Penerapan Metode Carathéodory untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua

61 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA

ROSITA DWI NUGRAHASTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO.

Persamaan diferensial takotonom merupakan persamaan diferensial yang secara eksplisit memuat variabel bebas. Persamaan diferensial ini jika diberikan kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik.

(3)

ROSITA DWI NUGRAHASTI. Application of the Carathéodory Method to Determine the Periodic Solutions of Second Order Nonautonomous Differential Equations. Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and ALI KUSNANTO.

Nonautonomous differential equations contain explicitly independent variables. Those equations which have periodic boundary values also have periodic solutions.

This paper was to study the application of Carathéodory method to find the periodic solution of second order nonautonomous differential equation. The Carathéodory method showed that the periodic solution is equivalent to the solution obtained via the method of minimizer variational equation. Graphical analysis of the periodic solution obtained for the second order nonautonomous differential equation were visualised using a computer software Mathematica 6.

(4)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

ROSITA DWI NUGRAHASTI

G54104049

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

NRP :

G54104049

Menyetujui:

Pembimbing I,

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

NIP. 131 842 411

Pembimbing II,

Drs. Ali Kusnanto, M.Si.

NIP. 131 913 135

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

(6)

penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir jaman.

Karya ilmiah ini berjudul Penerapan Metode Carathéodory Untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Terima kasih penulis ucapkan kepada :

1. Ibu Endar H. Nugrahani selaku Pembimbing I dan Bapak Ali Kusnanto selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai, Bapak Paian Sianturi selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan.

2. Bapak dan Ibu tercinta, atas segala doa, dukungan, restu dan segala kasih sayang yang telah diberikan hingga sekarang; kakak-kakakku mba Ia, mas Hari dan calon keponakanku, atas semangat dan doanya.

3. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

4. Dian, Ndhiet, Rite yang selalu ada selama kurang lebih 4 tahun, makasih atas semuanya. 5. Teman-teman sebangsa, setanah air dan seperjuangan, Matematika 41 : Abank, Uwie, Deedee,

Ami, Ayu, Liay, Ani, Echi, Momo, Neng, Roma, Ennie, Tities, Fitri, Liam, Mas Eli, Fred, Kokom, Jali, Mamah, Great, Aji, Nene’, Mukti, Janah, Iyank, Eeph, Roro, Enyon, Syifa, Kurenz, Rina, Darwisah, Nidia, Ika, Maryam, Mahar, Tia, Dika, Cumi, Udin, Iboy, Mazid, Chubby, Racil, Deny, Idris, Yaya, Triyadi, Mimin, Amin, Yos, Yeni, Hendri. Makasih atas kekeluargaannya selama 4 tahun di Departemen Matematika, I will miss you, guys.

6. Rina Fisika 41 (makasih pinjaman bukunya), K’Arie 39 (makasih bantuan Mathematicanya), Mate 40, Mate 42.

7. Warga Ponytail : Ponytail’s angels (Mb Mitoel, Mb Ratna, Mb Umi), Mb Empit, Mb Ninit, Dian, Nira, Mb Neni, Ratih, Mb Dian, Mb Uli, Maya, Mb Susi, Mb Nana, Ike.

8. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.

Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Semoga penulisan karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembaca.

Bogor, Mei 2008

(7)

Penulis dilahirkan di Semarang pada tanggal 22 Juli 1986 dari pasangan Agus Suyono dan Sukari Tjiptaningsih. Penulis merupakan anak kedua dari dua bersaudara.

Penulis menyelesaikan pendidikan di SMU Negeri 5 Yogyakarta dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun yang sama, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

PENDAHULUAN... 1

Latar Belakang... 1

Tujuan... 1

L NA DASAN TEORI ... 1

PEMBAHASAN ... 5

Perumusan Masalah... 5

Metode Carathéodory ... 5

Contoh Kasus ... 8

KESIMPULAN ... 10

(9)

DAFTAR

GAMBAR

Halaman

1. Penyimpangan vertikal kurva y(x)... 3

2. Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory ... 8

3. Grafik solusi

( )

(

)

1 3 3 3sin cos 10 y x = −

x+ x

... 10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1. Bukti lema dan teorema ... 13

2. Mencari solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi (33)... 17

3. Mencari solusi persamaan diferensial orde pertama ... 19

4. Perhitungan solusi persamaan (37)... 22

(10)

I. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua. Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom. Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain.

Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan

diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang terjadi secara periodik.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6.

2. Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua.

II. LANDASAN TEORI

Definisi 1. (Persamaan Diferensial Orde Dua)

Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum

Definisi 2. (Persamaan Diferensial Takotonom)

Persamaan orde dua y′′ − ∇yV x y

( )

, =0

disebut persamaan diferensial takotonom dimana V: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,

( )

[Ji & Shi,2006]

Definisi 3. (Solusi Periodik)

Anggap bahwa x= Φ

( )

t adalah solusi

periodik untuk persamaan

( )

; n

x&= f x xD⊂฀ dan terdapat bilangan positif T, sedemikian sehingga

(

t T

)

( )

t 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka disebut periodik-T.

(11)

Definisi 4. (Nilai Batas)

Jika kondisi tambahan untuk persamaan diferensial yang diberikan menghubungkan dua atau lebih nilai x, kondisinya disebut kondisi batas atau nilai batas.

[Rice & Strange, 1994]

Definisi 5. (Kalkulus Variasi)

Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika yang berhubungan dengan masalah optimisasi yang meliputi memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah integral. Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( )

(

,

( ) ( )

,

)

Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu terhadap semua argumennya.

L

Untuk pembahasan selanjutnya ditetapkan . Sehingga bentuk integral di atas dapat diubah menjadi

0, selanjutnya adalah memilih fungsi y x

( )

dalam 1

[ ]

I y optimum (maksimum atau minimum) [Wan, 1995]

Definisi 6. (Fungsi Lagrangian)

Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( )

(

( ) ( )

)

Definisi 7. (Panjang atau Norm Vektor) Panjang atau norm dari suatu vektor

(

1, 2,..., n

)

Rumus diatas dinamakan norm Euclidean. [Mathews, 1992]

Definisi 8. (Hasil kali dalam)

Misalkan x dan y merupakan vektor berukuran m, hasil kali dalam dari vektor x dan y adalah

1 1 2 2

Suatu vektor juga merupakan suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom. Oleh karena itu, persamaan diatas dapat ditulis menjadi

1 1 2 2 ... m m.

x yT = x y +x y + +x y

[Beezer, 2006]

Definisi 9. (Himpunan konveks dan Fungsi Konveks)

Misalkan C⊂฀n adalah himpunan vektor. Maka C disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua , 'x xCterdapat λ∈

[ ]

0,1

maka

(

1−λ

)

xx′∈C.

Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks C. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan

(

)

(

1

)

(

1

) ( )

( )

f −λ xx′ ≤ −λ f xf x′ .

Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika

( )

2

0,

f x x C

(12)

dan merupakan strictly convex jika

[Hanum, 2006]

Definisi 10. (Persamaan Euler-Lagrange) Persamaan

disebut persamaan Euler-Lagrange dengan fungsi Lagrangian f x y y

(

, , ′

)

.

[Simmons, 1991]

Definisi 11. (Persamaan Euler-Lagrange Pada Kalkulus Variasi)

Penjelasan tentang persamaan ini diringkaskan dari buku Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition [Simmons, 1991].

Diasumsikan fungsi y x

( )

yang meminimumkan integral

(

)

Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk

( )

y x dengan membandingkan nilai I yang sesuai untuk pendekatan fungsi y x

( )

. Ide utamanya yaitu y x

( )

memberikan nilai minimum untuk I, I akan bertambah jika

( )

y x diubah-ubah. Perubahan ini disusun sebagai berikut.

Misalkan η

( )

x adalah sembarang fungsi dengan diketahui η′′

( )

x fungsi kontinu dan

( )

x1

( )

x2 0

η =η = (2) Jika α adalah parameter, kemudian

( )

( )

( )

y x = y x +αη x (3) menggambarkan kelompok satu parameter dari fungsi y x

( )

. Penyimpangan vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal dari kurva y x

( )

yang meminimumkan I yaitu αη

( )

x , ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)

1

Maksud dari persamaan (3) bahwa untuk setiap kelompok pada tipe ini, yaitu untuk masing-masing nilai pada fungsi η

( )

x ,

(13)

Dengan η

( )

x tetap,

( )

( )

( )

y x = y x +αη x dan

( )

( )

( )

yx = yx +αη′ x disubstitusikan ke integral (1), dan diperoleh fungsi dari α

( )

2

(

)

meminimumkan integral, diketahui bahwa

( )

I α harus minimum saat α =0. Dengan kalkulus dasar, kondisi penting untuk meminimumkan adalah menjadi nolkan turunan I

( )

α saat α =0 yaitu I

( )

0 =0. Turunan I

( )

α dapat dihitung dengan menurunkan persamaan (4)

( )

2

(

)

Dengan rangkaian cara untuk menurunkan fungsi dari beberapa variabel diperoleh

(

, ,

)

f x f y f y

Jadi persamaan (5) dapat ditulis

( )

2

( )

( )

persamaan (6) menghasilkan

( )

( )

dieliminasi dengan mengintegralkan bagian kedua,

karena persamaan (2). Persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk

( )

Penarikan kesimpulan pada masalah ini berdasarkan pada nilai tetap fungsi η

( )

x . Meskipun demikian karena integral pada persamaan (8) harus menjadi nol untuk setiap fungsi, disimpulkan bahwa pernyataan dalam tanda kurung juga harus sama dengan nol. Sehingga dihasilkan

0

yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange.

Definisi 12. (Fungsi Hamiltonian)

Persamaan H x y s

(

, ,

)

= s y, ′ −F x y y

(

, , ′

)

disebut sebagai fungsi Hamiltonian dengan

(

, ,

)

Definisi 13. (Persamaan Hamiltonian-Jacobi)

Untuk fungsi Hamiltonian H x y s

(

, ,

)

, persamaan diferensial

(14)

Lema 14

Misal S: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ adalah fungsi yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

sehingga syarat berikut dipenuhi

(1) Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n, persamaan diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

Teorema 15

Asumsikan bahwa S: 0,

[ ]

T ×฀n→฀ solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , y

(

,

)

)

diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

III. PEMBAHASAN

1. Perumusan Masalah

Didefinisikan persamaan diferensial takotonom

( )

, 0

y

y′′ − ∇ V x y = (14)

dimana V: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ kontinu dan periodik di x dengan periode T dan dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y

( )

Akan dicari solusi periodik untuk persamaan diferensial takotonom (14). Persamaan

diferensial takotonom (14) memiliki nilai batas periodik

( )

0

( )

,

y = y T y

( )

0 = y T

(

)

.

(15)

2. Metode Carathéodory

(15)

Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk

yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange.

Fungsi L

(

x y y, , ′ pada integral (16) disebut sebagai fungsi Lagrangian. Didefinisikan fungsi Lagrangian

(

, ,

)

1| |2

( )

, ,

2

x y y′ = y′ +V x y L

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n (18)

dimana melambangkan norm Euclidean. Diasumsikan

Integral (16) dapat diubah menjadi persamaan variasional I:Ω →฀

Nilai batas periodik (15) merupakan syarat perlu persamaan variasional karena diasumsikan ada fungsi y x

( )

∈ Ω yang meminimumkan I y

( )

.

Untuk mencari minimizer dari persamaan variasional (19) dapat digunakan fungsi Hamiltonian dan persamaan Hamiltonian-Jacobi. Didefinisikan fungsi Hamiltonian

(

, ,

)

,

(

, ,

)

H x y s = s q −L x y q (20)

dimana L

(

x y q, ,

)

adalah fungsi Lagrangian, dan persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , y

( )

, fungsi Hamiltonian dan S adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi, untuk setiap fungsi S: 0,

[ ]

T ×฀n → Fungsi Hamiltonian dapat disubstitusi ke persamaan Hamiltonian-Jacobi sehingga diperoleh solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi. Jadi turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan minimizer dari persamaan variasional (19).

Didefinisikan fungsi Lagrangian baru

(16)

Untuk setiap y∈ Ω,

Sehingga persamaan variasional (19) sama dengan persamaan variasional ekuivalen berikut

ekuivalen (25) sama dengan persamaan variasional (19) maka turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y juga merupakan minimizer dari persamaan variasional ekuivalen (25).

Pada metode Carathéodory, dicari fungsi S yang memenuhi syarat berikut

(1)Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n,

(17)

Persamaan diferensial

solusi minimizer = solusi periodik persamaan diferensial takotonom

Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory

3. Contoh Kasus

Akan dicari solusi periodik persamaan diferensial takotonom berikut

( )

( )

dimana fungsi kontinu

yang memenuhi 0,

Definisi persamaan diferensial takotonom

( )

, 0

y

y′′ − ∇ V x y = .

Dari persamaan diferensial takotonom (29) dapat diambil

( )

( )

( )

(

( )

)

Dengan demikian fungsi Lagrangian

(18)

( ) ( )

(

( )

)

2

Fungsi Hamiltonian

(

, ,

)

,

(

, ,

)

fungsi Hamiltonian (31), berarti q=s. Eliminasi q dengan s, maka fungsi Hamiltonian (31) menjadi

(

)

( ) ( )

( )

( )

Persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , y

( )

,

)

Diasumsikan solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi memiliki bentuk

( )

( )

2

( )

( )

4

( )

dimana dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

( )

mensubstitusi persamaan (34) ke persamaan (33) diperoleh

1, 2, 3, 4.

adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi (33). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 2. Dari persamaan (24)

( )

, y

( )

,

Dengan memperoleh solusi persamaan (35) maka akan diperoleh solusi periodik persamaan diferensial takotonom (29).

Diperoleh solusi persamaan (35)

( )

( )

( )

( ) ( )

(

(

( )

)

)

( ) ( )

Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 3.

(19)

2

Dari hasil pada contoh kasus maka dapat diperoleh

( )

( )

adalah solusi persamaan diferensial takotonom (37). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar berikut adalah grafik yang memperlihatkan solusi (39) periodik.

y

IV. KESIMPULAN

Dengan menggunakan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua sama dengan solusi dari minimizer persamaan variasional yang termasuk dalam langkah-langkah metode tersebut. Jadi dapat disimpulkan bahwa metode Carathéodory dapat digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua. Pada contoh kasus telah ditunjukkan bahwa metode Carathéodory

(20)

DAFTAR PUSTAKA

Beezer, R. A. 2006. A First Course in Linear Algebra. Department of Mathematics and Computer Science: University of Puget Sound.

Boas, M. L. 1983. Mathematical Methods in The Physical Sciences 2nd Edition. Singapore: John Willey & Sons Inc. Carathéodory, C. 1999. Calculus of Variations

and Partial Differential of First Order 3rd Edition. USA: AMS Chelsea Publishing. Farlow, S. J. 1994. An Introduction To

Differential Equations and Their Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co.

Hanum, F. 2006. Pengoptimuman (Pemrograman Tak Linear). Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB. Ji, S. G. & Shi, S. Y. 2006. Periodic Solutions

for a Class of Second-Order Ordinary Differential Equations. Journal of Optimization Theory and Applications. 130: 125-137.

Mathews, J. H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering 2nd Edition. California: Prentice-Hall International, Inc.

Purcell, E. J. 1987. Calculus with Analytic Geometry 5th Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Rice, B. J. & Strange. J. D. 1994. Ordinary Differential Equation with Applications 3rd Edition. Belmont, California: Wadsworth, Inc.

Simmons, G. F. 1991. Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition. Singapore: McGraw-Hill Inc.

Stewart, J. 2003. Kalkulus, edisi ke-4 jilid 2. Gunawan H. & Susila I. N., alih bahasa; Mahanani N. & Safitri A., editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.

Tu, P. N. V. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications, Second Revised and Enlarged Edition. Berlin: Springer-Verlag.

Verhulst, F. 1990. Non Linier Differential Equation and Dynamical Systems. Hiedelberg, Germany: Springer-Verlag. Wan, Y. M. 1995. Introduction to The Calculus

(21)
(22)

Lampiran 1.

Bukti Lema dan Teorema Lema 14.

sehingga syarat berikut dipenuhi

(1) Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n, L%

(

x y y, , ′ ≥

)

0

kemudian y* ( )x minimizer dari persamaan variasional

,

maka y* ( )x adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.

Bukti Lema 14.

Misalkan y* : 0,

[ ]

T →฀n solusi persamaan (10) dapat dilihat

(23)

(

( )

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional

( )

Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y* ( )x maka nilai batas periodik (11) dipenuhi. y* ( )x adalah solusi dari persamaan (10) dengan nilai batas periodik (11) maka y* ( )x adalah solusi periodik.

(24)

Teorema 15

kemudian y* ( )x minimizer dari persamaan variasional

( )

maka y* ( )x solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti teorema 15

Dengan asumsi pada S dan q, syarat (1) dan (2) dipenuhi. Dengan Lema 14, teorema siap dibuktikan.

Misalkan y* : 0,

[ ]

T →฀n solusi

( )

(

,

( )

)

,

y x′ =q x y x x

[ ]

0,T

(12)

( )

0

( )

y =y T (13)

dapat dilihat

(25)

(

( ) ( )

)

(

( )

( )

)

Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional

( )

Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y* ( )x maka nilai batas periodik (13) dipenuhi. y* ( )x adalah solusi dari persamaan (12) dengan nilai batas periodik (13) maka y* ( )x adalah solusi periodik.

(26)

Lampiran 2

Mencari Solusi Persamaan Hamiltonian-Jacobi (33)

Akan dicari solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi berikut

( )

( )

(

( )

)

Diasumsikan bahwa solusi memiliki bentuk

(

)

( )

2

( )

( )

4

( )

Dari persamaan (34)

( )

( )

4

( )

disubstitusikan ke persamaan (33)

(27)

( )

2

( )

3 2

1

0, 2

hx + h x = (42)

( )

( ) ( )

( )

( )

4 2 1 4

hx = h x h x +F xf x

( )

( ) ( )

( )

( )

4 2 1 4 ,

hxh x h x = F xf x (43)

( ) ( )

2 4 0,

h x h x = (44)

( )

(

( )

)

2 2

4

4 4 0

2 2

h x F x

y y

− + =

2

( )

(

)

2

(

( )

)

4

.

h x = F x (45)

Dari (40)-(45), diperoleh

( )

1

1 , 2

h x = h2

( )

x =0, h3

( )

x =C, h4

( )

x = −F x

( )

,

dimana C melambangkan konstanta sembarang. Sehingga diperoleh solusi

( )

1 2

( )

, 2

F x

S x y y C

y

(28)

Lampiran 3

Mencari Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertama

(29)
(30)
(31)

Lampiran 4

Perhitungan Solusi Persamaan (37)

(32)

Lampiran 5

Program Untuk Menunjukkan Grafik Solusi

( )

(

)

1 3

3

3sin cos 10

y x = −

x+ x

fgs[x_]:=If[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))<0,

-Abs[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))] , 1/3

Evaluate[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))] ] 1/3

Plot[fgs[x],{x,0,4π},PlotRange→Full,

Ticks→{Table[i,{i,0,4 π,π/2}]},AxesLabel→{"x"},PlotLabel→"y"]

y

2

3

2 2

5

2 3

7

2 4

x

(33)

PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA

ROSITA DWI NUGRAHASTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(34)

Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO.

Persamaan diferensial takotonom merupakan persamaan diferensial yang secara eksplisit memuat variabel bebas. Persamaan diferensial ini jika diberikan kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik.

(35)

ROSITA DWI NUGRAHASTI. Application of the Carathéodory Method to Determine the Periodic Solutions of Second Order Nonautonomous Differential Equations. Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and ALI KUSNANTO.

Nonautonomous differential equations contain explicitly independent variables. Those equations which have periodic boundary values also have periodic solutions.

This paper was to study the application of Carathéodory method to find the periodic solution of second order nonautonomous differential equation. The Carathéodory method showed that the periodic solution is equivalent to the solution obtained via the method of minimizer variational equation. Graphical analysis of the periodic solution obtained for the second order nonautonomous differential equation were visualised using a computer software Mathematica 6.

(36)

I. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua. Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom. Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain.

Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan

diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang terjadi secara periodik.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6.

2. Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua.

II. LANDASAN TEORI

Definisi 1. (Persamaan Diferensial Orde Dua)

Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum

Definisi 2. (Persamaan Diferensial Takotonom)

Persamaan orde dua y′′ − ∇yV x y

( )

, =0

disebut persamaan diferensial takotonom dimana V: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,

( )

[Ji & Shi,2006]

Definisi 3. (Solusi Periodik)

Anggap bahwa x= Φ

( )

t adalah solusi

periodik untuk persamaan

( )

; n

x&= f x xD⊂฀ dan terdapat bilangan positif T, sedemikian sehingga

(

t T

)

( )

t 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka disebut periodik-T.

(37)

I. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua. Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom. Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain.

Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan

diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang terjadi secara periodik.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6.

2. Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua.

II. LANDASAN TEORI

Definisi 1. (Persamaan Diferensial Orde Dua)

Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum

Definisi 2. (Persamaan Diferensial Takotonom)

Persamaan orde dua y′′ − ∇yV x y

( )

, =0

disebut persamaan diferensial takotonom dimana V: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,

( )

[Ji & Shi,2006]

Definisi 3. (Solusi Periodik)

Anggap bahwa x= Φ

( )

t adalah solusi

periodik untuk persamaan

( )

; n

x&= f x xD⊂฀ dan terdapat bilangan positif T, sedemikian sehingga

(

t T

)

( )

t 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka disebut periodik-T.

(38)

Definisi 4. (Nilai Batas)

Jika kondisi tambahan untuk persamaan diferensial yang diberikan menghubungkan dua atau lebih nilai x, kondisinya disebut kondisi batas atau nilai batas.

[Rice & Strange, 1994]

Definisi 5. (Kalkulus Variasi)

Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika yang berhubungan dengan masalah optimisasi yang meliputi memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah integral. Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( )

(

,

( ) ( )

,

)

Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu terhadap semua argumennya.

L

Untuk pembahasan selanjutnya ditetapkan . Sehingga bentuk integral di atas dapat diubah menjadi

0, selanjutnya adalah memilih fungsi y x

( )

dalam 1

[ ]

I y optimum (maksimum atau minimum) [Wan, 1995]

Definisi 6. (Fungsi Lagrangian)

Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( )

(

( ) ( )

)

Definisi 7. (Panjang atau Norm Vektor) Panjang atau norm dari suatu vektor

(

1, 2,..., n

)

Rumus diatas dinamakan norm Euclidean. [Mathews, 1992]

Definisi 8. (Hasil kali dalam)

Misalkan x dan y merupakan vektor berukuran m, hasil kali dalam dari vektor x dan y adalah

1 1 2 2

Suatu vektor juga merupakan suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom. Oleh karena itu, persamaan diatas dapat ditulis menjadi

1 1 2 2 ... m m.

x yT = x y +x y + +x y

[Beezer, 2006]

Definisi 9. (Himpunan konveks dan Fungsi Konveks)

Misalkan C⊂฀n adalah himpunan vektor. Maka C disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua , 'x xCterdapat λ∈

[ ]

0,1

maka

(

1−λ

)

xx′∈C.

Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks C. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan

(

)

(

1

)

(

1

) ( )

( )

f −λ xx′ ≤ −λ f xf x′ .

Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika

( )

2

0,

f x x C

(39)

dan merupakan strictly convex jika

[Hanum, 2006]

Definisi 10. (Persamaan Euler-Lagrange) Persamaan

disebut persamaan Euler-Lagrange dengan fungsi Lagrangian f x y y

(

, , ′

)

.

[Simmons, 1991]

Definisi 11. (Persamaan Euler-Lagrange Pada Kalkulus Variasi)

Penjelasan tentang persamaan ini diringkaskan dari buku Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition [Simmons, 1991].

Diasumsikan fungsi y x

( )

yang meminimumkan integral

(

)

Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk

( )

y x dengan membandingkan nilai I yang sesuai untuk pendekatan fungsi y x

( )

. Ide utamanya yaitu y x

( )

memberikan nilai minimum untuk I, I akan bertambah jika

( )

y x diubah-ubah. Perubahan ini disusun sebagai berikut.

Misalkan η

( )

x adalah sembarang fungsi dengan diketahui η′′

( )

x fungsi kontinu dan

( )

x1

( )

x2 0

η =η = (2) Jika α adalah parameter, kemudian

( )

( )

( )

y x = y x +αη x (3) menggambarkan kelompok satu parameter dari fungsi y x

( )

. Penyimpangan vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal dari kurva y x

( )

yang meminimumkan I yaitu αη

( )

x , ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)

1

Maksud dari persamaan (3) bahwa untuk setiap kelompok pada tipe ini, yaitu untuk masing-masing nilai pada fungsi η

( )

x ,

(40)

Dengan η

( )

x tetap,

( )

( )

( )

y x = y x +αη x dan

( )

( )

( )

yx = yx +αη′ x disubstitusikan ke integral (1), dan diperoleh fungsi dari α

( )

2

(

)

meminimumkan integral, diketahui bahwa

( )

I α harus minimum saat α =0. Dengan kalkulus dasar, kondisi penting untuk meminimumkan adalah menjadi nolkan turunan I

( )

α saat α =0 yaitu I

( )

0 =0. Turunan I

( )

α dapat dihitung dengan menurunkan persamaan (4)

( )

2

(

)

Dengan rangkaian cara untuk menurunkan fungsi dari beberapa variabel diperoleh

(

, ,

)

f x f y f y

Jadi persamaan (5) dapat ditulis

( )

2

( )

( )

persamaan (6) menghasilkan

( )

( )

dieliminasi dengan mengintegralkan bagian kedua,

karena persamaan (2). Persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk

( )

Penarikan kesimpulan pada masalah ini berdasarkan pada nilai tetap fungsi η

( )

x . Meskipun demikian karena integral pada persamaan (8) harus menjadi nol untuk setiap fungsi, disimpulkan bahwa pernyataan dalam tanda kurung juga harus sama dengan nol. Sehingga dihasilkan

0

yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange.

Definisi 12. (Fungsi Hamiltonian)

Persamaan H x y s

(

, ,

)

= s y, ′ −F x y y

(

, , ′

)

disebut sebagai fungsi Hamiltonian dengan

(

, ,

)

Definisi 13. (Persamaan Hamiltonian-Jacobi)

Untuk fungsi Hamiltonian H x y s

(

, ,

)

, persamaan diferensial

(41)

Lema 14

Misal S: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ adalah fungsi yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

sehingga syarat berikut dipenuhi

(1) Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n, persamaan diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

Teorema 15

Asumsikan bahwa S: 0,

[ ]

T ×฀n→฀ solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , y

(

,

)

)

diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

III. PEMBAHASAN

1. Perumusan Masalah

Didefinisikan persamaan diferensial takotonom

( )

, 0

y

y′′ − ∇ V x y = (14)

dimana V: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ kontinu dan periodik di x dengan periode T dan dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y

( )

Akan dicari solusi periodik untuk persamaan diferensial takotonom (14). Persamaan

diferensial takotonom (14) memiliki nilai batas periodik

( )

0

( )

,

y = y T y

( )

0 = y T

(

)

.

(15)

2. Metode Carathéodory

(42)

Lema 14

Misal S: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ adalah fungsi yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

sehingga syarat berikut dipenuhi

(1) Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n, persamaan diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

Teorema 15

Asumsikan bahwa S: 0,

[ ]

T ×฀n→฀ solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , y

(

,

)

)

diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

III. PEMBAHASAN

1. Perumusan Masalah

Didefinisikan persamaan diferensial takotonom

( )

, 0

y

y′′ − ∇ V x y = (14)

dimana V: 0,

[ ]

T ×฀n →฀ kontinu dan periodik di x dengan periode T dan dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y

( )

Akan dicari solusi periodik untuk persamaan diferensial takotonom (14). Persamaan

diferensial takotonom (14) memiliki nilai batas periodik

( )

0

( )

,

y = y T y

( )

0 = y T

(

)

.

(15)

2. Metode Carathéodory

(43)

Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk

yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange.

Fungsi L

(

x y y, , ′ pada integral (16) disebut sebagai fungsi Lagrangian. Didefinisikan fungsi Lagrangian

(

, ,

)

1| |2

( )

, ,

2

x y y′ = y′ +V x y L

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n (18)

dimana melambangkan norm Euclidean. Diasumsikan

Integral (16) dapat diubah menjadi persamaan variasional I:Ω →฀

Nilai batas periodik (15) merupakan syarat perlu persamaan variasional karena diasumsikan ada fungsi y x

( )

∈ Ω yang meminimumkan I y

( )

.

Untuk mencari minimizer dari persamaan variasional (19) dapat digunakan fungsi Hamiltonian dan persamaan Hamiltonian-Jacobi. Didefinisikan fungsi Hamiltonian

(

, ,

)

,

(

, ,

)

H x y s = s q −L x y q (20)

dimana L

(

x y q, ,

)

adalah fungsi Lagrangian, dan persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , y

( )

, fungsi Hamiltonian dan S adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi, untuk setiap fungsi S: 0,

[ ]

T ×฀n → Fungsi Hamiltonian dapat disubstitusi ke persamaan Hamiltonian-Jacobi sehingga diperoleh solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi. Jadi turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan minimizer dari persamaan variasional (19).

Didefinisikan fungsi Lagrangian baru

(44)

Untuk setiap y∈ Ω,

Sehingga persamaan variasional (19) sama dengan persamaan variasional ekuivalen berikut

ekuivalen (25) sama dengan persamaan variasional (19) maka turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y juga merupakan minimizer dari persamaan variasional ekuivalen (25).

Pada metode Carathéodory, dicari fungsi S yang memenuhi syarat berikut

(1)Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n,

(45)

Persamaan diferensial

solusi minimizer = solusi periodik persamaan diferensial takotonom

Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory

3. Contoh Kasus

Akan dicari solusi periodik persamaan diferensial takotonom berikut

( )

( )

dimana fungsi kontinu

yang memenuhi 0,

Definisi persamaan diferensial takotonom

( )

, 0

y

y′′ − ∇ V x y = .

Dari persamaan diferensial takotonom (29) dapat diambil

( )

( )

( )

(

( )

)

Dengan demikian fungsi Lagrangian

(46)

( ) ( )

(

( )

)

2

Fungsi Hamiltonian

(

, ,

)

,

(

, ,

)

fungsi Hamiltonian (31), berarti q=s. Eliminasi q dengan s, maka fungsi Hamiltonian (31) menjadi

(

)

( ) ( )

( )

( )

Persamaan Hamiltonian-Jacobi

( )

,

(

, , y

( )

,

)

Diasumsikan solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi memiliki bentuk

( )

( )

2

( )

( )

4

( )

dimana dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

( )

mensubstitusi persamaan (34) ke persamaan (33) diperoleh

1, 2, 3, 4.

adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi (33). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 2. Dari persamaan (24)

( )

, y

( )

,

Dengan memperoleh solusi persamaan (35) maka akan diperoleh solusi periodik persamaan diferensial takotonom (29).

Diperoleh solusi persamaan (35)

( )

( )

( )

( ) ( )

(

(

( )

)

)

( ) ( )

Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 3.

(47)

2

Dari hasil pada contoh kasus maka dapat diperoleh

( )

( )

adalah solusi persamaan diferensial takotonom (37). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar berikut adalah grafik yang memperlihatkan solusi (39) periodik.

y

IV. KESIMPULAN

Dengan menggunakan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua sama dengan solusi dari minimizer persamaan variasional yang termasuk dalam langkah-langkah metode tersebut. Jadi dapat disimpulkan bahwa metode Carathéodory dapat digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua. Pada contoh kasus telah ditunjukkan bahwa metode Carathéodory

(48)

2

Dari hasil pada contoh kasus maka dapat diperoleh

( )

( )

adalah solusi persamaan diferensial takotonom (37). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar berikut adalah grafik yang memperlihatkan solusi (39) periodik.

y

IV. KESIMPULAN

Dengan menggunakan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua sama dengan solusi dari minimizer persamaan variasional yang termasuk dalam langkah-langkah metode tersebut. Jadi dapat disimpulkan bahwa metode Carathéodory dapat digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua. Pada contoh kasus telah ditunjukkan bahwa metode Carathéodory

(49)

DAFTAR PUSTAKA

Beezer, R. A. 2006. A First Course in Linear Algebra. Department of Mathematics and Computer Science: University of Puget Sound.

Boas, M. L. 1983. Mathematical Methods in The Physical Sciences 2nd Edition. Singapore: John Willey & Sons Inc. Carathéodory, C. 1999. Calculus of Variations

and Partial Differential of First Order 3rd Edition. USA: AMS Chelsea Publishing. Farlow, S. J. 1994. An Introduction To

Differential Equations and Their Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co.

Hanum, F. 2006. Pengoptimuman (Pemrograman Tak Linear). Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB. Ji, S. G. & Shi, S. Y. 2006. Periodic Solutions

for a Class of Second-Order Ordinary Differential Equations. Journal of Optimization Theory and Applications. 130: 125-137.

Mathews, J. H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering 2nd Edition. California: Prentice-Hall International, Inc.

Purcell, E. J. 1987. Calculus with Analytic Geometry 5th Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Rice, B. J. & Strange. J. D. 1994. Ordinary Differential Equation with Applications 3rd Edition. Belmont, California: Wadsworth, Inc.

Simmons, G. F. 1991. Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition. Singapore: McGraw-Hill Inc.

Stewart, J. 2003. Kalkulus, edisi ke-4 jilid 2. Gunawan H. & Susila I. N., alih bahasa; Mahanani N. & Safitri A., editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.

Tu, P. N. V. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications, Second Revised and Enlarged Edition. Berlin: Springer-Verlag.

Verhulst, F. 1990. Non Linier Differential Equation and Dynamical Systems. Hiedelberg, Germany: Springer-Verlag. Wan, Y. M. 1995. Introduction to The Calculus

(50)
(51)

Lampiran 1.

Bukti Lema dan Teorema Lema 14.

sehingga syarat berikut dipenuhi

(1) Untuk setiap

(

x y y, , ′ ∈

)

[ ]

0,T ×฀n×฀n, L%

(

x y y, , ′ ≥

)

0

kemudian y* ( )x minimizer dari persamaan variasional

,

maka y* ( )x adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.

Bukti Lema 14.

Misalkan y* : 0,

[ ]

T →฀n solusi persamaan (10) dapat dilihat

(52)

(

( )

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional

( )

Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y* ( )x maka nilai batas periodik (11) dipenuhi. y* ( )x adalah solusi dari persamaan (10) dengan nilai batas periodik (11) maka y* ( )x adalah solusi periodik.

(53)

Teorema 15

kemudian y* ( )x minimizer dari persamaan variasional

( )

maka y* ( )x solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti teorema 15

Dengan asumsi pada S dan q, syarat (1) dan (2) dipenuhi. Dengan Lema 14, teorema siap dibuktikan.

Misalkan y* : 0,

[ ]

T →฀n solusi

( )

(

,

( )

)

,

y x′ =q x y x x

[ ]

0,T

(12)

( )

0

( )

y =y T (13)

dapat dilihat

(54)

(

( ) ( )

)

(

( )

( )

)

Nilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional

( )

Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya y* ( )x maka nilai batas periodik (13) dipenuhi. y* ( )x adalah solusi dari persamaan (12) dengan nilai batas periodik (13) maka y* ( )x adalah solusi periodik.

(55)

Lampiran 2

Mencari Solusi Persamaan Hamiltonian-Jacobi (33)

Akan dicari solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi berikut

( )

( )

(

( )

)

Diasumsikan bahwa solusi memiliki bentuk

(

)

( )

2

( )

( )

4

( )

Dari persamaan (34)

( )

( )

4

( )

disubstitusikan ke persamaan (33)

(56)

( )

2

( )

3 2

1

0, 2

hx + h x = (42)

( )

( ) ( )

( )

( )

4 2 1 4

hx = h x h x +F xf x

( )

( ) ( )

( )

( )

4 2 1 4 ,

hxh x h x = F xf x (43)

( ) ( )

2 4 0,

h x h x = (44)

( )

(

( )

)

2 2

4

4 4 0

2 2

h x F x

y y

− + =

2

( )

(

)

2

(

( )

)

4

.

h x = F x (45)

Dari (40)-(45), diperoleh

( )

1

1 , 2

h x = h2

( )

x =0, h3

( )

x =C, h4

( )

x = −F x

( )

,

dimana C melambangkan konstanta sembarang. Sehingga diperoleh solusi

( )

1 2

( )

, 2

F x

S x y y C

y

(57)

Lampiran 3

Mencari Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertama

(58)
(59)
(60)

Lampiran 4

Perhitungan Solusi Persamaan (37)

(61)

Lampiran 5

Program Untuk Menunjukkan Grafik Solusi

( )

(

)

1 3

3

3sin cos 10

y x = −

x+ x

fgs[x_]:=If[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))<0,

-Abs[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))] , 1/3

Evaluate[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))] ] 1/3

Plot[fgs[x],{x,0,4π},PlotRange→Full,

Ticks→{Table[i,{i,0,4 π,π/2}]},AxesLabel→{"x"},PlotLabel→"y"]

y

2

3

2 2

5

2 3

7

2 4

x

Figur

Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)
Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y x . View in document p.12
Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua
Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua . View in document p.17
Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)
Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y x . View in document p.39
Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua
Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua . View in document p.45

Referensi

Memperbarui...