JIWA BRINGIN JIWA SEJAHTERA)
NOVALIA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Dengan ini saya menyatakaan bahwa tesis Pendugaan Sebaran Lama Perawatan Nasabah Asuransi (Studi Kasus Asuransi Kesehatan P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera) adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Januari 2011
Novalia
Customer (Case Study : Health Insurance P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa
Sejahtera). Under Direction of I MADE SUMERTAJAYA and ANIK
DJURAIDAH.
Health insurance is an insurance product that guarantees health care costs for customers. One of the products is designed specifically for elderly (over 55 years). The elderly often get health problems, because of them often reduce human organs function. This will affect to the increasing claims of customers. Knowledge about the distribution of claims is very important for insurance companies. Kind of claims in this research is length of treatment. Furthermore to study the behavior of the claims may also be used as a model to predict the cost of insurance in the following years. The main purpose of this research is to estimate the costumers claims distribution of P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera, as an insurance company that held a special health insurance elderly. Another purpose is to analyze the relationship between groups of the elderly disease with the distribution length treatment of healthy insurance. The data used in the research is length treatment data which collected from 2002 until April 2010 by P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera. The length treatment was estimated by discrete, continuous and mixture distribution. The methods that used for test goodness of fit distributions such as quantile-quantile plot, Cramer-van Mises, and chi-square test. The result showed that the fit costumers claims distribution with 8 groups is mixture lognormal distribution.
Keywords : Health insurance, Length of treatment, Chi-square, Quantile-quantile
NOVALIA. Pendugaan Sebaran Lama Perawatan Nasabah Asuransi Kesehatan (Studi Kasus: Asuransi Kesehatan P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera). Dibimbing oleh I MADE SUMERTAJAYA dan ANIK DJURAIDAH.
Pertumbuhan klaim yang lebih besar dari kenaikan premi akan berpengaruh terhadap laba yang diperoleh perusahaan asuransi. Perusahaan asuransi harus memperhitungkan resiko individual atau kelompok yang dialihkan padanya dengan menetapkan nilai premi berdasarkan perhitungan yang matang. Pengetahuan tentang sebaran dari klaim adalah suatu hal yang sangat penting dalam asuransi. Selain dapat digunakan untuk mempelajari perilaku dari klaim, dapat juga digunakan sebagai model dalam meramalkan biaya asuransi untuk tahun-tahun berikutnya. Tujuan dari penelitian ini adalah menduga sebaran lama perawatan nasabah dan mengkaji hubungan antara kelompok penyakit lansia dengan sebaran lama perawatan nasabah asuransi kesehatan khusus lansia P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data klaim nasabah asuransi kesehatan khusus lansia yang dikumpulkan dari tahun 2002 sampai dengan bulan april 2010. Jenis klaim asuransi ini berupa lama perawatan, jumlah nasabahnya 1585 orang dengan 2807 klaim dan lama perawatan sebanyak 16416 hari.
Sebaran lama perawatan diduga mengikuti sebaran diskret dan sebaran kontinu. Untuk sebaran diskret, lama perawatan diduga menyebar
binomial-negatif, zero-truncated Poisson dan Poisson Lindley. Metode yang digunakan
untuk menguji kesesuaian data dengan sebaran diskret yaitu metode histogram dan uji khi-kuadrat. Berdasarkan histogram lama perawatan yang dihampiri kurva sebaran Poisson dan sebaran zero-truncated Poisson dapat disimpulkan, data lama perawatan tidak mengikuti ketiga sebaran diskret tersebut. Hal serupa juga terjadi pada uji khi-kuadrat, nilai khi-kuadrat hitung keduanya jauh lebih besar dari nilai
khi-kuadrat tabel artinya data tidak menyebar binomial-negatif, zero-truncated
Poisson dan Poisson Lindley.
Sebaran lama perawatan diduga mengikuti sebaran kontinu, yaitu sebaran eksponensial, sebaran gamma, dan sebaran lognormal. Metode yang digunakan dalam menduga sebaran kontinu ada dua, yaitu metode grafik (histogram dan plot kuantil-kuantil) dan uji kesesuaian sebaran kontinu (Cramer-von Mises, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling dan uji khi-kuadrat). Hasil dari uji Cramer-von Mises, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling dan uji khi-kuadrat data lama perawatan tidak mengikuti sebaran kontinu manapun. Oleh karena itu perlu dilakukan analisis lainnya seperti melihat hal-hal yang dapat mempengaruhi lamanya perawatan. Dari data yang ada, hal yang berpeluang besar mempengaruhi lamanya perawatan adalah kelompok penyakit lansia. Setelah
dilakukan uji Kruskal-Wallis diperoleh kesimpulan bahwa kelompok –kelompok
penyakit lansia mempengaruhi lama perawatan.
terdapat pada sebaran lognormal, artinya seluruh kelompok penyakit memiliki kecendrungan menyebar lognormal. Hasil dari pendugaan sebaran dengan plot kuantil-kuantil dan histogram, beberapa kelompok penyakit sesuai dengan sebaran eksponensial, gamma dan lognormal.
Oleh karena itu sebaran lama perawatan per kelompok penyakit akan diduga dengan sebaran campuran gamma dan sebaran campuran lognormal. Sebaran yang sesuai dengan lama perawatan 8 kelompok adalah sebaran campuran lognormal dengan penduga parameter (0.05, 0.24, 0.25, 0.09, 0.09, 0.05, 0.07, 0.16), (6.42, 8.52, 5.91, 7.96, 9.55, 9.40, 9.55, 4.46) dan (7.20, 9.56, 6.63, 8.93, 10.71, 10.55, 10.71, 5.00).
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar bagi IPB
JIWA BRINGIN JIWA SEJAHTERA)
NOVALIA
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Nama : Novalia
NIM : G151080171
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si Dr. Ir. Anik Djuraidah, M.S
Ketua Anggota
Diketahui ,
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana
Statistika
Dr. Ir. Erfiani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S
dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul karya ilmiah
ini adalah “ Pendugaan Sebaran Lama Perawatan Nasabah Asuransi Kesehatan
(Studi Kasus: Asuransi Kesehatan P.T. Asuransi Jiwa Bringinjiwa Sejahtera)”.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si selaku pembimbing I dan Ibu Dr. Ir. Anik Djuraidah, M.S. selaku pembimbing II, terima kasih atas bimbingan, saran dan waktunya. Disamping itu penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Anang Kurnia,S.Si,M.Si selaku penguji luar komisi pada ujian tesis dan seluruh staf Program Studi Statistika.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Ibu, Bapak, kakak,
adik-adik, dan seluruh keluarga terima kasih atas do’a, dukungan dan kasih sayangnya. Terima kasih kepada teman-teman Statistika dan Statistika Terapan angkatan 2008 atas bantuan dan kebersamaannya.
Penulis menyadari segala keterbatasan yang dimiliki sehingga tesis ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu diharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan karya ilmiah penulis selanjutnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2011
1982 sebagai anak kedua dari lima bersaudara, anak dari pasangan Bapak Haspani Amin, S.H. dan Ibu Yulia.
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ... xv
PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1
Tujuan ... 2
TINJAUAN PUSTAKA Asuransi ... 3
Kelompok Penyakit Lansia di Indonesia ... 3
Sebaran Peluang Diskret ... 4
Sebaran Kontinu ... 6
Sebaran Campuran ... 8
Uji Khi-kuadrat ... 8
Plot Kuantil-kuantil ... 9
Uji Kruskal Wallis ... 10
Metode Pendugaan Parameter Sebaran Campuran ... 11
METODOLOGI PENELITIAN Data ... 13
Metode Analisis Data ... 13
HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Lama Perawatan ... 17
Deskripsi Lama Perawatan per Kelompok Penyakit ... 19
Pendugaan Sebaran Lama Perawatan dengan Sebaran Diskret ... 21
Pendugaan Sebaran Lama Perawatan dengan Sebaran Kontinu ... 31
Perbandingan Kesesuaian Sebaran ... 46
Pendugaan Sebaran Lama Perawatan dengan Sebaran Campuran ... 51
Penerapan Sebaran Lama Perawatan ... 53
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan... 55
Saran ... 55
DAFTAR PUSTAKA ... 57
Halaman
1 Absis dan ordinat plot kuantil-kuantil sebarang kontinu ... 10
2 Total klaim berdasarkan jenis kelamin ... 17
3 Deskripsi lama perawatan ... 18
4 Deskripsi lama perawatan per kelompok penyakit ... 19
5 Uji Kruskal-Wallis untuk mengetahui pengaruh kelompok penyakit .... 21
6 Penduga parameter dan khi-kuadrat sebaran binomial-negatif ... 23
7 Penduga parameter dan khi-kuadrat sebaran zero-truncated Poisson .... 27
8 Penduga parameter dan khi-kuadrat sebaran Poisson Lindley ... 30
9 Penduga parameter sebaran Eksponensial ... 32
10 Nilai-p dan statistik uji sebaran eksponensial ... 32
11 Penduga parameter sebaran Eksponensial untuk lama perawatan masing- masing kelompok penyakit ... 32
12 Nilai-p dan statistik uji kesesuaian sebaran eksponensial untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit ... 36
13 Penduga parameter sebaran gamma... 37
14 Nilai-p dan statistik uji sebaran gamma ... 37
15 Penduga parameter sebaran gamma untuk lama perawatan masing- masing kelompok penyakit ... 38
16 Nilai-p dan statistik uji kesesuaian sebaran gamma untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit ... 41
17 Penduga parameter sebaran lognormal ... 42
18 Nilai-p dan statistik uji sebaran lognormal ... 42
19 Penduga parameter sebaran lognormal untuk lama perawatan masing- masing kelompok penyakit ... 43
20 Nilai-p dan statistik uji kesesuaian sebaran gamma untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit ... 46
21 Nilai khi-kuadrat sebaran diskret ... 47
22 Nilai uji kesesuaian sebaran kontinu ... 47
masing kelompok penyakit ... 50
26 Penduga parameter sebaran campuran gamma dengan 8 kelompok ... 51
27 Penduga parameter sebaran campuran lognormal dengan 8 kelompok ... 52
28 Nilai uji kesesuaian sebaran campuran ... 53
29 Perkiraan premi dasar per bulan untuk asuransi kesehatan khusus lansia 54
Halaman
1 Histogram klaim tahun 2002 s.d. April 2010 ... 17
2 Histogram data lama perawatan ... 18
3 Histogram lama perawatan per kelompok penyakit ... 20
4 Histogram data yang dihampiri sebaran binomial-negatif ... 22
5 Kurva binomial-negatif menghampiri histogram per kelompok ... 24
6 Histogram data yang dihampiri sebaran zero-truncated Poisson ... 25
7 Kurva zero-truncated Poisson menghampiri histogram per kelompok . 27 8 Histogram data yang dihampiri sebaran Poisson Lindley ... 28
9 Kurva Poisson Lindley menghampiri histogram per kelompok ... 30
10 Plot kuantil-kuantil dan histogram lama perawatan yang dihampiri sebaran eksponensial ... 31
11 Plot kuantil-kuantil sebaran eksponensial untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit ... 33
12 Histogram lama perawatan masing-masing kelompok penyakit yang dihampiri sebaran eksponensial ... 34
13 Plot kuantil-kuantil dan histogram lama perawatan yang dihampiri sebaran gamma ... 37
14 Plot kuantil-kuantil sebaran gamma untuk lama perawatan masing masing kelompok penyakit ... 39
15 Histogram lama perawatan masing-masing kelompok penyakit yang dihampiri sebaran gamma ... 40
16 Plot kuantil-kuantil dan histogram lama perawatan yang dihampiri sebaran lognormal ... 42
17 Plot kuantil-kuantil sebaran lognormal untuk lama perawatan masing masing kelompok penyakit ... 44
Halaman
1 Sintax SAS untuk pendugaan parameter zero-truncated Poisson ... 59
2 Sintax Mathlab pendugaan parameter sebaran binomial-negatif ... 60
3 Sintax Mathlab pendugaan parameter sebaran Poisson Lindley ... 61
4 Sintax SAS untuk uji kesesuaian sebaran kontinu ... 62
5 Sintax R untuk uji kesesuaian sebaran lognormal campuran ... 63
Asuransi merupakan produk jasa keuangan yang berkembang di Indonesia seiring dengan tumbuhnya perekonomian nasional. Hal ini menyebabkan
persaingan antar perusahaan asuransi semakin kuat. Perusahaan asuransi secara
terus menerus selalu mengembangkan produknya guna memenuhi kebutuhan
masyarakat.
Salah satu produk asuransi yang baru adalah asuransi kesehatan khusus lanjut
usia (lansia). Asuransi kesehatan adalah produk asuransi yang secara khusus
menjamin biaya kesehatan atau perawatan para anggota asuransi tersebut jika
mereka jatuh sakit. Lansia yaitu kelompok penduduk yang berusia lebih dari 55
tahun. Para lansia sering mengalami gangguan kesehatan, karena pada usia ini
manusia mengalami kemunduran fungsi organ. Hal ini akan berdampak pada
peningkatan klaim yang diajukan nasabah.
Data Biro Perasuransian Badan Pengawas Pasar Modal dan Lembaga
Keuangan (Bapepam-LK) menunjukkan klaim industri asuransi nasional pada
tahun 2009 mencapai Rp 54.39 triliun atau naik sebesar 30.84% dibandingkan
tahun 2008. Asuransi kerugian mencatat pertumbuhan klaim pada tahun 2009
mencapai Rp 10.04 triliun atau naik sebesar 36% dibandingkan tahun 2008.
Kepala Biro Perasuransian Bapepam-LK Isa Rachmatawata mengatakan bahwa
pertumbuhan klaim menguat seiring dengan peningkatan jumlah premi pada tahun
2008. Pertumbuhan klaim yang lebih besar dari kenaikan premi akan berpengaruh
terhadap laba yang diperoleh perusahaan asuransi.
Bila suatu ketika besar modal dan total penerimaan premi lebih kecil dari
klaim yang harus dibayarkan, maka perusahaan asuransi akan mengalami
kerugian. Oleh karena itu, perusahaan asuransi harus memperhitungkan resiko
individual atau kelompok yang dialihkan padanya dengan menetapkan nilai premi
berdasarkan perhitungan yang matang. Perusahaan asuransi menggunakan ilmu
aktuaria untuk menghitung resiko yang mereka perkirakan. Ilmu aktuaria
menggunakan matematika, terutama statistika dan probabilitas, yang dapat
digunakan untuk memperkirakan klaim di kemudian hari dengan ketepatan yang
Pengetahuan tentang sebaran dari klaim adalah suatu hal yang sangat penting
dalam asuransi. Selain dapat digunakan untuk mempelajari perilaku dari klaim,
dapat juga digunakan sebagai model dalam meramalkan biaya asuransi untuk
tahun-tahun berikutnya (Andriani 2004). Menurut Grandell dalam Himawan
(2008) sebaran Poisson secara luas digunakan dalam masalah asuransi terutama
untuk model klaim asuransi.
Klaim asuransi yang dapat diajukan oleh nasabah asuransi kesehatan ada dua
jenis, yaitu rawat jalan (out-patient treatment) dan rawat inap (out-patient
treatment). Pada klaim asuransi rawat inap besarnya biaya yang ditanggung
perusahaan asuransi tidak hanya tergantung pada banyaknya klaim namun sangat
tergantung dengan seberapa lama nasabah asuransi tersebut dirawat di
rumah sakit.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menduga sebaran lama perawatan nasabah asuransi kesehatan khusus lansia
P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera.
2. Mengkaji hubungan antara kelompok penyakit lansia dengan lama perawatan
nasabah asuransi kesehatan khusus lansia P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa
TINJAUAN PUSTAKA
AsuransiAsuransi berasal dari kata assurance atau insurance, yang berarti jaminan atau
pertanggungan. Asuransi dalam Undang-Undang No.2 Th 1992 tentang usaha
perasuransian adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, dengan mana pihak
penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima premi
asuransi, untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian,
kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab
hukum pihak ke tiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari
suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang
didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan.
Beberapa istilah dalam asuransi yaitu:
1. Premi adalah sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh tertanggung guna
mendapatkan perlindungan atas obyek yang dipertanggungkan.
2. Polis adalah dokumen tertulis yang berisi persetujuan antara perusahaan
asuransi dan pemilik polis (tertanggung).
3. Klaim adalah hak tertanggung meminta jaminan/perlindungan kepada pihak
penanggung.
4. Tertanggung adalah seseorang atau badan hukum yang memiliki atau
berkepentingan atas harta benda yang diasuransikan.
5. Penanggung adalah pihak yang menerima premi asuransi dari tertanggung
dan menanggung resiko atas kerugian/musibah yang menimpa harta benda
yang diasuransikan.
Kelompok Penyakit Lanjut Usia (Lansia) di Indonesia
Survei Kesehatan Rumah Tangga (SKRT) tahun 1995 menyimpulkan bahwa berbagai penyakit degeneratif seperti diabetes melitus, hipertensi, gangguan
refraksi, ketulian, osteoarthritis banyak ditemukan pada lansia. Penyakit-penyakit
sistem sirkulasi darah, sistem pernafasan dan tuberkulosis paru merupakan
penyebab kematian paling tinggi pada kelompok umur tua. Menurut Aprilianti
(2009), penyakit lansia di Indonesia dapat dikelompokkan menjadi 8 kelompok
1. Penyakit persendian dan tulang
2. Penyakit kardiovaskuler
3. Penyakit pencernaan
4. Penyakit urogenital
5. Penyakit metabolik
6. Penyakit pernafasan
7. Penyakit keganasan
8. Penyakit lain-lain.
Sebaran Peluang Diskret
Jika gugus semua nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan gugus
terhitung , maka X disebut dengan peubah acak diskret. Sebaran
peluang diskret atau biasa disebut dengan fungsi massa peluang adalah fungsi
f(x) = P (X=x) untuk x = yang mengalokasikan peluang untuk setiap
kemungkinan nilai x .
a. Sebaran Bernoulli
Sebaran Bernoulli adalah sebaran peluang diskret yang ditemukan oleh ilmuan
Swiss yang bernama Jacob Bernoulli. Sebuah percobaan dikatakan mengikuti
sebaran Bernoulli, jika percobaan tersebut mengikuti sifat-sifat sebagai berikut:
1. Percobaannya terdiri atas dua kejadian, yaitu kejadian yang diperhatikan
(sering disebut kejadian berhasil) dan kejadian yang tidak diperhatikan (sering
disebut kejadian gagal).
2. Percobaan hanya dilakukan sekali saja.
Peubah acak X dikatakan menyebar Bernoulli, jika dan hanya jika fungsi massa
peluangnya berbentuk
Nilai harapan dari sebaran Bernoulli adalah E(X) = p dan ragamnya adalah
var(X)= p (1-p) (Herrhyanto & Gantini 2009).
b. Sebaran binomial
Bila percobaan terdiri dari n kejadian yang saling bebas, yang masing-masing
berpeluang p untuk berhasil dan 1 – p untuk gagal. Jika X menyatakan berapa
acak binom dengan parameter (n,p). Peubah acak Bernoulli adalah peubah acak
binom dengan parameter (1,p). Peubah acak X dikatakan menyebar binomial, jika
dan hanya jika fungsi massa peluangnya berbentuk
P(X=x) =
Nilai harapan dari sebaran binomial adalah E(X) = np dan ragamnya adalah
var(X)= np (1-p) (Nugroho 2008).
c. Sebaran Poisson
Sebaran Poisson diperkenalkan pada tahun 1837 oleh S.D. Poisson. Sebaran
Poisson diperoleh dari sebaran binomial, apabila dalam sebaran binomial berlaku
syarat-syarat sebagai berikut:
1. Banyaknya pengulangan percobaan sangat besar ( n )
2. Peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan mendekati nol (p
3. Perkalian n.p = , sehingga p = (Herrhyanto & Gantini 2009).
Peubah acak X dikatakan menyebar Poisson, jika dan hanya jika fungsi massa
peluangnya berbentuk:
P(X=x) =
Nilai harapan dari sebaran Poisson adalah E(X) = dan ragamnya adalah
var(X)= . Baik nilai harapan maupun ragam keduanya sama dengan , sehingga
ragamnya selalu tergantung pada nilai harapan (nilai tengah). Salah satu ciri dari
pola sebaran Poisson adalah miring ke kanan atau memiliki ekor yang memanjang
ke arah nilai yang besar, dengan bertambah nilai akan terlihat semakin simetris
(Aunuddin 2005).
d. Sebaran zero-truncated Poisson
Sebaran zero-truncated Poisson adalah salah satu bentuk modifikasi dari
sebaran Poisson. Pada sebaran ini diasumsikan tidak mungkin ada pengamatan
yang bernilai nol. Fungsi massa peluang dari sebaran zero-truncated Poisson
yaitu:
Nilai harapan dan ragam sebaran zero-truncated Poisson adalah
E( dan (1- , (Moye 1991).
e. Sebaran binomial negatif (
Sebaran gamma memiliki fungsi kepekatan peluang
g( dengan α,β > 0. Jika sebaran
Poisson( dimana merupakan nilai dari peubah acak yang menyebar gamma,
maka dihasilkan sebaran Poisson campuran dengan fungsi massa peluang
bersyarat:
(Karlis 2005).
f. Sebaran Poisson-Lindley (p)
Sebaran Lindley memiliki fungsi kepekatan peluang
g( dengan . Jika sebaran Poisson( dimana
merupakan nilai dari peubah acak yang menyebar Lindley maka dihasilkan
sebaran Poisson campuran dengan fungsi kepekatan peluang bersyarat:
=
(Karlis 2005).
Sebaran Kontinu
Peubah acak kontinu adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh S yang terdiri dari suatu selang (interval) atau gabungan dari beberapa selang. Sebaran
peluang kontinu atau biasa disebut dengan fungsi kepekatan peluang dari peubah
acak kontinu X adalah F(x) untuk yang bersifat
F(x) = F(X=x) = dt, untuk
a. Sebaran eksponensial
Sebaran eksponensial diperoleh dari sebaran gamma dengan dan
β = Suatu peubah acak kontinu X memiliki sebaran eksponensial dengan
p(x) = P(X=x) =
Nilai harapan dari sebaran eksponensial adalah E(X) = dan ragamnya adalah
var(X) = (Herrhyanto & Gantini 2009).
b. Sebaran gamma
Peubah acak X dikatakan menyebar gamma, jika dan hanya jika fungsi
memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:
f(x) =
Nilai harapan dari sebaran gamma adalah E(X) = αβ dan ragamnya adalah
var(X)= α (Herrhyanto & Gantini 2009).
c. Sebaran lognormal
Peubah acak X dikatakan menyebar lognormal jika ln (X) menyebar normal.
Fungsi massa peluang sebaran lognormal sebagai berikut:
f(x) =
Nilai harapan dari sebaran lognormal adalah E(X) = exp[ ] dan
ragamnyanya adalah var(X) =
(Krishnamoorthy 2006).
d. Sebaran normal
Pada tahun 1733 Abraham de Moivre mempublikasikan sebaran normal
sebagai pendekatan dari peubah acak binomial. Sebaran normal adalah sebaran
yang paling penting dalam teori peluang dan statistika. Suatu peubah acak X
dikatakan mengikuti sebaran normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku
jika memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
f(x) = , ,
Nilai harapan dari sebaran normal adalah E(X) = µ dan ragamnya adalah
var(X)= . Jika sebuah peubah acak Y adalah jumlah dari n peubah acak yang
bebas yang memenuhi pada kondisi-kondisi umum tertentu, maka untuk n yang
Sebaran Campuran
Sebaran campuran adalah campuran dari beberapa sebaran statistik, dimana contoh berasal dari populasi yang tidak sama (populasi campuran). Misalkan X
adalah peubah acak yang berasal dari ruang contoh Sdan fungsi massa peluang
atau fungsi kepekatan peluangnya adalah sebagai berikut
g(x) = (x ),
dimana 0 i = 1, . . . ,k;
dengan
g(.) adalah fungsi massa atau kepekatan peluang campuran
adalah proporsi subpopulasi ke-i
adalah fungsi massa atau kepekatan peluang subpopulasi
Fungsi massa atau kepekatan peluang subpopulasi tidak harus memiliki
parameter dan sebaran yang sama, namun dalam penelitian ini fungsi massa atau
kepekatan peluang subpopulasi memiliki sebaran yang sama dengan penduga
parameter yang berbeda sehingga fungsi massa atau kepekatan peluang campuran
terbatas menjadi sebagai berikut
g(x| (x ),
dimana = , (Du 2002).
Sebaran campuran dapat digunakan dalam keadaan yang berbeda yaitu:
1. Pada populasi yang diketahui terdapat struktur campuran
2. Pada populasi yang belum diketahui struktur campurannya.
Pada keadaan pertama, struktur campuran diketahui sehingga tujuannya adalah
menduga sebaran masing-masing subpopulasi dan proporsinya. Pada keadaan
kedua, tujuannya adalah mengklasifikasikan data ke dalam
subpopulasi-subpopulasi berdasarkan peluang akhir (McLachlan dan Basford 1988).
Uji Khi-Kuadrat
Uji khi-kuadrat digunakan untuk menguji kesesuaian sebaran data dengan
sebaran diskret. Jika data yang digunakan besar, maka uji khi-kuadrat dapat
digunakan untuk menguji kesesuaian sebaran kontinu. Hipotesis pada uji
Ho: data mengikuti sebaran yang diinginkan
: data mengikuti sebaran lainnya
Uji kesesuaian (Goodness of Fit-Test) antara frekuensi teramati dengan frekuensi
harapannya didasarkan pada statistik uji sebagai berikut:
dengan
: frekuensi data yang diamati
: frekuensi harapan dari data yang diamati
n : banyaknya kelas data yang diamati
d : banyaknya parameter sebaran
Dengan tingkat signifikansi , hipotesis nol akan ditolak jika
(Krishnamoorthy 2006).
Plot Kuantil-Kuantil
Tujuan dari pembuatan plot kuantil-kuantil adalah memeriksa kesesuaian pola
sebaran data terhadap pola sebaran teoritik dengan cara membandingkan antara
kuantil yang didasarkan pada data (kuantil empirik) dan kuantil dari sebaran
tertentu (kuantil teoritik). Penetapan nilai kuantil dapat dilakukan jika data
diurutkan dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Kuantil didefenisikan sebagai
berikut:
Q( = y(i), untuk i = 1,2, . . ., n
= , dimana a = 0,
Plot kuantil empirik yaitu plot antara nilai y(i) dengan fraksi . Plot kuantil
teoritik yaitu plot antara Q( ) dan . Plot kuantil-kuantil adalah plot antara y(i)
dan Q( ). Absis dan ordinat pada plot kuantil berbeda-beda tergantung sebaran
yang akan didekati. Absis dan ordinat pada plot kuantil-kuantil sesuai dengan
masing-masing sebaran yang akan didekati, seperti yang terdapat pada Tabel 1.
Pola pencaran dalam plot yang membentuk garis lurus menjadi petunjuk bahwa
sebaran data dapat didekati oleh sebaran teoritik (Aunudin 1989; Chambers et.al
Tabel 1. Absis dan ordinat plot kuantil-kuantil sebaran kontinu
Sebaran absis ordinat
Eksponensial y(i) -log
Gamma y(i) (
Lognormal y(i) exp(
Normal y(i)
Weibull y(i) log(-log
Uji Kruskal-Wallis
Uji Kruskal-Wallis diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W.H. Kruskal dan
W.A. Wallis. Uji Kruskal-Wallis sama dengan uji F dalam rancangan acak
lengkap. Perbedaanya, rancangan acak lengkap memerlukan asumsi bahwa data
menyebar normal, sedangkan uji Kruskal-Wallis tidak memerlukannya. Berikut
ini hipotesis pada uji Kruskal-Wallis:
Ho: nilai tengah kelompok penyakit lansia sama
: minimal ada satu nilai tengah kelompok penyakit lansia yang berbeda
dengan yang lainnya.
Statistik ujinya sebagai berikut:
H = - 3(N+1)
dengan
: banyaknya lama perawatan dalam kelompok penyakit lansia ke-i
: jumlah lama perawatan dari rangking i
N : jumlah total lama perawatan =
k : banyaknya kelompok penyakit lansia
Dengan tingkat signifikansi , hipotesis nol akan ditolak jika H > .
Jika nilai-nilai pengamatan pada data banyak yang sama, maka statistik uji
harus disesuaikan. Statistik uji yang telah disesuaikan adalah
dengan
t adalah banyaknya nilai pengamatan yang sama dalam sekelompok penyakit
N adalah jumlah total lama perawatan = (Daniel 1989).
Metode Pendugaan Parameter Sebaran Campuran
Ada beberapa metode yang digunakan untuk menduga parameter, antara lain
metode momen, metode bayes dan kemungkinan maksimum. Pendugaan
parameter yang digunakan untuk menduga parameter sebaran campuran adalah
metode kemungkinan maksimum dan metode EM (Expectation Maximation).
Metode kemungkinan maksimum adalah suatu metode yang paling baik untuk
memperoleh sebuah parameter tunggal. Menurut Hogg dan Craig (2005), dengan
memisalkan masing-masing peubah acak yang saling bebas dengan
sebaran yang memiliki fungsi kepekatan peluang f(x; ) dimana 0≤ 1, dan
adalah ruang contoh. Fungsi kepekatan peluang bersama dari
adalah L( yang disebut juga
sebagai fungsi kemungkinan.
Andaikan dicari fungsi sederhana dari yaitu (
sehingga = u ( membuat fungsi kemungkinan L maksimum untuk
semua . Statistik u( disebut penduga kemungkinan maksimum
dari yang dinotasikan dengan = u( .
Menurut Dimitri Karlis (2005) seringkali untuk pendugaan parameter
dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum tidak bisa secara
langsung karena datanya tidak lengkap, untuk itu dapat digunakan algoritma EM
(Expectation Maximation). Algoritma EM adalah suatu algoritma yang sangat
handal untuk pendugaan parameter dari fungsi kemungkinan pada data yang tidak
teramati seperti yang terdapat pada sebaran campuran (Dempster 1997). Ada dua
tahap dalam menggunakan algoritma EM yaitu tahap E(Expectation) dan tahap M
(Maximation). Dalam tahap E mencari nilai harapan penduga parameter dan pada
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh
dari P.T. Asuransi Jiwa Bringin Jiwa Sejahtera. Data ini merupakan data klaim
nasabah asuransi kesehatan khusus lansia dengan jenis klaim rawat inap yang
dikumpulkan dari tahun 2002 sampai dengan bulan april 2010. Jumlah nasabah
sebanyak 1585 nasabah dengan 2807 klaim dan lama perawatan 16416 hari, usia
nasabah lebih dari 55 tahun.
Metode Analisis Data
Tahapan analisis yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut:
1. Analisis deskriptif
Pada tahap pertama ini akan dideskripsikan data lama perawatan secara
keseluruhan dan data lama perawatan per kelompok penyakit. Data
dikelompokkan berdasarkan kelompok penyakit lansia di Indonesia, kemudian
mengkaji hubungan antara kelompok penyakit lansia dengan sebaran lama
perawatan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Melakukan analisis ragam dengan 8 kelompok penyakit lansia dianggap
sebagai perlakuan.
b. Menguji asumsi-asumsi yang harus dipenuhi analisis ragam yaitu uji
kenormalan, keaditifan dan kehomogenan.
c. Melakukan transformasi dan menguji kembali asumsi-asumsi analisis
ragam.
d. Melakukan uji statistik nonparametrik yaitu uji Kruskal-Wallis. Jika pada
tahap analisis deskriptif diperoleh kesimpulan bahwa kelompok penyakit
mempengaruhi lama perawatan maka akan diduga sebaran lama perawatan
secara keseluruhan dan sebaran lama perawatan per kelompok penyakit.
2. Pendugaan sebaran
Pendugaan sebaran dibagi menjadi dua yaitu pendugaan sebaran dengan
Langkah-langkah pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran diskret
sebagai berikut:
a. Menduga parameter sebaran diskret.
b. Menghitung nilai peluang sebaran diskret.
c. Menghitung nilai frekuensi harapan sebaran diskret.
d. Membuat dan menghampiri histogram dengan pendekatan kurva
sebaran diskret.
e. Melakukan uji kesesuaian sebaran dengan uji khi-kuadrat.
f. Menentukan sebaran yang sesuai dengan sebaran lama perawatan
berdasarkan histogram dan nilai khi-kuadrat.
Langkah-langkah pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran kontinu
sebagai berikut:
a. Membuat dan menghampiri histogram data dengan pendekatan kurva
sebaran kontinu.
b. Membuat plot kuantil-kuantil untuk masing-masing sebaran kontinu.
Membuat plot kuantil-kuantil untuk sebaran normal dengan langkah-
langkah sebagai berikut:
(1). Mengurutkan data dari yang terkecil sampai data yang terbesar
y(1), . . . ,y(i), . . ., y(n).
(2). Menghitung nilai untuk setiap y(i) yaitu = .
(3). Menghitung nilai untuk setiap p(i) yaitu = .
(4). Membuat plot antara y(i) dengan yang merupakan plot
kuantil-kuantil.
c. Menghitung nilai statistik dari uji kesesuaian sebaran kontinu.
d. Menentukan sebaran yang sesuai dengan sebaran lama perawatan
berdasarkan histogram, plot kuantil-kuantil dan nilai statistik uji.
3. Perbandingan kesesuaian sebaran
Membandingkan sebaran yang sesuai dengan lama perawatan secara
keseluruhan dan lama perawatan per kelompok penyakit.
4. Pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran campuran.
Langkah-langkah pendugaan lama perawatan dengan sebaran campuran sebagai
a. Membuat plot sebaran campuran.
b. Menentukan nilai parameter awal suatu sebaran ( .
c. Menduga nilai parameter dari sebaran campuran.
d. Melakukan uji kesesuaian sebaran yaitu uji khi-kuadrat.
5. Penerapan sebaran lama perawatan untuk memperkirakan nilai premi yang
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kla
im
Jumlah nasabah yang mengikuti asuransi kesehatan khusus lansia sebanyak
1585 nasabah, terdiri dari 899 nasabah laki-laki dan 686 nasabah perempuan.
Asuransi ini banyak diikuti oleh nasabah laki-laki daripada nasabah perempuan.
Hal ini sebanding dengan banyaknya klaim yang diajukan, klaim nasabah laki-laki
sebanyak 1626 klaim dengan lama perawatan 9761 hari dan klaim nasabah
perempuan sebanyak 1181 klaim dengan lama perawatan 6655 hari, untuk lebih
jelas dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Total klaim berdasarkan jenis kelamin
Jenis Kelamin Nasabah Klaim Lama Perawatan(hari)
Laki-Laki 899 1626 9761
Perempuan 686 1181 6655
Total 1585 2807 16416
Asuransi kesehatan lansia ini merupakan asuransi kelompok yang dimulai
sejak tahun 2002 sampai dengan saat ini, namun data yang digunakan dalam
penelitian ini sampai dengan april 2010. Klaim yang diajukan nasabah dari tahun
ke tahun selalu menunjukkan peningkatan seperti terlihat pada Gambar 1.
Gambar 1 Histogram klaim tahun 2002 sampai dengan april 2010
Jumlah klaim yang diajukan nasabah asuransi dari tahun 2002 sampai dengan
tahun 2010 selalu menunjukkan suatu peningkatan. Pada tahun 2002, klaim yang
diajukan nasabah sebanyak 26 klaim, tahun 2003 sebanyak 64 klaim, tahun 2004
sebanyak 136 klaim, tahun 2005 sebanyak 229 klaim, tahun 2006 sebanyak 284,
2003
tahun 2007 sebanyak 414 klaim, tahun 2008 sebanyak 609 klaim, tahun 2009
sebanyak 850 klaim dan tahun 2010 sebanyak 195 klaim. Peningkatan jumlah
klaim dari tahun ke tahun seiring dengan bertambahnya usia nasabah asuransi
kesehatan lasia tersebut.
Salah satu cara yang digunakan dalam menduga sebaran lama perawatan
adalah dengan melihat kesesuaian histogram data dengan histogram sebaran
tertentu. Histogram dan deskripsi lama perawatan nasabah asuransi yang
digunakan dalam penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 2 dan Tabel 3.
Gambar 2 Histogram data lama perawatan
Tabel 3 Deskripsi lama perawatan
Deskripsi Nilai
Jumlah nasabah 1585
Jumlah lama perawatan 16416
Rata-rata lama perawatan 10.3571
Ragam 122.94
Standar deviasi 11.0879
Kemiringan 2.8826
Keruncingan 11.3023
Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa rata-rata lama perawatan nasabah asuransi
lansia adalah 10 hari, sedangkan rata-rata lama perawatan pasien di rumah sakit
adalah 6 hari (Jamal dan Hestining 2000). Hal ini menunjukkan bahwa nasabah
asuransi kesehatan khusus lansia sebagian besar menderita penyakit-penyakit
berat sehingga memerlukan waktu perawatan yang lebih lama dari biasanya.
0 50 100 150 200
1 4 7 10131619222528313437414448555968737790
fre
ku
e
n
Deskripsi Lama Perawatan per Kelompok Penyakit
Penyakit pada lansia dikelompokkan menjadi delapan kelompok penyakit yaitu (1) kelompok penyakit persendian dan tulang, (2) kelompok penyakit
kardiovaskuler, (3) kelompok penyakit pencernaan, (4) kelompok penyakit
urogenital, (5) kelompok penyakit metabolik, (6) kelompok penyakit pernafasan,
(7) kelompok penyakit keganasan dan (8) kelompok penyakit lain-lain. Jumlah
nasabah, jumlah lama perawatan, rata-rata lama perawatan, ragam, standar
deviasi, kemiringan dan keruncingan lama perawatan untuk masing-masing
kelompok penyakit dapat dilihat pada Tabel 4. Histogram lama perawatan untuk
masing-masing kelompok penyakit dapat dilihat pada Gambar 3.
Tabel 4 Deskripsi lama perawatan untuk masing-masing kelompok penyakit
Deskripsi Kelompok Penyakit
1 2 3 4 5 6 7 8
Jumlah nasabah 101 524 446 189 229 114 165 279
Jumlah lama
perawatan 684 4875 2782 1572 2302 1144 1594 1463
Rata-rata
lama perawatan 6.77 9.30 6.24 8.32 10.05 10.04 9.66 5.24
Ragam 27.18 73.05 34.23 36.82 77.01 115.61 119 22.79
Standar deviasi 5.21 8.55 5.85 6.07 8.78 10.75 10.93 4.77
Kemiringan 1.69 2.61 3.89 1.54 2.15 2.97 2.92 2.69
Keruncingan 3.33 9.67 20.26 2.43 5.83 12.26 11.95 9.79
Rata-rata lama perawatan tertinggi disebabkan penyakit metabolik yaitu
sebesar 10.05 dan rata-rata lama perawatan terendah disebabkan penyakit
persendian dan tulang yaitu sebesar 5.24. Jumlah klaim tertinggi disebabkan oleh
penyakit kardiovaskuler dan jumlah klaim terendah disebabkan oleh penyakit
persendian dan tulang. Klaim tertinggi disebabkan kelompok penyakit
kardiovaskuler, namun rata-rata lama perawatan tertinggi disebabkan kelompok
penyakit pernafasan. Hal ini menunjukkan bahwa jumlah klaim dan lama
perawatan tidak selalu berbanding lurus.
Untuk mengetahui pengaruh kelompok penyakit terhadap lama perawatan
dilakukan uji nonparametrik Kruskal-Wallis. Uji ini digunakan karena
asumsi-asumsi analisis ragam tidak terpenuhi walaupun berbagai upaya transformasi telah
0
1 3 5 7 9 1113151719232630
0
1 3 5 7 9 11131520222830
Tabel 5 Uji Kruskal-Wallis untuk mengetahui pengaruh kelompok penyakit terhadap lama perawatan
Kelompok N Median Rata-Rata
Ranking Z
1 101 6 964.7 -1.03
2 524 7 1145.9 5.47
3 446 5 885.7 -5.59
4 189 6 1129.7 1.62
5 229 7 1207.6 4.99
6 114 6 1136.3 2.09
7 165 6 1055.0 0.70
8 279 4 751.0 -8.30
Overall 2047 1024.0
H = 133.92 DF = 7 P = 0.000
Tabel 5 menunjukkan bahwa nilai H sebesar 133.92, sedangkan
= 12.0170. Nilai H > , artinya hipotesis ditolak atau minimal
ada satu nilai tengah kelompok penyakit lansia berbeda dengan yang lainnya.
Kelompok penyakit lansia mempengaruhi lama perawatan nasabah
asuransi kesehatan.
Pendugaan Sebaran Lama Perawatan dengan Beberapa Sebaran Diskret Sebaran lama perawatan secara keseluruhan maupun per kelompok penyakit akan diduga dengan beberapa sebaran diskret, antara lain:
Sebaran Binomial Negatif
Peluang nasabah asuransi mengajukan klaim kepada perusahaan asuransi
sangat kecil, oleh karena itu sebaran Poisson secara luas sering digunakan dalam
masalah asuransi terutama untuk model klaim asuransi (Grandell dalam Himawan
2008). Sebaran Poisson merupakan suatu bentuk sebaran yang peluang
kejadiannya sangat kecil dan bergantung pada interval waktu. Ciri lain dari
sebaran Poisson adalah nilai ragamnya sama dengan nilai rata-rata. Berdasarkan
deskripsi data lama perawatan secara keseluruhan maupun lama perawatan per
kelompok penyakit, nilai ragam lebih besar dari rata-rata lama perawatan sehingga
lama perawatan diduga dengan sebaran binomial-negatif.
Tahap awal dari pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran
binomial-negatif diperoleh dengan cara memaksimumkan nilai harapan ke fungsi
kemungkinan dari data lama perawatan yang dilakukan secara iteratif (berulang).
Nilai penduga parameter untuk sebaran binomial negatif adalah = 13.94 dan
= 1.34. Langkah selanjutnya menghampiri histogram lama perawatan dengan
kurva sebaran binomial negatif, seperti yang terlihat pada Gambar 4.
Gambar 4 menunjukkan bahwa puncak histogram lama perawatan lebih tinggi
daripada puncak kurva sebaran binomial-negatif. Frekuensi lama perawatan
dengan frekuensi sebaran binomial negatif terlihat berbeda. Pada lama perawatan
1 – 6 hari frekuensi lama perawatan jauh lebih besar dari frekuensi sebaran
binomial-negatif, sedangkan pada lama perawatan 7 – 20 hari frekuensi lama
perawatan lebih kecil dari frekuensi sebaran binomial-negatif. Berdasarkan
histogram, lama perawatan tidak mengikuti sebaran binomial-negatif.
Pendugaan sebaran secara grafik di atas perlu didukung oleh uji kesesuaian
sebaran. Uji kesesuaian sebaran binomial-negatif yang digunakan adalah uji
khi-kuadrat. Nilai khi-kuadrat sebaran binomial-negatif untuk data lama perawatan
ini adalah = 3.64E+17, sedangkan nilai khi-kuadrat tabelnya adalah
= 80.23. Nilai > , artinya hipotesis ditolak, sebaran
lama perawatan tidak mengikuti sebaran binomial-negatif.
Gambar 4 Histogram lama perawatan yang dihampiri kurva sebaran binomial-negatif
Histogram lama perawatan per kelompok penyakit yang dihampiri dengan
sebaran binomial-negatif dapat dilihat pada Gambar 5. Berdasarkan Gambar 5,
kelompok penyakit 1,3,4 dan kelompok penyakit 8 diduga mengikuti sebaran
binomial negatif. Jarak antara frekuensi lama perawatan dan frekuensi sebaran
0 50 100 150 200
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 41 44 48 55 59 68 73 77 90
fr
eku
en
si
binomial-negatif pada keempat kelompok penyakit ini lebih berdekatan daripada
jarak antara frekuensi lama perawatan dan frekuensi sebaran binomial-negatif
pada kelompok penyakit 2,5,6 dan kelompok penyakit 7.
Penduga parameter dan nilai khi-kuadrat sebaran binomial-negatif per
kelompok penyakit dapat dilihat pada Tabel 6. Dari Tabel 6 terlihat bahwa
dengan nilai α = 5% nilai khi-kuadrat hitung untuk seluruh kelompok penyakit
lebih dari nilai khi-kuadrat tabel, artinya hipotesis ditolak lama perawatan
untuk setiap kelompok penyakit tidak menyebar binomial-negatif.
Pendugaan sebaran binomial-negatif dengan histogram dan uji khi-kuadrat
menghasilkan keputusan yang berbeda. Berdasarkan histogram lama perawatan
kelompok penyakit 1, 3, 4 dan kelompok penyakit 8 mengikuti sebaran
binomial-negatif, namun berdasarkan uji khi-kuadrat tidak satupun dari ke delapan lama
perawatan yang mengikuti sebaran binomial-negatif. Nilai khi-kuadrat pada
kelompok penyakit 1, 3, 4 dan kelompok penyakit 8 lebih kecil dibandingkan nilai
khi-kuadrat kelompok penyakit lainnya, tetapi nilai khi-kuadrat untuk kelompok
penyakit 1, 3, 4 dan kelompok penyakit 8 lebih besar dari nilai khi-kuadrat tabel.
Jadi lama perawatan ke delapan kelompok penyakit tidak mengikuti sebaran
binomial-negatif.
Tabel 6 Penduga parameter dan khi-kuadrat sebaran binomial-negatif untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit
Kelompok penyakit
Penduga
Parameter Derajat
bebas Khi-kuadrat
1 9.4 1.39 21 1480.233205
2 12.71 1.37 41 8.77E+11
3 8.63 1.38 27 593798429.2
4 11.54 1.39 23 3136.8599
5 13.76 1.37 32 36105812.35
6 13.52 1.35 25 2.20601E+14
7 12.91 1.34 31 1.09E+15
0
1 3 5 7 9 1113151719232630
0
1 3 5 7 9 11131520222830
Sebaran zero-truncated Poisson
Menurut Grandell dalam Himawan (2008) sebaran Poisson secara luas
digunakan dalam masalah asuransi terutama untuk model klaim asuransi. Klaim
pada asuransi kesehatan khusus lansia ini berupa lama perawatan di rumah sakit,
sehingga untuk klaim sebanyak 0 hari tidak teramati. Oleh karena itu lama
perawatan diduga dengan sebaran sebaran zero-truncated Poisson.
Tahap awal dari pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran
zero-truncated Poisson adalah menduga parameter. Dengan menggunakan metode
maksimum likelihood diperoleh penduga parameter sebaran zero-truncated
Poisson yaitu = 10.34. Langkah selanjutnya menghampiri histogram lama
perawatan dengan kurva sebaran zero-truncated Poisson, seperti yang terlihat
pada Gambar 6.
Gambar 6 menunjukkan bahwa, puncak kurva sebaran zero-truncated Poisson
jauh lebih tinggi daripada puncak histogram lama perawatan. Pada lama
perawatan 1 – 6 hari frekuensi lama perawatan jauh lebih besar dari frekuensi
sebaran binomial-negatif, sedangkan pada lama perawatan 7 – 18 hari frekuensi
lama perawatan lebih kecil dari frekuensi sebaran zero-truncated Poisson. Jarak
antara frekuensi lama perawatan dengan frekuensi sebaran zero-truncated Poisson
besar. Berdasarkan histogram, lama perawatan tidak mengikuti sebaran
zero-truncated Poisson.
Gambar 6 Histogram lama perawatan yang dihampiri kurva
sebaran zero-truncated Poisson
0 50 100 150 200 250
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 41 44 48 55 59 68 73 77 90
fr
e
ku
e
n
si
Lama Perawatan
f
Pendugaan sebaran secara grafik di atas perlu didukung oleh uji kesesuaian
sebaran. Uji kesesuaian sebaran zero-truncated Poisson yang digunakan adalah
uji khi-kuadrat. Nilai khi-kuadrat sebaran zero-truncated Poisson untuk data lama
perawatan ini adalah = 1.23E+48, sedangkan nilai khi-kuadrat tabelnya
adalah = 81.38. Nilai > , artinya hipotesis ditolak,
sebaran lama perawatan tidak mengikuti sebaran zero-truncated Poisson.
Histogram lama perawatan per kelompok penyakit yang dihampiri dengan
sebaran zero-truncated Poisson dapat dilihat pada Gambar 7. Gambar 7
menunjukkan bahwa kelompok penyakit 1, 3, 4 dan kelompok penyakit 8 diduga
mengikuti sebaran zero-truncated Poisson. Jarak antara frekuensi lama perawatan
dan frekuensi sebaran zero-truncated Poisson pada keempat kelompok penyakit
ini lebih berdekatan daripada jarak antara frekuensi lama perawatan dan frekuensi
sebaran zero-truncated Poisson pada kelompok penyakit 2,5,6 dan kelompok
penyakit 7.
Penduga parameter dan nilai khi-kuadrat sebaran zero-truncated Poisson per
kelompok penyakit dapat dilihat pada Tabel 7. Dari Tabel 7 terlihat bahwa
dengan α = 5% nilai khi-kuadrat hitung untuk seluruh kelompok penyakit lebih
dari nilai khi-kuadrat tabel, artinya hipotesis ditolak lama perawatan untuk
masing-masing kelompok penyakit tidak menyebar zero-truncated Poisson.
Tabel 7 Penduga parameter dan khi-kuadrat sebaran zero-truncated Poisson
untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit
Kelompok penyakit Penduga
parameter derajat bebas
Khi-kuadrat hitung
1 6.76 22 15091607
2 9.3 42 9.84E+30
3 6.23 28 7516.531
4 8.32 24 1674.801
5 10.05 33 2878.756
6 10.03 26 3.95E+36
7 9.66 32 1.98E+39
8 5.22 22 3.69E+11
Pendugaan sebaran zero-truncated Poisson dengan histogram dan uji
perawatan kelompok penyakit 1, 3, 4 dan kelompok penyakit 8 mengikuti sebaran
zero-truncated Poisson, namun berdasarkan uji khi-kuadrat tidak satupun dari ke
delapan lama perawatan yang menyebar zero-truncated Poisson. Nilai
khi-kuadrat pada kelompok penyakit 1, 3, 4 dan kelompok penyakit 8 lebih kecil dari
nilai kuadrat kelompok penyakit lainnya, namun lebih besar dari nilai
khi-kuadrat tabel. Jadi lama perawatan ke delapan kelompok penyakit tidak
mengikuti sebaran zero-truncated Poisson.
(a) (b)
Kurva sebaran zero-truncated Poisson yang menghampiri
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
x 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 40 43 46 50 57 67 70 75 87
fr
e
ku
e
n
si
lama perawatan Sebaran Poisson-Lindley
Tahap awal dari pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran Poisson- Lindley adalah menduga parameter. Pendugaan parameter pada sebaran Poisson-
Lindley diperoleh dengan cara memaksimumkan nilai harapan ke fungsi
kemungkinan dari data lama perawatan yang dilakukan secara iteratif (berulang).
Nilai penduga parameter untuk sebaran Poisson-Lindley adalah .
Langkah selanjutnya menghampiri histogram lama perawatan dengan kurva
sebaran Poisson-Lindley, seperti yang terlihat pada Gambar 8.
Gambar 8 menunjukkan bahwa, puncak histogram lama perawatan lebih tinggi
daripada puncak sebaran binomial negatif. Pada lama perawatan 2 – 8 hari
frekuensi lama perawatan jauh lebih besar dari frekuensi sebaran Poisson-Lindley,
sedangkan pada lama perawatan lainnya frekuensi lama perawatan lebih kecil dari
frekuensi sebaran Poisson-Lindley. Jarak antara frekuensi lama perawatan dan
frekuensi sebaran Poisson-Lindley terlihat besar. Berdasarkan histogram, lama
perawatan tidak mengikuti sebaran Poisson-Lindley.
Gambar 8 Histogram lama perawatan yang dihampiri kurva sebaran Poisson-Lindley
Pendugaan sebaran secara grafik di atas perlu didukung oleh uji kesesuaian
sebaran. Uji kesesuaian sebaran Poisson-Lindley yang digunakan adalah uji
khi-kuadrat. Nilai khi-kuadrat sebaran Poisson-Lindley untuk data lama perawatan ini
adalah = 3211.54, sedangkan nilai khi-kuadrat tabelnya adalah
= 81.34. Nilai > , artinya hipotesis ditolak, sebaran lama
Histogram lama perawatan per kelompok penyakit yang dihampiri dengan
sebaran Poisson-Lindley dapat dilihat pada Gambar 9. Berdasarkan Gambar 9,
sebaran lama perawatan pada kelompok penyakit 1, 4, dan kelompok penyakit 8
diduga mengikuti sebaran Poisson-Lindley karena pola histogram lama perawatan
ketiga kelompok penyakit tersebut menyerupai kurva sebaran Poisson-Lindley.
Sedangkan, histogram lama perawatan pada kelompok penyakit 2, 3, 5, 6 dan
kelompok penyakit 7 tidak mengikuti sebaran Poisson-Lindley.
Penduga parameter dan nilai khi-kuadrat sebaran Poisson-Lindley per
kelompok penyakit dapat dilihat pada Tabel 8. Dari Tabel 8 terlihat bahwa
dengan α = 5% nilai khi-kuadrat hitung untuk seluruh kelompok penyakit lebih
dari nilai khi-kuadrat tabel, artinya hipotesis ditolak lama perawatan untuk
setiap kelompok penyakit tidak mengikuti sebaran Poisson-Lindley.
Pendugaan sebaran dengan histogram dan uji khi-kuadrat menghasilkan
keputusan yang berbeda. Berdasarkan histogram lama perawatan kelompok
penyakit 1, 4, dan kelompok penyakit 8 mengikuti sebaran Poisson-Lindley,
namun berdasarkan uji khi-kuadrat tidak satupun dari ke delapan lama perawatan
yang mengikuti Poisson-Lindley. Nilai khi-kuadrat pada kelompok penyakit 1, 4,
dan kelompok penyakit 8 lebih kecil dibandingkan nilai khi-kuadrat kelompok
penyakit lainnya, tetapi nilai khi-kuadrat untuk kelompok penyakit 1, 4 dan
kelompok penyakit 8 lebih besar dari nilai khi-kuadrat tabel. Jadi lama perawatan
ke delapan kelompok penyakit tidak mengikuti sebaran Poisson-Lindley
Tabel 8 Penduga parameter dan khi-kuadrat sebaran Poisson-Lindley untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit
Kelompok
penyakit Penduga parameter derajat bebas Khi-kuadrat
1 0.26 22 31.37
2 0.2 42 450.37
3 0.29 28 730.58
4 0.22 24 47.60
5 0.18 33 102.24
6 0.18 26 1486.95
7 0.19 32 2608.31
(a) (b)
Pendugaan Sebaran Lama Perawatan dengan Beberapa Sebaran Kontinu Berdasarkan deskripsi data pada pembahasan sebelumnya diketahui nilai kemiringan data lama perawatan secara keseluruhan maupun lama perawatan per
kelompok penyakit selalu lebih dari nol, hal ini menunjukkan lama perawatan
tidak mengikuti sebaran normal karena nilai kemiringan pada sebaran normal
adalah nol. Oleh karena itu, sebaran lama perawatan akan diduga dengan sebaran
kontinu, antara lain:
Sebaran Eksponensial
Pendugaan sebaran lama perawatan dengan sebaran kontinu dilakukan dengan
metode grafik, yaitu plot kuantil-kuantil dan histogram. Peduga parameter
sebaran eksponensial = 8.02. Plot kuantil-kuantil dan histogram lama
perawatan yang telah dihampiri sebaran eksponensial dapat dilihat pada Gambar
10. Berdasarkan Gambar 10 (a), pola pencaran titik-titik pada plot kuantil-kuantil
sebaran eksponensial membentuk garis lurus, namun lebih banyak titik-titik yang
berada di atas garis lurus. Sehingga sebaran lama perawatan tidak mengikuti
sebaran eksponensial. Berdasarkan Gambar 10 (b), pada lama perawatan 1 – 3
hari kurva sebaran eksponensial jauh di atas histogram lama perawatan,
sedangkan pada lama perawatan 4 – 7 hari histogram lama perawatan jauh di atas
kurva sebaran eksponensial. Hal ini menandakan ada perbedaan yang jauh antara
frekuensi lama perawatan dan frekuensi sebaran eksponensialnya. Jadi
berdasarkan histogram, sebaran lama perawatan tidak mengikuti sebaran
eksponensial.
(a) (b)
Selanjutnya akan dilihat salah satu bentuk pemeriksaan kesesuaian sebaran
yang lebih formil yaitu berupa uji hipotesis. Dalam literatur ada beberapa bentuk
uji kesesuaian sebaran seperti uji Kolmogorov-smirnov, uji Cromer-von mises, uji
Anderson-Darling dan uji khi-kuadrat. Penduga parameter sebaran eksponensial
dapat dilihat pada Tabel 9. Pendugaan sebaran eksponensial dilakukan dengan
melihat nilai-p dan statistik ujinya. Nilai-p dan statistik uji sebaran eksponensial
dapat dilihat pada Tabel 10.
Tabel 9 Penduga parameter sebaran eksponensial
Penduga parameter Nilai
8.02
mean 8.02
standar deviasi 8.02
Tabel 10 Nilai-p dan nilai statistik uji sebaran eksponensial
Uji Derajat bebas Statistik uji Nilai-p
Kolmogorov-Smirnov 0.1342 <0.001
Cromer-von Mises 4.6575 <0.001
Anderson Darling 32.9096 <0.001
Khi-kuadrat 17 241.9576 <0.001
Tabel 10 menunjukkan bahwa seluruh nilai-p lebih kecil dari α.= 0.05 yang
artinya hipotesis ditolak. Lama perawatan tidak mengikuti sebaran
eksponensial. Tahap selanjutnya, pendugaan sebaran lama perawatan per
kelompok penyakit dengan sebaran eksponensial. Penduga parameter sebaran
eksponensial untuk masing-masing kelompok penyakit dapat dilihat pada
Tabel 11.
Tabel 11 Nilai penduga parameter sebaran eksponensial untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit
Kelompok Penyakit
Penduga parameter 1 2 3 4 5 6 7 8
6.77 9.30 6.24 8.20 10.05 10.03 9.66 5.24
mean 6.77 9.30 6.24 8.20 10.05 10.03 9.66 5.24
Plot kuantil-kuantil sebaran eksponensial untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit (a) kelompok penyakit 1, (b) kelompok penyakit 2, ( c ) kelompok penyakit (3), (d) kelompok penyakit 4, (e) kelompok penyakit 5, (f) kelompok penyakit 6 (g)kelompok penyakit 7, (h) kelompok penyakit 8
Curve: Exponential(Theta=0 Scale=6.77)
Gambar 11 menunjukkan bahwa pola pencaran titik-titik pada plot
kuantil-kuantil sebaran eksponensial kelompok penyakit 1, 2, 5, 6 dan kelompok penyakit
7 membentuk garis lurus. Pada plot kuantil sebaran eksponensial kelompok
penyakit lainnya titik-titik terlihat menjauhi garis lurus. Pola pencaran titik-titik
dalam plot kuantil-kuantil yang membentuk garis lurus menjadi petunjuk bahwa
sebaran lama perawatan kelompok penyakit 1, 2, 5, 6 dan kelompok penyakit 7
mengikuti sebaran eksponensial.
Berdasarkan histogram lama perawatan yang terdapat pada Gambar 12, kurva
sebaran eksponensial menghampiri histogram lama perawatan kelompok penyakit
5, 6 dan kelompok penyakit 7 dengan baik. Jarak antara frekuensi lama perawatan
kelompok penyakit 5, 6 dan kelompok penyakit 7 dengan frekuensi sebaran
eksponensial terlihat kecil. Hal ini menunjukkan sebaran lama perawatan
kelompok penyakit 5, 6 dan kelompok penyakit 7 menyebar eksponensial.
Pemeriksaan kesesuaian sebaran lama perawatan per kelompok penyakit
selanjutnya yaitu berupa uji hipotesis (Tabel 12). Pada kelompok penyakit 7
nilai-p yang diperoleh yaitu 0.035, hampir mendekati α.= 5% . Nilai-p ketujuh
kelompok penyakit lainnya jauh lebih kecil dari alpha. Hal ini menandakan
hipotesis ditolak, artinya lama perawatan per kelompok penyakit tidak
mengikuti sebaran eksponensial.
Plot kuantil-kuantil, histogram dan uji hipotesis menhasilkan keputusan yang
berbeda-beda. Pendugaan sebaran dengan histogram memiliki kelemahan karena
hanya mengandalkan kejelian penglihatan sehingga membutuhkan dukungan uji
hipotesis. Uji hipotesis tidak peka terhadap adanya pencilan, sedangkan kelebihan
dari plot kuantil-kuantil adalah mampu mendeteksi adanya pencilan (Aunuddin
1989). Berdasarkan hal di atas, sebaran lama perawatan kelompok penyakit 1, 2,
3, 4, 5, 6, dan kelompok penyakit 8 tidak menyebar eksponensial karena nilai-p
pada ketujuh kelompok penyakit tersebut jauh lebih kecil dari α = 0.05. Nilai-p
pada pada kelompok 7 hampir mendekati α = 0.05 dan plot kuantil-kuantilnya membentuk garis lurus, sehingga kelompok penyakit 7 diduga mengikuti sebaran
eksponensial. Nilai-p pada kelompok penyakit 7 yang tidak melebihi alpha
Tabel 12 Nilai-p dan statistik uji kesesuaian sebaran eksponensial untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit
Kelompok
penyakit Uji
Derajat
bebas Statistik uji Nilai-p
1 Kolmogorov-Smirnov 0.2161 <0.001
Cromer-vonMises 0.7353 <0.001
Anderson Darling 4.5489 <0.001
Khi-kuadrat 6 33.4971 <0.001
2 Kolmogorov-Smirnov 0.1859 <0.001
Cromer-vonMises 2.7776 <0.001
Anderson Darling 17.9814 <0.001
Khi-kuadrat 10 136.8172 <0.001
3 Kolmogorov-Smirnov O.2562 <0.001
Cromer-vonMises 5.7868 <0.001
Anderson Darling 32.9713 <0.001
Khi-kuadrat 11 236.7628 <0.001
4 Kolmogorov-Smirnov 0.2430 <0.001
Cromer-vonMises 1.7633 <0.001
Anderson Darling 10.6116 <0.001
Khi-kuadrat 9 66.2848 <0.001
5 Kolmogorov-Smirnov 0.1750 <0.001
Cromer-vonMises 1.2129 <0.001
Anderson Darling 7.9457 0.010
Khi-kuadrat 7 18.4254 <0.001
6 Kolmogorov-Smirnov 0.1707 <0.001
Cromer-vonMises 0.5220 <0.001
Anderson Darling 3.4214 <0.001
Khi-kuadrat 6 18.0879 0.006
7 Kolmogorov-Smirnov 0.0983 0.013
Cromer-vonMises 0.2505 0.035
Anderson Darling 1.8477 0.014
Khi-kuadrat 6 19.3891 0.004
8 Kolmogorov-Smirnov 0.1845 <0.001
Cromer-vonMises 1.5235 <0.001
Anderson Darling 10.0777 <0.001
Khi-kuadrat 9 53.0702 <0.001
Sebaran Gamma
Penduga parameter sebaran gamma dapat dilihat pada Tabel 13. Plot
kuantil-kuantil dan histogram lama perawatan yang telah dihampiri sebaran gamma dapat
pada plot kuantil-kuantil sebaran gamma membentuk garis lurus, sehingga
sebaran lama perawatan mengikuti sebaran gamma. Gambar 13 (b) menunjukkan
bahwa puncak dari histogram lama perawatan berada jauh di atas kurva sebaran
gamma. Jarak antara frekuensi lama perawatan dengan frekuensi dari sebaran
gamma jauh. Berdasarkan metode histogram lama perawatan tidak mengikuti
sebaran gamma.
(a)
Gambar 13 Plot kuantil-kuantil (a) dan histogram lama perawatan yang dihampiri kurva sebaran gamma (b)
Tabel 13 Penduga parameter sebaran gamma
Penduga parameter Nilai
1.63 4.91
mean 8.02
standar deviasi 6.27
Tabel 14 Nilai-p dan statistik uji sebaran gamma
uji Derajat bebas Statistik uji Nilai-p
Kolmogorov-Smirnov 0.11 <0.001
Cromer-von Mises 4.2693 <0.001
Anderson Darling 24.0122 <0.001
Khi-kuadrat 16 407.3785 <0.001
Tabel 14 menunjukkan bahwa seluruh nilai-p lebih kecil dari α = 0.05 yang
artinya hipotesis ditolak. Lama perawatan tidak mengikuti sebaran gamma.
Tahap selanjutnya, pendugaan sebaran lama perawatan per kelompok penyakit
dengan sebaran gamma. Penduga parameter sebaran gamma untuk
masing-masing kelompok penyakit dapat dilihat pada Tabel 15. Plot kuantil-kuantil dan
histogram lama perawatan per kelompok penyakit dapat dilihat pada Gambar 14
dan Gambar 15.
Tabel 15 Penduga parameter sebaran gamma untuk lama perawatan masing-masing kelompok penyakit
Kelompok Penyakit
Penduga parameter 1 2 3 4 5 6 7 8
2.01 1.71 2.17 2.26 1.77 1.43 1.16 1.74
3.36 5.43 2.87 3.67 5.68 7.02 8.34 3.02
mean 6.77 9.30 6.24 8.32 10.05 10.04 9.66 5.24
standar deviasi 4.77 7.11 4.23 5.53 7.56 8.95 8.98 3.97
Gambar 14 menunjukkan bahwa pola pencaran titik-titik pada plot
kuantil-kuantil sebaran gamma kelompok penyakit 1, 2, 4, 5 dan kelompok penyakit 6
membentuk garis lurus. Pada plot kuantil-kuantil sebaran gamma kelompok
penyakit lainnya titik-titik terlihat menjauhi garis lurus. Pola pencaran titik-titik
dalam plot kuantil-kuantil yang membentuk garis lurus menjadi petunjuk bahwa
sebaran lama perawatan kelompok penyakit 1, 2, 4, 5 dan kelompok penyakit 6
mengikuti sebaran gamma.
Berdasarkan histogram lama perawatan yang terdapat pada Gambar 15, kurva
sebaran gamma menghampiri histogram lama perawatan kelompok penyakit 1, 5,
6 dan kelompok penyakit 7 dengan baik. Jarak antara frekuensi lama perawatan
kelompok penyakit 1, 5, 6 dan kelompok penyakit 7 dengan frekuensi sebaran
gamma kecil. Hal ini menunjukkan sebaran lama perawatan kelompok penyakit
1, 5, 6 dan kelompok penyakit 7 menyebar gamma.
Pemeriksaan kesesuaian sebaran lama perawatan per kelompok penyakit
selanjutnya yaitu berupa uji hipotesis (Tabel 15). Kedelapan kelompok penyakit
memunyai nilai-p yang lebih kecil daripada α = 5%, tetapi nilai-p pada kelompok
penyakit 1 hampir mendekati alpha. Hasil dari pendugaan sebaran dengan
histogram dan plot kuantil-kuantil menyatakan lama perawatan kelompok
penyakit 1 memiliki kecendrungan menyebar gamma, sedangkan lama perawatan
kelompok penyakit lainnya tidak mengikuti sebaran gamma.
Curve: Gamma(Theta=0 Shape=1.71 Scale=5.43)
