Analysis of Unequal Income Distribution with Cobb-Douglas Production Function

ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN

FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

AYU LEMBAYUNG

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRAK

AYU LEMBAYUNG. Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Menggunakan Fungsi Produksi Cobb-Douglas. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI.

Dalam tulisan ini dipelajari model pertumbuhan ekonomi Moav (2002). Model Moav memperlihatkan adanya ketimpangan sosial antara masyarakat berpenghasilan rendah dengan masyarakat berpenghasilan tinggi. Ketimpangan sosial tersebut disebabkan oleh distribusi pendapatan yang tidak merata. Pada model Moav ini ada suatu daerah ambang, dimana daerah ambang menjadi tolak ukur untuk menentukan apakah suatu masyarakat masuk ke kelompok berpenghasilan rendah atau tinggi. Fungsi produksi yang digunakan pada tulisan ini adalah fungsi produksi Cobb-Douglas.

Dinamika model digambarkan dengan bantuan software Maple 13 dan Mathematica 7. Secara keseluruhan dari kasus yang diamati, masyarakat berpenghasilan tinggi mencapai kondisi stabil lebih dulu, disusul oleh daerah ambang, dan yang terakhir adalah masyarakat berpenghasilan rendah.

ABSTRACT

AYU LEMBAYUNG. Analysis of Unequal Income Distribution with Cobb-Douglas Production Function. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI.

This paper studies the economic growth model by Moav (2002). Moav model shows the existence of unequal income distribution between low-income with high-income community. That kind of unequal income distribution is caused by uneven distribution of income. On this Moav model, there is one area called the threshold. Threshold becomes a benchmark to determining whether a society is categorized into low- or high- income community. The production function used in this paper is the Cobb-Douglas function.

The dynamics of this model is described as difference equation of low-income, threshold, and high-income community. Simulation study on the model is carried out using Maple 13 and Mathematica 7.0 software. Overall, from the observed case, high-income community will reach a stable condition earlier, followed by the threshold, and then the low-income community.

Judul

: Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Fungsi Produksi

Cobb-Douglas

Nama : Ayu Lembayung

NRP

: G54070054

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS

Ir. Retno Budiarti, MS.

NIP. 19631228 198903 2 001

NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah Pemodelan Matematika dengan judul Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Fungsi Produksi Cobb-Douglas. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada :

1. Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S dan Ir. Ibu Retno Budiarti, M.S selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis; kepada Bapak Dr. Hadi Sumarno, M.S selaku penguji;

2. Ayahanda Muslim Narbuko dan Ibunda Diana Ilyas yang banyak memberi nasihat dan dukungan, perhatian serta do’a yang tak terkira, Kakakku Ratih Widdyastuti yang selalu memberi semangat belajar dan mengingatkan tiada henti, serta Reza Ikhsan atas segenap

perhatian dan semangat, kesabaran serta do’anya selama penyusunan skrispi;

3. Keluarga Besar Ilyas: Mamatin, Bu Ita, Om Andi, Bukde Rum, Bukde Lastri-Pakde Mukhlis, Bukde Eni-Pakde Uus, Bukde Wiwi-Pakde Iyan, Abang Kai, Mba Riri, Fadli,

Rani, A’Didit, Lala, A’ Teguh, Alan, Lintang, Akbar, Ajie, dan A’ Kiki atas dukungan, perhatian dan do’a yang tak terkira.

4. Keluarga besar dan staf Departemen MatematikaFMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Bu Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam penyusunan skripsi;

5. Teman-teman satu bimbingan: Mutia, Diana, dan Dika yang selalu saling mengingatkan dan membantu dalam penyusunan skripsi;

6. Teman-teman terbaikku di kampus: Sri, Mutia, Rahma, Della, Tyas, Fajar, Denda, Rofi, Pandi, Dian, dan Rizky yang selalu memberikan semangat dan bantuan serta mengingatkan penulis dalam penyusunan skripsi;

7. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 44: Mutia, Sri, Rahma, Tyas, Della, Fajar, Rofi, Denda, Dian, Pandi, Rizky, Ruhiyat, Wahyu, Iam, Lingga, Ima, Dora, Lugina, Yuyun, Nunuy, Ucu, Wenti, Ndep, Pepi, Ali, Aje, Deva, Eka, Titi, Lilis, Aqil, Ikhsan, Vianey, Yuli, Masayu, Diana, Yanti, Indin, Sari, Lukman, Olih, Cepi, Aswin, Imam, Ririh, Iresa, Anis, Tita, Arina, Tanti, Lili, Nurus, Nadiroh, Naim, Endro atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika;

8. Kakak-kakak mahasiswa angkatan 43: kak nia, kak wira, kak copi, kak arum, kak tami, kak apri, kak supri, kak slamet, kak diah dkk yang telah memberikan banyak informasi dan motivasinya;

9. Keluarga besar kosan Ginastri: Cefti, Novia, Rina dkk yang telah memberikan bantuan,

informasi, do’a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan skripsi;

10. Keluarga besar kosan Puri 9: Nuning, Riska, Susan, dan Ibu Yanti yang telah

memberikan bantuan, informasi, do’a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan

skripsi;

11. pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Agustus 2011

ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN

FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

AYU LEMBAYUNG

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Tangerang pada tanggal 21 April 1989 sebagai anak ke dua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Muslim Narbuko dan Diana Ilyas. Tahun 2001 penulis lulus dari SDN Pondok Pinang 10 Pagi Jakarta Selatan. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 48 Jakarta Selatan. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 32 Jakarta Selatan dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2008, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ………... ix

DAFTAR LAMPIRAN ………... ix

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ………. 1

1.2 Tujuan ...………. 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Istilah Ekonomi ………..………... 1

2.2 Sistem Persamaan Diferensial...……….... 3

III PEMBAHASAN 3.1 Model Produksi dan Harga ………...……… 4

3.2 Titik Tetap/Titik Equilibrium ……….………... 5

3.3 Model Individu ….……… 5

3.4 Pembentukkan Modal Manusia ……… 6

3.5 Dinamika Kondisi Mapan ……… 6

3.6 Optimasi dan Evolusi Pendapatan ……… 6

IV SIMULASI 4.1 Simulasi Distribusi Pendapatan ……… 8

4.2 Simulasi Pertumbuhan Modal per Kapita ……… 10

V KESIMPULAN ……… 10

DAFTAR PUSTAKA ……….. 11

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1. Kondisi Mapan Saat ……… 7

2. Kurva Total Kekayaan Masyarakat Berpenghasilan rendah ………. 9

3. Kurva Total Kekayaan Daerah Ambang ……...………... 9

4. Kurva Total Kekayaan Masyarakat Berpenghasilan Tinggi ………...………... 10

5. Kurva Kondisi Kesetimbangan Distribusi Pendapatan ………... 10

6. Kurva Pertumbuhan Modal per Kapita ..………...………. 10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1. Mendapatkan Persamaan ………... 15

2. Mendapatkan Persamaan ……….. 15

3. Menentukan Tingkat Pengembalian Modal dan Tingkat Upah……….. 16

4. Mendapatkan Persamaan Warisan ……….. 17

5. Mendapatkan Persamaan Total Kekayaan ……….. 17

6. Mendapatkan Persamaan ……… 18

7. Mendapatkan Persamaan ……… 18

8. Mendapatkan Persamaan ……… 19

9. Simulasi Gambar 2 dengan Menggunakan Software Maple 13………..……… 19

10. Simulasi Gambar 3 dengan Menggunakan Software Maple 13 ………….. 19

11. Simulasi Gambar 4 dengan Menggunakan Software Maple 13……….. 19

12. Simulasi Gambar 5 dengan Menggunakan Software Maple 13 ……….. 19

I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Pertumbuhan ekonomi adalah proses kenaikan output per kapita yang terus menerus dalam jangka panjang. Simon Kuznet mendefinisikan pertumbuhan ekonomi suatu negara sebagai kemampuan negara tersebut untuk menyediakan barang– barang ekonomi yang terus meningkat bagi penduduknya, pertumbuhan kemampuan ini berdasarkan pada kemajuan teknologi dan kelembagaan serta penyesuaian ideologi yang dibutuhkan.

Pertumbuhan ekonomi tersebut merupakan salah satu indikator keberhasilan pembangunan. Dengan demikian makin tinggi pertumbuhan ekonomi biasanya makin tinggi pula kesejahteraan masyarakat, meskipun terdapat indikator lain yaitu distribusi pendapatan.

Distribusi pendapatan yang tidak merata mengakibatkan adanya ketimpangan sosial. Ketimpangan sosial yang terjadi dalam pertumbuhan ekonomi ini di masyarakat dipengaruhi oleh sistem dinamika yang menghasilkan keseimbangan dari pendapatan masyarakat yang berpenghasilan rendah dengan masyarakat yang berpenghasilan tinggi.

Dalam kasus ketimpangan pendapatan pada pertumbuhan ekonomi ini, akan dikembangkan model perekonomian terbuka, di mana evaluasi pendapatan dalam setiap kelompok masyarakat diatur oleh sistem dinamik yang menghasilkan keseimbangan antara masyarakat

berpenghasilan tinggi dengan yang berpenghasilan rendah.

Distribusi pendapatan dan pembangunan ekonomi menunjukkan ketidaksempurnaan pasar modal. Hal ini menunjukkan bahwa ketimpangan pendapatan dalam pertumbuhan ekonomi mempengaruhi kinerja perekonomian dalam waktu jangka panjang.

Perekonomian setiap periode pasti berbeda dengan perekonomian pada periode sebelum atau sesudahnya. Oleh karena itu, ketimpangan sosial dalam pertumbuhan ekonomi ini, sedikit banyak dipengaruhi oleh model overlapping generation (OLG). Model ini merupakan model kunci secara makroekonomi modern yang mengaplikasikan siklus kehidupan manusia.

Oleh karena itu, karya ilmiah ini akan merumuskan model dinamika sistem ekonomi yang dalam pertumbuhannya masih mengalami ketimpangan antara masyarakat berpenghasilan rendah dengan masyarakat berpenghasilan tinggi.

1.2Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Menganalisis model pertumbuhan ekonomi yang menunjukkan adanya ketimpangan antara masyarakat berpenghasilan rendah dengan masyarakat berpenghasilan tinggi. 2. Melakukan simulasi terhadap model

2

II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan diuraikan beberapa

definisi dan penjelasan istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.

2.1 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi

Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya.

(Mankiw 2003)

Fungsi Produksi

Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, dengan menyatakan input capital dan menyatakan efisiensi modal manusia sedangkan tanda titik–titik pada fungsi produksi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi.

Fungsi produksi Cobb–Douglas

dimana dan kesemuanya merupakan konstanta positif. Jika , fungsi Cobb–Douglas memperlihatkan return to scale yang meningkat, jika , fungsi ini memperlihatkan return to scale yang menurun, jika , fungsi Cobb-Douglas memperlihatkan return to scale konstan.

(Nicholson 2002)

Return to Scale

Return to scale adalah keadaan ketika output meningkat sebagai respon adanya kenaikan yang proporsional dari seluruh input. Jika diketahui fungsi produksi

dan semua input dikalikan

dengan suatu bilangan positif , maka

Return to scale dapat diklasifikasikan menjadi:

1. Return to scale konstan, jika efek dalam output

2. Return to scale berkurang, jika efek dalam output

3. Return to scale meningkat, jika efek dalam output

(Nicholson 2002)

Faktor Produksi

Faktor produksi adalah variabel–variabel input yang digunakan dalam proses produksi untuk menghasilkan output.

(Mankiw 2003)

Produk Marjinal

Misalkan didefinisikan fungsi produksi

dengan menyatakan input

capital dan menyatakan efisiensi modal manusia. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input–input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut:

Produk marjinal per kapita

Produk marjinal modal manusia

(Nicholson 2002)

Tingkat Pengembalian

Tingkat di mana barang saat ini dapat ditransformasikan menjadi barang masa mendatang. Misalnya, tingkat pengembalian satu periode sebesar 10 persen menyiratkan bahwa melepaskan satu unit keluaran pada periode ini akan menghasilkan 1.10 unit keluaran dalam periode berikutnya.

3

Kondisi Mapan / Steady State

Ekonomi yang berada pada kondisi mapan adalah suatu keadaan dimana modal per kapita pada periode sekarang sama dengan modal per kapita pada periode sebelumnya.

(Zhang 2006)

Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas adalah fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut:

dengan adalah kegunaan/utilitas total,

dan merupakan banyaknya

produk yang dikonsumsi.

Fungsi utilitas Cobb-Douglass

dimana dan adalah konstanta positif.

(Nicholson 2002)

Teori Pertumbuhan Neoklasik

Teori pertumbuhan aliran neoklasik menjelaskan tentang penyebab terjadinya pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan ekonomi ini menekankan pada efisiensi tenaga kerja dan stok modal sebagai penyebab utama pertumbuhan ekonomi.

Fungsi produksinya dapat ditulis sebagai berikut:

dengan adalah output pada saat , adalah stok modal pada saat , adalah efisiensi tenaga kerja,pada saat dan adalah waktu.

(Mankiw 2003)

Bentuk spesifik dari hubungan teori pertumbuhan neoklasik dikenal sebagai fungsi produksi Cobb-Douglas yang menambahkan faktor perubahan teknologi sebagai penyebab pertumbuhan ekonomi.

Model Pertumbuhan Tanpa Perkembangan Teknologi

Dalam model ini, fungsi produksi secara umum ditulis sebagai berikut:

Nilai dan masing–masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan efisiensi modal manusia.

(Mankiw 2003)

Model Pertumbuhan Ekonomi dengan Perkembangan Teknologi

Dalam model ini, fungsi produksi secara umum ditulis sebagai berikut:

Nilai dan masing–masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan efisiensi modal manusia dan adalah perkembangan teknologi.

(Mankiw 2003)

Modal

Modal adalah segala barang-barang yang diciptakan manusia dengan tujuan untuk menghasilkan barang-barang lain atau jasa-jasa yang akan digunakan masyarakat.

(Sukirno 2004)

Upah

Upah adalah biaya penggunaan satu pekerja selama satuan waktu tertentu.

(Nicholson 2002)

Elastisitas

Elastisitas adalah ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan variabel lain.

(Nicholson 2002)

Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi adalah ukuran tingkat perubahan output akibat dari penggunaan input.

(Nicholson 2002)

2.2 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem Dinamik Waktu Diskret

Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem dinamik dengan waktu diskret dinyatakan sebagai berikut:

4

dengan merupakan fungsi dari .

(Tu 1994)

Titik Tetap / Titik Equilibrium

Diberikan sistem persamaan diferensial

Titik disebut titik tetap jika Titik tetap disebut juga titik krisis atau titik kesetimbangan.

(Kreyzig 1993)

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau ordo lebih tinggi dari fungsi sebarang atau peubah tak bebas terhadap peubah bebasnya. Suatu persamaan diferensial biasa orde satu dapat dinyatakan sebagai berikut

dengan merupakan peubah tak bebas ( dan peubah bebas.

(Farlow 1994)

Persamaan Beda

Konsep persamaan beda (difference equation) digunakan dalam analisis sistem dinamik dengan variabel diskret untuk menunjukkan dinamika/perubahan suatu variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi , nilai berubah jika nilai berubah dari integer yang satu ke integer berikutnya, misal dan seterusnya. Pola perubahan digambarkan dengan

istilah ‘beda’ (difference).

Misalkan menunjukkan besar perubahan pada dua periode berurutan, sehingga dapat ditulis

Dengan adalah nilai pada periode ke . Sedangkan menunjukkan nilai pada suatu periode setelah periode ke . Bentuk di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

Misalkan , maka kita dapat menyatakan dalam hingga .

Hal yang sama berlaku juga sebaliknya, dalam hal ini jika persamaan berbentuk

.

5

III PEMBAHASAN

Model ketimpangan sosial dalam

pertumbuhan ekonomi ini diusulkan oleh Moav pada tahun 2002. Model Moav ini digunakan untuk menunjukkan ketidaksetaraan antara penduduk berpenghasilan rendah dengan penduduk yang berpenghasilan tinggi dalam pertumbuhan ekonomi.

3.1 Model Produksi dan Harga

Model produksi dan harga dalam model Moav ini mempertimbangkan pemodelan overlapping generation (OLG). Dalam setiap periode perekonomian, pemodelan OLG ini menghasilkan produk atau komoditas yang bersifat homogen/tunggal yang dapat digunakan baik untuk konsumsi atau pun untuk investasi. Produksi yang terjadi dalam kurun jangka waktu tertentu menggunakan teknologi return to scale konstan.

Output yang dihasilkan pada waktu dengan menggunakan modal dan efisiensi modal manusia adalah

Investasi dalam modal fisik dan manusia dibuat satu periode di muka.

Fungsi produksi yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah fungsi produksi Cobb–Douglas, sehingga persamaan output tersebut menjadi

dimana investasi dalam modal fisik dan manusia dibuat satu periode sebelumnya, dengan asumsi bahwa tingkat pengembalian modal konstan, dinotasikan oleh . Modal yang terbatas akan menghasilkan pergerakan ekonomi internasional.

(bukti pada Lampiran 1).

Dari sifat–sifat fungsi produksi, diketahui bahwa upah per unit sumber daya manusia, , secara unik ditentukan mengingat tingkat pengembalian modal konstan dari waktu ke waktu, karena:

dimana , ,

, sehingga kita dapatkan

, dengan adalah suatu fungsi pertumbuhan ekonomi sebagai berikut:

Akibatnya adalah konstan.

3.2 Titik Tetap / Titik Equilibrium

Perilaku produsen memiliki fungsi neoklasik dengan

dengan adalah efisiensi modal manusia, adalah total output, dan adalah total modal. sedangkan adalah jumlah output per kapita, dan adalah modal per kapita. Perilaku optimal produsen diperoleh dari produk marjinal yang menentukan harga faktor–faktor produksi. Fungsi produk marjinal terhadap modal menentukan nilai tingkat suku bunga, sedangkan fungsi produk marjinal terhadap efisiensi modal manusia menentukan tingkat upah/gaji. Perilaku individu diperoleh dari fungsi warisan. Fungsi adalah kontinu, penambahan suatu kondisi tetap diperlukan pada pengembalian modal, yaitu:

(bukti pada Lampiran 2). (3.1)

6

Fungsi produksi yang digunakan adalah fungsi Cobb–Douglas dengan pengaruh teknologi sebagai berikut

Nilai dan masing–masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan efisiensi modal manusia, sedangkan adalah perkembangan teknologi. Kita tulis kondisi marjinal dalam intensitas modal

(bukti pada Lampiran 3).

3.3 Model Individu

Seperti pada OLG, pada model ini individu hidup juga dalam dua jangka waktu. Kekayaan awal individu merupakan kekayaan yang berasal dari orang tua mereka atau warisan.

Individu hidup dalam dua periode, memiliki orang tua dan juga anak. Hubungan antara orang tua dan anak tersebut menciptakan sebuah kelompok. Ketika individu berada pada periode kedua, orang tua individu tersebut berada pada periode pertama. Dengan kata lain, untuk individu pada periode , individu muda pada waktu dan tua pada waktu . Individu yang lahir pada waktu akan mengalokasikan pendapatannya untuk individu yang lahir pada waktu , jadi total pendapatan yang diterima oleh individu pada waktu yaitu , antara konsumsi rumah tangga individu pada waktu , , dan warisan atau harta keturunan, yang diterima individu pada waktu , . Sehingga batasan anggaran adalah

Setiap orang memaksimalkan utilitas waktu hidupnya, dengan bergantung pada pemakaian dalam dua periode kehidupan. Fungsi utilitas yang memaksimumkan untuk setiap waktu adalah fungsi utilitas yang diturunkan terhadap , dan turunannya adalah sama dengan 0,

. Utilitas waktu hidup mereka dinyatakan sebagai berikut

dengan dan . Fungsi utilitas ini dirancang untuk menghasilkan fungsi warisan. Warisan yang diberikan oleh individu yang lahir pada periode dinyatakan sebagai berikut

dengan

(bukti pada Lampiran 4).

3.4 Pembentukan Modal Sumber Daya Manusia

Pada periode pertama yaitu kehidupan individu diperiode , individu-individu mencurahkan seluruh waktu mereka untuk akuisisi modal manusia. Individu-individu tersebut juga mendapatkan satu unit efesiensi modal berupa keterampilan tenaga kerja dasar dari individu , yang diinvestasikan dalam pendidikan,

keterangan:

= Tingkat modal manusia dalam bentuk keahlian individu pada waktu .

Diasumsikan bahwa pengembalian modal marjinal individu, untuk , adalah lebih besar daripada pengembalian modal,

. Diasumsikan juga pengembalian

modal, , cukup rendah, yaitu , maka

.

3.5 Kondisi Mapan (Steady State) dalam Persamaan Beda Linear

Pada dasarnya, hubungan antara modal per kapita dalam waktu dua periode seperti ini akan cukup kompleks dengan persamaan beda yang non linear sehingga komponen di dalamnya juga non linear. Persamaan

adalah persamaan non linear. Akan

(3.3)

(3.4)

7

digambarkan nilai pada garis horizontal (sumbu ) dan nilai pada garis vertikal (sumbu ). Kemudian tarik garis , yang secara definisi mewakili titik–titik nilai yang konstan dari waktu ke waktu. Garis merupakan garis kepastian karena di sepanjang garis tersebut , modal per kapita tidak akan berubah sepanjang waktu. Dengan kata lain, perekonomian berada pada kondisi mapan. Modal per kapita adalah sebagai berikut:

Di luar nilai–nilai kondisi mapan, dapat menggunakan gambar yang sama untuk menjelaskan evolusi nilai dari waktu ke waktu. Gunakan garis untuk memproyeksikan nilai–nilai keesokan harinya terhadap nilai–nilai hari ini di sumbu

.

Pemetaan antara dan merupakan pemetaan turun sebelum atau daerah ambang dan pemetaan naik setelah atau daerah ambang. Kita amati keunikan yang memotong garis sehingga . Perpotongan dengan garis menunjukkan bahwa perekonomian berada pada kondisi mapan. Pada Gambar 1, dimulai dengan nilai yang berada di bawah daerah ambang, per total kekayaan menurun dari ke , sedangkan untuk nilai yang di atas daerah ambang, per total kekayaan meningkat dari ke .

3.6 Optimasi dan Evolusi Pendapatan Dari persamaan di atas, total kekayaan individu periode kedua dalam kehidupan

secara unik ditentukan atau

dipengaruhi oleh warisan periode kehidupan pertama yang didefinisikan sebagai berikut

Dari persamaan (3.4) dan (3.6), evolusi total kekayaan dari suatu kelompok secara unik ditentukan sebagai berikut:

Syarat-syarat:

 , jika



 , jika

(bukti pada Lampiran 5).

dengan diketahui. untuk semua . Pembatasan pada nilai parameter sangat diperlukan agar dapat menghasilkan pendekatan model pertumbuhan ekonomi Moav.

Agar persamaan beda ini berada dalam kondisi mapan maka .

Diasumsikan tingkat total kekayaan individu yang tidak menerima warisan, , lebih besar dari tingkat upah . Berdasarkan persamaan

Dari persamaan di atas, untuk menghasilkan suatu kondisi yang mapan maka

. Dapat disimpulkan bahwa individu yang berpenghasilan rendah terperangkap dalam

jerat kemiskinan, sehingga pendapatan yang diterima individu tersebut hanya diperoleh dari gaji saja, , karena

Gambar 1 Evolusi Pendapatan.

(3.6)

8

(bukti pada Lampiran 6).

Diasumsikan bahwa tingkat pengembalian modal manusia, , dan besarnya tingkat maksimum pendidikan, , adalah cukup besar, sehingga seorang individu yang menerima warisan akan memberikan warisan yang lebih besar pada keturunannya

Asumsi ini dinyatakan dengan

Asumsi ini menghasilkan berbagai kelompok berdasarkan tingkat total kekayaan. Individu pada periode dapat dikatakan memiliki total kekayaan tinggi jika total kekayaan individu tersebut lebih besar dari total kekayaan individu periode .

Dari persamaan (3.7) dan ingin menghasilkan kondisi mapan maka 1= = . Dapat dilihat bahwa ada total kekayaan yang berada di atas kisaran perangkap kemiskinan (pendapatan tinggi) yang ditentukan oleh

(3.9)

(bukti pada Lampiran 7).

Dalam dinamika ekonomi, terdapat ambang penghasilan, . Dari persamaan (3.7) dan ingin menghasilkan kondisi mapan maka . Persamaan ambang ditentukan oleh

(3.10)

(bukti pada Lampiran 8).

Dapat dilihat bahwa kelompok yang memiliki total kekayaan di bawah ambang

batas konvergen ke tingkat masyarakat berpenghasilan rendah, yang dicirikan oleh rendahnya modal manusia dan tidak adanya warisan dari generasi sebelumnya dan kelompok yang memiliki total kekayaan di atas ambang batas konvergen ke tingkat pendapatan berpenghasilan tinggi yang dicirikan oleh tingginya tingkat modal manusia dan besarnya warisan yang diterima dari generasi sebelumnya.

Oleh karena itu, terjadilah ketimpangan sosial dan dengan memberikan total kekayaan awal rata–rata di atas tingkat ambang , ketimpangan sosial akan mempengaruhi investasi pada modal manusia dan output dalam jangka panjang.

Jadi, sistem dinamika,

yang digambarkan dalam

persamaan

, menerangkan adanya tiga titik tetap, yaitu : titik tetap berpenghasilan tinggi, titik tetap berpenghasilan rendah, titik tetap ambang batas pendapatan. Kelompok dengan penghasilan awal di bawah ambang batas konvergen ke kondisi stabil total kekayaan rendah, kelompok dengan penghasilan awal di atas ambang batas konvergen ke kondisi stabil total kekayaan tinggi.

Untuk keturunan yang tidak mendapatkan warisan dari generasi sebelumnya, dan tidak adanya investasi pada modal manusia mencirikan adanya perangkap kemiskinan. Kecilnya kecenderungan untuk memberikan warisan untuk keturunan berikutnya adalah cukup rendah seperti pada produk dengan pengembalian modal manusia yang kecil, , adalah kurang dari satu, lalu perangkap perangkap kemiskinan akan tetap ada bersamaan dengan keseimbangan pendapatan yang tinggi.

V SIMULASI

4.1 Simulasi Distribusi Pendapatan pada

Saat Kondisi Mapan (Steady State) dalam Persamaan Beda Linear Persamaan beda linear dalam sebelumnya sudah dijelaskan pada persamaan (3.7), yang dapat ditulis sebagai berikut Syarat-syarat:

 , jika   , jika

Parameter-parameter yang digunakan untuk mensimulasikan model di atas adalah konstan sehingga konstan. Simulasi dari model tersebut merupakan simulasi total kekayaan masyarakat berpenghasilan rendah, daerah ambang, dan masyarakat berpenghasilan tinggi terhadap modal per kapita pada saat kondisi mapan. Oleh karena itu, untuk simulasi ini dibagi menjadi tiga kasus. Kasus 1 untuk total kekayaan masyarakat berpenghasilan rendah, Kasus 2 untuk total kekayaan daerah ambang, dan Kasus 3 untuk total kekayaan masyarakat berpenghasilan tinggi.

Kasus 1

Simulasi total kekayaan terhadap modal per kapita pada saat kondisi mapan untuk masyarakat berenghasilan rendah dengan model total kekayaan

simulasi menggunakan software Maple 12 (Program dapat dilihat pada Lampiran 10).

Gambar 2 Kurva total kekayaan terhadap modal per kapita pada saat kondisi mapan untuk masyarakat berpenghasilan rendah.

Pada Gambar 2, a adalah garis pemerataan dan b adalah kurva total kekayaan masyarakat berpenghasilan rendah. Pada gambar dilihat bahwa kurva total masyarakat berpenghasilan rendah sudah memotong garis pemerataan. Hal ini menunjukkan bahwa masyarakat berpenghasilan rendah sudah mencapai kondisi setimbang.

Kasus 2

Simulasi total kekayaan terhadap modal per kapita pada saat kondisi mapan untuk daerah ambang dengan model kekayaan

simulasi menggunakan software Maple 12 (Program dapat dilihat pada Lampiran 10).

10

Pada Gambar 3, a adalah garis pemerataan dan c adalah kurva total kekayaan untuk daerah ambang. Pada gambar dilihat bahwa kurva total daerah ambang sudah memotong garis pemerataan. Hal ini menunjukkan bahwa daerah ambang sudah mencapai kondisi setimbang.

Kasus 3

Simulasi total kekayaan terhadap modal per kapita pada saat kondisi mapan untuk masyarakat berpenghasilan tinggi dengan model total kekayaan

menggunakan software Maple 12 (Program dapat dilihat pada Lampiran 10)

Pada Gambar 4, a adalah garis pemerataan dan d adalah kurva total kekayaan untuk daerah ambang. Pada gambar dilihat bahwa kurva total masyarakat berpenghasilan tinggi sudah memotong garis pemerataan. Hal ini menunjukkan bahwa masyarakat berpenghasilan tinggi sudah mencapai kondisi setimbang.

Kasus-kasus yang telah disimulasikan, yaitu masyarakat berpenghasilan rendah, daerah ambang, dan masyarakat berpenghasilan tinggi menunjukkan kondisi yang telah setimbang, karena pada simulasi ini ketiga kasus mempunyai persamaan yang sudah dalam kondisi mapan.

[image:19.595.109.296.87.792.2]

Agar dapat terlihat dengan jelas perbandingan dari ketiga gambar tersebut, berikut adalah gambar yang dari ketiga kasus yang diplotkan dalam satu kurva

Gambar 5 Kurva kondisi kesetimbangan distribusi pendapatan pada saat kondisi mapan.

Dapat dilihat pada Gambar 5, masyarakat yang berpenghasilan tinggi mencapai kondisi mapan atau setimang lebih dahulu dibandingkan daerah ambang dan masyarakat berpenghasilan rendah. Dapat dilihat juga pada Gambar 5, masyarakat berpenghasilan tinggi mempunyai total kekayaan di atas daerah ambang dan masyarakat berpenghasilan rendah memiliki total kekayaan di bawah daerah ambang.

Simulasi yang akan dibahas adalah simulasi untuk pertumbuhan modal per kapita.

0 5 10 15 20

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 t k t

Gambar 4 Kurva total kekayaan terhadap modal per kapita pada saat kondisi mapan untuk masyarakat berpenghasilan tinggi.

[image:19.595.326.503.141.299.2]

4.2 Simulasi Pertumbuhan Modal per Kapita

Gambar 6 Pertumbuhan Modal per kapita

a

d

[image:19.595.346.510.553.691.2]

11

Gambar 6 menunjukkan bahwa pertumbuhan modal per kapita terhadap waktu mengalami peningkatan karena pemetaan yang dihasilkan merupakan pemetaan naik. Kenaikan modal per kapita tersebut akan membentuk kurva cekung atas pada yang menandakan bahwa

untuk jangka waktu tersebut peningkatan modal per kapita akan semakin drastis sedangkan pada kurva tersebut akan terus naik hanya saja kenaikannya tidak begitu drastis bahkan akan menjadi konstan pada waktu tertentu yang pada akhirnya perekonomian konvergen ke kondisi mapan.

V KESIMPULAN

Pada karya ilmiah ini diberikan sebuah

model pertumbuhan ekonomi yang diusulkan oleh Moav yang dipengaruhi oleh model Overlapping-Generation. Model OLG ini menjelaskan bahwa setiap orang hanya hidup dalam dua periode.

Total kekayaan pada kondisi mapan secara unik dilambangkan dengan untuk total kekayaan masyarakat yang berpenghasilan rendah, untuk daerah ambang, dan untuk total kekayaan masyarakat yang berpenghasilan tinggi. Total kekayaan yang berada di bawah daerah ambang, konvergen ke masyarakat berpenghasilan rendah, sedangkan yang berada di atas daerah ambang, konvergen ke masyarakat berpenghasilan tinggi.

Masyarakat yang mempunyai pendapatan rendah mencapai suatu kondisi mapan atau kondisi kesetimbangan lebih lama dibandingkan daerah ambang. Masyarakat yang berpenghasilan tinggi mencapai suatu kondisi kesetimbangan lebih dulu dibandingkan daerah ambang. Masyarakat berpenghasilan tinggi mempunyai total kekayaan di atas daerah ambang, sedangkan masyarakat berpenghasilan rendah memiliki total kekayaan di bawah daerah ambang.

DAFTAR PUSTAKA

Chiang CA and Wainwright K. 2005.

Fundamental Methods of Mathematical Economics. Edisi Ke-4. Mc Graw-Hill Companies inc, New York.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. Mc Graw-Hill, New York.

Kreyzig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Terjemahan Bambang Sumantri. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Edisi Kelima. I Nurmawan, Penerjemah: CW Kristiaji, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics Edition.

Moav O. 2002. Income Distribution and Macroeconomics: The Persistence of Inequality in a Convex Framework. Economics Letters. Vol 75:187-182.

Nicholson. 2002. Teori Mikroekonomi. Binurpa Aksara, Jakarta.

Sukirno S. 2004. Makroekonomi Teori Pengantar. PT Raja Grafindo Persada, Jakarta.

Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Springer-Verlag, Berlin.

15

Lampiran 1. Mencari Persamaan R

Lampiran 2. Mencari Persamaan

Fungsi produk marjinal diperoleh dari keuntungan optimal:

Misal keuntungan =

Diasumsikan bahwa depresiasi terhadap modal tidak ada

Keuntungan adalah nilai penerimaan total perusahaan dikurangi biaya total yang dikeluarkan

perusahaan, maka

penerimaan total dikurangi biaya produksi

dengan jumlah output yang dihasilkan, unit, dan harga tiap unit yaitu suatu satuan harga, . Terdapat upah terhadap efisiensi tenaga kerja, dan pengaruh tingkat suku bunga/imbal hasil, . Sehingga,

Sehingga,

Keuntungan akan maksimum jika

sehingga

Pada saat Break Even Point (BEP) yaitu titik dimana jumlah biaya sama dengan pendapatan maka

16

, substitusikan suku bunga / imbal hasil maka

Lampiran 3. Menentukan Tingkat Pengembalian Modal dan Tingkat Upah Fungsi Produksi Cobb – Douglas

, dimana .

Tingkat Produksi Marjinal terhadap modal:

Tingkat Produksi Marjinal terhadap Efisiensi modal Manusia

Sehingga tingkat suku bunga riil dan tingkat depresiasi yaitu:

17

Lampiran 4. Mencari Persamaan Warisan

untuk memaksimumkan fungsi utilitas maka

Lampiran 5. Mencari Persamaan Total Kekayaan

Diketahui bahwa persamaan keahlian sumber daya manusia yang dipengaruhi oleh keahlian adalah

sebagai berikut:

dan dengan asumsi

18

Diketahui pula persamaan pendapatan individu pada periode kedua secara unik dipengaruhi oleh warisan periode pertama, yaitu:

Dari persamaan-persamaan diatas, dapat ditentukan solusi unik untuk total kekayaan yang diterima.

Substitusi ke persamaan diatas. Sehingga didapat

Lampiran 6. Mencari Solusi Unik untuk Masyarakat Berpenghasilan di Bawah Ambang Batas

Jadi,

Lampiran 7. Mencari Solusi Unik untuk Masyarakat Berpenghasilan di Atas Ambang Batas

Jadi,

19

Lampiran 8. Mencari Solusi Unik untuk Ambang Batas

Jadi,

Lampiran 9. Bukti dengan Perhitungan Manual Diketahui:

Dengan menggunakan parameter parameter berikut:

konstan sehingga konstan.

Lampiran 10. Simulasi Total Kekayaan Terhadap Modal per Kapita untuk Masyarakat Berpenghasilan Rendah, Daerah Ambang, dan Masyarakat Berpnghasilan Tinggi dengan Menggunakan Software Maple 12

Karena k(t+1)=k(t)=k

didefinisikan:

฀

I(t+1)=w=αAk^ =y(k)

฀

I(t+1)=(( θ

-

1)/( w

-1))w=u(k)

฀

I(t+1)=(w( e+1)

-

R( θ+e))/1

-

R=z(k)

22

Lampiran 11. Simulasi untuk Menampilkan Pertumbuhan Modal per Kapita dengan menggunakan software Mathematica 7

RecurrenceTable[{k[t+1](((0.5*3*k[t]^-0.5)/(0.5*3))^-1/0.5),k[0]0.5},k,{t,1,20}];

ListPlot[%,PlotRangeAll,FrameTrue,FrameLabel{t,k (t)}]

0 5 10 15 20

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

t

k