PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI
NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
JUNIAWAN PRASETYO. Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.
Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi tersebut berkembang dan menyebar disebabkan beberapa faktor antara lain kekebalan mikroorganisme dalam tubuh dari antibiotik, penyebaran mikroorganisme antar pasien, kurangnya menjaga kebersihan pada tenaga medis dan alat medis. Jika penyebab infeksi nosokomial diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov maka banyaknya infeksi nosokomial dapat dimodelkan dengan model Poisson hidden Markov. Model Poisson hidden Markov dicirikan oleh parameternya. Parameter model diduga menggunakan metode maximum likelihood dan algoritme expectation maximization. Model Poisson hidden Markov kemudian diaplikasikan pada data infeksi nosokomial untuk menduga banyaknya infeksi nosokomial yang terjadi. Untuk mempermudah proses pendugaan parameter, proses komputasi dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 10.0. Setelah penduga parameter didapatkan maka dapat dibangkitkan barisan data observasi. Diperoleh model terbaik adalah model Poisson hidden Markov 3-state dengan root mean square error .
Kata kunci: infeksi nosokomial, model Poisson hidden Markov.
ABSTRACT
JUNIAWAN PRASETYO. The Poisson Hidden Markov Modeling for Nosocomial Infection. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.
Nosocomial infections are infections from the hospital. Development and spread of the infections is caused by several factors such as the immunity of microorganisms in the body of antibiotics, the spread of microorganisms between patients, the lack of hygiene in medical personnel and medical devices. If we assume that the cause of nosocomial infection is not observed directly and form a Markov chain then the number of nosocomial infections can be modeled by a Poisson hidden Markov. Poisson hidden Markov model is characterized by its parameters. Model parameters are estimated using maximum likelihood method and the expectation maximization algorithm. Poisson hidden Markov model is then applied to the data of nosocomial infections for estimating the number of nosocomial infections that occur. To simplify the process of estimating the parameters, the computation conducted by using the software Mathematica 10.0. After the model parameters are derived, observation data can be generated. The best model obtained is 3-state Poisson hidden Markov model with root mean square error .
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI
NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial Nama : Juniawan Prasetyo
NIM : G54090059
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I
Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan kali ini, penulis juga ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak dan Ibu yang saya cintai, terima kasih atas kasih sayang, didikan, nasihat, semangat serta doa yang tiada henti-hentinya buat penulis.
2. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku pembimbing I dan Ir N K Kutha Ardhana, M.Sc selaku pembimbing II. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis.
3. Dr Ir I Endar H Nugrahani, M.S selaku dosen penguji. Terima kasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.
4. Adik Rezki M Ardiyanti dan Nurul Fiandari yang selalu memberi dukungan, doa, dan semangat kepada penulis.
5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang diberikan. 6. Seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya
dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis.
7. Keluarga besar Sosetomo dan keluarga besar Sumanto yang telah memberikan dukungan, doa, dan semangat kepada penulis.
8. Seluruh teman-teman Matematika Angkatan 46 yang. Terima kasih atas doa, semangat, dan dukungan yang diberikan kepada penulis.
9. Kakak-kakak Matematika Angkatan 45. 10.Adik-adik Matematika Angkatan 47.
Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika.
Bogor, Februari 2015
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR viii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 1
LANDASAN TEORI 2
Infeksi Nosokomial 2
Teori Peluang 2
Rantai Markov 6
Teori Pengukuran Kesalahan 8
MODEL POISSON HIDDEN MARKOV 8
Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya 8
Pendugaan Parameter 10
Algoritme Pemrograman 13
APLIKASI MODEL POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL YANG DISEBABKAN METHICILLIN-RESISTANT
STAPHYLOCOCCUS AUREUS 14
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus 14
Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov 15
Hasil Komputasi 15
SIMPULAN DAN SARAN 17
Simpulan 17
Saran 17
DAFTAR TABEL
1 Nilai loglikelihood dan nilai kesalahan berdasarkan barisan data bangkitan setiap state terhadap data observasi 16
DAFTAR GRAFIK
1 Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan 15
2 Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov
tiga state dengan data observasi 17
DAFTAR LAMPIRAN
1 Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus
beserta data dugaannya 19
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi tersebut muncul ketika seseorang yang dirawat di rumah sakit atau setelah dirawat memiliki gejala–gejala terinfeksi suatu penyakit. Secara umum infeksi nosokomial terjadi ketika seseorang yang baru masuk rumah sakit dan telah terinfeksi setelah beberapa hari dirawat di rumah sakit. Infeksi nosokomial ini dapat berasal dari tubuh pasien sendiri atau berasal dari pasien lain.
Infeksi nosokomial berkembang dari beberapa faktor. Pertama, adanya kekebalan dari mikroorganisme di dalam tubuh dari antibiotik. Dalam hal ini, bakteri resisten terhadap antibiotik yang diminum oleh pasien yang terinfeksi (Harniza 2009). Kemudian adanya penyebaran mikroorganisme antar pasien. Hal tersebut terjadi akibat adanya kontak langsung dari seorang pasien yang terinfeksi dengan dokter atau perawat kemudian dokter atau perawat tersebut kontak langsung dengan pasien yang lain sehingga pasien yang lain bisa terinfeksi. Selain itu, ada beberapa faktor yang menyebabkan seseorang terinfeksi yaitu karena faktor alat medis.
Infeksi nosokomial menyebabkan kerugian yaitu semakin memburuknya keadaan seorang pasien. Akibatnya seorang pasien harus lebih lama dirawat di rumah sakit. Oleh karena itu perlu adanya pengamatan terhadap berapa banyak mikroorganisme yang memiliki peluang untuk menginfeksi seorang pasien. Hal tersebut bertujuan untuk membantu rumah sakit dalam menanggulangi infeksi nosokomial.
Pengamatan data terhadap penularan bakteri patogen nosokomial biasanya menggunakan analisis deret waktu yang pendek dengan low numbered counts dari pasien yang terinfeksi. Namun biasanya analisis tersebut menunjukan penyebaran yang berlebihan dan autokorelasi. Selain menggunakan metode tersebut, pengamatan data bisa dilakukan dengan analisis model hidden Markov.
Analisis model hidden Markov merupakan metode baru dalam menganalisis model mekanistik dari proses epidemik. Dalam menganalisis, dibuatkan model hidden Markov yang terstruktur dengan deret waktu tertentu dari sebuah bakteri nosokomial yang diamati (Cooper et al. 2004). Kemudian melalui analisis hidden Markov, dapat diramalkan berapa banyak infeksi nosokomial yang mungkin terjadi di rumah sakit.
Tujuan Penelitian
LANDASAN TEORI
Infeksi Nosokomial
Infeksi nosokomial adalah infeksi yang berasal dari rumah sakit, yang awalnya tidak ada atau sedang mengalami masa inkubasi sebelum dirawat di rumah sakit. Infeksi nosokomial juga disebabkan oleh adanya kekebalan mikroorganisme seperti virus, jamur, dan bakteri terhadap antibiotik. Penyebaran infeksi sendiri lebih banyak terjadi di rumah sakit. Banyak kasus penyebaran infeksi nosokomial disebabkan karena penggunaaan alat-alat medis yang tidak bersih. Hal tersebut mengakibatkan infeksi lebih mudah dalam penyebarannya.
Penyebaran infeksi nosokomial berasal dari pasien yang menderita suatu penyakit. Mikroorganisme yang ada di dalam tubuh penderita menempel di alat-alat medis atau di bagian tubuh tenaga medis. Mikroorganisme yang menempel di alat-alat medis atau di bagian tubuh tenaga medis akan menempel di alat-alat makan atau pasien lain yang tidak terinfeksi sebelumnya. Selain itu, mikroorganisme juga bisa menginfeksi orang yang masih sehat.
Infeksi nosokomial akan menginfeksi seseorang dalam jangka waktu tertentu. Jika mikroorganisme yang menginfeksi termasuk kuat, maka masa inkubasinya hanya 24 jam. Tetapi dalam beberapa kasus, masa inkubasi bakteri nosokomial di dalam tubuh rata-rata mencapai 72 jam. Beberapa faktor yang membuat seseorang bisa terinfeksi atau tidak juga bisa tergantung sistem imun dari orang yang terinfeksi. Selain itu faktor lainnya adalah resistensi bakteri terhadap sistem imun dari orang yang akan terinfeksi. Jika sistem imun seseorang yang akan terinfeksi lemah dan resistensi mikroorganisme cukup kuat, maka orang tersebut bisa terinfeksi.
Beberapa kasus infeksi nosokomial terjadi di Indonesia. Infeksi nosokomial ini sering terjadi di Unit Gawat Darurat (UGD). Beberapa penyebabnya adalah penggunaan alat-alat medis yang kurang steril, tenaga medis yang kurang steril dalam melakukan pemeriksaan, bank darah yang terkontaminasi, dan lain-lain. Selain itu penyebabnya bisa dari dalam tubuh seseorang seperti kurang kuatnya sistem imun seseorang.
Teori Peluang
Definisi Percobaan Acak
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2000)
Definisi Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. (Ghahramani 2005)
Definisi Medan-σ
3 peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian B adalah
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peubah Acak
Misalkan adalah ruang peluang. Peubah acak X merupakan fungsi di mana untuk setiap . Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. (Grimmet & Stirzaker 2001)
4
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh untuk setiap . (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
5
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang maka nilai harapan dari peubah acak X adalah
Jika X adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter , maka
6
Rantai Markov
Definisi Ruang State
Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Proses Stokastik
Proses stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ke suatu ruang state S sehingga untuk setiap adalah peubah acak. Dalam hal ini, dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu k. (Ross 2000)
Definisi Rantai Markov dengan Waktu Diskret state I maka berikutnya proses akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan proses harus mengalami transisi ke suatu state, maka berlaku:
1. , untuk semua ; berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai
7 yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 2000) Definisi Berulang adalah recurrent serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga. State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 2000) Definisi Ergodik
Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. (Ross 2000)
Teorema
8
Pengukuran kesalahan pada data duga dengan menghitung rata-rata kuadrat dari perbedaan nilai estimasi dengan nilai observasi suatu variabel. Jika nilai RMSE semakin kecil maka estimasi model atau variabel tersebut semakin valid. Nilai statistik RMSE adalah
Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya
Pada bab ini akan dibahas model Poisson hidden Markov (MPHM) beserta karakteristiknya. Model Poisson hidden Markov adalah model hidden Markov dengan waktu diskret yang terdiri atas pasangan . merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu rantai Markov. Sedangkan adalah proses observasinya yang bergantung pada . Jika diasumsikan untuk setiap t, dengan diketahui adalah peubah acak Poisson, maka pasangan disebut model Poisson hidden Markov.
Karakteristik dari model Poisson hidden Markov dapat dicirikan sebagai berikut.
9 merupakan sebaran stasioner sehingga memenuhi persamaan . 4. Untuk setiap , fungsi sebaran marginal dari yaitu
Selanjutnya akan dicari nilai harapan dan ragam dari . Nilai harapan dari diberikan oleh
10
Pendugaan Parameter
Suatu barisan observasi diasumsikan dibangkitkan oleh model Poisson hidden Markov. Didefinisikan fungsi likelihood dengan parameter
sebagai berikut
Pada subbab sebelumnya telah diketahui model Poisson hidden Markov bergantung pada beberapa parameter. Parameter tersebut adalah vektor peluang state awal , matriks peluang transisi dengan dan peluang state dari proses observasinya dengan dan . Misalkan adalah vektor dari parameter yang akan diduga dengan metode maksimum likelihood dengan fungsi likelihood yang sudah didefinisikan sebelumnya dan merupakan ruang paramaternya.
Algoritma Expectation Maximization
11 1. himpunan bagian yang terbatas dari ;
2. kontinu di dan terturunkan di interior ; maksimum lokal dari fungsi likelihood. Dalam MPHM, parameter Poisson harus positif dan terbatas. Akan tetapi titik stasioner yang konvergen dalam algoritme EM belum tentu merupakan titik yang maksimum global. Maka untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global, penentuan titik awal sangatlah penting.
Algoritme Forward-Backward
Algoritme forward-backward digunakan untuk menentukan peluang munculnya barisan observasi , yaitu
Sedangkan peluang backward yang dinotasikan adalah peluang observasi parsial dan berada pada state i di waktu t, yaitu
Prosedur algoritme backward
1. Diberikan nilai awal untuk .
12
(Bukti lihat MacDonald & Zucchini 1997; Wijayanti 2010) Re-estimasi Parameter
13
Input kode untuk menentukan kelas dari proses yang lebih spesifik. Input kode untuk formula Root Mean Square Error (RMSE). Langkah 3:
Tetapkan nilai SeedRandom agar nilai tidak berubah. Bangkitkan untuk .
Masukkan nilai parameter awal untuk yaitu pada fungsi HiddenMarkovProcess yang telah ada pada perangkat lunak Mathematica 10.0. Fungsi HiddenMarkovProccess merupakan fungsi yang sudah ada di Mathematica 10.0 yang digunakan untuk memasukkan parameter awal.
Langkah 4:
Estimasi proses dari fungsi HiddenMarkovProcess yang sudah diisi dengan nilai awal parameter menggunakan fungsi EstimatedProcess yang telah ada pada perangkat lunak Mathematica 10.0. Fungsi EstimatedProcess merupakan fungsi yang sudah ada di Mathematica 10.0 yang digunakan untuk menduga
Tetapkan nilai SeedRandom agar barisan data bangkitan tetap.
14
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus
Methicilin merupakan antibiotik yang digunakan sebagai terapi pasien dengan infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus. Semakin bertambah jumlah infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus maka semakin meningkat pula penggunaan methicillin oleh pasien. Hal tersebut mengakibatkan munculnya bakteri yang resisten terhadap antibiotik methicillin.
Methicillin-resistant Staphylococcus aureus (MRSA) merupakan bakteri yang sering ditemukan pada pasien di rumah sakit. Methicillin-resistant Staphylococcus aureus merupakan bakteri primer penyebab infeksi nosokomial, terutama pada pasien usia tua yang dirawat di rumah sakit atau Intensive Care Unit (ICU). Namun beberapa dekade ini ditemukan MRSA di luar rumah sakit (comummunity-associated MRSA/CA-MRSA) dan pasien yang tidak memiliki riwayat pernah dirawat atau terpapar di unit kesehatan lain. CA-MRSA menyebabkan infeksi kulit dan jaringan lunak, pustolosis, furunkulosis, maupun abses. Laporan yang telah ditemukan mengungkapkan bahwa ada juga pasien pneumonia berat yang diakibatkan CA-MRSA. Tentunya semenjak dilaporkan kasus infeksi CA-MRSA unit pelayanan kesehatan dan rumah sakit sudah terpapar oleh bakteri ini (Harniza 2009).
MRSA sama seperti bakteri Staphylococcus yang menginfeksi pada bagian kulit dan saluran pernapasan. Pada umumnya ciri-ciri seseorang telah terinfeksi adalah munculnya benjolan yang menyerupai jerawat, bisul, atau gigitan laba-laba. Kemudian benjolan tersebut bisa menyakitkan yang membutuhkan pembedahan. Kadang-kadang infeksi juga dapat masuk ke dalam tubuh dan mengancam nyawa, misalnya menyebabkan infeksi pada tulang, sendi, luka bedah, aliran darah, katup jantung, dan paru-paru.
Cara pencegahan penularan infeksi MRSA sangat mudah. Alkohol 70% dapat efektif sebagai sanitasi pencegahan penularan infeksi MRSA. Kemudian dengan pembersihan rutin ruang-ruang rawat dengan Nonflammable Alcohol Vapor in CO2 (NAV-CO2) system yaitu zat yang sering digunakan untuk sanitasi ruangan pasien dengan MRSA. Selain itu para pengunjung juga selalu cuci tangan dengan sabun ketika pulang dari rumah sakit.
15 Antimicrobial Resistance Epidemiology) project, sebuah studi pengamatan di dalam Intensive Care Units (ICUs) dari bulan April 1998 sampai dengan Oktober 2005 (Cooper et al. 2004). Pengamatan tersebut dilakukan di 41 rumah sakit di Amerika. Tujuan dari pengamatan tersebut adalah untuk mengetahui berapa banyak pasien yang terinfeksi bakteri nosokomial per bulan.
Grafik 1 Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan
Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov
Diasumsikan kedatangan barisan data infeksi dibangkitkan berdasarkan pengaruh dari proses penyebab kejadian yang membentuk rantai Markov dan tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya infeksi nosokomial di rumah sakit diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov
Dari algoritme pemrograman dibuat program komputasi dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica 10.0.
16
Tabel 1 Nilai loglikelihood dan nilai kesalahanberdasarkan barisan data bangkitan setiap state terhadap data observasi
di mana merupakan peluang penyebab infeksi nosokomial. Dapat dilihat peluang infeksi setelah datangnya infeksi yang disebabkan oleh state 1 akan kembali terjadi lagi oleh penyebab state 1 sebesar . Terdapat peluang bahwa akan terjadi infeksi yang disebabkan pada state 2 setelah terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 1 dan seterusnya hingga peluang akan terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 3 setelah terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 3.
Berdasarkan matriks peluang transisi yang didapat setelah proses estimasi, peluang vektor awal yang memenuhi syarat , yaitu:
Vektor penduga parameter Poisson yang didapat dari proses estimasi, yaitu: , telah dibangkitkan barisan data berdasarkan proses estimasi yang dapat dilihat pada Gambar 2. Dari Gambar 2 dapat dilihat infeksi terbanyak adalah lima infeksi per bulan pada bulan ke-41 dan bulan ke-42. Untuk paling sedikit infeksi adalah nol atau tidak ada infeksi per bulan. Rata-rata terjadinya infeksi nosokomial pada data dugaan adalah per bulan. Dari Gambar 2 dilihat beberapa bulan tidak terdapat infeksi nosokomial. Hal tersebut sama dengan data observasinya yang terdapat beberapa bulan tidak ada infeksi nosokomial.
Loglikelihood RMSE
1 -121.521 1.5239
2 -97.8056 1.3663
3 -95.3273 1.2953
17
Grafik 2 Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov tiga state dengan data observasi
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model Poisson hidden Markov digunakan untuk memodelkan banyaknya infeksi nosokomial yang terjadi pada 41 rumah sakit di Amerika per bulan dari April 1998 sampai dengan Oktober 2005. Berdasarkan pengukuran kesalahan dari RMSEdiperoleh model Poisson hidden Markov yang terbaik adalah 3 state. Nilai kesalahan berdasarkan RMSE yang didapat adalah . Dari data dugaan didapat infeksi terbanyak adalah 5 infeksi per bulan dan paling terkecil adalah tidak terjadi infeksi. Rata-rata infeksi nosokomial per bulan pada data dugaan adalah per bulan.
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
Basawa IV, Rao BLSP. 1980. Statistical Inference for Stochastic Processes. London: Academic Press.
Cooper B, Lipsitch M. 2004. The Analysis of hospital infection data using hidden Markov models. Biostatistics, 5:223-237.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed ke-2. New Jersey: Prentice Hall.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: Clarendon Press.
Gustra H. 2014. Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson Hidden Markov untuk Data Overdispersi. [Skripsi] IPB.
Harniza Y. 2009. Pola Resistensi Bakteri yang Diisolasi dari Bangsal Bedah Rumah Sakit Umum Pusat Nasional Cipto Mangunkusumo pada Tahun 2003-2006. [Skripsi] Universitas Indonesia.
Hyndman RJ, Koehler AB. 2006. Another look at measures of forecast accuracy. International Journal of Forecasting, 22:679-688.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2013. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey.
MacDonald IL, Zucchini W. 1997. Hidden Markov and Other Models for Discrete-valued Time Series. London: Chapman & Hall.
Paroli R, Redaelli G, Spezia L. 2000. Poisson hidden Markov models for time series of overdispersed insurance counts. Astin Colloquium: 461-474.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York: John Wiley & Sons. Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed ke-7. Burlington:
Academic Press.
19 Lampiran 1 Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus
beserta data dugaannya
Bulan ke Data Observasi Data Dugaan Bulan ke Data Observasi Data Dugaan
20
Bulan ke Data Observasi Data Dugaan Bulan ke Data Observasi Data Dugaan
79 0 0 85 2 0
80 2 0 86 0 0
81 0 1 87 0 0
82 1 0 88 0 0
83 1 0 89 0 0
84 0 0 90 1 0
Dari data tersebut didapat dan . Dari kedua hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa data tersebut overdispersi. Kemudian yang berlabel warna kuning merupakan perbedaan nilai antara data observasi dengan data dugaan.
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Gunung Kidul pada tanggal 4 Juni 1991 dari ayah Subardiyono dan ibu Sugiyanti. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam. Penulis adalah putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri 01 Pondok Jaya Tangerang Selatan, tahun 2006 penulis lulus dari SMP Negeri 12 Tangerang Selatan dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Tangerang Selatan. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika FMIPA IPB.
