KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis sampaikan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang
telah melimpahkan nikmat dan karunia-Nya kepada penulis, karena dengan
seizin-Nyalah sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini yang merupakan
syarat utama yang harus dipenuhi untuk memperoleh gelar sarjana teknik dari
Universitas Sumetera Utara dengan judul “Perhitungan Beban Aksial Kritis Pada Kolom Baja Dalam Sebuah Struktur Portal Baja”.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis banyak memperoleh bantuan
dan saran dari berbagai pihak, maka dalam kesempatan ini penulis ingin
menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, sebagai ketua jurusan teknik sipil
Universitas Sumatera Utara;
2. Bapak Ir. Zulkarnain A. Muis, M.Eng.Sc selaku koordinator program
pendidikan ekstensi jurusan teknik sipil;
3. Bapak Ir. Sanci Barus, MT selaku dosen pembimbing yang telah membimbing
penulis dalam penulisan tugas akhir ini hingga selesai;
4. Seluruh dosen penguji yang telah memberi masukan pada tugas akhir ini;
5. Seluruh dosen dan pegawai Universitas Sumatera Utara khususnya jurusan
teknik sipil yang telah mendidik dan membina penulis sejak awal hingga akhir
perkuliahan;
6. Terimakasih yang teristimewa, penulis ucapkan kepada kedua orangtua
tercinta, yang telah mendidik, dan membesarkan serta selalu memberikan
mohonkan kepada Tuhan Yang Maha Esa sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini. Begitu juga kepada ketiga adikku, terima kasih
kuucapkan atas dorongan dan doanya;
7. Terimakasih juga penulis ucapkan kepada rekan-rekan mahasiswa dan
teman-teman yang memberikan dukungan kepada penulis untuk menyelesaikan
tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini kemungkinan belum sempurna,
untuk itu penulis dengan tulus dan terbuka menerima kritikan dan saran yang
bersifat membangun demi penyempurnaan tugas akhir ini.
Akhir kata, sekali lagi penulis sampaikan terimakasih kepada pihak yang
telah banyak membantu dan semoga atas bimbingan serta bantuan moral dan
material yang penulis terima mendapat imbalan dari Tuhan Yang Maha Esa.
Medan, Mei 2013 Hormat saya
Penulis,
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... i
DAFTAR ISI ... iii
ABSTRAK ... vi
DAFTAR NOTASI ... vii
DAFTAR GAMBAR ... ix
DAFTAR GRAFIK ... xii
DAFTAR TABEL ... xiii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang Masalah ... 1
1.2. Permasalahan ... 8
1.3. Tujuan ... 13
1.4. Pembatasan Masalah ... 14
1.5. Metodologi Penulisan ... 15
1.6. Sistematika Penulisan ... 16
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 17
2.1. Umum ... 17
2.2. Sifat Bahan Baja ... 21
2.3. Kolom Euler ... 26
2.4. Desain Kolom-Balok ... 30
2.4.1 Keruntuhan Kolom ... 31
2.4.3. Tegangan Tekan Izin ... 33
2.4.4 Faktor Tekuk (ω) ... 33
2.4.5. Angka Kelangsingan (λ) ... 34
2.4.6. Panjang Tekuk (Lk) ... 35
2.5. Stabilitas Dari Struktur Kolom ... 37
2.6. Teori Sambungan Semi-Rigid ... 41
BAB III ANALISA ... 42
3.1. Umum ... 42
3.2. Panjang Efektif ... 43
3.3. Rumus Kolom Euler ... 46
3.4. Analisis Beban Kritis Pada Portal Baja ... 50
3.4.1. Portal Tak Bergoyang ... 53
3.4.2. Portal Bergoyang ... 54
3.4.3. Tekuk Portal Elastis ... 55
3.5. Metode Kemiringan-Lendutan (Slope-Deflection Method) ... 62
BAB IV APLIKASI DAN PERHITUNGAN ... 69
4.1. Kolom Baja Tunggal Dengan Perletakan Sendi-Sendi ... 71
4.2. Portal Baja Sederhana Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 73
4.4. Portal Baja Berjajar Tiga Yang Tidak Bergoyang Dengan
Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 94
4.5. Portal Baja Berjajar Empat Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 108
4.6. Portal Baja Berjajar Empat Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom, Dimana Modulus Elastisitas (E) Dan Momen Inersia (I) Bahan Memiliki Nilai Yang Bervariasi ... 127
4.7. Portal Baja Sederhana Yang Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 144
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 162
5.1. Kesimpulan ... 162
5.2. Saran ... 163
DAFTAR PUSTAKA
ABSTRAK
Kolom adalah elemen penting yang ikut mendukung gaya tekan aksial pada suatu bangunan. Dalam tugas akhir ini yang di tinjau adalah kolom baja pada sebuah struktur kolom tunggal dan portal baja. Apabila sebuah batang lurus di bebani gaya tekan aksial dengan pemberian beban semakin lama semakin tinggi, maka pada batang tersebut akan mengalami perubahan. Kolom yang akan ditinjau pada tugas akhir ini adalah kolom baja profil IWF dengan perletakan sendi-sendi serta kondisi portal baja tanpa goyangan samping dan dengan adanya goyangan samping. Keuntungan pemakaian kolom baja sebagai bahan konstruksi adalah kolom baja memiliki nilai kesatuan yang tinggi per satuan berat, memiliki keseragaman bahan serta memiliki daktilitas yang tinggi. Gaya aksial tekan merupakan gaya yang utama dalam menyebabkan tekuk batang (kolom). Jika beban yang bekerja pada kolom ditambah besarnya secara berangsur-angsur, maka akibatnya kolom akan mengalami lenturan lateral dan kemudian mengalami keruntuhan akibat terjadinya lenturan tersebut. Beban yang mengakibatkan terjadinya lentur lateral pada kolom disebut beban kritis dan merupakan beban maksimum yang masih dapat ditahan oleh kolom dengan aman.
Dalam tugas akhir ini dibahas mengenai perbandingan beban dengan jenis perletakan dasar kolom yang berupa sendi dan untuk portal di analisa portal baja yang tidak bergoyang. Selain itu kolom pada struktur portal baja tersebut juga akan ditinjau beban kritisnya berdasarkan kondisi portal yang bervariasi yaitu portal baja sederhana, Portal baja berjajar dua, portal baja berjajar tiga dan portal baja berjajar empat. Dengan membandingkan nilai beban kritis dari beberapa jenis struktur kolom diatas maka akan diperoleh kesimpulan.
DAFTAR NOTASI
Pcr : Beban Tekuk Kritis Kolom
Lk : Panjang Tekuk
E : Modulus Elastisitas Baja
Fcr = σcr : Tegangan Kritis
λg : Batas Kelangsingan Kolom
σtk : Tegangan Tekan Izin
σg : tegangan tekan izin pada kelangsingan sama dengan kelangsingan
batas λg
ω : Faktor Tekuk
λ : Angka Kelangsingan
K : Koefisien Faktor Tekuk
L : Panjang Batang
∆ : Pergeseran
δ : Lendutan Tekuk
P : Beban Aksial
H : Tinggi Tampang Profil IWF
B : Lebar Tampang Profil IWF
A : Luas Tampang Profil
t1 : Tebal badan (Web) Profil IWF
t2 : Tebal Sayap (Flens) Profil IWF
i = r : Jari-Jari Inersia
L : Tinggi Kolom atau Panjang Balok
G : Faktor Kekangan Akibat Adanya Batang Lentur yang Merangka ke
Batang Tekan yang Sedang Ditinjau
Ic : Momen Inersia Kolom
Ib : Momen Inersia Balok
Et : Modulus Tangen
θ : Kemiringan Ujung Yang Diukur Terhadap Sumbu Batang atau
disebut juga Variabel Rotasi Titik Simpul
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Kolom Baja Tunggal Dengan Perletakan Sendi-Sendi ... 10
Gambar 1.2 Portal Baja Sederhana Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 10
Gambar 1.3 Portal Baja Berjajar Dua Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 11
Gambar 1.4 Portal Baja Berjajar Tiga Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 11
Gambar 1.5 Portal Baja Berjajar Empat Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-sendi Pada Dasar Kolom ... 12
Gambar 1.6 Portal Baja Berjajar Empat Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom dan Nilai EI yang bervariasi ... 11
Gambar 1.7 Portal Baja Sederhana Yang Bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom ... 13
Gambar 2.1 Batang Yang Tertekuk Akibat Gaya Aksial ... 17
Gambar 2.2 Diagram Tegangan-Regangan ... 22
Gambar 2.3 Kolom Euler ... 27
Gambar 2.4 Grafik Kolom Euler ... 29
Gambar 2.5 Kekakuan Portal Tidak Dapat Bergoyang ... 35
Gambar 2.6 Kekakuan Portal Dapat Bergoyang ... 36
Gambar 2.8 Tekuk ... 39
Gambar 3.1 Faktor Panjang Efektif Untuk Kolom Yang Dibebani Secara Terpusat Dengan Berbagai Kondisi Yang Ideal ... 45
Gambar 3.2 Nomogram Faktor Tekuk Kolom ... 46
Gambar 3.3 Kondisi Perletakan Ujung Sendi-Sendi ... 47
Gambar 3.4 Momen Lentur Sekunder Akibat P∆ Pada Portal ... 51
Gambar 3.5 Perbandingan Antara Portal Tak Bergoyang Dan Bergoyang... 52
Gambar 3.6 Kekuatan Portal Tak Bergoyang ... 55
Gambar 3.7 Kekuatan Portal Bergoyang ... 56
Gambar 3.8 Kerangka Elastik Untuk Penurunan Suku-Suku Ga Dan Gb Untuk Mendapatkan Panjang Kolom Efektif KL. (a) Bagian Kerangka Elastik, KL Yang Didefenisikan Sebagai Jarak Diantara Titik-Titik Lentur Balik. (b) Elemen Kolom Yang Diisolasi Dengan Suku-Suku Yang Digunakan Dalam Penurunan Yang Diidentifikasi. (c) Balok Konjugat Dan Variasi Momen (Yang Dianggap) ... 58
Gambar 3.9 Momen Batang Akibat Beban Luar ... 64
Gambar 3.10 Penurunan Momen Primair Dari Beban Terpusat ... 65
Gambar 3.11 Momen akibat Rotasi Di i (θij) ... 65
Gambar 3.12 Momen akibat Rotasi Di j (θji) ... 66
Gambar 4.1 Gambar Tampang Profil IWF 150 x 150 ... 70
Gambar 4.2 Kolom Dengan Perletakan Sendi-Sendi ... 71
Gambar 4.3 Portal Baja Sederhana Tidak Bergoyang ... 73
Gambar 4.4 Portal Baja Sederhana ... 77
Gambar 4.5 Portal Baja Berjajar Dua Tidak Bergoyang ... 82
Gambar 4.6 Portal Baja Berjajar Dua (Tidak Bergoyang) ... 89
Gambar 4.7 Portal Baja Berjajar Tiga Tidak Bergoyang ... 94
Gambar 4.8 Portal Baja Berjajar Tiga ... 103
Gambar 4.9 Portal Baja Berjajar Empat Tidak Bergoyang ... 108
Gambar 4.10 Portal Baja Berjajar Empat ... 120
Gambar 4.11 Portal Baja Berjajar Empat Tidak Bergoyang Dengan Nilai EI Batang Yang Bervariasi ... 127
Gambar 4.12 Portal Baja Berjajar Empat Dengan Nilai EI Batang Yang Bervariasi ... 139
Gambar 4.13 Portal Baja Sederhana Yang Bergoyang ... 145
DAFTAR GRAFIK
Grafik 4.1 Beban Kritis Pada Struktur Baja Tunggal Dan Portal Baja
Tidak bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Harga Tegangan Leleh ... 25
Tabel 4.1 Beban Kritis Pada Struktur Baja Tunggal Dan Portal Baja
Tidak bergoyang Dengan Perletakan Sendi-Sendi Pada
ABSTRAK
Kolom adalah elemen penting yang ikut mendukung gaya tekan aksial pada suatu bangunan. Dalam tugas akhir ini yang di tinjau adalah kolom baja pada sebuah struktur kolom tunggal dan portal baja. Apabila sebuah batang lurus di bebani gaya tekan aksial dengan pemberian beban semakin lama semakin tinggi, maka pada batang tersebut akan mengalami perubahan. Kolom yang akan ditinjau pada tugas akhir ini adalah kolom baja profil IWF dengan perletakan sendi-sendi serta kondisi portal baja tanpa goyangan samping dan dengan adanya goyangan samping. Keuntungan pemakaian kolom baja sebagai bahan konstruksi adalah kolom baja memiliki nilai kesatuan yang tinggi per satuan berat, memiliki keseragaman bahan serta memiliki daktilitas yang tinggi. Gaya aksial tekan merupakan gaya yang utama dalam menyebabkan tekuk batang (kolom). Jika beban yang bekerja pada kolom ditambah besarnya secara berangsur-angsur, maka akibatnya kolom akan mengalami lenturan lateral dan kemudian mengalami keruntuhan akibat terjadinya lenturan tersebut. Beban yang mengakibatkan terjadinya lentur lateral pada kolom disebut beban kritis dan merupakan beban maksimum yang masih dapat ditahan oleh kolom dengan aman.
Dalam tugas akhir ini dibahas mengenai perbandingan beban dengan jenis perletakan dasar kolom yang berupa sendi dan untuk portal di analisa portal baja yang tidak bergoyang. Selain itu kolom pada struktur portal baja tersebut juga akan ditinjau beban kritisnya berdasarkan kondisi portal yang bervariasi yaitu portal baja sederhana, Portal baja berjajar dua, portal baja berjajar tiga dan portal baja berjajar empat. Dengan membandingkan nilai beban kritis dari beberapa jenis struktur kolom diatas maka akan diperoleh kesimpulan.
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Konstruksi Baja merupakan suatu alternatif yang menguntungkan dalam
pembangunan gedung dan struktur yang lainnya baik dalam skala kecil maupun
besar. Hal ini dikarenakan material baja mempunyai beberapa kelebihan bahan
konstruksi yang lain.
Akan tetapi pada kenyataannya banyak kita temui pembangunan gedung
konstruksi tingkat tinggi yang masih didominasi oleh beton konvensional. Bila
dibandingkan dengan beton konvensional, baja memiliki beberapa keunggulan
yang perlu diperhatikan dalam pembangunan yang saat ini sedang berkembang
pesat yaitu selain awet dan kuat, berat yang lebih ringan Specific Strength yang
lebih tinggi serta waktu pengerjaan yang lebih cepat dapat mempercepat
pengerjaan konstruksi. Ditambah lagi dengan keseragaman material yang lebih
terjamin karena dibuat secara fabrikasi (Homogen).
Baja merupakan salah satu bahan konstruksi yang paling penting.
Sifat-sifatnya yang terutama penting dalam penggunaan dibandingkan terhadap bahan
lain yang tersedia dan sifat ductility. Ductility adalah kemampuan untuk
berdeformasi secara nyata baik dalam tegangan maupun regangan sebelum terjadi
kegagalan.
Baja berdeformasi secara nyata dapat dilihat pada batang polos maupun
konstruksi portal sederhana. Portal terdiri dari elemen pelat, kolom, dan balok
beton maka digunakan asumsi- asumsi dalam memudahkan didalam menganalisa.
Dalam perencanaan faktor yang harus mendapat perhatian utama adalah masalah
kekuatan dan keamanan, masalah keekonomisan dan masalah estetika dari
struktur yang di rencanakan.
Suatu struktur dikatakan kuat atau aman apabila struktur tersebut mampu
memikul segala gaya, tegangan dan juga lendutan yang mungkin timbul akibat
dari pembebanan yang bersifat sementara. Oleh karena itu seorang perencana
harus memperhatikan hal-hal tersebut di atas dengan sebaik-baiknya dalam
merencanakan suatu struktur.
Dalam tugas akhir ini yang di tinjau adalah kolom baja. Apabila sebuah
batang lurus di bebani gaya tekan aksial dengan pemberian beban semakin lama
semakin tinggi, maka pada batang tersebut akan mengalami perubahan. Perubahan
dari keadaan sumbu batang lurus menjadi sumbu batang melengkung dinamakan
tekuk. Definisi lain menyatakan bahwa Buckling (Tekuk) merupakan suatu proses
dimana suatu struktur tidak mampu mempertahankan bentuk aslinya, sedemikian
rupa berubah bentuk dalam rangka menemukan keseimbangan
baru. Buckling merupakan fenomena instabilitas yang terjadi pada batang
langsing, pelat dan cangkang yang tipis. Konsekuensi buckling pada dasarnya
adalah masalah geometrik dasar, dimana terjadi lendutan besar akan mengubah
bentuk struktur. Fenomena buckling pada kolom langsing merupakan prototype
sederhana yang menggambarkan masalah instabilitas struktur. Masalah instabilitas
ini dalam sejarah pertama kali dapat diselesaikan oleh Euler tahun 1744 M.
Karakteristik mendasar dari keruntuhan buckling adalah bahwa beban runtuh
tergantung kepada kekuatan bahan atau batas leleh bahan. Penambahan kekuatan
dengan meningkatkan kekuatan bahan hanya akan berpengaruh kurang dari 1
persen terhadap kapasitas beban runtuh untuk berbagai macam properties kolom.
Buckling (tekuk) terjadi akibat penekanan pada suatu batang dimana yang
mengalami gaya tekan aksial. Dalam hal ini, tekuk dapat terjadi sebelum atau
sesudah tegangan idiil dicapai terlebih dahulu,tentu tidak menjadi masalah dalam
perhitungan kekuatan baja. Namun apabila tekuk terjadi sebelum tegangan idiil
dicapai, tentu akan sangat berbahaya karena peristiwa tekuk terjadi secara
tiba-tiba tanpa memberi tanda-tanda misalnya terjadinya deformasi secara
perlahan-lahan yang semakin lama semakin besar.
Untuk struktur yang ramping dimana ukuran panjangnya sangat besar
dibanding dengan jari-jari inersianya, kestabilan bukan hanya di tentukan oleh
deformasi seperti diatas tetapi harus di tinjau tekuk batang akibat gaya aksial
tekan. Apabila gaya aksial tekan di perbesar, maka tekukan akan semakin besar
sehingga dapat mengakibatkan ketidakstabilan struktur tersebut. Besarnya gaya
yang mengakibatkan struktur berada dalam batas stabil disebut “Beban Kritis”
yang biasanya disebut dengan Pcr, dimana besarnnya beban kritis ini di pengaruhi
oleh : Elastisitas bahan, Dimensi Struktur, Jenis Pembebanan, dan Faktor
Pengukuran.
Pada Batang yang mengalami gaya aksial tekan, maka deformasi yang
terjadi mula-mula adalah perpendekan. Jika beban ditambah maka akan terjadi
bengkokan akibat tekukan batang tersebut. Jika melebihi beban kritis maka batang
tersebut akan mengalami patah, dan tentunya sudah harus dalam suatu
besar beban kritis yang dapat dipikul oleh suatu batang dengan memperhitungkan
ha-hal yang telah disebutkan di atas.
Sambungan antara balok-kolom dapat diasumsikan sebagai sambungan
rigid framing (sambungan portal kaku) dan sambungan semi rigid framing
(sambungan portal semi kaku).
Sambungan semi rigid framing (sambungan semi kaku) adalah momen
yang diberikan sambungan semi rigid tidak sama dengan nol dan tidak
memberikan momen penuh.
Pada umumnya struktur yang menerima gaya normal terdapat pada kolom,
baik gaya tekan maupun gaya tarik, sehingga terjadi deformasi perpindahan akibat
gaya tekan dan perpanjangan akibat gaya tarik. Gaya normal tekan yang bekerja
ada 2 macam yaitu:
a. Gaya tekan sentris
b. Gaya tekan eksentris
Gaya tekan sentris adalah gaya normal tekan yang bekerja pada batang
berimpit dengan garis sumbu batang sehingga tidak ada momen yang timbul,
maka gaya tekan yang terjadi adalah �� = �
�.
Gaya tekan eksentris sebenarnya tidak ada, yang menyebabkan gaya tekan
eksentris atau terjadinya momen M = P.e ada beberapa hal:
a. Garis sumbu batang yang tidak lurus
b. Garis gaya normal tekan tidak sentris
Bila portal diberi gaya aksial tekan pada kolom dimana beban tersebut
diletakkan dititik berat kolom sehingga tidak terjadi momen eksentrisitas M = P.e
kolom dalam keadaan lurus sebelum terjadi tekuk awal (P < Pkritis).
Akibat pembebanan tersebut ada dua kemungkinan yang terjadi pada
portal yaitu tekuk tidak bergoyang dan tekuk bergoyang.
Tekuk adalah bila suatu kolom diberi gaya aksial tekan sebesar P1, kolom
tidak mengalami tekuk (P < Pkritis) kolom masih batas stabil, bila aksial P2 diberi
lebih besar dari P1, maka kolom akan mengalami tidak stabil. Besar beban yang
menjadi batas batang stabil – tidak stabil disebut Pcr (Pkritis). Disini batang sudah
menekuk dan tida bisa kembali seperti semula. Tekuk bisa terjadi pada
konstruksi-konstruksi langsing, misalnya pada kolom-kolom langsing, tebal kelangsing
elemen plat dan lain-lain.
Dari peristiwa tekuk pada portal baja tidak terlepas dari stabilitas dari
struktur yang menerima beban aksial tekan, meskipun struktur telah memenuhi
syarat kekuatan dan kekakuan, struktur juga harus memenuhi syarat kestabilan
sehingga dapat dihindari terjadinya kegagalan dalam perencanaan struktur.
Bila ditinjau portal yang tidak bergoyang dengan perletakan jepit-jepit,
pada saat beban kritis portal tertekuk. Ujung atas kolom dikekang elastis oleh
balok yang dihubungkan dengan kolom secara kaku sehingga beban kritis dari
kolom tidak hanya tergantung kepada kekakuan kolom tetapi juga pada kekakuan
balok. Masalahnya jika balok dianggap kaku tak terhingga, balok harus tetap lurus
saat portal terdeformasi dan kolom tidak dapat berotasi maupun translasi pada
ujung atasnya. Dalam keadaan kolom berkelakuan sebagai batang jepit pada ujung
Alternatif lain balok dianggap fleksibel tidak terhingga, balok tidak dapat
memberikan kekangan rotasi untuk ujung atas dari kolom. Kolom berkelakuan
sebagai batang terjepit pada satu ujung dan sendi pada ujung lainnya sehingga
beban kritis dari portal mendekati sama dengan dua kali (2x) beban euler kolom.
Beban kritis pada portal tak bergoyang dapat ditulis sebagai berikut:
2 �� < ��� < 4 ��
dimana Pcr adalah nilai kritis dari beban yang bekerja dan Pe beban Euler pada
kolom.
Untuk portal bergoyang dengan kekauan baloknya tak terhingga, portal
akan tertekuk sedangkan balok tetap lurus. Ujung atas dari kolom adalah bebas
translasi tetapi tidak dapat berotasi. Disini beban kritis dari portal sama besarnya
dengan beban Euler dari kolom.
Jika balok fleksibel tak terhingga, ujung atas dari kolom bebas berotasi
maupun translasi, balok dan kolom mengalami perpindahan perpindahan. Di sini
kolom berkelakuan jepit pada dasarnya dan ujung atas bebas. Beban kritis dari
portal sama dengan seperempat (1/4) dari beban Euler kolom. Beban kritis dari
portal yang ujungnya bebas translasi lateral berada diantara:
1 4
� �� < ��� < ��
Portal semi rigid adalah hubungan antara balok dengan kolom tidak
sepenuhnya terjepit dan tidak sepenuhnya sedi dimana konstruksi tersebut
tidak terlepas dari elemen-elemen pelat, kolom dan balok yang menerima
gaya-gaya seperti momen, gaya lintang dengan persentasi yang
Hubungan antara balok dan kolom pada suatu analisa portal baja dalam hal
ini menganggap hubungan antara momen yang terajadi dengan putaran sudut yang
diakibatkan adalah linear, dalam kenyataanya adalah non linear. Perilaku yang
tidak linear dari hubungan tersebut mempengaruhi perubahan beberapa faktor,
seperti perubahan bentuk lokal (local yieling), tekuk lokal (local buckling),
konsentrasi tegangan (stress concentration), pertambahan regangan (strain
hardening) dan slip pada baut atau las. Situasi tertentu adalah mungkin untuk
memodelkan suatu sambungan dengan suatu elemen yang linear dengan kekakuan
konstan.
Pada penelitian di laboratorium ditinjau portal semi rigid tidak bergoyang
dengan perletakan sendi-sendi, sambungan balok dengan kolom menggunakan
baut elastis, pada saat beban kritis portal akan tertekuk. Besarnya beban kritis
��� = �
2��
�2 .
Pada saat portal diberi gaya aksial tekan di ujung kolom dengan meletakan
gaya P tepat di garis sumbu batang sehingga tidak ada momen lentur dalam batang
sebelum tekuk portal terjadi maka gaya yang terjadi σk =P/F. Di sini portal masih
dalam keadaan kesetimbangan stabil atau P < Pkritis dimana beban yang dipikul
portal relatif kecil.
Bila beban yang dipikul oleh kolom sama dengan Pkritis (P = Pkritis) maka
portal akan mengalami deformasi secara serentak, di sini portal telah mengalami
pembengkokan, putaran sudut dan lendutan yang relatif kecil tetapi portal tidak
dapat kembali ke bentuk semula.
Sedangkan portal yang menerima gaya aksial tekan lebih besar dari Pkritis
mengakibatkan portal mengalami keruntuhan. Pada saat ini kolom telah tertekuk
dan kesetimbangan kolom pada posisi tidak stabil.
1.2. Permasalahan
Baja merupakan bahan struktur yang sangat luas sehingga harus memenuhi
standar yang telah ditetapkan. Hal ini konstruksi yang akan dianalisis adalah
kolom pada suatu portal baja. Karena konstruksi kolom adalah suatu konstruksi
yang pada umumnya paling sering mengalami gaya aksial. Gaya aksial tekan
merupakan gaya yang utama dalam menyebabkan tekuk pada batang (kolom) dari
suatu portal baja.
Pada saat kolom menerima gaya aksial tekan yang bekerja pada titik pusat
penampang kolom, maka mula-mula terjadi adalah kolom dalam keadaan lurus
jika beban ditambah akan terjadi tekuk dan jika melebihi beban kritis, kolom akan
mengalami keruntuhan hal ini yang harus dihindari dalam perencanaan. Untuk itu
perlu diketahui berapa besar beban kritis pada kekakuan sambungan dan kekakuan
balok terhadap tekuk kolom.
Dalam tugas akhir ini penulis akan membahas tekuk (Bukling), serta
perhitungan beban kritis pada kolom baja tunggal dan kolom pada beberapa
kondisi portal baja tidak bergoyang dan bergoyang. Analisa tekuk kolom pada
portal ini akan menggunakan metode Kemiringan-Lendutan (Slope-Deflection)
untuk menghitung besarnya beban kritis kolom dalam sebuah portal baja.
Portal yang dimaksud dalam tugas akhir ini adalah portal yang terdiri dari
balok dan kolom dengan perletakan sendi-sendi pada dasar kolom. Adapun profil
baja yang dimaksud juga berupa Portal tidak bergoyang atau bisa disebut juga
Portal dengan tidak ada goyangan samping (sideway prevented) dan Portal
bergoyang atau bisa disebut juga Portal dengan goyangan samping (sideway
permitted).
Kondisi portal baja terdiri dari portal baja sederhana dan portal baja
berjajar. Kolom dalam sebuah portal baja sederhana dimaksud nantinya akan
dihitung beban kritisnya dengan ketinggian kolom dan panjang balok tertentu.
Kemudian, Portal baja sederhana tersebut dibuat berjajar menjadi dua buah portal
baja sederhana yang disatukan sehingga saling berkaitan dan mengikat antara
kerangka portal yang satu dengan yang lainnya. Untuk portal berjajar ini nantinya
juga akan dihitung beban kritisnya dan akan dilihat dan dibuktikan apakah
penambahan kerangka portal (kolom dan balok) pada portal sederhana
sebelumnya akan berpengaruh pada kekuatan kolom pada portal baja berjajar
dimaksud. Lalu dilanjutkan dengan portal baja berjajar tiga, dimana akan
dilakukan juga perhitungan beban kritisnya sama seperti perhitungan portal baja
sederhana dan portal baja berjajar dua sebelumnya. Hal yang sama juga dilakukan
untuk portal baja berjajar empat.
Dengan menghitung beban kritis pada beberapa variasi/kondisi portal baja
diatas akan dilihat perbedaan antara portal yang satu dengan yang lainnya, dalam
hal ini menyangkut pada kekuatan kolom dalam memikul beban aksial. Adapun
variasi/kondisi kolom baja tunggal dan kolom pada Portal baja tak bergoyang
serta kolom pada portal baja bergoyang yang akan dibahas dalam tugas akhir ini
1. Kolom baja tunggal dengan perletakan sendi-sendi
Gambar 1.1 Kolom Baja Tunggal Dengan Perletakan
Sendi-Sendi
2. Portal baja sederhana tidak bergoyang dengan perletakan sendi-sendi pada
dasar kolom
Gambar 1.2 Portal Baja Sederhana Tidak Bergoyang Dengan Perletakan
3. Portal baja berjajar dua yang tidak bergoyang dengan perletakan sendi-sendi
pada dasar kolom
Gambar 1.3 Portal Baja Berjajar Dua Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan
Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom
4. Portal baja berjajar tiga yang tidak bergoyang dengan perletakan sendi-sendi
pada dasar kolom
Gambar 1.4 Portal Baja Berjajar Tiga Yang Tidak Bergoyang Dengan Perletakan
EI 0,5 EI 2 EI 0,5 EI EI
2 EI 0,5 EI 0,5 EI 2 EI
5. Portal baja berjajar empat yang tidak bergoyang dengan perletakan
sendi-sendi pada dasar kolom
Gambar 1.5 Portal Baja Berjajar Empat Yang Tidak Bergoyang Dengan
Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom
6. Portal baja berjajar empat yang tidak bergoyang dengan perletakan
sendi-sendi pada dasar kolom dan Nilai EI yang bervariasi
Gambar 1.6 Portal Baja Berjajar Empat Yang Tidak Bergoyang Dengan
Perletakan Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom
7. Portal baja sederhana yang bergoyang dengan perletakan sendi-sendi pada
dasar kolom
Gambar 1.7 Portal Baja Sederhana Yang Bergoyang Dengan Perletakan
Sendi-Sendi Pada Dasar Kolom
1.3. Tujuan
Adapun maksud dan tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk
menentukan besarnya beban kritis yang diterima oleh kolom baja tunggal dan
kolom pada sebuah portal sederhana dan portal baja berjajar akibat gaya aksial
dengan perletakan sendi-sendi pada dasar kolom dan jenis portal yang ditinjau
adalah portal baja tidak bergoyang dan bergoyang. Profil baja yang digunakan
untuk balok dan kolom adalah Profil IWF dengan perletakan dasar kolom adalah
sendi-sendi.
Dalam tugas akhir ini penulis akan membahas tekuk (bukling), serta
perhitungan beban kritis pada kolom dalam portal baja dengan metode
Kemiringan-Lendutan (Slope-Deflection), dimana akan dibandingkan beban kritis
kolom pada portal baja berjajar dengan tinggi kolom dan panjang balok tertentu.
Hal ini bertujuan untuk melihat apakah ada pengaruh secara analisis mengenai
kekuatan kolom baja tunggal ketika ditambahkan kolom dan balok sehingga
menjadi sebuah portal baja sederhana, kemudian pada portal baja sederhana jika
ditambahkan kerangka portal lainnya yang menyatu dan mengikat sehingga
terbentuk sebuah portal baja yang berjajar. Beban kritis pada kolom baja tunggal
akan dibandingkan dengan beban kritis kolom pada portal baja sederhana,
kemudian beban kritis kolom pada portal baja sederhana akan dibandingkan
dengan beban kritis pada portal baja berjajar, sehingga dapat disimpulkan
pengaruh penambahan kerangka baja (kolom dan balok) pada kolom baja tunggal
sehingga menjadi portal baja sederhana ataupun portal baja sederhana sehingga
menjadi portal baja berjajar, apakah kekuatan kolom baja tunggal dan kolom pada
portal baja tersebut akan bertambah dengan sokongan kerangka baja lain yang
membentuk portal atau tidak ada pengaruhnya sama sekali.
1.4. Pembatasan Masalah
Dalam analisa ini banyak permasalahan yang akan di tinjau maka untuk
memudahkan analisa pada penulisan ini diadakan pembatasan-pembatasan dan
penyederhanaan sebagai berikut :
1. Aplikasi terhadap profil IWF sebagai profil yang digunakan pada
struktur portal baja.
2. Struktur adalah dengan tumpuan pada dasar kolom berupa sendi-sendi.
3. Portal baja yang dibahas adalah Portal baja tidak bergoyang dan
4. Material Kolom Homogen.
5. Kolom yang ditinjau adalah lurus sempuna dimana beban aksial tekan
di kedua ujungnya bekerja pada garis gaya di kedua ujung yang sama
besar.
6. Perputaran tampang yang terjadi sangat kecil.
1.5. Metodologi Penulisan
Metode yang digunakan pada penulisan tugas akhir ini adalah secara
literature. Adapun metode penulisan secara literatur tersebut adalah sebagai
berikut:
a) Penulis melakukan riset ke perpustakaan dan mengumpulkan materi serta
data-data yang mendukung isi objek penulisan, sehingga dapat memenuhi
pembahasan dan mendapatkan kesimpulan yang sesuai dengan judul tugas
akhir ini.
b) Berdasarkan tinjauan literatur dibandingkan metoda-metoda dalam
perencanaan kapasitas beban maksimum kolom-kolom baja pada suatu
struktur portal baja.
c) Untuk memperjelas pembahasan dibuat contoh aplikasi perhitungan,
dimana perhitungan akan dilakukan untuk kolom baja berupa profil IWF
yang terdapat pada kolom baja tunggal, struktur portal baja sederhana dan
struktur portal baja berjajar. Portal baja ini merupakan portal baja tidak
bergoyang dan bergoyang dengan perletakan sendi-sendi pada dasar
kolom. Analisis yang dilakukan adalah menghitung beban kritis kolom
dan panjang balok tertentu. Kemudian membandingkan nilai beban kritis
dari beberapa kondisi kolom struktur baja tersebut yaitu kolom baja
tunggal dan kolom pada portal baja.
d) Dari pembahasan teoritis dan hasil perhitungan akan diperoleh saran dan
kesimpulan.
1.6. Sistematika Penulisan
Untuk memberikan gambaran garis besar penulisan tugas akhir ini, maka
isi tugas akhir ini dapat diuraikan sebagai berikut :
BAB I : PENDAHULUAN, terdiri dari latar belakang, permasalahan,
tujuan penulisan, pembatasan masalah, metode penulisan, dan
sistematika penulisan tugas akhir.
BAB II : TINJAUAN PUSTAKA, terdiri dari penjelasan secara umum
tentang bahan yang akan diteliti pada tugas akhir ini.
BAB III : ANALISA, terdiri dari penjelasan dan analisa yang dipakai
untuk menyelesaikan masalah yang akan di teliti pada tugas
akhir ini.
BAB IV : APLIKASI DAN PERHITUNGAN, terdiri dari aplikasi dari
analisis yang ada pada bab sebelumnya.
BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN, terdiri dari kesimpulan dari
analisa dan aplikasi yang telah dibuat dari penelitian yang telah
L
P
P
Deformasi Akibat Gaya P
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
1.2. Umum
Dalam bab ini kita akan membicarakan batang yang mengalami tegangan
tekan aksial. Dengan berbagai macam sebutan, tiang, tonggak dan batang desak,
batang ini pada hakekatnya jarang sekali mengalami tekan aksial saja. Namun,
bila pembebanan ditata sedemikian rupa hingga pengekangan (restraint) rotasi
ujung dapat diabaikan atau beban dari batang-batang yang bertemu di ujung
kolom bersifat simetris dan pengaruh lentur sangat kecil dibandingkan dengan
tekanan langsung, maka batang tekan dapat direncanakan dengan aman sebagai
kolom yang dibebani secara konsentris.
Dari mekanika bahan diketahui bahwa hanya kolom yang sangat pendek
dapat dibebani hingga mencapai tegangan lelehnya, sedangkan keadaan yang
umum yaitu lenturan mendadak akibat ketidakstabilan terjadi sebelum kekuatan
bahan batang sepenuhnya tercapai. Keadaan demikian yang kita sebut dengan
tekuk (bukling). Jadi, pengetahuan tentang kestabilan batang tekan perlu bagi
[image:31.595.120.508.603.664.2]pembaca yang akan merencanakan struktur baja.
Latar belakang tekuk kolom pertama dikemukakan oleh Leondhart Euler
pada tahun 1759. Batang dengan beban konsentris yang semula lurus dan semua
seratnya tetap elastis hingga tekuk terjadi akan mengalami lengkungan yang kecil
seperti pada gambar 2.1. Walaupun Euler hanya menyelidiki batang yang dijepit
disalah satu ujung dan bertumpu sederhana (Simply Supported) di ujung yang
lainnya, logika yang sama dapat diterapkan pada kolom yang berperletakan sendi,
yang tidak memiliki pengekangan rotasi dan merupakan batang dengan kekuatan
tekuk terkecil. Kita akan mendapatkan rumus-rumus gaya kritis yang dapat
diterima oleh suatu batang sebelum tekuk terjadi.
Pendekatan Euler pada umumnya tidak digunakan untuk perencanaan
karena tidak sesuai dengan percobaan, dalam praktek kolom dengan panjang
umum tidak sekuat seperti yang dinyatakan oleh rumus-rumus Euler.
Considere dan Essengger pada tahun 1889 secara terpisah menemukan
bahwa sebagian dari kolom dengan panjang yang umum menjadi inelastis
sebelum tekuk terjadi dan harga E yang dipakai harus memperhitungkan adanya
jumlah serta yang tertekan dengan regangan diatas batas proporsional. Jadi
mereka menyadari bahwa sesungguhnya kolom dengan panjang yang umum akan
hancur akibat tekuk inelastis dan bukan akibat tekuk elastis.
Akan tetapi pengertian yang menyeluruh tentang kolom dengan beban
konsentris baru tercapai pada tahun 1946 ketika Shaneey menjabarkan teorinya
yang ternyata sekarang benar. Ia mengemukakan bahwa hakekatnya kolom masih
mampu memikul beban aksial yang lebih besar walaupun telah melentur, tetapi
menyertakan pengaruh inelastic pada sejumlah atau semua serat penampang
lintang.
Untuk menentukan kekuatan dasar kolom, kondisi kolom perlu diidealisir
dengan beberapa anggapan. Mengenai bahan, kita menganggap: (1) sifat tegangan
di seluruh titik pada penampang; (2) tidak ada tegangan internal seperti akibat
pendinginan setelah penggilingan (rolling) dan akibat pengelasan; (3) Kolom
lurus sempurna dan prismatis; (4) Resultante beban bekerja melalui sumbu pusat
batang mulai melentur; (5) Kondisi ujung harus statis tertentu sehingga panjang
antara sendi-sendi ekivalen dapat ditentukan. Anggapan lain tentang tekuk adalah
(6) teori lendutan yang kecil seperti pada lenturan umum berlaku dan gaya geser
dapat diabaikan, serta (7) puntiran atau distorsi penampang lintang tidak terjadi
selama melentur.
Setelah anggapan-anggapan diatas dibuat, sekarang disetujui bahwa
kekuatan suatu kolom dapat dinyatakan sebagai:
��� = � �⁄ = �2��
( �� �⁄ )2 (2.1)
Dengan : ��� = P/A = tegangan rata-rata pada penampang
�� = modulus tagent pada P/A
KL/r = angka kelangsingan efektif (ujung sendi ekivalen)
Kita tahu bahwa batang tekan yang panjang akan runtuh akibat tekuk
elastis dan batang yang runtuh dapat dibebani sampai bahan meleleh atau bahkan
sampai daerah pengerasan regangan (strain hardening). Pada keadaan yang
umum, kehancuran akibat tekuk terjadi setelah sebagian penampang lintang
Tekuk murni akibat beban aksial sesungguhnya hanya terjadi apabila
anggapan dari (1) sampai (7) diatas berlaku. Kolom biasanya merupakan satu
kesatuan dengan struktur, dan pada hakekatnya tidak dapat berlaku secara
independent. Dalam praktek, tekuk diartikan sebagai perbatasan antara lendutan
stabil dan tidak stabil pada batang tekan, jadi bukan kondisi sesaat yang terjadi
pada batang langsing elastis yang diisolir. Banyak insinyur menyebut “beban
tekuk praktis” ini sebagai “beban batas (ultimate)”.
Pada hakekatnya batang yang hanya memikul tekan aksial saja jarang
dijumpai dalam strukur namun bila pembebanan diatur sedemikian rupa hingga
pengekangan (restrain) rotasi ujung dapat diabaikan atau beban dari
batang-batang yang bertemu di ujung kolom bersifat simetris dan pengaruh lentur sangat
kecil dibandingkan tekanan langsung maka batang tekan dapat direncanakan
dengan aman sebagai kolom yang dibebani secara konsentris.
Kolom dapat dibagi menjadi dua kolompok:
a. Kolom panjang, biasanya akan rusak akibat tekukan yang terjadi atau
kelebihan lentur melintang.
b. Kolom sedang, biasanya akan rusak akibat gabungan terjadinya kehancuran
material dan tekukan.
Pembebanan ini biasanya ditinjau dari kerampingan yaitu kolom sedang
memiliki kerampingan 30 ≤ L/r ≤ 100, sedangkan kolom panjang memiliki kerampingan 100 ≤ L/r ≤ 200. Disamping kedua kelompok diatas, masih ada kolom yang digolongkan kepada kolom pendek.
Tekuk dapat membedakan atas tekuk elastis dan tekuk tidak elastis
inelastis dan bukan akibat tekuk elastis. Pada kolom yang mengalami tekuk
inelastis, modulus elastisitasnya pada saat terjadi tekuk lebih kecil dari harga
awalnya.
1.3. Sifat Bahan Baja
Baja adalah suatu bahan yang mempunyai homogenitas yang tinggi, hasil
campuran dari besi, zat arang, mangan, silicon dan tembaga. Kekuatan baja
tergantung dari besar kecilnya kadar akrbon(zat arang). Semakin besar kadar zat
arangnya semakin besar pula tegangan patah dan regangannya, tetapi akan
mengurangi daktilitasnya, maka persentase maksimum dari zat arang, fosfor dan
sulfur dibatasi. Pembatasan komposisi maksimum dari campuran tersebut adalah:
1,7% zat arang (c), 1,65% Mangan (Mn), 0,6% Silikon dan Tembaga (Cu).
Berdasarkan persentase zat arang yang dikandung, baja dapat di
klasifikasikan sebagai berikut:
1. Baja dengan persentase zat arang “rendah” (low carbon steel) yaitu lebih
kecil dari 0,15%
2. Baja dengan persentase zat arang “ringan ” (mild carbon steel) yaitu antara
0,15% - 0,29%
3. Baja dengan persentase zat arang “sedang” (medium carbon steel) yaitu
antara 0,30% - 0,59%
4. Baja dengan persentase zat arang “tinggi” (high carbon steel) yaitu antara
Baja untuk struktur termasuk kedalam baja lunak (mild carbon steel),
karena mempunyai daktilitas.
Uji tarik rekayasa sering dipergunakan untuk melengkapi informasi
rancangan dasar kekuatan suatu bahan dan sebagai data pendukung bagi
spesifikasi bahan. Benda uji tarik diberi beban gaya tarik sesumbu yang
bertambah besar secara kontinu, diagram yang diperoleh dari uji tarik pada
umumnya digambarkan sebagai diagram tegangan-regangan.
Diagram tegangan-regangan menunjukkan karakteristik dari bahan yang
diuji dan memberikan informasi penting mengenai besaran mekanis dan jenis
perilaku (Jacob Bernoulli 1654 – 1705 dan J.V. Poncelet 1788 – 1867). Diagram
tegangan-regangan untuk baja struktural tipikal yang mengalami tarik ditunjukkan
pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Diagram Tegangan-Regangan
A B
Diagram tersebut dimulai dengan garis lurus dari pusat sumbu O ke titik
A, yang berarti bahwa hubungan antara tegangan dan regangan pada daerah awal
ini bukan saja linear melainkan juga proporsional (dua variabel dikatakan
proporsional jika rasio antar keduanya konstan, dengan demikian suatu hubungan
proporsional dapat dinyatakan dengan sebuah garis lurus yang melalui pusatnya).
Melewati titik A, proporsionalitas antara tegangan dan regangan tidak terjadi lagi;
maka tegangan di titik A disebut limit proporsional. Kemiringan garis lurus dari
titik O ke titik A disebut modulus elastisitas. Karena kemiringan mempunyai
satuan tegangan dibagi regangan, maka modulus elastisitas mempunyai satuan
yang sama dengan tegangan yang dinyatakan dengan persaman :
�
=
��
Dimana E = Modulus Elastisitas (N/m2) / MPa
σ = Tegangan (N/m2) / MPa ε = Regangan
Dengan meningkatnya tagangan hingga melewati limit proporsional, maka
regangan mulai meningkat secara lebih cepat lagi untuk setiap pertambahan
tegangan. Dengan demikian, kurva tegangan-regangan mempunyai kemiringan
yang berangsur-angsur semakin kecil, sampai pada titik B kurva tersebut menjadi
horizontal (lihat Gambar 2.3). Mulai dari titik ini, terjadi perpanjangan yang
cukup besar pada benda uji tanpa adanya pertambahan gaya tarik (dari B ke C).
Fenomena ini disebut luluh dari bahan, dan titik B disebut titik luluh (Fy). Pada
daerah antara B dan C, bahan ini menjadi plastis sempurna, yang berarti bahan ini
berdeformasi tanpa adanya pertambahan beban. Setelah mengalami regangan
pengerasan regang (strain hardening). Selama itu, bahan mengalami perubahan
dalam struktur kristalin, yang menghasilkan peningkatan resitensi bahan tersebut
terhadap deformasi lebih lanjut. Perpanjangan benda uji di daerah ini
membutuhkan peningkatan beban tarik, sehingga diagram tegangan-regangan
mempunyai kemiringan positif dari C ke D. Beban tersebut pada akhirnya
mencapai harga maksimumnya, dan tegangan pada saat itu (di titik D) disebut
tegangan ultimate (Fu). Penarikan batang lebih lanjut pada kenyataannya akan
disertai dengan pengurangan beban, dan akhirnya terjadi putus/patah di suatu titik
seperti titik E pada Gambar 2.2.
Sifat fisik batang tulangan baja yang paling penting untuk digunakan
dalam perhitungan perencanaan beton bertulangan adalah tegangan leleh (fy) dan
modulus elastisitas (E). Tegangan leleh baja ditentukan melalui prosedur
penelitian standar sesuai dengan SII 0136-84, dengan ketentuan bahwa tegangan
leleh adalah tegangan baja pada saat dimana meningkatnya tegangan tidak disertai
lagi dengan peningkatan regangannya. Didalam perencanaan atau analisis beton
bertulang pada umumnya nilai tegangan leleh baja tulangan diketahui atau
ditentukan pada awal perhitungan.
Disamping usaha standarisasi yang telah dilakukan oleh masing-masing
negara produsen baja, kebanyakan negara produsen baja dan baja tulangan pada
dewasa ini masih berorientasi pada spesifikasi teknis yang ditetapkan ASTM. Di
Indonesia produksi baja tulangan dan baja struktur diatur sesuai dengan Standar
Industri indonesia.
Tegangan-tegangan leleh dari bermacam-macam baja bangunan
Tabel 2.1 Harga Tegangan Leleh
Macam Baja
Tegangan Leleh
Kg/cm2 Mpa
Baja 33 2000 200
Baja 37 2400 240
Baja 44 2800 280
Baja 52 3600 360
(sumber : Sunggono, 1984)
Baja memiliki beberapa kelebihan sebagai bahan konstruksi, diantaranya
adalah:
a) Nilai kesatuan yang tinggi per satuan berat
b) Keseragaman bahan dan komposit bahan yang tidak terbatas
c) Daktilitas yang tinggi
d) Mudah untuk diadakan pengembangan struktur
Baja juga memiliki beberapa kekurangan sebagai bahan konstruksi,
diantaranya yaitu:
a) Biaya perawatan yang besar
b) Biaya pengadaan anti api yang besar
Modulus Elastisitas
Secara umum modulus elastisitas untuk semua baja yang bukan prategang
dapat diambil Es = 29.00 ksi (200.000 Mpa)
Es = 29.000.000 psi (=lb/inc2)
Es = 2,1 x 106 kg/cm2
1.4. Kolom Euler
Rumus kolom Euler diturunkan dengan membuat berbagai anggapan
sebagai berikut:
a) Bahan elastis linear dan batas proporsional tidak terlampaui.
b) Batang pada mulanya lurus sempurna, prismatis dan beban terpusat
dikerjakan sepanjang sumbu titik berat penampang.
c) Material homogen sempurna dan isotropis.
d) Penampang batang tidak terpuntir, elemennya tidak dipengaruhi tekuk
setempat dan distorsi lainnya selama melentur.
e) Batang bebas dari tegangan residu.
f) Ujung-ujung batangditumpu sederhana. Ujung bawah ditumpu pada sendi
yang tidak dapat berpindah, ujung atas ditumpu pada tumpuan yang dapat
berotasi dengan bebas dan bergerak vertikal tetapi tidak dapat bergerak
hozontal.
g) Deformasi dari batang cukup kecil sehingga bentuk (y’)2dari persamaan kurva
Gambar 2.3 Kolom Euler
Bahwa batang yang ditekan akan mengalami bentuk yang sedikit
melengkung seperti pada gambar 2.3. Jika sumbu koordinat diambil seperti dalam
gambar , momen dalam yang terjadi pada penampang sejauh x dari sumbu asal
adalah:
Mx = -Eiy” (2.2)
Dengan menyamakan momen lentur luar P.y, maka diperoleh persamaan:
Eiy” + P.y = 0 (2.3a)
Persamaan (2.2) adalah persamaan differensial linear dengan koefisien konstan
dan dapat dirubah menjadi:
y” + k2y = 0 (2.3b)
dimana,
�2 = �
Penyelesaian umum persamaan (2.3a):
y = A sin kx + B cos kx (2.5)
Untuk menentukan besaran konstanta A dan B, maka menggunakan syarat batas :
y = 0 pada x = 0
y = 0 pada x = 1
Dengan memasukkan syarat batas pertama ke dalam persamaan (2.5) maka
diperoleh:
B = 0
Sehingga diperoleh:
y = A sin kx (2.6a)
Dari syarat batas kedua diperoleh:
A sin kL = 0 (2.6b)
Persamaan (2.6b) dapat dipenuhi oleh tiga keadaan yaitu:
a. Konstanta A= 0, yaitu tidak ada lendutan (2.7a)
b. KL = 0, yaitu tidak ada beban luar (2.7b)
c. KL = nπ, yaitu syarat terjadi tekuk (2.7c)
Substitusi persamaan (2.7c) ke dalam persamaan (2.4) dan persamaan (2.6a)
diperoleh:
KL = nπ dan P = K2
.EI , sehingga: � =�� .� � �
2
.��
Maka:
� =�2.�2.�.�
�2 (2.8a)
Dan
� =�����.�.�
Gaya (P)
Deformasi (A)
Daerah Inelastis
Daerah Elastis
Nilai beban
Kritis (Pcr)
Pada beban yang diberikan oleh persamaan (2.8a) kolom berada dalam keadaan
kesetimbangan dalam bentuk yag agak bengkok, dimana bentuk deformasinya
diberikan oleh persamaan (2.8b).
Ragam (mode) tekuk dasar yaitu lendutan dengan lengkungan tunggal akan
diperoleh jika nilai n diambil sama dengan 1, dengan demikian beban kritis euler
untuk kolom adalah:
��� =�
2.�.�
�2 (2.9)
Dan persamaan lendutan menjadi:
� =�����.�
� (2.10)
Kelakuan kolom Euler dapat digambarkan secara grafik seperti pada gambar
[image:43.595.130.471.386.610.2]berikut:
Gambar 2.4 Grafik Kolom Euler
Dari grafik dapat dilihat bahwa sampai beban euler dicapai, kolom harus
tetap lurus. Pada beban Euler ada percabangan kesetimbangan yaitu kolom dapat
tetap lurus atau dapat dianggap berubah bentuk dengan amplitudo tidak tentu.
Kelakuan ini menunjukkan bahwa keadaan kesetimbangan pada saat beban Euler
merupakan transisi dari kesetimbangan stabil dan tidak stabil.
��� =�
2.�.�
Keseimbangan stabil adalah keseimbangan yang dialami benda dimana
apabila dipengaruhi oleh gaya atau gangguan kecil maka benda tersebut akan
segera ke posisi keseimbangan semula. Sedangkan, keseimbangan tidak stabil
(labil) adalah keseimbangan yang dialami oleh suatu benda yang apabila diberikan
sedikit gangguan, maka benda tersebut tidak bisa kembali ke posisi keseimbangan
semula. Ketika diberi gangguan kecil dan kemudian dihilangkan, maka benda
tersebut tidak akan pernah kembali ke posisi awalnya.
Grafik kolom Euler merupakan grafik hubungan antara gaya (P) dengan
deformasi yang terjadi (A). Nilai beban kritis (Pcr) batang struktur dinyatakan
dalam bentuk garis lurus yang merupakan batas antara daerah elastis dan daerah
inelastis pada grafik kolom Euler. Daerah elastis merupakan daerah dimana ketika
batang struktur dibebani maka tegangan penampang masih berada dalam keadaan
elastis (belum mencapai tegangan leleh). Sedangkan daerah inelastis merupakan
daerah dimana ketika batang struktur dibebani maka sejumlah serat telah menjadi
inelastis dan pada saat terjadi keruntuhan akibat tekuk, maka sebagian penampang
telah mencapai tegangan lelehnya.
1.5. Desain Kolom - Balok
Desain kolom dibutuhkan dalam perencanaan portal baja sebagai
elemen/batang utama dari struktur bangunan gedung. Kolom merupakan
elemen/batang tekan yang berfungsi sebagai batang utama pada struktur bangunan
baja. Kekuatan kolom baja harus dirancang sekuat mungkin, karena kolom ialah
elemen terakhir dari struktur atas gedung yang memikul beban. Oleh karena itu,
tegak yang berfungsi menahan beban-beban untuk diteruskan ke pondasi.
Umumnya batang tekan atau kolom mempunyai sifat keruntuhan dan
kelangsingan.
2.4.1. Keruntuhan Kolom
Keruntuhan batang tekan dapat dikategorikan menjadi tiga bagian:
a. Keruntuhan yang diakibatkan tegangan lelahnya dilampaui. Keruntuhan ini
terjadi pada kolom pendek.
b. Keruntuhan yang diakibatkan oleh terjadinya tekuk (buckling).
Keruntuhan ini terjadi pada kolom yang langsing. Jika akibat tekuk
tegangan penampang masih dalam keadaan elastis (belum mencapai
tegangan leleh), maka gaya kritis dapat dihitung dengan rumus Euler:
�
��=
� 2 . �� ��2Dimana : Lk = panjang tekuk
E = modulus elastisitas
I = momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus
arah tekuk
Sehingga tegangan kritis diperoleh:
�
��=
�
��=
����=
� 2 . ��2 (2.11)
Berdasarkan harga tegangan kritis ini, maka kolom dibagi tiga bagian:
1) Kolom Pendek
Pada kondisi ini tidak terjadi tekuk
2) Kolom Sedang
Pada kondisi ini terjadi tekuk inelastis
�
��=
�
�−
� ��2.�
��
�− �
���
2 (2.13)
3) Kolom Langsing
Pada kondisi ini terjadi tekuk elastis
�
��=
� 2 . ��2 (2.14)
c. Keruntuhan akibat melelehnya sebagian serat yang diesut tekuk tak elastis.
Keruntuhan semacam ini berada diantara kasus (a) dan (b) dimana pada
saat menekuk sejumlah serat menjadi inelastis maka modulus elastisitas
ketika tertekuk lebih kecil dari harga awalnya.
2.4.2. Parameter Kelangsingan Batang Tekan (λc)
Perumusan Euler masih dianggap berlaku sama dengan kenyataan hasil
test laboratorium sampai batas proporsional dimana hukum Hooke berlaku atau
harga E tetap (daerah elastis). Setelah melampaui titik proporsional, harga E tidak
tetap lagi sehingga perumusan Euler tidak sesuai lagi (daerah inelastis).
Parameter kelangsingan kolom batang tekan (λc) dapat dirumuskan :
�
�=
�1.
��� ���.
�
��
� (2.15)
Atau
,
�
�=
��
.
�
��� (2.16)
Lk = Panjang Tekuk (cm)
Fy = Tegangan Leleh Material (kg/cm2)
imin = Jari –Jari Inersia Minimum (cm)
• Untuk kolom pendek : λc≤ 0,25
• Untuk kolom menenganh (inelastic) : 0,25 < λc < 1,2
• Untuk kolom panjang/langsing (elastic) : λc ≥ 1,2
2.4.3. Tegangan Tekan Izin
Tegangan Tekan Izin (σtk) adalah tegangan kritis (σcr) dibagi dengan faktor
keamanan (SF). Besarnya harga faktor keamanan bervariasi antara 1,5 untuk
kolom pendek sampai dengan 2,5 untuk kolom langsing. Harga tegangan tekan
izin untuk berbagai tipe kolom sebagai berikut:
a. Kolom pendek :
�
��=
��1,5 (2.17)
b. Kolom sedang :
�
��=
� −
�−20��−20
�� − �
��
(2.18)c. Kolom langsing :
�
��=
�2 . �
2,5 . �2 (2.19)
Dimana : σg = tegangan tekan izin pada kelangsingan sama dengan
kelangsingan batas λg.
�
�=
� 2 . �2,5 . �2
2.4.4. Faktor Tekuk (
�
)
Untuk menentukan tegangan tekan izin diperlukan faktor tekuk (ω)
.
a. Kolom pendek : � = 1 (2.20)
b. Kolom sedang : �
=
1,41 1,593 − ���
(2.21)
c. Kolom langsing : � = 2,381�� ���
2
(2.22)
2.4.5. Angka Kelangsingan (
�
)
Kelangsingan kolom (batang tekan) tergantung pada jari-jari inersia (i) dan
panjang tekuk (Lk). Kelangsingan batang dihitung dengan persamaan:
�
=
������ (2.23)
Dimana : Lk = panjang tekuk
imin = jari-jari inersia minimum
Nilai angka kelangsingan untuk berbagai tipe kolom:
a. Kolom pendek : λ ≤ 50 b. Kolom Langsing : 100 ≤ λ ≤ 200
Batas kelangsingan kolom (λg) adalah angka kelangsingan dimana rumus
Euler tidak berlaku lagi atau deformasi pada batang telah memasuki daerah
inelastis (plastis). Besarnya λg dihitung dengan persamaan:
��
=
���� .√� (2.23a)dimana: σcr = σy
Jika pengaruh tegangan residu (residual strees) diperhitungkan, maka
batas angka kelangsingan menjadi:
��
=
0,7 .� .√��2.4.6. Panjang Tekuk (Lk)
Panjang tekuk (effective lenght) adalah jarak antara titik belok (inflection
point) dari sebuah batang yang tertekuk. Panjang tekuk (Lk) dihitung dengan
persamaan:
�� =�.� (2.24)
Dimana : k = koefisien/faktor tekuk
L = panjang batang
Harga faktor tekuk untuk kolom terpisah (isolated column) tergantung
pada kondisi ujung-ujungnya.
Kolom umumnya merupakan bagian dari suatu bangunan (portal),
sehingga panjang tekuk kolom harus dihitung sebagai elemen-elemen konstruksi
yang berhubungan dengannya.
a. Portal Tidak Bergoyang (Non Sway)
b. Portal Dapat Bergoyang (Sway)
Gambar 2.6 Kekakuan Portal Dapat Bergoyang
Panjang Tekuk kolom dari suatu bangunan bertingkat dengan sambungan
kaku (rigid connection) ditentukan dengan nomogram yang diperlihatkan pada
BAB III yaitu pada gambar 3.2 dimana menggunakan persamaan sebagai berikut:
�
=
∑ ������ /������∑ ���� ��/������
(2.25)
�
�=
∑ �∑ ���//���� (2.26)
�
�=
∑ ��∑ ��//��a
b
c
Jika perletakan dasar ujung kolom adalah sendi, maka G=10, dan jika
perletakan dasar ujung kolom adalah jepit, maka G=1. Melalui nomogram Faktor
Tekuk Kolom yang diperlihatkan pada BAB III yaitu gambar 3.2, maka dapat
diperoleh faktor K yang berguna dalam penentuan Panjang Kolom Efektif.
1.6. Stabilitas Dari Struktur Kolom
Analisa stabilitas suatu struktur batang berkaitan erat dengan masalah
kesetimbangan. Oleh karena itu pemahaman terhadap masalah kesetimbangan
merupakan suatu hal yang penting.
Konsep dari stabilitas sering diterangkan dengan mengganggap
kesetimbangan dari bola pejal dalam beberapa posisi seperti pada gambar berikut
[image:51.595.141.486.438.580.2]ini:
Gambar 2.7 Stabilitas
Walaupun bola dalam keadaan setimbang pada posisinya masing-masing,
dalam pengamatan memperlihatkan adanya perbedaan penting dari ketiga keadaan
• Posisi a
Bola berada pada permukaan yang cekung maka bila diberikan gangguan
kecil dx, bola akan kembali ke posisi semula setelah berisolasi beberapa kali.
Keadaan kesetimbangan ini disebut dengan kesetimbangan stabil.
• Posisi b
Apabila bola berada pada permukaan yang datar, bila diberikan gangguan
kecil dx maka gangguan kecil ini akan merubah gaya-gaya kesetimbangan
maupun energi potensial bola. Keadaan kesetimbangan ini disebut dengan
kesetimbangan netral.
• Posisi c
Bila bola berada pada permukaan yang cembung, diberikan gangguan kecil
dx maka akan terjadi pergeseran mendadak (progressive movement).
P1
P1
P1
P1
P1
P1 f1
Q
P2
P2
P2
P2
P2
P2 f2
Q
P3
P3
P3
P3
P3
P3 f3
[image:53.595.253.377.74.694.2]Q
• Batang a
Batang a diberi muatan P1 kecil, dari samping ditekan Q yang menekan yang
menekan batang maka akan terjadi lenturan f1. Bila gaya Q dihilangkan,
lenturan f1 hilang dan batang lurus kembali. Peristiwa ini disebut stabil dan
ini dapat disamakan dengan bola dalam tempat yang cekung.
• Batang b
Batang b ditekan dengan P2, dimana P2 > P1. Dari samping ditekan Q maka
terjadi lenturan f2. Q dihilangkan tetapi f2 masih tetap ada. Keadaan ini
disebut “indifferent”. Gaya P2 disebut gaya Pkritis, sedangkan tegangan (σ =
P/F) yang timbul dengan luas tampang disebut tegangan kritis (σkritis).
• Batang c
Batang c ditekan dengan P3, dimana P3 > P2 tetapi masih dalam batas batang
belum patah. Dari samping ditekan dengan Q, bahkan lebih kecil daripada Q
pada keadaan. Lengkung f3 yang timbul akan menjalar terus sampai batang
itu patah. Peristiwa ini disebut “labil”.
Dari makanika bahan telah diketahui bahwa batang tekan yang pendek
dapat dibebani sampai batang meleleh sedangkan batang tekan yang panjang akan
runtuh akibat tekuk. Pada keadaan yang umum keruntuhan akibat tekan terjadi
antara keruntuhan akibat kelelehan bahan dan akibat tekuk elastis, setelah
sebagian penampang lintang meleleh, keadaan ini disebut tekuk inelastis (inelastic
1.7. Teori Sambungan Semi-Rigid
Pada portal baja, hubungan balok ke kolom didesain sebagai hubungan
kaku, sederhana, dan semi-rigid. Hubungan kaku untuk mempertahankan
sudut-sudut semula tidak berubah. Hubungan sederhana membiarkan ujung balok
berotasi secara bebas akibat beban aksial P. Sedangkan hubungan semi–rigid
memiliki daya pikul momen dengan kemampuan menengah diantara hubungan
sederhana dan hubungan kaku.
Analisa portal dengan sambungan semi-rigid menggunakan metode yang
sama dengan metode kaku penuh ataupun pin penuh. Analisa dapat dilakukan
dengan metode Slope-Deflection dan dengan metode kekakuan (Stiffness Method).
Yang membedakannya adalah faktor kekakuan yang menunjukkan tingkat
(derajat) kekakuan dari frame itu sendiri. Bila dimasukkan nilai koefisien dengan
nilai maksimum satu maka akan diperoleh seperti analisa dengan hubungan jepit
(full-rigid), untuk sambungan yang pin (sendi) akan memiliki nilai faktor
BAB III ANALISA
1.8. Umum
Batang tekan (compression member) adalah elemen struktur yang
mendukung gaya tekan aksial.
Batang-batang lurus yang panjang kekuatannya ditentukan faktor tekuk
elastis yang terjadi, sedangkan untuk kolom-kolom yang ukurannya sedang,
kekuatannya ditentukan oleh faktor tekuk elastis yang terjadi. Sebuah kolom yang
sempurna yaitu, bebas dari tegangan-tegangan sampingan, dibebani pada pusatnya
serta mempunyai bentuk yang lurus, akan mengalami perpendekan yang seragam
akibat terjadinya regangan tekan yang seragam pada penampangnya.
Jika gaya yang bekerja pada kolom ditambah besarnya secara
berangsur-angsur, maka akan mengakibatkan kolom mengalami lenturan lateral dan
kemudian mengalami keruntuhan akibat terjadinya lenturan tersebut. Namun, bila
pembebanan disusun sedemikian rupa sehingga perlawanan retasional ujung dapat
diabaikan ataupun pembebanannya dikenakan secara simetrik dari batang-batang
yang terangkai pada ujung kolom, dan lentur dapat diabaikan bila dibandingkan
dengan gaya tekan langsungnya, batang tersebut dapat secara aman didesain
sebagai kolom secara konsetrik.
Dari mekanika bahan dasar diketahui bahwa hanya kolom yang sangat
pendek saja yang dapat dibebani sampai ketegangan lelehnya, situasi yang umum,
yakni tekukan (buckling) atau lenturan tiba-tiba akibat ketidakstabilan, terjadi
1.9. Panjang Efektif
Sejauh ini pembahasan mengenai kekuatan kolom mengasumsikan sendi
dimana tidak ada kekurangan rotasional momen. Kekangan momen nol pada
ujung merupakan situasi paling lemah untuk batang tekan yang salah satu
ujungnya tidak dapat bergerak tranversal relative pada ujung yang lainnya. Untuk
kolom berujung sendi semacam ini, panjang ekivalen ujung sendi kL merupakan
panjang L sebenarnya, dengan demikian k = 1,0 seperti pada gambar 3.1. Panjang
L ekivalen berujung sendi disebut panjang efektif.
Untuk kebanyakan keadaan yang sesungguhnya, pengekangan momen
diujung selalu ada dan titik belok pada kurva bentuk tekuk terjadi di titik yang
bukan merupakan ujung batang. Jarak antara titik-titik belok, baik yang rill
maupun imajiner, adalah panjang efektif atau panjang ujung sendi ekivalen untuk
kolom.
Dalam banyak hal, derajat pengekangan momen yang ditimbulkan oleh
batang yang bertemu di suatu kolom, atau oleh fondasi dan tanah dibawahnya,
sulit ditentukan. Pengekangan ini sebenarnya bergantung pada interaksi semua
batang portal baja.
Penentuan derajat pengekangan ujung secara akurat memerlukan
pengertian tentang perbedaan antara portal tak bergoyang (braced frame) dan
portal bergoyang (unbraced frame).
Portal tak bergoyang (yang disokong) adalah portal yang kestabilan
lateralnya diberikan oleh penyambung yang memadai ke penopang diagonal, ke
dinding geser, ke struktur di dekatnya yang memiliki stabilitas lateral yang
dinding atau sitem penopang yang sejajar bidang portal. Misalnya pada portal tak
bergoyang, puncak kolom tidak mengalami pergerakan ke samping relatif
terhadap dasar kolom. Tekuk portal tak bergoyang akan menghasilkan bentuk
tekuk kolom yang paling sedikit memiliki satu titik belok di antara ujung-ujung
batang, seperti kasus (a), (b),dan (c) pada gambar 3.1. Pemakaian panjang yang
sesungguhnya L sebagai panjang efektif KL untuk kasus ini cukup beralasan dan
konservatif, karena faktor K untuk portal tak bergoyang yang sebenarnya selalu
lebih kecil dari 1,0 dan lebih besar dari 0,5.
Portal bergoyang (yang tidak disokong) adalah portal yang kestabilan
lateralnya bergantung pada kekakuan lentur balok dan kolom yang disambung
secara kaku. Tekuk portal bergoyang merupakan tekuk bergoyang di mana puncak
kolom bergerak ke samping ralatif terhadap dasar kolom. Kasus (d), (e), dan (f)
pada gambar 3.1 adalah kasus tekuk bergoyang. Portal bergoyang memerlukan
analisis penentuan faktor panjang efektif K yang selalu lebih besar dari 1,0.
Kecuali untuk keadaan jenis tiang bendera pada kasus (e), gambar 3.1.
Pendekatan rasional yang dapat diterima ialah memakai Nomogram
(alignment chart) untuk Faktor Tekuk Kolom yaitu seperti yang diperlihatkan
pada Gambar 3.2.
Untuk batang tekan pada rangka batang, pengekangan ujung mungkin ada
dan translasi titik kumpul dicegah sehingga harga K logisnya lebih kecil dari 1,0.
Pada pembebanan statis, tegangan pada semua batang akibat berbagai macam
pembebanan tetap sama porsinya. Jika semua batang di rencanakan berdasarkan
berat minimum, batang-batang akan mencapai kapasitas batas secara bersamaan
batang-batang yang bertemu di titik kumpul hilang atau minimal kurang berkurang
dengan banyak. Atas alasan ini disaranan, pemakaian K = 1,0 untuk batang pada
rangka batang yang direncanakan bagi pembebanan tetap.
Bentuk kolom yang tertekuk ditunjukkan oleh garis terputus
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Harga K teoritis 0,5 0,7 1,0 1,0 2,0 2,0
Harga perencanaan yang disarankan bila kondisi ideal hanya merupakan pendekatan
0,65 0,80 1,0 1,2 2,10 2,0
Tanda Kondisi ujung
Rotasi tak mungkin, Translasi tak mungkin
Rotasi bebas, Translasi tak mungkin
Rotasi tak mngkin, Translasi bebas
[image:59.595.113.511.222.558.2]Rotasi bebas, Translasi bebas
Gambar 3.1 Faktor Panjang Efektif Untuk Kolom Yang Dibebani Secara Terpusat Dengan Berbagai Kondisi Yang Ideal
Gambar 3.2 Nomogram Faktor Tekuk Kolom
1.10. Rumus Kolom Euler
Batang yang dibebani secara aksial (axially loaded members), yaitu
batang-batang yang merupakan elemen-elemen struktur yang memiliki sumbu
longitudinal lurus dan hanya memikul gaya aksial (tarik atau tekan). Hal ini
biasanya terdapat pada batang-batang diagonal dalam berbagai rangka (truss),
batang-batang penghubung dalam berbagai mesin, kabel-kabel dalam jembatan ,
kolom-kolom dalam bangunan dan lain-lain.
L
P
P
X Y
Persamaan umum rumus kolom Euler telah diturunkan dalam BAB II,
[image:61.595.130.480.158.294.2]yaitu persamaan (2.8) dan (2.10).
Gambar 3.3 Kondisi Perletakan Ujung Sendi-Sendi
Persamaan differensial kolom yang tertekuk diberikan oleh persamaan 2.8 yakni:
�����4�4 − �
�2�
��2 = 0 (3.1)
Dengan
�2 = �
�� (3.2)
Penyelesaian umum dari persamaan differensial diatas diberikan oleh persamaan
2.11 yakni:
Y = A sin kx + Bcos kx + Cx + D (3.2a)
Untuk struktur yang ditunjukkan diatas, pada kedua ujung batang
displacement searah sumbu-y dan momen lentur sama dengan nol. Maka
persamaan kondisi batas yang diberikan pada persamaan 3.1
� = � 2
�
��2 pada x = 0 dan x = L (3.3)
Turunan kedua dari persamaan 3.2a adalah:
� = � 2
�
Dengan memasukkan harga-harga kondisi batas kedalam persamaan ke
dalam p