Kajian Pengaruh Panjang Interval Kategori pada Penyebaran Data Acak Berdistribusi Seragam

(1)

KAJIAN PENGARUH PANJANG INTERVAL

KATEGORI PADA PENYEBARAN DATA

ACAK BERDISTRIBUSI SERAGAM

SKRIPSI

OKA ARIYANTO

120803066

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS

SUMATERA

UTARA

(2)

KAJIAN PENGARUH PANJANG INTERVAL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar

Sarjana Sains

OKA ARIYANTO

120803066

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul

: Kajian Pengaruh Panjang Interval Kategori Pada

Penyebaran Data Acak Berdistribusi Seragam

Kategori

: Skripsi

Nama

: Oka Ariyanto

Nomor Induk Mahasiswa

: 120803066

Program Studi

: Sarjana (S1) Matematika

Departemen

: Matematika

Fakultas

: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, Juni 2016

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2,

Pembimbing 1,

Drs. Henry Rani Sitepu, M.S

Dr. Esther SM Nababan, M.Sc

NIP.

19530303 198303 1 002

NIP. 19610318 198711 2 001

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

(4)

PERNYATAAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Mei 2016

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha

Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan

penyusunan skripsi ini dengan judul Kajian Pengaruh Panjang Interval Kategori

Pada Penyebaran Data Acak Berdistribusi Seragam

Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Esther SM Nababan,

M.Sc. dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.S. selaku pembimbing yang telah

memberikan bimbingan dan telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi

ini. Bapak Dr. Open Darniu, M.Sc. dan Bapak Dr. Suyanto, M.Kom. selaku

penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam

penyempurnaan skripsi ini. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Ketua dan Sekretaris

Departemen Matematika Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr.

Mardiningsih, M.Si. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan

Departemen Matematika, serta seluruh sivitas akademika di lingkungan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada kedua orang tua penulis

Ayahanda M.Safei dan Ibunda Desmul Yetri yang selalu mendoakan, memberi

semangat dan bantuan baik secara moril maupun material kepada penulis sejak

awal perkuliahan hingga selesai skripsi ini. Kepada saudara-saudara penulis yaitu

Jul Andri dan Hengki Saputra dan seluruh keluarga besar yang terus mendukung

dan mendoakan penulis.

Terima kasih kepada sahabat-sahabat penulis, Anak Jendral 2012, abang

dan kakak stambuk 2011, adik stambuk 2013, adik stambuk 2014,

adik-adik stambuk 2015, rekan-rekan di Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA

USU dan kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan dorongan yang

tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga segala bentuk bantuan yang telah

diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yang

Maha Esa.

Medan, Mei 2016

Penulis

(6)

ACAK BERDISTRIBUSI SERAGAM

ABSTRAK

Bilagan acak terdiri dari barisan bilangan rill atau barisan bilangan bulat dengan

variasi nilai yang bersifat acak dalam satu interval nilai tertentu. Bilangan acak

baku disajikan dalam bentuk bilangan rill dengan interval nilai mulai dari 0

hingga 1. Bilangan acak sering digunakan dalam simulasi. Dalam tulisan ini akan

dibahas pengaruh panjang interval kategori pada bilangan acak yang dihasilkan

dari aplikasi Ms Excel. Data acak akan dikelompokkan dalam panjang interval

yang berbeda-beda kemudian dilakukan uji frekuensi dengan menggunakan uji

Chi Square

.

(7)

STUDY OF INFLUENCE OF THE INTERVAL LENGTH

CATEGORY AT THE SPREAD UNIFORMLY

DISTRIBUTED RANDOM DATA

ABSTRACT

Consists of a random number sequence number of rill or sequence of integers with

values from random variation within a certain interval of values. Raw random

numbers is presented as a number of rill with interval values ranging from 0 to 1.

The random number is often used in the simulation. In this paper will discuss the

influence of the interval length in the category of random numbers generated from

MS Excel application. Random data will be grouped in long intervals varying

frequency and then test using Chi Square test

.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan

i

Pernyataan

ii

Penghargaan

iii

Abstrak

iv

Abstract

v

Daftar Isi

vi

Daftar Tabel

viii

Daftar Gambar

ix

Daftar Singkatan

x

Daftar Lampiran

xi

Bab 1. Pendahuluan

1.1. Latar Belakang

1

1.2. Perumusan Masalah

2

1.3. Batasan Masalah

2

1.4. Tinjauan Pustaka

3

1.5. Tujuan Penelitian

4

1.6. Kontribusi Penelitian

4

1.7. Kerangka Pemikiran

5

1.8. Metodologi Penelitian

6

Bab 2. Landasan Teori

2.1. Pembentuk Bilangan Acak

7

2.1.1. Deskripsi Bilangan Acak

8

2.1.2. Penyelesaian Generator Bilangan Acak

9

2.2. Uji Statistik

11

2.2.1. Uji

Chi Square

11

Bab 3. Pembahasan

3.1. Bilangan Acak

14

3.2. Uji Statistik

14

3.3. Langkah Penyelesaian

14

3.4. Ilustrasi Numerik

15

3.4.1 Menghasilkan Bilangan Acak

15

3.4.2 Replika Bilangan Acak

15

3.4.3 Mengelompokkan Data

15

3.4.4 Uji Statistik dengan Uji

Chi Square

16

3.4.5 Standar Deviasi

16

3.5. Pembahasan

17

3.5.1 Jumlah Bilangan Acak N=100

21

3.5.2 Jumlah Bilangan Acak N=500

27

(9)

3.6.1 Simulasi untuk Harga Jual $100 per unit

38

3.6.2 Simulasi untuk Harga jual $150 per unit

38

3.6.3 Simulasi untuk Harga Jual $200 per unit

39

Bab 4. Kesimpulan dan Saran

41

4.1. Kesimpulan

41

4.2. Saran

41

Daftar Pustaka

43

(10)

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

Tabel

Tabel 3.1. Nilai

dengan L Bervariasi untuk N=100

17

Tabel 3.2. Nilai

dengan L Bervariasi untuk N=500

19

Tabel 3.3.

dan

tabel

, L = 0.04

21

Tabel 3.4.

dan

tabel

, L = 0.05

22

Tabel 3.5.

dan

tabel

, L = 0.1

23

Tabel 3.6.

dan

tabel

, L = 0.2

24

Tabel 3.7.

dan

tabel

, L = 0.25

25

Tabel 3.8.

dan

tabel

, L = 0.5

26

Tabel 3.9.

dan

tabel

, L = 0.004

27

Tabel 3.10.

dan

tabel

, L = 0.01

28

Tabel 3.11.

dan

tabel

, L = 0.02

29

Tabel 3.12.

dan

tabel

, L = 0.04

30

Tabel 3.13.

dan

tabel

, L = 0.05

31

Tabel 3.14.

dan

tabel

, L = 0.1

32

Tabel 3.15.

dan

tabel

, L = 0.2

33

(11)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul

Halaman

Gambar

Gambar 3.1. Perbandingan

untuk

N= 100

18

untuk

N= 100

20

dan

tabel

, L = 0.04

21

dan

tabel

, L= 0.05

22

Gambar 3.5. Perbandingan

dan

tabel

, L= 0.1

23

dan

tabel

, L= 0.2 24

dan

tabel

, L= 0.25 25

dan

tabel

, L= 0.5

26

dan

tabel

, L= 0.004

27

dan

tabel

, L= 0.01

28

dan

tabel

, L= 0.02

29

dan

tabel

, L= 0.04 30

dan

tabel

, L= 0.05

31

dan

tabel

, L= 0.1

32

dan

tabel

, L= 0.2

33

Gambar 3.16. Perbandingan

dan

tabel

, L= 0.5

34

(12)

DAFTAR SINGKATAN

RN

= Random Number

RNG = Random Number Generator

R0

= Data Acak Asli

(13)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul

Halaman

Lamp

1.

Tabel Chi Square

36

2.

Tabel Bilangan acak N=100

39

3.

Tabel Bilangan Acak N=500

44

4.

Pengelompokan Data N=100

65

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1.

Latar Belakang

Suatu permasalahan yang kompleks di dunia nyata, dapat dipandang sebagai

sebuah sistem. Sistem dapat didefinisikan sebagai gabungan atau himpunan dari

berbagai jenis objek selaku komponen-komponen dalam suatu kesatuan atau

perpaduan berdasarkan hubungan interaksi (Humala, 2009). Kinerja sebuah sistem

dapat dianalisis dan dievaluasi dengan simulasi. Pada masa yang akan datang,

simulasi akan banyak digunakan untuk menilai kinerja suatu sistem. Simulasi

merupakan suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau menguraikan

persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan ketidakpastian

dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan lebih ditekankan

pada pemakaian komputer untuk medapatakan solusinya (Thomas, 2004).

Simulasi dapat dibedakan berdasarkan keadaan antara deterministik

dengan stokastik. Simulasi deterministik mencakup variabel dan parameter tetap

dan diketahui secara pasti. Simulasi stokastik (

probabilistic

) berkaitan dengan

distribusi peluang dari beberapa atau semua variabel dan parameter. Simulasi

probabilistik memuat keajadian-kejadian acak, distribusi peluang yang urutan

pelaksanaan simulasi berintikan percobaan statistik, membuat

kesimpulan-kesimpulan sesuai dengan statistik (Siagian, 2006).

Simulasi probabilistik atau disebut juga simulasi Monte Carlo merujuk

pada penggunaan model matematika untuk mempelajari sistem yang dicirikan

oleh munculnya kejadian diskrit dan acak. Bilangan acak dapat dihasilkan melalui

program aplikasi seperti Fortran, Basic, PL/1 dan MS Excell untuk bilangan acak

berdisribusi seragam. (Gottfried, 1992; KIM, 2003).

Keacakan suatu barisan data dapat dilihat dari berbagai sisi, antara lain

dari sisi frekuensi kemunculan data pada setiap kelas interval, variasi jarak antara

data yang satu terhadap data berikutnya dan pola maju mundur atau naik turunnya

(15)

2

frekuensi, uji baris (

serial test

), uji poker (

poker test

), uji jarak (

gap test

) dan uji

pola naik turun (

increasing and decreasing run

) (Gottfried, 1992).

Pemilihan salah satu metode untuk uji keacakan sangat bergantung pada

permasalahan yang memerlukan data acak. Misalnya, apabila diperlukan data acak

yang berdistribusi seragam maka cukup dilakukan uji frekuensi untuk menguji

keacakan. Pada umumnya uji keacakan hanya dilakukan dengan menggunakan

salah satu alat uji saja tanpa melakukan uji keacakan lainnya.

Pengertian distribusi berhubungan dengan distribusi probabilitas yang

digunakan untuk meninjau atau terlibat langsung dalam pengadaan bilangan acak

tersebut. Sedangkan, seragam (

uniform

) merupakan distribusi probabilitas yang

sama untuk semua besaran yang diambil atau dikeluarkan. Ini berarti

probabilitasnya diusahakan sama untuk setiap pengadaan bilangan acak tersebut

(Thomas, 2004).

Dalam penelitian ini akan dianalisis keacakan suatu barisan data yang

dihasilkan dari

pseudorandom generator

. Keacakan data akan diuji dari sisi uji

frekuensi setelah dikelompokkan dalam panjang interval yang berbeda-beda untuk

mendapatkan gambaran tingkat keacakan yang dihasilkan oleh alat uji keacakan

tersebut

.

1.2.

Perumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan penulis teliti adalah bagaimana pengaruh panjang

interval kategori terhadap penyebaran data acak berdistribusi seragam.

1.3.

Batasan Masalah

Dalam penulisan skripsi ini, penulis memberikan batasan masalah yaitu:

1. Data yang digunakan adalah data bilangan acak yang di hasilkan dari

(16)

3

2. Bilangan acak yang dihasilkan Ms.Excel bernilai enam desimal.

3. Hasil perhitungan statistik bernilai dua desimal.

1.4.

Tinjauan Pustaka

Bilangan acak merupakan bilangan yang terdiri dari barisan bilangan ril atau

barisan bilangan bulat dengan variasi nilai yang bersifat acak dalam satu interval

nilai tertentu (Humala, 2009).

Konsep keacakan bilangan acak telah terabaikan dalam literatur kajian filsafat.

Jika para filsuf membicarakan mengenai keacakan, biasanya para filsuf tersebut

setuju dengan konsep dasar mengenai keacakan. Data hasil simulasi telah

mengabaikan karakter statistik dari keacakan data pada aplikasi simulasi stokastik.

50% dari seluruh publikasi mengenai studi simulasi, hanya 23 % saja dari hasil

simulasi merupakan informasi yang kredibel yang menyertakan analisis statistik

atas hasil simulasi (Palikowski dkk., 2000).

Bilangan acak dari distribusi pada komputer digital biasanya membutuhkan

satu atau lebih sampel acak yang seragam antara 0 dan 1 dan kemudian mengubah

sampel seragam menjadi sampel baru dari distribusi yang diinginkan. Sampel

independen yang seragam terdistribusi pada interval 0 sampai 1 disebut bilangan

acak (Pritsker dan alan, 1986).

Sepanjang sejarah penghasil bilangan acak, terdapat barisan bilangan acak

yang diperoleh dari beberapa sumber bilangan acak ‘

pseudorandom generator’

,

setelah diuji keacakannya menunjukkan bahwa barisan bilangan acak yang

dihasilkan ternyata sangat tidak acak, bergantung dari jenis uji keacakan tertentu

(Goldreigh, 2008).

Penyimpangan statistik (

statistical errors

) pada hasil simulasi secara umum

diukur dengan selang interval ekspektasi yang berisi nilai yang tidak diharapkan.

Probabilitas diketahui sebagai level kepercayaan. Dalam implementasinya pada

(17)

4

seiringan dengan jumlah data yang dikoleksi. Untuk mengatasi hal ini terdapat

dua skenario. Skenario pertama adalah dengan menambah panjang percobaan

simulasi sebagai parameter input pada model. Metode ini merdasarkan pada

argumentasi bahwa semakin banyak jumlah simulasi yang dilakukan maka

semakin baik hasilnya, dan error statistik yang terjadi merupakan faktor

kebetulan. Meskipun konsep metode ini digunakan secara luas, metode ini tidak

lagi merupakan metode yang dapat diterima untuk pengajaran :

.... no procedure

in which the run length is fixed before the simulation begins can be relied upon to

produce a confidence interval that covers the theoretical value with the desired

probability

.. (Law and Kelton , 2000).

(Eagle, 2005) menyarankan agar konsep keacakan dipahami sebagai kasus

khusus dari konsep epistemology dari suatu proses yang tak dapat diprediksi.

Eagle memberikan penjelasan tentang konsep keacakan secara intuitive,

sedikitnya menyarankan bahwa pemahaman akan keacakan yang telah ada selama

ini tidak lagi sepenuhnya benar, diperlukan lebih dalam pemahaman dan kajian

filosofis mengenai keacakan ini. Sepanjang sejarah penghasil bilangan acak,

terdapat barisan bilangan acak yang diperoleh dari beberapa sumber bilangan acak

‘

pseudorandom generator

’, setelah diuji keacakannya menunjukkan bahwa

barisan bilangan acak yang dihasilkan ternyata sangattidak acak, bergantung dari

jenis uji keacakan tertentu. (Goldreigh, 2008)

Hull dan Dobell mengatakan dapat menjamin kesesuaian barisan bilangan

yang terbatas secara umum, mengingat satu himpunanan tes akan selalu ada

barisan bilangan yang melewati tes ini, tetapi yang benar-benar diterima untuk

beberapa aplikasi tertentu (Pritske dan Allan, 1986).

1.5.

Tujuan Penulisan

Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan uji statistik panjang interval data

(18)

5

1.6.

Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mendapatkan gambaran pengaruh dari panjang interval suatu barisan bilangan

acak terhadap hasil simulasi dan penyimpangan atau standar deviasi yang

terjadi.

2. Sebagai bahan referensi dalam menambah wawasan penulis dan pembaca

dalam bidang statistika yang berhubungan dengan pembahasan simulasi

menggunakan bilangan acak berdistribusi seragam.

3. Sebagai informasi bagi penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan

(19)

6

1.7.

Kerangka Pemikiran

Studi literatur tentang simulasi

dan bilangan acak

pseudorandom

Membangkitkan bilangan acak

dengan Ms. Excel (sebanyak 100

dan 500 bilangan acak)

Melakukan replika bilangan acak

(10x Replika)

Penyimpangan statistik

Uji statistik (Chi square)

Analisis uji statistik dan

penyimpangan statistik

(20)

7

1.8.

Metodologi Penelitian

Penelitian yang penulis lakukan adalah penelitian literatur yang disusun dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1.

Mencari literatur dari beberapa buku dan jurnal yang berhubungan dengan

bilangan acak dan uji statistik .

2.

Menjelaskan definisi bilangan acak, pembangkit bilangan acak dan uji

Chi

Square.

3.

Menghasilkan bilangan acak dari aplikasi Ms Excel .

4.

Mengelompokkan bilangan acak dengan panjang interval yang berbeda-beda

dan melakukan uji statistik (U

ji Square

).

5.

Menyimpulkan hasil dan informasi dari proses uji statistik yang telah

(21)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1.

Pembentuk Bilangan Acak

Pembentuk bilangan acak adalah suatu algoritma yang digunakan untuk

menghasilkan urutan-urutan dari angka-angka sebagai hasil perhitungan dengan

komputer yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut muncul

secara acak (Thomas, 2004)

Urutan bilangan acak dapat dikembangkan dengan menggunakan cara

manual (seperti: roulette, kotak dadu dan lain sebagainya) dan dengan

menggunakan komputer. Proses pembentukan bilangan acak dengan komputer

mencakup penggunaan hubungan rekursif, yaitu aturan yang membawa satu

bilangan acak kepada yang lain di dalam urutan. Hubungan rekursif secara khusus

bekerja dengan bilangan cacah yang dibagi oleh suatu konstanta yang besar

(modulo) untuk menghasilkan bilangan acak dari 0 hingga 1. Bilangan acak yang

dihasilkan dengan hubungan rekursif disebut

pseudorandom number

(bilangan

acak yang salah atau pura-pura), sedangkan bilangan yang dihasilkan manual

disebut bilangan acak yang sebenarnya. Meskipun demikian, dalam praktek

bilangan psedorandom

sudah dapat digunakan sebagai bilangan acak (Siagian,

2006).

Pembentuk bilangan acak pada komputer terdapat dalam bentuk prosedur

yang dapat dieksekusi secara berulang-ulang dan terus-menerus. Satu putaran

pembangkit ibarat satu kali eksekusi formula pembangkit bilangan untuk

menghasilkan satu bilangan acak (Humala, 2009).

2.1.1. Deskripsi Bilangan Acak

Dalam penentuan bilangan acak pada umumnya terdapat beberapa sumber yang

digunakan, antara lain (Thomas, 2004):

(22)

9

b. Bilangan acak elektronik

c. Pembangkit bilangan acak

congruential pseudorandom

.

Pembangkit bilangan acak ini terdiri dari tiga bagian:

•

Pembangkit bilangan acak

Additive Random Number Generator

•

Multiplicative Random Number

Generator

•

Mixed Conruential Random Number

Generator.

Sifat-sifat pembangkit bilangan acak (Thomas, 2004):

1. Independen

Masing-masing komponen atau variabel-variabelnya harus bebas dari

ketentuan-ketentuan tersendiri.

2. Seragam

Merupakan suatu distribusi yang umum yaitu probabilitas yang sama

untuk semua besaran yang dikeluarkan.

3. Dense

Merupakan maksud dari

Density

Probabilitas, distribusi yang harus

mengikuti syarat probabilitas yaitu terletak antara 0 dan 1. Angka-angka

yang dibutuhkan dari pembangkit bilangan acak dan dibuat sedimikian

rupa sehingga

R.N

4. Efisien

Penarikan bilangan acak harus dapat menentukan angka-angka untuk

variabelnya yang sesuai sehingga dapat berjalan terus menerus.

Sifat-sifat pembangkit bilangan acak (Pritsker dan Alan, 1986) adalah :

1. Bilangan harus berdistribusi seragam pada interval (0,1).

2. Bilangan harus independen, tidak ada korelasi antara urutan dari bilangan

acak tersebut.

3. Banyak angka harus dibangkitkan sebelum bilangan yang sama diperoleh.

Ini disebut sebagai periode atau panjang siklus dari pembangkit bilangan.

(23)

10

5. Pembangkit bilangan harus cepat karena banyak bilangan yang diperlukan

dalam simulasi.

6. Persyaratan penyimpanan yang rendah lebih disukai.

Suatu metode yang digunakan untuk pembangkit bilangan acak dapat diterima

jika menghasilkan urutan bilangan yang (Bulgren dkk, 1982):

1. Berdistribusi seragam.

2. Independen secara statistik.

3. Direproduksi.

4. Tidak berulang untuk panjang yang diinginkan.

5. Mampu menghasilkan bilangan acak pada tingkat kecepatan tinggi

membutuhkan kapasistas komputer yang sedikit.

2.1.3. Penyelesaian Generator Bilangan Acak

Pada pembangkit bilangan acak

Conruential Pseudorandom

dapat dijelaskan

untuk masing-masing formula atau rumus sebagai berikut(Thomas, 2004):

1.

Additive/arithmetic

RNG

Dengan catatan:

= bilangan acak yang baru

= bilangan acak yang lama

= bilanga n konstanta yang bersyarat

= bilangan modulo

Untuk metode ini diperlukan perhatian untuk syarat-syaratnya sebagai

berikut:

a. Kontstan a harus lebih besar dari

.

(24)

11

b. Untuk konstanta c, harus berangka ganjil apabila m bernilai

pangkat dua. Tidak boleh nilai berkelipatan dari m

c. Untuk modulo m harus bilangan prima atau bilangan tidak

terbagikan, sehingga memudahkan dan memperlancar perhitungan

di dalam komputer.

d. Untuk pertama Z

0

harus merupakan bilangan bulat, ganjil dan

cukup besar.

2.

Multiplicative

RNG

Dengan catatan:

= bilangan acak semula

= bilangan acak yang baru

=

Dalam perumusan metode ini terdapat tiga variabel yang menentukan

umtuk nilai-nilai bilangan acak yang dapat diperoleh seterusnya dengan

tidak ada pengulangan pada angka-angkanya. Untuk pemilihan nilai-nilai

terbaik djiabarkan sebagai berikut:

a. Pemilihan nilai m merupakan satu bilangan bulat yang cukup

besar.

b. Pemilihan kontanta a harus bilangan prima terhadap m. Nilai a juga

harus ganjil. Pemilihan terbaik adalah dengan rumus

yang lebih mendekat pada ketepatan.

c. Untuk nilai Z

0

mengharusakan prima relatif terhadap m.

d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m

dan ganjil.

3.

Mixed Pseudo

RNG

(25)

12

Rumus ini dengan syarat utama n harus sejumlah bilangan bulat dan lebih

besar dari nol, rumus ini dikenla juga dengan

“Linier Congruential

Random Number Generator”.

a.

Apabila nilai c = 0 maka akan diperoleh rumus

Multiplicative

Congruen.

b. Beberapa syarat

Mixed Conruential Generator

menurut teorema

dari Hull dan Dobell pada tahun 1962 (Averil M Law, 1991):

1. Pembagi umum yang terbesar dari c dan m adalah satu.

2. Jika q adalah bilangan prima (dibagi oleh hanya dirinya sendiri

dan 1) yang membagi m, maka q membagi 1.

Jika 4 membagi m, maka 4 dibagi a-1.

2.2.

Uji Statistik

Terdapat beberapa alat uji statistik untuk menguji tingkat keacakan data dari

urutan bilangan acak

pseudorandom

. Dari sekian banyak uji statistik yang ada, uji

statistik yang sering digunakan adalah statistic

Chi-Square.

2.2.1 Uji

Chi Square

Uji Square

atau uji keselarasan

(goodness of fit)

pertama kali diperkenalkan oleh

Kral Pearson pada tahun 1900 (Sihono, 2001).

Chi Square

adalah teknik analisis

statistik untuk mengetahui signifikansi perbedaan antara proporsi (dan atau

probabilitas) subjek atau objek penelitian yang datanya telah dikategorikan

(Bambang Soepeno,2002).

Maksud dan tujuan dari pengujian dengan menggunakan uji

Chi Square

adalah membandingkan antara fakta yang diperoleh berdasarkan hasil observasi

dan fakta yang didasarkan secara teoritis (yang diharapkan). Hal ini sejalan

dengan konsep kenyataan yang sering terjadi, bahwa hasil observasi biasanya

(26)

13

berdasarkan konsep dari teorinya sesuai dengan aturan-aturan teori kemungkinan

atau teori probabilitasnya (Andi Supangat, 2007).

Ada beberapa persyaratan dalam penggunaan teknik analisis

Chi Square

yang harus dipenuhi, di samping berpijak pada frekuensi data kategori yang

terpisah secara

mutual excluve

, persyaratan lain adalah sebagai berikut (Bambang

Soepeno, 2002):

1. Frekuensi tidak boleh kurang dari lima. Jika ini terjadi harus dikoreksi

dengan

Yates’s correction.

2. Jumlah frekuensi observasi dan frekuensi yang diharapkan harus sama.

3. Dalam fungsinya sebagai pengujian hipotesis mengenai korelasi antara

variabel,

Chi Square

hanya dapat dipakai untuk mengetahui ada atau

tidaknnya korelasi, bukan besar kecilnya korelasi.

Prosedur uji

Chi-Square

(Ahmad Noer, 2004):

1. Pernyataan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

Dalam uji keselarasan fungsi, hipotesis nolnya adalah populasi yang

sedang dikaji memenuhi atau selaras dengan suatu pola distribusi

probabilitas yang ditentukan. Sedangkan hipotesis alternatifnya adalah

populasi tidak memenuhi distribusi yang ditentukan tersebut.

2. Pemilihan Tingkat Kepentingan

(Level of Significance)

Biasanya digunakan tingkat kepentingan 0.01 atau 0.05.

3. Penentuan Distribusi Pengujian yang Digunakan

Dalam uji yang digunakan adalah distribusi probabilitas

Chi Square

.

Nilai-nilai dari distribusi

Chi Square

telah disajikan dalam bentuk

tabel (terlampir), yang dapat ditentukan dengan mengetahui tiga hal:

•

Tingkat kepentingan

(level of significance)

•

Derajat kebebasan fungsi : df = v = k-1, di mana k adalah

jumlah

outcome

atau observasi yang mungkin dalam sampel

4. Pendefinisian Daerah-daerah Penolakan atau Kritis

Daerah penerimaan dan penolakan dibatasi oleh nilai kritis

"

.

5. Pernyataan Aturan Keputusan

(Decision Rule)

Tolak H

0

dan terima H

1

jika

Chi Square

hitung >

Chi Square

tabel.

(27)

14

6. Perhitungan Rasio Uji

Rumus yang digunakan untuk menghitung rasio uji (nilai

"

) adalah

"

# $

$

# $

$

%

# $

$

&

# $

$

'

(

Dengan catatan:

#

= frekuensi sampel bilangan acak

$

= frekuensi harapan menurut pola distribusi seragam

7. Pengambilan Keputusan secara Statistik

Jika nilai rasio uji berada didaerah penerimaan maka hipotesisi nol

diterima, sedangkan jika berada didaerah penolakan maka hipotesis nol

ditolak.

2.3.

Distribusi Seragam

Distribusi seragam merupakan sebaran peluang yang paling sederhana

antara sebaran-sebaran lainnya. Meskipun dalam penerapananya terbatas, namun

mempunyai arti penting terutama sebagai penghampir sebaran-sebaran yang lain

yang tidak diketahui atau sebagai pembangkit sebarah lain dalam simulasi

komputer. Dalam sebaran ini setiap nilai peubah acak mempunyai peluang yang

sama untuk terjadi.

Distrubusi seragam diskrit atau sebaran seragam diskrit didefinisikan bila

peubah acak X mempunyai nilai

) * ) * + * )

'

*

dengan peluang yang sama, maka

sebaran seragam diskrit didefinisikan sebagai berikut (Sihono Dwi Waluyo,

2001):

, )

'

*

untuk

) ) * ) * + * )

'

(28)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1.

Bilangan Acak

Bilagan acak terdiri dari barisan bilangan rill atau barisan bilangan bulat dengan

variasi nilai yang bersifat acak dalam satu interval nilai tertentu. Bilangan acak

baku biasanya disajikan dalam bentuk bilangan rill dengan interval nilai mulai

dari 0 hingga 1. Penyajian bilangan acak dalam bentuk rill dengan tingkat

ketelitian tertentu sesuai dengan jumlah digit angka pembentuk bilangan pecahan

biasanya disesuaikan dengan tujuan penggunaannya sebagai bilangan yang

menyatakan nilai peluang antara 0 sampai dengan 1. Bilangan acak yang sering

digunakan pada simulasi adalah bilangan acak rill dengan presisi 0.0001 dalam

rentang nilai mulai dari 0 hingga 1 (Humala, 2009).

3.2.

Uji Statistik

Terdapat beberapa alat uji statistik untuk menguji tingkat keacakan data dari

urutan bilangan acak pseudorandom. Dari sekian banyak uji statistik yang ada, uji

statistik yang sering digunakan adalah statistik

Chi-Square

. Dalam uji ini, yang

diuji adalah hipotesa bahwa hasil observasi dapat diwakili sebagai bilangan acak

yang benar-benar acak.

3.3.

Langkah Penyelesaian

Langkah-langkah yang dilakukan adalah:

1. Bilangan acak diperoleh dari aplikasi Ms.Excel.

(29)

3. Semua bilangan acak kemudian dikelompokkan dalam beberapa kelompok

data yang masing-masing kelompok data mempunyai panjang interval

yang berbeda-beda.

4. Dari hasil pengelompokan data pada langkah 3 kemudian dihitung nilai

Chi Square

pada setiap kelompok data.

5. Pada langkah ini, setiap kelompok data dihitung nilai standar deviasinya.

3.4.

Ilustrasi Numerik

3.4.1. Menghasilkan Bilangan Acak

Bilangan acak dimunculkan dari program aplikasi Ms.Excel sebanyak 100 buah

bilangan dan 500 buah bilangan acak. Bilangan acak yang diperoleh berjumlah

enam decimal.. Bilangan berkisar antara 0 sampai dengan 1 (lampiran 2 dan 3)

3.4.2. Replika Bilangan Acak

Bilangan acak yang telah diperoleh, direplika sebanyak 10 kali replika (lampiran 2

dan 3).

3.4.3. Mengelompokkan Data

Untuk masing-masing replika bilangan acak, akan dikelompokkan ke dalam

beberapa kelompok data yang masing-masing kelompok data mempunyai panjang

interval yang berbeda-beda. Untuk jumlah bilangan acak 100 data, terdapat enam

kelompok data dengan panjang interval masing-masing kelompok data adalah

0.04, 0.05, 0.1, 0.2, 0.25 dan 0,5 (lampiran 4). Sedangkan untuk jumlah data 500

data, dibentuk delapan buah kelompok data yang masing-masing kelompok data

mempunyai panjang interval 0.004, 0.01, 0.02, 0.04, 0.05, 0.1, 0.2 dan 0.5

(30)

3.4.4. Uji Statistik dengan Uji

Chi Square

Masing-masing kelompok data dihitung nilai

Chi Squaren

ya untuk mengetahui

apakah data yang telah dikelompokkan dalam panjang interval tertentu memenuhi

distribusi (hipotesis) yang diinginkan yaitu keacakan data. Nilai

Chi Square

yang

diperoleh akan dibandingkan dengan nilai

Chi Square

pada tabel

Chi Square

(lampiran 4) dengan tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 0.01 dan 0.05.

Jika nilai

Chi Square

yang diperoleh lebih besar dari nilai

Chi Square

pada tabel,

maka kelompok data dengan panjang interval tersebut dapat diterima sebagai data

acak yang benar-benar acak. Jika nilai

Chi Square

yang diperoleh lebih kecil,

maka data tersebut ditolak sebagai data acak (lampiran 1).

3.4.5.

Standar Deviasi

Standar deviasi adalah simpangan baku atau penyimpangan standar yang

menggambarkan variasi nilai dalam suatu distribusi. Setiap kelompok data

dihitung standar deviasi atau penyimpangan data untuk melihat seberapa besar

penyimpangan masing-masing data yang ada dalam kelompok data tersebut.

Kelompok data dengan panjang interval tertentu di harapkan memiliki nilai

(31)

3.5.

Pembahasan

[image:31.842.111.774.199.329.2]

Hasil perhitungan

.

Tabel 3.1. Nilai

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dengan Jumlah Bilangan Acak N=100

Panjang

Interval (L)

v

Tabel

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

=0.05

=0.01

0.04

33.25 31.50 20.50

23.00 22.50 18.50 33.50

23.00 17.00 22.50 20.50

24

36.42

42.98

0.05

26.00 27.20 19.60

18.40 21.60 18.40 22.80

13.20 14.00 12.40 12.80

19

30.14

36.19

0.1

3.20

15.00

8.80

10.80 13.80

7.40

12.20

1.20

7.80

8.20

2.60

9

16.92

21.66

0.2

0.50

9.10

2.10

5.30

7.50

5.40

2.60

0.50

4.20

2.00

1.50

4

9.49

13.27

0.25

3.76

2.48

2.16

2.10

0.56

3.24

2.00

0.56

1.52

0.32

0.12

3

7.82

11.35

0.5

0.16

1.96

1.44

0.00

0.36

4.84

3.24

0.04

0.36

0.16

0.00

1

3.84

6.64

U

n

iv

e

r

s

ita

s

Su

m

a

te

r

a

(32)

[image:32.842.110.767.111.326.2]

Gambar 3.1. Plot Perbandingan Nilai

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dari Setiap Replika Dengan Jumlah Bilangan Acak

N=100

U

n

iv

e

r

s

ita

s

Su

m

a

te

r

a

U

ta

r

(33)

[image:33.842.91.834.143.303.2]

Hasil perhitungan

.

Tabel 3.2. Nilai

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dengan Jumlah Bilangan Acak N=500

Panjang Interval

(L)

v

Tabel

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

=0.05

=0.01

0.004

247.00 276.00 256.00 251.00 260.00 233.00 245.00 242.00 242.00 236.00 268.00

249

286.09 302.58

0.01

94.80

85.60 107.20 100.80

93.20

70.00

96.80

86.80

67.20 124.80

99

122.46 133.34

0.02

39.20

49.00

64.40

54.20

53.60

31.40

42.20

40.20

40.80

33.20

72.40

49

65.55

73.57

0.04

30.40

13.80

41.70

26.20

20.20

21.90

21.60

15.30

19.70

18.80

23.30

24

36.42

42.98

0.05

13.52

11.84

24.24

20.88

10.64

14.96

17.92

7.52

13.44

15.52

27.28

19

30.14

36.19

0.1

10.20

4.84

4.56

8.76

3.04

10.80

8.04

4.08

4.76

6.64

12.16

9

16.92

21.67

0.2

6.40

3.80

2.14

5.12

1.34

6.30

4.86

3.20

2.66

4.66

6.06

4

9.49

13.28

0.5

0.65

0.12

0.00

1.57

0.00

3.53

0.00

1.15

1.35

1.15

0.97

1

3.84

6.64

U

n

iv

e

r

s

ita

s

Su

m

a

te

r

a

(34)

[image:34.842.108.784.84.314.2]

Gambar 3.2. Plot Perbndingan Nilai

dengan Panjang Interval (L) Bervariasi dari Setiap Replika dengan Jumlah Bilangan Acak

N=500

U

n

iv

e

r

s

ita

s

Su

m

a

te

r

a

U

ta

r

(35)

3.5.1. Jumlah Bilangan Acak N=100

Tabel 3.3.

dan

Tabel untuk Masing-Masing Replika Bilangan Acak

pada Panjang Interval 0.04

L = 0.04

N=100

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

33.25 31.50 20.50 23.00 22.50 18.50 33.50 23.00 17.00 22.50 20.50

[image:35.595.115.539.306.516.2]

0.05

36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42

0.01

42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98

Gambar 3.3. Plot Perbandingan

Dengan

Tabel

untuk N=100

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa

observasi tidak melebihi

tabel

, maka

hipotesis bahwa bilangan acak yang dihasilkan adalah benar-benar acak, dapat

diterima pada tingkat kepercayaan

= 0.05. Demikian pula pada tingkat

kepercayaan

. Maka untuk panjang interval 0.04 pada jumlah data

N=100, hipotesa bahwa data acak secara signifikan dapat diterima meskipun

(36)

Distribusi data merupakan distribusi seragam yang dihasilkan dari aplikasi Ms

Excel dengan standar deviasi yang cukup kecil.

Tabel 3.4.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

L = 0.05

N=100

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

26.00 27.20 19.60 18.40 21.60 18.40 22.80 13.20 14.00 12.40 12.80

0.05

30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14

0.01

36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19

dengan

Tabel

untuk N=100

Hipotesis bahwa data acak diterima apabila

obs tabel

(

= 0.01) dan

obs tabel

(

= 0.05)

[image:36.595.146.531.331.555.2]

(37)

Data acak berasal dari aplikasi Ms Excel yang berdistribusi seragam dengan

standar deviasi yang cukup kecil.

Tabel 3.5.

dan

L = 0.1

N=100

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

3.20 15.00

8.80 10.80 13.80

7.40 12.20

1.20

7.80

8.20

2.60

0.05

16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92

0.01

21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67

dengan

Tabel

untuk N=100

Uji

di atas menunjukkan bahwa pada tingkat kepercayaan

= 0.01 dan

= 0.05

hipotesis diterima, meskipun untuk beberapa replika hipotesis diterima tidak

secara signifikan, seperti pada replika pertama, replika ke empat dan replika ke

enam. Pada data awal, replika ketujuh dan replika kesepuluh hipotesis dapat

diterima secara signifikan dan data terdistribusi secara merata dengan standar

[image:37.595.145.543.343.562.2]

(38)

Tabel 3.6.

dan

L = 0.2

N=100

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

0.50

9.10

2.10

5.30

7.50

5.40

2.60

0.50

4.20

2.00

1.50

0.05

9.49

0.01

13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28

dengan

tabel

untuk N=100

[image:38.595.145.539.250.468.2]

(39)

Tabel 3.7.

dan

L = 0.25

N=100

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

2

3.76

2.48

2.16

2.10

0.56

3.24

2.00

0.56

1.52

0.32

0.12

2

0.05

7.82

2

0.01

11.35

dengan

tabel

untuk N=100

Pada gambar 3.7 dapat dilihat bahwa nilai

tidak melebihi

tabel, sehingga

hipotesis bahwa data acak diterima secara signifikan pada tingkat kepercayaan =

0.01 dan = 0.05. Data terdistribusi secara merata pada setiap kelas interval,

terutama pada replika keempat, ketujuh, kesembilan dan kesepuluh dengan nilai

[image:39.595.145.544.249.467.2]

(40)

Tabel 3.8.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak

L = 0.5

N=100

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

0.16 1.96 1.44 0.00 0.36 4.84 3.24 0.04 0.36 0.16 0.00

0.05

3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84

0.01

6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64

dengan

tabel

untuk N=100

Uji frekuensi

pada panjang interval 0.5 dengan derajat kebebasan 1, data acak

diterima pada

= 0.01 untuk setiap replika. Tetapi pada tingkat kepercayaan =

0.05, hipotesis bahwa data acak ditolak untuk replika kelima karena nilai

obs

>

tabel.

Standar deviasi untuk replika kelima cukup besar yaitu 15.55. Pada replika

ketiga dan kesepuluh standar deviasi data acak mencapai nila nol yang dapat

diartikan bahwa data pada panjang interval 0,5 untuk replika tersebut terdistribusi

secara merata. Namun secara keseluruhan data acak yang berasal dari aplikasi Ms

[image:40.595.142.547.251.468.2]

(41)

3.5.2. Jumlah Bilangan Acak N=500

Tabel 3.9.

dan

Tabel untuk Masing-masing Replika Bilangan Acak pada

Panjang Interval 0.004

L = 0.004

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

247.00 276.00 256.00 251.00 260.00 233.00 245.00 242.00 242.00 236.00 268.00

[image:41.595.142.547.262.477.2]

0.05

286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09 286.09

0.01

302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58 302.58

dengan

tabel

untuk N=500

Dari gambar 3.9 dapat dilihat bahwa

obs

lebih kecil dari

tabel

, maka hipotesis

bahwa bilangan acak yang dihasilkan adalah benar-benar acak dapat diterima pada

tingkat kepercayaan = 0.01 dan = 0.05. Karena nilai

obs

mendekati nilai

tabel

, maka dapat disimpulkan data acak diterima tetapi tidak secara signifikan.

Data setiap kelas interval dapat dikatakan terdistribusi cukup merata untuk semua

replika karena mempunyai standar deviasi yang cukup kecil. Dengan rata-rata

(42)

Tabel 3.10.

dan

L = 0.01

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

94.80

85.60 107.20 100.80

93.20

70.00

96.80

86.80

67.20 124.80

[image:42.595.143.549.237.454.2]

0.05

122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46 122.46

0.01

133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34 133.34

dengan

tabel

untuk N=500

Hasil uji frekuensi

pada gambar di atas, pada tingkat kepercayaan

= 0.01, hipotesis

bahwa data acak diterima. Sedangkan pada tingkat kepercayaan = 0.05, hipotesis

data acak ditolak untuk data pada replika kesepuluh karena nilai

obs

>

tabel

.

(43)

Tabel 3.11.

dan

L = 0.02

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

39.20 49.00 64.40 54.20 53.60 31.40 42.20 40.20 40.80 33.20 72.40

[image:43.595.143.536.277.495.2]

0.05

65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55 65.55

0.01

73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57 73.57

dengan

tabel

untuk N=500

Uji frekuensi menunjukkan bahwa pada tingkat kepercayaan = 0.01, hipotesis

data acak dapat diterima. Hipotesis diterima secara signifikan untuk data awal,

replika kelima sampai replika kesembilan. Pada replika sepuluh, nilai

obs

hampir

melebihi nilai

tabel,

meskipun demikian hipotesis masih dapat diterima. Sedangkan

pada tingkat kepercayaan = 0.05, replika kesepuluh ditolak sebagai data acak

(44)

Tabel 3.12.

dan

L = 0.04

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

30.40 13.80 41.70 26.20 20.20 21.90 21.60 15.30 19.70 18.80 23.30

0.05

36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42 36.42

0.01

42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98 42.98

[image:44.595.145.509.237.456.2]

dengan

tabel

untuk N=500

Hipotesis bahwa data acak secara signifikan diterima apabila

obs tabel

(

= 0.01) dan

obs tabel

(

= 0.05)

Hasil uji frekuensi

, pada tingkat kepercayaan

= 0.01, nilai

obs tabel

maka

(45)

Tabel 3.13.

dan

pada Panjang Interval 0.05

L = 0.05

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

13.52 11.84 24.24 20.88 10.64 14.96 17.92

7.52 13.44 15.52 27.28

[image:45.595.140.548.206.463.2]

0.05

30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14 30.14

0.01

36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19 36.19

dengan

tabel

untuk N=500

(46)

Tabel 3.14.

dan

L = 0.1

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

10.20

4.84

4.56

8.76

3.04 10.80

8.04

4.08

4.76

6.64 12.16

0.05

16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92 16.92

0.01

21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67 21.67

dengan

tabel

untuk N=500

Dari gambar 3.14 di atas dapat dilihat bahwa untuk panjang interval 0.1 dengan derajat

kebebasan 9, untuk selang kepercayaan

= 0.05 hipotesis diterima sebagai data acak.

Begitu juga dengan tingkat kpercayaan

= 0.01, hipotesis bahwa data acak

[image:46.595.140.541.198.454.2]

(47)

Tabel 3.15.

dan

L = 0.2

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

6.40

3.80

2.14

5.12

1.34

6.30

4.86

3.20

2.66

4.66

6.06

0.05

9.49

0.01

13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28 13.28

dengan

tabel

untuk N=500

Gambar 3.15 di atas menunjukkan bahwa pada tingkat kepercyaan

=0.01

hipotesis diterima secara signifikan. Begitu juga dengan tingkat kepercayaan =

0.05, hipotesis bahwa data acak diterima untuk panjang interval 0.2 untuk jumlah

[image:47.595.113.500.249.465.2]

(48)

Tabel 3.16.

dan

pada Panjang Interval 0.5

L = 0.5

N=500

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

0.65 0.12 0.00 1.57 0.00 3.53 0.00 1.15 1.35 1.15 0.97

0.05

3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84 3.84

0.01

6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64 6.64

dengan

tabel

pada panjang Interval 0.5

untuk N=500

Uji statistik

menunjukkan bahwa pada tingkat kepercayaan

= 0.01 hipotesis

bahwa data acak diterima secara signifikan. Begitu juga dengan = 0.05, hipotesis

dapat diterima meski pada replika kelima, nilai

obs

hampir melebihi

tabel.

Data

yang memiliki standar deviasi paling besar adalah data pada replika ke lima

dengan nilai 29.70. Sedangkan pada replika kedua, keempat dan keenam, data

[image:48.595.130.538.150.453.2]

(49)

3.6.

Contoh Masalah Aplikasi Bisnis

Contoh masalah aplikasi bisnis untuk menguji keacakan data pada penilitian ini

akan diadopsi dari Gottfried (1994).

Perusahaan X akan mengembangkan suatu produk baru dan ingin

mengevaluasi keuntungan dari produk baru ini. Perusahaan memperkirakan bahwa

terdapat 35% peluang untuk menjual dengan harga antara $40.000 - $60.000, 40%

peluang untuk menjual produk sebesar antara $60.000 - $80.000 dan 25% peluang

untuk menjual dengan harga antara $80.000 - $100.000 pertahun. Berdasarkan

kondisi pasar saat ini tidak ada kecenderungan bahwa perusahaan dapat menjual

<$40.000 atau >$100.000. Biaya produksi dan distribusi juga merupakan

ketidakpastian, di mana terdapat 20% peluang bahwa biaya untuk produksi dan

distribusi $60 - $70, 35% peluang bahwa biaya untuk produksi dan distribusi $70

- $80, 30% peluang bahwa biaya untuk produksi dan distribusi $80 - $90 dan 15%

peluang bahwa biaya untuk produksi dan distribusi $90 - $100.

Terdapat kecendrungan biaya produksi dan distribusi akan <$60 atau

>$100 per unit. Perusahaan ingin menentukan ekspektasi profit tahunan pada

suatu harga jual. Di samping itu, perusahaan ingin memperkirakan (estimasi)

peluang bahwa keuntungan tahunan akan jauh lebih kecil atau jauh lebih besar

dari nilai ekspektasi. Tujuannya adalah untuk melihat indikasi derajat risiko dan

hubungannya dengan rancangan bisnis yang diusulkan.

Misalkan

S = harga per unit

C = total biaya per unit

V = volume atau jumlah unit yang terjual per tahun

P = profit atau keuntungan tahunan

Profit tahunan dapat ditulis sebagai :

P = (S – C) V

Di mana C dan V (dan dengan demikian P) merupakan variasi acak dan S

(50)

perlu dievaluasi volume penjualan tahunan (V) dan biaya per unit (C). Salah satu

cara untuk melakukan simulasi adalah dengan menghasilkan bilangan acak u

i

berdistribusi seragam dalam interval (0,1).

Jika u

1

0.35;

maka V = 50000 unit, yang merupakan nilai tengah

dari kategori

0.35 < u

1

0.75;

maka V = 70000 unit

0.75 < u

1

;

maka V = 90000 unit

Subprogram untuk masalah ini dinamakan penjualan.

Diagram alir subprogram untuk masalah ini adalah sebagai berikut :

TURN

[image:50.595.100.444.318.676.2]

V=

Gambar 3. 17 Diagram Alir Subprogram

Dengan cara yang sama, komponen biaya C dihasilkan dari bilangan acak u

2

berdistribusi seragam dalam interval (0,1).

V = 90000

U

1

>0.3

5

RETURN

U

1

= RAND (0)

V = 70000

V = 50000

RETURN

U

1

>0.7

(51)

Jika u

2

0.2;

maka C = $65

0.2 < u

2

0.55;

maka C = $75

0.2 < u

2

0.55;

maka C = $85

0.85 < u

2

;

maka C = $95

Subprogram dari masalah ini adalah biaya.

[image:51.595.134.485.260.679.2]

Diagram alir subprogram untuk masalah ini adalah sebagai berikut :

Gambar 3. 18 Diagram Alir Subprogram

BIAYA

RETURN

U

2

=RAND(0)

C = 95

C = 85

C = 75

C = 65

U

2

>0.2

U

2

>0.85

U

2

>0.55

(52)

Program utama dimulai dengan menggunakan harga jual S. Dalam

penelitian ini harga jual dibuat bervariasi, yaitu $100, $150 dan $200. Selanjutnya

dilakukan pengujian statistik untuk menguji tingkat keacakan data pada

subprogram penjualan dan biaya. Pengaruh keacakan data pada hasil simulasi

akan ditinjau dari hasil simulasi untuk menentukan ekspektasi profit dan standar

deviasi.

3.6.1. Simulasi untuk Harga Jual $100 per unit

Berikut merupakan representasi distribusi profit tahunan yang mungkin

[image:52.595.205.418.343.410.2]

dapat dihasilkan:

Tabel 3.17. Tabel Rata-rata Profit dan Standar Deviasi untuk $100

Sale = $100

Replika

Profit Rata-Rata

Standar Deviasi

0

1606000

757497

10

1545000

855449

Profit rata-rata merupakan ekspektasi profit tahunan yang diperoleh.

Standar deviasi berkisar antara 700 dan 800 dolar, yang merupakan angka yang

besar relatof terhadap nilai profit rata-rata. Hal ini mengindikasikan bahwa profit

tahunan mungkin berbeda secara signifikan dari ekspektasi, yang berarti terdapat

risiko tinggi untuk menjalankan bisnis ini.

3.6.2. Simulasi Untuk Harga Jual $150 per unit

Berikut merupakan representasi distribusi profit tahunan yang mungkin

dapat dihasilkan:

Tabel 3.18. Tabel Rata-rata Profit dan Standar Deviasi untuk $150

Sale = $150

[image:52.595.207.417.675.739.2]

(53)

Profit rata-rata merupakan ekspektasi profit tahunan yang diperoleh. Standar

deviasi berkisar antara 1.4 juta dan 1.5 juta dollar, yang merupakan angka yang

besar. Hal ini mengindikasikan bahwa profit tahunan mungkin berbeda secara

signifikan dari ekspektasi, yang berarti terdapat risiko tinggi untuk menjalankan

bisnis ini.

3.6.3. Simulasi Untuk Harga Jual $200 per unit

Berikut merupakan representasi distribusi profit tahunan yang mungkin dapat

[image:53.595.205.416.323.388.2]

dihasilkan:

Tabel 3.19. Tabel rata-rata profit dan standar deviasi untuk $200

Sale = $200

Replika

Profit Rata-Rata

Standar Deviasi

0

8536000

2126648

10

8364000

2298353

Profit rata-rata merupakan ekspektasi profit tahunan yang diperoleh.

Standar deviasi rata-rata 2 juta dolar, yang merupakan angka yang besar. Hal ini

mengindikasikan bahwa profit tahunan mungkin berbeda secara signifikan dari

ekspektasi, yang berarti terdapat risiko tinggi untuk menjalankan bisnis ini.

Secara umum simulasi dengan harga $100, $150 dan $200 menunjukkan

bahwa terfspat standar deviasi yang relatif besar terhadap ekspektasi profit

tahunan. Hal ini menggambarkan bahwa profit tahunan yang dihasilakn dapat jauh

berbeda dengan ekpektasi, yang artinya mempunyai risiko tinggi untuk

menjalankan bisnis.

Besarnya standar deviasi merupakan akibat dari penyebaran data yang

tidak merata. Hal ini akibat dari kurang acaknya data, terdapatnya penumpukan

data di dalam beberapa kelompok kelas interval, yang terlihat dari jumlah

frekuensi data yang tidak tersebar secara seragam. Padahal data yang dihasilkan

(54)

Pada program Ms Excel, subprogram yang menghasilkan variasi bilangan

(55)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1.

Kesimpulan

Hasil simulasi menunjukkan bahwa hipotesis tingkat keacakan data ditinjau dari

uji frekuensi menunjukkan bahwa data dapat diterima sebagai bilangan acak pada

taraf signifikansi 1%. Untuk tarah signifikansi 5%, terdapat beberapa data yang

tidak dapat diterima sebagai data acak. Hasil uji keacakan pada setiap selang

kelas interval yang berbeda akan menghasilkan tingkat keacakan yang berbeda

pula. Nilai keacakan suatu data ketika diuji dengan menggunakan uji

menghasilkan bahwa semakin panjang selang interval, data semakin acak dan

terdistribusi secara merata.

Pola penyebaran data yang dihasilkan oleh program aplikasi pembangkit

bilangan acak bergantung pada metode yang digunakan untuk menghasilkan

bilangan acak, misalnya pada program aplikasi Ms Excel, subprogram untuk

menghasilkan variasi bilangan acak berdistribusi seragam 0 u

i

1 berdasarkan

metode

pseudorandom.

Program aplikasi yang digunakan untuk menghasilkan

bilangan acak jelas berpengaruh untuk menghasilkan tingkat keacakan barisan

bilangan acak yang dihasilkan.

4.2.

Saran

Dapat dilakukan penelitian lebih lanjut untuk menguji keacakan dengan uji

frekuensi yaitu dengan membandingkan apakah banyaknya replika bilangan acak

mempengaruhi tingkat siginifikansi keacakan data. Dalam melakukan simulasi

yang menggunakan bilangan acak, perlu dikaji terlebih dahulu metode yang

digunakan oleh program aplikasi dalam menghasilkan bilangan acak agar periode

(56)

diperlukan harus benar-benar acak dan mengikuti distribusi yang diinginkan.

Dengan demikian dapat ditentukan berapa banyak bilangan acak yang harus

(57)

43

DAFTAR PUSTAKA

Bulgren, W.G., 1982. Contents. Library of Congress Cataloging in Publication

Data. USA

Eagle, A. (2005) “Randomness is unpredictable” .

British Journal of Philosphical

Science

56 (2005), 749–790.

Fitzek, F. H. P., E. Mota, E. Ewers, K. Pawlikowski and A. Wolisz (2000). An

Efficient Approach for Speeding Up Simulation of Wireless Networks.

Proc.

of the Western Multiconferece. on Computer Simulation, WMSC'2000

. San

Diego

Gottfried, B. 1992 .Elements of Stochastic Process Simulation. Prentice Hall, Inc.

NJ

Goldreich, O. 2008).Computational Complexity: A Conceptual Perspective.

Cambridge University Press

Kakiay. T. J. 2004. Pengantar Sistem Simulasi. Andi. Yogyakarta.

Kim, S., K. Umeno, dan A. Hasegawa. 2003. On the NIST Statistical Test Suite

for Randomnes. IEICE Technical Report, Vol. 103, No. 449, pp. 21-27.

Law, Averil M,. Kelton, David W. 1991. Simulation Modeling and Analysis.

McGraw-Hill, inc. Singapore

Law, A.M. dan W.D. Kellton (2000) “Simulation Modeling and Analysis” 5

th

ed.

McGraw-Hill, inc. Singapore

Napitupulu, Humala. L. 2009. Simulasi Sistem Pemodelan dan Analisis. USU

Press. Medan

Noer, Ahmad. 2004. Statistik Deskriptif dan Probabilitas. PPFE. Yogyakarta

Pritsker, A,. Alan, B. 1986. Introduction to Simulation. Library of Congress

Cataloging in Publication Data. USA

Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Penerbit Universitas

Indonesia. Jakarta.

(58)

44

Supangat, Andi. 2007. Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi dan

Nonparamterik. Kecana Prenda Media Grup. Jakarta

(59)

<