Bab 4: Analisis Sistem Kendali EL303 Sistem Kendali ANALISIS SISTEM KENDALI o PENDAHULUAN o ANALISIS WAKTU ALIH

ANALISIS SISTEM KENDALI

o

PENDAHULUAN

o

ANALISIS WAKTU ALIH

♦

Tanggapan Waktu Alih Orde 1

♦

Tanggapan Waktu Alih Orde 2

♦

Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih

♦

Penurunan Rumus Spesifikasi

♦

Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi

o

ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK

♦

Klasifikasi Sistem Kendali

♦

Konstanta Galat Statik

o

ANALISIS KEPEKAAN

o

ANALISIS KESTABILAN

♦

Prinsip Dasar Kestabilan

o

PENDAHULUAN

♦ Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem.

♦ Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem :

− Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot, Nyquist Plot.

− Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural.

− Analisis Keadaan Tunak : Kosntanta tunak statik

− Analisis Kepekaan

♦ Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana.

♦ Sinyal-Sinyal Pengujian :

− fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba

− fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu

− fungsi percepatan

− fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba

− fungsi sinusoidal : linearitas sistem

♦ Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya.

♦ Tanggapan waktu :

− waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir.

− keadaan tunah : tanggapan pada waktu t →∼

♦ Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali :

♦ Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan.

♦ Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya.

♦ Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem.

o

ANALISIS WAKTU ALIH

Fungsi alih sistem linear invarian waktu :

G s Y s

X s

( ) ( ) ( ) =

sehingga

Y s( ) =G s X s( ) ( ) Dalam domain waktu

( ) ( )

( ) ( )

y t x g t d

g x t d

t

t

( )= ∫ −

= ∫ −

τ τ τ

τ τ τ

0

0

dengan g(t) = x(t) = 0 untuk t < 0 (kondisi mula = 0)

Tanggapan Impuls : X(s) = 1 Y(s) = G(s)

atau y(t) = g(t) = fungsi tanggapan impuls.

Kesimpulan :

• Informasi lengkap tentang karakteristik dinamis sistem dapat diperoleh dengan mengukur tanggapan sistem tersebut terhadap impuls.

• Pembangkitan Impuls secara praktis dilakukan dengan membuat pulsa dengan lebar yang sangat sempit dibandingkan dengan konstanta waktu sistem.

♦

♦

Tanggapan Waktu Alih Sistem Orde –1

Fungsi alih : C s

R s Ts

( )

( ) = + 1

1

♦ untuk input unit step : R s s

( )= 1

Ts 1

T s 1 s 1 1 Ts

T ) s ( C

+ − = ⋅ + =

sehingga c t( )= −

(

1 e−t T/

)

u t( )

• Bila Kurva log c t( )−c(~) ≡garis lurus, maka sistem orde-1

• Untuk t = T : C(T) = 0,632

• Makin kecil T, makin cepat tanggapan sistem

• Kemiringan kurva pada t = 0 :

dc dt = T

1

• Galat lebih kecil 2 % dicapai pada t = 4 T

♦

Untuk input unit ramp

₂

s 1 ) s (

R =

1 Ts

T s T s

1 s

1 1 Ts

1 )

s ( C

2 2

2 = − + +

⋅ +

= sehingga

c t

( )

= − +

(

t

T

Te

−t T/

)

u t

( )

Galat keadaan mantap : e(~)=T

♦

Untuk input unit Impuls : R(s) = 1

Sifat Penting Sistem Linear Invarian-Waktu : Fungsi Singular.

Tanggapan unit ramp:C t( )= − +

(

t T Te−t T/ u t( )

)

Tanggapan unit step :C t( )= −

(

1 et T/

)

u t( ) (turunkan dari tanggapan unit ramp) Tanggapan unit impuls:C t

Te u t

t T

( )= 1 − / _ ( ) (turunkan dari tanggapan unit step)

C s

Ts

( ) =

+

1 1

sehingga

C t

Te u t

t T

♦

Tanggapan Waktu alih Sistem Orde-2

• Sistem Kendali Posisi

Error Detector :

e K r

e K c

r c

= =

0

0

dengan K0 = konstanta proporsionalitas arm detector

Torsi motor :

T = K2 ia

dengan K2 = konstanta torsi motor

ia = arus jangkar

Rangkaian jangkar :

L di

dt R i K

d

dt K e

a a + a a + 3 = 1 θ

(1)

dengan K3 = konstanta back emf motor

θ = sudut putaran poros motor

Persamaan Torsi :

dengan :

J0 = momen inersi motor + beban + roda gigi terhadap poros motor

b0 = koefisien gesekan motor + beban + roda gigi terhadap poros

motor

Dari (1) dan (2) diperoleh :

Output :

Dengan

Maka :

Mengingat La = kecil, maka diperoleh penjabaran sebagai berkut

Daya penyederhanaan diperoleh :

G s K

Js Bs

( )= +

2

Atau :

ω_n = frekuensi natural tak teredam

σ = redaman (attenuation)

ζ = faktor / koefisien redaman

ζ = B =

B

B

JK

c 2

Diperoleh : K

J dan

B J

n n

=ω2 =2ζω =2σ

Sehingga diperoleh bentuk umum fungsi alih orde-2 balikan satuan :

C s

R s

s

s

n

n n

( )

( )

=

+

+

ω

ζω

ω

2

2 2

2

Perilaku dinamis sistem orde-2 dapat dijelaskan melalui ζ dan ω_n.

Tiga kasus tanggapan :

1. Teredam kurang (0 < ζ < 1) 2. Teredam kritis (ζ = 1) 3. Teredam lebih (ζ > 1)

•

•

Teredam kurang

(

)(

)

C s

R s s j s j

n

n d n d

( )

( ) = + + + +

ω

ζω ω ζω ω

2

dengan

ω_d =ω_n 1−ζ2

= frekuensi natural teredam

Untuk input unit step :

X

X

σ

d jω

− d jω

n

ξω

(

)

(

)

(

)

C s

s s s

s s s s n n n n n d n n d ( )= + + = − + + + − + + ω ζω ω ζω ζω ω ζω ζω ω 2 2 2

2 2 2 2

2 1

sehingga

c t e t t

e t t nt d d nt d

( ) cos sin

sin tan ( )

= − + −         = − − + −         ≥ − − − 1 1 1 1 1 0 2 2 1 2 ζω ζω ω ζ ζ ω ζ ω ζ ζ

• Waktu setting tercepat bila 0,5 < ζ < 0,8

• sistem teredam kritis lebih cepat dari pada sistem dengan ζ > 1.

• Sistem orde-2 dengan ζ sama dan ωn berbeda : bertanggapan sama untuk

simpangan dan pola osilasi, disebut memiliki kestabilan relatif sama.

• Sinyal galat :

e t r t c t

e nt t t t

d d

( ) ( ) ( )

cos sin ( )

= − = + −         ≥ −ζω _ω ζ ζ ω 1 0 2

untuk ζ = 0 : sistem berosilasi pada amplitudo tetap

‚

‚

Teredam Kritis

Respon unit step :

(

)

C s

s s

n n

( )= +

ω ω

2

2

sehingga

(

)

c t e nt t t

n

( ) = −1 −ω 1+ω ≥0

jω

bid-s

ƒ

ƒ

Teredam lebih

Letak pole-pole

Respon unit step :

sehingga

dengan s₁=_ζ + ζ2−1_ω_n

s₂ =_ζ − ζ2 −1_ω_n

Bila s₂ << s₁, maka respons orde-2 dapat didekati dengan mengabaikan faktor s1.

− =

− + −

s

n n

2

2

1

ζω ω ζ

jω

bid-s

σ −s₁=

Diperoleh pendekatan :

C s

R s _s

s

s s

n n n n

( ) ( ) =

− −

+ − − = +

ζω ω ζ

ζω ω ζ

2

2

2

2

1 1

Tanggapan waktu untuk input unit step :

( )

c t( )= −e− − − nt t ≥



 

1 ζ ζ2 1 ω 0

Untuk ξ = 2 dan

♦

♦

SPESIFIKASI TANGGAPAN WAKTU ALIH

ASUMSI : - sistem orde-2, input unit step, kondisi mula nol,

- tanggapan teredam kurang (sistem kendali sebenarnya).

1. Waktu tunda (td) : Waktu yang diperlukan agar tanggapan mencapai

50 % nilai akhir pertama kali.

2. Waktu naik (tr) : Waktu yang dibutuhkan agar tanggapan naik dari :

- 0 % ke 100 % dari nilai akhirnya (teredam kurang) - 10 % ke 90 % dari nilai akhirnya (teredam lebih)

3. Waktu Puncak (tp) : Waktu yang dibutuhkan agar tanggapan mencapai

puncak simpangan pertama kali.

4. Presentase simpangan puncak, Mp :

Perbandingan antara nilai puncak tertinggi dari kurva tangapan terhadap nilai akhir tanggapan

( )

( )

% ~

(~) %

Mp C tp c

C x

= − 100

% Mp merupakan indikator langsung kestabilan relatif sistem.

5. Waktu Menetap (ts) :

Waktu yang dibutuhkan agar kurva tanggapan mencapai dan tetap berada didalam batas-batas yang dekat dengan nilai akhir.

ts berkaitan langsung dengan konstanta waktu terbesar sistem kendali

♦

PENURUNAN RUMUS SPESIFIKASI

Waktu Naik :

Waktu naik terjadi bila : c(tr) = 1

        − + − =

= − _{d r}

2 r d r t n

r sin t

1 t cos e 1 1 ) t ( c ω ζ ζ ω ζω

Mengingat

e

−ζωntr

≠

0

,

maka

0 t sin 1

t

cos _{d r}

2 r d = − + ω ζ ζ ω Atau : σ ω ζ ζ ω d 2 r d 1 t

tan =− − =−

Waktu Puncak :

Waktu puncak terjadi pada saat :

(

)

e 0

1 t sin dt

dc _nt_p

2 n p d p t t = − = − = ζω ζ ω ω Diperoleh :

0

t

sin

ω

_{d p}

=

Sehingga :

K

,

3

,

2

,

,

0

t

_p

d

π

π

π

ω

=

Mengingat waktu puncak terjadi pada puncak pertama, maka

d p

t

ω

π

=

Simpangan Puncak :

Simpangan puncak terjadi pada :

d p

t

t

=

=

π

ω

Sehingga :

( )

(

)

(

_{σ ω}

)

_π ζ ζ π ω π ζω π ζ ζ π       ₋ − − − = =         − + − = − = 2 1 d 2 d n p p e e sin 1 cos e 1 t c M Diperoleh :

Waktu Menetap

(

t 0

)

1 tan t sin 1

e 1 ) t ( c

2 1

d 2

t n

≥ 

   

 

 ₋

+ −

−

= − −

ζ ζ ω

ζ ζω

- Ditentukan oleh konstanta waktu :;

n

1

ζω τ =

Tanggapan Impuls :

Untuk 0≤ζ <1,

(

t 0

)

t 1 sin e 1 ) t (

c nt _n 2

2

n − ≥

− = − ζ ω ζ ω ζω

Untuk ζ=1,

) 0 t ( te ) t (

c 2 nt

n ≥

= −ω

ω

Untuk ζ >1,

) 0 t ( e 1 2 e 1 2 ) t (

c ( 2 1) nt