Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN

TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS

SUATU PROSES POISSON PERIODIK

SYAMSURI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI TESIS

DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini

Bogor, 19 Desember 2007

ABSTRACT

SYAMSURI. Estimation of the First and Second Derivatives of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

We can find stochastic process in our daily activities in various sectors. Stochastic process can be distinguished into stochastic process with discrete time and stochastic process with continuous time. A specific form of stochastic process with continuous time is a periodic Poisson process. A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. This process, for example, can be used to model the arrival process of customers in a service centre with period one day. In this process, the local intensity function ( (s)) expresses the rate of the process at time s.

ABSTRAK

SYAMSURI. Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Proses stokastik banyak kita temukan dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal ( (s)) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s.

©

Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2007

Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN

TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS

SUATU PROSES POISSON PERIODIK

SYAMSURI

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Tesis : Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik

Nama : Syamsuri NRP : G551050131

Disetujui, Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ketua

Ir. Retno Budiarti, MS Anggota

Diketahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

Dekan Sekolah Pascasarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2007 ini adalah Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik

Sebuah karya sebenarnya sulit dikatakan sebagai usaha satu orang, tanpa bantuan orang lain. Demikian pula karya ilmiah ini, tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritik membangun dari berbagai pihak. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. I Wayan Mangku, MSc dan Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing serta Dr. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang banyak memberikan saran.

Demikian pula, penulis mengucapkan terima kasih sedalam-dalamnya kepada Pimpinan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Jakarta yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 7 Mei 1980 sebagai anak ke-6 dari 8 bersaudara , anak dari pasangan H. Masyim dan Hj. Rochmah (alm). Pada awal tahun 2006, penulis menikah dengan Frida Rezania dan telah dikaruniai seorang putra bernama ’Ukasyah ’Abdurrahman Syam.

Penulis menempuh pendidikan dasar dan menengah di Bekasi hingga tahun 1998. Pada tahun yang sama, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - IPB dan lulus pada tahun 2002. Selanjutnya, pada tahun 2005 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan studi pada Program Magister Matematika Terapan IPB.

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERNYATAAN ... i

ABSTRAK ... ii

LEMBAR PENGESAHAN ... vi

RIWAYAT HIDUP ... vii

PRAKATA ... viii

DAFTAR ISI ... ix

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan ... 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 3

2.1. Proses Poisson Periodik ... 3

2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 6

BAB III KEKONSISTENAN ... 8

3.1. Perumusan Penduga Bagi λ( )s ... 8

3.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan λˆ_{n K,} ( )s ... 10

3.3. Aproksimasi Asimtotik untuk Ragamλˆ_{n K,} ( )s ... 14

3.4. Perumusan Penduga Bagi λ′( )s ... 16

3.5. Perumusan Penduga Bagi λ′′( )s ... 21

BAB IV SIFAT-SIFAT STATISTIKA ... 28

4.1. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam λˆ_{n K}'_, ( )s ... 28

4.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam λˆ_{n K}′′_, ( )s ... 31

BAB V SIMULASI ... 34

5.1 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Pertama ... 35

5.2 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Kedua ... 38

KESIMPULAN ... 41

DAFTAR PUSTAKA ... 43

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN

TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS

SUATU PROSES POISSON PERIODIK

SYAMSURI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI TESIS

DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini

Bogor, 19 Desember 2007

ABSTRACT

SYAMSURI. Estimation of the First and Second Derivatives of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

We can find stochastic process in our daily activities in various sectors. Stochastic process can be distinguished into stochastic process with discrete time and stochastic process with continuous time. A specific form of stochastic process with continuous time is a periodic Poisson process. A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. This process, for example, can be used to model the arrival process of customers in a service centre with period one day. In this process, the local intensity function ( (s)) expresses the rate of the process at time s.

ABSTRAK

SYAMSURI. Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Proses stokastik banyak kita temukan dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal ( (s)) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s.

©

Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2007

Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN

TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS

SUATU PROSES POISSON PERIODIK

SYAMSURI

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Tesis : Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik

Nama : Syamsuri NRP : G551050131

Disetujui, Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ketua

Ir. Retno Budiarti, MS Anggota

Diketahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

Dekan Sekolah Pascasarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2007 ini adalah Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik

Sebuah karya sebenarnya sulit dikatakan sebagai usaha satu orang, tanpa bantuan orang lain. Demikian pula karya ilmiah ini, tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritik membangun dari berbagai pihak. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. I Wayan Mangku, MSc dan Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing serta Dr. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji yang banyak memberikan saran.

Demikian pula, penulis mengucapkan terima kasih sedalam-dalamnya kepada Pimpinan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Jakarta yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 7 Mei 1980 sebagai anak ke-6 dari 8 bersaudara , anak dari pasangan H. Masyim dan Hj. Rochmah (alm). Pada awal tahun 2006, penulis menikah dengan Frida Rezania dan telah dikaruniai seorang putra bernama ’Ukasyah ’Abdurrahman Syam.

Penulis menempuh pendidikan dasar dan menengah di Bekasi hingga tahun 1998. Pada tahun yang sama, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - IPB dan lulus pada tahun 2002. Selanjutnya, pada tahun 2005 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan studi pada Program Magister Matematika Terapan IPB.

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERNYATAAN ... i

ABSTRAK ... ii

LEMBAR PENGESAHAN ... vi

RIWAYAT HIDUP ... vii

PRAKATA ... viii

DAFTAR ISI ... ix

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan ... 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 3

2.1. Proses Poisson Periodik ... 3

2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 6

BAB III KEKONSISTENAN ... 8

3.1. Perumusan Penduga Bagi λ( )s ... 8

3.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan λˆ_{n K,} ( )s ... 10

3.3. Aproksimasi Asimtotik untuk Ragamλˆ_{n K,} ( )s ... 14

3.4. Perumusan Penduga Bagi λ′( )s ... 16

3.5. Perumusan Penduga Bagi λ′′( )s ... 21

BAB IV SIFAT-SIFAT STATISTIKA ... 28

4.1. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam λˆ_{n K}'_, ( )s ... 28

4.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam λˆ_{n K}′′_, ( )s ... 31

BAB V SIMULASI ... 34

5.1 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Pertama ... 35

5.2 Simulasi untuk Bias dan Ragam Penduga Turunan Kedua ... 38

KESIMPULAN ... 41

DAFTAR PUSTAKA ... 43

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1. Contoh grafik fungsi intensitas periodik ... 34 2. Contoh grafik turunan pertama fungsi intensitas periodik ... 35 3. Contoh grafik turunan kedua fungsi intensitas periodik ... 38

DAFTAR LAMPIRAN

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Proses stokastik merupakan salah satu bentuk permasalahan yang berhubungan dengan kaidah-kaidah peluang, karena tidak bisa diketahui secara pasti mengenai perilaku yang akan terjadi. Proses stokastik banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari pada berbagai bidang, misalnya ; proses kedatangan pelanggan ke pusat pelayanan (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya).

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya dibatasi pada proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik.

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Banyak fenomena dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, di antaranya pada bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, ilmu pengobatan dan seismologi (Helmers et al. 2003).

Salah satu contoh proses ini digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal (λ(s)) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s.

1.2Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :

(i) Mempelajari perumusan penduga turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan fungsi kernel umum. (ii) Menentukan syarat minimal agar penduga-penduga yang diperoleh adalah

konsisten.

(iii)Membuktikan kekonvergenan menuju nol dari mean square error (MSE) penduga.

(iv)Menentukan pendekatan asimtotik dari bias penduga. (v) Menentukan pendekatan asimtotik dari ragam penduga.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik

Definisi 1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik X = {X(t), t∈T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 2003) Jadi untuk setiap t pada himpunan indeks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan t sebagai waktu dan X(t) sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Definisi 2 (Proses Stokastik Waktu Kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.

(Ross 2003)

Definisi 3 (Inkremen Bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < … < tn, peubah acak X(t1) – X(t0),

X(t2) – X(t1), …, X(tn) – X(tn-1) adalah bebas.

(Ross 2003) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 4 (Inkremen Stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t+s) – X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu [0,∞].

Definisi 5 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik {N(t), t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat berikut:

(i) N(t)≥ 0 untuk semua t ∈[0,∞). (ii) Nilai N(t) adalah integer.

(iii) Jika s < t maka N(s)≤N(t), s, t ∈[0,∞).

(iv) Untuk s < t maka N(t) – N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t].

(Ross 2003)

Definisi 6 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju , > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut.

(i) N(0) = 0.

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan t.

Jadi untuk semua t, s > 0,

(

)

( )

(

)

( )

!

k t

e t

N t s N s k

k λ _λ −

Ρ + − = = ,

Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh E (N(t)) = t .

Definisi 7 (Proses Poisson Tak Homogen)

Suatu proses Poisson {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson tak homogen jika laju pada sembarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu (t).

(Ross 2003)

Definisi 8 (Fungsi Intensitas)

Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t ≥ 0}, yaitu (t) disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.

Definisi 9 (Fungsi Periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika λ

(

s+kτ

) ( )

=λ s untuk semua s∈ dan

k∈ . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 10 (Proses Poisson Periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001) Definisi 11 (Intensitas Lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas pada titik s∈ adalah (s), yaitu nilai fungsi di s.

Definisi 12 (Fungsi Intensitas Global)

Misalkan N

(

[ ]

0,n

)

adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai

[

]

(

0,

)

lim n

N n

n θ

→ ∞

Ε =

jika limit di atas ada.

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Dalam hal ini fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi 2, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak-hingga.

Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan hn 0 dan N([0,t]) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas lokal di titik s dapat dihampiri oleh 1

(

[

,

]

)

2h_nN s−h sn +hn .

Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poison ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global pada [0,n] dapat dinyatakan 1N

(

[ ]

0,n

)

n .

Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma dalam menduga fungsi intensitas dari suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999). Dengan pendugaan tipe-kernel, kekonsistenan penduga fungsi intensitas telah terbukti (Helmers et al. 2003), lihat juga Mangku (2006a) untuk kasus yang relatif sederhana dimana periode dari fungsi intensitasnya diasumsikan diketahui. Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat (nearest neighbor estimation) telah dikaji (Mangku 1999).

BAB III

KEKONSISTENAN

3.1Perumusan Penduga Bagi λ(s)

Misalkan N adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval [0,n]. Pembahasan hanya dibatasi untuk kasus periode dari fungsi intensitas yang diketahui. Karena N adalah suatu proses Poisson periodik yang memiliki fungsi intensitas λ dengan periode > 0, dimana

diketahui, maka berlaku

(s k ) ( )s

λ + τ =λ (1) untuk semua s∈ dank ∈ , dengan menyatakan himpunan bilangan bulat. Misalkan hnadalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

hn 0 jika n ∞ . (2) Kita perhatikan keadaan terjelek, yaitu kita hanya memiliki sebuah realisasi dari proses Poisson N yang diamati pada selang [0,n]. Karena λ adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah untuk menduga λ pada titik s dengan s∈ , dapat direduksi menjadi masalah menduga λ pada titik s dengan s∈[0, )τ . Penduga dari fungsi intensitas λ pada titik s∈[0, )τ , yaitu λˆ_{n K,} ( )s dapat didefinisikan sebagai:

( )

,

0 0

1 ( )

ˆ _{( )}

n n K

k n n

x s k

s K N dx

n h h

τ τ

λ ∞

=

⎛ − + ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

∑ ∫

(3) dimana :K →[0, )∞ yang memenuhi sifat-sifat berikut :

(K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang (K.2) K terbatas

(K.3) K memiliki daerah definisi pada [-1,1] (Lihat Helmers et al. 2003, 2005).

banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu pada interval [s - hn, s + hn], untuk hn 0. Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai:

[

]

(

)

1

,

2h_nN s−h sn +hn . (4) Karena fungsi adalah periodik, dengan periode , maka untuk menduga nilai fungsi (s) dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s+kτ, asalkan s+kτ∈[0, ]n . Sehingga untuk setiap k ∈ , nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai:

[

]

(

)

1

, [0, ]

2h_n N s+kτ −h sn +kτ +hn ∩ n . (5) Banyaknya k sehingga s+kτ∈[0, ]n adalah mendekati n/τ . Jadi nilai rata-rata dari semua rataan di atas untuk semua k sehingga s +kτ∈[0, ]n , adalah

0

1

([ , ] [0, ])

2 ( )

/

n n

k n

N s k h s k h n

h s

n

τ τ

λ

τ

∞

=

+ − + + ∩

≈

∑

1

( )

[-1,1] 2 0 0

1

I ([ , ])

n

n n

k n

s k h s k h N dx

n h

τ ∞ _{τ τ}

=

=

∑ ∫

+ − + +

1

0 0

1 ( )

( )

n

k n n

x s k

K N dx

n h h

τ ∞ τ

=

⎛ − + ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

∑ ∫

dimana 1 _{[ ]}

1: 2I 1,1

K = ₋ . Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi (K.1) – (K.3). Akhirnya kita peroleh persamaan (3).

3.2Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan λˆ_{n K,} ( )s

Teorema 1.

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Misalkan pula hn 0 untuk n → ∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (K.1)-(K.3).

i) Jika nh_n → ∞ dan λ memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka Eλˆ_{n K,} ( )= ( )+ (s λ s o h_n) (6)

ii) Jika nh_n2 → ∞dan λ memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka

1

2 2 2

,

1

1 ˆ

E ( )= ( )+ ''( ) ( ) ( )

2

n K s s s hn x K x dx o hn

λ λ λ

−

+

∫

(7)

iii) Jikanh_n3→ ∞dan λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka

1

2 2 3

,

1

1 ˆ

E ( )= ( )+ ''( ) ( ) ( )

2

n K s s s hn x K x dx o hn

λ λ λ

−

+

∫

(8)

iv) Jika nh_n4 → ∞ dan λ memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

( )

1 1

2 2 (4) 4 4 4

,

1 1

1 1

ˆ

E ( )= ( )+ ''( ) ( ) ( ) ( )

2 24

n K s s s hn x K x dx s hn x K x dx o hn

λ λ λ λ

− −

+ +

∫

∫

(9) jika n → ∞ (Helmers et al. 2005).

Bukti : (Lihat juga Mangku 2006b).

Berdasarkan Teorema Fubini (Lema 6 dalam Lampiran 1), kita dapat menukarkan urutan penentuan nilai harapan dan penjumlahan. Sehingga nilai harapan di ruas kiri persamaan (6-9) dapat dinyatakan sebagai berikut :

( )

,

0 0

1 ( )

ˆ

E ( ) E

n n K

k n n

x s k

s K N dx

n h h

τ τ λ ∞ = ⎛ − + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑ ∫

( )

0 ₀

1 ( )

E

n

k n n

x s k

K N dx

n h h

τ ∞ τ = ⎛ − + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑ ∫

0

1 ( )

( ) I( [0, ])

k n n

x s k

K x x n dx

n h h

0

( ) I( [0, ])

k

n n

x

K x s k x s k n dx

n h h

τ ∞ _{λ τ τ} ℜ ₌ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + + + + ∈ ⎝ ⎠

∑

∫

0

( ) I( [0, ])

k

n n

x

K x s x s k n dx

n h h

τ _λ ∞ _τ ℜ ₌ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + _⎜ + + ∈ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∫

. Perhatikan bahwa 0

I( [0, ]) 1, 1

k

n n

s kτ n

τ τ ∞ = ⎡ ⎤ + ∈ ∈_⎢ − + _⎥ ⎣ ⎦

∑

. Akibatnya diperoleh

( )

(

1

)

,

1 ˆ

E n K( ) 1 n ( )

n n

x

s O K x s dx

h h λ λ ℜ ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠

∫

1 _{( )}

( )

1

n

n n

x

K x s dx O

h ℜ h λ

⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟} + +

⎝ ⎠

∫

. (10)

Misalkan

n

x y

h

= atau x = y h_n, maka dx =h dy_n . Sehingga suku pertama ruas

kanan persamaan (10) menjadi

( )

( _n )

( )

( _n )

K y λ yh s dy K x λ xh s dx

ℜ + = ℜ +

∫

∫

( )

1

1

( _n )

K x λ xh s dx −

=

∫

+ . (11)

Untuk membuktikan persamaan (6), digunakan Formula Young (Lema 7 dalam Lampiran 1) hingga derajat 1, sehingga diperoleh

(

) ( )

( )

( )

( )

1!

n n n

s

s xh s λ xh o h

λ + =λ + ′ + untuk hn→0 .

Akibatnya persamaan (11) dapat ditulis sebagai

( )

( )

( )

( )

1 1 1

1 1 1

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1! n n n n

s

K x λ s λ xh o h dx λ s K x dx λ s h xK x dx o h

− − − ′ ⎛ _{+ +} ⎞ _{= + ′ +} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

∫

∫

jika n → ∞.

Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi pada [-1,1], maka

1

1

( ) 1

K x dx −

=

∫

. Dan juga karena K simetrik, maka

1

1

( ) 0

xK x dx −

=

∫

.

Akibatnya diperoleh,

( )

( )

1 ,

ˆ

jika n → ∞. Karena nh_n → ∞, maka O 1 o h

( )

_n n

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ untuk n → ∞. Akhirnya

diperoleh persamaan (6). ■

Untuk membuktikan persamaan (7), digunakan Formula Young (Lema 7 dalam Lampiran 1) hingga derajat 2, sehingga diperoleh

(

) ( )

( )

(

)

( ) 2 2

( )

2

1! 2!

n n n n

s s

s xh s λ xh λ x h o h

λ + =λ + ′ + ′′ + untuk hn→0 .

Akibatnya persamaan (11) dapat ditulis sebagai

( )

(

)

( )

1

2 2 2 1

( ) ( )

( )

1! n 2! n n

s s

K x λ s λ xh λ x h o h dx

− ′ ′′ ⎛ _{+ + +} ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

( )

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

n n n

s K x dx s h xK x dx s h x K x dx o h

λ λ λ

− − −

′ ′′

=

∫

+

∫

+

∫

+ ,

jika n → ∞.

Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi pada [-1,1], maka

1

1

( ) 1

K x dx −

=

∫

. Dan juga karena K simetrik, maka

1

1

( ) 0

xK x dx − =

∫

. Akibatnya diperoleh,

( )

( )

1

2 2 2 1

,

1

1 ˆ

E ( ) ( ) ( ) ( )

2

n K s s s hn x K x dx o hn O n

λ λ λ

−

′′

= +

∫

+ + (13)

jika n→ ∞. Karena nh_n2 → ∞, maka O 1 o h

( )

_n2 n

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ untuk n → ∞. Akhirnya

diperoleh persamaan (7). ■

Untuk membuktikan persamaan (8), digunakan Formula Young (Lema 7 dalam Lampiran 1) hingga derajat 3, sehingga diperoleh

(

) ( )

( )

(

)

( ) 2 2 ( ) 3 3

( )

3

1! 2! 3!

n n n n n

s s s

s xh s λ xh λ x h λ x h o h

λ + =λ + ′ + ′′ + ′′′ + untuk hn→0 .

Sehingga persamaan (11) dapat ditulis sebagai

( )

(

)

( )

1

2 2 3 3 3 1

( ) ( ) ( )

( )

1! n 2! n 3! n n

s s s

K x λ s λ xh λ x h λ x h o h dx

( )

1 1 1

2 2

1 1 1

1

3 3 3

1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 6 n n n n

s K x dx s h xK x dx s h x K x dx

s h x K x dx o h

λ λ λ λ − − − − ′ ′′ = + + ′′′ + +

∫

∫

∫

∫

jika n → ∞.

Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka

1

1

( ) 1

K x dx −

=

∫

. Karena K simetrik, maka

1

1

( ) 0

xK x dx −

=

∫

dan

1 3 1

( ) 0

x K x dx −

=

∫

. Akibatnya diperoleh,

( )

( )

1

2 2 3 1

,

1

1 ˆ

E ( ) ( ) ( ) ( )

2

n K s s s hn x K x dx o hn O n

λ λ λ

−

′′

= +

∫

+ + , (14)

jika n → ∞. Karena nh_n3 → ∞, maka O 1 o h

( )

_n3 n

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ untuk n→ ∞. Akhirnya

diperoleh persamaan (8). ■

Untuk membuktikan persamaan (9), digunakan Formula Young (Lema 7 dalam Lampiran 1) hingga derajat 4, sehingga diperoleh

(

) ( )

( )

(

)

( ) 2 2 ( ) 3 3 (4)( ) 4 4

( )

4

1! 2! 3! 4!

n n n n n n

s s s s

s xh s λ xh λ x h λ x h λ x h o h

λ + =λ + ′ + ′′ + ′′′ + +

untuk hn→0 .

Sehingga persamaan (11) dapat ditulis sebagai

( )

(

)

( )

1 (4)

2 2 3 3 4 4 4 1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1! n 2! n 3! n 4! n n

s s s s

K x λ s λ xh λ x h λ x h λ x h o h dx

− ′ ′′ ′′′ ⎛ ⎞ + + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

( )

1 1 1

2 2

1 1 1

1 1

3 3 (4) 4 4 4

1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 24 n n

n n n

s K x dx s h xK x dx s h x K x dx

s h x K x dx s h x K x dx o h

λ λ λ λ λ − − − − − ′ ′′ = + + ′′′ + + +

∫

∫

∫

∫

∫

Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi interval [-1,1], maka

1

1

( ) 1

K x dx −

=

∫

. Karena K simetrik, maka

1

1

( ) 0

xK x dx −

=

∫

dan

1 3 1

( ) 0

x K x dx −

=

∫

. Akibatnya diperoleh,

( )

( )

1 1

2 2 (4) 4 4 4 1

,

1 1

1 1

ˆ

E ( )= ( )+ ''( ) ( ) ( ) ( )

2 24

n K s s s hn x K x dx s hn x K x dx o hn O n

λ λ λ λ

− −

+ + +

∫

∫

jika n→ ∞. Karena nh_n4 → ∞, maka O 1 o h

( )

_n4 n

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ untuk n → ∞. Akhirnya

diperoleh persamaan (9). ■

3.3Aproksimasi Asimtotik untuk Ragam λˆn K, ( )s

Teorema 2.

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0 untuk n → ∞dan fungsi Kernel K memenuhi (K.1)-(K.3), maka

(

)

1

2 ,

1

(s) 1

ˆ

Var _{n K}( ) = ( )

n n

s K x dx o

n h n h

τ λ λ − ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

(15)

jika n → ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ (Helmers et al. 2005).

Bukti : (Lihat juga Mangku 2006b).

Kita perhatikan λ_{n K,} ( )s yang diberikan pada persamaan (3). Karena hn 0, jika

n→ ∞, maka untuk nilai n yang cukup besar, selang

[

s+kτ −h s_n, +kτ+h_n

]

dan

[

s+ jτ −h s_n, + jτ +h_n

]

, untuk k ≠ j tidak saling tumpang-tindih (tidak overlap). Sehingga N s

[

+kτ−h s_n, +kτ +h_n

]

dan N s

[

+ jτ −h s_n, + jτ+h_n

]

adalah bebas, untuk k ≠ j. Jadi Var

(

λˆ_{n K,} ( )s

)

dapat ditentukan sebagai berikut.

(

,

)

0 0

1 ( )

Var ( ) Var ( )

n n K

k n n

x s k

s K N dx

n h h

2 2 2

0 0

( )

Var ( )

n k

n n

x s k

K N dx

n h h

τ ∞ τ = ⎛ ⎛ − + ⎞ ⎞ = ⎜_⎜ ⎜ ⎟ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∫

(

( )

)

2 2 2 2 0 0 ( ) Var n k n n

x s k

K N dx

n h h

τ ∞ τ = ⎛ − + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑∫

2 2 2 2 0 0 ( )

E ( )

n k

n n

x s k

K N dx

n h h

τ ∞ τ = ⎛ − + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑∫

2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n k n n

x s k

K x dx

n h h

τ ∞ _{τ λ} = ⎛ − + ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑∫

2 2 2 2 0

( ) I( [0, ])( )

k

n n

x

K x s x s k n dx

n h h

τ _λ ∞ _τ = ℜ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + + + ∈ ⎝ ⎠

∑

∫

. Perhatikan bahwa 0

I( [0, ]) 1, 1

k

n n

s kτ n

τ τ ∞ = ⎡ ⎤ + ∈ ∈_⎢ − + _⎥ ⎣ ⎦

∑

. Akibatnya diperoleh

(

)

2

2

, 2 2

Var _{n K}( ) (1) ( )( )

n n

n x

s O K x s dx

n h h

τ λ λ τ _ℜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_⎜ + _{⎟ ⎜ ⎟} + ⎝ ⎠

∫

⎝ ⎠

_{2 2}1 ₂ 2 ( )

n n n

x

O K x s dx

n h n h h

τ _λ ℜ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ =_⎜⎜ + _{⎜ ⎟⎟⎟ ⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

₂ 2 ( ) ₂1

n n n

x

K x s dx O

n h h n h

τ _λ ℜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + + _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

₂ 2 ( ) ₂ 2

(

( ) ( )

)

₂1

n n n n n

x x

K s dx K x s s dx O

n h h n h h n h

τ _λ τ _{λ λ} ℜ ℜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟} + − + _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

. (16) Karena s merupakan titik Lebesgue dari fungsi λ dan fungsi kernel K terbatas, maka diperoleh bahwa integral bagian kedua ruas kanan persamaan (16) menjadi

(

)

2

1 1

( ) ( )

n n n n

x

K x s s dx o

nh h h nh

τ _{λ λ} ℜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

. Sehingga diperoleh,

(

)

2

, 2 2

1 1

ˆ

Var _{n K}( ) ( )

n n n n

x

s K s dx o O

n h h nh n h

τ λ λ ℜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

2 2 1 ( )

n n n

x

K s dx o

n h h nh

jika n → ∞. Misalkan

n

x y

h

= atau x =y h_n, maka dx =h dy_n . Berdasarkan asumsi (K.3),

didapat

(

)

( )

1 2

, 2

1

1 ˆ

Var _{n K}( ) _n ( )

n n

s h K y s dy o

n h nh

τ

λ λ

−

⎛ ⎞

= _{+ ⎜ ⎟}

⎝ ⎠

∫

( )

1 2 1

( ) 1

n n

s

K x dx o

n h nh

λ τ

−

⎛ ⎞

= _{+ ⎜ ⎟}

⎝ ⎠

∫

,

jika n → ∞. ■

3.4Perumusan Penduga Bagi λ′( )s

Jika λˆ_{n K,} ( )s adalah penduga bagi (s), maka penduga bagi λ′( )s dapat dirumuskan sebagai berikut:

(

)

(

)

, ,

' ,

ˆ ˆ

ˆ _{( )}

2

n K n n K n n K

n

s h s h

s

h

λ λ

λ = + − − (17)

(Helmers dan Mangku 2007).

Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h > 0 yang cukup kecil, maka

( )

(

) (

)

2

s h s h

s

h

λ λ

λ′ ≈ + − − .

Teorema 3 : ( Kekonsistenan dari λˆ_{n K}'_, ( )s )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0, nhn3 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (K.1)-(K.3) dan memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka

λˆ_{n K}'_, ( )s ⎯⎯p→λ′( )s , (18) jika n→∞. Dengan kata lain, λˆ_{n K}'_, ( )s adalah penduga konsisten bagi λ′( )s .

Lema 1: (Ketakbiasan Asimtotik Bagi λˆn K', ( )s )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0 , nhn ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (K.1)-(K.3) dan memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka

' ,

ˆ _{( ) ( )}

n K s s

λ λ′

Ε → , (19) jika n→∞. Dengan kata lain, λˆ_{n K}'_, ( )s adalah penduga tak bias asimtotik bagi

( )s

λ′ .

Bukti :

Untuk membuktikan (19), akan diperlihatkan bahwa

' ,

ˆ

lim _{n K}( ) ( )

n→∞Ελ s =λ′ s . (20)

Nilai harapan di ruas kiri (20) dapat dinyatakan sebagai berikut.

(

)

(

)

, ,

' ,

ˆ ˆ

ˆ _{( )}

2

n K n n K n n K

n

s h s h

s

h

λ λ

λ ⎛ + − − ⎞

Ε =Ε⎜_⎜ ⎟_⎟

⎝ ⎠

1

(

ˆ _,

(

)

ˆ _,

(

)

)

2h_n λn K s hn λn K s hn

= Ε + −Ε − . (21)

Ingat kembali persamaan (6), pernyataan ini mengakibatkan:

,

ˆ

Eλ_{n K}(s+h_n)=λ(s+h_n)+o h( _n) , (22)

jika n→∞, dan

,

ˆ

Eλn K(s h− n)=λ(s h− n)+o h( n) , (23) jika n→∞ .

Dengan Deret Taylor maka suku pertama pada (22) menjadi

(

)

( )

( )

( ) 1!

n n n

s

s h s λ h o h

λ + =λ + ′ + . (24) Dengan mensubstitusikan (24) ke (22), maka

( )

,

( ) ˆ

E ( ) ( )

1!

n K n n n

s

s h s λ h o h

λ + =λ + ′ + (25)

jika n→∞.

(

)

( )

( )

( )

1!

n n n

s

s h s λ h o h

λ − =λ − ′ + . (26) Dengan mensubstitusikan (26) ke (23), maka

( )

,

( ) ˆ

E ( ) ( )

1!

n K n n n

s

s h s λ h o h

λ − =λ − ′ + (27) jika n→∞.

Dengan mensubstitusikan (25) dan (27) ke (21), maka persamaan (21) menjadi

(

)

' ,

1 ˆ

E ( ) 2 '( ) ( ) '( ) (1)

2

n K n n

n

s s h o h s o

h

λ = λ + =λ + . (28)

jika n→∞.

Maka Lema 1 terbukti. ▄

Lema 2 : (Kekonvergenan Ragam Bagi λˆn K', ( )s )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0 dan nhn3 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K.1)-(K.3) serta memiliki nilai berhingga di sekitar s, maka

( )

ˆ

Var λ_n′( )s →0, (29) jika n→∞, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ .

Bukti :

(

'

)

,

ˆ

Var λ_{n K}( )s dapat ditentukan sebagai berikut.

(

'

)

,

(

)

,

(

)

,

ˆ ˆ

ˆ

Var ( ) Var

2

n K n n K n n K

n

s h s h

s h λ λ λ = ⎛⎜_⎜ + − − ⎞⎟_⎟ ⎝ ⎠

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

) (

)

(

)

)

, , 2

1 _{ˆ ˆ}

Var Var

4

ˆ ˆ

2Cov , .

n K n n K n

n

n n n n

s h s h

h

s h s h

λ λ

λ λ

= + + −

− + −

(30)

Ingat kembali pernyataan (3) yang mengakibatkan:

, 0 0 ( ) 1 ˆ _{( ) ( )} n n n K n

k n n

x s h k

s h K N dx

n h h

, 0 ₀ ( ) 1 ˆ _{( ) ( )} n n n K n

k n n

x s h k

s h K N dx

n h h

τ τ λ ∞ = ⎛ − − + ⎞ − = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑ ∫

.

Dari hn 0, untuk nilai n yang besar, maka selang

[

s +kτ,s+kτ +2hn

]

dan

[

s+kτ−2h s_n, +kτ

]

tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga

[

, 2 n

]

N s+kτ s+kτ+ h dan N s

[

+kτ−2h sn, +kτ

]

adalah bebas.

Dengan demikian Cov

(

λˆ_{n K,}

(

s +h_n

)

,λˆ_{n K,}

(

s−h_n

)

)

=0, sehingga (30) menjadi

(

'

)

(

(

(

)

)

(

(

)

)

)

, 2 , ,

1

ˆ ˆ ˆ

Var ( ) Var Var

4

n K n K n n K n

n

s s h s h

h

λ = λ + + λ − . (31)

Kemudian ingat kembali pernyataan (15) yang mengakibatkan:

(

)

(

)

(

)

1

2 ,

1

1 ˆ

Var _{n K n} n ( )

n n

s h

s h K x dx o

nh nh τλ λ − + ⎛ ⎞ + = _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∫

, (32) jika n→∞ dan

(

)

(

)

(

)

1

2 ,

1

1 ˆ

Var _{n K n} n ( )

n n

s h

s h K x dx o

nh nh τλ λ − − ⎛ ⎞ − = _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∫

, (33) jika n→∞.

Dengan mensubstitusikan (32) dan (32) ke (31), maka

(

'

)

(

(

) (

)

)

1 2

, 2

1

1 1

ˆ

Var ( ) ( )

4

n K n n

n n n

s s h s h K x dx o

h nh nh

τ λ λ λ − ⎛ ⎛ ⎞⎞ = _⎜⎜ + + − + _{⎜ ⎟⎟⎟} ⎝ ⎠

⎝

∫

⎠. (34)

Dengan mensubstitusikan (24) dan (26) ke (34), maka

(

'

)

(

( )

( )

)

1 2

, 2

1

1 1

ˆ

Var ( ) 2 ( )

4

n K n

n n n

s s o h K x dx o

h nh nh

τ λ λ − ⎛ ⎛ ⎞⎞ = ⎜_⎜ + + ⎜ ⎟⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝

∫

⎠

( )

1 2

3 2 3

1

1 1

( )

2 _{n n n}

s

K x dx o o

nh nh nh

τλ

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

. (35)

Maka untuk membuktikan (29) cukup ditunjukkan

( )

1 2 3 3 1 1

( ) (1)

2 _{n n}

s

K x dx o o

nh nh τλ − ⎛ ⎞ + _{⎜ ⎟}= ⎝ ⎠

∫

, (36)

jika n→∞.

Bukti Teorema 3 :

Untuk membuktikan (18), maka akan diperlihatkan untuk setiap ε > 0 berlaku Ρ

(

λˆ_{n K}'_, ( )s −λ′( )s > →ε

)

0, (37) jika n→∞.

Ruas kiri (37) dapat dinyatakan sebagai berikut:

(

'

) (

' ' '

)

, , , ,

ˆ _{( ) ( )} ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( ) ( )}

n K s s n K s n K s n K s s

λ λ′ ε λ λ λ λ′ ε

Ρ − > =Ρ −Ε + Ε − > . (38)

Dengan ketaksamaan segitiga maka persamaan (38) menjadi ≤Ρ

(

λˆ_{n K}'_, ( )s − Ελˆ_{n K}'_, ( )s + Ελˆ_{n K}'_, ( )s −λ′( )s >ε

)

(

' ' '

)

, , ,

ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ _{( ) ( )}

n K s n K s n K s s

λ λ ε λ λ′

=Ρ −Ε > − Ε − . (39)

Berdasarkan (19) yakni Ελˆ_{n K}'_, ( )s →λ′( )s , jika n→∞, maka ada N sehingga ˆ'_, ( ) ( )

2

n K s s

ε

λ λ′

Ε − ≤ , (40) untuk semua n > N.

Dengan mensubstitusikan (40) ke ruas kanan (39) maka ruas kanan (39) menjadi

' '

, ,

ˆ _{( )} ˆ _{( )}

2

n K s n K s

ε

λ λ

⎛ ⎞

≤Ρ_⎜ −Ε > _⎟

⎝ ⎠.

Kemudian dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev (Lema 8 dalam Lampiran 1), maka peluang di atas

(

'

)

, 2

ˆ 4 Var λ_{n K}( )s

ε

≤ .

Berdasarkan (29) yakni Var

(

λˆ_{n K}'_, ( )s

)

→0, jika n→∞, maka

(

'

)

, 2

ˆ 4 Var ( )

0

n K s

λ

Teorema 4 : (Kekonvergenan MSE Bagi λˆn K', ( )s )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0 dan nhn3 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (K.1)-(K.3) serta memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka

( )

ˆ ( )n 0

MSE λ ′ s → , (41) jika n→∞.

Bukti :

Berdasarkan Definisi 34 (Lihat Lampiran 1), teorema di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik bagi λˆn K'_, ( )s dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam bagi '

,

ˆ _{( )}

n K s

λ .

Karena '

,

ˆ _{( ) ( )}

n K s s

λ λ′

Ε → , yang berarti jika n→∞, maka

' ,

ˆ _{( ) ( ) 0}

n K s s

λ λ′

Ε − → , dan karena Var

(

λˆ_{n K}'_, ( )s

)

→0, akibatnya

(

)

(

(

)

)

2

(

)

' ' '

, , ,

ˆ ˆ ˆ

MSE λ_{n K}( )s = Bias λ_{n K}( )s +Var λ_{n K}( )s →0 jika n→∞. Maka Teorema 4 terbukti. ▄

3.5Perumusan Penduga Bagi λ′′( )s

Jika λˆ_{n K,} ( )s adalah penduga bagi (s), maka penduga bagi λ′′( )s dapat dirumuskan sebagai berikut:

_, ,

(

)

,

(

₂

)

,

ˆ ₂ ˆ _{2 2}ˆ _{( )}

ˆ _{( )}

4

n K n n K n n K n K

n

s h s h s

s

h

λ λ λ

λ′′ = + + − − (42)

(Helmers dan Mangku 2007).

Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h > 0 yang cukup

kecil, maka ( )

(

)

(

)

2

s h s h

s

h

λ λ

λ′′ ≈ ′ + − ′ −

(

2

) (

₂ 2

)

2 ( )

4

s h s h s

h

λ + +λ − − λ

Teorema 5 : ( Kekonsistenan dari λˆ_{n K}′′_, ( )s )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0, nhn5 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (K.1)-(K.3) serta memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka

,

ˆ _{( )} p _{( )}

n K s s

λ′′ ⎯⎯→λ′′ , (43) jika n→∞. Dengan kata lain, λˆ_{n K}′′_, ( )s adalah penduga konsisten bagi λ′′( )s .

Untuk membuktikan Teorema 5 diperlukan dua lema berikut.

Lema 3 : (Ketakbiasan Asimtotik Bagi λˆn K′′, ( )s )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0 , nhn2 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1)-(K.3) serta memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka

,

ˆ _{( ) ( )}

n K s s

λ′′ λ′′

Ε → (44) jika n→∞. Dengan kata lain, λˆ_{n K}′′_, ( )s adalah penduga tak bias asimtotik bagi

( )s

λ′′ .

Bukti :

Untuk membuktikan (44), akan diperlihatkan bahwa

,

ˆ

lim _{n K} ( ) ( )

n→ ∞Ελ′′ s =λ′′ s . (45)

Nilai harapan di ruas kiri (45) dapat dinyatakan sebagai berikut.

(

)

(

)

, , ,

, 2

ˆ ₂ ˆ _{2 2}ˆ _{( )}

ˆ _{( )}

4

n K n n K n n K n K

n

s h s h s

s

h

λ λ λ

λ′′ ⎛ + + − − ⎞

Ε =Ε⎜_⎜ ⎟_⎟

⎝ ⎠

1₂

(

ˆ

(

2

)

ˆ

(

2

)

2Eˆ _, ( )

)

4h_n λn s hn λn s hn λn K s

= Ε + + Ε − − . (46)

1

2 2 2

,

1

1 ˆ

E ( 2 ) ( 2 ) ''( 2 ) ( ) ( )

2

n K s hn s hn s h hn n x K x dx o hn

λ λ λ

−

+ = + + +

∫

+ , (47)

jika n→∞ dan

1

2 2 2

,

1

1 ˆ

E ( 2 ) ( 2 ) ''( 2 ) ( ) ( )

2

n K s hn s hn s h hn n x K x dx o hn

λ λ λ

−

− = − + −

∫

+ , (48)

jika n→∞.

Dengan Deret Taylor maka suku pertama dan kedua pada (47) menjadi

(

)

( ) ( ) 2

(

2

)

2 ( ) 2 4 4

1! 2!

n n n n

s s

s h s λ h λ h o h

λ + =λ + ′ + ′′ + (49)

(

s 2h_n

)

( )s o

( )

1

λ′′ + =λ′′ + . (50) Dengan mensubstitusikan (49) dan (50) ke (47), maka persamaan (47) menjadi

1

2 2 2 2

,

1

( ) ( ) 1

ˆ

E ( 2 ) ( ) 2 4 ''( ) ( ) ( )

1! 2! 2

n K n n n n n

s s

s h s λ h λ h s h x K x dx o h

λ λ λ

−

′ ′′

+ = + + +

∫

+

(51) jika n→∞ .

Dengan Deret Taylor maka suku pertama dan kedua pada (48) menjadi

(

)

( ) ( ) 2

(

2

)

2 ( ) 2 4 4

1! 2!

n n n n

s s

s h s λ h λ h o h

λ − =λ − ′ + ′′ + (52)

(

s 2hn

)

( )s o

( )

1

λ′′ − =λ′′ + . (53)

Dengan mensubstitusikan (52) dan (53) ke (48), maka persamaan (48) menjadi

1

2 2 2 2

,

1

( ) ( ) 1

ˆ

E ( 2 ) ( ) 2 4 ''( ) ( ) ( )

1! 2! 2

n K n n n n n

s s

s h s λ h λ h s h x K x dx o h

λ λ λ

−

′ ′′

− = − + +

∫

+

(54) jika n→∞ .

Dengan mensubstitusikan (7), (51) dan (54) ke (46), akibatnya diperoleh

( )

,

Eλ_{n K}′′ ( )=s λ′′( )+ 1s o , jika n→∞.

Lema 4 : (Kekonvergenan Ragam Bagi λˆn K′′, ( )s )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan terintegralkan lokal. Jika hn 0, nhn5 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K.1)-(K.3) serta memiliki nilai berhingga di sekitar s, maka

(

ˆ ,

)

Var λ_{n K}′′ ( )s →0, (55) jika n→∞, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ.

Bukti :

(

ˆ ,

)

Var λ_{n K}′′ ( )s dapat ditentukan sebagai berikut.

(

)

,

(

)

,

(

)

,

, 2

ˆ ₂ ˆ _{2 2}ˆ _{( )}

ˆ

Var ( ) Var

4

n K n n K n n K n K

n

s h s h s

s

h

λ λ λ

λ′′ = ⎛⎜_⎜ + + − − ⎞⎟_⎟

⎝ ⎠

1 ₄Var

(

ˆ_,

(

2

)

ˆ_,

(

2

)

2ˆ_, ( )

)

16h_n λn K s hn λn K s hn λn K s

= + + − −

1 ₄

(

Var

(

ˆ_,

(

2

)

)

Var

(

ˆ_,

(

2

)

)

4Var

(

ˆ_, ( )

)

16h_n λn K s hn λn K s hn λn K s

= + + − +

+2Cov

(

λˆ_{n K,}

(

s+2h_n

)

,λˆ_{n K,}

(

s−2h_n

)

)

(

)

( )

(

ˆ , ˆ ,

)

4Cov λ_{n K} s 2h_n ,λ_{n K} s

− +

−4Cov

(

λˆ_{n K,}

(

s −2h_n

)

,λˆ_{n K,}

( )

s

)

)

. (56) Ingat kembali pernyataan (3) yang mengakibatkan:

,

0 0

( 2 )

1

ˆ _{( 2 ) ( )}

n

n n K n

k n n

x s h k

s h K N dx

n h h

τ τ λ ∞ = ⎛ − + + ⎞ + = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑ ∫

(57) dan

,

0 0

( 2 )

1

ˆ _{( 2 ) ( )}

n

n n K n

k n n

x s h k

s h K N dx

n h h

τ τ λ ∞ = ⎛ − − + ⎞ − = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑ ∫

. (58) Dari hn 0, untuk nilai n yang besar, maka selang

[

s+kτ −h sn, +kτ+hn

]

,

[

s+kτ+h s_n, +kτ+3h_n

]

dan

[

s+kτ −3h s_n, +kτ +h_n

]

tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga N s

[

+kτ−h s_n, +kτ+h_n

]

,

[

_n, 3 _n

]

Dengan demikian Cov

(

λˆ_{n K,}

(

s+2h_n

)

,λˆ_{n K,}

(

s −2h_n

)

)