PENENTUAN PERIODE OPTIMAL SPREADING GAINS AND
LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG
YOYOK HARIYANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013 Yoyok Hariyanto NIM G54090005
ABSTRAK
YOYOK HARIYANTO. Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Karya ilmiah ini bertujuan untuk menentukan periode optimal spreading gains and losses pada rencana pendanaan pensiun manfaat-pasti. Prinsip metode spreading gains and losses adalah dengan menyebarkan keuntungan dan kerugian ke beberapa periode. Periode optimal ditentukan dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka panjang. Pada karya ilmiah ini diasumsikan bahwa kerugian disebabkan oleh perbedaan tingkat bunga investasi aktuaria dengan tingkat bunga investasi aktual. Ilustrasi pada karya ilmiah ini menggunakan tiga kasus dengan nilai standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual sebesar 0.0025, 0.1, dan 0.25. Nilai periode optimal yang diperoleh dari ketiga kasus berturut-turut sebesar 12 tahun, 11 tahun, dan 8 tahun, serta besarnya standar deviasi dari kontribusi jangka panjang yang diperoleh berturut-turut sebesar 0.011, 0.469, dan 1.355. Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa ragam dari tingkat bunga investasi aktual berbanding lurus dengan ragam dari kontribusi dalam jangka panjang namun ragam dari tingkat bunga investasi aktual berbanding terbalik dengan periode optimal penyebaran kerugian.
Kata kunci: metode spreading gains and losses, minimum ragam kontribusi, pensiun manfaat-pasti, periode optimal
ABSTRACT
YOYOK HARIYANTO. Determining Optimal Periods of Spreading Gains and Losses by Minimizing the Variance of Long-Term Contribution. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
The purpose of this paper is to determine optimal periods of spreading gains and losses on defined benefit pension funding plan. The principle of spreading gains and losses method is by spreading gains and losses to some periods. The optimal period is determined by minimizing the variance of long-term contribution. This paper assumes that losses are caused by the difference of actuarial rate and actual rate of investment return. The illustration of this paper uses three cases which standard deviations of actual rate of investment return are 0.0025, 0.1, and 0.25. The optimal period for three cases are acquired 12 years, 11 years, and 8 years, and standard deviation of long-term contribution for three cases are acquired 0.011, 0.469, and 1.355. It is concluded that the variance of actual rate of investment return and the variance of long-term contribution are comparable but the variance of actual rate of investment return and the optimal period of spreading losses are inversely proportional.
Keywords: defined benefit pension, minimum variance of contribution, optimal period, spreading gains and losses method
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENENTUAN PERIODE OPTIMAL SPREADING GAINS AND
LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG
YOYOK HARIYANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2013
Judul Skripsi : Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang
Nama : Yoyok Hariyanto NIM : G54090005
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 orangtua tercinta (Yatimi dan Alm Supangat), kakak (Tina Wati, Zeni Sunyoto, dan Rika Umami) serta seluruh keluarga atas segala doa, kasih sayang, dan motivasinya,
2 Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing I dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II yang telah membimbing dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran dalam penulisan karya ilmiah ini,
3 Ibu Dr Berlian Setiawaty, MS selaku ketua Departemen Matematika IPB dan Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan dukungan, motivasi, dan semangatnya kepada penulis,
4 seluruh jajaran yang berwenang dan donatur Yayasan Karya Salemba Empat yang telah memberikan beasiswa selama tiga tahun kepada penulis,
5 teman organisasi daerah Ponorogo Manggolo Putro dan teman Pondok Anak Sholeh (Aziz, Danang, Doni, Febri, Iddea, dan Irfan) yang senantiasa menjadi tempat berbagi,
6 teman matematika angkatan 46 (Syaepul, Fenny, Aldi, Nurul, Lestari, Mirna, Hendra, Irma, Desyi, Evy, Fitri, Danty, Windi, dan lainnya) yang telah membantu penulis dalam kegiatan belajar,
7 seluruh staf tata usaha dan mahasiswa angkatan 44, 45, 47, dan 48 Departemen Matematika IPB yang telah menemani perjalanan penulis selama perkuliahan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013 Yoyok Hariyanto
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti 2
Nilai Sekarang Aktuaria 3
Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu 4
HASIL DAN PEMBAHASAN 4
Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti 4
Metode Spreading Gains and Losses 7
Periode Optimal pada Metode Spreading Gains and Losses 7
Ilustrasi Penentuan Periode Optimal 11
Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat Pasti dengan Metode Spreading Gains
and Losses 13
Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian
Investasi Aktual terhadap Kontribusi 18
SIMPULAN DAN SARAN 21
Simpulan 21
Saran 21
DAFTAR PUSTAKA 22
LAMPIRAN 23
DAFTAR TABEL
1 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat 𝐸 𝑖′ = 𝑖
𝐴 = 6% ,
𝜎 = 0.0025 dan ms*= 12 15
2 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat 𝐸 𝑖′ = 𝑖
𝐴 = 6% ,
𝜎 = 0.1 dan ms*= 11 16
3 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat 𝐸(𝑖′)= i
A= 6% ,
𝜎 = 0.25 dan ms*= 8 17
4 Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan berbagai periode (ms) dan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual ( 𝜎) yang
berbeda 20
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik kontribusi dengan 𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% saat dipilih periode optimal (𝑚𝑠∗) dengan nilai σ yang berbeda 18 2 Grafik perbandingan laju kontribusi saat 𝜎 = 0.0025 dan ms =
1 dengan nilai ms yang berbeda 19
3 Grafik laju kontribusi saat 𝜎 = 0.0025 dengan variasi nilai ms = 8,
𝑚𝑠∗ = 12, dan ms = 20 19
DAFTAR LAMPIRAN
1 English Life Table No. 16.1 Males 23
2 Perhitungan 31 25 𝑝 , 55x=25lx, 109𝑥=56𝑙𝑥, 𝑎 25:31| , dan 𝑎 56 24 3 Perhitungan periode optimal (𝑚𝑠∗) saat 𝐸 𝑖′ = 𝑖𝐴 = 6% dan
𝜎 = 0.0025 dengan Wolfram Mathematica 27
4 Perhitungan periode optimal (𝑚𝑠∗) saat 𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% dan
𝜎 = 0.1 dengan Wolfram Mathematica 28
5 Perhitungan periode optimal (𝑚𝑠∗) saat 𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% dan
𝜎 = 0.25 dengan Wolfram Mathematica 29
6 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses pada kasus 1 (𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% dan
𝜎 = 0.0025) dengan 𝑚𝑠 = 1 30
7 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses pada kasus 1 (𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% dan
𝜎 = 0.0025) dengan 𝑚𝑠 = 8 32
8 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses pada kasus 1 (𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% dan
9 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses pada kasus 1 (𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% dan
𝜎 = 0.0025) dengan 𝑚𝑠 = 20 36
10 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses pada kasus 2 ( 𝐸(𝑖′)= iA= 6% dan
𝜎 = 0.1) dengan 𝑚𝑠∗ = 11 38
11 Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses pada kasus 3 ( 𝐸(𝑖′)= iA= 6% dan
𝜎 = 0.25) dengan 𝑚𝑠∗ = 8 40
12 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat 𝐸(𝑖′) = 𝑖
𝐴 = 6% dan 𝜎 = 0.0025 dengan berbagai nilai periode
(𝑚𝑠) yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica) 42 13 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat
𝐸(𝑖′) = 𝑖
𝐴 = 6% dan 𝜎 = 0.1 dengan berbagai nilai periode (𝑚𝑠)
yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica) 43
14 Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat 𝐸(𝑖′) = 𝑖
𝐴 = 6% dan 𝜎 = 0.25 dengan berbagai nilai periode (𝑚𝑠)
yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica) 44
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kebutuhan tidak pernah lepas dari kehidupan seseorang. Saat usia produktif orang bekerja untuk mendapatkan penghasilan guna memenuhi segala kebutuhan. Namun di saat usia tidak produktif (masa tua) orang sudah tidak mampu lagi bekerja, namun tuntutan kebutuhan hidup tetap harus dipenuhi. Oleh karena itu seseorang harus selalu dapat menjaga kesinambungan penghasilan sampai pada saat orang tersebut tidak mampu lagi bekerja pada usia tertentu. Salah satu sistem yang dapat menjamin kesinambungan penghasilan adalah program dana pensiun.
Berdasarkan UU Republik Indonesia Nomor 11 tahun 1992 tentang Dana Pensiun, program dana pensiun merupakan badan hukum yang didirikan dalam upaya untuk memelihara kesinambungan penghasilan pada hari tua untuk karyawan. Sehingga jika dilihat dari tujuannya, program pensiun merupakan salah satu solusi agar tuntutan akan kebutuhan tetap dapat terpenuhi dan taraf hidup tetap terjaga.
Salah satu jenis program pensiun adalah program pensiun manfaat-pasti. Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang penentuan besarnya benefit (manfaat) yang diperoleh peserta pensiun sudah ditetapkan di awal namun besarnya iuran yang dibayarkan peserta dari waktu ke waktu tidak pasti jumlahnya, bergantung pada kesediaan dana yang terkumpul untuk memenuhi kewajiban manfaat pensiun tersebut. Seorang aktuaris melakukan perhitungan secara cermat dan berkesinambungan untuk menentukan besarnya contribution (kontribusi) yang harus dibayarkan peserta setiap periodenya agar dana yang terkumpul dapat menjamin seluruh kewajiban manfaat pensiun.
Pada proses perhitungan, seorang aktuaris menggunakan asumsi-asumsi aktuaria untuk memprediksikan segala kemungkinan yang terjadi. Menurut Winklevoss (1977) asumsi tersebut berkaitan dengan tingkat kematian (mortalitas), tingkat gaji (termasuk inflasinya), dan tingkat bunga. Asumsi tingkat bunga terbagi menjadi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun dan tingkat bunga yang dikenakan atas aset pensiun (pengembalian investasi).
Dalam rencana pendanaan, tingkat bunga pengembalian investasi ditetapkan oleh aktuaris namun faktanya penetapan ini mungkin berbeda dengan tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang sebenarnya. Perbedaan ini akan menimbulkan laba atau rugi. Agar dana yang terkumpul tetap mampu mencukupi kewajiban program pensiun, maka laba atau rugi ini harus ditutupi dengan supplementary contribution. Supplementary contribution merupakan kontribusi tambahan yang timbul akibat terjadinya laba atau rugi.
Ada beberapa metode untuk menentukan besarnya nilai kontribusi tambahan, salah satunya metode spreading gains and losses. Prinsip dasar metode ini adalah penyebaran loss (kerugian) yang terjadi pada waktu 𝑡 yang didistribusikan pada waktu t, t+1, t+2, dan seterusnya. Penentuan kontribusi tambahan ini sebanding dengan suatu proporsi dari besarnya kerugian yang terjadi. Pemilihan proporsi ini dipengaruhi oleh periode m (tahun) untuk menyebarkan kerugian. Pemilihan nilai periode m adalah bebas. Namun Owadally dan Haberman (2004) menyatakan bahwa pada kondisi ekonomi modern, pemilihan periode m yang cocok antara
2
skala 1 sampai 10 tahun. Karya ilmiah ini menjelaskan tentang penentuan periode (m) yang optimal. Penentuan periode optimal ini didasarkan pada prinsip ragam minimum dari kontribusi dalam jangka panjang agar stabilitas kontribusi maksimal. Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Owadally dan Haberman (1999) yang berjudul “Pension Fund Dynamics and Gains/Losses Due to Random Rates of Investment Return”.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
1 menjelaskan dan memberikan ilustrasi mengenai metode spreading gains and losses pada pendanaan pensiun manfaat-pasti dengan asumsi terjadinya kerugian disebabkan oleh perbedaan antara tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual,
2 menentukan periode optimal penyebaran kerugian pada metode spreading gains and losses dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka panjang,
3 menganalisis dampak pemilihan periode optimal penyebaran kerugian terhadap laju kontribusi,
4 menjelaskan pengaruh ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual terhadap besarnya periode optimal penyebaran kerugian dan besarnya ragam kontribusi dalam jangka panjang.
TINJAUAN PUSTAKA
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
Asuransi pensiun manfaat-pasti adalah asuransi pensiun yang penentuan besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki usia pensiun normal sudah ditentukan di awal. Penetapan besarnya manfaat pensiun ini akan digunakan sebagai patokan untuk perhitungan besarnya penetapan kontribusi yang harus dibayarkan peserta setiap periodenya. Menurut Dufresne (1988) terdapat beberapa asumsi tingkat bunga yang digunakan pada pendanaan pensiun manfaat-pasti, yaitu tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria (𝑖𝐴), tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun (𝑖𝐿), dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual (𝑖′).
Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi (𝑖𝐴) merupakan asumsi yang digunakan untuk menentukan besarnya imbalan pengembalian atas dana (aset) program pensiun. Besar kecilnya perkiraan tingkat pengembalian investasi ini berbanding lurus dengan besar kecilnya hasil investasi dari dana yang akan diperoleh. Asumsi tingkat bunga atas kewajiban pensiun (𝑖𝐿) merupakan tingkat bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan diterima di masa saat manfaat-pensiun diterima. Besarnya 𝑖𝐿 biasanya ditentukan dari perkiraan awal oleh aktuaris yang didasarkan pada faktor tingkat bunga yang dikenakan atas aset bebas resiko, obligasi yang dikeluarkan
3 pemerintah atau sesuai peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu. Asumsi tingkat bunga ketiga yang digunakan adalah 𝑖′, yaitu tingkat bunga yang diperoleh dari investasi dana secara aktual yang diketahui di akhir suatu periode tertentu (Dufresne 1988).
Program pensiun manfaat-pasti menerapkan metode entry age normal, yaitu metode yang menerapkan pendanaan dengan memandang manfaat pensiun pada usia pensiun normal. Metode ini menentukan normal contribution (kontribusi normal) yang akan dibayarkan setiap peserta berpedoman awal dari besarnya manfaat pensiun. Pandangan ini didasarkan pada beberapa faktor antara lain: gaji peserta di masa depan, gaji terakhir peserta sebelum masa pensiun, gaji rata-rata dari peserta selama masa kerja, dan masa pembayaran pembayaran kontribusi (Haberman 1995).
Ketentuan lain pada metode entry age normal pada pensiun manfaat-pasti yaitu kontribusi normal dibayarkan dari peserta dimulai saat umur peserta mulai bekerja, bukan saat umur peserta mulai mengikuti program pensiun serta besarnya kontribusi normal ini tetap setiap periodenya dan ditentukan dari proses perhitungan (Owadally dan Haberman 1999).
Nilai Sekarang Aktuaria Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan
Nilai sekarang atas pembayaran manfaat pensiun masa depan disebut juga actuarial present value of future benefit (APVFB). Besaran APVFB merupakan sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang yang ditafsirkan di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai APVFB bagi seseorang yang berumur y adalah
𝐴𝑃𝑉𝐹𝐵 𝑦 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦 𝑝 𝑧−𝑦 𝑦 𝑎 𝑧 dengan:
𝐵𝑧 = manfaat pensiun pada usia pensiun normal z,
𝑎 𝑧 = anuitas diskret di awal periode seumur hidup yang dibayarkan dimulai usia pensiun z,
𝑝
𝑧−𝑦 𝑦 = peluang bahwa seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai usia pensiun z,
𝑣𝐿 = 1 + 𝑖𝐿 −1 (tingkat diskonto), 𝑖𝐿 merupakan tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun.
Nilai Sekarang Aktuaria atas Pembayaran Kontribusi Normal
Nilai sekarang atas pembayaran kontribusi normal disebut juga dengan actuarial present value of future normal contribution (APVFNC). Besaran APVFNC merupakan sekumpulan pembayaran kontribusi peserta yang ditafsirkan di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai APVFNC bagi seseorang yang berumur y adalah
(𝐴𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑦 = (𝑁𝐶)𝑡 𝑣𝐿𝑡−𝑦 𝑧−1
𝑡=𝑦
𝑝𝑦 𝑡−𝑦
4
Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu Turunan
Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.
Menurut Stewart (1998) turunan fungsi 𝑓 pada bilangan 𝑎 dinyatakan dengan 𝑓′(𝑎) adalah
𝑓′ 𝑎 = lim ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 (𝑎)
ℎ ,
jika limit ini ada.
Jika 𝑥 = 𝑎 + ℎ, maka ℎ = 𝑥 − 𝑎 dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x mendekati 𝑎. Jika limit ini ada, maka dapat ditulis
𝑓′ 𝑎 = lim 𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) 𝑥 − 𝑎 .
Prinsip Minimum Fungsi
Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai minimum (terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua. Menurut Stewart (1998) andaikan 𝑓′′ kontinu di sekitar 𝑐, jika 𝑓′ 𝑐 = 0 dan 𝑓′′ 𝑐 > 0, maka 𝑓 mempunyai nilai minimum lokal pada 𝑐.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti
Beberapa konsep dasar pada pendanaan pensiun manfaat-pasti antara lain:
Manfaat Pensiun (B)
Manfaat pensiun adalah jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh perusahaan asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya. Besar nilainya merupakan penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi pensiun pada periode tertentu. Besarnya manfaat pensiun ditentukan di awal secara pasti dan diketahui nilainya karena akan digunakan sebagai acuan untuk menentukan berbagai perhitungan aktuaria.
Kontribusi Normal (NC)
Kontribusi normal adalah iuran yang dibayarkan oleh setiap peserta asuransi pensiun selama peserta mengikuti program ini dimulai dari usia awal y sampai usia pensiun z. Nilai kontribusi normal yang dibayarkan oleh peserta pada waktu t dilambangkan dengan (NC)t. Pada pensiun program manfaat-pasti nilai kontribusi normal konstan setiap tahunnya. Rumus untuk menentukan kontribusi normal sebagai berikut:
𝑁𝐶 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦𝑧−𝑦 𝑦 𝑝 𝑎 𝑧
5 dengan 𝑎 𝑦:𝑧−𝑦| merupakan anuitas hidup diskret di awal periode berjangka waktu (z-y) tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y.
Bukti :
Berdasarkan ketentuan bahwa nilai sekarang seseorang berusia y dari pembayaran berkala kontribusi normal besarnya harus sama dengan nilai sekarang dari pembayaran berkala manfaat pensiun seseorang berusia y yaitu
𝐴𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶 𝑦 = 𝐴𝑃𝑉𝐹𝐵 𝑦 ⇔ 𝑧−1𝑡=𝑦 𝑁𝐶 𝑡 𝑣𝐿𝑡−𝑦 𝑡−𝑦𝑝𝑦 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦 𝑧−𝑦 𝑦 𝑝 𝑎 𝑧 ⇔ 𝑧−1𝑡=𝑦 𝑁𝐶 𝑣𝐿𝑡−𝑦 𝑡−𝑦𝑝𝑦 .= 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦 𝑧−𝑦 𝑦 𝑝 𝑎 𝑧 ⇔ 𝑁𝐶 𝑧−1 𝑣𝐿𝑡−𝑦 𝑡=𝑦 𝑡−𝑦𝑝𝑦 .= 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦 𝑧−𝑦 𝑦 𝑝 𝑎 𝑧 ⇔ 𝑁𝐶 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦𝑧−𝑦 𝑦 𝑝 𝑎 𝑧 𝑣𝐿𝑡−𝑦 𝑧−1 𝑡=𝑦 𝑡−𝑦𝑝𝑦 ⇔ 𝑁𝐶 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦𝑧−𝑦 𝑦 𝑝 𝑎 𝑧 𝑎 𝑦 :𝑧−𝑦 | . ■ Actuarial Liability (AL)
Actuarial liability merupakan kewajiban aktuaria untuk menjamin suatu kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability sering disebut juga dengan cadangan manfaat untuk menjamin pembayaran benefit. Actuarial liability dihitung dengan menggunakan actuarial present value of future benefit (APVFB) saat usia x dikurangi dengan actuarial present value of future normal contribution (APVFNC) pada saat usia x. Rumus actuarial liability saat orang berumur x adalah sebagai berikut:
𝐴𝐿𝒙 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑥 𝑝
𝑧−𝑥 𝑥 𝑎 𝑧 − 𝑁𝐶 𝑎 𝑥:𝑧−𝑥| . Bukti :
Untuk usia pensiun z (𝑦 ≤ 𝑥 < 𝑧)
𝐴𝐿𝑥 = (𝐴𝑃𝑉𝐹𝐵)𝑥− (𝐴𝑃𝑉𝐹𝑁𝐶)𝑥 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑥 𝑝
𝑧−𝑥 𝑥 𝑎 𝑧 − 𝑧−1𝑡=𝑥(𝑁𝐶)𝑡 𝑣𝐿𝑡−𝑥𝑡−𝑥𝑝𝑥 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑥 𝑧−𝑥 𝑥 𝑝 𝑎 𝑧 − (𝑁𝐶) 𝑧−1𝑡=𝑥 𝑣𝐿𝑡−𝑥 𝑡−𝑥𝑝𝑥
= 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑥 𝑧−𝑥 𝑥 𝑝 𝑎 𝑧 − 𝑁𝐶 𝑎 𝑥:𝑧−𝑥| . ■ Jika secara agregrat (keseluruhan) besarnya NC, B dan 𝑖𝐿 sudah diketahui dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
𝐴𝐿 =(𝐵−𝑁𝐶)(1−𝑣
𝐿) . (2)
Bukti:
Misalkan kontribusi normal diterima di awal tahun t dan manfaat pensiun juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban pensiun. Kondisi ini menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun karena penerimaan kontribusi normal dan pembayaran manfaat pensiun. Jika dilihat pada waktu t berlaku
𝑣𝐿 ∆𝐴𝐿𝑡 = 𝑁𝐶𝑡 + 𝑑𝐿𝐴𝐿𝑡+1 − 𝐵𝑡.
Karena 𝐴𝐿𝑡 = 𝐴𝐿𝑡+1= 𝐴𝐿 konstan, maka ∆𝐴𝐿𝑡 = 0 , B dan NC juga konstan, sehingga berlaku juga
𝑁𝐶 + 𝑑𝐿𝐴𝐿 − 𝐵 = 0 ⇔ 𝑑𝐿 𝐴𝐿 = 𝐵 − 𝑁𝐶
6
⇔ (1 − 𝑣𝐿) 𝐴𝐿 = 𝐵 − 𝑁𝐶 ⇔ 𝐴𝐿 =(𝐵−𝑁𝐶)(1−𝑣
𝐿) . ■
Kontribusi (C)
Kontribusi merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program pensiun. Nilai kontribusi ini tidak konstan setiap periodenya. Hal ini dikarenakan nilai kontribusi pada waktu ke-t (𝐶𝑡) dipengaruhi oleh kontribusi tambahan (𝑆𝑡) yang nilainya bisa berubah setiap waktu ke-t bergantung pada keadaan laba atau rugi. Kontribusi dirumuskan
𝐶𝑡 = 𝑁𝐶 + 𝑆𝑡. (3)
Di dalam karya ilmiah ini perhitungan nilai kontribusi tambahan menggunakan metode spreading gains and losses.
Dana (F)
Dana (fund) pada saat waktu t (𝐹𝑡) merupakan nilai total dana yang dimiliki suatu program pensiun pada waktu t. Dana ini terdiri dari total pembayaran kontribusi seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun, dan termasuk hasil pengembangan investasi dari dana pensiun tersebut. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:
Rumus untuk nilai dana atas asumsi aktuaria 𝐹𝑡𝐴 = 1 + 𝑖
𝐴 (𝐹𝑡−1 + 𝐶𝑡−1− 𝐵) (4)
dan rumus untuk nilai dana aktual 𝐹𝑡 = 1 + 𝑖′ 𝐹
𝑡−1+ 𝐶𝑡−1− 𝐵 . (5)
Unfunded Liability (UL)
Unfunded liability pada waktu ke-t adalah selisih nilai actuarial liability pada waktu ke-t dengan aset program pensiun secara aktual pada periode tersebut. Unfunded liability dirumuskan
𝑈𝐿𝑡 = 𝐴𝐿𝑡 − 𝐹𝑡. (6)
Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun kedepannya. Jika nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada pendanaan pensiun tersebut dan sebaliknya.
Kerugian (L)
Kerugian merupakan indikasi terjadi situasi laba atau rugi pada pendanaan pensiun yang telah direncanakan. Kerugian bernilai positif artinya telah terjadi kerugian dan sebaliknya. Nilai kerugian diperoleh dari selisih unfunded liability yang dihitung dari asumsi aktuaria dan dari perhitungan yang sebenarnya yaitu
𝐿𝑡 = 𝑈𝐿𝑡− 𝑈𝐿𝐴𝑡, (7)
7
Metode Spreading Gains and Losses
Metode spreading gains and losses adalah metode penentuan kontribusi tambahan (supplementary contribution) pada asuransi pensiun manfaat-pasti yang mengikuti prinsip aggregate actuarial cost menthod. Aggregate actuarial cost menthod adalah metode perhitungan aktuaria yang menggunakan total nilai keseluruhan. Metode ini diterapkan di negara-negara Benua Eropa Utara terutama di Inggris (United Kingdom) (Owadally 2003).
Prinsip yang mendasari metode ini adalah perumusan kontribusi tambahan pada tahun ke-t sebanding dengan unfunded liability yang diboboti oleh suatu proporsi k tertentu. Proporsi sebesar k ini dipengaruhi oleh periode selama m tahun untuk mencicil unfunded liability seperti yang dikemukakan Dufresne (1988) yaitu
𝑆𝑡 = 𝑘 𝑈𝐿𝑡 , 𝑘 =𝑎 1
𝑚 |
, (8)
dengan penentuan 𝑎 𝑚| didasarkan pada tingkat bunga investasi aktuaria (𝑖𝐴). Selanjutnya periode (m) pada metode spreading gains and losses dilambangkan dengan ms.
Penentuan kontribusi tambahan digunakan untuk menutupi loss atau kerugian yang terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga investasi. Dufresne (1988) menyatakan bahwa tujuan dari metode ini agar nilai harapan dari kontribusi tambahan konvergen menuju 0 (nol) untuk waktu t dalam jangka panjang. Hal ini karena kestabilan kontribusi tambahan akan menentukan kestabilan kontribusi.
Menurut Dufresne (1988) terdapat dua tujuan utama dalam jangka panjang pada pendanaan pensiun. Pertama, untuk memaksimumkan jaminan manfaat pensiun dapat dilakukan dengan cara meminimumkan ragam dana. Kedua, untuk memaksimumkan stabilitas kontribusi dengan cara meminimumkan ragam dari kontribusi.
Periode Optimal pada Metode Spreading Gains and Losses
Periode (ms) pada metode spreading gains and losses adalah besaran tahun untuk menentukan berapa periode kerugian akan didistribusikan. Penentuan kontribusi tambahan dipengaruhi oleh pemilihan periode (𝑚𝑠) ini. Pemilihan periode (𝑚𝑠) umumnya bebas, namun Owadally dan Haberman (2004) menyatakan bahwa pada kondisi ekonomi modern di Eropa umumnya pemilihan 𝑚𝑠 yang sesuai yaitu 𝑚𝑠 ∈ [1,10] tahun.
Ada tiga temuan penting menurut Dufresne (1988) mengenai karakteristik dana (fund) dan kontribusi (contribution) pada metode spreading gains and losses. Temuan ini akan digunakan sebagai dasar menentukan periode optimal (𝑚𝑠∗) . Tiga temuan itu antara lain:
1 ragam dana akan meningkat berbanding lurus dengan besarnya periode,
2 ragam kontribusi akan menurun jika besarnya periode meningkat, namun ragam kontribusi akan meningkat setelah mencapai titik periode 𝑚𝑠 = 𝑚𝑠∗. Titik 𝑚𝑠∗ ini disebut periode optimal dengan ragam kontribusi yang minimum, 3 berdasarkan kriteria minimum ragam dana dan kontribusi, maka lebih efisien
8
Nilai Harapan Dana dan Kontribusi dalam Jangka Panjang
Nilai harapan kontribusi jangka panjang diharapkan stabil mendekati besarnya kontribusi normal dan nilai harapan dana diharapkan stabil mendekati besarnya actuarial liability. Nilai harapan dana dirumuskan sebagai berikut:
𝐸𝐹 𝑡 = 𝑞𝑡𝐹 0+ 𝑟1−𝑞 𝑡 1−𝑞 , 𝑡 ≥ 0 (9) dengan 𝑞 = 1 + 𝑖𝐴 1 − 𝑘 . Bukti :
Pertama, dari persamaan (3) dan (6) diperoleh 𝐶𝑡 = 𝑁𝐶𝑡 + 𝑘(𝐴𝐿𝑡 + 𝐹𝑡). Dari persamaan (5) diperoleh 𝐹𝑡+1 = 1 + 𝑖𝑡+1′ 𝐹𝑡+ 𝐶𝑡 − 𝐵𝑡 . Dari dua persamaan 𝐶𝑡 dan 𝐹𝑡+1 di atas diperoleh
𝐹𝑡+1 = 1 + 𝑖𝑡+1′ 1 − 𝑘 𝐹𝑡 + 𝑁𝐶𝑡− 𝐵𝑡+ 𝑘 𝐴𝐿𝑡
= 𝑤𝑡+1 (𝑞 𝐹𝑡 + 𝑟𝑡), (10) dengan
𝑤𝑡+1 = 1+𝑖𝑡+1′
(1+𝑖𝐴) , 𝑞 = 1 + 𝑖𝐴 1 − 𝑘 , dan 𝑟𝑡 = 1 + 𝑖𝐴 ( 𝑁𝐶𝑡 − 𝐵𝑡 + 𝑘 𝐴𝐿𝑡).
Kedua, untuk nilai harapan dana, dari persamaan (10) yang merupakan bentuk rekursif dari dana (F) dan bergantung pada 𝑖𝑠′ , 𝑠 ≤ 𝑡 , akibatnya 𝑤
𝑡+1 dan 𝑞 𝐹𝑡 + 𝑟𝑡 adalah peubah acak yang independen. Untuk 𝑛 = 1,2,3, … berlaku
𝐸𝐹(𝑡 + 1)𝑛 = 𝐸𝑤(𝑡 + 1)𝑛 𝐸 (𝑞 𝐹
𝑡+ 𝑟𝑡)𝑛. (11) Untuk 𝑛 = 1 berlaku 𝐸𝑤 𝑡 + 1 = 1. Kemudian diperoleh
𝐸𝐹 𝑡 + 1 = 𝑞 𝐸𝐹 𝑡 + 𝑟𝑡. Karena 𝐴𝐿 , B , dan NC konstan, maka
𝑟𝑡 = 1 + 𝑖𝐴 ( 𝑁𝐶𝑡− 𝐵𝑡+ 𝑘 𝐴𝐿𝑡) = 1 + 𝑖𝐴 ( 𝑁𝐶 − 𝐵 + 𝑘 𝐴𝐿 ), sehingga akan diperoleh 𝐸𝐹 𝑡 = 𝑞𝑡𝐹 0+ 𝑟1−𝑞 𝑡 1−𝑞 , 𝑡 ≥ 0. ■
Nilai harapan dana dan kontribusi untuk waktu jangka panjang adalah
𝐸𝐹 ∞ =1−𝑞𝑟 = 𝐴𝐿 (12)
dan
𝐸𝐶 ∞ = 𝑁𝐶. Bukti:
𝐸𝐹 𝑡 akan konvergen ke 𝐸𝐹 ∞ =1−𝑞𝑟 , karena 𝑞 = 1 + 𝑖𝐴 1 − 𝑘 < 1 dan 𝑘 > 𝑖𝐴
1+𝑖𝐴, dari bentuk lain persamaan (2) didapatkan
𝐴𝐿 = 1 + 𝑖𝐿 𝐴𝐿 − 𝑁𝐶 − 𝐵 atau 𝑑𝐿 𝐴𝐿 = 𝐵 − 𝑁𝐶, sehingga akan diperoleh 𝑟 = 1 + 𝑖𝐴 ( 𝑘 − 𝑑𝐿 ) 𝐴𝐿. Akibatnya
𝑟 1 − 𝑞=
1 + 𝑖𝐴 ( 𝑘 − 𝑑𝐿 ) 𝐴𝐿
9 maka untuk t dalam jangka panjang diperoleh
𝐸𝐹 ∞ =1−𝑞𝑟 = 𝐴𝐿. ■
Dari persamaan (3), (6), dan (8) diperoleh 𝐶𝑡 = 𝑁𝐶 + 𝑆𝑡 = 𝑁𝐶 + 𝑘 𝑈𝐿𝑡 = 𝑁𝐶 + 𝑘 (𝐴𝐿𝑡 − 𝐹𝑡) = 𝑁𝐶 + 𝑘 (𝐴𝐿 − 𝐹𝑡) 𝐸𝐶𝑡 = 𝐸[𝑁𝐶 + 𝑘 𝐴𝐿 − 𝐹𝑡 ] = 𝐸𝑁𝐶 + [𝑘 𝐴𝐿 − 𝐸𝐹𝑡 ] 𝐸𝐶 ∞ = 𝑁𝐶 + 𝑘 𝐴𝐿 − 𝐸𝐹 ∞ .
Karena dari persamaan (12) 𝐸𝐹 ∞ = 𝐴𝐿, maka 𝐸𝐶 ∞ = 𝑁𝐶. ■
Ragam Dana dan Kontribusi dalam Jangka Panjang
Rumus ragam jangka panjang dari dana oleh Dufresne (1988) diberikan sebagai berikut:
Jika tidak ada penundaan waktu, 𝑑 ≤ 𝑘 ≤ 1, 𝑑 = 1 − 1+𝑖1
𝐴 , 𝑘 ≠ 1 −(𝑢2+𝜎𝑢 2) , 𝑘 ≠ 𝑘𝑚𝑖𝑛, dan 𝑘𝑚𝑖𝑛 = 1 − (𝑢21+ 𝜎2) , maka lim𝑡→∞𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) =(1−𝑎)𝑏 𝐴𝐿2 (13) dengan 𝑎 = 1 − 𝑘 2 1 + 𝑖 𝐴 2+ 𝜎2 dan 𝑏 = 𝜎2 1 + 𝑖𝐴 −2. Bukti:
Dari persamaan (11) dapat ditentukan momen kedua dari dana yaitu 𝐸𝐹 𝑡 + 1 2 = 𝐸𝑤 𝑡 + 1 2 𝐸 𝑞 𝐹 𝑡 − 𝐸𝐹 𝑡 + 𝑞 𝐸𝐹 𝑡 − 𝑟 2
= 𝐸𝑤(𝑡 + 1)2 𝑞2 𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 + 𝑞 𝐸𝐹 𝑡 − 𝑟 2 . Ragam dari dana diberikan oleh
𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 + 1 = 𝐸𝐹 𝑡 + 1 2− (𝐸𝐹(𝑡 + 1))2 = 𝐸𝑤 𝑡 + 1 2 𝑞2 𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 +( 𝐸𝑤(𝑡 + 1)2− 1) (𝐸𝐹(𝑡 + 1))2 (14) dengan 𝐸𝑤 𝑡 + 1 2 = 1 + 𝑖 𝐴 −2𝐸 1 + 𝑖𝑡+1′ 2 = 1 + 𝑖𝐴 −2( 1 + 𝑖 𝐴 2+ 𝜎2). Dari persamaan (14) diperoleh
𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 + 1 = 1 − 𝑘 2 1 + 𝑖
𝐴 2+ 𝜎2 𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 +𝜎2 1 + 𝑖
𝐴 −2(𝐸𝐹(𝑡 + 1))2 = 𝑎 𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 + 𝑏(𝐸𝐹(𝑡 + 1))2.
Diketahui 𝑉𝑎𝑟 𝐹 0 = 0 (karena 𝐹 0 diketahui nilainya) sehingga 𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 = 𝑏 𝑡 𝑎𝑡−𝑗
𝑗 =1 𝐸𝐹 𝑗 2
, 𝑡 ≥ 1. Karena 𝑎 < 1 ekuivalen dengan 𝑘 > 1 − 1+𝑖1
𝐴 2+𝜎2 > 1 −
1
1+𝑖𝐴 = 𝑑, maka 𝐸𝐹 𝑡 → 𝐴𝐿, sehingga
lim
𝑡→∞sup 𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) ≤ 𝑎 lim𝑡→∞sup 𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) + 𝑏 𝐴𝐿 2 atau lim 𝑡→∞sup 𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) ≤ 𝑏 𝐴𝐿2 (1 − 𝑎) .
10
Hal yang sama diperoleh lim
𝑡→∞inf 𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) ≥ 𝑎 lim𝑡→∞inf 𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) + 𝑏 𝐴𝐿 2 atau lim 𝑡→∞inf 𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) ≥ 𝑏 𝐴𝐿2 (1 − 𝑎) , sehingga lim𝑡→∞𝑉𝑎𝑟 𝐹(𝑡) =𝑏 𝐴𝐿 2 (1−𝑎) . ■
Persamaan ragam kontribusi jangka panjang diberikan sebagai berikut: lim𝑡→∞𝑉𝑎𝑟 𝐶(𝑡) =𝑘(1−𝑎)2𝑏 𝐴𝐿2 . (15) Bukti:
Dari persamaan (3), (6), dan (8) diperoleh 𝐶𝑡 = 𝑁𝐶 + 𝑆𝑡 = 𝑁𝐶 + 𝑘 𝑈𝐿𝑡 = 𝑁𝐶 + 𝑘 (𝐴𝐿𝑡 − 𝐹𝑡) = 𝑁𝐶 + 𝑘 (𝐴𝐿 − 𝐹𝑡) 𝑉𝑎𝑟 𝐶𝑡 = 𝑉𝑎𝑟[𝑁𝐶 + 𝑘 𝐴𝐿 − 𝐹𝑡 ] = 𝑉𝑎𝑟𝑁𝐶 + 𝑉𝑎𝑟[𝑘 𝐴𝐿 − 𝐹𝑡 ] = 𝑉𝑎𝑟𝑁𝐶 + 𝑘2 𝑉𝑎𝑟 𝐴𝐿 + 𝑘2 𝑉𝑎𝑟𝐹 𝑡.
Karena NC dan AL konstan, maka untuk 𝑡 → ∞ berlaku 𝑉𝑎𝑟 𝐶𝑡 = 𝑘2 𝑉𝑎𝑟𝐹𝑡, sehingga
lim𝑡→∞𝑉𝑎𝑟 𝐶(𝑡) = 𝑘2lim
𝑡→∞𝑉𝑎𝑟𝑓(𝑡) =𝑘
2𝑏 𝐴𝐿2
(1−𝑎) . ■
Fungsi Ragam Kontribusi Jangka Panjang terhadap Periode
Dengan asumsi penggunaan tingkat bunga 𝑖𝐴 dan 𝑖𝐿 yang sama sebesar 𝑖, maka kerugian hanya terjadi karena adanya perbedaan asumsi tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria(𝑖𝐴) dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual (𝑖′) . Sehingga fungsi ragam jangka panjang dari kontribusi dapat dinyatakan sebagai fungsi yang kontinu dari periode (𝑚𝑠) sebagai berikut:
lim𝑡→∞𝑉𝑎𝑟 𝐶(𝑡) = 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 𝑖2
1−𝑣𝑚 𝑠 2𝑢2−(𝑢2+𝜎2) 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢−𝑖 2 (16)
dengan:
𝑖 = tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria atau tingkat bunga atas kewajiban pensiun (𝑖𝐴 = 𝑖𝐿),
𝜎2 = ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual, 𝑢 = (1 + 𝑖), dan 𝑣 = 1 + 𝑖 −1.
Bukti :
Dari persamaan (15) diperoleh lim 𝑡→∞𝑉𝑎𝑟 𝐶(𝑡) = 𝑘2𝑏 𝐴𝐿2 (1 − 𝑎) = 𝑘 2 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 1 − (𝑢2+ 𝜎2) 1 − 𝑘 2
11 = (𝑎 1 𝑚 𝑠| ) 2 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 1 − (𝑢2+ 𝜎2) 1 − ( 1 𝑎 𝑚 𝑠| ) 2 = 𝑖2 1 − 𝑣𝑚𝑠 2𝑢2 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 1 − (𝑢2+ 𝜎2 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢−𝑖 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢 2 ) = 𝑖2 1 − 𝑣𝑚𝑠 2𝑢2 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 1−𝑣𝑚 𝑠 2𝑢2−(𝑢2+𝜎2) 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢−𝑖 2 1−𝑣𝑚 𝑠 2𝑢2 lim 𝑡→∞𝑉𝑎𝑟 𝐶 𝑡 = 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 𝑖2 1 − 𝑣𝑚𝑠 2𝑢2− (𝑢2+ 𝜎2) 1 − 𝑣𝑚𝑠 𝑢 − 𝑖 2 . ■ Persamaan (16) di atas akan digunakan untuk menentukan periode optimal (𝑚𝑠∗) dengan meminimumkan nilai limit takhingga ragam kontribusi yaitu
𝑚𝑠∗ = 𝑚𝑖𝑛𝑚𝑠
𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 𝑖2
1−𝑣𝑚 𝑠 2𝑢2−(𝑢2+𝜎2) 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢−𝑖 2 . (17)
Ilustrasi Penentuan Periode Optimal Asumsi
Ilustrasi akan diberikan untuk menentukan periode optimal (𝑚𝑠∗) dengan cara meminimumkan ragam kontribusi jangka panjang pada kondisi yang memenuhi asumsi-asumsi sebagai berikut:
1 tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table No.16.1 Males (di Lampiran 1),
2 populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan semua peserta program pensiun mulai bekerja pada usia y yaitu 25 tahun dan usia pensiun normal z yaitu 56 tahun,
3 gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap tahun sebesar 2%,
4 manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir,
5 tidak terjadi inflasi dan tingkat bunga investasi aktual menyebar normal dengan nilai harapan 𝐸 𝑖′ = 𝑖𝐴 sebesar 6% dan standar deviasi tertentu (dijelaskan pada ilustrasi perhitungan di tiga kasus dengan nilai standar deviasi yang berbeda pada pembahasan berikutnya),
6 tingkat pengembalian investasi asumsi aktuaria (iA) dan tingkat bunga atas kewajiban pensiun (𝑖𝐿 ) besarnya sama yaitu sebesar 6%,
7 perhitungan seluruh besaran dinyatakan ke dalam proporsi dari total manfaat pensiun.
Perhitungan
Gaji diasumsikan sebesar 1 satuan yang mengalami kenaikan 2% setiap tahun, maka besarnya gaji terakhir di usia 55 tahun yaitu
12
Gaji55 = 1 + 0.02 30 1 = 1.81136.
Asumsi penentuan manfaat pensiun ditentukan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir, sehingga diperoleh total manfaat pensiun yang dibayarkan setiap tahun adalah
𝐵 = 𝐵𝑧 109𝑥=56𝑙𝑥 = 23 1.81136 2176943 = 2628820.614, perhitungan 109𝑥=56𝑙𝑥 dijelaskan di Lampiran 2.
Selanjutnya dilakuan perhitungan kontribusi normal berdasarkan persamaan (1), 𝑁𝐶 = 𝐵𝑧 𝑣𝐿𝑧−𝑦𝑧−𝑦 𝑦 𝑝 𝑎 𝑧 𝑎 𝑦 :𝑧−𝑦 | 𝑙𝑥 𝑧−1 𝑥=𝑦 = 1.20757 𝑣𝐿56−2556−25 25 𝑝 𝑎 56 𝑎 25:56−25| 𝑙𝑥 55 𝑥=25 = (1.2057) 𝑣𝐿31 𝑝31 25 𝑎 56 𝑎 25:31| (2989784) = (1.2057) 1.06 −31 14.569 (0.93217)(12.44323 ) (2989784) = 472139.409,
perhitungan 31 25 𝑝 , 55x=25lx, 𝑎 25:31|, dan 𝑎 56dijelaskan di Lampiran 2, sehingga proporsi NC terhadap B setiap tahunnya adalah 2628820 .614472139 .409 = 0.180.
Dari persamaaan (2) actuarial liability setiap tahunnya dihitung dengan persamaan 𝐴𝐿 =(𝐵−𝑁𝐶) 1−𝑣 𝐿 = (2628820 .614−472139 .409) 1−1.061 = (2156681 .205) 0.056603773 = 38101367.950,
sehingga proporsi AL terhadap B setiap tahunnya sebesar 38101367 .9502628820 .614 = 14.494. Perhitungan periode optimal (𝑚𝑠∗) dipengaruhi oleh standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual (𝜎) . Agar hasil periode optimal (𝑚𝑠∗) yang diperoleh dapat dibandingkan dan dapat dijelaskan hubungannya dengan standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual, maka perhitungannya akan dibagi ke dalam tiga kasus dengan nilai 𝜎 yang berbeda. Tiga kasus tersebut dan perhitungan periode optimalnya (𝑚𝑠∗) adalah sebagai berikut:
Kasus 1 Nilai 𝝈 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟓
Penentuan periode optimal (𝑚𝑠∗) menggunakan persamaan (17) dengan meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan 𝜎 = 0.0025 sehingga 𝑚𝑠∗ = 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑠( 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 𝑖2 1−𝑣𝑚 𝑠 2𝑢2−(𝑢2+𝜎2) 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢−𝑖 2) = 𝑚𝑖𝑛𝑚𝑠( 0.00252 14.4942 1.06−2 0.062 1−1.06−𝑚 𝑠 21.062−(1.062+0.00252) 1−1.06−𝑚 𝑠 1.06−0.06 2).
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh 𝑚𝑠∗ = 12.402 atau dibulatkan 𝑚𝑠∗ = 12 . Uji turunan kedua diperoleh nilai turunan kedua fungsi untuk 𝑚𝑠∗ bernilai positif sebesar 8.731 × 10−7, sehingga terbukti bahwa 𝑚𝑠∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 3).
13
Kasus 2 Nilai 𝝈 = 𝟎. 𝟏
Penentuan periode optimal (𝑚𝑠∗) menggunakan persamaan (17) dengan meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan 𝜎 = 0.1 sehingga 𝑚𝑠∗ = 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑠( 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 𝑖2 1−𝑣𝑚 𝑠 2𝑢2−(𝑢2+𝜎2) 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢−𝑖 2) = 𝑚𝑖𝑛𝑚𝑠 0.12 14.4942 1.06−2 0.062 1−1.06−𝑚 𝑠 21.062−(1.062+0.12) 1−1.06−𝑚 𝑠 1.06−0.06 2 .
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh 𝑚𝑠∗= 11.232 atau dibulatkan 𝑚𝑠∗ = 11 . Uji turunan kedua diperoleh nilai turunan kedua fungsi untuk 𝑚𝑠∗ bernilai positif sebesar 0.002, sehingga terbukti bahwa 𝑚𝑠∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 4).
Kasus 3 Nilai 𝝈 = 𝟎. 𝟐𝟓
Penentuan periode optimal (𝑚𝑠∗) menggunakan persamaan (17) dengan meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan 𝜎 = 0.25 sehingga 𝑚𝑠∗ = 𝑚𝑖𝑛𝑚𝑠( 𝜎2 𝐴𝐿2 𝑣2 𝑖2 1−𝑣𝑚 𝑠 2𝑢2−(𝑢2+𝜎2) 1−𝑣𝑚 𝑠 𝑢−𝑖 2) = 𝑚𝑖𝑛𝑚𝑠 0.252 14.4942 1.06−2 0.062 1−1.06−𝑚 𝑠 21.062−(1.062+0.252) 1−1.06−𝑚 𝑠 1.06−0.06 2 .
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh 𝑚𝑠∗= 7.680 atau dibulatkan 𝑚
𝑠∗= 8. Uji turunan kedua diperoleh nilai turunan kedua fungsi untuk 𝑚𝑠∗ bernilai positif sebesar 0.046, sehingga terbukti bahwa 𝑚
𝑠∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 5).
Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti dengan Metode Spreading Gains and Losses
Dalam ilustrasi pendanaan pensiun manfaat-pasti di dalam karya ilmiah ini digunakan asumsi yang sama dengan asumsi sebelumnya. Karena asumsi tingkat bunga investasi aktual menyebar normal dengan 𝐸 𝑖′ = 𝑖
𝐴 sebesar 6% dan nilai 𝜎 yang berbeda menjadi tiga kasus, maka tingkat bunga investasi aktual besarnya tidak konstan setiap waktu. Selanjutnya dibangkitkan data yang menyebar normal sebanyak 50 untuk tingkat bunga investasi aktual dengan nilai harapan 6% dan standar deviasi yang sesuai pada masing-masing kasus. Ilustrasi pendanaan ini dimulai dari tahun ke-0 sampai tahun ke-50.
Kasus 1 Nilai 𝝈 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟓
Tahap-tahap perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti 1. Untuk tahun ke-0
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (6) dengan asumsi 𝑈𝐿𝑡 = 0 dan 𝐿𝑡 = 0 untuk 𝑡 ≤ 0, yaitu
𝑈𝐿0 = 0 ⇔ 𝐴𝐿 − 𝐹0 = 0 ⇔ 𝐹0 = 𝐴𝐿.= 14.494.
14
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8), karena 𝑈𝐿0 = 0, maka
𝑆0 = 𝑘 𝑈𝐿0 = 0.
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu 𝐶0 = 𝑁𝐶 + 𝑆0 = 0.180.
2. Untuk tahun ke-1
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu 𝐹1 = 1 + 𝑖′ 1 𝐹
0+ 𝐶0− 𝐵
= 1 + 0.060274 (14.494 + 0.180 − 1) = 14.498
Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu
𝑈𝐿1 = 𝐴𝐿 − 𝐹1 = 14.494 − 14.498 = −0.004. Kerugian dihitung menggunakan persamaan (7),
yaitu 𝐿1 = 𝑈𝐿1− 𝑈𝐿𝐴1. Nilai 𝑈𝐿 1
𝐴 ditentukan terlebih dahulu, yaitu 𝑈𝐿1𝐴 = 𝐴𝐿 − 𝐹
1𝐴 = 𝐴𝐿 − 1 + 𝑖𝐴 (𝐹0+ 𝐶0− 𝐵) = 14.494 − 1 + 0.06 (14.494 + 0.180 − 1) = −0.00044,
sehingga 𝐿1 = −0.004 − 0.00044 = −0.00444.
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan 𝑚𝑠12 atau 𝑘 = 0.112525, maka
𝑆1 = 𝑘 𝑈𝐿1 = 0.112525 −0.004 = −0.0004501. Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
𝐶1 = 𝑁𝐶 + 𝑆1 = 0.180 − 0.0004501 = 0.179549. 3. Untuk tahun ke-2
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu 𝐹2 = 1 + 𝑖′ 2 𝐹
1+ 𝐶1− 𝐵
= 1 + 0.057338 (14.498 + 0.179549 − 1) = 14.462.
Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu 𝑈𝐿2 = 𝐴𝐿 − 𝐹2 = 14.494 − 14.462 = 0.032. Kerugian dihitung dengan menggunakan persamaan (7), yaitu 𝐿2 = 𝑈𝐿2− 𝑈𝐿𝐴2. Nilai 𝑈𝐿2𝐴 ditentukan terlebih dahulu, yaitu
𝑈𝐿𝐴2 = 𝐴𝐿 − 𝐹
2𝐴 = 𝐴𝐿 − 1 + 𝑖𝐴 (𝐹1+ 𝐶1 − 𝐵)
= 14.494 − 1 + 0.06 (14.498 + 0.179549 − 1) = −0.0042,
sehingga 𝐿2 = 0.032 − (−0.0042) = 0.036.
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan 𝑚𝑠 = 11 atau 𝑘 = 0.112525, maka
𝑆2 = 𝑘 𝑈𝐿2 = 0.112525 0.032 =0.0036. Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
𝐶2 = 𝑁𝐶 + 𝑆2 = 0.180 + 0.0036 = 0.1836. 4. Untuk 𝑡 ≥ 3
Untuk 𝑡 ≥ 3 berlaku langkah-langkah yang serupa dengan t sebelumnya. Dengan lembar kerja Microsoft Excel secara rekursif (perhitungan lengkap di Lampiran 8) diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 1 berikut:
15
Dari Tabel 1 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi 𝜎 = 0.0025, nilai dana bergerak naik dan turun secara fluktuatif yang sangat halus, nilai dana tidak berselisih jauh dengan besarnya actuarial liability. Unfunded liability bernilai negatif dan terkadang bernilai positif, artinya tidak terjadi loss yang cukup berarti. Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa pendanaan sesuai dengan rencana awal dan sebaliknya. Berkurang atau bertambahnya nilai unfunded liability akan mengakibatkan perubahan kontribusi tambahan. Besarnya kontribusi dari waktu ke waktu bergerak naik turun namun besarnya tidak jauh signifikan dari besarnya kontribusi normal. Semua keadaan ini dikarenakan standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (𝜎) yang kecil sehingga perbedaan antara iA dan 𝑖′ tidak terlalu signifikan. Bahkan tingkat bunga investasi aktual yang menyebar acak normal sering menunjukkan bahwa nilai 𝑖′ > 𝑖
𝐴, artinya sering terjadi surplus atau tidak timbul kerugian yang cukup berarti. Keadaan inilah yang diharapkan dalam suatu pendanaan program pensiun.
Tabel 1 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat 𝐸 𝑖′ = 𝑖
𝐴 = 6% , 𝜎 = 0.0025 dan ms*= 12 t NC AL 𝑖′𝑡 𝐹𝑡 𝑈𝐿𝑡 𝐿𝑡 𝐶𝑡 𝑆𝑡 0 0.180 14.494 0 14.494 0 0 0.180 0 1 0.180 14.494 0.060 14.498 -0.004 -0.004 0.180 -0.000 2 0.180 14.494 0.057 14.462 0.032 0.036 0.184 0.004 3 0.180 14.494 0.061 14.476 0.018 -0.012 0.182 0.002 4 0.180 14.494 0.061 14.486 0.008 -0.009 0.181 0.001 5 0.180 14.494 0.059 14.480 0.014 0.007 0.182 0.002 6 0.180 14.494 0.060 14.478 0.016 0.003 0.182 0.002 7 0.180 14.494 0.060 14.476 0.018 0.004 0.182 0.002 8 0.180 14.494 0.060 14.476 0.018 0.001 0.182 0.002 9 0.180 14.494 0.063 14.513 -0.019 -0.035 0.178 -0.002 10 0.180 14.494 0.059 14.493 0.001 0.020 0.180 0.000 11 0.180 14.494 0.063 14.531 -0.037 -0.038 0.176 -0.004 12 0.180 14.494 0.062 14.562 -0.068 -0.032 0.172 -0.008 13 0.180 14.494 0.061 14.568 -0.074 -0.010 0.172 -0.008 14 0.180 14.494 0.060 14.558 -0.064 0.006 0.173 -0.007 15 0.180 14.494 0.061 14.566 -0.072 -0.012 0.172 -0.008 20 0.180 14.494 0.057 14.517 -0.023 0.046 0.177 -0.003 30 0.180 14.494 0.063 14.555 -0.061 -0.039 0.173 -0.007 40 0.180 14.494 0.061 14.559 -0.065 -0.007 0.173 -0.007 50 0.180 14.494 0.063 14.601 -0.107 -0.046 0.168 -0.012
16
Kasus 2 Nilai 𝝈 = 𝟎. 𝟏
Perhitungan untuk kasus 2 dengan cara yang serupa dengan kasus 1 sebelumnya, namun dengan asumsi 𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% , 𝜎 = 0.1 dan ms*= 11. Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 2 berikut: (perhitungan lengkap di Lampiran 10)
Dari Tabel 2 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi 𝜎 = 0.1 , nilai dana kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan kerugian dan unfunded liability. Besarnya dana sering menunjukkan nilai yang lebih besar dari actuarial liability. Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa dana sesuai dengan rencana awal pendanaan dan sebaliknya. Berkurangnya dan bertambahnya nilai unfunded liability akan mengakibatkan kontribusi tambahan setiap tahunnya juga bertambah dan berkurang yang berbanding lurus. Besarnya kontribusi juga bergerak fluktuatif setiap tahunnya. Semua keadaan ini dikarenakan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (𝜎) yang besarnya relatif sedang sehingga terkadang terjadi perbedaan antara 𝑖𝐴 dan 𝑖′ yang cukup signifikan. Hal ini berarti terkadang terjadi surplus dan terjadi defisit.
Tabel 2 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat 𝐸(𝑖′) = 𝑖
𝐴 = 6% , 𝜎 = 0.1 dan ms*= 11 t NC AL 𝑖′𝑡 𝐹𝑡 𝑈𝐿𝑡 𝐿𝑡 𝐶𝑡 𝑆𝑡 0 0.180 14.494 0 14.494 0 0 0.180 0 1 0.180 14.494 0.027 14.038 0.456 0.457 0.235 0.055 2 0.180 14.494 0.061 14.081 0.413 -0.013 0.229 0.049 3 0.180 14.494 0.016 13.524 0.970 0.586 0.296 0.116 4 0.180 14.494 0.163 14.913 -0.419 -1.324 0.130 -0.050 5 0.180 14.494 0.093 15.343 -0.849 -0.457 0.078 -0.102 6 0.180 14.494 0.007 14.522 -0.028 0.765 0.177 -0.003 7 0.180 14.494 -0.030 13.345 1.149 1.176 0.317 0.137 8 0.180 14.494 0.192 15.089 -0.595 -1.667 0.109 -0.071 9 0.180 14.494 0.243 17.653 -3.159 -2.604 -0.200 -0.378 10 0.180 14.494 0.025 16.862 -2.368 0.580 -0.100 -0.283 11 0.180 14.494 -0.030 15.346 -0.852 1.359 0.078 -0.102 12 0.180 14.494 0.144 16.500 -2.006 -1.211 -0.060 -0.240 13 0.180 14.494 0.191 18.390 -3.896 -2.023 -0.290 -0.466 14 0.180 14.494 0.148 19.630 -5.136 -1.500 -0.430 -0.614 15 0.180 14.494 -0.000 18.139 -3.645 1.148 -0.260 -0.436 20 0.180 14.494 0.039 17.543 -3.049 0.354 -0.180 -0.365 30 0.180 14.494 0.326 21.685 -7.191 -4.346 -0.680 -0.860 40 0.180 14.494 0.054 21.082 -6.588 0.123 -0.610 -0.788 50 0.180 14.494 0.008 19.625 -5.131 1.018 -0.430 -0.614
17
Kasus 3 Nilai 𝝈 = 𝟎. 𝟐𝟓
Perhitungan untuk kasus 3 dengan cara yang serupa dengan kasus 1 sebelumnya, namun dengan asumsi 𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% , 𝜎 = 0.25 dan ms*= 8. Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 3 berikut: (perhitungan lengkap di Lampiran 11)
Dari Tabel 3 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi 𝜎 = 0.25 yang relatif tinggi, nilai dana kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan kerugian dan unfunded liability. Unfunded liability kadang bernilai positif dan negatif. Hal ini mengartikan bahwa kadang terjadi kerugian dan tidak terjadi kerugian, pergerakannya juga sangat fluktuatif. Nilai unfunded liability yang bergerak secara fluktuatif akan mengakibatkan kontribusi tambahan dan kontribusi juga bergerak secara fluktuatif. Pada pendanaan tahun ke-11 dan ke-12 terlihat bahwa nilai dana besarnya terlalu kecil jika dibandingkan dengan besarnya actuarial liability. Pergerakan kontribusi tambahan sering memperlihatkan bahwa besarnya melebihi besar kontribusi normal. Hal ini jelas keadaan yang tidak diharapkan dalam rencana pendanaan pensiun. Semua keadaan ini dikarenakan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (𝜎) yang relatif tinggi sehingga terkadang terjadi perbedaan antara 𝑖𝐴 dan 𝑖′ yang signifikan.
Tabel 3 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan metode spreading gains and losses saat 𝐸(𝑖′)= i
A= 6% , 𝜎 = 0.25 dan ms*= 8 t NC AL 𝑖′𝑡 𝐹𝑡 𝑈𝐿𝑡 𝐿𝑡 𝐶𝑡 𝑆𝑡 0 0.180 14.494 0 14.494 0 0 0.180 0 1 0.180 14.494 0.474 20.160 -5.666 -5.666 -0.680 -0.861 2 0.180 14.494 0.264 23.352 -8.858 -3.764 -1.170 -1.346 3 0.180 14.494 -0.189 17.180 -2.686 5.278 -0.230 -0.408 4 0.180 14.494 -0.205 12.679 1.815 4.230 0.456 0.276 5 0.180 14.494 0.398 16.964 -2.470 -4.102 -0.200 -0.375 6 0.180 14.494 -0.183 12.882 1.612 3.833 0.425 0.245 7 0.180 14.494 -0.105 11.019 3.475 2.027 0.708 0.528 8 0.180 14.494 0.068 11.455 3.039 -0.084 0.642 0.462 9 0.180 14.494 0.194 13.250 1.244 -1.488 0.369 0.189 10 0.180 14.494 -0.125 11.044 3.450 2.333 0.704 0.524 11 0.180 14.494 -0.323 7.276 7.218 4.117 1.277 1.097 12 0.180 14.494 0.147 8.660 5.834 -0.654 1.066 0.886 13 0.180 14.494 0.404 12.249 2.245 -2.999 0.521 0.341 14 0.180 14.494 0.428 16.811 -2.317 -4.335 -0.170 -0.352 15 0.180 14.494 0.269 19.840 -5.346 -3.262 -0.630 -0.812 20 0.180 14.494 0.224 22.288 -7.794 -2.988 -1.000 -1.184 30 0.180 14.494 0.227 24.880 -10.390 -3.379 -1.400 -1.578 40 0.180 14.494 -0.150 19.110 -4.616 4.722 -0.520 -0.701 50 0.180 14.494 0.037 18.236 -3.742 0.408 -0.390 -0.569
18
Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian Investasi Aktual terhadap Kontribusi
Laju Kontribusi terhadap Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian Investasi Aktual
Standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ ) akan mempengaruhi periode optimal (𝑚𝑠∗) untuk menyebarkan kerugian, sehingga akan mempengaruhi laju kontribusi dalam sistem pendanaannya. Laju kontribusi dari setiap kasus dengan nilai σ yang berbeda dan bersesuaian dengan periode optimalnya dijelaskan pada Gambar 1 berikut:
Dari Gambar 1 dapat dijelaskan bahwa saat nilai σ yang kecil yaitu sebesar 0.0025 maka laju kontribusi akan bergerak seiring waktu t secara mulus. Artinya perbedaan besarnya kontribusi dari waktu ke waktu tidak berbeda secara signifikan. Untuk σ = 0.1 yang relatif sedang maka laju kontribusi akan bergerak secara fluktuatif dan tidak semulus pada kasus nilai σ sebelumnya yang kecil. Laju kontribusi bergerak secara fluktuatif yang relatif ekstrim terjadi saat nilai σ yang besar yaitu saat σ = 0.25, sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar nilai standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ) maka laju kontribusi akan bergerak semakin tidak mulus. Hal ini serupa dengan menyatakan bahwa jika laju kontribusi bergerak semakin fluktuatif yang tidak mulus maka akan mengakibatkan ragam kontribusi yang semakin besar.
Laju Kontribusi terhadap Periode
Perbandingan besarnya kontribusi untuk setiap waktu t menggunakan periode (𝑚𝒔) yang berbeda-beda ditunjukkan dengan ilustrasi kasus 1 yaitu pada saat 𝐸(𝑖′) = 𝑖𝐴 = 6% , 𝜎 = 0.0025 dan 𝑚𝑠∗ = 12. Kasus 1 dipilih karena memiliki ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang kecil. Akibatnya kontribusi akan memiliki laju yang lebih mulus, sehingga akan lebih mudah dibandingkan lajunya. Perbandingan laju kontribusi saat dipilih periode
Gambar 1 Grafik kontribusi saat 𝐸(𝑖′) = 𝑖
𝐴 = 6% saat dipilih periode optimal (𝑚𝑠∗) dengan nilai σ yang berbeda
19 optimal 𝑚𝑠∗ = 12 dengan periode (𝑚𝒔) yang tidak optimal yang berbeda-beda yaitu sebesar 1, 8, dan 20 dijelaskan pada Gambar 2 berikut:
Dari Gambar 2 terlihat bahwa besarnya kontribusi yang dibayarkan setiap tahun dimulai dari tahun ke-1 sampai tahun ke-50 untuk periode terkecil ms = 1 lajunya bergerak secara fluktuatif yang tidak mulus. Hal ini karena terjadinya kerugian langsung dibayarkan penuh di tahun setelahnya selama 1 periode, sedangkan laju untuk periode selain ms= 1 dijelaskan di Gambar 3 berikut:
Dari Gambar 3 untuk periode (ms) semakin besar maka laju kontribusi semakin halus pergerakannya. Hal ini mencerminkan bahwa semakin besar periode (ms) yang dipilih maka semakin lambat besarnya laju kontribusi yang dibayarkan, artinya semakin lambat pula kerugian yang terjadi ditutupi
Gambar 2 Grafik perbandingan laju kontribusi saat 𝜎 = 0.0025 dan ms = 1 dengan nilai ms yang berbeda
Gambar 3 Grafik laju kontribusi saat 𝜎 = 0.0025 dengan variasi nilai ms = 8, 𝑚𝑠∗ = 12, dan ms = 20
20
(didistribusikan) setiap tahunnnya. Untuk periode optimal 𝑚𝑠∗ = 12, walaupun kerugian ditutupi secara lambat namun semakin lama dalam jangka panjang nilai kontribusi ini akan memiliki ragam yang minimum.
Standar Deviasi Kontribusi Jangka Panjang
Periode optimal (ms*) akan memberikan nilai ragam yang minimum dari kontribusi yang dibayarkan dalam jangka panjang. Hal ini serupa dengan menyatakan bahwa periode optimal (ms*) juga akan memberikan nilai standar deviasi yang minimum.
Nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode optimal (ms*) dari hasil perhitungan sebelumnya akan dibandingkan dengan nilai standar
deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode yang lebih kecil dan yang lebih besar dari periode optimal (ms*) (perhitungan di Lampiran 12, 13, dan 14).
Perbandingan nilai standar deviasi kontribusi dalam jangka panjang tersebut diberikan pada Tabel 4 berikut:
Dari Tabel 4 dapat disimpulkan bahwa saat periode penyebaran kerugian ms semakin besar, maka nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang akan
semakin kecil. Namun saat mencapai periode ms*, maka untuk periode yang lebih besar selanjutnya, nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang akan semakin besar. Nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang yang minimum terletak pada saat periode dipilih ms*. Semakin besar standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (𝜎), maka nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang juga akan semakin besar, namun sebaliknya periode optimalnya (m
s
*) akan semakin
kecil.
Tabel 4 Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan berbagai periode (ms) dan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (𝜎) yang berbeda
ms Standar Deviasi 𝐶(∞) 𝜎 = 0.0025 𝜎 = 0.1 𝜎 = 0.25 1 0.03418 1.36736 3.41840 4 0.01463 0.58888 1.52626 𝑚𝑠∗ = 8 0.01186 0.48339 1.35491 𝑚𝑠∗= 11 0.01138 0.46947 1.43954 𝑚𝑠∗= 12 0.01134 0.47001 1.49938 15 0.01145 0.48201 1.82421 20 0.01214 0.52895 8.94268
21
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Simpulan yang diperoleh dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1 kerugian yang ditimbulkan dari perbedaan tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual pada pendanaan pensiun manfaat-pasti dapat ditutupi dengan kontribusi tambahan. Kontribusi tambahan ini dapat ditentukan dengan metode spreading gains and losses. Prinsip dasar metode ini adalah dengan menyebarkan kerugian ke beberapa periode,
2 penentuan periode optimal penyebaran kerugian pada metode spreading gains and losses ditentukan dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka panjang menggunakan prinsip nilai fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua, saat nilai standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual berturut-turut sebesar 0.0025, 0.1 dan 0.25 maka nilai periode optimal yang diperoleh berturut-turut sebesar 12 tahun, 11 tahun, dan 8 tahun. Besarnya standar deviasi kontribusi jangka panjang yang bersesuaian dengan periode optimalnya berturut-turut 0.011, 0.469, dan 1.355,
3 pada saat kondisi tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang acak dan menyebar normal, semakin besar pemilihan periode penyebaran kerugian maka semakin lambat laju kontribusi yang dibayarkan. Hal ini berarti semakin lambat kerugian yang terjadi ditutupi,
4 semakin besar standar deviasi atau ragam dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual, maka standar deviasi atau ragam dari kontribusi jangka panjang juga semakin besar. Namun sebaliknya, semakin besar standar deviasi atau ragam dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual, maka akan menyebabkan periode optimal penyebaran kerugian yang semakin kecil.
Saran
Model pendanaan asuransi pensiun program manfaat-pasti dan penentuan periode optimal penyebaran kerugian pada metode spreading gains and losses di dalam karya ilmiah ini masih perlu dibahas lebih lanjut ketika kerugian yang ditimbulkan bukan hanya disebabkan oleh faktor perbedaan tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual, tetapi juga disebabkan oleh perbedaan dari asumsi-asumsi aktuaria yang lain. Perbedaan asumsi-asumsi aktuaria tersebut misalnya terjadi perbedaan tingkat bunga atas kewajiban pensiun, populasi peserta yang tidak stasioner, tingkat bunga investasi aktual yang tidak menyebar normal, dan terjadinya inflasi.
22
DAFTAR PUSTAKA
Dufresne D. 1988. Moment of pension contributions and fund levels when rates are random. Journal of the Institute of Actuaries. 44:115-535.
Haberman S. 1995. Pension funding with time delays and the optimal spread period. Astin Bulletin. 25(2):177-187.
Owadally MI, Haberman S. 1999. Pension fund dynamics and gains/losses due to random rates of investment return. North American Actuarial Journal. 3(3):105-117.
Owadally MI, Haberman S. 2004. Efficient gain and loss amortization and optimal funding in pension plans. North American Actuarial Journal. 8(1). Owadally MI. 2003. Pension funding and actuarial assumption concerning
investment returns. Astin Bulletin. 33(2):289-312.
Stewart J. 1998. Kalkulus Edisi Keempat. Susila IN, Gunawan H, penerjemah; Mahanani N, Hardani W, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Calculus Fourth Edition.
Winklevoss HE. 1977. Pensions Mathematics with Numerical Illustrations. Illinois (US): Richard D Irwin Inc.
