ragam dana akan meningkat berbanding lurus dengan besarnya periode,

2 ragam kontribusi akan menurun jika besarnya periode meningkat, namun ragam kontribusi akan meningkat setelah mencapai titik periode = ∗.

Titik ∗ ini disebut periode optimal dengan ragam kontribusi yang minimum, 3 berdasarkan kriteria minimum ragam dana dan kontribusi, maka lebih efisien

(20)

8

Nilai Harapan Dana dan Kontribusi dalam Jangka Panjang

Nilai harapan kontribusi jangka panjang diharapkan stabil mendekati besarnya kontribusi normal dan nilai harapan dana diharapkan stabil mendekati besarnya actuarial liability. Nilai harapan dana dirumuskan sebagai berikut:

= 0+

+ adalah peubah acak yang independen. Untuk = 1,2,3,… berlaku

( + 1) = ( + 1) ( + ) . (11)

Nilai harapan dana dan kontribusi untuk waktu jangka panjang adalah ∞ =

1+ , dari bentuk lain persamaan (2) didapatkan

�= 1 + _� � − � − atau _� �= − � , sehingga akan diperoleh

= 1 + ( − _�) �. Akibatnya

1− =

1 + ( − _�) �

(21)

9 maka untuk t dalam jangka panjang diperoleh

∞ =

1− = �. ■

Dari persamaan (3), (6), dan (8) diperoleh

=� +�

Ragam Dana dan Kontribusi dalam Jangka Panjang

Rumus ragam jangka panjang dari dana oleh Dufresne (1988) diberikan

Diketahui 0 = 0 (karena 0 diketahui nilainya) sehingga

(22)

10

Persamaan ragam kontribusi jangka panjang diberikan sebagai berikut:

lim _→∞ ( ) = ₍₁₋2 �2

) . (15)

Bukti:

Dari persamaan (3), (6), dan (8) diperoleh

=� +�

Fungsi Ragam Kontribusi Jangka Panjang terhadap Periode

Dengan asumsi penggunaan tingkat bunga dan _� yang sama sebesar ,

maka kerugian hanya terjadi karena adanya perbedaan asumsi tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria( ) dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual ( ′) . Sehingga fungsi ragam jangka panjang dari kontribusi dapat dinyatakan sebagai fungsi yang kontinu dari periode ( ) sebagai berikut:

lim _→∞ ( ) = �2 �2 2 2

1− 2 2₋₍ 2₊_�2_{) 1}₋ ₋2 (16)

dengan:

= tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria atau tingkat bunga atas kewajiban pensiun ( = _�),

(23)

11 Persamaan (16) di atas akan digunakan untuk menentukan periode optimal

( ∗) dengan meminimumkan nilai limit takhingga ragam kontribusi yaitu

∗ ₌ �2 �2 2 2

1− 2 2₋₍ 2₊_�2₎₁₋ ₋2 . (17)

Ilustrasi Penentuan Periode Optimal

Asumsi

Ilustrasi akan diberikan untuk menentukan periode optimal ( ∗) dengan cara meminimumkan ragam kontribusi jangka panjang pada kondisi yang memenuhi asumsi-asumsi sebagai berikut:

1 tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table No.16.1 Males

(di Lampiran 1),

2 populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan semua peserta program pensiun mulai bekerja pada usia y yaitu 25 tahun dan usia pensiun normal z yaitu 56 tahun,

3 gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap tahun sebesar 2%,

4 manfaat pensiundiberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir,

5 tidak terjadi inflasi dan tingkat bunga investasi aktual menyebar normal dengan nilai harapan ′ = sebesar 6% dan standar deviasi tertentu (dijelaskan pada ilustrasi perhitungan di tiga kasus dengan nilai standar deviasi yang berbeda pada pembahasan berikutnya),

6 tingkat pengembalian investasi asumsi aktuaria (i_A) dan tingkat bunga atas kewajiban pensiun ( _�) besarnya sama yaitu sebesar 6%,

7 perhitungan seluruh besaran dinyatakan ke dalam proporsi dari total manfaat pensiun.

Perhitungan

(24)

12

Gaji₅₅ = 1 + 0.02 30 1 = 1.81136.

Asumsi penentuan manfaat pensiun ditentukan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir, sehingga diperoleh total manfaat pensiun yang dibayarkan setiap tahun adalah

= 109₌₅₆ = 2

3 1.81136 2176943 = 2628820.614,

perhitungan 109₌₅₆ dijelaskan di Lampiran 2.

Selanjutnya dilakuan perhitungan kontribusi normal berdasarkan persamaan (1), proporsi NC terhadap B setiap tahunnya adalah 472139 .409

2628820 .614= 0.180.

Dari persamaaan (2) actuarial liability setiap tahunnya dihitung dengan persamaan

= (2156681 .205)_0.056603773 = 38101367.950,

sehingga proporsi AL terhadap B setiap tahunnya sebesar 38101367 .950

2628820 .614 = 14.494. Perhitungan periode optimal ( ∗) dipengaruhi oleh standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual (�). Agar hasil periode optimal ( ∗) yang diperoleh dapat dibandingkan dan dapat dijelaskan hubungannya dengan standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual, maka perhitungannya akan dibagi ke dalam tiga kasus dengan nilai � yang berbeda. Tiga kasus tersebut dan perhitungan periode optimalnya ( ∗) adalah sebagai berikut:

(25)

13 bahwa ∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 4).

Kasus 3 Nilai �= . � kedua fungsi untuk ∗ bernilai positif sebesar 0.046, sehingga terbukti bahwa ∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 5).

Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti dengan Metode Spreading Gains and Losses

Dalam ilustrasi pendanaan pensiun manfaat-pasti di dalam karya ilmiah ini digunakan asumsi yang sama dengan asumsi sebelumnya. Karena asumsi tingkat bunga investasi aktual menyebar normal dengan ′ = sebesar 6% dan nilai � yang berbeda menjadi tiga kasus, maka tingkat bunga investasi aktual besarnya tidak konstan setiap waktu. Selanjutnya dibangkitkan data yang menyebar normal sebanyak 50 untuk tingkat bunga investasi aktual dengan nilai harapan 6% dan standar deviasi yang sesuai pada masing-masing kasus. Ilustrasi pendanaan ini dimulai dari tahun ke-0 sampai tahun ke-50.

Kasus 1 Nilai �= . �

Tahap-tahap perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti 1. Untuk tahun ke-0

Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (6) dengan asumsi � = 0 dan� =0untuk 0, yaitu

�0 = 0

⇔ � − 0 = 0

(26)

14

Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8), karena �0 = 0, maka

�0 = �0 = 0.

Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu

0 =� +�0 = 0.180.

2. Untuk tahun ke-1

Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu 1 = 1 + ′ 1 0+ 0−

= 1 + 0.060274 (14.494 + 0.180−1)

= 14.498

Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu

�1 = � − ₁ = 14.494−14.498 =−0.004.

Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan 12 atau

= 0.112525, maka

�1 = �1 = 0.112525 −0.004 = −0.0004501.

1 = � +�1 = 0.180−0.0004501 = 0.179549.

3. Untuk tahun ke-2

Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu 2 = 1 + ′ 2 1+ 1−

= 1 + 0.057338 (14.498 + 0.179549−1)

= 14.462.

Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu

�2 = � − ₂ = 14.494−14.462 = 0.032.

Kerugiandihitung dengan menggunakan persamaan (7), yaitu �2 = �2− �2. Nilai �2 ditentukan terlebih dahulu, yaitu

�2 = � − 2 = � − 1 + ( 1+ 1 − )

= 14.494− 1 + 0.06 (14.498 + 0.179549−1)

=−0.0042,

sehingga �2 = 0.032−(−0.0042) = 0.036.

Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan

= 11 atau = 0.112525, maka

�2 = �2 = 0.112525 0.032 =0.0036.

2 =� +�2 = 0.180 + 0.0036 = 0.1836.

4. Untuk 3

(27)

15

Dari Tabel 1 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi �= 0.0025, nilai dana bergerak naik dan turun secara fluktuatif yang sangat halus, nilai dana tidak berselisih jauh dengan besarnya actuarial liability. Unfunded liability bernilai negatif dan terkadang bernilai positif, artinya tidak terjadi loss yang cukup berarti. Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa pendanaan sesuai dengan rencana awal dan sebaliknya. Berkurang atau bertambahnya nilai

unfunded liability akan mengakibatkan perubahan kontribusi tambahan. Besarnya kontribusi dari waktu ke waktu bergerak naik turun namun besarnya tidak jauh signifikan dari besarnya kontribusi normal. Semua keadaan ini dikarenakan standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (�) yang kecil sehingga perbedaan antara i_Adan ′ tidak terlalu signifikan. Bahkan tingkat bunga investasi aktual yang menyebar acak normal sering menunjukkan bahwa nilai ′ _> _{, artinya sering terjadi surplus atau tidak timbul kerugian yang cukup} berarti. Keadaan inilah yang diharapkan dalam suatu pendanaan program pensiun.

(28)

16

Kasus 2 Nilai � = .

Perhitungan untuk kasus 2 dengan cara yang serupa dengan kasus 1 sebelumnya, namun dengan asumsi ( ′) = = 6% , �= 0.1 dan m_s*=11.

Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 2 berikut: (perhitungan lengkap di Lampiran 10)

Dari Tabel 2 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi �= 0.1, nilai dana kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan kerugian dan

unfunded liability. Besarnya dana sering menunjukkan nilai yang lebih besar dari

actuarial liability. Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa dana sesuai dengan rencana awal pendanaan dan sebaliknya. Berkurangnya dan bertambahnya nilai unfunded liability akan mengakibatkan kontribusi tambahan setiap tahunnya juga bertambah dan berkurang yang berbanding lurus. Besarnya kontribusi juga bergerak fluktuatif setiap tahunnya. Semua keadaan ini dikarenakan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang besarnya relatif sedang sehingga terkadang terjadi perbedaan antara dan ′ yang cukup signifikan. Hal ini berarti terkadang terjadi surplus dan terjadi defisit.

(29)

17

Kasus 3 Nilai �= . �

Perhitungan untuk kasus 3 dengan cara yang serupa dengan kasus 1 sebelumnya, namun dengan asumsi ( ′) = = 6% , �= 0.25 dan m_s*=8.

Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 3 berikut: (perhitungan lengkap di Lampiran 11)

Dari Tabel 3 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi �= 0.25 yang relatif tinggi, nilai dana kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan kerugian dan unfunded liability. Unfunded liability kadang bernilai positif dan negatif. Hal ini mengartikan bahwa kadang terjadi kerugian dan tidak terjadi kerugian, pergerakannya juga sangat fluktuatif. Nilai unfunded liability yang bergerak secara fluktuatif akan mengakibatkan kontribusi tambahan dan kontribusi juga bergerak secara fluktuatif. Pada pendanaan tahun ke-11 dan ke-12 terlihat bahwa nilai dana besarnya terlalu kecil jika dibandingkan dengan besarnya

actuarial liability. Pergerakan kontribusi tambahan sering memperlihatkan bahwa besarnya melebihi besar kontribusi normal. Hal ini jelas keadaan yang tidak diharapkan dalam rencana pendanaan pensiun. Semua keadaan ini dikarenakan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang relatif tinggi sehingga terkadang terjadi perbedaan antara dan ′ yang signifikan.

(30)

18

Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian Investasi Aktual terhadap Kontribusi

Laju Kontribusi terhadap Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian Investasi Aktual

Standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ ) akan mempengaruhi periode optimal ( ∗) untuk menyebarkan kerugian, sehingga akan mempengaruhi laju kontribusi dalam sistem pendanaannya. Laju kontribusi dari setiap kasus dengan nilai σyang berbeda dan bersesuaian dengan periode optimalnya dijelaskan pada Gambar 1 berikut:

Dari Gambar 1 dapat dijelaskan bahwa saat nilai σ yang kecil yaitu sebesar 0.0025 maka laju kontribusiakan bergerak seiring waktu t secara mulus. Artinya perbedaan besarnya kontribusi dari waktu ke waktu tidak berbeda secara signifikan. Untuk σ= 0.1 yang relatif sedang maka laju kontribusiakan bergerak secara fluktuatif dan tidak semulus pada kasus nilai σ sebelumnya yang kecil. Laju kontribusi bergerak secara fluktuatif yang relatif ekstrim terjadi saat nilai σ yang besar yaitu saat σ=0.25, sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar nilai standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ) maka laju kontribusi akan bergerak semakin tidak mulus. Hal ini serupa dengan menyatakan bahwa jika laju kontribusi bergerak semakin fluktuatif yang tidak mulus maka akan mengakibatkan ragam kontribusi yang semakin besar.

Laju Kontribusiterhadap Periode

Perbandingan besarnya kontribusi untuk setiap waktu t menggunakan periode ( _�)yang berbeda-beda ditunjukkan dengan ilustrasi kasus 1 yaitu pada saat ( ′) = = 6% , �= 0.0025 dan ∗ = 12. Kasus 1 dipilih karena memiliki ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang kecil. Akibatnya kontribusi akan memiliki laju yang lebih mulus, sehingga akan lebih mudah dibandingkan lajunya. Perbandingan laju kontribusi saat dipilih periode

(31)

19 optimal ∗ = 12 dengan periode ( _�) yang tidak optimal yang berbeda-beda yaitu sebesar 1, 8, dan 20 dijelaskan pada Gambar 2 berikut:

Dari Gambar 2 terlihat bahwa besarnya kontribusi yang dibayarkan setiap tahun dimulai dari tahun ke-1 sampai tahun ke-50 untuk periode terkecil m_s = 1

lajunya bergerak secara fluktuatif yang tidak mulus. Hal ini karena terjadinya kerugian langsung dibayarkan penuh di tahun setelahnya selama 1 periode, sedangkan laju untuk periode selain m_s= 1 dijelaskan di Gambar 3 berikut:

Dari Gambar 3 untuk periode (m_s) semakin besar maka laju kontribusi semakin halus pergerakannya. Hal ini mencerminkan bahwa semakin besar periode (m_s) yang dipilih maka semakin lambat besarnya laju kontribusi yang dibayarkan, artinya semakin lambat pula kerugian yang terjadi ditutupi

Gambar 2 Grafik perbandingan laju kontribusi saat �= 0.0025 dan

m_s = 1 dengan nilai m_s yang berbeda

(32)

20

(didistribusikan) setiap tahunnnya. Untuk periode optimal ∗ = 12, walaupun kerugian ditutupi secara lambat namun semakin lama dalam jangka panjang nilai kontribusi ini akan memiliki ragam yang minimum.

Standar Deviasi Kontribusi Jangka Panjang

Periode optimal (m_s*) akan memberikan nilai ragam yang minimum dari kontribusi yang dibayarkan dalam jangka panjang. Hal ini serupa dengan menyatakan bahwa periode optimal (m_s*) juga akan memberikan nilai standar deviasi yang minimum.

Nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode optimal

(m_s*) dari hasil perhitungan sebelumnya akan dibandingkan dengan nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode yang lebih kecil dan yang lebih besar dari periode optimal (m_s*) (perhitungan di Lampiran 12, 13, dan 14). Perbandingan nilai standar deviasi kontribusi dalam jangka panjang tersebut diberikan pada Tabel 4 berikut:

Dari Tabel 4 dapat disimpulkan bahwa saat periode penyebaran kerugian

ms semakin besar, maka nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang akan semakin kecil. Namun saat mencapai periode m_s*, maka untuk periode yang lebih besar selanjutnya, nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang akan semakin besar. Nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang yang minimum terletak pada saat periode dipilih m_s*. Semakin besar standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�), maka nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang juga akan semakin besar, namun sebaliknya periode optimalnya (m_s*) akan semakin kecil.

Tabel 4 Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan berbagai periode (m_s) dan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang berbeda

m_s Standar Deviasi (∞)

�= 0.0025 �= 0.1 �= 0.25

1 0.03418 1.36736 3.41840

4 0.01463 0.58888 1.52626

∗ ₌₈ _0.01186 _0.48339 _1.35491 ∗₌₁₁ _0.01138 _0.46947 _1.43954

∗₌₁₂ _0.01134 _0.47001 _1.49938

15 0.01145 0.48201 1.82421

(33)

21

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Simpulan yang diperoleh dari penulisan karya ilmiah ini adalah:

1 kerugian yang ditimbulkan dari perbedaan tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual pada pendanaan pensiun manfaat-pasti dapat ditutupi dengan kontribusi tambahan. Kontribusi tambahan ini dapat ditentukan dengan metode spreading gains and losses. Prinsip dasar metode ini adalah dengan menyebarkan kerugian ke beberapa periode,

2 penentuan periode optimal penyebaran kerugian pada metode spreading gains and losses ditentukan dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka panjang menggunakan prinsip nilai fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua, saat nilai standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual berturut-turut sebesar 0.0025, 0.1 dan 0.25 maka nilai periode optimal yang diperoleh berturut-turut sebesar 12 tahun, 11 tahun, dan 8 tahun. Besarnya standar deviasi kontribusi jangka panjang yang bersesuaian dengan periode optimalnya berturut-turut 0.011, 0.469, dan 1.355,

3 pada saat kondisi tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang acak dan menyebar normal, semakin besar pemilihan periode penyebaran kerugian maka semakin lambat laju kontribusi yang dibayarkan. Hal ini berarti semakin lambat kerugian yang terjadi ditutupi,

4 semakin besar standar deviasi atau ragam dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual, maka standar deviasi atau ragam dari kontribusi jangka panjang juga semakin besar. Namun sebaliknya, semakin besar standar deviasi atau ragam dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual, maka akan menyebabkan periode optimal penyebaran kerugian yang semakin kecil.

Saran

(34)

22

DAFTAR PUSTAKA

Dufresne D. 1988. Moment of pension contributions and fund levels when rates are random. Journal of the Institute of Actuaries. 44:115-535.

Haberman S. 1995. Pension funding with time delays and the optimal spread period. Astin Bulletin. 25(2):177-187.

Owadally MI, Haberman S. 1999. Pension fund dynamics and gains/losses due to random rates of investment return. North American Actuarial Journal. 3(3):105-117.

Owadally MI, Haberman S. 2004. Efficient gain and loss amortization and optimal funding in pension plans. North American Actuarial Journal. 8(1). Owadally MI. 2003. Pension funding and actuarial assumption concerning

investment returns. Astin Bulletin. 33(2):289-312.

Stewart J. 1998. Kalkulus Edisi Keempat. Susila IN, Gunawan H, penerjemah; Mahanani N, Hardani W, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Calculus Fourth Edition.

(35)

23 Lampiran 1 English Life Table No. 16.1Males

x x x

25 98517 0.00082 56 91835 0.00675 87 20722 0.15187 26 98436 0.00084 57 91214 0.00758 88 17575 0.16458 27 98353 0.00086 58 90523 0.00849 89 14683 0.17744 28 98268 0.00089 59 89754 0.00947 90 12078 0.19051 29 98181 0.00092 60 88904 0.01052 91 9777 0.20492 30 98091 0.00095 61 87969 0.01162 92 7773 0.22108 31 97997 0.00099 62 86946 0.01279 93 6055 0.23917 32 97900 0.00104 63 85834 0.01402 94 4607 0.25940 33 97798 0.00108 64 84631 0.01540 95 3412 0.28171 34 97693 0.00113 65 83328 0.01696 96 2451 0.30413 35 97582 0.00119 66 81915 0.01875 97 1705 0.32605 36 97466 0.00125 67 80379 0.02079 98 1149 0.34721 37 97344 0.00132 68 78708 0.02312 99 750 0.36807 38 97215 0.00140 69 76889 0.02579 100 474 0.38966 39 97080 0.00148 70 74905 0.02886 101 289 0.41995 40 96936 0.00158 71 72743 0.03233 102 168 0.44469 41 96783 0.00170 72 70391 0.03610 103 93 0.47032 42 96619 0.00184 73 67850 0.04017 104 49 0.49681 43 96441 0.00201 74 65125 0.04454 105 25 0.52415 44 96247 0.00221 75 62224 0.04921 106 12 0.55230 45 96034 0.00245 76 59162 0.05418 107 5 0.58121 46 95799 0.00273 77 55957 0.05945 108 2 0.61084 47 95538 0.00302 78 52630 0.06504 109 1 0.64114 48 95249 0.00333 79 49207 0.07125

49 94933 0.00364 80 45701 0.07821

50 94587 0.00396 81 42127 0.08603

51 94212 0.00429 82 38503 0.09481

52 93808 0.00462 83 34852 0.10468

53 93374 0.00502 84 31204 0.11570

54 92906 0.00549 85 27594 0.12734

(36)

(37)

(38)

26

Lanjutan

x t = 6%

/25 91 35 9777 0.13011 0.0138509 92 36 7773 0.12274 0.0103892 93 37 6055 0.11579 0.0076343 94 38 4607 0.10924 0.0054796 95 39 3412 0.10306 0.0038285 96 40 2451 0.09722 0.0025943 97 41 1705 0.09172 0.0017031 98 42 1149 0.08653 0.0010829 99 43 750 0.08163 0.0006669 100 44 474 0.07701 0.0003976 101 45 289 0.07265 0.0002289 102 46 168 0.06854 0.0001253

103 47 93 0.06466 0.0000656

104 48 49 0.061 0.0000327

105 49 25 0.05755 0.0000155

106 50 12 0.05429 0.0000069

107 51 5 0.05122 0.0000030

108 52 2 0.04832 0.0000012

109 53 1 0.04558 0.0000004

109

(39)

27 Lampiran 3 Perhitungan periode optimal ( ∗) saat ( ′) = = 6% dan

(40)

28

Lampiran 4 Perhitungan periode optimal ( ∗) saat ( ′) = = 6%

(41)

29 Lampiran 5 Perhitungan periode optimal ( ∗) saat ( ′) = = 6%

(42)

30

Lampiran 6 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses pada kasus 1

(43)

31 Lanjutan

t NC AL ′ � � �

(44)

32

(45)

33

Lanjutan

t NC AL ′ � � �

(46)

34

(47)

35

Lanjutan

t NC AL ′ � � �

(48)

36

(49)

37 0

0 Lanjutan

t NC AL ′ � � �

(50)

38

(51)

39

Lanjutan

t NC AL ′ � � �

(52)

40

(53)

41

Lanjutan

t NC AL ′ � � �

(54)

42

Lampiran 12 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat

( ′) = = 6% dan �= 0.0025 dengan berbagai nilai

(55)

43 Lampiran 13 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat

(56)

44

Lampiran 14 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat

(57)

45

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Ponorogo pada tanggal 18 November 1991 dari ayah Supangat dan ibu Yatimi. Penulis adalah putra keempat dari empat bersaudara. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Ponorogo dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif sebagai ketua Departeman Komunikasi dan Informasi Masyarakat Bina Desa BEM FMIPA IPB dan staf Departemen Sosial dan Lingkungan BEM FMIPA IPB kabinet Sahabat Scientist pada tahun 2011. Penulis juga aktif mengajar mata kuliah Pengantar Matematika TPB, Kalkulus TPB, Landasan Matematika TPB, dan Kalkulus I di bimbingan belajar dan privat mahasiswa MAFIA Clubs dan GUMATIKA FMIPA IPB.