PERTURBASI HOMOTOPI
WAHFUANAH
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Homotopi adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau kutipan dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Juni 2011
ABSTRACT
WAHFUANAH. Homotopy Perturbation Method to Solve a Model of HIV Infection of Cells (T CD4+). Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Acquired immunodefficiency syndrome (AIDS) is defined as symptoms of human immune system deterioration caused by human immunodefficiency virus (HIV). The virus damages the leucocytes; therefore, once a person is infected by the HIV, his/her immune system will be paralyzed and eventually he/she will not be able to survive from any disease. HIV is transmitted in many ways, such as having unsafe sex, using unsterilized syringe and blood transfusion. Homotopy perturbation method is implemented to give approximate and analytical solutions of nonlinear ordinary differential equation systems as a model for HIV infection of CD4+ T cells. A modification of the homotopy perturbation method (HPM), based on the use of numerical solution, is proposed. Some plots are presented to show the reliability and simplycity of the homotopy perturbation method. The results obtained in this study indicate that the homotopy perturbation method is highly efficient to solve models of HIV infection of cells (T CD4+). Errors resulting from this method is so small that the solution obtained by is very close to the exact solution.
RINGKASAN
WAHFUANAH. Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan sejenis retrovirus, yaitu virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya. HIV merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. Virus HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat juga terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi. Selain itu virus ini dapat menular antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih), sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4+ adalah antibodi terhadap virus HIV yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya fungsi sel tersebut. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak menjadi sakit dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh seseorang akan terus merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh.
Dalam penelitian ini akan diturunkan suatu model matematika yang menyatakan hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih. kemudian model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang telah diperoleh akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam tulisan ini dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model, yaitu sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) berupa suatu persamaan matematika yang berbentuk taklinear. Model ini diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi Dalam metode ini, terlebih dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan bentuk dari model infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Penyelesaian dengan metode ini digambarkan dengan bantuan software Matematica. Interpretasi hasil dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang digunakan.
sel darah putih. Galat yang dihasilkan dari metode ini sangat kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati penyelesaian yang sesungguhnya. Selain itu, dalam penelitian ini kajian hasil dibagi dalam tiga kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa sebagai acuan. Kasus kedua adalah kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel darah putih lebih kecil dari laju kematiannya. Dan kasus ketiga kasus pada anak-anak dimana laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya.
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor
PENYELESAIAN MODEL INFEKSI HIV PADA SEL DARAH
PUTIH (T CD4
+) DENGAN MENGGUNAKAN METODE
PERTURBASI HOMOTOPI
WAHFUANAH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Tesis : Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
Nama : Wahfuanah NIM : G551090231
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Jaharuddin, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-Nya sehingga tesis yang berjudul Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan sehingga selesainya tesis ini. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Dr. Drs. Paian Sianturi selaku penguji luar komisi, dan Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS yang mewakili ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran dalam ujian tesis. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu, bapak, adik-adik, sahabat serta seluruh keluarga, atas segala do’a, dukungan dan kasih sayangnya.
Semoga karya tulis ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2011
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Indramayu pada tanggal 15 Pebruari 1983 dari bapak Supyan dan ibu Jaronah. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2001 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sindang, Indramayu dan pada tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Wiralodra Indramayu, lulus pada tahun 2006. Pada tahun 2009, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Sekolah Pascasarjana IPB.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ... xv
1 PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan penelitian ... 2
1.3 Metodologi Penelitian ... 2
1.4 Sistematika Penulisan ... 3
2 LANDASAN TEORI ... 4
2.1 Metode Homotopi ... 4
2.2 Model Matematika ... 9
3 PEMBAHASAN DAN HASIL ... 13
3.1 Analisis Metode ... 13
3.2 Aplikasi Metode ... 15
4 SIMPULAN DAN SARAN ... 25
4.1 Simpulan ... 25
4.2 Saran ... 25
DAFTAR PUSTAKA ... 26
DAFTAR TABEL
Halaman 1 Galat antara penyelesaian numerik dengan solusi pendekatan
menggunakan metode perturbasi homotopi. ... 8 2 Galat penyelesaian , dan hingga orde keenam dan orde ketiga
dengan penyelesaian numeriknya.. ... 18 3 Galat Penyelesaian , dan dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada orang dewasa. ... 20 4 Galat penyelesaian , dan dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi dengan solusi numerik , dan pada Orang Tua (Manula). ... 22 5 Galat penyelesaian , dan dengan menggunakan metode perturbasi
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Proses infeksi virus 10
2 Diagram penyebaran virus... 11
3 Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang dewasa. ... 19
4 Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang tua (manula) ketika s = 0.05, α = 0.04, β = 0.6, γ = 4.8, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 1.5,
N = 10, r1 = 0.1, r2 = 0 dan r3 = 0.1. ... 21
5 Grafik penyelesaian untuk , dan untuk kasus pada anak-anak ketika s = 0.2, α = 0.01, β = 0.15, γ = 1.2, k = 0.0027, Tmax = 1500, r = 6,
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
A 1. Penurunan persamaan (2.4) ... 28
A 2. Penyelesaian MNA (2.7) dan (2.8) ... 29
A 3. Penurunan Persamaan untuk , dan ... 32
B 1. Menentukan , dan ... 45
B 2. Menggambar Grafik , dan pada kasus orang dewasa ... 46
B 3. Menggambar Grafik , dan pada kasus orang tua (manula) ... 46
B 4. Menggambar Grafik , dan pada kasus anak-anak ... 47
B 5. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian numerik pada kasus dewasa ... 48
B 6. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian numerik pada kasus orang tua (manula) ... 49
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Acquired Immunodeficiency Syndrome (AIDS) adalah sindrom (kumpulan gejala) yang timbul akibat rusaknya sistem kekebalan tubuh manusia akibat terinfeksi virus HIV (Human Immunodeficiency Virus). AIDS bukan merupakan penyakit, melainkan kumpulan gejala penyakit yang disebabkan oleh berbagai macam mikro organisma yang menyerang tubuh akibat menurunnya sistem kekebalan tubuh penderita.
HIV merupakan sejenis retrovirus (virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya) yang merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi, antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Sejak pertama kali ditemukan tanggal 5 Juni 1981 (Weiss 1993), AIDS diperkirakan menginfeksi 38.6 juta orang di seluruh dunia dan menyebabkan kematian lebih dari 25 juta orang pada tahun 2006 dan meningkat tajam pada tahun 2009 yang menginfeksi lebih dari 90 juta orang dan menyebabkan kematian lebih dari 26 juta orang (Wikipedia.org/wiki/HIV).
merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh.
Sejumlah model telah dikembangkan untuk mendeskripsikan tentang sistem kekebalan tubuh pasien penderita AIDS. Pada tulisan ini akan dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model yaitu sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) berupa suatu persamaan matematika yang umumnya berbentuk taklinear. Masalah taklinear ini biasanya sulit diselesaikan baik secara analitik maupun numerik, karena faktor taklinear yang sangat kuat. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah taklinear. Salah satu pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear adalah metode perturbasi homotopi (He 1998, 2000).
1.2 Tujuan penelitian
Berdasarkan dari uraian di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Menurunkan suatu hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel
darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih.
2. Menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang telah diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
3. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh menggunakan bantuan software Matematica dan membandingkannya dengan hasil numeriknya.
1.3 Metodologi Penelitian
Pada penelitian ini, dibahas penurunan model matematika untuk menjelaskan infeksi virus HIV pada sel darah putih. Masuknya virus HIV ke sel darah putih menyebabkan terbentuknya dua tipe sel darah putih, yaitu sel darah putih sehat dan sel darah putih terinfeksi virus HIV.
infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Pendekatan penyelesaiannya digambarkan dengan bantuan software Matematica. Interpretasi hasil yang diperoleh dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang digunakan. Kemudian memanfaatkan data dari penyelesaian numeriknya untuk membandingkan hasil-hasil yang diperoleh.
1.4 Sistematika Penulisan
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Metode Homotopi
Dalam penelitian ini, diperlukan suatu metode matematika yang disebut metode perturbasi homotopi. Uraian mengenai metode ini disarikan dari (Liao, 2004). Metode homotopi merupakan bentuk umum dari metode perturbasi dan metode dekomposisi Adomain (Jaharuddin 2008). Dalam metode perturbasi, faktor taklinear diperlemah dengan memperkenalkan suatu parameter kecil. Kemudian dalam metode dekomposisi adomain, penyelesaian masalah taklinear dinyatakan dalam suatu deret pangkat (polinomial) yang hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya. Pada metode homotopi, faktor taklinear tidak perlu diperlemah seperti yang dilakukan pada metode perturbasi. Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode homotopi berupa deret, tapi tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada metode dekomposisi Adomain.
Untuk mengilustrasikan metode perturbasi homotopi (HPM), tinjau masalah nilai awal berikut : (He 1998, 2000)
= , ϵ Ω 2.1
dengan syarat awal
0 = , dengan = , , , … , dan = , , , … ,
dengan
A : Operator turunan yang bentuknya taklinear
Misalkan u0 pendekatan awal dari penyelesaian masalah nilai awal (2.1) dan
p ϵ[0,1] suatu parameter. Definisikan fungsi real v(r, p) : x [0, 1] → R dan suatu fungsi H sebagai berikut:
, = 1 − ! − ! " # + − # 2.2
Berdasarkan persamaan (2.2), maka untuk p = 0 dan p = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:
, 0 = ! − ! " ,
, 1 = − . 2.3
Dengan demikian , 0 = " dan , 1 = masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan , 0 = 0 dan , 1 = 0. Jadi, peningkatan nilai p dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai H(v, p) dari ! − ! " ke
− . Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan ! −
! " dan − disebut homotopi.
Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal ", sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian , ,
, . . . , &. Untuk menentukan & ' = 1, 2, 3, . . . dilakukan sebagai berikut. Misalkan fungsi , penyelesaian dari persamaan berikut
, = 0
atau
1 − ! − ! " # − − # 2.4
Jika kedua ruas pada persamaan (2.4) diturunkan terhadap hingga ' kali dan mengevaluasi pada p=0 kemudian dibagi oleh m!, maka diperoleh persamaan berikut:
! &− ᵡ& &* = ℎ , -& &* #
-& &* # = ' − 1 !1 /
&* , #
/ &* |12".
& ='!1 "|12"
dan
0 , m ≤ 1 ᵡ& =
1 , m lainnya Penurunan diberikan pada lampiran (A.1). Deret Taylor dari fungsi , terhadap adalah
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi , yang dinyatakan dalam bentuk
2.5 merupakan penyelesaian persamaan
Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari masalah nilai awal
2.1 dengan penyelesaian pendekatan awal " dan & , ' = 1,2,3, … yang ditentukan berdasarkan persamaan (2.5) dan (2.6).
(bukti pada lampiran A.1)
/7
/, = 8 − 39*: /8
/,
= 7 − 39*: 2.7
dengan syarat awal
7 0 = 2 dan
8 0 = 3. 2.8
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.7) dan (2.8) adalah:
7 , = 9:+ 9*:
8 , = 9:+ 29*:.
Selanjutnya akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal 2.7 dan 2.8 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berdasarkan persamaan 2.6 diperoleh
1 − =//, − /7/, > + =" //, − + 39*:> = 0
1 − =//, − /8/, > + =" //, − + 39*:>
= 0 . 2.9
Dipilih 7" , dan 8" , suatu konstanta, masing-masing dan . Misalkan penyelesaian persamaan 2.9 dinyatakan dalam bentuk:
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + ,
+ … . 2.10
Jika persamaan 2.10 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.9 , dan menyusun berdasarkan perpangkatan dari , maka koefisien dari memberikan persamaan berikut:
/ ,
/ ,
/, − + 39*:
= 0 2.11
dengan ,"= dan ," = .
Penyelesaian 2.11 diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan 2.11 terhadap t, sehingga diperoleh
, = , + 39*:− 3
Galat antara penyelesaian numerik dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi diberikan dalam Tabel 1.
Tabel 1 Galat antara penyelesaian numerik dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
t x y
0.1 0 0
0.8 2.87515 x10-6 1.21391 x10-5
Dari Tabel 1 terlihat bahwa galat antara penyelesaian numerik dengan penyelesaian pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi sangatlah kecil, sehingga metode perturbasi homotopi bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal dan masalah nilai batas.
2.2 Model Matematika
Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun berdasarkan proses infeksi virus HIV pada sel T CD4+ yang dihasilkan Limposit T Helper sel darah putih. Proses infeksi virus HIV pada sel darah putih sampai menghasilkan virus-virus baru terdiri dari beberapa fase, yaitu:
1. Fase adsorpsi, yaitu pelekatan virus pada membran plasma sel darah putih. 2. Fase penetrasi, yaitu pemasukan Ribonucleic Acid (RNA) virus pada sel darah
putih.
3. Fase penggabungan, yaitu RNA virus bergabung dengan RNA sel darah putih. 4. Fase replikasi, yaitu pembentukan kapsoid / selubung protein virus. Enzim
virus Reverse Transcriptase (RT) pada genom RNA virus membuat salinan Deoxyribonucleic Acid (DNA).
5. Fase perakitan, yaitu terjadi perakitan fage-fage baru (komponen virus baru) yang sudah sempurna. Salinan DNA bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah banyak, lalu RNA virus akan membentuk protein virus. Dari protein virus dihasilkan protease yang membuat virus menjadi matang.
Gambar 1 Proses infeksi virus
Proses infeksi diawali masuknya virus ke dalam sel darah putih sehat. Di dalam sel, enzim virus yakni Reverse Transcriptase (RT) pada genom Ribonucleic Acid (RNA) virus, membuat suatu salinan Deoxyribonucleic Acid (DNA). DNA virus akan bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah banyak, lalu RNA virus akan membentuk protein virus. Dari protein virus dihasilkan protease virus untuk menghasilkan virus baru yang siap menyerang sel darah putih sehat lainnya. Dalam pustaka (Perelson dan Nelson, 2002) diperlihatkan diagram penyebaran virus tersebut seperti pada Gambar 2.
Laju Infeksi (k)
Produksi virus(N)
s Sel darah putih Virus (V) Sel darah terinfeksi putih sehat r
β γ α mati mati mati
Gambar 2 Diagram penyebaran virus
Pada Gambar 2, T menyatakan sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV dan I menyatakan sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV. Sel T CD4+ baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih diasumsikan diproduksi dengan laju s dan mati pada laju α, sedangkan sel darah putih yang terinfeksi akan mati secara alami dengan laju β. Virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya dengan laju N dan virus akan mati secara alami dengan laju γ. Laju poliferasi maksimum yang mengacu pada keberadaan batas maksimum dari populasi dinyatakan dengan r dan laju infeksi virus terhadap sel darah putih dinyatakan dengan k.
Laju kematian T dipengaruhi oleh beberapa faktor, yaitu laju sel T CD4+ baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih dalam tubuh, sel T yang mempunyai laju kematian alami sebesar α sehingga tingkat kematian sel T pada suatu waktu adalah αT, proliferasi (perkembangbiakan) sel darah putih yang ada sehingga jumlah total sel darah putih dibatasi oleh kepadatan populasi sel T pada proliferasi yaitu Tmax.. Pada kehadiran HIV, sel darah putih menjadi
terinfeksi. Virus ini yaitu V menginveksi sel T dengan laju k menyebabkan berkurangnya jumlah sel darah putih sehat dalam darah sebesar kVT.
Selanjutnya jumlah populasi sel darah putih terinfeksi pada waktu t dipengaruhi oleh tingkat infeksi virus dan kematian alami sel tersebut. Tingkat infeksi virus adalah kVT, dengan laju kematian sel darah putih terinfeksi adalah β, maka kematian sel darah putih terinfeksi pada suatu waktu adalah βI.
Sementara itu, penambahan jumlah virus di dalam tubuh ditandai dengan jumlah total virus yang diproduksi oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya, yaitu sebanyak N. Jadi tingkat produksi virus baru adalah NβI. Virus mempunyai laju kematian alami sebesar γ, menyebabkan jumlah virus pada waktu t berkurang sebesar γV .
Dengan demikian, uraian di atas dapat diekspresikan secara matematika sebagai suatu sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
/
/, = D − E + =1 − &FG+ 1> − H
/
/, = H − I /
/,
= JI − K 2.12
dengan:
T : Jumlah sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV I : Jumlah sel darah putih yang sudah terinfeksi virus HIV V : Jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih
s : Laju sel T CD4+ baru yang di produksi oleh Limposit T helper sel darah putih
r : Laju proliferasi k : Laju infeksi
N : Jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya
α : Laju kematian alami sel darah putih sehat
β : Laju kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi γ : Laju kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bagian ini akan dibahas perluasan dari metode homotopi yang telah diuraikan pada landasan teori. Kemudian metode perturbasi homotopi tersebut digunakan untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+). Alur penelitian yang dilakukan ini mengikuti alur penelitian pada (Liao, 2004) dan (He, 2007)
3.1 Analisis Metode
Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi ,, , ℎ, yang tidak hanya bergantung pada t dan p, tetapi juga bergantung pada parameter bantu h ≠ 0 dan fungsi bantu ≠ 0. Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut
, , ℎ, = 1 − ! ,; , ℎ, − " , # +
ℎ ,; , ℎ, − , # (3.1)
Selanjutnya, misalkan fungsi , , ℎ, merupakan penyelesaian dari persamaan berikut:
,, , ℎ, = 0
atau
1 − ! ,; , ℎ, − " , # = ℎ ,; , ℎ, − , # 3.2
Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk = 0 dan = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:
, 0, ℎ, = ! ,; 0, ℎ, − "# (3.3)
dan
, 1, ℎ, = ℎ N ,; 1, ℎ, O − # . (3.4)
Menurut persamaan (2.1), maka penyelesaian dari persamaan , 0, ℎ, = 0 dan
, 1, ℎ, P = 0 masing-masing adalah:
" = ,; 0, ℎ, dan = ,; 1, ℎ,
Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu h dan fungsi bantu , pemilihan parameter bantu h, fungsi bantu T, pendekatan awal ", dan operator linear M perlu memperhatikan validitas dari metode perturbasi homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin adanya fungsi ,; , ℎ, dan turunan-turunannya terhadap untuk setiap ϵ 0,1#. Turunan ke m dari fungsi ,; , ℎ, terhadap yang menyesuaikan kekonvergenan deret (3.5) di = 1 terjamin. Jadi untuk = 1 dari persamaan (3.5) diperoleh
,, 1, ℎ, = "+ 3 & 4
Karena = ,, 1, ℎ, , maka diperoleh
= "+ 3 & 4
&2
Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.1 dengan pendekatan awal " dan & , ' = 1,2,3, … yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan & , ' = 1,2,3, … dilakukan dengan metode perturbasi, dimana persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2) untuk mendapatkan suatu persamaan untuk &. Persamaan umum dari & diperoleh berdasarkan koefisien perpangkatan dari .
3.2 Aplikasi Metode
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4+). Model matematika yang ditinjau diberikan oleh persamaan (2.12) yang dinyatakan berikut:
/
/, = D − E + =1 − &FG+ 1> − H
/
/, = H − I
/
/, = JI − K 3.6
dengan = , = dan = . Syarat awal dimisalkan sebagai berikut:
0 = , 0 = dan 0 = .
Misalkan didefinisikan operator berikut
! = /, ,/
maka dari persamaan (3.2) dan persamaan (3.6) diperoleh
1 − =//, − /7/, >"
+ =//, − D + E − =1 − −
1 − =//, − /8/, > + =" //, − H − I > = 0
1 − =//, − /Q/, > + =" //, − JI + K > = 0. 3.7
Sebagai pendekatan awal dimisalkan 7" , = , 8" , = dan Q" , = . Dalam metode homotopi yang dibahas disini, penyelesaian persamaan (3.7) dimisalkan berbentuk:
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + , + … 3.8
Jika persamaan (3.8) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.7), maka diperoleh koefisien " berikut:
/ ,"
/, − /7/, = 0"
dengan penyelesaian dalam bentuk
," = .
Dengan cara yang sama didapat
,"= dan ," = . (3.9)
(bukti pada lampiran A.3).
Koefisien memberikan persamaan:
/ ,
/, − D + E − + &FG + &FG + H = 0
/ ,
/, − H + I = 0 / ,
/, − JI + K = 0. 3.10
, = , D − R − − H −
STU− STU
, = −I + H
, = , IN − K . 3.11
Penurunan bentuk yang lain dari ,@, ,@ dan ,@ dapat dilihat pada lampiran (B.2).
Dengan demikian penyelesaian , dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi berbentuk:
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + , + … 3.12
Untuk menggambarkan hubungan , dan yang dinyatakan oleh persamaan (3.12), maka berikut ini diberikan data-data sebagai berikut:
s, yaitu laju sel T CD4+ baru yang diproduksi oleh limposit T helper sel darah putih, dipilih sebesar 0.1 mm per hari
r, yaitu laju proliferasi, dipilih sebesar 3 per hari
α, yaitu kematian alami sel darah putih sehat, sebesar 0.02 per hari
β, yaitu kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi, dipilih sebesar
0,3 per hari
γ, yaitu kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih, dipilih
sebesar 2.4 per hari
k, yaitu laju infeksi, dipilih sebesar 0.0027 mm3 per hari
Tmax, yaitu populasi maksimum sel T pada poliferasi, dipilih sebesar 1500
mm3, dan
N, yaitu jumlah total virus yang diproduksi oleh sel I selama waktu hidupnya, dipilih sebesar 10 per hari.
T = 0.1 + 0.397953 t + 0.592849 , + 0.588699 t + 0.437846 tB
+ 0.259247 tC+ 0.12579 tY
I = 0.000027 − 8.1 × 10*Y t + 0.000022596 t − 0.00009467 t
+ 0.000362153 tB+ 0.00008222 tC− 0.00131937 tY
V = 0.1 − 0.239919 t + 0.287891 t − 0.23029 t + 0.138103 tB
− 0.0663042 tC+ 0.0265732 tY
Penurunan persamaan untuk , dan dengan bantuan software Mathematica diberikan pada lampiran (A.3)
Galat antara penyelesaian untuk , dan orde keenam dan penyelesaian untuk , dan orde ketiga terhadap penyelesaian numeriknya diberikan pada Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Galat penyelesaian , dan orde keenam dan orde ketiga dengan penyelesaian numeriknya.
t I
Orde 3 Orde 6 Orde 3 Orde 6 Orde 3 Orde 6 0 0 0 0.000027 0.000027 0 0 0.1 1.84x10-5 2.81x10-5 2.34x10-5 2.35x10-5 6.47x10-6 6.71x10-6 0.2 7.15x10-4 7.62x10-5 1.95x10-5 2.00x10-5 1.90x10-4 1.11x10-5 0.3 4.13x10-3 1.40x10-4 1.46x10-5 1.67x10-5 9.62x10-4 1.50x10-5 0.4 1.42x10-2 1.52x10-4 8.16x10-5 1.28x10-5 2.94x10-3 2.68x10-5 0.5 3.75x10-2 1.40x10-4 3.17x10-6 4.27x10-6 6.90x10-3 7.37x10-5 0.6 8.42x10-2 1.45x10-2 1.14x10-5 1.96x10-5 1.38x10-3 2.24x10-4 0.7 1.68x10-1 5.43x10-3 2.56x10-5 8.01x10-5 2.45x10-2 6.21x10-4 0.8 3.13x10-1 1.54x10-2 4.37x10-4 2.12x10-4 4.03x10-2 1.53x10-3 0.9 5.45x10-1 3.80x10-2 6.60x10-4 4.81x10-4 6.22x10-2 3.41x10-3 1 9.07x10-1 8.44x10-2 9.32x10-4 9.68x10-4 9.14x10-2 6.95x10-3
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t
Nilai ini semakin membesar seiring dengan bertambahnya waktu. Ini menunjukan bahwa semakin tinggi orde yang digunakan, maka semakin dekat dengan penyelesaian eksaknya. Selain itu dengan menggunakan orde keenam penyelesaian pendekatan dengan metode perturbasi homotopi dapat dianggap mendekati penyelesaian sesungguhnya.
Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang dewasa diberikan dalam Gambar 3
Gambar 3 Grafik penyelesaian untuk , dan untuk orang dewasa.
dapat bertahan di dalam populasi. Pada gambar 3, Jumlah virus juga menurun dan mengalami kepunahan setelah kira-kira 16 jam 12 menit. Penurunan ini terjadi karena pada kondisi ini virus tidak dapat bertahan di dalam populasi dan akhirnya virus akan punah.
Perbandingan galat , dan antara penyelesaian numerik dengan nilai pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde ke enam untuk kasus orang dewasa diberikan dalam Tabel 3.
Tabel 3 Galat Penyelesaian , dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik , dan pada orang dewasa.
t
0 0 2.7 x10-5 0
0.1 2.05117 x10-6 2.34919 x10-5 6.70866 x10-6 0.2 4.2779 x10-6 2.00144 x10-5 1.11087 x10-5 0.3 6.64464 x10-6 1.67462 x10-5 1.50448 x10-5 0.4 9.17145 x10-6 1.286949 x10-5 2.67794 x10-5 0.5 1.18631 x10-5 4.27226 x10-6 7.36792 x10-5 0.6 1.47315 x10-5 1.96298 x10-5 2.24173 x10-4 0.7 1.77776 x10-5 8.01148 x10-5 6.21813 x10-4 0.8 2.10083 x10-5 2.14257 x10-4 1.53239 x10-3 0.9 2.44327 x10-5 4.81005 x10-4 3.40569 x10-3 1 2.80585 x10-5 9.68211 x10-4 6.95276 x10-3
kira-kira 12 jam dan akan mengalami kepunahan setelah kira-kira-kira-kira 18 jam. Jumlah virus yang menginfeksi mula-mula akan menurun dan akan mengalami peningkatan populasi setelah kira-kira 13 jam dan akan terus meningkat lebih cepat bila dibandingkan dengan penurunan pada waktu mula-mula. Namun perbandingan jumlah virus yang menginfeksi dengan sel darah putih sehat masih lebih banyak sel darah putih sehat.
Tabel 4 Galat penyelesaian , dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik , dan pada Orang Tua (Manula).
t T I V
0 0 2.7 x10-5 0
0.1 1.0149 x10-6 2.2818 x10-5 1.18521 x10-5 0.2 2.06747 x10-6 1.96048 x10-5 3.03448 x10-5 0.3 3.1566 x10-6 1.93295 x10-5 2.33927 x10-4 0.4 4.28342 x10-6 2.3695x10-5 1.55079 x10-3 0.5 5.449 x10-6 3.14497 x10-5 6.97483 x10-3 0.6 6.6544 x10-6 3.47335 x10-5 2.37962 x10-2 0.7 7.90066 x10-6 1.44597 x10-5 6.68655 x10-2 0.8 9.18557 x10-6 6.52689 x10-5 1.62963 x10-1 0.9 1.05165x10-5 2.63708 x10-4 3.56318 x10-1 1 1.18194x10-5 6.70986 x10-4 7.15307 x10-1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t kematian yang masih sedikit. Jadi perbandingan pertambahan sel darah putihnya menjadi dua kali dari kasus orang dewasa dan faktor kematiannya menjadi
jumlah sel T pada anak-anak jauh lebih besar per satuan waktu dibandingkan dengan kasus pada orang dewasa dan kasus pada orang tua sebesar 31.9 pada hari pertama. Sel I lebih cepat menuju 0 per satuan waktu bila dibandingkan kasus pada orang dewasa setelah kira-kira 11 jam. Jumlah virus yang menginfeksi sel T akan terus menurun dan akan punah setelah sehari, dan virus akan cepat punah sehingga proses penyembuhan berjalan lebih cepat dari kedua kasus sebelumnya.
Tabel 5 Galat penyelesaian , dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik , dan pada Anak-anak.
t T I V
0 0 2.7 x10-5 0
0.1 4.1897 x10-3 2.2612 x10-5 1.0022 x10-2 0.2 8.7648x10-3 1.5702 x10-5 1.6773 x10-2 0.3 1.3753 x10-2 4.7431 x10-6 2.1077 x10-2 0.4 1.9183 x10-2 1.3818 x10-5 2.3564 x10-2 0.5 2.5087 x10-2 4.8465 x10-5 2.4694 x10-2 0.6 3.1499 x10-2 1.1685 x10-4 2.4772 x10-2 0.7 3.8453 x10-2 2.5155 x10-4 2.3941x10-2 0.8 4.5988 x10-2 5.0776 x10-4 2.2152 x10-2 0.9 5.4144 x10-2 9.7314 x10-4 1.9124 x10-2 1 6.2964 x10-2 1.7805 x10-3 1.4274 x10-2
Pada Tabel 4 terlihat bahwa galat untuk fungsi yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar 6.2964 x10-2, galat untuk yang muncul terbesar sekitar 1.78058 x10-3 dan galat untuk fungsi yang muncul terbesar sekitar 1.42742 x10-2. Galat yang semakin besar ini terjadi setelah 13 jam yang disebabkan pada setelah waktu tersebut jumlah sel T CD4+ yang dihasilkan limposit T helper semakin berkurang.
BAB 4
SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Metode perturbasi homotopi sangat efisien untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih yang bentuknya taklinear khususnya pada kasus orang dewasa. Galat yang dihasilkan dari metode perturbasi homotopi pada kasus ini sangat kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati penyelesaian yang sesungguhnya.
Analisis penyelesaian pada model infeksi virus HIV pada sel darah putih dibagi menjadi tiga kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa. Sebagai acuan, kedua adalah kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel darah putih lebih kecil dari laju kematiannya. dan ketiga kasus pada anak-anak dimana laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya.
Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi akan mengalami kepunahan lebih lambat dan populasi virus HIV akan menurunn tapi akan meningkat tajam setelah faktor penambah sel darah putih berkurang. Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih besar dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi dan virus akan stabil dan mengalami kepunahan (hilang dari sistem). Namun banyak sedikitnya jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya tidak begitu berpengaruh karena lama kelamaan jumlah virus akan berkurang oleh faktor kematian alaminya.
4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
He, J. H., (1998), Approximate Analytical Solution for Seepage Flow with Fractional Derivatives in Proud Media, Computer Method in Applied Mathematics and Engginering, 167, 1-2, 57-58.
He, J. H., (2000), A Coupling Method of A Homotopy Technique and A Perturbation Technique For Non Linear Problem, International Journal of Non Linear Mechanics, 35,1,37-43.
He, J. H., (2007), Homotopy Perturbation Method For Solving A Model For HIV Infection of CD4+ T Cells, Istanbul Ticaret Universitesi Fen Bilimleri Dergisi, 6, 12, 39-52.
Institut teknologi telkom, (2010), Klasifikasi Virus, http://www.ittelkom.ac.id Jaharuddin, (2008), Analisis Homotopi Untuk Menyelesaikan Suatu Masalah
Taklinear, Jurnal Matematika dan Aplikasinya, 7, 1, 13-20. Liao,S., (2004), Beyond Perturbation Method, Wiley, New York.
Lampiran A. Penurunan Persamaan
A 1. Penurunan persamaan (2.4)Misalkan = 0, maka:
1 − !N ; O − ! " # = ; # (2.4)
Jika persamaan (2.3) diturunkan terhadap hingga ' kali, maka diperoleh hasil berikut:
Turunan pertama
! ]/ / ; − 0^ − ! ]/ / ; − 0^ − ! , − "#
= , # + / / ; #
Turunan ke – dua
! ]/ / ; − 0^ − 2! ]/ / ; − 0^ − ! ]/ / ; − 0^
= 2/ / ; #+ / / ; #
Turunan ke – tiga
! ]/ / ; − 0^ − 3! ]/ / ; − 0^ − ! ]/ / ; − 0^
= 3/ / ; #+ / / ; #
Dengan langkah yang sama, turunan ke – m yang dievaluasi di p = 0 diperoleh
! ]/&/ &; ^ |12"− '! ]/
&* ;
/ &* ^ |12"
= '/&*/ &* ; # |12" _. 1
Persamaan (L.1) dibagi dengan m!, maka diperoleh
! ]'! 1 /&/ &; ^ |12"− '! ] ' − 1 ! 1 /
&* ;
= ' ' − 1 ! 1 /&*/ &* ; # |12"
atau
! &− ᵡ& &* # = ℛ&*
dengan
ℛ& &* # = ' − 1 ! 1 /
&* ; #
/ &* |12"
& = '!1 "&|12"= '! 1 /
& ; #
/ & |12"
0 , m ≤ 1
ᵡ& =
1 , m lainnya
A 2. Penyelesaian MNA (2.7) dan (2.8)
Tinjau MNA berikut:
/7
/, = 8 − 39*: /8
/, = 7 − 39*: 2.7
dengan syarat awal
7 0 = 2 dan
8 0 = 3 . 2.8
Berdasarkan persamaan 2.6 dan persamaan 2.7 diperoleh:
1 − =//, − /7/, > + =" //, − + 39*:> = 0
1 − =//, − /8/, > + =" //, − + 39*:> = 0 . 2.9
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + , + … . 2.10
Jika persamaan 2.10 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.9 , maka diperoleh
=//, − + 39, *:> + =/ , Koefisien perpangkatan pada persamaan (2.9.a) memberikan persamaan berikut:
,B =24 ,1 B−12 , − 3,
Berikut program mathematica untuk melihat perbandingan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksaknya.
Needs "PlotLegends`"#
Plot { ,#, 7 ,#}, {,, 0,1}, AxesLabel → {,, w ,#}, PlotStyle → Thick, PlotLegend → {"HPMx", "x"}, LegendPosition → {0.9, −0.8}#
Plot {8 ,#, ,#}, {,, 0,1}, AxesLabel → {,, w ,#}, PlotStyle → Thick, PlotLegend → {"HPMy", "y"}, LegendPosition → {1, −0.8}#
A 3. Penurunan Persamaan untuk , dan
Berdasarkan syarat awal ," = , maka H = sehingga ," =
/ ,"
/, − /8/, = 0" /
/, = 0 = H
Berdasarkan syarat awal ,"= , maka H = sehingga ,"=
/ ,"
/, − /Q/, = 0" /
/, = 0 = H
Berdasarkan syarat awal ,"= , maka H = sehingga ,"= .
Model matematika yang ditinjau diberikan oleh persamaan berikut:
/
/, = D − E + =1 − &FG+ 1> − H
/
/, = H − I /
/, = JI − K 2.12
dengan syarat awal 0 = , 0 = dan 0 = . Misalkan didefinisikan operator berikut
! =/, ,/
Maka dari persamaan (3.2) dan persamaan (3.6) diperoleh
1 − =//, − /7/, >"
+ =//, − D + E − =1 − −
&FG > + H > = 0
1 − =//, − /8/, > + =" //, − H − I > = 0
1 − =//, − /Q/, > + =" //, − JI + K > = 0 3.7
Substitusikan penyelesaian dalam persamaan (3.8) kedalam persamaan (3.7), dan disusun berdasarkan perpangkatan , diperoleh:
Untuk persamaan pertama pada persamaan (3.8):
Untuk persamaan kedua pada persamaan (3.8) :
=//, − H , + I > +
=//, − H , , + , + I , > +
=//, − H , , + 2 , , + , + I , > +
=//, − H ,B , + 3 , , + 3 , , + , + I , > B
+
=//, − H ,C ,B + 4 , , + 6 , , + 4 , , + ,B
+ I ,B> C+
=//, − H ,Y ,C + 5 ,B , + 10 , , + 10 , ,
+ 5 , ,B + ,C + I ,C> Y+
. . . = 0
(3.7.b)
Untuk persamaan ketiga pada persamaan (3.8) :
=//, − JI + K > + =, //, − JI , , + K , > +
=//, − JI , , + K , > + =//, − JI ,B , + K , > B+
=//, − JI ,C ,B+ K ,B> C+ =//, − JI ,Y ,C+ K ,C> Y +
… = 0 (3.7.c) Karena ," = , ," = , ," = , maka diperoleh @,b 0 = 0, i, j = 1, 2, ... sehingga berdasarkan persamaan (3.7.a) diperoleh:
/ ,
/, − D + E − + &FG + &FG + H = 0
/ ,
/, − E − , + 2&FGN , O + &FG N , + , O
/ ,C (3.7.e), (3.7.f) dengan bantuan software Matematica
, = −2 1
STU„, I − H STU=4 − 2 D STU
+ …3
+ STUN 3R + I − 3 + 3H − aHN STUO†>
+13 , =8 B
+ 16 + 16 R − + 15H STU
+ D STUN−
+ 2 STU −R + − H + 2IHN1 STU
− STU −4 D
+ R − + 2H R + 2K − + H STU O
+ N9
+ STU 18 R − + 17H − 5aHN STU
+ STU −12 D
+ 9 R − + H 17R + 5K − 17 + 8H STU O
+ … + STU 3 R − + 3H − 5IHN STU
+ STU −12 D
+ 3 R − + H 6R + 5K − 6 + 3H STU
− aHN 5R + K − 5 + 5H STU
+ STUNH 3R + 5K − 3 STU+ H STU
+ R − −12 D + R − STU
+ H −11 D
+ 3R + 5RK + K − 6R − 5K + 3 STU O†>‡ + ⋯
Berikut ini akan di tentukan , , , , ... dengan mengintegralkan persamaan (3.7.e) dengan bantuan soft ware Mathematica
/ ,
/, = H − I
, = Integrate H − I , ,#
, = −I + H
/ ,
/, = H , + , − I ,
, = Integrate H , + , − I , , ,#
, = I , +12 IHN, +12 HD, − IH, −12 RH,
−12 KH, +12 H , −12 H , −H ,2
STU
−H ,2
STU
/ ,
/, = H , + 2 , , + , − I ,
, = Integrate H , + 2 , , + , − I , , ,#
, = 6 1
STU, 2H , + H , 3 − 4aN STU
+ STU 3R + I + 4K − 3 , + 3H −1 + ,
+ 3IHN STU − STU HD, R + I + 4K −
+ H STU+ H D, + I 3I − 4HND, STU
+ H , − 4aN STU + STU −2 D, + 3I
+ I R + K − , + R + 4RK + K − 2R − 4K + , + H 2R + I + 5K − 2 , + H , STU
+ STU 2H , − IN 4R + K − 4 , + I 3
+ , STU+ 2 R + 2K − , + I 3 + ,
− 5IHN, STU
Berikut ini akan di tentukan , , , , ... dengan mengintegralkan persamaan (3.7.f) dengan bantuan soft ware Mathematica
/ ,
/, = JI − K
, = Integrate JI − K , ,#
, = , IN − K
/ ,
/, = JI , − K ,
, = Integrate JI , − K , , ,#
, = −I N, −12 IKN, +12 K , + IHN,
/ ,
/, = JI , − K ,
, = Integrate JI , − K , , ,#
, = 2 1
STU I I + K N, a − H STU+
1
3 , −IHN
+ IK N + −K + IHND STU+ IHN − R
+ K − + H STU+ − + IN STU
dan seterusnya dilakukan dengan cara yang sama hingga orde 6 (nilai ,Y . Dengan demikian , , diberikan sebagai berikut:
+ 3R + 5RK + K − 6R − 5K + 3 STU O†>‡ + . ..
2 , + , + , + . ..
2 − I + I , +12 IHN, +12 HD, + H − IH, −12 RH,
−12 KH, +12 H , −12 H , −H ,2
STU −
H , 2 STU
+6 1
STU, „2H ,
+ H … , 3 − 4IN STU
+ STUN 3R + I + 4K − 3 , + 3H −1 + ,
+ 3IHN STUO†
− STUNHD, R + I + 4K − + H STU
+ H D, + I 3I − 4HND, STU O
+ H = , − 4IN STU
+ STU −2 D,
+ 3I + I R + K − , + R + 4RK + K − 2R − 4K + , + H 2R + I + 5K − 2 , + H , STU
+ STU…2H , − INN 4R + K − 4 , + I 3 + , O STU
+ N N2 R + 2K − , + K 3 + , O − 5IHN, STUO†>‡ + ⋯
2 − I N, −12 IKN, +12 K , + IHN, + , IN −
+2 1
STU„I I + K N, I − H STU
+13 , …−IHN + IK N1 + −K + IHND STU
+ IHN N− R + K − + H STU+ − + IN STU O†‡
+ ⋯
Jadi dari model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) berbentuk:
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + , + …
Lampiran B. Program Mathematica
v3,6 = Integrate[(Nβv2,5-γv3,5),t];
+0.0009670736690553361`t4 -0.0002226225684717454`t5
-0.0013412972034706901`t6
C1[t_]:=0.1` -0.479838`t +1.1515625999999999`t2
-1.8425670862507286`t3 +2.2110114785989534`t4
-2.122324816024942`t5 +1.6982927100178673`t6
Plot[A1[t],{t,0,1},AxesLabel→{t,T[t]}]
Plot[B1[t],{t,0,0.8},AxesLabel→{t,i[t]}]
Plot[C1[t],{t,0,1},AxesLabel→{t,V[t]}]
B 4. Menggambar Grafik , dan pada kasus anak-anak
Dengan program yang sama dengan sebelumnya, tapi dengan parameter sebagai berikut:
A3[t_]:=0.1` +0.798932989200001`t +2.392392982562516`t2
+4.774421664842891`t3 +7.137417365224955`t4
+8.497940340911072`t5 +8.292622602212631`t6
B3[t_]:=0.000027000000000000002`-4.05`*^-6t +
0.0000919651710420003`t2 + 0.0000448580938631642`t3
+ 0.0000482636905134629`t4 -0.000339142937294462`t5
Plot[C3[t],{t,0,1},AxesLabel→{t,V[t]}]
fT6[t_]:=0.1` +0.3979529946`t +0.5928490160863474`t2
+0.5886990223518619`t3 +0.4378458844918733`t4
+0.2592468077449956`t5 +0.12579035922563367`t6;
fI6[t_]:=0.000027000000000000002`-8.1`*^-6 t
+0.000022549589271007`t2 -.00009467199529289067`t3
+0.0003621527641045448`t4+0.000082220009127436`t5
-0.0013193672741750742`t6;
fV6[t_]:=0.1` -0.239919`t +0.28789064999999997`t2
-0.230289970410729`t3 +0.13810286945956635`t4 -
0.06630417187173247`t5 +0.02657320387819802`t6;
fT3[t_]=a2[[1,1,2]];
fI3[t_]=a2[[1,2,2]];
fV3[t_]=a2[[1,3,2]];
yt3=fT3[t1]
yt6=fT6[t1]
err=Abs[yt6-yt3]
Norm[err]
t2=Table[i,{i,0,1,0.1}];
yt3=fI3[t2]
yt6=fI6[t2]
err=Abs[yt6-yt3]
Norm[err]
fV3[t_]=a2[[1,3,2]];
t3=Table[i,{i,0,1,0.1}];
yt3=fV3[t3]
yt6=fV6[t3]
err=Abs[yt6-yt3]
Norm[err]
B 6. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian numerik pada kasus orang tua (manula)
R = DSolve {
• ,# == D − E ∗ + ∗ ∗ 1 − + 1 ⁄ & − H ∗ ∗ ,
c• ,# == H ∗ ∗ − I ∗ c, • ,# == N1 ∗ I ∗ c − K ∗ ,
0# == 0.1, T2 0# == 0, V1 0# == 0.1}, { ,#, c ,#, ,#}, ,#
s:=0.05;α:=0.04;β=0.6; γ:=4.8;k:=0.0027 ;
Tm:=1500;r:=1.5; N1:=10;
a2=NDSolve[{
T'[t] s - α*T[t]+r*T[t]*(1 - (T[t] + 1)/Tm) -
k*V[t]*T[t],i'[t] k*V[t]*T [t]- β*i[t],
V'[t] == N1*β*i[t] - γ*V[t],
ana1=Plot[{T[t]/.a2[[1,1]],i[t]/.a2[[1,2]],V[t]/.a2[[1,
3]]},{t,0,1}]
Clear[v1a,v2a,v3a];
fT6[t_]:=0.1`+0.1959629973`t +0.1430717103736336`t2
+0.0696458029240768`t3 +0.025176920366689465` t4
+0.007501820361002101`t5 +0.001756600318225527`t6;
fI6[t_]:=0.000027000000000000002`0.0000162`t
-0.0000334631253645`t2 -0.000045873744253434915`t3 +
0.0009670736690553361`t4 - 0.000222622568471745`t5 -
0.0013412972034706901`t6;
fV6[t_]:=0.1`-0.479838`t + 1.1515625999999999`t2
-1.8425670862507286`t3 + 2.2110114785989534`t4
-2.122324816024942`t5 + 1.6982927100178673`t6;
c• ,# == H ∗ ∗ − I ∗ c,
0.06630417187173247`t5 +0.02657320387819802`t6;
err=Abs[yt6-yt3]
Norm[err]
t3=Table[i,{i,0,1,0.1}];
yt3=fV3[t3]
yt6=fV6[t3]
err=Abs[yt6-yt3]
ABSTRACT
WAHFUANAH. Homotopy Perturbation Method to Solve a Model of HIV Infection of Cells (T CD4+). Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Acquired immunodefficiency syndrome (AIDS) is defined as symptoms of human immune system deterioration caused by human immunodefficiency virus (HIV). The virus damages the leucocytes; therefore, once a person is infected by the HIV, his/her immune system will be paralyzed and eventually he/she will not be able to survive from any disease. HIV is transmitted in many ways, such as having unsafe sex, using unsterilized syringe and blood transfusion. Homotopy perturbation method is implemented to give approximate and analytical solutions of nonlinear ordinary differential equation systems as a model for HIV infection of CD4+ T cells. A modification of the homotopy perturbation method (HPM), based on the use of numerical solution, is proposed. Some plots are presented to show the reliability and simplycity of the homotopy perturbation method. The results obtained in this study indicate that the homotopy perturbation method is highly efficient to solve models of HIV infection of cells (T CD4+). Errors resulting from this method is so small that the solution obtained by is very close to the exact solution.
RINGKASAN
WAHFUANAH. Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4+) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan sejenis retrovirus, yaitu virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya. HIV merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. Virus HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat juga terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi. Selain itu virus ini dapat menular antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih), sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4+ adalah antibodi terhadap virus HIV yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya fungsi sel tersebut. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak menjadi sakit dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh seseorang akan terus merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh.
Dalam penelitian ini akan diturunkan suatu model matematika yang menyatakan hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih. kemudian model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang telah diperoleh akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam tulisan ini dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model, yaitu sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) berupa suatu persamaan matematika yang berbentuk taklinear. Model ini diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi Dalam metode ini, terlebih dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan bentuk dari model infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Penyelesaian dengan metode ini digambarkan dengan bantuan software Matematica. Interpretasi hasil dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang digunakan.
sel darah putih. Galat yang dihasilkan dari metode ini sangat kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati penyelesaian yang sesungguhnya. Selain itu, dalam penelitian ini kajian hasil dibagi dalam tiga kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa sebagai acuan. Kasus kedua adalah kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel darah putih lebih kecil dari laju kematiannya. Dan kasus ketiga kasus pada anak-anak dimana laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Acquired Immunodeficiency Syndrome (AIDS) adalah sindrom (kumpulan gejala) yang timbul akibat rusaknya sistem kekebalan tubuh manusia akibat terinfeksi virus HIV (Human Immunodeficiency Virus). AIDS bukan merupakan penyakit, melainkan kumpulan gejala penyakit yang disebabkan oleh berbagai macam mikro organisma yang menyerang tubuh akibat menurunnya sistem kekebalan tubuh penderita.
HIV merupakan sejenis retrovirus (virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya) yang merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi, antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Sejak pertama kali ditemukan tanggal 5 Juni 1981 (Weiss 1993), AIDS diperkirakan menginfeksi 38.6 juta orang di seluruh dunia dan menyebabkan kematian lebih dari 25 juta orang pada tahun 2006 dan meningkat tajam pada tahun 2009 yang menginfeksi lebih dari 90 juta orang dan menyebabkan kematian lebih dari 26 juta orang (Wikipedia.org/wiki/HIV).
merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh.
Sejumlah model telah dikembangkan untuk mendeskripsikan tentang sistem kekebalan tubuh pasien penderita AIDS. Pada tulisan ini akan dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model yaitu sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) berupa suatu persamaan matematika yang umumnya berbentuk taklinear. Masalah taklinear ini biasanya sulit diselesaikan baik secara analitik maupun numerik, karena faktor taklinear yang sangat kuat. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah taklinear. Salah satu pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear adalah metode perturbasi homotopi (He 1998, 2000).
1.2 Tujuan penelitian
Berdasarkan dari uraian di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Menurunkan suatu hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel
darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih.
2. Menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4+) yang telah diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
3. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh menggunakan bantuan software Matematica dan membandingkannya dengan hasil numeriknya.
1.3 Metodologi Penelitian
Pada penelitian ini, dibahas penurunan model matematika untuk menjelaskan infeksi virus HIV pada sel darah putih. Masuknya virus HIV ke sel darah putih menyebabkan terbentuknya dua tipe sel darah putih, yaitu sel darah putih sehat dan sel darah putih terinfeksi virus HIV.
infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi orde nol.
Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Pendekatan penyelesaiannya digambarkan dengan bantuan software Matematica. Interpretasi hasil yang diperoleh dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang digunakan. Kemudian memanfaatkan data dari penyelesaian numeriknya untuk membandingkan hasil-hasil yang diperoleh.
1.4 Sistematika Penulisan
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Metode Homotopi
Dalam penelitian ini, diperlukan suatu metode matematika yang disebut metode perturbasi homotopi. Uraian mengenai metode ini disarikan dari (Liao, 2004). Metode homotopi merupakan bentuk umum dari metode perturbasi dan metode dekomposisi Adomain (Jaharuddin 2008). Dalam metode perturbasi, faktor taklinear diperlemah dengan memperkenalkan suatu parameter kecil. Kemudian dalam metode dekomposisi adomain, penyelesaian masalah taklinear dinyatakan dalam suatu deret pangkat (polinomial) yang hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya. Pada metode homotopi, faktor taklinear tidak perlu diperlemah seperti yang dilakukan pada metode perturbasi. Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode homotopi berupa deret, tapi tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada metode dekomposisi Adomain.
Untuk mengilustrasikan metode perturbasi homotopi (HPM), tinjau masalah nilai awal berikut : (He 1998, 2000)
= , ϵ Ω 2.1
dengan syarat awal
0 = , dengan = , , , … , dan = , , , … ,
dengan
A : Operator turunan yang bentuknya taklinear
Misalkan u0 pendekatan awal dari penyelesaian masalah nilai awal (2.1) dan
p ϵ[0,1] suatu parameter. Definisikan fungsi real v(r, p) : x [0, 1] → R dan suatu fungsi H sebagai berikut:
, = 1 − ! − ! " # + − # 2.2
Berdasarkan persamaan (2.2), maka untuk p = 0 dan p = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:
, 0 = ! − ! " ,
, 1 = − . 2.3
Dengan demikian , 0 = " dan , 1 = masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan , 0 = 0 dan , 1 = 0. Jadi, peningkatan nilai p dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai H(v, p) dari ! − ! " ke
− . Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan ! −
! " dan − disebut homotopi.
Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal ", sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian , ,
, . . . , &. Untuk menentukan & ' = 1, 2, 3, . . . dilakukan sebagai berikut. Misalkan fungsi , penyelesaian dari persamaan berikut
, = 0
atau
1 − ! − ! " # − − # 2.4
Jika kedua ruas pada persamaan (2.4) diturunkan terhadap hingga ' kali dan mengevaluasi pada p=0 kemudian dibagi oleh m!, maka diperoleh persamaan berikut:
! &− ᵡ& &* = ℎ , -& &* #
-& &* # = ' − 1 !1 /
&* , #
/ &* |12".
& ='!1 "|12"
dan
0 , m ≤ 1 ᵡ& =
1 , m lainnya Penurunan diberikan pada lampiran (A.1). Deret Taylor dari fungsi , terhadap adalah
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi , yang dinyatakan dalam bentuk
2.5 merupakan penyelesaian persamaan
Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari masalah nilai awal
2.1 dengan penyelesaian pendekatan awal " dan & , ' = 1,2,3, … yang ditentukan berdasarkan persamaan (2.5) dan (2.6).
(bukti pada lampiran A.1)
/7
/, = 8 − 39*: /8
/,
= 7 − 39*: 2.7
dengan syarat awal
7 0 = 2 dan
8 0 = 3. 2.8
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.7) dan (2.8) adalah:
7 , = 9:+ 9*:
8 , = 9:+ 29*:.
Selanjutnya akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal 2.7 dan 2.8 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berdasarkan persamaan 2.6 diperoleh
1 − =//, − /7/, > + =" //, − + 39*:> = 0
1 − =//, − /8/, > + =" //, − + 39*:>
= 0 . 2.9
Dipilih 7" , dan 8" , suatu konstanta, masing-masing dan . Misalkan penyelesaian persamaan 2.9 dinyatakan dalam bentuk:
= ,"+ , + , + , + …
= ,"+ , + , + ,
+ … . 2.10
Jika persamaan 2.10 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.9 , dan menyusun berdasarkan perpangkatan dari , maka koefisien dari memberikan persamaan berikut:
/ ,
